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DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR:MXIMOS Y MNIMOS13.1. Derivadas parciales iteradas

EjemploCalcular las derivadas parciales segundas de:

Teorema: igualdad de las derivadas parciales cruzadas

Ejemplo

Probar que

Ejemplo

Calcular las derivadas segundas de f.2.2. Teorema de Taylor

Teorema de Taylor para una variable

EjemploEncontrar la aproximacin de Taylor de la funcin

hasta las derivadas de 6 orden, en el punto

Teorema de Taylor para varias variables

Taylor de 1 orden

dondeTaylor de 2 orden

donde

Si , y entonces:

EjemploCalcular la frmula de Taylor de segundo orden paraalrededor del punto .

EjemploCalcular la frmula de Taylor de 1 y 2 orden paraalrededor del punto .

Mximos y mnimos de funciones de n variablesPuntos de extremo

Un punto es un punto de mmimo local si existe una vecindad Vde tal que para todos los puntos de V, .

Un punto es un punto de mximo local si existe una vecindad Vde tal que para todos los puntos de V, .

Un punto es un punto crtico de f si, o bien f no es diferenciableen o bien . . Si un punto crtico no es un punto de extremolocal, se dice que es un punto de silla.

Condicin de la derivada primera

Si es abierto, la funcin es diferenciable y es un punto de extremo local, entonces , es decir, es un punto crtico de f. EjemploEstudiar las funciones

>> syms x y>> f=2*(x^2+y^2)*exp(-x^2-y^2);>> ezmesh(f)

Formas cuadrticas

g es definida positiva

g es definida negativa

EjemploProbar que es una forma cuadrtica definida positiva y,en cambio, no es ni definida positiva ni definidanegativa.

>> syms x y>> f=x^2+y^2;>> ezmesh(f)

>> ezmesh(f)>> syms x y>> f=x^2-y^2;>> ezmesh(f)

En un punto crtico:HessianoTeorema f tiene 2 derivada continua es un punto crtico de f es definida positiva

es un mnimo relativo de fAnlogamente, si es definida negativa, entonces es un mximo relativo de f.

Para dos variables:

H es definida positiva

H es definida negativa

HEn el criterio para decidir si una forma cuadrticaes definida positiva se usan submatricesdiagonales; todas deben tener determinante mayor que ceroCriterio de la segunda derivadaTeoremaSea una funcin con tercera derivada continua en un abierto U de . Un punto es un punto de mnimo local estricto de f si secumplen las tres condiciones siguientes:

i)ii)iii)Si en ii) tenemos < 0 en lugar de > 0 sin cambiar la condicin iii) entonces tenemos un punto de mximo local estricto.Por otra parte, si D < 0, hay un punto de silla.Por otra parte, si D = 0, hay que realizar un estudio ms profundo.Ejemplo

Localizar los puntos mximos y mnimos relativos y los puntos de silla de

EjemploEstudiar la funcin

EjemploEstudiar la funcin