39 Simulacion de sistemas dinamicos Métodos de integración de un solo paso 1.
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Simulacion de sistemas dinamicos
Métodos de integración de un solo paso
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Contenido
Análisis del error por truncado
Metodos de Runge–Kutta
Un ejemplo de Modelado y simulación
Modelado vs. simulación
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ANÁLISIS DEL ERROR POR TRUNCADO
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Consideremos el algoritmo de integración numérica explícito:
El algoritmo
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predictor:
corrector:
Combinando las ecuaciones, se obtiene
Un solo paso corrector
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La serie de Taylor en dos dimensiones de primer orden es
Serie de Taylor multidimensional
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Entonces
Jacobiana del sistema
Aplicando este resultado al algoritmo se obtiene
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Considerando la serie de Taylor truncada después del término cuadrático,
La serie de Taylor de segundo orden
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donde
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Comparando resultados,
Comparando resultados
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Algoritmo predictor-corrector
Truncado de Taylor de segundo orden
El resultado es casi el mismo
Sólo difiere en el factor 2 en el término cuadrático
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Comparando las dos aproximaciones, el Euler directo y el predictor-corrector:
Combinación de los dos algoritmos
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Combinando los dos algoritmos se tiene
El algortimo resultante es equivalente a una aproximación de truncado de segundo orden de la serie de Taylor
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Esto es,
Combinación de los dos algoritmos
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Este es el método de integración numérica denominado algoritmo de integración de Heun
predictor:
corrector:
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Algoritmo de integración de Heun
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Equivalente a una aproximación de segundo orden, el error es del orden de h2
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METODOS DE RUNGE–KUTTA
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•Algoritmos de Runge-Kutta de orden dos
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El metodo de Heun utiliza un paso de Euler directo como predictor y luego una mezcla de Euler directo e inverso como corrector.
Generalización del método de Heun
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Inicialmente, consideremos un solo término corrector, pero esta vez parametrizando como sigue
predictor:
corrector:
La idea es generalizar el método
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Generalización del método de Heun
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predictor:
corrector:
α1 : representa el tiempo en el que se evalúa la predicción
β21 : Peso o fracción de la derivada en el tiempo tk
β22 : Peso o fracción de la derivada en el tiempo tk+α1
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Agrupando términos, como antes, y desarrollando en serie de Taylor, obtenemos:
Generalización del método de Heun
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Que puede ser comparada con la verdadera expansión de Taylor truncada después del término cuadrático
Comparando las ecuaciones resultan condiciones sobre los parámetros desconocidos
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Condiciones generales que garantizan que el resultado es un algoritmo con exactitud de segundo orden
Condiciones sobre los parametros
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Existen entonces infinitos algoritmos de este tipo. El metodo de Heun puede caracterizarse por:
α2 representa representa el tiempo en el que se evalúa la
corrección, que debe ser siempre 1
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El método de Heun
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etapa 0
En el método de Heun la estimación del estado se realiza en tres etapas
etapa 1
etapa 2
Evaluacion de la derivada 1 en el instante α0 = 0
Evaluacion de la derivada 2 en el instante α1 = 1
Peso en la etapa 1 de la derivada 1: β11 =1
Estimado de x
Peso en la etapa 2 de la derivada 1: β21 = 0.5
Peso en la etapa 2 de la derivada 2: β22 = 0.5
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En muchas referencias los distintos metodos se representan en la forma denominada tabla de Butcher del metodo:
Tabla de Butcher del metodo de Heun
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Instantes de tiempo de cada etapa: α’s
Pesos usados de las derivadas
para la estimacion de x
Tabla de Butcher del metodo de Heun
etapa 0
etapa 1
etapa 2
Evaluación de la derivada 1 en el tiempo t* ( α0 = 0)
Evaluación de la derivada 2 en el tiempo t* + h (α1 = 1) usando el valor predicho en la etapa
Pesos para la prediccion en la etapa 1
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Otro algoritmo de dos etapas y de segundo orden muy utilizado es el metodo del punto medio explicito, caracterizado por:
Método del punto medio explícito
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caracterizado por:
predictor:
corrector:
Un cero adicional, comparado con el método de Heun
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Método del punto medio explícito
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Predicted value of x(ti+1)
x(t)
tti ti+1
Dt/2
Actual value of x(ti+1)
Dt/2
Line with slope f(xi,ti)
ti+1/2
Predicted value of xi+1/2
Predicted value of x(ti+1)
Line with slope f(xi+1/2,ti+1/2)
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Método del punto medio explícito
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Tabla de Butcher del metodo del punto medio explicito
Un cero adicional, comparado con el método de Heun
El método es un poco más económico que el algoritmo de Heun, porque su tabla de Butcher contiene un cero adicional
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•Algoritmos de Runge-Kutta de orden cuatro
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El algoritmo mas conocido es el de Runge–Kutta de orden cuatro (RK4) caracterizado por:
Runge-Kutta de orden cuatro explícito
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La idea:
El RK4 es entonces un algoritmo explícito de cuarto orden de exactitud de un solo paso
Implementar un sistema predictor-corrector,
Comparar con un truncado de orden cuatro de la serie de Taylor
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Runge-Kutta de cuarto orden explícito
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ti ti + h/2 ti + h
k1
k2
k3
k4
)( 4321 kk2k2k6
1
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Implementación del algoritmo
Runge-Kutta de cuarto orden explícito
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El algoritmo tiene cuatro etapas
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Runge-Kutta de cuarto orden explícito
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Tabla de Butcher del algoritmo RK4
El RK4 es particularmente atractivo debido a los muchos ceros en su tabla de Butcher
Cada paso del método está constituido por cuatro micro-pasos, dos de longitud h/2, y dos de longitud cero
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•Algoritmos de Runge-Kutta de orden mayor
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La idea puede ser generalizada añadiendo más etapas. El algoritmo Runge-Kutta explícito general puede ser descrito como sigue:
Algoritmos de Runge-Kutta de orden mayor
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etapa 0
etapa j
última etapa
donde l es el número de etapas
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Ejercicio
Algoritmos de Runge-Kutta de orden mayor
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Construir la tabla de Butcher para los algoritmos de Runge-Kutta explicitos de orden mayor
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DOMINIO DE ESTABILIDAD DE LOS ALGORITMOS RK EXPLÍCITOS
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Todos los metodos de RK vistos hasta ahora son explicitos
Iteración de punto fijo
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es de esperar, entonces, que sus dominios de estabilidad sean similares al del algoritmo de Euler directo
Es decir, el contorno de estabilidad marginal se encuentre dentro del
semiplano izquierdo del plano (λ·h)
A continuación estudiamos los dominios de estabilidad considerando el caso de un sistema lineal
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Aplicando el algoritmo de Heun a un sistema lineal:
Matrix F equivalente para el método de Heun
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corrección:
prediccion:
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Los algoritmos deben aproximar la solución analítica:
Matrix F equivalente para órdenes mayores
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La aproximación a la solución analítica corresponde con el orden de aproximación del método
En consecuencia, todos los métodos de orden n en n etapas tienen dominios de estabilidad idénticos
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Dominios de estabilidad de los métodos RK explícitos
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Dominios de estabilidad para los métodos RK explícitos RK1, RK2, RK3, y RK4
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CONCLUSIONES
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Todos los algoritmos RK directos son algoritmos multi-etapa que requieren evaluaciones internas de la función
Conclusiones
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Con excepción del algoritmo Euler directo (RK1)
Ningún algoritmo RK directo reserva alguna información entre los pasos. Es decir, en cada nuevo paso todo se inicia de nuevo
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Los algoritmos RK directos están entre los más usados como solvers el mercado de hoy
Conclusiones
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Para la mayoría de los problemas de ingeniería, los algoritmos RK4 directos ofrecen un buen compromiso entre exactitud y economía en la simulación de un solo paso
Los algoritmos RK4 directos usualmente ofrecen control del tamaño del paso. Es decir, ajustan el tamaño del paso de un paso integración a otro
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Fuentes
Cellier, F.E. and E. Kofman (2006), Continuous System Simulation, Springer-Verlag, New York
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FIN
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