4. Gaia:SAREEN ANALISIA · 2016-01-19 · dagoen edozein elementu aktibo zein pasibo zirkuitutik...

4. Gaia:SAREEN ANALISIA

4.0 HELBURUAK.

4.1 EBAZPEN METODOAK.

4.2 ITURRIEN ERALDAKETA.

4.2.1 ITURRI ERREALEN ERALDAKETA.

4.2.2 ITURRI IDEALEN ERALDAKETA.

4.3 ADARRAREN DEFINIZIO EKUAZIOA.

4.4 METODO ZIRKULARRAK.

4.4.1 OINARRIZKO ERAZTUNEN METODOA.

4.4.2 SAREEN METODOA.

4.5 METODO NODALAK.

4.5.1 OINARRIZKO EBAKIDURA-TALDEEN METODOA.

4.5.2 KORAPILOEN METODOA.

4.6 LOTURA MAGNETIKOAK DAUZKATEN ZIRKUITUAK.

4.7 MENDEKO ITURRIAK DAUZKATEN ZIRKUITUAK.

4.8 BIBLIOGRAFIA.

• “Zirkuituaren adar orokorraren” modeloa ezagutzea.• Adar orokorraren definizio ekuazioa lortzen jakitea.• Sareen analisirako metodo orokor ezberdinak ezagutzea. • Analisi-metodo egokiena aukeratzen ikastea.• Dimentsio txikiagoko sistema bat lortzeko metodo zirkularren eta metodo

nodalen artean hautatzen jakitea. • Zirkuitu konduktibo eta zirkuitu induktiboen arteko aldeak ulertzea. • Iturri errealen eraldakuntzak zirkuituen ebazpena erraztu dezakeela

ikusi.

4.0 HELBURUAK

4.1 EBAZPEN METODOAK

Korronte iturriak

Ez, erreferentziako korapiloaren aukeraketa

(n-1)x (n-1)Korapiloen tentsioak U k

Korapiloen

metodoa

Korronte iturriak

Bai(n-1)x (n-1)Oinarrizko ebakidura taldeetako tentsioak U oet

Oinarrizko

ebakidura

taldeen

metodoa.

Metodo

nodalak

K1L –anOinarrituak

Tentsio iturriak

Ez(r-n+1)x(r-n+1)Sareetako korronteakI s

Sareen

metodoa

Tentsio iturriak

Bai(r-n+1)x(r-n+1)Oinarrizko eraztunetako korronteak I oe

Oinarrizko

eraztunen

metodoa

Metodo

zirkularrak


Zirkuituko iturriak

Zuhaitza definitu

behar da?

Koefizienteen matrizearen dimentsioak

EzezagunakEkuazioa

n: Zirkuituko korapilo kopuruar: Zirkuituko adar kopurua

( )( ) ( )sss · EgIZ =

( )( ) ( )kIgUY =kk ·

( )( ) ( )oeoeoe · EgIZ =

( )( ) ( )oetoetoet · IgUY =

4.2 ITURRIEN ERALDAKETA (1)4.2.1 ITURRI ERREALEN ERALDAKETA

)()()()(

1)(

)()·()()(

1)(

tigDZtigDY

teg

tegDYtegDZ

tig

⋅==

==

)(

1)(

DYDZ =

)()(

1)(

)(

1)(

)()·()()(

tuDZ

tegDZ

ti

tiDZtegtu

−=

−=

)()(

1)(

)(

1)(

)()·()()(

tiDY

tigDY

tu

tuDYtigti

−=

−=

Bi iturriak baliokideak izan daitezen (borneen artean tentsio u(t) eta korronte i(t) bera eduki

dezaten), derrigorrez honako adierazpenak bete beharko dira:

(a)

(b.1)

(b.2)

Z(D) i(t)

eg(t)u(t)

+

i(t)

Y(D)

i1(t)

u(t)ig(t)

Baliokideak diren bi iturri edozein zirkuituan konektatuz gero, zirkuituak berdinak izango balira

bezala ikusiko ditu, baina beren barne-jokabidea ez da berdina izango.

Horrela, baliokideak diren bi iturriren errendimendua ezberdina da. Jarraian adibide batean

ikus daitekeen bezala:

4.2 ITURRIEN ERALDAKETA (2)4.2.1 ITURRI ERREALEN ERALDAKETA

84%6

5

300

250

·

·

sortua

iaerabilgarr≈=====η

E

U

IE

IU

P

P

=⋅−=

=→⋅=

V250105300)(

A10)()(30300

tu

titi

A502505

1)()D()(

S 5

1

)D(

1)D(

A605

300

)D(

)()()(

1 =⋅=⋅=

==

====

tuYti

ZY

Z

tegtigti

17%6

1

60

10

·

·

sortua

iaerabilgarr≈=====η

gg I

I

UI

UI

P

P≠

25Ω=

5Ω i(t)

300V u(t)+ i(t)=10A

Y(D)

i1(t)

ig(t) 25Ωu(t)=250V

ITURRI IDEALAK ERALDATZEKO, LEHENENGO, ZIRKUITUAREN GEOMETRIA

ERALDATU BEHARKO DA.

Korronte-iturri ideala

Iturriarekiko paraleloan

inpedantziak ager daitezen zirkuituaren geometria eraldatu

beharko da, kontuan hartuz gainera, gainontzeko zirkuitua

ez duela eraldaketaren berri

izan behar.

4.2 ITURRIEN ERALDAKETA (3)4.2.2 ITURRI IDEALEN ERALDAKETA

CD

AB

ig(t)

ig(t)ig(t)

CD

A B

2Ω1Ω

10A

6V

12V

3Ω

3Ω

+

+

2Ω1Ω

10A

6V

12V

3Ω

3Ω

10A

+

+ 3Ω

2Ω1Ω

6V

12V3Ω

10V 20V

+

+ +

+


Tentsio-iturri ideala:

Iturriarekiko seriean

inpedantziak ager daitezen zirkuituaren geometria eraldatu

beharko da, baina egindako

eraldaketaz gainontzeko zirkuitua ez da jabetuko.

eg(t)

AB

C

D

i1

i2

i3

+

eg(t)

A

B’

C

D

i1’

i2

i3

+

eg(t)

+ i1”

B”

2Ω1Ω

10A

12V

3Ω

3Ω

B

+

A

2Ω1Ω

10A

12V3Ω

3Ω

B’

12V

B’’

++

A

2Ω1Ω

10A

3Ω3Ω

4A 4A

A

Zirkuituko korronteak kalkulatzeko, korronte iturri ideal batekiko seriean

dagoen edozein elementu aktibo zein pasibo zirkuitutik ezaba daiteke.

Behin zirkuitua ebatzi denean, elementua berreskuratu beharko da

iturriaren borneen arteko tentsioa kalkulatu ahal izateko.

⋅=

=+

22

32

)()(

)()()(

Rtitu

tigtiti

1)()()( Rtigtutug ⋅−=u(t), i2(t) eta i3(t) ezagunak


R1

u(t)ig(t)

C3

R2R3

i2

i3R1

u(t)ig(t)

C3

R2R3

ug(t)

ig(t)·R1

u(t)ig(t)

Tentsioak kalkulatzeko, tentsio iturri ideal batekiko paraleloan dagoen

edozein elementu aktibo zein pasibo ezaba daiteke. Behin zirkuitua ebatzi denean, elementua berreskuratu beharko da korronteak

kalkulatzeko.

1

1

R

tegti

)()( = eta

Baina, kontuz!

)()()( tititig21

+=


R1

ig(t)

eg(t)

R2

R3

i1(t)

i2(t)

+

322

)()(

RR

tegti

+=

eg(t)

R2

R3

i2(t)

++

4.3 ADARRAREN DEFINIZIO EKUAZIOA

+=

=

−=

)()()(

)(•)()(

)()()(

tigtiti

DZtitu

tegtutu

Z

ZZ

Z

[ ][ ] )()()()()(

)()()()()(

tigtegtuDYti

tegtigtiDZtu

−+=

−+=

ADARRAREN DEFINIZIO

EKUAZIOAK

Adarraren eskema orokorretik eta bere definizio ekuazioetatik adarren konfigurazio bereziak erator daitezke. Hartu adibidetzat:

ADARRAREN EZEZAGUNAK BI DIRA: ADARREKO TENTSIOA u(t) ETA ADARREKO KORRONTEA i(t)

ZIRKUITUKO ADAR OROKORRA: Bere baitan egon daitezkeen elementu mota guztiak dituen adarra. Eskema ondoko irudian agertzen dena da; adarraren definizio ekuazioak eskeman Kirchhoff-en legeak aplikatuz lortuko dira.

TENTSIO-ITURRI

ERREALA

ig(t)=0 bada eg(t)=0 bada ig(t)=eg(t)=0

KORRONTE-ITURRI

ERREALA

ADAR PASIBOA

i(t)ig(t)

Z(D)iz(t)

u(t)

uz(t)

Y(D)

Z(D) iz(t)=i(t)

uz(t)=u(t)

Y(D)

Z(D)

iz(t)=i(t)

eg(t)

+

u(t)

i(t)

Y(D)

ig(t)

Z(D)

iz(t)

eg(t)

u(t)

uz(t)

+

Tentsio iturriak

Ez(r-n+1)x(r-n+1)Sareetako korronteakI s

Sareen

metodoa

Tentsio iturriak

Bai(r-n+1)x(r-n+1)Oinarrizko eraztunetako korronteak I oe

Oinarrizko

eraztunen

metodoa

Metodo

zirkularrak

K2L-an Oinarrituak

Zirkuituko iturriak

Zuhaitza definitu

behar da?


EzezagunakEkuazioa

4.4 METODO ZIRKULARRAK

( )( ) ( )sss · EgIZ =

( )( ) ( )oeoeoe · EgIZ =

4.4.1 OINARRIZKO ERAZTUNEN METODOA (1)

JARRAITU BEHARREKO URRATSAK:

Korronte-iturriak beren tentsio-iturri baliokidetan eraldatu. Zirkuituko zuhaitza aukeratu ( n-1 adar, irekia eta lotua). Oinarrizko eraztunak irudikatu. Oinarrizko eraztun bakoitzari eraztuneko korronte bat esleitu (katebegiko korrontearen noranzko berekoa). Matrize-sistema eraiki. Matrize-sistema ebatzi: i oe korronteak lortu. Adarretako korronteak ir lortu, adarretako korronteak eta

oinarrizko eraztunetako korronteak erlazionatzen dituzten ekuazioak erabiliz.

Adarretako tentsioak, u r, lortu, adarren definizio-ekuazioak erabiliz.


Z4(D)

eg2(t)

ig3(t)

C A B

D

+

r3

r5

r1 r2

r6

r4

+

Z2(D)

Z6(D)

Z5(D)

eg4(t)

Z3(D)

Z1(D)

C A B

Di3

i5

i1 i2

i6

i4

iB

iA

iC

Z4(D)

eg2(t)

eg3(t)= ig3(t)·Z3(D)

C A B

D

+

r3r5

r1 r2

r6

r4

+

Z2(D)

Z6(D)

Z5(D)

eg4(t)

Z3(D)

Z1(D)

+

Korronte-iturriak tentsio-iturri bihurtu:

Zuhaitza (urdina), oinarrizko eraztunak (arrosa) eta eraztunetako korronteak: iA, iB, iC aukeratu:

n=4; r=6;

r-n+1=6-4+1=3 oinarrizko eraztun kopurua

n-1=3 zuhaitzaren adar kopurua

Oharrak:

• Oinarrizko eraztun bakoitzak, katebegi bakarra du ( ko-zuhaitzekoa).

• Eraztuneko korronteak katebegiko korrontearekin bat dator.

• Zuhaitzaren aukeraketa: Zenbait adar zehatzen korronteak ezagutu nahi badugu, utzi adar horiek katebegi bezala; hautatu zuhaitzeko adar bezala tentsio iturri idealak dauzkatenak, zeroak ager daitezen inpedantzien matrizean, diagonal nagusitik kanpo, sistemaren ebazpena erraztuz.


++−−−

−+++

−−++++

)D()D()D()D()D()D(

)D()D()D()D()D()D(

)D()D()D()D()D()D()D()D(

463664

662565

64654651

ZZZZZZ

ZZZZZZ

ZZZZZZZZ

+−−

+

)D()·()()(

)(

)()(

3324

4

42

Ztigtegteg

teg

tegteg

( )( ) ( )oeEgIZ =oeoe ·

Matrize-sistemaren eraikuntza:

•Dimentsioa: (r-n+1)x(r-n+1)=3x3

•Itxura:

Diagonal nagusiko elementuak, Zii(D), eraztun bakoitzeko adarren inpedantzien batura dira.Diagonal nagusitik kanpoko elementuak, Zij (D), i eta j eraztun bietan dauden adarretako inpedantzien batura dira. Osagaiak positiboak izango dira eraztunetako korronte biak polaritate berekoak badira elementutik igarotzean, eta negatiboak, aurkatu polaritatea badute. Matrizea simetrikoa da.

Bektoreko osagai bakoitza, eraztun bakoitzeko tentsio-iturrien balioak batuz lotuko dugu. Zeinua positiboa izango da, eraztuneko korrontea iturriaren polaritatearekin bat datorrenean eta negatiboa ez badator bat.

Inpedantzien matrizea:

Tentsio-iturrien bektorea:

Z4(D)

eg2(t)

+

C A B

D

eg4(t)

i3

i5

i1 i2

i6

i4

iB

iA

IC

Z1(D)

Z2(D)

Z5(D)

Z6(D)Z3(D)

+

+

ig3(t)·Z3(D)

Ezezagunen bektorea:

Eraztunetako korronteak dira.

C

B

A

i

i

i


Matrize sistema ebaztean, eraztunetako korronteak lortuko dira. Adarretako korronteak aldiz, adarretako korronteak eta eraztunetako korronteak erlazionatzen dituzten ekuazioak erabiliz lortuko dira, adibide honetarako, honakoak dira:

C A B

Di3

i5

i1 i2

i6

i4

iB

iA

iC

−+=

+=

−=

=

=

=

CBA

BA

CA

C

B

A

iiii

iii

iii

iI

ii

ii

6

5

4

3

2

1

Matrize-sistema:

++−−−

−+++

−−++++

)D()D()D()D()D()D(

)D()D()D()D()D()D(

)D()D()D()D()D()D()D()D(

463664

662565

64654651

ZZZZZZ

ZZZZZZ

ZZZZZZZZ

+−−

+

)D()·()()(

)(

)()(

3324

4

42

Ztigtegteg

teg

tegteg

C

B

A

i

i

i

· =

Adarraren korrontea adar hori bere baitan duten eraztunen korronteen batura edo kendura bezala lortuko da. Eraztuneko korrontea adarreko korrontearen polaritate berekoa bada, zeinu positiboa du ekuazioan, ez bada orduan zeinu negatiboa.

Katebegietako (zuhaitzekoak ez diren adarrak) korronteak matrize sistema ebaztean zuzenean lortzen dira; eraztunetako korronteak katebegietako korronteekin bat baitatoz.

Behin adar guztietako korronteak zehaztu direnean, adarretako tentsioak lortzeko adarren definizio ekuazioetara jo beharko dugu.


2Ω

3Ω

1 Ω

4Ω

1Ω

E2=16V

C A B

D

+

E4=28V

I3

I5

I1 I2

I6

I4

+

5Ω

+

E3=65V

2Ω

3Ω

1 Ω

4Ω

1Ω

E2=16V

C A B

D

+

E4=28V

r3

r5

r1 r2

r6

r4

+

5ΩJ3=13A

C A B

DI3

I5

I1 I2

I6

I4

IB

IA

IC

n=4; r=6;

r-n+1=6-4+1=3 oinarrizko eraztun kopurua.

n-1=3 zuhaitzeko adar kopurua. CBA

BA

CA

C

B

A

IIII

III

III

II

II

II

−+=

+=

−=

=

=

=

6

5

4

3

2

1

Adibidea: Adibide moduan lehengo zirkuituko topologia bera duen zirkuitu bat erabiliko dugu, baina korronte zuzeneko iturriekin.


2Ω

3Ω

1 Ω

4Ω

1Ω

E2=16V

5Ω

65V

C A B

D

E4=28V

I3

I5

I1 I2

I6

I4

IB

IA

IC

=

−−

+

=

−−

−

−

21

28

44

281665

28

1628

·

813

162

327

C

B

A

I

I

I

CRAMER erabiliz ebatziko dugu; eraztunetako korronteak lortuz.:

255

813

162

327

=

−−

−

−

=∆R

A8255

8121

1628

3244

1 =−

−

−

== IIA

A8255

2113

2862

4427

3 =−−

== IICA3

255

8213

1282

3447

2 =−

−

−

== IIB

5ΩJ3=13A

I3=Ic=6AI8= 13A

C

D

I7=7A

35V

A5

A11

A2

A6

A3

A8

=+=

=+=

==

==

==

==

6

5

4

3

2

1

CBA

BA

CA

C

B

A

IIII

III

III

II

II

II

Adarretako korronteak lortu:

Intentsitate iturriaren eraldaketa desegin: Adarretako tentsioak lortu:

=−=

==

=−=

=−=

==

==

V235·128

V1111·1

V122·216

V356·565

V124·3

V248·3

6

5

4

3

2

1

U

U

U

U

U

U

4.4.2 SAREEN METODOA (1)


Korronte-iturriak tentsio-iturri bihurtu. Sareak irudikatu (bere barnean beste bat ez duten eraztunak).

Sare kopurua=r-n+1 Sare bakoitzari sareko korrontea esleitu. Bi aukera daude:

Sareko korronteei kanpo-adarren korronteen polaritatea ematea, edo sareko korronte guztiei noranzko bera ematea. Azkenekoa eginez gero, inpedantzien matrizeko diagonal nagusitik kanpoko elementu denak negatiboak izango dira.

Matrize-sistema eraiki. Matrize-sistema ebatzi: i s korronteak lortu. Adarretako korronteak lortu: i r,adarretako korronteak eta

sareetako korronteak erlazionatzen dituzten ekuazioak erabiliz. Adarretako tentsioak lortu; u r adarren definizio ekuazioekin.

Korronte iturriak tentsio iturri bihurtu

Sareak hautatu; bere barnean beste eraztunik ez duten eraztunak dira sareak. Zirkuituko leihatilekin bat datoz, eta beren kopurua hauxe da: r-n+1=6-4+1=3

eg1(t)

r2

ig5(t)·Z5(D)= eg5(t)

eg3(t)

r1 r3

r4

r5

Z4(D)

Z2(D)

Z1(D) Z5(D)

++

+

r6

eg1(t)

r2

ig5(t)eg3(t)

r1 r3

r4

r5

Z4(D)

Z2(D)

Z1(D)

Z5(D)+

+

r6

Sareetako korronteak zirkuituko kanpo-adarren korronteekin bat datoz. Sareko korrontearen polaritatea sarea definitzen duen adarraren korrontearen polaritate berarekin hautatzen dugu.

Sareen metodoa egokia da zirkuituko kanpo-adarren korronteak ezagutu nahi direnerako. Izan ere, zuzenean lortzen baitira matrize-sistema ebaztean.

eg5(t)

eg3(t)eg1(t)

i1

iAiB

i4

i2

i5

i3

iC

Z2(D)

Z1(D)

Z4(D)

Z5(D)

++

+

i6


Matrize sistemaren eraikuntza:

•Dimentsioa: (r-n+1)x(r-n+1)=3x3

•Itxura: ( )( ) ( )sss · EgIZ =

eg5(t)= ig5(t)·Z5(D)

eg3(t)eg1(t)

i1

iAiB

i4

i2

i5

i3

iC

Z2(D)

Z1(D)

Z4(D)

Z5(D)

++

+

i6

Inpedantzien matrizea:

−

−++

+

)D()D(0

)D()D()D()D()D(

0)D()D()D(

55

55244

441

ZZ

ZZZZZ

ZZZ

− )D()·()(

)D()·(

)(

553

55

1

Ztigteg

Ztig

teg

Diagonal nagusiko elementuak, Zii(D), sare bakoitzaren adarren inpedantzien batura da.Diagonal nagusitik kanpoko elementuak Zij (D) i eta j sare bietan dauden adarren inpedantzien batura dira. Gaiak positiboak izango dira sareko korronte biak polaritate berekoak badira inpedantziatik igarotzean, eta negatiboak aurkako kasuan. Sareko korronte denak noranzko berean hautatuz gero, diagonal nagusitik kanpoko elementu denak negatiboak izango dira. Matrizea simetrikoa da.Sareek adarrak ez badituzte partekatzen, diagonal nagusitik kanpo zeroak agertuko dira, beraz metodo ona da adibidean bezalako eskailera formako zirkuituak ebazteko, non A eta C sareek adarrak ez dituzten partekatzen.

Bektorearen osagaiak, sare bakoitzaren tentsio-iturrien batura eginez lortzen dira. Zeinua positiboa izango dute sareko korrontea iturriaren polaritatearekin bat badator, eta negatiboa, bat ez badatoz.

Tentsio-iturrien bektorea:

Ezezagunen bektorea:

Sareko korronteak dira.

C

B

A

i

i

i


Matrize-sistema ebaztean, sareetako korronteak lortzen dira. Adarretako korronteak lortzeko sareen korronteak eta adarretako korronteak erlazionatzen dituzten ekuazioak erabiliko dira, adibide honetarako hauek dira ekuazio horiek:

Matrize-sistema:

Adarretako korronteak zehaztu direnean, adarretako tentsioak zehaztu daitezke, adarretako ekuazioak erabiliz.

−

−++

+

)D()D(0

)D()D()D()D()D(

0)D()D()D(

55

55244

441

ZZ

ZZZZZ

ZZZ

· =

− )D()·()(

)D()·(

)(

553

55

1

Ztigteg

Ztig

teg

C

B

A

i

i

i

eg5(t)

eg3(t)eg1(t)

i1

iAiB

i4

i2

i5

i3

iC

Z2(D)

Z1(D)

Z4(D)

Z5(D)

++

+

i6

==

−=

+=

=

=

=

B

BC

BA

C

B

A

iii

iii

iii

ii

ii

ii

26

5

4

3

2

1


Adarraren korrontea adar hori bere baitan duten sareen korronteen batura edo kendura eginez lortuko da. Sareko korrontea adarreko korrontearen polaritate berekoa bada, zeinu positiboa du ekuazioan, eta ez bada zeinu negatiboa dauka.

Sareak hautatu, sare kopurua:

r-n+1=6-4+1=3 Sareetako korronteak zirkuituko kanpo adarren korronteekin bat datoz:

I3=IC, I1=IA,IB=I2

=

−

=

−

−

96

24

110

24120

24

110

·

12120

12227

075,7

C

B

A

I

I

I


Korronte-iturria tentsio-iturri bihurtu:

E1=110V

I2

3Ω

3Ω

4Ω

12Ω

E3=120V

I1 I3

I4

I50,5Ω

J2 =2A

+ +

3Ω

3Ω

4Ω 12Ω

E2=24V

E3=120VE1=110V

I1

IAIB

I4

I2

I5

I3

IC

0,5Ω

+ +

+

E1=110V

I2

3Ω

3Ω

4Ω 12Ω

E2=24V

E3=120V

I1 I3

I4I5

0,5Ω

+ +

+


A5

12120

12227

075,7

12960

12247

01105,7

2 =

−

−

−

== IIB

=

−

=

−

−

96

24

110

24120

24

110

·

12120

12227

075,7

C

B

A

I

I

IA10

5,7

5·7110110·75,7 =

−=→=+⋅ ABA III

A1312

5·129696·1212 =

+=→=+⋅− CCB III

CRAMER erabiliz IB ebatziko dugu:

Beste korronte biak matrize-sistemaren lehen eta hirugarren lerroak garatuz, erraz lor daitezke:

Adarretako korronteak sareen korronteak erabiliz lortuko ditugu:

===

=−=

=+=

==

==

==

A8

5A1

3A1

A5

0A1

A526

5

4

3

2

1

B

BC

BA

C

B

A

III

III

III

II

II

II


=

−=−==

===

=

==

=−=

V0

V12012·1224

V10515·7

V120

V155·3

V1055,0·10110

6

35

14

3

2

1

U

UU

UU

U

U

U

Adarretako tentsioak adarren definizio ekuazioetatik lortzen dira.

E1=110V

I2

3Ω

3Ω

4Ω 12Ω

E2=24V

E3=120V

I1 I3

I4 I5

0,5Ω

U1=U4

U2

U3=U5

++

+

4.5 METODO NODALAK

Korronte iturriak

Ez, erreferentziako

korapiloaren aukeraketa

(n-1)x (n-1)Korapiloen

tentsioak U k

Korapiloen

metodoa

Korronte iturriak

Bai(n-1)x (n-1)

Oinarrizko ebakidura taldeetako

tentsioak U oet

Oinarrizko

ebakidura

taldeen

metodoa.

Metodo

nodalak


Zirkuituko iturriak

Zuhaitza definitu behar

da?


EzezagunakEkuazioa

( )( ) ( )kIgUY =kk ·


4.5.1 OINARRIZKO EBAKIDURA TALDEEN METODOA (1)


• Tentsio-iturriak korronte-iturri bihurtu.• Zuhaitza hautatu ( n-1 adarrekin, irekia eta lotua).• Hautatutako zuhaitzarekiko oinarrizko ebakidura-taldeak irudikatu:

Zuhaitzeko adar bakarra mozten duten ebakidura taldeak dira, mozten dituzten gainontzeko adarrak katebegiak direlarik.

• Oinarrizko ebakidura talde bakoitzari ebakidura-taldeko tentsioaesleitu (noranzkoa: zuhaitzeko adarraren tentsioaren berdina)

• Matrize-sistema eraiki.• Matrize-sistema ebatzi: uoet tentsioak lortu.• Adarretako tentsioak lortu: ur oinarrizko ebakidura-taldeen tentsioak

eta adarretako tentsioak erlazionatzen dituzten ekuazioak erabiliz. • Adarretako korronteak ir lortu; adarren definizio-ekuazioak erabiliz.


eg1(t)

Y3(D)

ig2(t)

r1

r3

r2

r4

r6

r5

+

Y5(D)Y1(D)

Y6(D)

Y2(D)

Y4(D)

Y3(D)

ig2(t)

r1

r3

r2

r4

r6

r5

Y5(D)Y1(D)

Y6(D)ig1(t)=eg1(t)·Y2(D) Y2(D)

Y4(D)

Iturrien eraldaketa: tentsio-iturriak korronte-iturri bihurtu.

Zuhaitza (urdina) eta oinarrizko ebakidura taldeak (arrosa) hautatu, eta ondoren, ebakidura taldeen tentsioak: uA, uB y uC

n=4; r=6;

n-1=3= zuhaitzaren adar kopurua=oinarrizko ebakidura- talde kopurua

Oharrak:

• Oinarrizko ebakidura talde bakoitzak zuhaitzeko adar bakarra moztuko du.

• Ebakidura-taldeko tentsioa mozten duen zuhaitzeko adarraren tentsioarekin bat dator.

• Zuhaitzaren hautaketa: Zenbait adarren tentsioak ezagutu nahi baditugu hautatu horiek zuhaitzeko adarrak bezala; Ko-zuhaitzekoadarrak korronte-iturri idealak bakarrik dauzkatenak hautatuz gero, admitantzien matrizean zeroak lortzen dira diagonal nagusitik kanpo.

CBA

D UC

UBUA

OET3OET2OET1

i1

i3

i2

i4

i6

i5




•Dimentsioa: (n-1)x(n-1)=3x3

•Itxura:

Admitantzien matrizearen idazketa:Diagonal nagusiko elementuak Yii(D) OET bakoitzak, mozten dituen adarren admitantzien batura izango da.Diagonal nagusitik kanpoko Yij (D) elementuak, i eta j OET-ek aldi berean mozten dituzten adarren admitantzien batura da. Admitantziaren zeinua positiboa da, admitantziaren gainean adarra mozten duten bi OET-en hautazko tentsioen polaritate beraz (sarkorrak edo irtenkorrak), marraztutako bi gezien noranzkoak bat datozenean. Eta negatiboak bi gezi horiek bat ez badatoz.

+++−−+

−−++−

+−++

)D()D()D()D()D()D()D()D(

)D()D()D()D()D()D(

)D()D()D()D()D()D(

36414113

414511

131213

YYYYYYYY

YYYYYY

YYYYYY

CBA

D

UC

UB

UA

OET3

OET2OET1

Y3(D)

ig2(t)

Y5(D)

Y1(D)

Y4(D)

ig1(t)=eg1(t)·Y2(D) Y2(D) Y6(D)

ig2(t)

UB

IrtenkorraUA

Irtenkorra

Y1(D)

ig1(t)=eg1(t)·Y2(D) negatiboa

B-tik irtenkorra

A-tik irtenkorra

Y12(D)=Y21(D)Gaia

C

UC

Sarkorra

UA

Irtenkorra

Y3(D)

Y5(D)

Y1(D)

Positiboa

C-ra sarkorra

A-tik irtenkorra

C-ra sarkorra

A-tik irtenkorra

Y13(D)=Y31(D) Gaia

C

UB

Irtenkorra

Y3(D)

Y1(D)

Y4(D)

C-ra

sarko

rra

B-tik

irten

korra

B-tik irtenkorra

C-ra sarkorra

negatiboaUC

Sarkorra

Y23(D)=Y32(D) Gaia

Admitantzien matrizea:


−

)(

0

(D))·(

2

21

tig

Yteg

CBA

D

UC

UB

UA

OET3

OET2OET1

Y3(D)

ig2(t)

Y5(D)

Y1(D)

Y4(D)

ig1(t)=eg1(t)·Y2(D) Y2(D) Y6(D)

Korronte-iturrien bektorea:

OET bakoitzak moztutako adarretan dauden korronte iturrien batura eginez lortzen dira bektorearen osagaiak. Iturriaren zeinua positiboa izango da, iturriaren korrontea ebakidura taldearen erreferentzia-tentsioarekin bat datorrenean ( irtenkorra edo sarkorra OET-rekiko)

UA

Irtenkorra

A

OET1

ig1(t)=eg1(t)·Y2(D) Y2(D)

Sa

rko

rra

OET-en tentsioen bektorea:

C

B

A

u

u

u

−

=

+++−−+

−−++−

+−++

(t)ig

Yteg

u

u

u

YYYYYYYY

YYYYYY

YYYYYY

C

B

A

2

21

36414113

414511

131213

0

(D))·(

·

)D()D()D()D()D()D()D()D(

)D()D()D()D()D()D(

)D()D()D()D()D()D(

Matrize-sistema:

C

B

CB

AC

A

CAB

uu

uu

uuu

uuu

uu

uuuu

=

=

+−=

−−=

=

−−=

6

5

4

3

2

1

Adarretako tentsioak eta oinarrizko ebakidura taldeen tentsioak erlazionatzen dituzten ekuazioak horrela lortzen dira: Adarraren tentsioa adarra mozten duten oinarrizko ebakidura-taldeen tentsioen batura eta kendura da. Adarraren tentsio eta ebakidurataldearen tentsioa noranzko bera badute ebakidura taldearekiko, zeinu positiboa jarri behar zaio oinarrizko ebakidura taldearen tentsioari, bestela, negatiboa. Adibidez, bat adarraren tentsiorako. Adar hori 1, 2 eta 3 ebakidura taldeek mozten dute,beraz, adar horren tentsioa honako hiru tentsioen konbinazioa izango da:UA,UB,UC; U1 sarkorra da OET1-ekiko, baina ebakidura taldearen tentsioa , UA, irtenkorra da beraz, UA-k zeinu negatiboa edukiko du; U1 OET2-rekiko irtenkorra da, ebakidura taldeko UB tentsio bezala, beraz UB-k zeinu positiboa du; Azkenik, U1 irtenkorra da OET3-rekiko, honek tentsioa (UC)sarkorra duelarik, beraz UC-k zeinu negatibo darama.

Eta U1 tentsioaren ekuazioa honakoa izango da: U1=-UA+UB-UC;

Era horretan eraikiko dira adarretako tentsioak eta ebakidura taldeetako tentsioak erlazionatuko dituzten ekuazioak.

OET1

CBA

UC

U5=UBUA

OET3OET2

I1

I3

I2

I4

I6

I5

U6=UC

U3

U1

U2=UA

U4

Behin sistema ebatzita, OET-en tentsioak ezagunak izango dira. Adarretako tentsioak lortzeko adarren tentsioak eta oinarrizko ebakidura-taldeen tentsioak erlazionatzen dituzten ekuazioak erabili beharko dira.



1Ω

E1=9V

1Ω

2Ω

4Ω

5Ω J2=4A2Ω

r1

r3

r2

r4

r6

r5

+

1Ω

2Ω

4Ω

2Ω

r1

r3

r2

r4

r6

r5

5Ω J2=4AJ1=9A1Ω

CBA

D UC

UBUA

OET3OET2OET1

I1

I3

I2

I4

I6

I5

Tentsio-iturriak korronte-iturri bihurtzen dira:

n-1=4-1=3 adar edukiko dituen zuhaitza aukeratzen da. Jarraian eta zuhaitzarekiko oinarrizko ebakidura taldeak hautatzen dira, gogoan hartu zuhaitzeko adar bakarra moztuko dutela. Amaitzeko, ebakidura talde bakoitzari tentsio bat esleitzen zaio, orokorrean, mozten duen zuhaitzeko adarraren polaritate berekoa. Matrize-sistema ebaztean lortzen diren tentsioak zuhaitzeko adarraren tentsioak dira, hain zuzen ere.



−

=

−

−−

−

→

4

0

9

·

2,25,15,1

5,175,11

5,115,2

C

B

A

U

U

U

( )

( )

−

=

++++−+

+−++−

+−++

4

0

9

·

111

111

1111

51

21

21

21

21

21

21

41

21

21

C

B

A

U

U

U

S3625,2

2,25,15,1

5,175,11

5,115,2

=

−

−−

−

=∆Y

V83625,2

18,9-2,25,14

5,175,10

5,119

−==∆

−

−

−−

=Y

UA

Ebazten da, demagun CRAMER erabiliz ebazten dela:

V43625,2

9,452,245,1

5,101

5,195,2

==∆

−−

−

=Y

UB V103625,2

23,62545,15,1

075,11

915,2

==∆

−

−

−−

=Y

UC

1Ω

2Ω

4Ω

2Ω

CBA

D

UC

UB

UA

OET3

OET2OET1

5Ω J2=4AJ1=9A1Ω


Oinarrizko ebakidura-taldeetako tentsioetatik adarretako tentsioak lortzen dira:

10V

4V

V6104

V2810

8V

V21084

6

5

4

3

2

1

==

==

=+−=+−=

−=+−=−−=

−==

=−+=−−=

C

B

CB

AC

A

CAB

UU

UU

UUU

UUU

UU

UUUUOET1

CBA

D=0 UC

U5=UBUA

OET3OET2

I1

I3

I2

I4

I6

I5

U6=UC

U3

U1

U2=UA

U4

Azkenik, adarretako korronteak zehazteko, adarretako ekuazioetara jotzen dugu:


( ) ( )

−=−=−=−=

===

===

−=−==

=+−=+=

===

A24·104·

1A4·0,2525,0·

A35,0·65,0·

A15,0·25,0·

1A·1981·

A21·21·

51

51

6276

55

44

33

122

11

UJII

UI

UI

UI

EUI

UI

I1

I3

I2

I4

I6

I51Ω

2Ω

4Ω

2Ω

I7

5Ω J2=4A

1Ω

E1=9V

+

4.5.2 KORAPILOEN METODOA (1)


• Tentsio-iturriak korronte-iturri bihurtu.

• Erreferentzia-korapilo bat hautatu.

• Korapiloetako tentsioak marraztu: erreferentziako korapiloa eta

gainontzeko beste korapiloen arteko tentsioak dira. Erreferentzia korapiloarekiko denak sarkorrak edo denak irtenkorrak marraztea,

erabilgarriena izango da.

• Matrize-sistema eraiki.

• Matrize-sistema ebatzi: uk korapiloen tentsioak lortu.

• Adarretako tentsioak lortu: u r korapiloetako tentsioak eta adarretako

tentsioak erlazionatzen dituzten ekuazioak erabiliz.

• Adarretako korronteak lortu: i r, adarretako definizio-ekuazioak erabiliz.

Iturrien eraldaketa: Tentsio-iturriak korronte-iturri bihurtu

Erreferentzia korapilo hautatu (urdina), jarraian korapiloetako tentsioak (arrosa) irudikatzen dira, erreferentzia korapiloa eta gainontzekoen artean, korapiloetako tentsioen kopurua: n-1=4-1=3 izango da eta uA, uB eta uC izenez, izendatuko ditugu.

Oharrak:

•Korapiloetako tentsioak, erreferentzia korapiloa eta gainontzekokorapiloen artean dauden tentsioak izango dira. Matrize-sistema ebaztean lortzen diren tentsioak izango dira. Eta beraz, ezagutu nahi ditugun tentsioak zuzenean lortzeko, korapiloa behar bezala hautatzea baino ez dugu.

•Tentsioen noranzkoak hautatzeko bi ebazpide ditugu: Adarren tentsioen polaritateekin bat etor arazi, edo, denak sarkorrak edo irtenkorrak irudikatu erreferentzia korapiloarekiko. Denak noranzko berekoak hautatuz, admitantzien matrizearen eraikuntza sinplifikatu egingo da diagonal nagusitik kanpoko gai guztiak negatiboak izango direlako.

A B C

D=0

UAUB

UC

I4

I6

I1

I2I3

I5

ig2(t)=eg2(t)·Y3(D)

Y6(D)

r1r3

r2

r4

r6

r5

Y5(D)

Y1(D) Y2(D)

Ig1(t)

A B C

D

Y3(D)

Y6(D)

r1r3

r2

r4

r6

r5

Y5(D)

Y1(D) Y2(D)

eg2(t)

Ig1(t)

A B C

D

+

Y3(D)



Y6(D)

Y5(D)

Y1(D) Y2(D)

Ig1(t)

A B C

Y3(D)

D=0

UA

UBUC


•Dimentsioa: (n-1)x(n-1)=3x3

•Itxura: ( )( ) ( )kIgUY =kk ·

Admitantzien matrizea:

++−−

−+

−+

)D()D()D()D()D(

)D()D()D(0

)D(0)D()D(

35656

552

661

YYYYY

YYY

YYY

Diagonal nagusiko elementuak Yii(D) korapilora heltzen diren adarren admitantzien batura da.

ij eta ji posiziotako elementuak, Yij(D) i eta j bi korapiloen arteko adarretako admitanzien batura dira.

Admitantziaren zeinua positiboa da, admitantziaren gainean adarraren bi korapiloen korapiloetako tentsioen polaritate beraz (sarkorrak edo irtenkorrak) marraztutako bi geziren noranzkoak bat datozenean. Eta negatiboak bi gezi horiek bat ez badatoz.Baina korapiloetako tentsio denak erreferentzia korapiloarekiko sarkorrak edo irtenkorrak marrazten badira, Yij(D) admitantzia denak negatiboak izango dira eta ez da zeinuaren azterketa egin beharko.

UA

Sarkorra

Y6(D)

Y5(D)Ig1(t)

A B C

UC

Sarkorra

negatiboaY13(D)=Y31(D)

Gaia

C-rekiko Sarkorra

A-rekiko Sarkorra

Y5(D)B C

UB

Sarkorra

UC

Sarkorra

Y23(D)=Y32(D)

Gaia

B-rekiko Sarkorra

C-rekiko Sarkorra

negatiboa


)D()·(

0

)(

32

1

Yteg

tig

Korronte-iturrien bektorea:

Bektorearen osagaiak, korapilora heltzen diren adarren korronte iturrien batura eginez lortzen dira. Iturriaren korrontearen zeinua positiboa da, iturriaren korrontea korapiloaren tentsioa bezalakoa bada (sarkorra edo irtenkorra korapiloarekiko).

Korapiloetako Tentsioen bektorea:

C

B

A

u

u

u

Positiboa

A-ra sarkorra


Y6(D)

Y5(D)

Y1(D) Y2(D)

Ig1(t)

A B C

Y3(D)

D=0

UA

UBUC

C-ra

sa

rko

rra

Positiboa

Matrize-sistema:

=

++−−

−+

−+

)D()·(

0

)(

·

)D()D()D()D()D(

)D()D()D(0

)D(0)D()D(

32

1

35656

552

661

Yteg

tig

u

u

u

YYYYY

YYY

YYY

C

B

A


Behin matrize sistema ebatzi denean, korapiloetako tentsioak ezagunak izango dira. Adarretako tentsioak lortzeko adarretako tentsioak eta korapiloetako tentsioak erlazionatzen dituzten ekuazioetara jo beharko dugu. Ekuazio horiek lortzeko Kirchhoff-en bigarren legea aplikatzea baino ez dugu, zirkuituko hainbat bide itxietan zehar.

A B C

D=0

UAUB

UC

I4

I6

I1

I2I3

I5

U6

U4 U5

AC

CB

BA

UUU

UUU

UUU

−=

−=

−=

6

5

4

Adarretako korronteak lortzeko adarren definizio ekuazioetara jotzea baino ez dugu.


10Ω

6Ω

4Ω

8Ω

10Ω

E2=260V

J1 =12A

A B C

D

UB +

Tentsio-iturriak korronte-iturri bihurtuko ditugu:

10Ω

6Ω

4Ω

8ΩJ1 =12A

A B C

D

10Ω J2=26A

10Ω

6Ω

8ΩJ1=12A

A B C

D=0

UAUB

UC

J2=26A4Ω10Ω

Erreferentzia-korapiloa hautatzen da. Jarraian erreferentzia-korapiloa eta gainontzeko korapiloen arteko

n-1=4-1=3 korapiloko tentsio zehazten dira. Denak noranzko berekoak hautatuz ( sarkorrak edo

irtenkorrak erreferentzia korapiloarekiko), admitantzien matrizearen eraikuntza sinplifikatu egingo da diagonal nagusitik kanpoko gai guztiak negatiboak izango direlako. Adibidean denak irtenkorrakhautatuak dira:

−=

++−−

−+

−+

26

12

12

·

10

1

6

1

8

1

8

1

6

18

1

8

1

4

10

6

10

6

1

10

1

C

B

A

U

U

U



Matrize-sistemaren ebazpena CRAMER erabiliz:

V120

7200

177240

94

8

126

8

1

8

312

6

1012

=

−

−−

−

=AU V8

7200

177

240

9426

6

18

1120

6

112

30

8

=

−

−−

−

=BU V120

7200

177

268

1

6

1

128

30

12030

8

=

−−

−

=CU

7200

177

240

94

8

1

6

18

1

8

30

6

10

30

8

10

1

6

1

8

1

8

1

6

1

8

1

8

1

4

10

6

10

6

1

10

1

=

−−

−

−

=

++−−

−

+

−

+

==∆ YY

Korapiloetako tentsioen balioetatik adarretako tentsioak lortu dira. Kirchhoff-enbigarren legea erabiliz.

V1121208

V0120120

V1128120

−=−=−=

=−=−=

=−=−=

CBBC

ACCA

BAAB

UUU

UUU

UUU

Adarren definizio ekuazioak erabiliz adarretako korronteak lortuko ditugu:

10Ω

6Ω

8ΩJ1 =12A

A B C

D=0

UAUB

UC

J2=26A4Ω10Ω

I4

I6

I1

I2I3

I5

I7

==

−=−==

==

−=+−=+−=

=−==

===

A0·

A14·112·

A12

A14120·2626

A2·8·

A1210

1·120·

61

6

81

81

5

24

101

73

41

41

2

101

1

AC

BC

B

A

UI

UI

JI

II

UI

UI


4.6 LOTURA MAGNETIKOAK DITUZTEN ZIRKUITUAK (1)

Metodo zirkularrak erabiliz ebazten dira. Zirkuitua ebazteko eman beharko diren urratsak, sareen metodoan edo oinarrizko eraztunen metodoan ikusi ditugun berdinak dira. Ala ere, zirkuituaren inpedantzien matrizea idazterako orduan hainbat berezitasun eduki beharko ditugu kontuan. Berezitasun horiek guztiak honako adibidearen bidez azalduko ditugu.

eg2(t)

eg1(t)

R1

R2

R3

L1D L2D

L3D

ia(t)ib(t)

ic(t)

M13D

M12D

M23D

+

+

Inpedantzien matrizearen idazketa:Mij(D)-ren itxurako gaiak agertzen dira. Magnetikoki lotuta dauden harilak dauzkaten i eta j adarren arteko lotura magnetikoa adierazten dutenak.i eta j adarretako tentsioek honako itxura dute:

)(D)(D)(

)(D)(D)(

tiLtiMtU

tiMtiLtU

jjij

jiii

+±=

±=

Non ±MijD gaiek loturaren elkarrekiko inpedantzia operazionala adierazten duten.• Gaiak + dira, korronteak ( sarekoak edo eraztunekoak) bi hariletara elkarrekiko puntuetatik sartzen badira ( puntu homologoak), edo bi hariletatik elkarrekiko puntuetatik irteten badira.• Gaiak - dira, korronteetako bat puntu homologotik sartzen bada eta bestea irten.

=

⋅

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)D()D()D(

)D()D()D(

)D()D()D(

c

b

a

cccbca

bcbbba

acabaa

teg

teg

teg

ti

ti

ti

ZZZ

ZZZ

ZZZ

c

b

a

Sareko inpedantziak:

++=

−++=

++=

D(D)Z

)D(2DD)D(

D)D(

321cc

23323

131

LRR

MLLRZ

RRLZ

bb

aa

Sareek elkarbanatutako inpedantziak:

)D()D()D( 13123 MMRZab −+−= M12 positiboa da sareko korronteak bi hariletan elkarrekiko puntuetatik sartzen direlako.

M13 negatiboa da sareko

korronteak ez direlako bi hariletan elkarrekiko puntuetatik sartzen.

)D()D( 131 MRZac +−= M13 positiboa da sareko korronteak bi hariletan elkarrekiko puntuetatik sartzen direlako.

)D(D)D( 233 MLZbc +−= M23 positiboa da sareko korronteak bi hariletan elkarrekiko puntuetatik sartzen direlako.

Matrize-sistema:

=

⋅

+++−+−

+−−++−+−

+−−+−++

)(

0

)(

DDDD

DDD2DDDD

DDDD

2

1

321233131

2332332313123

13113123131

teg

teg

i

i

i

LRRMLMR

MLMLLRMMR

MRMMRRRL

c

b

a

eg2(t)

eg1(t)

R1

R2

R3

L1D L2D

L3D

ia(t)ib(t)

ic(t)

M13D

M12D

M23D

+

+

4.6 LOTURA MAGNETIKOAK DITUZTEN ZIRKUITUAK (2)

4.7 MENDEKO ITURRIAK DITUZTEN ZIRKUITUAK (1)

Ikusitako edozein metodoren bidez ebatzi daitezke. Jarraian matrize-ekuazioaren eraldaketa egingo dugularik:

KORRONTEAREN MENDEKOA DEN TENTSIO-ITURRIA (r =TRANSERRESISTENTZIA)

ib

R1 R3

i2(t)

+

- r·i1(t)

R5R4 i4(t) i5(t)

R2

R6i6(t)

eg3(t)ia

ic

eg2(t)

eg1(t)

⋅+

⋅−

=

⋅

++−−

−++−

−−++

)(

)()(

)()(

6

13

11

65454

55322

42421

teg

tirteg

tirteg

i

i

i

RRRRR

RRRRR

RRRRR

c

b

a

⋅

−−

=

⋅−

⋅

−

=

⋅+

⋅−

c

b

a

a

a

i

i

i

r

r

teg

teg

teg

tir

tir

teg

teg

teg

teg

tirteg

tirteg

000

00

00

)(

)(

)(

0

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)()(

)()(

6

3

1

6

3

1

6

13

11

=

⋅

−+

⋅

++−−

−++−

−−++

c

b

a

c

b

a

i

i

i

r

r

i

i

i

RRRRR

RRRRR

RRRRR

000

00

00

65454

55322

42421

)(

)(

)(

6

3

1

teg

teg

teg

=

⋅

++−−

−++−−

−−+++

c

b

a

i

i

i

RRRRR

RRRRrR

RRrRRR

65454

55322

42421

)(

)(

)(

6

3

1

teg

teg

teg

Tentsioen bektorea eraldatuko dugu:

Aldaketa horiek matrize-ekuaziora eramanez:

Bigarren atala lehen atalera igaroz:

Korronteen bektorea biderkatzaile komuna bezala ateraz:

=

⋅

++−−

−++−

−−++

c

b

a

i

i

i

RRRRR

RRRRR

RRRRR

65454

55322

42421

⋅

−−

c

b

a

i

i

i

r

r

teg

teg

teg

000

00

00

)(

)(

)(

6

3

1

4.7 MENDEKO ITURRIAK DITUZTEN ZIRKUITUAK (2)

TENTSIO BATEN MENDEKO DEN TENTSIO-ITURRIAREN KASURAKO (µ : proportzionaltasun

konstantea)

Tentsioen bektoreak hartuko duen itxura:

Ekuazio sistemara eramanez eta 2. ataleko batugai negatiboa, 1. atalera ekarriz:

Korronteen bektorea biderkatzaile komuna bezala ateraz:

eg6(t)

eg1(t) ib

R1 R3

i2(t)

+- µ·Ua(t)

R5R4 i4(t) i5(t)

R2

R6i6(t)

eg3(t)ia

ic

Ua(t)

⋅+

⋅−

=

⋅

++−−

−++−

−−++

)(

)()(

)()(

6

3

1

65454

55322

42421

teg

tUteg

tUteg

i

i

i

RRRRR

RRRRR

RRRRR

a

a

c

b

a

µ

µ

)()()( 441 tiRtegtUa ⋅+=

ca iiti +−=)(4

caa iRtiRtegtU ⋅+⋅−= 441 )()()(

caa iRtiRtegtU ⋅⋅+⋅⋅−⋅=⋅ 441 )()()( µµµµ

Eta:

⋅

⋅−⋅

⋅⋅−

−

⋅+

⋅−

=

⋅⋅+⋅⋅−⋅+

⋅⋅−⋅⋅+⋅−

c

b

a

ca

ca

i

i

i

RR

RR

teg

tegteg

tegteg

teg

iRiRtegteg

iRiRtegteg

000

0

0

)(

)()(

)()(

)(

)()(

)()(

44

44

6

13

11

6

4413

4411

µµ

µµ

µ

µ

µµµ

µµµ

=

⋅

⋅−⋅

⋅⋅−

+

⋅

++−−

−++−

−−++

c

b

a

c

b

a

i

i

i

RR

RR

i

i

i

RRRRR

RRRRR

RRRRR

000

0

0

44

44

65454

55322

42421

µµ

µµ

⋅+

⋅−

)(

)()(

)()(

6

13

11

teg

tegteg

tegteg

µ

µ

=

⋅

++−−

⋅−−++⋅+−

⋅+−−⋅−++

c

b

a

i

i

i

RRRRR

RRRRRRR

RRRRRRR

65454

4553242

4424421

µµ

µµ

⋅+

⋅−

)(

)()(

)()(

6

13

11

teg

tegteg

tegteg

µ

µ

4.7 BIBLIOGRAFIA

• V.M. Parra Prieto eta beste hainbat, Teoría de Circuitos, Universidad Nacional de

Educación a Distancia. Madril 1990. VII.Gaia• E. Alfaro Segovia, Teoría de Circuitos y Electrometría. El autor, Madrid 1970.

IV. Kapitulua, 8, 9, eta 10 ikasgaiak.

• R.L. Boylestad, Análisis Introductorio de Circuitos, Prentice Hall 1995.

9.Gaia• A. Bruce Carlson, Teoría de Circuitos, Thomson, Madril 2002. 4.Kapitulua

• A. Gómez, J.A. Olivera, Problemas resueltos de Teoría de Circuitos, Paraninfo, Madril

1990. 2. Kapitulua

• J.A. Edminister, M. Nahvi, Circuitos Eléctricos (Problemas resueltos) McGraw Hill, Madril1997. 4.Kapitulua

• UNE 21302-131 Vocabulario Electrotécnico. 131. atala: Teoría de Circuitos.

4. Gaia:SAREEN ANALISIA · 2016-01-19 · dagoen edozein elementu aktibo zein pasibo zirkuitutik...

Documents

Transcript of 4. Gaia:SAREEN ANALISIA · 2016-01-19 · dagoen edozein elementu aktibo zein pasibo zirkuitutik...