Parametrización de superficies

Integrales de superficie

h"p://www.sc.ehu.es/sqwpolim/Metodos_Matema6cos/ 

Parametrización de una superficie en R3

Suponiendo que las funciones fi(u,v) son continuas –al variar infinitesimalmente u y v, la variación de la función también lo es- al ir variando el punto (u,v) en el intervalo la funcion describe una superficie en R3.

Se dice que la equacion (1) es entonces la parametrizacion de la superficie resultante.

Sea un dominio del espacio R2, donde los puntos están definidos como (u,v). Definimos en este espacio la funcion vectorial donde fx(u,v), fy(u,v) y fz(u,v) son funciones escalares, Esta función define un punto del espacio para cada punto (u,v) del espacio de partida R2.

(1)   !r(u, v) = fx(u, v)!ux + fy(u, v)!uy + fz(u, v)!uz

2 

Ejemplos El plano La ecuación del plano !x+ "y + z = #

puede parametrizarse como:

x = uy = vz = ! ! "u! #u

u, v ! Rdonde

3 

El cilindro La ecuación del un cilindro con eje paralelo al eje z

y 

z 

x 

a 

y 

z 

x 

x2 + y2 = a2

puede parametrizarse como

El cono La ecuación del un cono con eje paralelo al eje z x2 + y2 = !2z2

puede parametrizarse como

x = a cos(u)y = a cos(u)z = v

donde 0 ! v < 2!, u " R

! ! a! ! uz

coordenadas cilíndricas  

0 ! u < 2!, v " Rdonde !r(u, v) = acos(u)!ux + asin(u)!uy + v!uz

4 

!r(t) = u cos(v)!ux + u sin(v)!uy + "!1u!uz

x = u cos(v)y = u sin(v)z = !!1u

La esfera La ecuación de la esfera de radio a

y 

z 

x 

x2 + y2 + z2 = a2

puede parametrizarse usando los ángulos como parámetros.

!, "

!

!

donde 0 ! ! < ", 0 ! # < 2"

x = a sin(!) cos(")y = a sin(!) sin(")z = a cos(!)

coordenadas polares   r ! a!!

!r(",#) = a sin(") cos(#)!ux + a sin(") sin(#)!uy + a cos(")!uz

5 

Paraboloide de revolución Se tiene el paraboloide dado por la ecuacion z = 5! x2 ! y2

puede parametrizarse usando las coordenadas cartesianas x e y como parámetros.

!r(u, v) = u!ux + v!uy + (5! u2 ! v2)!uz

donde u ! R, v ! R

donde 5 ! t, 0 " ! < 2"

Si se quiere describir una parte de la superficie: por ejemplo la parte definida por se imponen condiciones al dominio de definición de los parámetros

z > 0

!r(u, v) = u!ux + v!uy + (5! u2 ! v2)!uz u ! ["#5,#5], v ! ["

!5" u2,

!5" u2]donde

o bien

donde 5 ! t ! 0, 0 " ! < 2"

x = uy = vz = 5! u2 ! v2

!r(", t) =!5" t cos(")!ux +

!5" t sin(")!uy + t!uz

!r(", t) =!5" t cos(")!ux +

!5" t sin(")!uy + t!uz

o tambien usando un ángulo y la coordenada , t=z !

6 

Construcción del plano tangente a una superficie en un punto

Sea una superficie definida paramétricamente como

!r(u, v) = fx(u, v)!ux + fy(u, v)!uy + fz(u, v)!uz

En un entorno de un punto de la superficie, dado por (u0, v0), la superficie se puede considerar localmente un plano.

y 

z 

x 

Variando el parametro u: obtenemos un nuevo punto de la superficie. El desplazamiento relativo al punto (u0, v0) es:

u = u0 + du

Repitiendo el proceso, variando ahora el parametro v: v = v0 + dv

(u0, v0)

(u0 + du, v0)

!T1

!T2

(u0, v0 + dv)

!!T2 = ["fx"v

!ux +"fy"v

!uy +"fz"v

!uz]dv

!!T1 = ["fx"u

!ux +"fy"u

!uy +"fz"u

!uz]du

No tienen necesariamente que ser ortogonales

Los dos vectores - - son linealmemnte independientes. !!T1, !!T2

Los dos vectores - - forman una base del subespacio de vectores definidos en el plano tangente: cualquier vector del plano tangente se puede escribir como una combinacion lineal se estos vectores .

!!T1, !!T2

7 

A partir de los vectores tangentes

!!T1 = ["fx"u

!ux +"fy"u

!uy +"fz"u

!uz]du

!!T2 = ["fx"v

!ux +"fy"v

!uy +"fz"v

!uz]dv

y de aquí el vector unitario normal al plano tangente : !n(u, v)

donde

Hay una arbitrariedad en la determinación del sentido del vector unitario ; !n(u, v)

= [!fx!u

"ux +!fy!u

"uy +!fz!u

"uz]! [!fx!v

"ux +!fy!v

"uy +!fz!v

"uz]dudv

= [(!fy!u

!fz!v

! !fz!u

!fy!v

)"ux + (!fz!u

!fx!v

! !fx!u

!fz!v

)"uy + (!fx!u

!fy!v

! !fy!u

!fx!v

)"uz]dudv

!uy ! !uz = !ux

!uz ! !ux = !uy

!ux ! !uy = !uz

d!s = !!T1 !!!T2

podemos construir el vector normal al plano tangente: d!s

N2 = [!fy!u

!fz!v

! !fz!u

!fy!v

]2 + [!fz!u

!fx!v

! !fx!u

!fz!v

]2 + [!fx!u

!fy!v

! !fy!u

!fx!v

]2

!n(u, v) =1

N[("fy"u

"fz"v

! "fz"u

"fy"v

)!ux + ("fz"u

"fx"v

! "fx"u

"fz"v

)!uy + ("fx"u

"fy"v

! "fy"u

"fx"v

)!uz]

8 

Esta ambigüedad refleja el hecho de que la normal a una superficie no tiene bien definido el sentido.

d!s = !T1 !!T1 d!s = !T2 !!T1o ??

La información sobre el elemento de superficie correspondiente a du y dv está dado por

y 

z 

x 

El vector d!s

2.- Por la orientacion de la superficie, que viene dada por el vector normal a la misma !n

Eso sugiere utilizar el vector para representar localmente la superficie. d!s

d!sEl sentido de no está bien definido. Si la superfice es cerrada, se adopta el convenio que el vector está orientado ‘hacia afuera’. d!s

Si la superfice no es cerrada, hay que tomar arbitrariamente un criterio para el signo.

1.- Por el área de la superficie infinitesimal. que es proporcional al producto

= [(!fy!u

!fz!v

! !fz!u

!fy!v

)"ux + (!fz!u

!fx!v

! !fx!u

!fz!v

)"uy

+(!fx!u

!fy!v

! !fy!u

!fx!v

)"uz]dudv

du dv

ds =| d!s |=| !!T1 !!!T2 |!!T2!!T1 d!S

9 

Y 

Z 

X

a la superficie puede parametrizarse como

0 ! u < 2!, v " Rdonde !r(u, v) = acos(u)!ux + asin(u)!uy + v!uz

fx(u, v) = a cos(u)

fy(u, v) = a sin(u)

fz(u, v) = v

! !ufx = "a sin(u), !vfx = 0

! !ufy = a cos(u), !vfy = 0

! !ufz = 0, !vfz = 1

la normal tiene la direccion de la proyeccion de en el plano XY !r

!n

!n = cos(u)!ux + sin(u)!uy

d!s(u, v) = [("fy"u

"fz"v

! "fz"u

"fy"v

)!ux + ("fz"u

"fx"v

! "fx"u

"fz"v

)!uy + ("fx"u

"fy"v

! "fy"u

"fx"v

)!uz]du dv

= [a cos(u)!ux + a sin(u)!uy]dudv

Ejemplo: Cálculo del vector en una superficie cilíndrica d!s

La norma de este vector, es el area de rectángulo infinitesimal definido por du y dv

ds =| d!s |= adudv

dv

udu

adu

10 

! [x !ux + y !uy]dudv

Problema propuesto: Cálculo del vector en una superficie esferica de radio a

Usando la parametrización d!s

!r(",#) = a sin(") cos(#)!ux + a sin(") sin(#)!uy + a cos(")!uz

fx(!,") = a sin(!) cos(")

fy(!,") = a sin(!) sin(")

fz(!,") = a cos(!)

donde 0 ! ! < ", 0 ! # < 2" , construir el vector unitario normal a la superficie en el punto !,"

! !!fx = a cos(") cos(#), !"fx = "a sin(") sin(#)

! !!fy = a cos(") sin(#), !"fy = a sin(") cos(#)

! !!fz = "a sin("), !"fz = 0

d!s = [("fy"#

"fz"$

! "fz"#

"fy"$

)!ux + ("fz"#

"fx"$

! "fx"#

"fz"$

)!uy + ("fx"#

"fy"$

! "fy"#

"fx"$

)!uz]d#d$

= a2 sin(!)[sin(!) cos(")#ux + sin(!) sin(")#uy + cos(!)#uz]d! d"

= [a2 sin2(!) cos(")#ux + a2 sin2(!) sin(")#uy+

+a2[cos(!) sin(!) cos2(") + cos(!) sin(!) sin2(")]#uz]d! d"

! a sin(!)"rd! d#

El modulo

| d!s |=!(d!sx)2 + (d!sy)2 + (d!sz)2 = a2 sin(!) d! d"

11 

Z 

!r

!

!d!

a sin(!)

 d!

ad!

El resultado se puede entender de forma gráfica

Hemos visto que para generar la superficie infinitesimal variamos ambos parámetros.

Variamos primero !

la longitud del arco es ad!

variamos ahora !

la longitud del arco es a sin(!)d"

de esta forma generamos un cuadrado de lados infinitesimales, cuyo area es

ds = a2 sin(!)d!d"

d!s

y su direccion –normal a la superficie- coincide con la dirección de !r

12 

!u!

Elementos de superficie y volumen en coordenadas polares esféricas

Z La geometría sugiere definir en cada punto del espacio un conjunto de vectores ortogonales.        

Un desplazamiento infinitesimal en el espacio se construye variando infintesimalmente las tres coordenadas 

De esta forma definimos las superficies elementales 

El volumen infinitesimal así generado es 

rdϑ 

rsinϑdΦ dr 

dr 

En estas coordenadas la posición de un punto en el espacio,      se da mediante la distancia r al origen y los dos ángulos           que hemos u6lizado como parámetros. 

!r!, "

!r

!

!

!ur

!u!

dr

 d!

d!d!r = dr !ur + rd"!u! + sin(")d#!u"

dsr = r2 sin(!)d!d"

                                           Estos vectores ‐                         ‐ se ob6enen dejando dos coordenadas fijas y variando la tercera  

!ur, !u!, !u",

Trabajando en estas coordenadas, los vectores del espacio se expresan en la base  !ur, !u!, !u",

ds! = r sin(!)drd"

ds! = rdrd!

dV = r2 sin(!)drd!d"

13 

Integrales de superficie Una superficie permite definir la integral de un campo sobre ella. Así:

!rk

representa la operación ya definida:

y 

z 

x 

1.- Dividir la curva en pequeños elementos definidos en el punto .

!sk!rk

2.- En cada elemento de la partición calcular el valor de la función en un punto interior del elemento g(!r)

!

Sds g(!r)

Una vez que se tiene parametrizada la superficie con los parametros u y v, la función sobre la superficie se convierte en una función de los parametros

g(!r)

!

Sds g(!r) =

!

sds(u, v) g(u, v)

y la integral se reduce a una integral doble, donde los parametros u y v varian de forma que se recorra toda la superficie.

3.- El valor de la integral es la suma de las contribuciones de todas las particiones !

Sds g(!r) = lim!sk!0

"

k

g(!rk)!sk

!sk

14 

Integrales de superficice. Tipos Se pueden definir diversos tipos de integrales de superficie

!

Sf(!r)ds

!

S

!F (!r)ds

!

S

!F (!r)d!s

!

Sf(!r)d!s

!

S

!F (!r)! d!s

Si el campo a integrar es escalar

Si el campo a integrar es vectorial

Flujo del campo a través de la superficie S

15 

Ejemplos: Integrales de la forma !

Sf(!r)ds

1. Una aplicación de estas integrales permite calcular el area de una superficie. En este caso la función a integrar es sencillamente 1-a Superficie de la esfera.

Hemos visto que en una esfera ds = a2 sin(!)d!d"

S =

!

esfds == a2

! 2!

0d!

! !

0d" sin(") = 2!a2[! cos(")] |!0 = 4!a2

16 

la integral ha de ser positiva

2-a Calcular la integral, donde es el punto (P) arbitrario del eje polar. La superficie es una esfera de radio a

!

esf

ds

| !r ! !r0 |!r0 ! (0, 0, z0)

P (0, 0, z0)

!r

!r ! !r0

!

esf

ds

| !r ! !r0 |

Haciendo el cambio t ! cos(!)

| !r ! !r0 |=!

a2 + z20 ! 2az0 cos(")

!r ! !r0 = a sin(") cos(#)!ux + a sin(") sin(#)!uy + [a cos(")! z0]!uz

Sobre la esfera !r = a sin(") cos(#)!ux + a sin(") sin(#)!uy + a cos(")!uz

= 2!a2!1

az0

!a2 + z20 ! 2az0t |1!1

= 2!a

z0[(a+ z0)! | a! z0 |]

= 2!a2! 1

!1

dt"a2 + z20 ! 2az0t

=

! 2!

0d!

! !

0

a2 sin(")d""a2 + z20 ! 2az0 cos(")

4!a2

z0, a < z0

4!a, a > z0

ds = a2 sin(!)d!d"y

! dt = " sin(!)d!

17 

2-c Calcular las integrales, La superficie S es un disco de radio a, centrado en el origen y que yace en el plano XY

2-b Calcular la integral, donde es el punto (P) arbitrario del eje polar. La superficie S es un disco de radio a, centrado en el origen y que yace en el plano XY

!r0 ! (0, 0, z0)

!

S

ds

| !r ! !r0 |

Y 

P (0, 0, z0)

!r

!r ! !r0

a

X 

!

S

"x2 + y2ds

!

Sxyds

Problemas propuestos

18 

Calcular la integral, donde es un punto (P) arbitrario del eje polar.  

Ejemplos: Integrales de la forma . !

S

!F (!r)ds

!I =

!

esf

!r ! !r0| !r ! !r0 |3 ds

!r0 ! (0, 0, z0)

P (0, 0, z0)

!r

!r ! !r0 | !r ! !r0 |=!

a2 + z20 ! 2az0 cos(")

La integral es un vector, , cuyas componentes se pueden escribir como

!I ! (Ix, Iy, Iz)

Ix = a3! 2!

0cos(!)d!

! !

0

sin(")2d"

[a2 + z20 ! 2az0 cos(")]32

Iy = a3! 2!

0sin(!)d!

! !

0

sin(")2d"

[a2 + z20 ! 2az0 cos(")]32

ds = a2 sin(!)d!d"El elemento de superficie

= 0

= 0

= 2!a2! !

0d"

sin(")[a cos(")! z0]

[a2 + z20 ! 2az0 cos(")]32

Iz = a2! 2!

0d!

! !

0d"

sin(")[a cos(")! z0]

[a2 + z20 ! 2az0 cos(")]32

0, z0 < a=

4!a2

z20, z0 > a

Sobre la esfera !r = a sin(") cos(#)!ux + a sin(") sin(#)!uy + a cos(")!uz

!r ! !r0 = a sin(") cos(#)!ux + a sin(") sin(#)!uy + [a cos(")! z0]!uz

19 

Calculo de la integral 

= 2!a2! !

0d"

sin(")[a cos(")! z0]

[a2 + z20 ! 2az0 cos(")]32

=2!a2

[a2 + z20 ]32

! !

0d"

sin(")[a cos(")! z0]

[1! 2az0a2+z2

0cos(")]

32

0, z0 < a=

4!a2

z20, z0 > a

!

esf

(!r ! !r0)ds

| !r ! !r0 |3 =0, z0 < a

4!a2

z20"uz, z0 > a

20 

Ejemplos: Integrales de la forma

!r

d!s = a2 sin(")[sin(") cos(#)!ux + sin(") sin(#)!uy + cos(")!uz]d" d#d!s

El vector normal d!s

Sobre la esfera z = a cos(!)

!

Sf(!r)d!s

La unica componente no nula

= !2!cos3(")

3|!0 =

4!

3

Calcular la integral del campo escalar sobre la esfera de radio a y centro el origen 

f(!r) = "z

! f(r = a, !,") = #a cos(!)!

Sf(!r)d!s = !a3[Ix"ux + Iy"uy + Iz"uz]

donde

Ix =

!

Ssin2(!) cos(!) cos(")d! d"

Iy =

!

Ssin2(!) cos(!) sin(")d! d" =

! 2!

0d! sin(!)

! !

0d" sin2(") cos(")

=

! 2!

0d! cos(!)

! !

0d" sin2(") cos(")

!

Sf(!r)d!s =

4!a3

3"#uz

Iz =

!

Scos2(!) sin(!)d! d"

!

=

! 2!

0d!

! !

0d" sin(") cos2(")

21 

Calcular la integral del campo escalar sobre la superficie de un cubo de lado a y centro el origen 

f(!r) = "z!

Sf(!r)d!s

Problema propuesto

X 

Y 

Z 

22 

Ejemplos: Flujo de un campo vectorial

!

S

!F (!r)d!s

Calcular el flujo del campo vectorial sobre la esfera de radio a. 

!r

d!s = a2 sin(")[sin(") cos(#)!ux + sin(") sin(#)!uy + cos(")!uz]d" d#d!s

En vector normal d!s

Producto escalar

El flujo

!F (!r) =!r

r3

Sobre la esfera y !r = a sin(") cos(#)!ux + a sin(") sin(#)!uy + a cos(")!uz

r = a

! !F (!r) =1

a2[sin(") cos(#)!ux + sin(") sin(#)!uy + cos(")!uz]

= 4!

!F (!r)d!s = [sin2(") cos2(#) + sin2(") sin2(#) + cos2(")] sin(")d"d#

= [sin2(!) + cos2(!)] sin(!)d!d"

= sin(!)d!d"

!

s

!F (!r)d!s =

! 2!

0d"

! !

0sin(#)d#

23 

!

S

!F (!r)d!sCalcular el flujo del campo vectorial sobre la esfera de radio a de los siguientes campos: 

!r

d!s

Problemas propuestos

1º  

2º  !F (!r) = k!ux, donde k es una constante.

!F (!r) = k!uz, donde k es una constante.

3º 

4º 

!F (!r) = "z!uz, donde " es una constante.

!F (!r) = "x!ux, donde " es una constante.

24 

25 

y 

z 

x 

Calcular el flujo del campo sobre la superficie cerrada formada por la parte del cono (0<z<h) y la tapa circular superior

Problema !

S

!F (!r)d!s !F (!r) = z!uz

!

S

!F (!r)d!s

Superficie cónica Parametrización x = t cos(!)

y = t sin(!)

z = t

Un punto sobre la superficie !r(t, ") = t cos(")!ux + t sin(")!uy + t!uz

Cálculo de los vectores tangentes

!!T1 = ["fx"u

!ux +"fy"u

!uy +"fz"u

!uz]du

!!T2 = ["fx"v

!ux +"fy"v

!uy +"fz"v

!uz]dv

d!s = !!T1 !!!T2 = [cos(!)"ux + sin(!)"uy + "uz]! ["t sin(!)"ux + t cos(!)"uy]dtd!

! !!T1 = [cos(")!ux + sin(")!uy + !uz]dt

! !!T2 = ["t sin(")!ux + t cos(")!uy]d"

= [t cos2 !"uz + t sin2 !"uz ! t sin(!)"uy ! t cos(!)"ux]dtd!

x2 + y2 = z2

z = h

Cálculo del vector d!s

= [!t cos(!)"ux ! t sin(!)"uy + t"uz]dtd!

Hemos calculado que vemos que está orientado hacia dentro del cono.

y 

z 

x 

Como por convenio está orientado hacia fuera. elegimos

d!s

d!s

d!s

Sobre la superficie

Finalmente, el flujo a traves de la superficie cónica

d!s = [!t cos(")!ux ! t sin(")!uy + t!uz]dtd"

d!s = [t cos(")!ux + t sin(")!uy ! t!uz]dtd"

!F = z!uz = t!uz

!Fd!s = t!uz[t cos(")!ux + t sin(")!uy ! t!uz]dtd"Por lo tanto

= !t2dtd!

!

s

!Fd!s = !! 2!

0d"

! h

0t2dt = !2!

3h3

El que el flujo sea negativo indica que los vectores y forman un ángulo mayor que

!F d!s!/2

Flujo sobre la tapa

y 

z 

x 

d!s

Sobre la tapa d!s = ds!uz

z = h

!F = z!uz = h!uz

El flujo a través del elemento de superficie

!Fd!s = h!uzds!uz

= hds

= h! !h2

ya que el radio del círculo R =!x2 + y2 = h

= h! !R2

!

s

!Fd!s = h

!ds

El flujo sobre la tapa

El flujo sobre la superfice total es !

s

!Fd!s = !2"

3h3 + "h3 =

"

3h3

Este resultado coincide con el volumen interior de la superficie de integración.

Y 

Z 

X

a 

!n

Calcular el flujo del campo sobre la superficie cerrada formada por la superficie cilíndrica de radio a comprendida entre las dos tapas circulares en z=0 y z=h.

Problema !

S

!F (!r)d!s !F = x!ux + y!uy

Superficie cilíndrica Parametrización x = a cos(!)

y = a sin(!)

z = t

Vector normal d!s !T1 =!"r

!#d# = [

!x

!#"ux +

!y

!#"uy +

!z

!#"uz]d#

!T2 =!"r

!tdt = [

!x

!t"ux +

!y

!t"uy +

!z

!t"uz]dt = !uzdt

d!s = !T1 !!T2 = ["a sin(")!ux + cos(")!uy]! !uzdtd"

!r(t,") = a cos(")!ux + a sin(")!uy + t!uz

Un punto genérico sobre la superficie está dado por

= [a cos(!)"ux + a sin(!)"uy]dtd!

que está orientado con la convención (hacia fuera)

Sobre la superficie cilíndrica !F (t,") = a cos(")!ux + a sin(")!uy

! !Fd!s = [a cos(")!ux + a sin(")!uy][a cos(")!ux + a sin(")!uy]dtd" = a2dtd!

y el flujo en esa superficie !

cilindro

!Fd!s = a2! 2!

0d"

! h

0dt = 2#a2h

= !a sin!"ux + a cos!"uy

Y 

Z 

X

a 

En las tapas d!s = ds!uz

y por lo tanto, ortogonal al campo

!Fd!s = (x!ux + y!uy]ds!uz = 0

El flujo sobre las tapas es nulo, y el valor total del flujo sobre la superficie cerrada es

!

S

!Fd!s = 2"a2h

d!s

!F

30 

Y 

Z 

X

a 

Calcular el flujo donde S es la superficie cerrada formada por la superficie cilíndrica de radio a comprendida entre las dos tapas circulares en z=-h y z=h, de los siguientes campos:

Problemas propuestos !

S

!F (!r)d!s

1.! !F (!r) = z!uz

2.! !F (!r) = e!z!uy

h  

3.! !F (!r) = !ux + e!z!uz

Calcular las siguientes integrales de superficie donde el campo escalar es

!

Sf(!r)ds

f(!r)

1.! f(!r) =| !r |2

2.! f(!r) =| !r |!2

3.! f(!r) = x2 + y2 + z

Problema

Sea el campo plano

X 

Y 

Z Calcular el flujo donde la superficie S es el rectángulo definido entre –a<x<a y

!

S

!F (!r)d!s

y ! z = 0

!a < x < a

0 < y < 1

Parametrización de la superficie: parámetros x e y

x = x

y = y

z = yUn punto sobre el plano está dado por

!r(x, y) = x!ux + y!uy + y!uz

!!T1 ="!r

"xdx = !ux

!!T2 ="!r

"ydy = !uy + !uz

Vector normal

d!s = !!T1 !!!T2 = !ux ! [!uy + !uz]dxdyz = [!uz " !uy]dxdy

Elemento de flujo: !Fd!s = z!uz[!uz ! !uy]dxdy = ydxdy

!

S

!Fd!s =

! a

!adx

! 1

0ydy = aEl flujo total