2do_Repaso Geometría 2013-2 (Ordinario)

CICLO REPASO ADMISIÓN 2013 – 2 2° Repaso Examen Ordinario

CEPRE-UNI GEOMETRÍA - 1 -

GEOMETRÍA

01. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones I. Dos ángulos forman un par lineal

cuando son adyacentes y los lados no comunes son rayos opuestos.

II. Los conjuntos A y B son conjuntos convexos y disjuntos, entonces (A – B) es un conjunto no convexo.

III. Dos segmentos son congruentes si y solo si tienen la misma longitud.

IV. L es una recta contenida en un plano H y determina dos semiplanos H1 y H2 entonces

1 2H H L .

A) VVVV B) VFVV C) VFVF D) VFFF E) FFFF

02. En un triángulo ABC obtuso en A, se

traza la ceviana BE . Si m B 60 ,

AB EC y m ECB 2 m EBC ,

entonces m ACB es

A) 20 B) 30 C) 40 D) 15 E) 10

03. En un triángulo equilátero ABC, la

altura BH y la ceviana CM se interceptan en el punto P. Si

AM PC , entonces la medida del ángulo BCP es A) 10 B) 15 C) 20 D) 22,5 E) 24

04. En un triángulo ABC, se ubica el punto P interior al triángulo tal que:

mBAP 72 y mPAC 12 . Si

mABP 30 y mPBC 18 , entonces

mPCA es

A) 10 B) 12 C) 15 D) 18 E) 20

05. En un triángulo sus ángulos interiores

miden: x y , x y y 2y x .

Entonces, la diferencia entre la mayor medida entera y la menor medida entera de y es A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14

06. Dado el triángulo ABC se ubica F

punto medio de BC y se traza FH

(H en AC ). Si AB 2HF , entonces el valor de verdad de la proposiciones siguientes es I. m FHC m BAC

II. m FHC m BAC 180 III. HA = CH A) VVV B) VVF C) FVV D) FVF E) FFF

07. En un triángulo isósceles ABC AB BC se traza la bisectriz interior

AD tal que: AD BD AC . Entonces m DAC es

A) 10 B) 15 C) 16 D) 20 E) 25

08. En el triángulo UNO se traza la

ceviana NS tal que m NOU 2 ,

mSNO 3 y m UNS 90 . Si

NO = VS, entonces es

A) 15 B) 10 C) 25 D) 30 E) 12

09. Sea el triángulo ABC equilátero, por el vértice C se traza una recta L que no

intersecta al lado AB y en dicha recta se ubican los puntos D y E tales que AD CE y m BCE 60 m DAC .

Si el punto E pertenece a la

prolongación de DC , entonces m BED es



A) 30 B) 40 C) 50 D) 60 E) 70

10. Si el número de diagonales de un polígono convexo se encuentra entre 22 y 34, entonces la suma de las medidas de sus ángulos interiores es A) 1 080 B) 1 260 C) 1 360 D) 1 440 E) 1 620

11. El gráfico muestra el trapecio ABCD, tal que FC FD y

m BAD 2m FED . Si AB a ,

AE b y ED c , entonces CB es

A) a + c – b B) 2b + c – a C) a + 2b – c D) a + b – c E) b + 2c – a

12. En un trapecio ABCD BC // AD , se

traza la altura CH y en CD se ubica el punto M tal que CM MD 5 u .

CH interseca a BM y AM en los puntos E y F respectivamente. Si m MEF m MFE y AB toma su mayor valor entero, entonces la distancia (en u) entre los puntos medios de sus diagonales es

A) 2 B) 3 C) 19

2

D) 17

2 E)

21

2

13. En un cuadrado ABCD de centro “O”

se prolonga el lado AD hasta el punto

“P” tal que mOPA 37 y OP 5 u .

Entonces PC (en u) es

A) 38 B) 37 C) 6

D) 39 E) 2 10

14. En la figura mostrada, BM MC ,

AD 4AL y AD 2AB 18u .

Entonces, la longitud (en u) de ML es

A) 3,5 B) 4,0 C) 4,5 D) 5,5 E) 6,0

15. En el cuadrilátero convexo ABCM,m ABC m AMC 90 . En la

prolongación de AM se ubica el punto

D, luego se traza DE perpendicular al rayo AB (E es un punto de

la prolongación de AB ). Si AM MC MD , ED 14 u y

EB 5 u , entonces la longitud(en u)

de la perpendicular trazada desde el

punto M al lado BC es A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

16. En un trapecio ABCD cuya base

menor es BC , se ubica M punto

medio de AB . Si las longitudes de las perpendiculares trazadas desde los

vértices B y D a la diagonal CA , son 8 u y 10 u, respectivamente, entonces la longitud (en u) de la perpendicular

trazada desde el punto medio de MD

a la diagonal AC es A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 7

A D E

B C

F

A L D

C M

B



17. En la figura mostrada, las circunferencias están inscritas en los triángulos rectángulos BHA y BHC . Si AB 3u , BC 4u y AC 5u ,

entonces la relación entre las

longitudes de AE y FC es

A) 1

2 B)

1

3 C)

1

4

D) 2

3 E)

2

3

18. En la figura mostrada AC y BD son diámetros de las semicircunferencias, E y F son puntos de tangencia. Si

GE // AC , entonces la relación entre las longitudes de los radios de las semicircunferencias es

A) 5 1

2

B)

2

3 C) 3

D) 4

3 E)

3 2

4

19. En la figura mostrada, AM a y

CN b . Entonces, la longitud de la

cuerda PQ es

A) 2a – b B) 2a + b C) a + 2b D) a + b

E) a b

2

20. En la figura mostrada, E y F son

puntos de tangencia. Si m BAC 10 y

m DE 32 , entonces mFG es

A) 32 B) 36 C) 38 D) 42 E) 48

21. Desde un punto B, exterior a una circunferencia, se trazan las

tangentes BE y BF . Luego en EB se ubica el punto A y se traza una

semicircunferencia de diámetro AB ,

que interseca a BF en el punto C,

desde el cual se traza la tangente CD a la semicircunferencia y a la circunferencia en los puntos C y D

respectivamente. Si m FD 7 mED ,

entonces m EBF es

F B C

A

E

D

G

A C

B

E H F

A D

E

F

G

B C

B

Q

C A

P

M N 600



A) 18 B) 20 C) 30 D) 36 E) 32

22. En el gráfico, los diámetros AB y

EF de la circunferencia son perpendiculares. Si E es punto de

tangencia y m SB 2 , entonces

m AQP es

A) 120 B) 90 C) 45

D) 135 E) 135

23. En una circunferencia C de centro O

se inscribe un triángulo acutángulo ABC. Si M, N y P son los vértices del triángulo ortico ó pedal del triángulo

ABC (M AB y N BC ); entonces la

medida del ángulo entre MN y OB es A) 30 B) 45 C) 90 D) 75 E) 120

24. En un triángulo ABC se trazan las

bisectrices interiores AQ , CP y BD

tal que DQ CP T . Si I es el incentro del triángulo ABC, tal que IP 5u , TI 3u y m ABI 60 ,

entonces TC (en u) es A) 12 B) 8 C) 4 D) 10 E) 9

25. En un triángulo ABC, BD es bisectriz interior. La circunferencia tangente a

AC , que pasa por los puntos B y D,

interseca a AB en el punto E y a BC en F. Si AE a , EB b , BF c y

FC d , entonces

A) ab = cd

B) 2 2 2 2a c b d

C) 2 2a c bd

D) ac = bd

E) a c b d

26. AB es un segmento tangente común a dos circunferencias tangentes exteriores en el punto C, cuyos radios miden R y r. Entonces la distancia de

C a AB es

A) R r B) R r

2

C) 2 2R r D) Rr

R r

E) 2Rr

R r

27. En una circunferencia se inscribe el

triángulo ABC tal que 9AB 4AC . La

prolongación de la altura AF intercepta a la circunferencia en el

punto D. Se traza DE perpendicular al

lado AC E AC . Si mCD 3mBD

y BF 2cm , entonces ¿cuál es la

longitud (en cm) del segmento FE ?

A) 33

8 B)

44

9 C)

55

7

D) 44

7 E)

55

8

28. En una circunferencia de centro O, se

traza el diámetro MQ perpendicular a

la cuerda AB . Las prolongaciones de

la cuerda MA y del radio BO se

interceptan en el punto F tal que FQ

A B

P E

F

Q

S



es tangente en la circunferencia en el punto Q. Si FQ , entonces la

longitud de FB es

A) 2 B) 3

2 C)

5

2

D) 2 E) 3

29. En la figura, L1 es una recta tangente

a la circunferencia en el punto B y L2 // L1. La recta L2 interseca a la

prolongación de BC en el punto E. Si AB 6 cm y BC 4 cm , entonces CE

(en cm) es

A) 4,0 B) 4,5 C) 5,0 D) 5,5 E) 6,0

30. En un trapecio rectángulo ABCD, AB 10 m , DC 6 m y

m A m D 90 . Se traza una

semicircunferencia de diámetro AD ,

tangente al lado BC en el punto M. Si las diagonales del cuadrilátero se intersectan en el punto N, entonces MN (en m) es

A) 3,0 B) 2 3 C) 3,25

D) 3,75 E) 3 2

31. En una circunferencia se inscribe

el cuadrilátero ABCD. Se ubica

el punto P en la diagonal AC tal que m ABP m DBC . Si

m ADP m BDC , entonces AP

PC es

A) 3

2 B) 2 C)

4

3

D) 3 E) 1

32. En un triángulo ABC, se trazan las

alturas AM y BN . Si P y Q son puntos

medios de AB y AC respectivamente

y PQ NM F , entonces la razón entre las medidas de los ángulos PAF y BCA es

A) 2

3 B)

4

3 C) 2

D) 1 E) 1

3

33. En la figura mostrada O es el centro

de la circunferencia. Si TP PD y

TO // AC , entonces x en forma aproximada es

A) 35

2 B) 18 C)

37

2

D) 19 E) 39

2

34. En un cuadrado ABCD, E es punto

medio de AD y se traza CQ

perpendicular a BE en el punto Q. Si la longitud del lado del cuadrado es

2a, entonces la longitud de CQ es

C

B L1

L2 A

A C

B

P

D

O T

x



A) a 5

5 B)

2a 5

5 C)

3a 5

5

D) 4a 5

5 E) 5

35. En un trapecio rectángulo ABCD recto

en C y D, M es el punto medio del lado BC. Si m MDC m BAC ,

BM MC a y AD b , entonces CD es

A) b b a B) a b a

C) ab D) b b 2a

E) b – a

36. En la figura mostrada O es el centro de una de las circunferencias y H es el ortocentro del triángulo AOB. Si NA AC , CB BM , m NOM 90 y

PC 1m , entonces OH (en m) es

A) 2,0 B) 3,0 C) 4,0

D) 3 2 E) 3,5

37. En un cuadrado ABCD con diámetro

CD , se traza interiormente una semicircunferencia. Si E es un punto

de BC , tal que AE sea tangente al

CD y EC a , entonces la longitud del inradio del triángulo ABE es

A) a

2 B) a C)

2a

3

D) 3

a4

E) 4

a3

38. En un trapecio isósceles, la base menor mide 14 cm y la diagonal que es perpendicular al lado no paralelo mide 40 cm. Entonces, la longitud (en cm) de la mediana del trapecio es A) 30 B) 31 C) 32 D) 33 E) 34

39. En una semicircunferencia de

diámetro AB y centro O, se dibuja una circunferencia tangente al

diámetro AB en M y tangente al arco

AB en Q. La cuerda QT es paralela a

AB e intercepta a la circunferencia en

el punto E. Si AE es tangente a la circunferencia, entonces la medida del ángulo EAB aproximado es A) 15,0 B) 18,0 C) 22,5 D) 30,0 E) 37,0

40. Las medianas de un triángulo rectángulo trazadas a partir de los vértices de los ángulos agudos miden

5 m y 40 m . Entonces la longitud

(en m) la hipotenusa es

A) 2 17 B) 8 C) 2 15

D) 2 14 E) 2 13

41. En un cuadrado ABCD, con centros

en los vértices A y D se trazan los arcos BD y AC secantes en el punto E. En el triángulo mixtilíneo AED, se inscribe una circunferencia de centro

O, tangente en el punto M al lado AD . Si AB a , entonces la longitud del

inradio del triángulo AMO es

A) a

9 B)

a

8 C)

a

10

D) a

6 E)

a

5

r O

H

N M C A B

P



42. En una semicircunferencia de

diámetro AD y centro O, se trazan las

cuerdas AB y AC tal que

mBC 2mAB . Si las distancias de

los puntos B y C al diámetro AD son a y b respectivamente, entonces la

distancia del punto B al radio OC es

A) ab B) 2 ab

C) a a b D) b a b

E)

2ab

a b

43. En un triángulo ABC, las medianas

trazadas a los lados AC y AB son perpendiculares. Si AB c , BC a y

AC b , entonces ¿cuál es la relación entre las longitudes de los lados del triángulo?

A) 2 2 2b c 2a B) 2 2 2b c 5a

C) 2 2 2b c 3a D) 2 2 2b c 4a

E) 2 2 2b c 6a

44. En una semicircunferencia cuyo

diámetro es AC se ubica el punto B y

su proyección sobre AC es H, las proyecciones ortogonales de H sobre

AB y BC son M y N respectivamente, la recta trazada por M y N intersectan a los arcos AB y BC en P y Q. Si PM 1u y NQ 2 u , entonces

(AH)(HC) (en u2) es A) 2 B) 8 C) 4 D) 16 E) 18

45. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, AB 4 u , la circunferencia de

centro O y diámetro BC intercepta a

AC en el punto M y la prolongación

de AO intercepta a la circunferencia

en el punto L. Si ML es perpendicular

a OC , entonces AL (en u) es

A) 4 5 B) 8 C) 4 2

D) 4 3 E) 6

46. En la figura se muestra una

circunferencia, PA // BF , A y B son puntos de tangencia. Si BF a , entonces EB es

A) 2a

3 B)

4a

3 C)

a

3

D) a E) a

2

47. Las circunferencias C1 y C2 son

secantes en P y Q, en la circunferencia C1 y próximo a Q se

ubica el punto A de manera que la

prolongación de AQ intercepta a la

circunferencia C2 en B. Si M es punto

medio de AB y la recta trazada por P y M intersectan a C1 en C y a C2 en D,

entonces la razón entre MC y MD es A) 2 B) 3 C) 1

D) 3

2 E)

1

2

48. En un cuadrilátero convexo ABCD, se

trazan, BT AD (T en AD ) y el cuadrado TDCL, tal que

m LCA m BAC . En BC se ubica

el punto N tal que NL LD . Si

M LT AC , LM 2 LN 8 u ,

entonces TC (en u) es

A) 12 B) 4 C) 8 2

E B F

C

P A



D) 8 E) 4 2

49. En un triángulo acutángulo ABC

inscrito en una circunferencia de radio

2 m , AB 2 m , BC 6 m . Si se

traza el diámetro AD, entonces la longitud de la cuerda DC es

A) 4 3 m B) 2 3 m

C) 4 2 2 m D) 4 2 3 m

E) 2 2 m

50. En un polígono convexo ABCDE,

m ABE m BCE m CDE 90 ,

los triángulos BCE y CDE son semejantes. Si BC AB DE ,

BE R y AE es una cuerda de una circunferencia de radio R, entonces

m AE es

A) 90 B) 108 C) 60 D) 120 E) 72

51. Calcule el perímetro del triángulo que se forma al unir los puntos medios de tres lados no consecutivos de un hexágono regular cuyo circunradio mide 6 u. A) 9 B) 15 C) 21 D) 25 E) 27

52. E, es un punto interior en un triángulo ABC, recto en B, tal que

AC 2 6 2 5 cm , m EBC 32 . Si

m ECA 22 y m BAC 50 , entonces BE (en cm) es

A) 2 3 B) 2 2 C) 1,5

D) 2,0 E) 5

53. En un triángulo ABC, recto en B,

m C 9 y AC 5 1 cm . Calcule

la distancia de B a AC , en cm.

A) 1

2 B) 1 C) 2

D) 5 E) 5

2

54. Las longitudes de dos circunferencias

coplanarias están en la relación de 7 a 3 y la suma es igual a 20 u .

¿Cuál es la posición de dichas circunferencias, si además la distancia entre los centros es 2 veces la diferencia de longitudes de los radios? A) Exteriores B) Secantes C) Interiores D) Tangentes exteriores E) Tangentes interiores

55. En un sector circular AOB, de centro O, se inscribe una circunferencia

tangente a OA , OB y AB , en los puntos E, F y T, respectivamente. Si m AOB 60 , entonces la relación entre las longitudes de los arcos ET y AT es

A) 1 B) 5

4 C)

4

3

D) 3

2 E)

6

5

56. En un rectángulo ABCD, la

circunferencia de centro O contiene a los vértices B y C e interseca a la

prolongación de OA en el punto M. Si

MC AB N , AD 5 AN y AM 4 u , entonces el área (en u2) de

la región rectangular ABCD es A) 32 B) 16 C) 100 D) 80 E) 70

57. En la figura ABCD es un cuadrado, P

es punto medio de CD . Si EP 2 u ,



entonces el área (en u2) de la región triangular HEP es

A) 1

3 B)

2

3 C) 1

D) 4

3 E)

5

3

58. En un triángulo ABC recto en B, se

trazan las bisectrices interiores AD y

CE . Si la longitud del radio de la circunferencia inscrita en el triángulo ABC es r, entonces el área de la región triangular DBE es

A) 2r B) 2r

2 C)

22 r

3

D) 23r

4 E)

25r

3

59. En un triángulo rectángulo ABC

AB BC en el interior se ubica el

punto P. Si PAB PBC y BP ,

entonces el área de la región triangular PBC es

A) 2

2 B) 2 C)

2

3

D) 23

2 E) 24

3

60. En la figura se muestra la región

cuadrangular ABCD tal que AB // EC

y EB // CD . Si 2ABES 9 u y

2ECDS 16u , entonces el área (en u2)

de la región cuadrangular ABCD.

A) 27 B) 30 C) 32 D) 35 E) 37

61. En un cuadrilátero ABCD inscrito en una circunferencia, las diagonales se intersecan en el punto S tal que BS 4SC . Si los lados AB y CD son

paralelos y el área de la región SCD es 4 m2, entonces el área (en m2) de la región triangular ASD es A) 8 B) 12 C) 16 D) 20 E) 32

62. En el gráfico: MF 6FP , CG // QF , QG MG y el área de la región triangular PQM de 140 u2. Calcule el área (en u2) de la región sombreada.

A) 10 B) 15 C) 20 D) 30 E) 35

63. Por los vértices A, B y C de un cuadrado ABCD se trazan las rectas

A D

B C

P H

E

A D E

B

C

P M

Q

G

C F



paralelas entre sí L1, L2 y L3; si las distancias entre L2 y L3 y entre L1 y L3 son de a y b respectivamente, entonces el área de la región es

A) 2

a b

B) 2a b

a b

C) 2a b

a b

D) 2 22b 2ab a

E) 2 22a 2ab b

64. En un cuadrado ABCD, con centro en

“D” se traza el arco CE interceptando

a la prolongación del lado AD en el punto E, en el lado BC se ubica el punto P tal que el segmento PE intercepta al lado CD en el punto H. Si las áreas de las regiones triangulares ABP y PCH son 16 m2 y 9 m2 respectivamente, entonces el área (en m2) del sector circular CDE es A) 20 B) 10 C) 15

D) 80 E) 117

65. Sean las regiones equiláteras SAR e

IMR, ubicadas en planos perpendiculares (M es punto medio de

AS ). Si G es el baricentro de la región triangular IMR, entonces m AGS es

A) 30 B) 41 C) 60 D) 90 E) 120

66. En un hexaedro regular ABCD-EFGH, se consideran los puntos medios M y N de las aristas CG y HG respectivamente. Entonces la medida del ángulo que forman los segmentos MN y GE es A) 45 B) 30 C) 60 D) 90 E) 53

67. En un ángulo triedro V-ABC cuyas caras miden: m BVA 90 ,

m BVC 90 y m AVC 60 , se cumple VA VB VC 8 m .

Entonces ,la medida del ángulo diedro AC es

A) 1

arc tg3

B) 2

arc tg3

C) 2

arc tg2

D) 3

arc tg3

E) 3

arc tg2

68. Un poliedro convexo con 12 vértices y

21 aristas está formado por 2p triángulos, c cuadriláteros y p pentágonos. Entonces, p y c son respectivamente A) 1 ; 8 B) 3 ; 2 C) 2 ; 5 D) 3 ; 4 E) 4 ; 1

69. Dado el octaedro regular P–ABCD–Q, AP = L. Calcule la menor distancia para ir de P hacia A pasando por todas las caras.

A) 5 L B) 2 L 6 C) L 21

D) 2 L 5 E) L 19

70. Indique el valor de verdad de las

siguientes proposiciones: I. Dos rectas paralelas a un plano

determinan un plano paralelo al anterior.

II. Un poliedro es regular cuando todas sus caras son regiones poligonales regulares.

III. Todos los poliedros regulares tienen centro de simetría.

A) VFF B) FVV C) FFF D) FVF E) VVF

71. La base de un paralelepípedo recto ABCD– A'B'C'D' es un rombo de

área S y las áreas de las secciones



diagonales ACC'A ' y BDD'B' miden S1 y S2 respectivamente. Entonces el volumen del paralelepípedo es

A) 1 22 S . S . S B) 1 2S . S . S

C) 1 2

1S . S . S

2 D) 1 2S . S . S

2

E) 1 2S . S . S

3

72. De una hoja de cartón cuadrada cuyo

lado mide 12 u, hay que hacer una caja rectangular abierta de la mayor capacidad posible, recortando para ello cuadrados cuyo lado mide x u en dos esquinas de la hoja. Entonces x es A) 1,0 B) 1,5 C) 2,0 D) 2,5 E) 3,0

73. Se tiene una caja de base cuadrada sin tapa de volumen V, si el costo de la caja es mínimo (área mínima), entonces la longitud de la altura de la caja es

A) 1/34V B) 2/3

V C) 1/3V

D)

1/3V

2

E)

1/3V

4

74. En un prisma recto ABC–DEF, el

punto O es el centro de la cara ABED, M y N son puntos medios de las

aristas EF y CF respectivamente. Entonces la sección plana determinada en el prisma por el plano que contiene a los puntos O, M y N es A) Triangular B) Cuadrangular C) Pentagonal D) Hexagonal E) Octogonal

75. El gráfico muestra a un tronco de prisma triangular recto, las caras EFD y ACDE son regiones poligonales regulares. Si el área de la región EFD

es 24 3 u , entonces el volumen (en

u3) del sólido que limita dicho tronco es

A) 18,07 B) 19,50 C) 19,77 D) 20,77 E) 21,00

76. En una pirámide regular E–ABCD; los puntos M y N, son puntos medios de

ED y EC , respectivamente. ¿En qué relación están los volúmenes de los sólidos E–ABNM y AMD–BNC?

A) 1

2 B)

3

5 C)

2

3

D) 1

3 E)

4

9

77. En una circunferencia cuyo radio mide

R, se inscribe al triángulo ABC tal que

mAB 90 y mAC 120 . La región

triangular ABC es la base de pirámide cuya altura mide (3R–AC). Entonces, el volumen del sólido limitado por la pirámide es

A) 3R 3

3 B)

3R

2 C)

32R

3

D) 3R

4 E)

3R

5

78. La base de una pirámide regular es una región cuadrada cuyo lado mide 10 m y su altura mide 20 m. A esta pirámide se le intercepta con un plano

B

F

D

C

E

A



paralelo a la base, sobre la sección transversal que resulta se construye un prisma recto cuya base superior contiene al vértice de la pirámide. Si el volumen del sólido limitado por el prisma es igual al volumen del sólido limitado por el tronco de pirámide de que resulta, entonces la longitud (en m) de la altura del prisma es A) 12,6 B) 13,0 C) 12,5 D) 12,0 E) 13,5

79. En un tetraedro regular A–BCD cuya

arista mide a u, se traza la altura AH .

Si M y N son puntos medios de BC y

AH respectivamente y la

prolongación de MN intersecta a AD en Q, entonces el volumen (en u3) del sólido limitado por la pirámide C–HNQD es

A) 37a 3

288 B)

37a 5

288

C) 37a 2

288 D)

37a 2

289

E) 37a 2

283

80. En una pirámide D–ABC, BC 6cm y

m BAC m BDC 90 . Entonces, el

máximo volumen (en cm3) del sólido determinado por la pirámide es A) 6 B) 12 C) 8 D) 9 E) 15

81. Un cubo de arista a fue seccionado por un plano. Calcule el volumen del sólido resultante cuyas vistas frontal, horizontal y de perfil se muestran

A) 37a

16 B) 325

a36

C) 325a

32

D) 32a

3 E) 317

a24

82. ABCD–EFGH es un tronco de

pirámide regular, el área de la sección AEGC es S1 y el área de la región equidistante de las bases es S2. Entonces, la longitud de su altura es

A) 1 2

1S S

2 B) 1 1

1 2

S 2S

S S

C) 1 2

2

S 2S

2S D) 1

22

S2S

S

E) 1 2S S

2

83. Calcule el volumen del sólido que

determina un tronco de pirámide regular cuadrangular, circunscrito a una esfera de longitud de radio r. Las caras laterales forman con la base mayor diedros de 60.

A) 326r

9 B) 313

r9

C) 3100r

9

D) 3101r

9 E) 3104

r9

84. El área lateral de un cilindro oblicuo

de 2.6 cm de altura es 252 3cm

25 y

el ángulo que forma la generatriz con

a a P F

H

a

a

a

2

a

2



la base del cilindro es 60; la sección recta es un círculo. Entonces el área (en cm2) de la sección recta del cilindro oblicuo es

A) 4

25

B)

6

25

C)

9

25

D) 11

25

E)

17

25

85. En un cilindro oblicuo de bases

circulares, se traza un plano secante que contiene a los centros de las bases cuya intersección es una región cuadrada de área 48 u2, de tal modo que la proyección de uno de sus lados en una de las bases sobre la otra base es un segmento tangente a la circunferencia que limita dicha base. Entonces el volumen (en u3) del sólido limitada por dicho cilindro (en u3) es A) 64 B) 36 C) 72

D) 48 E) 60

86. El gráfico muestra a un cono de

revolución cuyo centro de la base es O y a un cilindro oblicuo de bases circulares. Entonces la relación de sus volúmenes es

A) 3

5 B)

3

6 C)

3

7

D) 3

8 E)

3

9

87. En el gráfico se muestra un cono de revolución, tal que

3 AH 3 MB 3 MH ; si

3 m ABV 2 m AMB y

MV 2 3 cm ; entonces el volumen

del sólido limitado por dicho cono (en cm3) es

A) 36 B) 12 C) 48

D) 30 E) 24

88. En un cono de revolución se inscribe

una esfera. Si la altura del cono mide 40 m y el diámetro de su base 60 m, entonces la longitud (en m) del radio de la curva común a la esfera y al cono es A) 18 B) 15 C) 12 D) 9 E) 6

89. En la base de un cono equilátero cuyo vértice es P, se trazan los diámetros

perpendiculares AB y CD . Si C es un punto del arco AB, tal que la distancia

entre AP y CB es 2 21

u7

, entonces

el volumen (en u3) del sólido limitado por el cono equilátero es

A) 3 B) 3

2

C)

3

3

D) 6

3

E)

6

4

V

O

V

A B

M

H



90. En una esfera de radio R está inscrito un cono de revolución equilátero. ¿A qué distancia del centro de la esfera se debe trazar un plano paralelo a la base, para que el área de la base del cono sea equivalente al área que determina el plano en la esfera y el cono?

A) R

3 B)

R

4 C)

R

5

D) R

6 E)

2R

3

91. Calcule la altura de un cono recto de

revolución que limita un volumen máximo inscrito en una esfera de radio R.

A) R

2 B)

R

3 C)

R

4

D) 4

R3

E) 5

R3

92. Un tetraedro regular de arista a está

inscrito a una esfera de radio R ¿en

qué relación están R

a?

A) 6

4 B)

6

3 C)

2 6

3

D) 3

64

E) 2

33

93. Se tiene un octante de esfera inscrito

en un hexaedro regular y a la vez está circunscrito a otro hexaedro regular. Calcule la relación entre las áreas totales de los hexaedros.

A) 1

6 B)

1

9 C)

1

4

D) 1

2 E)

1

3

94. Se traza un plano secante a una

esfera de modo que el área del círculo determinado es igual a la diferencia de las áreas de los dos casquetes

esféricos formados. Si la distancia del plano al centro de la esfera es

5 2 u . Entonces la longitud (en u)

del radio de la esfera es

A) 1 B) 2

3 C)

6

2

D) 2 E) 3

95. El diámetro de una esfera mide 10 u y

en ella se inscribe un cilindro de revolución de 6 u de diámetro. Entonces el volumen (en u3) del sólido comprendido entre las superficies esférica y cilíndrica es

A) 128

3 B)

256

3 C)

248

3

D) 284

3 E)

824

3

96. Una esfera de radio R se divide en

dos semiesferas; en una de ellas se

inscribe otra esfera de radio R

r2

y

en la otra se inscribe un cono circular recto cuya base es el semicírculo máximo de la semiesfera. Halle la relación entre el volumen del cono y la esfera inscrita. A) 1,0 B) 1,5 C) 2,0 D) 2,5 E) 3,0

97. En la figura, O es el centro de la circunferencia, si AO r u y el arco

PQ mide 30, entonces la diferencia de los volúmenes (en u3) de los sólidos generados por las regiones sombreadas al girar una vuelta

alrededor del eje AB es

A O B

P

Q

r



A) 3r

3

B)

3r

4

C)

3r

6

D) 3r

9

E)

3r

12

98. Cuatro esferas congruentes son

tangentes entre sí formando una pila triangular. Si el radio de una de las esferas mide Ru, entonces la longitud(en u)de la altura de la pila es

A) 3R3 6

2 B) 2R

3 63

C) 2R6 6

3 D) 2R

3 2 63

E) 3R6 6

5

99. Si una región triangular ABC, de altura BH 3 u y lado AC 4 u gira

una vuelta alrededor del eje AC , entonces el volumen(en u3) del sólido generado por la región triangular es A) 10 B) 12 C) 15

D) 16 E) 20

100. Una circunferencia cuyo radio

mide 3 cm, gira una vuelta alrededor de una recta tangente a la circunferencia. Entonces, el área (en cm2) de la superficie generada por la circunferencia es

A) 232 B) 236 C) 240

D) 242 E) 250

2do_Repaso Geometría 2013-2 (Ordinario)

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