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Materia: Derivadas de orden superiorDerivación de funciones compuestasAproximación de una función. Fórmula de

Taylor

Prácticas con

Introducción a Funciones de una variable


Derivadas de orden superior

Sea F(x) y su función derivada F’(x). Definimos la derivada de orden “n” (n natural) a:




De la definición anterior, se desprende que, por ejemplo, la derivada de orden 3 es la derivada de la derivada de orden 2, siendo la derivada de orden 2 la derivada de la derivada de orden 1, a la que hemos llamado, en general, derivada de la función.




De la definición anterior, se desprende que, por ejemplo, la derivada de orden 3 es la derivada de la derivada de orden 2, siendo la derivada de orden 2 la derivada de la derivada de orden 1, a la que hemos llamado, en general, derivada de la función.

EjemploSi tratamos de calcular la derivada tercera de la función:hemos de proceder, según la definición:


1) Calcular la primera derivada:



2) Calcular la segunda derivada:




3) Calcular la tercera derivada:




3) Calcular la tercera derivada:

Definición.Una función F(x) continua y cuyas derivadas hasta el orden k sean a su vez funciones continuas, se dice que es de clase k y se denota:


Derivación de funciones compuestas. Regla de la cadena

Sean F y G dos funciones reales: Sabemos que si se verifica que entonces existe la composición

definida como:

F(D) HÍ

(F G)(x) G(F(x))=o




definida como:

Pues bien, ahora se trata de determinar la derivada de la composición a la que, por comodidad, llamaremos W=FºG ; es decir, vamos a calcular W’.

F(D) HÍ

(F G)(x) G(F(x))=o




definida como:

Pues bien, ahora se trata de determinar la derivada de la composición a la que, por comodidad, llamaremos W=FºG ; es decir, vamos a calcular W’. A partir de la regla de la cadena:

W’(x) = G’(F(x)) F’(x)

F(D) HÍ

(F G)(x) G(F(x))=o


En el caso que la derivada de W la queramos evaluar en un punto x0, utilizaremos la expresión:

W’(x0) = G’(F(x0)) F’(x0)



W’(x0) = G’(F(x0)) F’(x0) Evidentemente, siempre se puede realizar esta derivada calculando la composición directamente y derivando después en ésta, aunque este camino suele ser más largo que la aplicación de la regla de la cadena.



W’(x0) = G’(F(x0)) F’(x0) Evidentemente, siempre se puede realizar esta derivada calculando la composición directamente y derivando después en ésta, aunque este camino suele ser más largo que la aplicación de la regla de la cadena. EjemploDadas las funciones F(x)=Log(x+2) y G(x)=x4-x , determinar la derivada de la función composición de ambas de forma general y evaluada en el punto x=0.



W’(x0) = G’(F(x0)) F’(x0) Evidentemente, siempre se puede realizar esta derivada calculando la composición directamente y derivando después en ésta, aunque este camino suele ser más largo que la aplicación de la regla de la cadena. EjemploDadas las funciones F(x)=Log(x+2) y G(x)=x4-x , determinar la derivada de la función composición de ambas de forma general y evaluada en el punto x=0.

Solución:Aplicando la regla de la cadena:

W’(0) = G’(F(0)) F’(0)


Calculemos dichos elementos:


Calculemos dichos elementos:

Por tanto:


Como hemos indicado anteriormente, podemos construir la composición de las funciones y luego derivar, sin aplicar, por tanto, la regla de la cadena. Este proceso, cuando las funciones son complicadas es mucho más difícil y lento que el método anterior.


Como hemos indicado anteriormente, podemos construir la composición de las funciones y luego derivar, sin aplicar, por tanto, la regla de la cadena. Este proceso, cuando las funciones son complicadas es mucho más difícil y lento que el método anterior. En nuestro ejemplo:


Como hemos indicado anteriormente, podemos construir la composición de las funciones y luego derivar, sin aplicar, por tanto, la regla de la cadena. Este proceso, cuando las funciones son complicadas es mucho más difícil y lento que el método anterior. En nuestro ejemplo:

Resultando, evidentemente, lo mismo por los dos caminos.


En la práctica, además de todo lo indicado en el ejemplo anterior, se suele utilizar la regla de la cadena cuando se realiza el cálculo de la derivada de una función; por ejemplo, si preguntamos por la derivada del logaritmo neperiano de una función indicamos:

Estamos aplicando la regla de la cadena como se puede comprobar fácilmente.


Aproximación de una función

Dada una función real de variable real, podemos intentar aproximarla por otras funciones que sean más fáciles de manejar; esta aproximación puede ser por una función lineal, cuadrática, etc., que vienen dadas a partir de la fórmula de Taylor que exponemos a continuación, resaltando los dos casos más sencillos que hemos mencionado: aproximación lineal y cuadrática.



Dada una función real de variable real, podemos intentar aproximarla por otras funciones que sean más fáciles de manejar; esta aproximación puede ser por una función lineal, cuadrática, etc., que vienen dadas a partir de la fórmula de Taylor que exponemos a continuación, resaltando los dos casos más sencillos que hemos mencionado: aproximación lineal y cuadrática. Aproximación lineal.Tratamos en este apartado de justificar que para valores de “x” muy próximos a un número real “a” se tiene que:



Dada una función real de variable real, podemos intentar aproximarla por otras funciones que sean más fáciles de manejar; esta aproximación puede ser por una función lineal, cuadrática, etc., que vienen dadas a partir de la fórmula de Taylor que exponemos a continuación, resaltando los dos casos más sencillos que hemos mencionado: aproximación lineal y cuadrática. Aproximación lineal.Tratamos en este apartado de justificar que para valores de “x” muy próximos a un número real “a” se tiene que: Para ello veamos que es, desde el punto de vista geométrico:

F(a) + F'(a)(x-a)para una función dada F(x) derivable en el punto x = a.


Recordemos que la ecuación de una recta en un espacio de dimensión 2 que pasa por un punto (x0, y0) y tiene de pendiente “m” tenía la forma:

y-y0 = m(x-x0).



y-y0 = m(x-x0). Sea el punto (a , F(a)) y sea m = F’(a) la pendiente de dicha función en el punto x = a. La ecuación de la recta será y – F(a) = F’(a) (x - a) es decir:

y = F(a) + F’(a) (x - a)




y = F(a) + F’(a) (x - a) con lo cual tenemos que la expresión anterior representa la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función F(x) en el punto x = a.




y = F(a) + F’(a) (x - a) con lo cual tenemos que la expresión anterior representa la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función F(x) en el punto x = a. Por ejemplo, si consideramos la función:

F(x) = x3 - x2 - 8x + 12

cuya gráfica en el intervalo [-4,4] es:


y consideremos la tangente a la curva en el punto x=3; su ecuación se obtendrá:

F(3) + F'(3)(x-3) = -33 + 13x


y consideremos la tangente a la curva en el punto x=3; su ecuación se obtendrá:

F(3) + F'(3)(x-3) = -33 + 13x

Su representación gráfica junto con la función F(x):


Claramente se observa como, en puntos cercanos a x =3, las gráficas de ambas funciones se confunden, es por ello por lo que podemos afirmar que: siempre en puntos cercanos a x =3


Por lo tanto, F(3)+F'(3)(x-3) es la aproximación lineal de la función F(x) en un entorno del punto x=3.


Por lo tanto, F(3)+F'(3)(x-3) es la aproximación lineal de la función F(x) en un entorno del punto x=3. Si llamamos x – a = h, nos queda:

A la expresión F’(a) h se le suele llamar diferencial de la función F en el punto “a” y se denota por:

dF(a)(h) = F'(a) h


Por lo tanto, F(3)+F'(3)(x-3) es la aproximación lineal de la función F(x) en un entorno del punto x=3. Si llamamos x – a = h, nos queda:

A la expresión F’(a) h se le suele llamar diferencial de la función F en el punto “a” y se denota por:

dF(a)(h) = F'(a) h

Aproximación cuadrática.

Llamamos aproximación cuadrática de una función F(x) de clase 2 a:


La cual vamos a aplicar al mismo ejemplo del apartado anterior:

F(3) + F ’(3)(x – 3) + (1/2) F ’’(3) (x – 3)2 = 39 – 35x + 8x2


La cual vamos a aplicar al mismo ejemplo del apartado anterior:

F(3) + F ’(3)(x – 3) + (1/2) F ’’(3) (x – 3)2 = 39 – 35x + 8x2

Si realizamos la representación gráfica de esta función cuadrática y de la gráfica de la función obtenemos:


y en ella se observa que, en un entorno del punto x=3 ambas gráficas se confunden, siendo ésta una “mejor aproximación” de la función que en el caso de la aproximación lineal del apartado anterior.


y en ella se observa que, en un entorno del punto x=3 ambas gráficas se confunden, siendo ésta una “mejor aproximación” de la función que en el caso de la aproximación lineal del apartado anterior. Aproximación polinómica de orden superior de una función En general, dada una función de clase k, podemos aproximarla:

expresión que se conoce como la fórmula de Taylor, y su significado ha quedado suficientemente claro en el desarrollo expuesto. Al último término del desarrollo le hemos llamado “Resto” y es una función de x-a.


Cuantos más términos tenga la Fórmula de Taylor para una función dada, conseguiremos una mayor aproximación de la función en el punto dado, como vimos en el ejemplo anterior.


Cuantos más términos tenga la Fórmula de Taylor para una función dada, conseguiremos una mayor aproximación de la función en el punto dado, como vimos en el ejemplo anterior. EjemploDada la función F(x) = Log(x) obtener una aproximación de ella en el entorno del número e:a) De orden uno.b) De orden cuatro. Solución:


Cuantos más términos tenga la Fórmula de Taylor para una función dada, conseguiremos una mayor aproximación de la función en el punto dado, como vimos en el ejemplo anterior. EjemploDada la función F(x) = Log(x) obtener una aproximación de ella en el entorno del número e:a) De orden uno.b) De orden cuatro. Solución:Para calcular la fórmula de Taylor hemos de conocer las sucesivas derivadas hasta el orden pedido, evaluadas en el punto en cuestión, en nuestro caso, e.

a)


Por lo que el desarrollo de Taylor de orden uno será:



b) Para el desarrollo de Taylor de orden cuatro, hemos de calcular hasta la cuarta derivada:



b) Para el desarrollo de Taylor de orden cuatro, hemos de calcular hasta la cuarta derivada:

Sustituyendo:


Ambas son aproximaciones de la función Log(x), pero la primera es mejor que la segunda. Gráficamente podemos observar este hecho; para lo cual representamos Log(x):


Ambas son aproximaciones de la función Log(x), pero la primera es mejor que la segunda. Gráficamente podemos observar este hecho; para lo cual representamos Log(x):

Y ahora representamos en la misma gráfica las aproximaciones de orden 1 (lineal) y la de orden 4:


Se observa como, en el entorno del número e ( = 2’71828...) ambas aproximaciones coinciden con la gráfica de la función, siendo la de orden 4 una mejor aproximación que la de orden 1.

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