3-Solicitacion Por Torsion en Regimen Elastico Revision 2015 (1)

UTN. BA - ING CIVIL – RESISTENCIA de MATERIALES – ING J.E. MARCO REV. 2015

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SOLICITACIÓN POR TORSION EN REGIMEN ELASTICO. 1-Hipótesis utilizadas El presente trabajo se desarrolla bajo las siguientes hipótesis: El material constitutivo del cuerpo es continuo, homogéneo, isótropo y elástico. Continuo: Implica que colma la totalidad del volumen que ocupa. Cada punto tiene otro infinitamente próximo en toda dirección. Esta hipótesis permite la aplicación del cálculo diferencial. Homogéneo: Todos los puntos presentan iguales propiedades. Isótropo: El material presenta igual comportamiento en toda dirección. Elástico: Desaparecida la tensión desaparece la deformación. Las secciones transversales analizadas se encuentran lo suficientemente alejadas de aquellas donde se aplica el estado de carga, no resultando afectadas por la forma en que dicho estado se aplica ni tampoco por discontinuidades geométricas de la pieza (Principio de Saint Venant). Análisis lineal: implica el cumplimiento simultáneo de las siguientes tres hipótesis: 1-Hipótesis de linealidad mecánica: Las tensiones son proporcionales a las deformaciones hasta la tensión de fluencia. (Ley de Hooke). 2-Hipótesis de linealidad cinemática: Luego de la deformación, los corrimientos experimentados por los puntos del cuerpo que se analiza, resultan pequeños frente a sus dimensiones. Por otra parte el ángulo de rotación (expresado en radianes) experimentado por cualquier segmento definido entre dos puntos infinitamente próximos del cuerpo, es lo suficientemente pequeño para que resulte aproximadamente igual al seno y a la tangente y el coseno tienda a la unidad. (puede comprobar el lector que un ángulo de 1° cumple la hipótesis pero un ángulo de 45° no la cumple) 3-Hipótesis de linealidad estática: Las ecuaciones de equilibrio pueden plantearse en la estructura no deformada. (Teoría de primer orden). El cumplimiento simultáneo de las tres hipótesis habilita la aplicación sin restricciones del PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN DE EFECTOS. El principio establece que: Si sobre una estructura actúan varios estados de causa deformante, cualquier efecto que provoquen en forma conjunta es igual a la suma del efecto provocado por cada uno de ellos actuando separadamente, independientemente del orden en que actúen. Como caso particular importante del principio resulta que: Si para una causa de valor A el efecto es de valor B entonces si la causa adopta valor nxA el efecto resulta de valor nxB. Los sistemas de fuerzas actuantes crecen lentamente hasta su valor final (acción estática).


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2- Análisis de barras de sección transversal circular. En lo que sigue se considera una barra de sección circular maciza (es posible extender los resultados a la sección con forma de anillo). La barra es de eje recto, de sección transversal constante y se encuentra constituida por un material de módulo de elasticidad transversal G también constante. Además las infinitas secciones transversales se encuentran solicitadas exclusivamente por torsión. Gráficamente:

Para el caso analizado, existe una hipótesis particular respecto de la deformación que se enuncia a continuación: Hipótesis de Coulomb. Las secciones transversales inicialmente planas y circulares continúan siéndolo luego de la deformación, rotando entre sí en forma relativa respecto del eje de la barra sin experimentar corrimientos longitudinales. La hipótesis planteada tiene sustento experimental. Como las rotaciones se encuadran dentro de la linealidad cinemática, las generatrices del cilindro inicialmente rectas permanecen rectas luego de la deformación. Análisis conceptual del estado tensional. La hipótesis enunciada garantiza que en cada punto de la sección transversal solo se generen tensiones tangenciales de dirección perpendicular al radio con crecimiento lineal desde el baricentro hasta el borde exterior. Gráficamente:

1-No es posible la existencia de tensiones tangenciales de dirección radial pues dejaría de cumplirse sobre la superficie exterior de la barra (que se encuentra libre de tensiones) el teorema de reciprocidad de tensiones tangenciales de Cauchy.

2-Tampoco pueden existir tensiones normales pues existirían corrimientos longitudinales de los puntos de la sección transversal incompatibles con la hipótesis de Coulomb.


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Análisis Se extrae de la barra indicada en la Figura 1, un elemento de longitud diferencial ubicado a distancia Z del extremo empotrado y se analiza una vez ocurrida la deformación:

Aplicando la ecuación de equivalencia entre el momento torsor y las tensiones tangenciales se tiene:

Comentarios: 1- De la expresión de deformación surge que: en el caso que el momento torsor resulte constante a lo largo del eje de barra, entonces el ángulo específico o unitario de torsión también resulta constante. 2- El producto G.IPG recibe el nombre de rigidez a torsión. En general, dicho término se designa como G.J donde J es el módulo de torsión. Si bien para la sección circular coincide con el momento de inercia polar baricéntrico, el mismo presenta una expresión particular para cada tipo de sección transversal. Lo expresado se analiza en lo que sigue. 3- Observando la expresión de resistencia se concluye que cuando r = R la tensión tangencial resulta máxima. Es decir,

Wt es el módulo resistente a torsión.


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Expresiones del módulo de torsión (J) y del módulo resistente (Wt) para la sección circular

A continuación se analiza mediante un ejemplo práctico, que ocurre cuando la sección transversal se encuentra compuesta por más de un material. Ejemplo N°1: Para la barra empotrada graficada a continuación se solicita determinar el giro en la sección B y las tensiones en la sección transversal.

τbronce = 4 Kn/cm2 Gbronce = 4100 Kn/cm2 JBr = π (204-104) cm4 / 32 = 14726,215 cm4

τaluminio = 1.8 Kn/cm2 Galuminio = 2600 Kn/cm2 Jal = π (104) cm4 / 32 = 981.7477 cm4

Para la resolución del problema es necesario tener presente que el ángulo específico de torsión debe resultar único para todos los elementos constitutivos de la sección transversal. Entonces:

θ’ = Mt / (Gbr. Jbr + Gal. Jal)

θ’=2000Kncm/[(4100kN/cm2.14726,215cm4+2600kN/cm2.981.7477cm4)]= 3.178133.10-5rad/cm Cálculo de giro en B:

θ A = 0 θ B = θ A + θ’ .100 cm = 0.003178133 rad Distribución del momento torsor en ambos materiales y cálculo de tensiones: Mt bronce = θ’. (G.J) bronce = 3.178133.10-5/cm. 4100 Kn/cm2 *.14726.215 cm4 = 1918.88 Kncm Mt aluminio = θ’. (G.J) aluminio = 3.178133.10-5/cm .2600 kN/cm2.981.7477 cm4 = 81.12 Kncm Se verifica que: Mt = Mt bronce + Mt aluminio = 2000KNcm


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3- Análisis de la sección transversal de forma rectangular. Aclaración importante: Para la sección transversal que se analiza, la hipótesis de Coulomb no se cumple, dado que las secciones transversales se alabean (experimentan corrimientos longitudinales). El estudio no es posible dentro del campo de la resistencia de materiales y es necesario recurrir a la teoría matemática de la elasticidad. Resultados del análisis. En lo que sigue sólo se indican los resultados que se obtienen haciendo uso de la teoría matemática de la elasticidad por escapar su desarrollo el alcance del presente trabajo. 1-Expresión de resistencia:

τmáx = Mt / Wt

En este caso se debe conocer la expresión de Wt (módulo resistente a torsión) para definir la tensión tangencial máxima. Dicho valor resulta función de la relación de lados tal como se indica


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2-Expresión de deformación:

θ’ =ángulo específico de torsión= Mt / (G*J)

En este caso es necesario conocer cómo se determina J (módulo de torsión). Dicho valor resulta, para la sección rectangular analizada, función de la relación de lados tal como se indica a continuación:

Análisis cualitativo de la distribución de tensiones en la sección rectangular mediante analogías Antes de iniciar el desarrollo se indica el concepto de “analogía”. Dos problemas físicos de naturaleza distinta se dicen análogos cuando para su resolución arrojan la misma tipología de ecuaciones diferenciales. A continuación se comentan brevemente dos analogías que describen conceptualmente el régimen de tensiones en la sección transversal solicitada por torsión. Analogía hidrodinámica. Compara el problema de torsión con el movimiento plano de un fluido incompresible y no viscoso en régimen estacionario. El tubo que aloja el fluido es de igual sección que la analizada y de longitud suficientemente grande como para no alterar el resultado. Comparación: Luego de agitar el fluido (equivalente a aplicar el momento torsor) y esperar la estabilización del proceso (régimen estacionario) se concluye que: Las líneas de corriente del fluido son análogas al flujo de tensiones. La velocidad de circulación de las partículas es análoga en módulo, dirección y sentido con las tensiones. Cuando la sección de pasaje del fluido disminuye, la velocidad aumenta y análogamente ocurre con la tensión. En determinado punto analizado, toda partícula que pasa por el mismo presenta la velocidad definida para dicho punto, situación análoga ocurre con la tensión en un punto.


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La velocidad de partículas resulta tangente al contorno y lo mismo ocurre con las tensiones. En los ángulos convexos la velocidad de circulación del fluido es nula. Lo mismo ocurre con las tensiones. (Principio de reciprocidad de las tensiones tangenciales de Cauchy). Todo lo indicado se grafica a continuación en términos de líneas de corriente, flujos de tensiones y diagramas de tensiones.

Analogía de la membrana Prandtl La analogía de la membrana permite visualizar la magnitud de la tensión tangencial originada por la torsión en cualquier punto de la sección transversal y permite estimar el módulo de torsión (J) de dicha sección. Procedimiento En la tapa de un recipiente hermético (una caja) se recorta la forma de la sección transversal a estudiar. Se recubre la forma seccional con una membrana (por ejemplo una película jabonosa o bien una lámina fina de latex) y se somete al recipiente a determinada presión. Bajo dicho procedimiento se establecen las siguientes analogías con el problema de torsión: La presión es análoga con el momento torsor. El volumen encerrado por la membrana y el plano de la sección en estudio es análogo al módulo de torsión (J). La pendiente de la recta tangente en cada punto de la membrana es análoga con la tensión tangencial.


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Graficando:

4- Análisis de secciones transversales de pequeño espesor (pared delgada) Dentro de este ítem se analizan las secciones transversales determinadas abiertas (ejemplos clásicos son los perfiles laminados IPN, UPN y ANGULOS) y también aquellas consideradas cerradas (tubos circulares, rectangulares, cuadradas entre otras formas). Cada caso se evalúa de forma distinta tal como a continuación se desarrolla. 4-1) Sección transversal abierta de pequeño espesor. En este caso se estudian los perfiles laminados, pudiéndose extender su resultado a otras secciones transversales de pequeño espesor. Sea un IPN 160 solicitado por un momento torsor Mt de 5Knm y G=80000 Mpa.

El régimen de tensiones puede ser obtenido considerando la sección como un conjunto de rectángulos todos ellos de relación h/b→∞ y teniendo muy presente que el ángulo específico de torsión debe ser único para que todos los elementos de la sección analizada. Para el caso que h/b→∞ resultan α= β = 1/3 (ver tabla)


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θ’= Mt / (G.J) = Mt ala / ( G. Jala) = Mt alma / ( G. Jalma) = 500Kncm/ ( 8000Kn/cm2 * 5.405 cm4) = 0.011563367 rad/cm Mt ala = Mt . Jala / J = 500 Kncm . 2.1148 cm3 / 5.405 cm4 = 195.634 Kncm Mt alma = Mt . J alma / J = = 500 Kncm . 1.17522 cm3 / 5.405 cm4 = 108.716 Kncm Se debe cumplir que Mt = Mt ala + Mt alma + Mt ala , es necesario realizar esta verificación antes de continuar.

Mt = 2*Mtala + Mt alma = 500 Kncm Para determinar la tensión tangencial máxima de cada uno de los rectángulos se debe realizar:

τmáx ala = Mt ala = Mt . Jala = Mt . 1/3 bf tf3 = Mt . tf = 87.88 Kn/cm2. Wt ala J .1/3 bf tf2 J 1/3 bf tf2 J

τmáx alma = Mt alma = Mt . J alma = Mt . 1/3 b tw3 = Mt . tw = 58.27 Kn/cm2. Wt alma J .1/3 b tw2 J 1/3 b tw2 J

Conclusiones: 1 La mayor tensión tangencial ocurre en las alas por resultar más rígidas que el alma. Esta situación se da sistemáticamente en perfiles laminados de acero. 2 Si se tiene en cuenta que la tensión tangencial admisible del acero F24 es del orden de 9 kN/cm2, el perfil sólo podría ser torsionado por un momento del orden del 10% del aplicado en el presente ejemplo Mtadm=0.5Knm.

En definitiva los perfiles abiertos no son aptos para resistir torsión.


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4-2) Sección transversal cerrada de pequeño espesor El problema planteado responde a la teoría general de recintos simplemente conexos de pared delgada.

Antes de iniciar el desarrollo analítico se indican algunas cuestiones conceptuales: a) si se aplica la analogía de la membrana al caso en estudio, se observa que la pendiente de la recta tangente a la membrana es constante en el espesor. Por este motivo puede afirmarse que las tensiones tangenciales consecuencia de la torsión resultan constantes en el espesor y además se consideran tangentes a la línea media.

b) si bien para la sección circular de pequeño espesor se cumple la hipótesis de Coulomb y por lo tanto las secciones no alabean ( no experimentan corrimientos longitudinales ), ocurre que en otras formas seccionales que conforman recintos cerrados de pequeño espesor el alabeo puede considerarse despreciable. Lo enunciado puede observarse en las tablas de perfiles. En ella los perfiles laminados (secciones abiertas de pared delgada) indican una propiedad geométrica de la sección transversal denominada módulo de alabeo (CW) ver última columna de la tabla. A diferencia, dicho parámetro no se indica para los tubos estructurales de forma rectangular y cuadrada, dicha propiedad geométrica no se indica (no confundir CW con C: constante torsional que es equivalente al módulo resistente a torsión. El módulo de alabeo se indica en la tabla en cm6 y la constante torsional en cm3). c) Teniendo en cuenta que la tensión tangencial es constante en el espesor del recinto cerrado, si se corta el recinto en dos puntos con planos de normal coincidente con la tangente a la línea media en cada punto de corte y se analiza una franja diferencial de ancho dz se tiene:

Planteando equilibrio de fuerzas sobre el eje longitudinal se tiene:

τ1. e1.dz – τ 2.e2.dz = 0

Entonces τ1. e1 = τ 2.e2


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Como los puntos adoptados fueron adoptados sin ninguna particularidad, es posible extender el resultado a los infinitos puntos ubicados sobre la línea media, resultando:

τ (l) .e(l) = cte Esta expresión indica que: la tensión crece a medida que el espesor disminuye. Interpretando el resultado desde la analogía hidrodinámica a medida que la sección de pasaje del fluido disminuye, la velocidad de las partículas aumenta, manteniéndose constante el caudal (caudal=sección x velocidad). Expresados los conceptos se determina a continuación el régimen de tensiones y el ángulo específico de torsión. Régimen de tensiones (Primera fórmula de Bredt) En este caso se plantea la equivalencia entre el momento torsor y las tensiones tangenciales.

En un punto A cualquiera ubicado sobre la

línea media, se toma la τ(l) que es constante en el espesor e(l) y tangente a dicha línea media. Se considera un dA en el entorno de A de valor dA = e(l).dl. Se reduce el sistema de fuerzas generado por las tensiones tangenciales a un punto O arbitrario.

En este caso las proyecciones de proyección de fuerzas no son de utilidad, entendiéndose que la resultante de fuerzas debe resultar nula pues la sección sólo se encuentra torsionada. Si resulta de utilidad la ecuación de momento y la misma se plantea como:

Mt = ∫L τ (l) . e(l) . OA(l) . dl como se sabe τ (l).e(l) = cte. y por lo tanto se puede indicar fuera del signo de la integral:

Mt = τ (l) . e(l) . ∫L OA(l) . dl Si se tiene en cuenta que el producto OA(l) . dl representa el doble del área encerrada por el triángulo elemental OBC y que además la sumatoria de todos los triángulos elementales OBC representan el área encerrada por la línea media se tiene finalmente que:

∫L OA(l) . dl = 2 Ω siendo Ω el área encerrada por la línea media, finalmente: Mt = τ (l) . e(l) . 2 Ω

τ (l) = Mt / (2 Ω . e(l) )


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Teniendo en cuenta la ecuación, la tensión tangencial es máxima cuando el espesor es mínimo. Entonces:

τmáx = Mt / (2 Ω . emín)

La expresión anterior puede escribirse como τmáx = Mt / Wt en dónde Wt = 2. Ω. emín. Lo expresado sólo tiene por objeto poder crear la idea que, independientemente de la forma

seccional que se trate la expresión de la tensión tangencial máxima es τmáx= Mt / Wt Lógicamente Wt tiene distintas expresiones en función del caso que se trate. Se aclara que en la tabla de perfiles CIRSOC para tubos estructurales el modulo resistente se encuentra tabulado con el nombre de constante torsional (C) Ángulo específico de torsión (Segunda fórmula de Bredt). En este caso es necesario hacer uso del principio de equivalencia entre el trabajo de las fuerzas exteriores y la energía de deformación:

We = U El trabajo de las fuerzas exteriores teniendo en cuenta que θ’= dθ/dz, resulta:

We = ½ Mt .θ’. dz La energía de deformación asociada al volumen analizado es:

U = ∫v ½ τ (l) . γ (l). dV = ∫L ½ (τ2(l) / G ). e(l) . dl . dz

U = ∫L ½ (Mt2 / 4 Ω2. e2

(l) ) / G . e(l) . dl . dz

Dado que dz no depende de la variable l se puede escribir:

U = ½ Mt2 . dz . ∫l dl / e(l) G . 4 . Ω2

Igualando el trabajo exterior con la variación de energía de deformación se tiene:

We = U ⇒ ½ Mt . θ’. dz = ½ Mt2. dz ∫l dl / e(l) G . 4 . Ω2

Operando: θ’= Mt / G . [(4 . Ω2 ) / ∫l dl / e(l)]

Dando a la expresión anterior la forma habitual, se tiene: θ’= Mt / ( G . J ) Entonces J resulta en este caso: J = 4 . Ω2 / (∫l dl / e(l)) A efectos de indicar cómo se opera con la última expresión, se calcula J para dos formas seccionares habituales:


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Tubo circular de pared delgada:

e = cte = es el espesor y D = es el diámetro medido sobre la línea media. J = 4 . Ω2 / (∫l dl / e(l)) y Ω = π . D2/4 ⇒ Ω2 = π2.D4/16 ∫l dl / e(l) = π . D/e reemplazando y operando: J = π . D3 . e/ 4

En este caso por tratarse de una sección circular J coincide con IPG (momento de inercia polar baricéntrico) determinado bajo el concepto de línea pesada, coincidente la misma con la línea media. Sección rectangular de pared delgada:

J = 4 . Ω2 / (∫l dl / e(l))

Ω = a.b ⇒ Ω2 = a2.b2 ∫l dl / e(l) = ( b/e1 + a/e2 + b/e3 + a/e4) Reemplazando: J = 4 . a2.b2/ ( b/e1 + a/e2 + b/e3 + a/e4)

Ejemplo número 2: Para la estructura construida en acero ( G = 80000 MPa τ adm = 90 MPa ) que se indica a continuación se solicita:

a) determinar el momento torsor admisible Mtadm. b) Calcular para Mtadm el giro en la sección D.

Dado que se trata de una estructura isostática (es una barra empotrada en un extremo) el diagrama de Mt es constante e igual a Mtadm.


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Primero obtenemos el Mtadm de cada forma seccional y se adopta el menor valor. Sección circular maciza D = 15 cm

τ máx = Mt / Wt ⇒ Mt adm = τ adm .π. D3/ 16 Mt adm = 9 kN / cm2 . π. (15 cm)3/ 16 Mt adm = 5964.12 Kncm

Sección tubo 10*10*0.635 cm

Se aplica teoría de sección transversal cerrada de pequeño espesor:

τ máx = Mt / Wt ⇒ Mt adm = τ adm . 2.Ω.e Mt adm = 9 Kn / cm2 . 2. (9.365 cm)2 . 0.635 cm Mt adm = 1002.45 Kncm

Perfil ángulo 10*10*0.635 cm

Se aplica teoría de sección transversal abierta de pared delgada.

τ máx = Mt / Wt ⇒ Mt adm = τ adm . Wt

Mt adm = 9 Kn / cm2. (1/3.9.52 cm.(0.64cm)2 + 1/3.10.16cm. .(0.64cm)2) Mt adm = 24.18 Kncm

Obsérvese como Mt adm decrece bruscamente en el perfil abierto de pared delgada. Finalmente Mt adm queda fijado por dicha forma seccional ⇒ Mt adm = 24.18 Kncm Ahora se calcula θD para Mt adm

θA = 0 sección empotrada.

θB = θA + θ’AB . 2m = 24.18 Kncm . 200cm = 1.2163*10-4 rad 8000 Kn /cm2π(15cm)4/32

θC = θB + θ’BC . 2m = 1.2163*10-4 rad + 24.18 Kncm . 200cm 8000 Kn/cm24. (9.365 cm)4/ (4.9.365cm/0.635cm) θC = 1.2163*10-4 rad + 1.159*10-3 rad = 1.28063* 10-3 rad.

θD = θC + θ’CD . 2m = 1.28063* 10-3 rad + 24.18 Kncm . 200cm 8000Kn/cm2.[1/3.9.52cm.(0.64cm)3+1/3.10.16cm.(0.64cm)3]


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θD = 1.28063* 10-3 rad + 0.35145 rad = 0.3527 rad. = 20.21°

θD no puede considerarse una pequeña rotación, es decir no se cumple con la hipótesis de la linealidad cinemática. El Mt admisible debería disminuirse hasta cumplir efectivamente con la hipótesis señalada. Queda a criterio del lector recalcular Mt adm para lograr el objetivo perseguido Ejemplo número 3: Para la estructura indicada a continuación que presenta J=cte y G=cte se solicita determinar las reacciones de vínculo externo y trazar el diagrama de momentos torsores.

Se trata de un sistema hiperestático de primer grado. Es necesario plantear además de la ecuación de equilibrio de Mz una ecuación de compatibilidad de deformaciones. A continuación se suponen las reacciones de vínculo y se representa un posible diagrama de momentos torsores:

Planteo de la ecuación de compatibilidad de deformaciones: θA = 0 sección empotrada. θB = θA + θAB . b = (1- α) Mt. b G. J θC = θB - θ’BC . a = (1- α) Mt. b - α. Mt. a G. J G. J Como θC = 0 (sección empotrada) y G.It =cte (ver enunciado) se tiene: (1- α) Mt. b - α. Mt. a = 0 simplificando Mt (1- α). b - α. a = 0

α.b + α. a = b entonces α = b/l El resultado obtenido indica que las reacciones de vínculo se distribuyen en forma inversa a las longitudes parciales a y b ( siempre que G.J = cte ). La distribución de reacciones es análoga a lo que ocurre en una viga simplemente apoyada (isostático) cargada con una fuerza vertical, tal como se muestra a continuación:


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Se aprovecha para indicar, como consecuencia de lo hasta aquí desarrollado, la distribución de reacciones para el caso hiperestático que se grafica en lo que sigue (EA=cte) :

Queda a criterio del lector resolver el problema original en la condición JAB = 2 JBC y G=cte en toda la barra. Ejemplo número 4: Para el recinto múltiplemente conexo de la figura solicitada por Mt 500 Knm y construido en acero ( G = 8000 Kn/cm2 ) se solicita:

a) determinar el ángulo específico de torsión b) determinar el régimen de tensiones tangenciales.

Se considera la sección transversal conformada por dos recintos simplemente conexos Recinto 1 J1 = 4Ω12 / ∫L dl/e(l)

Ω1 = (49.365 *73.73)cm2 = 3639.68145cm2 ∫L dl/e(l) = ( 2*49,365/1.27 + 73.73/1.27 + 73.73/2.54) = 164.8228346 J1 = 321491.4 cm4

Recinto 2 J2 = 4Ω2 / ∫L dl/e(l) Ω2 = (74.365 *73.73)cm2 = 5482.93145 cm2 ∫L dl/e(l) = ( 2*74.365/1.27 + 73.73/2.54 + 73.73/1.27 ) = 204.1929134 J2 = 588904.6155 cm4

a) determinación el ángulo específico de torsión θ’. Los dos recintos deben experimentar la

misma rotación por unidad de longitud θ’ frente a la acción del momento torsor, entonces: θ’= Mt/ ( G.J) y J = J1 + J2 = 910396.0155 cm4. θ’= 50000 Kn cm / (8000Kn/cm2 910396.0155 cm4) = 6.865144282* 10-6 1/cm


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Mt1 = θ’G J1 = 17656.68 Kncm. Mt2 = θ’G J2 = 32343.32 Kncm. Se cumple que Mt = Mt1 + Mt2. b)Análisis del régimen de tensiones. Se determinan primero las tensiones en el contorno de cada recinto y luego las tensiones en tabiques divisorios.

Recinto 1 τ1 contorno = Mt1/ (2 * Ω1 * 1,27 cm) = 1.91 Kn /cm2

Recinto 2 τ2 contorno = Mt2/ (2 * Ω2 * 1,27 cm) = 2.322 Kn /cm2 Tensiones en el tabique divisorio: Tabique T12

Por equilibrio longitudinal (eje z) se tiene:

-τ1cont*1,27cm*dz + τ2cont*1,27cm*dz – τt12*2.54cm*dz = 0

τ t12 = 0.206 Kn /cm2

Diagrama y flujo de tensiones

5 - Análisis de un caso de torsión no constante en la barra. En todo lo desarrollado siempre se ha considerado que el momento torsor es constante en tramos de la barra analizada. En este punto se desea alertar sobre la posibilidad de variación lineal del diagrama del momento torsor. Para mostrar dicha situación se analiza un caso práctico de un balcón tomado de una viga de borde que apoya en dos columnas. A continuación se grafica:


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Esquema de cálculo de la viga:

Tal como se dijo el diagrama de momentos torsores resulta en este caso de variación lineal. Queda a criterio del lector analizar con más detalle que el planteado, el ejemplo mostrado en este último punto. 6 - Análisis de tensiones principales en la torsión. Como se ha visto, en todos los casos analizados, frente a la solicitación por torsión el estado de torsión en un punto ubicado en la sección transversal queda caracterizado por la existencia exclusivamente de tensiones tangenciales tal cómo se grafica a continuación:

Como se estudió en la primera unidad el estado de tensión en el entorno de A corresponde a un estado plano de tensiones, conocido como estado de corte puro.


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A continuación para una barra torsionada se representan las trayectorias de las tensiones normales de compresión y de tracción:

Si por ejemplo la barra analizada fuera de hormigón armado, las trayectorias de las tensiones principales de tracción indicarían (en forma teórica) que las barras de acero de refuerzo deberían disponerse según las mismas.

Se recomienda al lector efectuar un ensayo sencillo con una barrita de tiza, sometiéndola a torsión con los dedos, a efecto de comprobar experimentalmente todo lo indicado en este punto.

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