1

VACIADO DE UN TANQUE CON FORMA DE CONO TRUNCADO Y ESFÉRICO

Miguel Barba (1), David Flores (2), Pamela Herrera (3) y Vanessa Maldonado (4)

Laboratorio de Química Orgánica e Investigaciones Aplicadas, Departamento de Ciencias nucleares, Escuela Politécnica Nacional, Ladrón de Guevara E11-253, Quito, Ecuador. Teléfono: (005932)2507144(ext.2446). E-Mail: (1) mikhal24@hotmail.es, (2) davof-18@hotmail.com, (3) pameherrera_@hotmail.com (4) vanessa.maldonado@est.epn.edu.ec.

Resumen

El trabajo realizado tuvo como objetivo determinar la forma, constante C y altura óptima de un tanque para el vaciado de agua, teniéndose como opciones un tanque de cono truncado y un tanque esférico. Para ello, se dedujo el modelo matemático por medio de ecuaciones utilizando el método de Euler. Con el modelo obtenido se realizó la programación correspondiente en Matlab y se obtuvieron las gráficas correspondientes a la altura de vaciado con respecto al tiempo para diferentes valores de C, para las diversas formas del tanque. Se determinó que es conveniente trabajar con un valor de C igual a 2,45 y una altura del líquido de 2,7 m para los tanques de forma esférica y cónica debido a que a estos valores el sistema alcanza el equilibrio sin que exista desbordamiento. El diseño más eficiente del tanque de almacenamiento corresponde al de forma esférica.

Palabras clave: Tanque, vaciado, Euler, esférico, cónico, modelo.

Abstract

The work done had as objective to determine the maximium shape, constant C and height of a tank for emptying water. There were two options: a truncated cone or spherical tank. To achieve it, it was deduced the mathematic model using equations and applying the Euler Method. With the obtained model, the programation was done in Matlab and it was obtained the graphics of the emptying height in regard to the time for different values of C, for the two shapes of the tank. It was determined that it is convenient to work with a C value of 2,45 and a height of 2,7 m for the truncated cone and spherical tank because in these values the system achieve the equilibrium without overflow. The most efficient tank design corresponds to the spherical tank.

Key words: Tank, emptying, Euler, spherical, conic, model.

1. Introducción

Métodos numéricos

Un método numérico es un procedimiento mediante el cual se obtiene de manera aproximada, la solución de ciertos problemas realizando cálculos puramente aritméticos y lógicos como:

Operaciones aritméticas elementales Cálculo de funciones Consulta de una tabla de valores Cálculo preposicional

Especifican una secuencia de operaciones algebraicas y lógicas, que producen una

aproximación de la solución del problema. La eficiencia en el cálculo de dicha aproximación depende, en parte, de la facilidad de implementación del algoritmo y de las características especiales y limitaciones de los instrumentos de cálculo (Seminario, 2013, p.4).

Modelo matemático

Un modelo matemático se define como una formulación o una ecuación que expresa las características esenciales de un sistema físico o de un proceso en términos matemáticos. En general, el modelo se representa mediante una relación funcional de la forma:

2

Variable dependiente = f (variables independientes, parámetros, funciones de fuerza) [1]

Donde la variable dependiente es una característica que generalmente refleja el comportamiento o estado de un sistema; las variables independientes son dimensiones tales como tiempo y espacio, a través de las cuales se determina el comportamiento del sistema; los parámetros son el reflejo de las propiedades o la composición del sistema; y las funciones de fuerza son influencias externas que actúan sobre el sistema. (Chapra y Canale, 2007, p. 12).

Solución de una Ecuación Diferencial Ordinaria

Las ecuaciones diferenciales tienen importancia fundamental en las aplicaciones, ya que muchas leyes y relaciones físicas pueden idealizarse matemáticamente en la forma de estas ecuaciones.

Método de Euler

Es un método numérico el cual consistente en ir incrementando paso a paso la variable independiente y hallando la siguiente imagen con la derivada. Este método se aplica para encontrar la solución a ecuaciones deferenciales ordinarias cuando la función involucra solo una variable dependiente. (Chávez, 2012, p. 1). dydx

=f (x , y ) [2]

f ' ( x )= lim∆ x→0

f ( x+∆ x )−f ( x )∆x

= lim∆x→ 0

yi+1− yi∆ x

yi+1− yi∆ x

[3]yi+1= yi+ƒ (xi, yi)h [4]

Se predice un nuevo valor de y usando la pendiente que es igual a la primera derivada en el valor original de x para extrapolar linealmente sobre el tamaño de paso h. (Chapra y Canale, 2007, p. 720).

Figura 1.1. Método de Euler (Chapra y Canale, 2007, p. 720)

2. Metodología

Se solicitó realizar el modelado del drenaje de dos tanques: uno con forma de cono truncado y otro con forma de esfera. Para resolver el problema planteado, se realizaron las deducciones del modelo matemático a través del método de Euler y se utilizó Matlab para obtener las gráficas correspondientes a la altura de vaciado con respecto al tiempo para diferentes valores de C, para las diversas formas del tanque. A continuación se presenta la deducción de los modelos.

2.1. Formulación del modelo para el drenaje del cono truncado

Figura 2.1.1. Modelo de un cono truncado

Acumulación = Entrada – Salida [5]dmdt

=F1∗ρ+F2∗ρ [6]

F2=Ao∗c∗√2∗g∗h [7]

3

m=V∗ρ [8]

V 1=π3R2(h+k) [9]

V 2=π3r2 k

[10]V=V 1−V 2 [11]

V= π3

(R¿¿2h+R2k−r 2k )¿

[12]kH

= rR [13]

H=h+k [14]

R=r (h+k )k

[15]

[15] en [9]

V= π3

(r 2(h+k )2

k2 (h+k )−r2 k ) [16]

H=ho+ ho−r(R−r )

[17]

V= π3

[( r2. h2

k2 +2h r2

k+r2) (h+k )−r2 k ]

[18]

dV=π3

[( 2 r2

k 2 h+2r 2

k )(h+k )+( r2 . h2

k22hr2

k+r2)]dh

[19]

dV=π3

¿ [20]

ρ π3

¿ [21]

Suponemos que no hay una gran variación de la temperatura por lo que se puede considerar la densidad constante dhdt

=3 k2

πr2 ¿) [22]

Método de Euler

dhdt

=hi+1−hi∆ t

[23]

Modelo para el drenaje de un tanque con forma de cono truncado

hi+1=hi+3k2

πr2 ( F1(h+k )2

− Ao∗c(h+k )2

√2gh)∗∆ t

[24]

2.2. Formulación del modelo para el drenaje de una esfera

Figura 2.2.1. Modelo de esfera

Acumulación = Entrada – Salida [25]dmdt

=F1∗ρ+F2∗ρ [26]

F2=Ao∗c∗√2∗g∗h [27]m=V∗ρ [28]

V= π3h2(3R−h) [29]

d ( π3h2 (3 R−h ))ρ

dt=F 1∗ρ−Ao∗c∗ρ∗√2∗g∗h

[30]

Suponemos que no hay una gran variación de la temperatura por lo que se puede considerar la densidad constante

d ( π3h2 (3 R−h ))

dt=F 1∗−Ao∗c∗√2∗g∗h

[31]

4

Método de Euler

dhdt

=hi+1−hi∆ t

[32]

dhdt

=F 1π ( 1

2 Rh−h2 )− Ao∗cπ ∗√ 2gh2Rh−h2

[33]

Modelo para el drenaje de un tanque con forma de esfera

hi+1=hi+F1π ( 1

2 Rh−h2 )− Ao∗cπ ∗√ 2 gh2 Rh−h2∗∆ t

[34]

3. Resultados y discusión

Los resultados obtenidos de la altura del tanque para diferentes valores de C se presentan en las Figuras 3.1., 3.2; y 3.3 para los tanques cilíndrico, esférico y cónico respectivamente.

Figura 3.1 Altura del tanque cilíndrico vs. Tiempo para diferentes valores de C

Figura 3.2. Altura del tanque esférico vs. Tiempo para diferentes valores de C

Figura 3.3. Altura del tanque cónico vs. Tiempo para diferentes valores de C

Los resultados obtenidos en cuanto a la altura de los tres tanques para un valor de C=2,45 se presentan en la Figura 3.4.

Figura 3.4. Altura del tanque vs. Tiempo para C=2,45

Los resultados presentados en la Figura 3.1. muestran como el sistema alcanzó el equilibrio en una hora de operación para

5

diferentes valores de constante C. La línea a tiene un valor de C igual a 2,45, la línea b un C de 2,55 y la línea c presenta un valor de C de 2,8. El valor de la constante C óptimo para que el sistema alcance el equilibrio corresponde a 2,45, ya que a este valor se tiene una altura de equilibrio cercana a la altura del tanque la cual corresponde a 3 m.

En cuanto a los tanques de forma esférica (Figura 3.2) y cónica (Figura 3.3), se realizó el mismo análisis y se trabajó con los mismos valores de C antes mencionados, donde para estos tanques se tiene que el valor de la constante C óptimo es 2,45.

Además se realizó un análisis de la altura que deben tener los tanques para evitar el desbordamiento cuando se trabaja con un valor de C igual a 2,45 estos resultados se presentan en la Figura 3.4. La línea a corresponde al tanque esférico, línea b al tanque cilíndrico y la línea c al tanque cónico. Se observa que para los tres tanques es conveniente trabajar con una altura del líquido de 2,7 m.

Con base en los resultados obtenidos se logró determinar que es más conveniente trabajar con un tanque esférico debido a que este alcanzó la su altura de equilibrio en menor tiempo respecto a los otros. Además contar con un tanque esférico es la alternativa más económica para el almacenamiento de fluidos ya que la forma esférica es la forma natural que toman los cuerpos al ser sometidos a presión interna, sin embargo su fabricación resulta ser más costosa en comparación a un tanque cilíndrico.

4. Conclusiones

1. Se determinó que es conveniente trabajar con un valor de C igual a 2,45 y una altura del líquido de 2,7 m para los tanques de forma cilíndrica, esférica y cónica, ya que a estos valores el sistema alcanza el equilibrio sin que exista desbordamiento.

2. El diseño más eficiente del tanque de almacenamiento corresponde al de forma esférica.

Referencias bibliográficas

1. Chapra S., Canale R. (2007). Métodos Numéricos para Ingenieros. (5ta ed.). México DF, México: McGraw-Hill Interamericana.

2. Seminario R. (2013). Métodos Numéricos Para Ingeniería. Recuperado de http://disi.unal.edu.co/~lctorress/MetNum/LiMetNu2.pdf (Octubre, 2015).

3. Chávez M. (2012). Método de Euler. Recuperado de http://www.gridmorelos.uaem.mx/~mcruz/cursos/mn/euler.pdf (Octubre, 2015).

ANEXOS

ANEXO I. Programación en Matlab para los diferentes tipos de tanque

clcclear all%Trabajo 2015/10/25%Integrantes Pamela Herrera, Miguel Barba, David Flores, Vanessa Maldonadon=input('Ingresar el tipo de tanque que se analizará, 1: cilíndrico, 2:cónico ó 3: esférico: ');switch n case 1

6

disp('Método de Euler para resolver el vaciado de un tanque vertical cilíndrico');ho=2.5;%altura inicial del tanque ingresada [m] to=0;% tiempo inicial [min]C=input('Ingrese el valor de la constante: \');deltat=0.5;%ingresa los datos solicitados hn=3;Ao=0.0028;% valor de la constante que depende del area, forma y del agujero de vaciadoR=1.5;F1=0.05;h=ho;t=to;g=9.81;tn=3600;while(tn>=t & hn>=h & h>=0), h=(((F1-(Ao*C*sqrt(2*g*h)))/(pi*(R^2)))*deltat)+h; t=t+deltat; hold on;% permite obtener los valores de t y y para cada ciclo del lazo plot(t,h,'r')% construye la gráfica deseadaend xlabel('Tiempo[min]') ylabel('Altura del tanque [s]') case 2disp('Método de Euler para resolver el vaciado de un tanque vertical truncado cónico');ho=2.5;%altura inicial del tanque ingresada en m hn=3;%altura total del tanqueto=0;% tiempo inicial en mi1nutosR=2.5;%radio mayor del tronco de cono [m]r=1.5;%radio menor del tronco de cono [m]%Para el cono truncado deben ingresar los valores tanto del radio mayor%como del menor iniciales, a fin de definir el volumenC=input('Ingrese el valor de la constante C: \');deltat=0.5;%ingresa los datos solicitados Ao=0.0028;% valor de la constante que depende del area, forma y del agujero de vaciadoF1=0.05;h=ho;t=to;g=9.81;tn=3600;k=(hn*r)/(R-r);% while nos permite realizar los calculos hasta el valor final de y que en% este caso corresponde a 0 (donde se alcanzo el vaciado)while(tn>=t & hn>=h & h>=0), h=(((3*k^2)/(pi*r^2))*((F1/(h+k)^2)-(((Ao*C)/(h+k)^2)*sqrt(2*g*h)))*deltat)+h; t=t+deltat; hold on;% pemrmite obtener los valores de t y y para cada ciclo del lazo plot(t,h,'b')% construye la grafica deseada end xlabel('Tiempo[s]') ylabel('Altura del tanque [m]') case 3disp('Método de Euler para resolver el vaciado de un tanque vertical esférico');ho=2.5;%altura inicial del tanque ingresada [m]to=0;% tiempo inicial en [min]

7

C=input('Ingrese el valor de la constante C: \');deltat=0.5;%ingresa los datos solicitados hn=3;Ao=0.0028;% valor de la constante que depende del area, forma y del agujero de vaciadoR=1.5;F1=0.05;h=ho;t=to;g=9.81;tn=3600;while(tn>=t & hn>=h & h>=0), h=(((F1-(Ao*C*sqrt(2*g*h)))/(pi*(2*R*h-(h^2))))*deltat)+h; t=t+deltat; hold on; plot(t,h,'m')end xlabel('Tiempo[s]') ylabel('Altura del tanque [m]') otherwise disp('No se ha especificado ninguno de los tipos disponibles')end