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UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR MA1112 enero-marzo de 2004Departamento de MatemáticasPuras y Aplicadas. Volúmenes de sólidos de revolución y sólidos con secciones transversales conocidas

1

Ejercicios sugeridos para :

los temas de las clases del 18 y 23 de marzo de 2004.

Temas :Volúmenes de sólidos de revolución.

Método de los discos y arandelas; método de los cascarones.Volúmenes de sólidos con secciones transversales conocidas

1.- Halle el volumen del sólido de revolución generado, al girar alrededor del eje de rotación que se indica en cada caso, por el triángulo del plano {Oxy}, de vértices : A(1,0), B(3,0), C(3,6) .

1a) el eje x; verifique que en este caso se obtiene el volumen de un cono de altura h=2 y radio de base r=6 ;

1b) la recta x=3 ; verifique que en este caso se obtiene el volumen de un cono de altura h=6 y radio de base r=2 ;

1c) la recta x=5 ;

1d) el eje y ; 1e) la recta y=6; 1f) la recta y=-1 .

2.- Halle el volumen del sólido de revolución generado, al girar alrededor del eje de rotación que se indica en cada caso, por la región del plano {Oxy} limitada por las

curvas de ecuaciones : x2 - 32y = 0 , y = √3

x ;

2a) el eje x ; 2b) el eje y ; 2c) la recta x=8 ;

2d) la recta x = -1 ; 2e) la recta y=3 ; 2f) la recta y= -2 .

3.- Halle el volumen del sólido de revolución generado, al girar alrededor del eje de rotación que se indica en cada caso, por la región del plano {Oxy} limitada por la parábola de ecuación : x - y2+2y - 2 = 0 y por el segmento de extremos A(2, 0), B(10, 4) ;

3a) el eje x ; 3b) el eje y .

4.- Resuelva los ejercicios 23, 27, 36, 37 de la sección 6.2 del texto.

["Cálculo" de Purcell-Varberg-Rigdon ; Ed. Prentice-Hall. 8a edición]

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2

R E S P U E S T A S

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1a) Usando el método de los discos y arandelas. Consideremos una partición, P=(x0, x1, ...,xn), del intervalo [1, 3] del eje x así como los rectángulos de base ,

respectivamente, [xk-1,xk] y altura f(xk)= 3(xk-1) [ya que la recta que pasa por los vértices A(1, 0), C(3, 6), del lado oblicuo del triángulo ABC, tiene ecuación y=3(x-1) ] ;

el volumen de una genérica arandela (que en el presente caso es un disco) lo podemos expresarcon la fórmula ∆Vk = πf2(xk)∆xk = π.9(xk-1)2∆xk y el límite de la suma de Riemann (cuando la

norma de la partición tiende hacia cero) queda expresado por la integral : ∫1

3π.9(x-1)2dx , ya que

en el presente caso se tiene (con referencia a la figura) : R= f(x)= 3(x-1) , r = 0, ∆h=∆x .

En conclusión, el volumen pedido es : V= ∫1

3π.9(x-1)2dx = 24π .

1a) Usando el método de los cascarones.Esta vez consideraremos una partición P=(y0, y1, ...,yn), del intervalo [0, 6] del eje y. Para cada uno de los intervalos [yk-1, yk]

consideraremos el rectángulo de altura ∆yk=(yk- yk-1) y base h =xk" - xk' ,

con xk'= yk+3

3 , xk"=3 . Cada uno de estos rectángulos genera un cascarón, cuyo volumen es :

∆Vk = 2πhr∆r = 2π(xk" - xk' )yk.∆yk y el límite de la suma de Riemann (cuando la norma de la

partición tiene hacia cero) queda expresado por la integral : ⌡⌠

0

6

2π(3- y+33 )y.dy , ya que en el

presente caso se tiene (con referencia a la figura): r = y , ∆r=∆y , h= 3 - y+33 ) .

1b) Usando el método de los discos y arandelas.

r=0 , R=3-x1=3-(y+33 )=2-

y3 , ∆h=∆y ; ∆V = π(R2-r2) ∆h = π[(2-

y3 )2-02]∆y ;

V = ⌡⌠

0

6

π [(2-y3 )2-02]dy = π ⌡

⌠

0

6

[4 +y2

9 - 43 y ]dy = 8π .

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4

1b) Usando el método de los cascarones.

r = 3-x , h = y2 -y1 = (3x-3)-0 = 3x-3 , ∆r=∆x ; ∆V = 2π.h.r.∆r = 2π.(3x-3)(3-x)∆x ;

V= 2π. ∫1

3(3x-3)(3-x)dx = 2π. ∫

1

3

(12x-3x2-9)dx = 8π .

1c) Usando el método de los discos y arandelas.

r = 5 - x2= 5-3= 2 , R= 5 - x1= 5 -(y+33 )=4 -

y3 , ∆h=∆y; ∆V= π(R2-r2)∆h = π[(4-

y3 )2-22]∆y ;

V = ⌡⌠

0

6

π [(4-y3 )2-22]dy = π ⌡

⌠

0

6

[12 +y2

9 - 83 y ]dy = 32π .

1c) Usando el método de los cascarones.

r = 5-x , h = y2 -y1 = (3x-3)-0 = 3x-3 , ∆r=∆x ; ∆V = 2π.h.r.∆r = 2π.(3x-3)(5-x)∆x ;

V= 2π. ∫1

3(3x-3)(5-x)dx = 2π. ∫

1

3

(18x-3x2-15)dx = 32π .

1d) Usando el método de los discos y arandelas.

r = x1 - 0 = y+33 , R= x2 - 0 = 3 -0 =3 ∆h=∆y;

∆V= π(R2-r2)∆h = π[32-(y+33 )2] = π[ 8 -

y2

9 - 23 y ] ; V = π ⌡

⌠

0

6

[8 -y2

9 - 23 y]dy = 28π.

1d) Usando el método de los cascarones.

r = x , h = y2 -y1 = (3x-3)-0 = 3x-3 , ∆r=∆x ; ∆V = 2π.h.r.∆r = 2π.(3x-3)x∆x ;

V= 2π. ∫1

3(3x-3)x.dx = 2π. ∫

1

3

(3x2-3x)dx = 28π.

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5

1e) Usando el método de los discos y arandelas.

r=6-y2= 6-(3x-3) = 9-3x , R = 6-y1=6-0=6 , ∆V= π(R2-r2)∆h = π(62-(9-3x)2)∆x ;

V = π ∫1

3 [54x-9x2-45]dx = 48π.

1e) Usando el método de los cascarones.

r =6-y , h = x2 -x1 = 3 -x1 = 3 - (y+33 ) = 2-

y3 , ∆r=∆y ;

∆V = 2π.h.r.∆r = = 2π.(6-y)(2-y3 )∆y , V = 2π ⌡

⌠

0

6

[12+y2

3 - 4y]dy = 48π.

1f) Usando el método de los discos y arandelas.

r= y1-(-1) = 0-(-1)= 1 , R= y2-(-1) = (3x-3)+1 = 3x-2 , ∆h =∆x ,

∆V= π(R2-r2)∆h = π( 9x2-12x+3)∆x , V = π ∫1

3 [9x2-12x+3]dx = 36π.

1f) Usando el método de los cascarones.

r=y-(-1) = y+1 , h = x2 -x1 = 3 -x1= 3 - (y+33 ) = 2 -

y3 ,

∆V = 2π.h.r.∆r = 2π.(2-y3 )(y+1)∆y , V = 2π ⌡

⌠

0

6

[43 y +3− y2

3 ]dy = 36π.

2).-En este ejercicio es muy importante que usted dibuje la gráfica de las dos funciones así comola figura limitada por las curvas dadas. Observe que la figura es una hoja situada en el primercuadrante, con una punta en el origen; hacia arriba y hacia la izquierda la figura está limitada por

la curvas de ecuación y=√3

x [ x=y3 ] ,mientras que hacia abajo y hacia la derecha está limitadapor el arco derecho de la parábola , 32y=x2 , [ x=√32y ] .

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6

2a) Usando el método de los discos y arandelas.

r = y1-0 = x2

32 , R = y2 - 0 = √3

x , ∆V = π[( √3

x )2 - ( x2

32 )2]∆x = π[x2/3- x4

1024 ]∆x ;

V = ⌡⌠

0

8

π[x2/3- x4

1024 ] dx = 645 π .

2a) Usando el método de los cascarones.

r= y , h = x2 -x1 = √32y - y3 , ∆V = 2π.h.r.∆r = 2π.(√32y - y3 )y∆y =2π.(4√ 2y3/2-y4)∆y ;

V = ∫ 0

2 π( 8√ 2 y3/2-2y4)dy =

645 π .


r = x1-0 = x1 = y3 . R= x2-0 = √32y ,

V = π ∫ 0

2 [ (√32y )2 - (y3)2 ]dy = π ∫

0

2 [32y - y6 ]dy =

3207 π .


r = x , h = y2 -y1 = √3

x - x2

32 ; ∆V = 2π.h.r.∆r = 2π.( √3

x - x2

32 )x.∆x ;

V = ⌡⌠

0

8

2π[x4/3 - x3

32]dx = 3207 π .

2c) Usando el método de los discos y arandelas.

r = 8-x2 = 8-√32y , R = 8-x1 = 8- y3 ; ∆r =∆y ;

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7

V = π ∫ 0

2 [ ( 8- y3)2 - (8-√32y )2 ]dy = π ∫

0

2 [ -16y3+y6+16√32y - 32y]dy =

128021 π .

2c) Usando el método de los cascarones.

r = 8-x , h = y2 -y1 = √3

x - x2

32 , ∆V = 2π.h.r.∆r = 2π.( √3

x - x2

32 )(8-x).∆x ;

V = ⌡⌠

0

8

2π[8x1/3 - x4/3 -x2

4 +x3

32 ]dx = 128021 π .

2d) Usando el método de los discos y arandelas.

r = x1-(-1) = y3+1 , R = x2-(-1) = √32y + 1 ,

V = ∫ 0

2 π[ (√32y + 1)2 - (y3+1)2 ]dy = ∫

0

2 π[ 32y+8√ 2 y1/2-y6-2y3]dy =

124021 π .

2d) Usando el método de los cascarones.

r = x-(-1) , h= √3

x - x2

32 , ∆V = 2π.h.r.∆r = 2π.( √3

x - x2

32 )(x+1).∆x ;

V = ⌡⌠

0

8

2π[x4/3-x3

32 + x1/3- x2

32]dy = 124021 π .

2e) Usando el método de los discos y arandelas.

r = 3- y2 = 3 - √3

x , R = 3-y1 = 3 - x2

32 ,

V = ⌡⌠

0

8

π[( 3 - x2

32)2 - (3 - √3

x )2]dx = ⌡⌠

0

8

π[-316x2+

x4

1024+6x1/3-x2/3]dx = 1365 π .

X

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8

2e) Usando el método de los cascarones.

h = √32y -y3 , r = 3-y , ∆V = 2π.h.r.∆r = 2π.(4√ 2y1/2-y3)(3-y)∆y ;

V = ∫ 0

2 2π[12√ 2.y1/2- 4√ 2.y3/2-3y3+y4]dy =

1365 π .

2f) Usando el método de los discos y arandelas.

r = y1-(-2) = x2

32 +2 , R = y2-(-2) = √3

x +2 ; V = π ⌡⌠

0

8

[( √3

x +2)2 - ( x2

32 +2)2]dx =

= π ⌡⌠

0

8

[x2/3+4x1/3- x4

1024 - x2

8 ]dx = 59215 π .

2f) Usando el método de los cascarones.

h = y2 -y1 = √32y -y3 , r = y-(-2) ; ∆V = 2π.h.r.∆r = 2π.(4√ 2y1/2-y3)(y+2)∆y ;

V = ∫ 0

2 2π[4√ 2y3/2-y4+8√ 2y1/2-2y3]dy =

59215 π .

3.- Observemos que la curva de ecuación x = y2- 2y + 2 = 0 es una parábola con vértice en

el pto. V(1, 1) , que pasa por los ptos A(2, 0) , B(10, 4).

3a) Usando el método de los discos y arandelas.

si 1≤ x ≤ 2 , se tiene : R= 1+√x-1 , r = 1-√x-1 ;

si 2≤ x ≤ 10, se tiene R=1+√x-1 , r = x2 -1 . Por consiguiente :

X

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9

V = π ∫ 1

2 [(1+√x-1 )2-( 1-√x-1 )2]dx + π

⌡⌠

2

10

[(1+√x-1 )2-( x2 - 1 )2]dx =

= π ∫ 1

2 (4√x-1 ) dx + π ⌡

⌠

2

10

[2x-1 - x2

4 +2√x-1] dx = 83 π + 40π = 128

3 π .

3a) Usando el método de cascarones.

h = x2-x1 = (2y+2) - (y2-2y+2) = 4y-y2 ; r = y ;

V = 2π ∫ 0

4

(4y-y2)y dy = 1283 π .


R = 2y+2 , r= y2-2y+2 ;

V = π ∫ 0

4

[ ( 2y+2)2- (y2-2y+2)2 ]dy = π ∫ 0

4

[ -y4+4y3-4y2+16y ]dy =140815 π .


r = x ;

si 1≤ x ≤ 2 , se tiene : h= (1+√x-1 )-(1-√x-1 ) = 2√x-1 ) ;

si 2≤ x ≤ 10, se tiene h=(1+√x-1 )- ( x2 -1) = 2 -

x2 + √x-1 .

V = 2π ∫ 1

2

2x√x-1 dx + 2π ⌡⌠

2

10

[ 2x - x2

2 + x √x-1 ] dx = 6415π +

134415 π = 1408

15 π .

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4.- Indicaciones para la resolución de los ejercicios 23, 27, 36, 37 del texto.

23.-Un genérico plano (perpendicular al eje x) que pasa por el pto. de coordenadas (x, 0), tiene

por sección con la parte interior del círculo un segmento de longitud L(x)= 2√4-x2 , por lo cualla correspondiente sección cuadrada del sólido tiene área A(x)=L2(x) = 4(4-x2) y el volumen

pedido se obtiene con la integral : ∫ -2

2

4(4-x2) dx = 1283 .

27.- Uno de los dos cilindros (digamos aquel que tiene por eje el eje y) interseca al planovertical 0xz (que contiene al eje x y es perpendicular a ámbos ejes, x, y) según un arco decircunferencia de ecuación x2+z2=1; un genérico plano horizontal, α, (paralelo a los ejes x, y ),

situado a la altura "z" interseca a esta circunferencia en dos ptos. de los cuales B( √1-z2 , z ) estásituado en el primer cuadrante del plano Oxz; el segmento de extremos A(0, z) , B, es lado de lasección cuadrada del plano α con el sólido considerado. Por consiguiente el volumen de estesólido está dado por la integral :

V = ∫ 0

1

(__AB )2dz = ∫

0

1

((√1-z2)2dz) = ∫ 0

1

(1-z2)dz = 23 .

36.- Observemos que los planos perpendiculares a la base del cilindro y paralelos al diámetro (élque se menciona) de la base [ es decir : los planos paralelos al diámetro mencionado de la base y al eje delcilindro] tienen, con el volumen del líquido, secciones rectangulares. Indiquemos con a(x) lalongitud de la mitad de la base de una tal sección rectangular, con b(x) la altura de la misma,siendo x la distancia entre el plano considerado y el plano que pasa por el diámetro de la base y

el eje del cilindro. Entonces se tiene : a2+x2= r2 [Pitágoras] y b(x)x =

hr [triángulos semejantes] .

Por consiguiente se obtiene el volumen pedido: V=∫ 0

r 2a(x).b(x)dx=

⌡⌠

0

r

2 √r2-x2 hr x dx =

23hr2.

37.- Este ejercicio es el mismo que el anterior, con h=r.tg(θ) , de manera que : V = 23 r3. tg(θ).

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