Expo_Flujo Esferico No Estacionario en Yacimientos de Aceite

México, Distrito Federal 19 de Mayo del 2015

Tema: Flujo esférico y no estacionario (transitorio)

en Yacimientos petroleros

Articulo: SPE 1305

Autor:

Miguel Ángel Vidal Arango

Productividad de pozos

Análisis del Yacimiento

Recuperación: - Secundaria - Mejorada

Simulación numérica de Yacimientos

Esfera

Catedrático: Dr. Heber Cinco Ley Clases de maestría en IEERN, Análisis moderno de pruebas de presión.

http://www.ingenieria.unam.mx/

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Autor:


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Contenido

Resumen e Introducción.

Consideraciones Preliminares y flujo no estacionario

Aplicaciones en Ingeniería

Consideraciones Teóricas - Ecuación diferencial fundamental

Permeabilidad promedio y uso de la transformada de Laplace

Resultados

Fuente: Apuntes del Dr. Heber Cinco Ley Clases de maestría en IEERN, Análisis moderno de pruebas de presión.

http://www.ingenieria.unam.mx/spifi/paginas/posgrado1.html

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Resumen e Introducción:

Resumen: En este articulo de la SPE 1305-PA , se tiene una descripción de las características geométricas del sistema de yacimientos esféricos, donde se realiza la discusión del flujo en estado no estacionario de tales sistemas y ejemplos en ingeniería aplicadas que se presentan como material de fondo. Con la ecuación diferencial fundamental, se describe la permeabilidad promedio esférica y la introducción a la transformada de Laplace con fundamentos teóricos. Estos conceptos de ingeniería, fueron investigados para indicar las soluciones particulares de interés, que son analíticamente obtenidas con la ayuda de la transformada de Laplace. Siendo numéricamente evaluados por computadora, y presentados en forma de tabla. Introducción: Con el análisis matemático se maneja el flujo no estacionario, para el flujo de fluidos a través del medio poroso, generalmente requieren incorporación de una simetría geométrica. Las formas más simples incluyen: la lineal, cilíndrica (RadiaI) y esférica. Siendo la mayoría de los esfuerzos analíticos en donde se han concentrado más con la simetría cilíndrica, debido a que ocurre con más frecuencia en los pozos petroleros. Sin embargo, algunos yacimientos que existen están mejor aproximados por la geometría esférica. La revisión de la literatura técnica reveló que un sola referencia nos lleva al flujo esférico inestable. El motivo "y el propósito del presente trabajo es eliminar esta brecha en la información técnica y poder proporcionar al ingeniero con la practica, algunas herramientas analíticas. La matemáticas asocian los detalles con las soluciones de interés particular involucrando el uso de la transformada de Laplace . Hurst y van Everdingen previamente demostraron la eficacia de esta técnica operacional, y en muchos aspectos el presente tratamiento fue modelado después de su trabajo anterior.



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Consideraciones y Flujo no estacionario

Consideraciones Preliminares: Geométricamente, un sistema de yacimiento esférico; se define en cualquier instante de tiempo por dos hemisferios concéntricos, cuyas propiedades físicas de interés varían solamente con la distancia radial. Cada propiedad física está por lo tanto, restringida a ser una función del espacio de sólo una variable: con la distancia a lo largo de un radio del vector que emana desde el centro. Tal sistema se compone de una región exterior y una región interior, separadas por un límite interno definido. La región interior simplemente se extiende hacia el interior a partir de este límite, mientras que la zona exterior se extiende hacia el exterior de ella a un límite externo. La posición de la frontera interna se presume fija, de modo que el, el tamaño de la región interior permanece constante. Por otro lado, la posición externa límite en cualquier instante de tiempo dado, se determina por la distancia en el sistema. Por lo tanto, el límite externo puede cambiar de posición con el tiempo. Inicialmente emerge de la región interior y avanza hacia afuera a su posición final. Cuando esta posición definitiva coincide con una geométrica límite, se dice que el sistema es limitado. Cuando coincide con los puntos sometidos a la presión y gradientes eliminan más alejado del límite interno, sin embargo, por debajo de un límite geométrico, el sistema de se dice que no es limitado. En esta investigación se imponen dos condiciones de contorno diferentes al final. Un comportamiento con sistemas limitados. La primera exige que no hay flujo de fluidos ocurre a través de esta frontera. La segunda que la presión permanezca fija en esta frontera.



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Consideraciones y Flujo no estacionario

Flujo no estacionario: En sentido estricto prácticamente todos los fenómenos de flujo asociados a un sistema de yacimientos, están en estado no estacionario. El comportamiento transitorio de estos fenómenos , requiere medirse, sin embargo, solo cuando introducimos el tiempo debe ser una variable explícita. De lo contrario, será utilizado para flujo estacionario. Analíticamente, prevalecen condiciones de estado estacionario en un sistema solo sobre la parte de su historia cuando esta relación se cumple tenemos: Pero, para realizar esto, el yacimiento debe tener un fluido ideal, que implica una viscosidad nula, o fluido incompresible, que implica una compresibilidad nula; o debe tener presiones fijas con el tiempo tal que la derivada en el tiempo se vuelve infinito. Evidentemente , este régimen permanente con esas condiciones son prácticamente imposibles de alcanzar, ya que estas disposiciones son abstracciones y no propiedades de los sistemas físicos, porque si ocurren cambios con el tiempo. Desde el punto de vista práctico, sin embargo, este hecho no excluye la aplicación mecánica en estado estacionario, porque en muchas situaciones la Ec. 1 está estrechamente aproximada. Las propiedades físicas importantes que determinan el grado de comportamiento transitorio en sistemas de yacimientos esféricos, se exhiben en el momento del reajuste con el tiempo de modo que se aproxima por: Donde estos factores son para el tamaño del sistema, la compresibilidad y movilidad. Esta combinación para la longitud del yacimiento se reajusta con el mecanismo de flujo no estacionario, usado para las presiones adimensionales.



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Aplicaciones en Ingeniería

Aplicaciones en la Ingeniería: Cuando un campo es manejado por agua, y es caracterizado por la invasión desde el fondo de agua con hidrocarburo, usualmente se llena solo una parte del espesor total de la formación y es sustituida por el agua. Resultando el flujo del agua introducido gradual y uniformente hacia la zona productora. Siendo de interés particular al ingeniero de yacimientos estos métodos, de forma independiente para el principio del balance de materia, para determinar la afluencia de agua que entra desde el fondo conducida hacia el yacimiento.

En primer lugar estos métodos ofrecen la determinación del numero de propiedades del yacimiento a través del análisis de la historia del yacimiento y otras relaciones. En segundo lugar la producción independiente que produce la afluencia de agua para predecir a futuro el rendimiento del yacimiento. Muchos campos manejados con agua desde el fondo, tienen una solución que obedece a la geometría esférica.

Por lo tanto las soluciones fundamentales para las ecuaciones de flujo son apropiadas para esta simetría, donde pueden utilizarse para determinar analíticamente la entrada de agua para esta clase de yacimientos. Aunque muchos pozos son terminados después de la perforación o parcialmente terminados. En donde se puede considerar las condiciones y el daño, también las soluciones analíticas aplican solo para una sola fase de flujo compresible. Aunque el resultado algunas veces puede ser usado (con interpretación propia) para el flujo de gases donde las caídas de presión son pequeñas, y se asume que el flujo de aceite y gas se sobre imponen drásticamente.



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Ecuación Diferencial fundamental

Consideraciones Teóricas: La ecuación diferencial fundamental que gobierna la dinámica de los fluidos líquidos compresibles a través del sistema de yacimientos esféricos se escribe: Donde la porosidad, compresibilidad, y movilidad son interpretadas como correcciones promedio, y donde los efectos de gravedad se desprecian. Donde se define de forma adimensional la longitud, el tiempo y la presión del radio respectivamente: Para introducirnos con la relación a la ecuación 3, la podemos reescribir así: Que representa la ecuación diferencial fundamental de forma adimensional apropiada para el sistema de yacimientos caracterizados por simetría esférica.



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Permeabilidad promedio de la esfera

Aplicación de la transformada de Laplace

(K)Permeabilidad promedio en la esfera: Sabemos que en un medio poroso, con un sistema no isotrópico, la K vertical es menor que la K horizontal, donde en algunas ocasiones la diferencia es mucha, cuando la simetría esférica 3d se considera en el espacio, y es necesario incluir los efectos de anisotropía. Para la K radial en un medio poroso esférico se caracteriza por tener una K vertical uniforme, pero la K horizontal se compone y puede describirse analíticamente por: La permeabilidad esférica promedio se obtiene con el volumen integral: Que evaluando nos daría la permeabilidad promedio de la esfera: La ecuación diferencial expresada para un sistema yacimiento esférico fue expresada de forma adimensional en la Ec. 7 Donde se define el producto:



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La Ec. 7 puede escribirse de forma alterna como: En la transformada de Laplace la b se obtiene por la integral definida como: Cuando multiplicamos todos los términos de la transformada e integramos con el tiempo la Ec. 12 se convierte de una ecuación diferencial parcial a una ecuación diferencial ordinaria: La solución general para esta ecuación se puede escribir entonces: Donde Cn, es una constante arbitraria. Particularmente las soluciones para esta ecuación generada, corresponden en especifico al comportamiento de la solución generada, que fueron obtenidas de la evaluación apropiada de las constantes que aparecen en la solución general.



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Con las ecuaciones anteriores se pueden ir obteniendo los datos para la selección particular de las soluciones: Para el caso de flujo radial, Para el caso de la presión, Para el caso del gasto, Para un sistema ilimitado a partir de la Ec 15 tenemos: Para la entrada del flujo de forma adimensional tenemos esta ecuación: Para el caso de un sistema limitado con una frontera externa las condiciones de geometría y ecuaciones serian: De esta forma se puede calcular de forma hiperbólica para b y para eD y FD , donde para un sistema ilimitado se genero la siguiente tabla de variables con su información:



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Resultados


Para finalizar, se realizo la solución numérica computacional en particular: Que parte de la Ec. 7, para buscar una solución aproximada. Específicamente incluyen las funciones definidas en las Ecs 34, 36, 40, 46, 49, 53, 58, 60 y 64. El código realizado numéricamente para resolver estas ecuaciones fue realizado en Fortran, donde las funciones para los rangos anteriormente mostrados en la tabla van, desde 0.001 hasta 1,000,000 para el tiempo adimensional. Las tablas trigonométricas describen la relación de las ecuaciones 47, 52 y 63 obtenidas. Donde se desarrollaron las raíces wn, donde n=6 de los datos obtenidos.

Finalmente para los radios adimensionales se tomo en cuenta rD de: 2 hasta 100, con el tiempo adimensional comentado.

Representación de flujo no estacionario, en un yacimiento esférico; pendiente m= -1/2.


Referencias del articulo: SPE1305-PA


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SNY PRODUCTIVIDAD

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