UNIVERSIDAD NACIONAL SANTIAGO ANTUNEZ DE

MAYOLO

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA AGRÍCOLA

PROBABILIDAD

HUARAZ, 2015

DEFINICIÓN CLÁSICA DE PROBABILIDAD

La definición clásica de probabilidad fue dada por Laplace y se basa en el supuesto de que todos los resultados posibles de un experimento aleatorio son igualmente probables.

Es decir cada uno de los elementos del espacio muestral tienen la misma posibilidad de salir.Lic. Edgar Rugel

PROBABILIDAD DE UN EVENTO

La probabilidad de un evento A se define de la siguiente manera:

exp

Número de casos favorables en que ocurre AP A

Número de resultados posibles del erimento

n AP A

n

Lic. Edgar Rugel

AXIOMAS

1. 0 ≤ P(A) ≤ 12. Si P(A) = 0, entonces es un evento

imposible3. Si P(A) = 1, entonces es un evento

seguro4. Si P(A’) representa la no ocurrencia

del evento A, entonces: P(A) + P(A’) = 1.

Lic. Edgar Rugel

Ejemplo 1

Considere el experimento, evaluar el nivel de autoestima de tres adolescentes elegidos al azar de una comunidad. Calcular la probabilidad de que:

a) Ocurra exactamente un niño con baja autoestima.

b) Ocurra la menos dos adolescentes con baja autoestima.

c) Ocurra a los más dos adolescentes con baja autoestima.

Lic. Edgar Rugel

Solución:

El espacio muestral asociado al experimento es:

Ω = AAA, AAB, ABA, BAA, ABB, BAB, BBA, BBB, n(Ω) = 8

a) Sea el evento:

A: Ocurra exactamente un adolescente con baja autoestima.

Entonces; A = AAB, ABA, BAA; n(A) = 3

La probabilidad de que ocurra exactamente un niño malnutrido está dado por:

3

8

n AP A

n

Lic. Edgar Rugel

b) Sea el evento:

B: Ocurra al menos dos adolescentes con baja autoestima.

Entonces; B = ABB; BAB, BBA, BBB; n(B) = 4

La probabilidad de que ocurra al menos dos adolescentes con baja autoestima, está dado por:

4

8

n BP B

n

Lic. Edgar Rugel

c) Sea el evento:

C: Ocurra a los más dos adolescentes con baja autoestima.

Entonces,

C = AAA, AAB, ABA, BAA, ABB, BAB, BBA; n(C) = 7

La probabilidad de que ocurra a lo más dos adolescentes con baja autoestima está dado por:

7

8

n CP C

n

Lic. Edgar Rugel

Ejercicio 2

Si se lanza un dado 2 veces consecutivas, ¿Qué probabilidad hay de que:a)Resulten 7 puntos en total?b)Resulten 6 puntos sólo en la

segunda tirada?c) Resulten 7 puntos en total ó 6

puntos sólo en la segunda tirada?

d)Resulten 7 puntos en total y 6 puntos sólo en la segunda tirada?

Lic. Edgar Rugel

Solución:

El experimento aleatorio de lanzar un dado dos veces genera el siguiente espacio muestral:

Ω = (i, j)/ i, j = 1,2,3,4,5,6 = (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),

(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),

(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6), (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),

(6,5),(6,6)

El número de elementos equiprobables de Ω es:

n(Ω) = 6 x6 = 36

Lic. Edgar Rugel

a) Si el evento A: Resulta 7 puntos en total, entonces:

A = (1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3); n(A) = 6

Luego, la probabilidad de que ocurra A es el número:

b) Si el evento B: Resulta 6 sólo en la segunda tirada, entonces:

B = (1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,6); n(B) = 5

Por tanto, la probabilidad de que resulte 6 sólo en la segunda tirada es el número:

6 10.167

36 6

n AP A

n

50.139

36

n BP B

n

Lic. Edgar Rugel

c) El evento “resulta 7 puntos en total o 6 sólo en la segunda tirada” es:

AυB = (1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3),(2,6) ,(3,6),(4,6),

(5,6); n(AυB) = 10

Y su probabilidad de que ocurra este evento es el número:

100.278

36

n A BP A B

n

Lic. Edgar Rugel

d) El evento “resultan 7 en total y 6 sólo en la segunda tirada” es:

A∩B = (1,6); n(A∩B) = 1

Y la probabilidad de que ocurra este evento es el número:

10.0278

36

n A BP A B

n

Lic. Edgar Rugel

Ejercicio 3

Un hombre es zurdo y su mujer diestra. La pareja tiene dos niños cada uno de ellos tiene exactamente la misma probabilidad de ser zurdo que de ser diestro ¿Cuál es la probabilidad que los dos sean zurdos?

Lic. Edgar Rugel

Ejercicio 4

De 40 pacientes, 10 de ellos tienen enfermedad moderada. Si se toma un paciente al azar. ¿Cuál es la probabilidad que sea un paciente con enfermedad moderada?Solución:Sea el evento: A: Paciente con enfermedad moderada.* Casos favorables = 10* Casos posibles = 40Luego:

La probabilidad de elegir un paciente con enfermedad moderada es 25%.

100.25

40

Casos favorablesP A

Casos posibles

Lic. Edgar Rugel

Ejercicio 5

En una muestra aleatoria de 120 pacientes se encontró que 30 de ellos tienen cáncer ¿Cuál es la probabilidad de que un paciente elegido al azar:a)Tenga cáncerb)No tenga cáncer

Lic. Edgar Rugel

Ejercicio 6

De 20 personas que contrajeron cierta enfermedad al mismo tiempo y que fueron llevados a una misma sala de un hospital, 15 se recuperan completamente en 3 días, al cabo del cuál se escogen aleatoriamente 5 personas para su chequeo.

a) Cuál es la probabilidad de que los 5 sean dados de alta.

b) Cuál es la probabilidad de exactamente 4 sean dados de alta.

c) Cuál es la probabilidad de que ninguno sea dado de alta.

Lic. Edgar Rugel

Solución:

N = 20 pacientesn = 5 pacientes

El número de elementos del espacio muestral está dado por:

Se recuperan 15 pacientes

No se recuperan 5 pacientes

20 20! 20 19 18 17 16 15!15504

5 5!15! 5 4 3 2 1 15!n

Lic. Edgar Rugel

a) Sea el evento:

A: Los 5 sean dados de alta, entonces:

El número de elementos del evento A está dado por:

La probabilidad que 5 sean dados de alta está dado por:

15 15! 15 14 13 12 11 10!( ) = 3003

5 5!10! 5 4 3 2 1 10!n A

( ) 3003( ) = 0.1937

( ) 15504

n AP A

n

Lic. Edgar Rugel

b) Sea el evento:

B: Exactamente cuatro sean dados de alta.

El número de elementos del evento B está dado por:

La probabilidad que exactamente 4 sean dados de alta está dado por:

15 5 15! 5!( ) 6825

4 1 4!11! 1!4!n B

( ) 6825( ) = 0.4402

( ) 15504

n BP B

n

Lic. Edgar Rugel

c) Sea el evento:

C: Ninguna persona sea dado de alta.

El número de elementos del evento C está dado por:

La probabilidad que ninguna persona sea dado de alta está dado por:

5 5!1

0 0!5!n C

10.000064

15504

n CP C

n

Lic. Edgar Rugel

Ejercicio 7

Un banco de sangre dispone de 10 unidades de sangre de tipo A+ de ellas, cuatro están contaminadas con suero de hepatitis. Se seleccionan aleatoriamente tres de estas unidades para utilizarlas con tres pacientes diferentes. ¿cuál es la probabilidad de que los tres pacientes estén expuestos a contraer la hepatitis por esta causa?

Lic. Edgar Rugel

Ejercicio 8

Un científico tiene seis jaulas diferentes de ratas blancas en el animalario. De las seis jaulas, dos contienen algunas ratas enfermas.a) ¿Cuál es la probabilidad en una selección

aleatoria de tres jaulas que ninguna de las jaulas con animales enfermos sea seleccionada?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente una de las jaulas con animales enfermos sea seleccionada?

Lic. Edgar Rugel

REGLAS DE PROBABILIDAD

REGLA DE LA ADICIÓN PARA EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES

Si A y B son eventos mutuamente excluyentes entonces:

P(AυB) = P(A) + P(B)

Nota:P(AυB): Describe la probabilidad del evento de que ocurra por lo menos uno de ellos.

Lic. Edgar Rugel

1. Dados los eventos mutuamente excluyentes U y V para los cuales P(U) = 0.41 y P(V) = 0.36, determine:a) P(U’)b) P(V’)

c) P(U υ V) d) P(U ∩ V)e) P(U’ ∩ V’)

Problemas

Lic. Edgar Rugel

Solución:a) P(U’) = 1 - P(U) = 1 – 0.41 = 0.59b) P(V’) = 1 - P(V) = 1 – 0.36 = 0.64c) Si U y V son mutuamente excluyentes,

entonces:P(U υ V) = P(U) + P(V) = 0.41 + 0.36 = 0.77

d) Si U y V son mutuamente excluyentes, entonces: U ∩ V = Ø.Luego: P(U ∩ V) = P(Ø) = 0

e) P(U’ ∩ V’) = P[(U ∩ V)’] = 1 - P(U υ V) = 1 – 0.77 = 0.23

Lic. Edgar Rugel

2. Si c es el evento de que a las 9:30 a.m. cierto psicólogo este en su consultorio y D el evento de que esté en el hospital, P(C) = 0.48 y P(D) = 0.27. Determine P(C’ ∩ D’), que es la probabilidad de que el psicólogo no esté en el consultorio ni en el hospital.

Solución:

Lic. Edgar Rugel

3. De 200 niños examinados por una nutricionista se encontró que 80 padecían de desnutrición leve, 50 padecían desnutrición crónica y 70 normales. Si de los niños examinados se seleccionó uno al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que padezca de desnutrición leve o desnutrición crónica?

Solución:

Sean los eventos:

A: El niño padezca de desnutrición leve.

B: El niño padezca de desnutrición crónica.

C: El niño sea normal.Lic. Edgar Rugel

Luego las probabilidades para los eventos son:

Dado que es imposible que a un niño se le diagnostique a la misma vez desnutrición leve, desnutrición crónica, y que este normal, entonces los eventos A, B, C son mutuamente excluyentes.

Nos piden hallar:

P(A υ B) = La probabilidad de que el niño seleccionado padezca de desnutrición leve o desnutrición crónica.

80 50 70; ;

200 200 200P A P B P C

Lic. Edgar Rugel

Hay una probabilidad del 65% de que el niño seleccionado padezca de desnutrición leve o desnutrición crónica.

80 50

200 200130

2000.65

P A B P A P B

P A B

P A B

P A B

Lic. Edgar Rugel

4. La distribución de tipos de sangre en Estados Unidos entre los individuos de raza blanca es aproximadamente la siguiente:

A: 40%, AB: 4%, B:11%, O:45%

Tras un accidente de automóvil, un individuo de raza blanca es conducido a una clínica de urgencia. Se le hace un análisis de sangre para establecer el grupo a que pertenece. ¿cuál es la probabilidad de que sea del tipo A, o del B, o del AB?

Solución:

Sean los eventos:

A1: El paciente sea del grupo sanguíneo A.P(A1) = 0.40

A2: El paciente sea del grupo sanguíneo AB.P(A2) = 0.04

A3: El paciente sea del grupo sanguíneo B.P(A3) = 0.11

A4: El paciente sea del grupo sanguíneo O.P(A4) = 0.45

Lic. Edgar Rugel

Dado que es imposible que un individuo tenga dos grupos sanguíneos diferentes, entonces A1, A2, A3, y A4 son eventos mutuamente excluyentes.

Nos piden hallar:

P(A1 υ A2 υ A3) = La probabilidad de que el paciente sea del grupo sanguíneo A, o del AB, o del B.

Entonces:

P(A1 υ A2 υ A3) = P(A1) + P(A2) + P(A3)

= 0.40 + 0.04 + 0.11

= 0.55

Hay un 55% de posibilidades de que el paciente tenga uno de los tres grupos sanguíneos mencionados.

Lic. Edgar Rugel

5. La distribución del grupo sanguíneo de la raza negra en Estados Unidos es:

O: 49%, B: 20%, A:27%, AB: 4%

Si se lleva a una mujer de raza negra a clínica de urgencia ¿Cuál es la probabilidad de que sea del tipo A, B o AB?

Solución:

Lic. Edgar Rugel

REGLA DE LA ADICIÓN PARA EVENTOS NO MUTUAMENTE EXCLUYENTES

Si A Y B son eventos no mutuamente excluyentes, entonces:

P A B P A P B P A B

Lic. Edgar Rugel

Problemas

1. De 150 pacientes en una clínica, se encontró que 90 tenían retardo mental leve, 50 padecían de tifoidea y 30 tenían ambos padecimientos. Si se elige un paciente al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga uno u otro padecimiento?

Solución:

Sean los eventos:

A: Pacientes con retardo mental leve.

B: Pacientes con tifoidea.

A ∩ B: Pacientes con retardo mental leve y tifoidea.

Lic. Edgar Rugel

Sean las probabilidades:

Debemos calcular = ¿?

La probabilidad de que tenga uno u otro padecimiento es de 73%.

90 50 30; ;

150 150 150P A P B P A B

P A B

90 50 30 110

150 150 150 1500.73

P A B P A P B P A B

P A B

P A B

Lic. Edgar Rugel

2. Una persona entra a una farmacia. La probabilidad de que compre desenfriol es 0.60, mejoral 0.50 y de que compre ambos medicamentos es de 0.30 ¿cuál es la probabilidad de que compre desenfriol o mejoral?.

Solución:

Lic. Edgar Rugel

3. Un grupo de 150 niños salieron de excursión a la ciudad del Cuzco, pero se dieron con la sorpresa que por esa época invadía a aquella ciudad la fiebre amarilla y el sarampión. La probabilidad de el grupo adquiera la fiebre amarilla es de 40% de que adquiera el sarampión un 80% y de que adquiera ambas enfermedades un 30% . ¿Cuál es la probabilidad de adquirir fiebre amarilla o sarampión?

Solución:

Lic. Edgar Rugel

4. Se estima el 30% de los habitantes de un país, son obesos (A) y que el 3% sufre de diabetes (B). El 2% son obesos y sufren de diabetes. ¿cuál es la probabilidad de que una persona aleatoriamente elegida sea obesa o sufra de diabetes?

Solución:

Lic. Edgar Rugel

5. En un estudio de las necesidades futura de una comunidad, D representa el evento de que habrá suficientes médicos y H denota el evento de que habrá suficientes camas de hospital. Exprese con palabras que probabilidades son expresadas por:

a)P(D’)

b)P(H’)

c)P(D U H)

d)P(D ∩ H)

e) P(D’ ∩ H’)

f) P(D ∩ H’)Lic. Edgar Rugel