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UBA XXI – MÁTEMATICA - Derivada función inversa 1

DERIVADA DE LA FUNCIÓN INVERSA

Recordamos Una función g es la inversa de la función f si

x))x(g(f)x)(gf( Y

x))x(f(g)x)(fg(

La función g se denota por f-1 (se lee “inversa de f”)

Gráficamente, una función y su inversa son simétricasrespecto a la recta y = x.

Conviene también recordar:

1. Si g es la inversa de f, entonces f es la inversa de g.

2. El dominio de f-1 es el conjunto de imágenes de f y el conjunto de imágenes de f-1

es el dominio de f.

3. Una función puede no tener inversa, pero si la tiene, la inversa es única.

Derivada de lafuncióniinversa

Sea f una función derivable y f*1 su inversa. Para hallar la derivada de f-1, consideremos.

x))x(f(f)x)(ff( 11

Si derivamos ambos miembros de la igualdad, vemos que:

En el primer miembro, debemos calcular la derivada de una funcióncompuesta.

Por lo que es:

'11''1 ))x(f)).(x(f(f)x()ff(

En el segundo, es (x)’ = 1

Entonces podemos escribir;

1))x(f)).(x(f(f '11'

Como nos interesa '1 ))x(f( entonces despejamos:

))x(f(f

1))x(f(1'

'1

(con ))x(f(f 1' 0)

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Ejemplo 1.

Vamos a usar esta expresión para calcular la derivada de la función inversa de f(x) = x3

Primero, buscamos la inversa de f. Estamos seguros que existe pues f es unafunción biyectiva con Dom(f) = Im(f) = .

y = x3 3 33 xy xy3

Cambiando y por x, es yx3 por lo que es 31 x)x(f cuyo dominio yconjunto de imágenes coinciden con las de f.

Nuestro propósito es calcular la derivada de 31 x)x(f usando la expresión dela derivada de la función inversa.

))x(f(f

1))x(f(1'

'1

Como en el denominador tenemos la derivada de f, la calculamos:

f(x) = x3 2' x3)x(f

Y además es 3 2233'1' x3)x.3)x(f))x(f(f

Reemplazando en la fórmula, resulta:

3 21''1

x3

1

))x(f(f

1))x(f(

que está definida para todo x distinto de cero.

Luego la derivada de 31 x)x(f es3 2

'1

x3

1))x(f(

Observación: Verifique, usando las reglas de derivación que el resultado escorrecto.

Funcionestrigonométricasy sus inversas

Como hemos visto, las funciones trigonométricas son funciones periódicas, por lo que noson inyectivas ya que elementos distintos del dominio tienen la misma imagen.

Si consideramos la gráfica de la función seno, es fácil ver que cualquier recta horizontal,atraviesa el gráfico de la función en más de un punto. En estas condiciones no es posibledefinir la función inversa.

Para poder hacerlo, podemos elegir un intervalo donde la función sea inyectiva, por

ejemplo el intervalo

2;

2.

Inversa de lafunción seno

En este intervalo es posible definir la inversa de la función seno. Esta función recibe elnombre de arco seno de x. Lo denotamos arcsenx.

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Además

y = arcsenx x = sen y

Notemos que y es el arco cuyoseno es el número x.

Luego si

f:

2;

2 [-1; 1] ; f(x) = senx

su inversa es

f-1: [-1; 1]

2

;2

; f -1(x) = arcsenx

Inversa de lafunción cosenoy de la funcióntangente

En el caso de la función f(x) = cos x, es inyectiva en el intervalo [0; ]. En este intervalo esposible definir la función inversa del coseno. Esta función recibe el nombre de arco cosenoy se denota arccos.

Además

y = arccosx x = cosy

y es el arco cuyo coseno es elnúmero x.

Luego si

f: ]1;1[;0 ; f(x) = cosx

su inversa es

f-1: [-1; 1] ;0 ; f-1(x) = arccosx

Análogamente, la inversa de la función tangente es la función arco tangente (arctg)

y = arctgx x = tgy

y es el arco cuya tangente es elnúmero x.

Luego si

f: );(2

;2

; f(x) = tgx

su inversa es

f-1:

2;

2);( ; f -1(x) = arctgx

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Derivada de lasfuncionestrigonométricasinversas

Derivada de arcsenx

Recordemos que cuando componemos una función con su inversa obtenemos lafunción identidad

x))x(f(f)x)(ff( 11

Entonces al componer f(x) = senx y f-1(x) = arcsenx obtenemos también la funciónidentidad, por lo que resulta que:

sen(arcsenx) = x

Por otro lado, si y = arcsenx entonces y

2

;2

por lo que es cosy 0.

Además por la relación pitagórica es:

sen2y + cos2y = 1 ysen1ycos 2

Vamos a usar estas relaciones para calcular la derivada de f-1(x) = arcsenx = y

222

''

x1

1

)arcsenx(sen1

1

ysen1

1cosy

1

inversa)funciónlade(derivada)y(f

1(arcsenx)

Luego, la derivada de arcsenx es2x1

1

Derivadas de arccosx y arctgx

De manera análoga, se puede verificar que:

2

'

x1

1(arccosx)

2

'

x1

1)arctgx(

Resolvemos algunos ejemplos en los cuales interviene la derivada de funcionestrigonométricas inversas.

Ejemplo 2.

Calcular la derivada de:

a) f(x) = arctg(3x2)

b) f(x) = earcsenx

Solución

a) f(x) = arctg(3x2)

La función f es la composición de las funciones h(x) = arctgx y g(x) = 3x2

Sabemos que si f(x) = )x)(gh( su derivada es )x(g).)x(g(h)x(f ¡''

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Calculamos )x(gy)x(h ''

x6)x3()x(g

x1

1)arctgx()x(h

'2'

2''

Reemplazando en )x('g).)x(g(h)x(f ''

x6.)x3(1

1)x(f2

'

Luego si f(x) = arctg(3x2) es x6.)x3(1

1)x(f2

'

b) f(x) = earcsenx

La función f es la composición de g(x) = arcsenx y h(x) = ex

Sus derivadas son:

xx'

2

''

e)'e()x(h

x1

1)arcsenx()x(g

Reemplazando en )x(g).)x(g(h)x(f '''

2

arcsenx

2

arcsenx'

x1

e

x1

1e)x(f

Ejemplo 3.

Halla la ecuación de la recta tangente a la función f(x) = arcsenx en el punto de abscisax = 0.

Solución .

Recordamos la ecuación de la recta tangente en un punto de la gráfica de la función.

)ax()a(f)a(fy '

En el ejemplo es a = 0

Calculamos:

f(a) = f(0) = arcsen0. Buscamos el ángulo que pertenece al dominio de arcsenx cuyoseno es cero. En este intervalo senx = 0 si x = 0

Luego f(0) = 0

101

1)0(f)a(f2

''

Ahora reemplazamos en la ecuación de la recta

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xy)0x(10y

Entonces la ecuación de la recta tangentea la función f(x) = arcsenx en x = 0 es

y = x