2015_Presentación Aplicación Círculo de Mohr Ok (1)

8/19/2019 2015_Presentación Aplicación Círculo de Mohr Ok (1)

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Aplicación del Círculo de Mohr• Resolveremos paso a paso el siguiente problema mediante la aplicación del Círculo de Mohr con el

práctico concepto de FOCO: Un estudio de un elemento perteneciente a una estructura concluye que

está solicitado a un estado de tensión plana, encontrándose sometido a las tensiones s x !" M#a$tracción%, s y "&M#a $tracción%, y t xy "' M#a como se indica en la (gura siguiente) *e pide:

+) ncontrar las tensiones principales yla orientación de los planos en queact-an, y dibu.ar el elementodispuesto seg-n estos planos)

/) 0eterminar las tensiones

tangenciales má1imas y la tensiónnormal promedio asociada,mostrando los planos donde ocurren)0ibu.ar el elemento orientado seg-nestos planos)

2) Comparar la disposición delelemento girado seg-n los planos

principales, con la orientación delmismo seg-n los planos de má1imastensiones tangenciales)

") 0eterminar las tensiones que act-ansobre un plano orientado en unángulo u = 25˚ respecto del e.e x )Recordar que el ángulo u es positivoen sentido antihorario, y se mide

desde el semie.e x positivo)3) Mostrar todo el estado tensional

s x !"M#a

4

y

x

sy

"&M#a

t x y

"

'

M # a

Paralelepípedo recto elemental con losdatos del problema, obtenidos de unestudio preliminar correspondiente.


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s x !"4

y

x

sy "&

t x y

"

'

t yx "'

n este problema, las tensiones ya están orientadas seg-n la convención propuesta en losapuntes de la Cátedra, es decir que s x > sy , aunque es posible hacer el tra5ado sin tener encuenta la misma $se deja al alumno la inesti!aci"n de esta situaci"n%)#ara tra5ar el C) de Mohr, primero seleccionamos un sistema de e.es, utili5ando la siguienteconvención: (click) •

l eje hori#ontal ser$ paralelo a la direcci"n x del elemento, y sobre 6l se medirán en laescala adoptada las tensiones normales) l semie.e positivo se toma hacia la derecha, y en6l se representan tensiones de tracción) • l eje ertical ser$ paralelo a la direcci"n y del elemento, y sobre 6l se medirán en lamisma escala las tensiones tan!enciales) l semieje positio de t se admite para laconstrucción del C) de Mohr hacia abajo) • Utili5aremos la conenci"n alternatia de si!nos para las tensiones tan!encialespropuesta por %ere, considerándose positias las tensiones tan!enciales &ue tienden

a producir un !iro antihorario respecto de un punto interior del elemento ) n nuestroe.emplo, t xy sería positiva $giro antihorario respecto de 4%, mientras que t yx es negativa $ girohorario respecto de 4%) Nótese que esta convención es distinta a la usada para deducir lasecuaciones de transformación.

#aralelo al e.e x

7s$8%

tracción

t $8%

t horario$'%

t antihorario$(%

s $9%compresión

#aralelo al e.e y

t $9%

lemento con losdatos del *istema de e.es adoptado para el tra5ado del

C) de Mohr


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Comen5aremos con la construcción de lacircunerencia de Mohr)+) Representaremos en el sistema de e.es descripto, el estado tensional de la cara )

$de(nida por su normal x %, donde act-an s x = *+ $positiva tracción% y t xy = +$antihoraria positiva%) ;ueda así de(nido un punto - cuyas coordenadas serán: -s x / t xy 0< en nuestro caso - *+/ +0)

/) A continuación representamos el estado tensional de la cara 1 $de(nida por sunormal y %, donde act-an sy = + $positiva tracción% y t yx = '+ $horaria negativa%) ;ueda así de(nido un punto 3 cuyas coordenadas serán: 3 sy / t yx 0< ennuestro caso 3 +/ '+0)

2) Uniendo - con 3, queda determinado un diámetro -3 de la C) de M), cuyo centro seubica sobre el e.e s , con coordenadas C s prom / 40< en nuestro caso C4/ 40)

7 s

t

/7

"7

+7

27

37

&7

9/7

9"7

927

937

9&7

9+7

9+79/7927 +7 /7 27 "7 37 &7 !7 '7 =7 +77 ++7 +/7

- s x / t xy 0

3 sy / t yx 0

s x !"

4

y

x

s y "&

t x y

"

'

t yx "'

t yx "'

s y "&

Cara 1

Cara)

C s prom / 40


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") >ra5amos la circunerencia, con radio CA C? y con centro en C) 3) ;uedan así de(nidos los puntos P smáx / 40 y P2 smín / 40 que muestran los valores

de las tensiones principales s1= smáx y s2= smín < donde las tensiones tangenciales sonnulas) n nuestro caso P 4/ 40 y P2 4/ 40)

&) Asimismo los puntos 6s prom / t máx 0 y 62s prom / t mín0< donde las tensiones tangencialesalcan5an su má1imo valor y están acompa@adas de tensiones normales s prom) nnuestro caso 64 / 540 y 624 / '540)

n la pró1ima diapositiva vamos a determinar la posición del 4C4, para ubicar losdistintos planos) Utilizar el FOCO hace mucho más práctico, seuro y expe!iti"o eluso !e la C# !e $#, ya %ue el e&e !e re'erencia es el mismo %ue se usa en elelemento estructural, y los ánulos son i!nticos (!irectos), e"itán!ose realizaroperaciones a!icionales# Facilita la interpretacin conceptual inme!iata !e la"ariacin !e tensiones en el punto, e incluso posi*ilita la utilizacin !e esterecurso a mano alza!a y con escala aproxima!a para control#

9&7

s x !"

4

y

x

s y "&

t x y

"

'

t yx "'

Cara)

Cara 1

7 s

t

/7

"7

+7

27

37

&7

9/7

9"7

927

937

9+7

9+79/7927 +7 /7 27 "7 37 &7 !7 '7 =7 +77 ++7 +/7

- s x / t xy 0

3 sy / t yx 0

C s prom / 40

P smáx / 40P2 smín / 40

6 s prom + t máx 0

62 s prom + t mín0


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sy "&

!) #ara ubicar el 4C4, tra#amos por el punto 7-8 de la circun9erencia $que es el representativo del estado tensionalde la cara ) del elemento%, una paralela al eje x del prisma)

') 0e esta manera, en el C) de Mohr, podemos identi(car la tra#a del plano paralelo a la cara ) , donde act-an lastensiones s: y t:; ligadas a dicha tra5a $y por ende a la cara ) del elemento%) $Solo se muestra para interpretar elconcepto: no es necesario en la construcción del C. de M.%)

=) *eguidamente, tra#amos por el punto 738 de la circun9erencia $que es el representativo del estado tensional dela cara 1 del elemento%, una paralela al eje ; del prisma)

+7) 0e esta manera, en el C) de Mohr, podemos identi(car la tra#a del plano paralelo a la cara 1 , donde act-an lastensiones s

;

y t;:

ligadas a dicha tra5a $y por ende a la cara 1 del elemento %) $Solo se muestra para interpretar elconcepto: no es necesario en la construcción del C. de M.%)

++)n la intersección de ambas paralelas sobre la circunerencia, se encuentra el FOCO 7F8)

s x !"

4

y

x

sy "&

t x y

"

'

t yx "'

Cara)

Cara 1

9&7

7 s

t

/7

"7

+7

27

37

&7

9/7

9"7

927

937

9+7

9+79/7927 +7 /7 27 "7 37 &7 !7 '7 =7 +77 ++7 +/7

- s x / t xy 0

3 sy / t yx 0

C s prom / 40


6 s prom + t máx 0

62 s prom + t mín0

#aralela a B x que pasapor -

s x !"

t x y

"

'

>ra5a plano paralela aCara )

#aralela aB y que pasa

por 3

t yx "'

>ra5a plano paralela aCara 1

F


6/11

s y "&

F

s x

4

y

x

sy

t x

y

t yx Cara

)

Cara 1

9&7

7 s

t

/7

"7

+7

27

37

&7

9/7

9"7

927

937

9+7

9+79/7927 +7 /7 27 "7 37 &7 !7 '7 =7 +77 ++7 +/7

- s x / t xy 0

3 sy / t yx 0

C s prom / 40


6 s prom + t máx 0

62 s prom + t mín0

#aralela a B x que pasapor -

s x !"

t x y

"

'

>ra5a plano paralela aCara )


por 3

t yx "'

>ra5a plano paralela aCara 1

+/)Una ve5 ubicado el FOCO 7F8, si procedemos a la inversa, podemos a(rmar que cualquier recta que pase por elmismo, constituye la Bnormal e1terior a un plano que delimita una de las caras del prisma elemental, sobre el cualestarán actuando las tensiones determinadas por la intersección de esa recta y la circunerencia) 4 sea que el FOCO7F8 sería el orien de un sistema de e.es ortogonales paralelos a los originales x e y tomados como reerencia en elelemento) (Se desvanecen del gráco del C. de M. las traas del plano paralelas al prisma elemental! por no sernecesarias".

+2)Así, irradiando una recta desde el FOCO 7F8 y que pase por P, encontraremos la normal al plano donde act-a latensión principal má1ima s $smáx = s %< y el ángulo que orme esta recta con la paralela a B1 que pasa por B- será

$en valor directo y sentido% u1= -.#/0 ) ste es ángulo que debería girarse en el elemento para locali5arlo) Como setrata de un plano principal, la tensi"n tan!encial es nula) +")inalmente, debe trasladarse esta inormación al punto estructural en estudio, para lo cual llevamos paralelas a la tra5a

del plano así determinada, y a la tensión principal ligada al mismo) Dos valores de las tensiones se leen en la escalarespectiva $smáx = s = OP = 40.

s m á x =

s 5

u1

s m á x =

s 5

u1

#lanoprincipal E+

x #


7/11

F

9&7

7 s

t

/7

"7

+7

27

37

&7

9/7

9"7

927

937

9+7

9+79/7927 +7 /7 27 "7 37 &7 !7 '7 =7 +77 ++7 +/7

- s x / t xy 0

3 sy / t yx 0

C s prom / 40 P smáx / 40P2 smín / 40

6 s prom + t máx 0

62 s prom + t mín0

s m á x =

s 5

u1

s x 4

y

x

sy

t x y

t yx

Cara )

Cara 1

s x

sy

t x y

t yx

y #

x # s 1

s 2

s 2

s 1

C a r a

) 5

C a r a

1 5

s m í n

=

s 2

#aralela a B x quepasa por -, y con

origen en F

Representaremos ahora el tra5ado en el elemento orientado seg-n las

direcciones principales: Repetimos el procedimiento anterior para la cara x # del prisma girado)+3) #ara completar el tra5ado del elemento girado, hacemos lo mismo con la

tensión principal mínima, tra5ando una recta FP2 obtenemos la direcciónde la normal al plano donde act-a smín = s2 = 1< y su orientación estádeterminada por el ángulo (u2 = u1 3 4F$ #%&.')". Aquí tambi6n es

t = . +&) Dlevando en orma paralela planos y normales al elemento estructural,

obtenemos la nueva orientación del mismo conorme a las direccionesprincipales< y gra(camos el estado tensional de cada cara) $l punto +G delproblema solo se considera resuelto al dibujar el prisma interior!ris, con el estado tensional correspondiente ; los $n!ulosacotados%)

n la siguiente diapositiva se mostrará como obtener de manera análoga lasdirecciones de los planos donde act-an las tensiones tangenciales má1imas$con su tensión media asociada%)

u2 = (u1 34)

u1

u2

#aralela a B y quepasa por 3, y con

origen enF


8/11

u51

u52

F

9&7

7 s

t

/7

"7

+7

27

37

&7

9/7

9"7

927

937

9+7

9+79/7927 +7 /7 27 "7 37 &7 !7 '7 =7 +77 ++7 +/7

- s x / t xy 0

3 sy / t yx 0

C s prom / 40 P smáx / 40P2 smín / 40

6 s prom + t máx 0

62 s prom + t mín0

u51

s x

y

x

sy

t x

y

t yx

Cara )

Cara 1

s x

sy

t x y

t yx

y %

x %

C ar a )

2

C ar a 1 2

#aralela a B x quepasa por -, y con

origen en F

u 5 2 =

( u 5 1

3 4 )

#aralela a B y quepasa por 3, y con

origen enF

t m á

x

s p r o m

t m í n

s p r o

m

t m á

x

s p r o m

t m á

xs p r o m

t m í n

s p r o

m

+!)l procedimiento para determinar ahora las tensiones tangenciales má1imas$con la tensión promedio asociada% y la orientación de los planos donde ocurren,es similar) >ra5ando la recta F6 queda (.ada la ubicación de la normal :2 por elángulo u51 = 6 /#1- , que (.a la tra5a del plano $cara 7 2% donde act-an t máx =54 y s prom = 4 M#a) H (click) < (Nótese que es indistinto di*u+ar la traa deuna cara o la opuesta") sta inormación se traslada al prisma elemental giradoen u51 )

+')Uniendo F con 62

obtenemos t mín

= '54 y s prom

= 4 M#a para el ángulo u52

=/1#/0) sta inormación tambi6n se traslada al cubo elemental girado en u52)$l punto /G del problema solo se considera resuelto al dibujar el prismainterior erde, con el estado tensional correspondiente ; el $n!uloacotado%)

t m á

x

sprom

t m í n

s p r o

m

4


9/11

u51

7 s

t

/7

"7

+7

27

37

9/7

9"7

927

937

9+7

9+7 +7 /7 27 "7 37 &7 !7 '7 =7 +77 ++7 +/7

- s x / t xy 0

3 sy / t yx 0

C s prom / 40

s x

y

sy

t x y

t yx

s x

sy

t x y

t yx

y #

x #

s 1 s 2

s 2 s 1

+=) #ara resolver el tercer punto del problema, comparemos la disposición del elemento orientado seg-n los planosprincipales, con la alineación del mismo seg-n los planos de má1imas tensiones tangenciales) 0ibu.amos losdistintos prismas como cubos elementales anidados, ubicando en el e1terior el original con los datos $colorro.o%)

/7) Duego mostramos dentro el elemento girado conorme los planos principales $cubo negro%) /+) inalmente agregamos en el interior el -ltimo cubo elemental $color verde%, correspondiente a las tensiones

tangenciales má1imas) //) #odemos notar que entre el cubo intermedio gris que muestra las tensiones principales, y el interno verde que

e1teriori5a las tangenciales má1imas, ha; siempre un des9asaje de +5˚ $fácil de recordar! ya que ladirección de las tensiones promedio de*en dirigirse a los v,rtices del cu*o gris intermedio donde act-an las

principales%) *e veri(ca en el C) de M) que el arco P'6 barre un ángulo central $desde C% de =7F, y por lotanto debe ser la mitad si se lo mide desde F $punto inscripto en la circunerencia%, por una propiedadgeom6trica de esta (gura)

u1

4 t m

á xs p r o m

t m á

x

s p r

o m

t m í n

s p r o

m

s p

r o m

t m í

n

F


6 s prom + t máx 0

62 s prom + t mín0

u1

x

u51

/)

x %

y %

. /

)


10/11

7

s

t

/7

"7

+7

27

37

&7

9/7

9"7

9+7

9+79/7927 +7 /7 27 "7 37 &7 !7 '7 =7 +77 ++7 +/7

- s x / t xy 0

3 sy / t yx 0

C s prom / 40

s 8 =

5 + . 2 t 8

=

2 4.

s 9 =

4 5. *

*t

9 =

2 4 . 5

F#aralela a B x que pasa

por -


por 3

/2) Resolvemos ahora el "G punto del problema) #ara ello retomamos desde la etapa en que habíamos ubicado el FOCO 7F8)/") Así, irradiando desde el FOCO 7F8 una recta con el ángulo directo u 9 = 2: pedido $medido desde la paralela al e+e x que une F con

-, hacia la paralela a 7 1 que une F con en la C) de M), y en sentido anti horario Ipor ser positivo9%< obtendremos en su intersección conla circunerencia el punto B s9 / t 90, siendo sus coordenadas s9 y t 9 la tensión normal y tangencial respectivamente buscadas, queestán ligadas al plano requerido) ste mismo ángulo $y en igual sentido% es el que giró el elemento para individuali5ar el planoinvestigado)

/3) Duego, debe trasladarse esta inormación al plano que pasa por el punto estructural en estudio, llevando al mismo paralelas a lastensiones normal y tangencial vinculadas a la tra5a del plano así determinada en la C) de M) Dos valores de ellas se leen en la escalarespectiva $s9 = O? = 45.** MPa ; t = ? = 24. MPa0)

/&) #ara terminar, resolvemos el 3G y -ltimo punto del problema) Jamos a mostrar el estado tensional plano del paralelepípedo rectoelemental orientado seg-n el ángulo u = 2: ) #ara ello hacemos lo mismo locali5ando el punto @, diametralmente opuesto a , quenos permite determinar las tensiones en la cara perpendicular ; 1 $con u8 = 11: %, ya que el ángulo central que barre el arco @ $desde C% es 4˚, y por lo tanto el mismo arco medido desde un punto inscripto en la circunerencia $desde F% es la mitad $4%) lprisma interno color violeta muestra esa situación $las tensiones en el elemento están representadas uera de escala para acilitar sulectura%) Así obtenemos s8 = +.2 MPa $ segmento O@?% y t 8 = '24. MPa $segmento @@?%)

u0 $

%/)

s9 /t 9 0

# a r a l e

l a a B 7 1

C p o r F

?

@ s8 / t 8 0

@?

s x 4

y

x t

x y

t yx

Cara)

Cara

1

Cara B0

Plano pedido0

x #

s 9 =

4 5. *

*

sy

s x s x

t x

y

t 9 =

2 4 . 5

t yx sy

u0 $

%/) s x

1 #sy

s x

y

x

t yx

x #

sy

t x

y t

x y

t 9

=

2 4 . 5

t yx

4

t 8 =

2 4. 5

s 8

=

5 + . 2

t 8 =

A t 9 A

t 9

=

A t 8 A

u 8 =

1 1 :

s 9 =

4 5. *

*

s 9 =

4 5. * *

s 8

=

5 + . 2

u 8 =

1 1 :

u0 $

%/)


11/11

@sta diapositia muestra Bcomo ilustraci"n, ; a modo decontrol B los resultados del mismo problema con el uso del

so9tare did$ctico M6olids.Advi6rtase que aquí el C) de M) está representado 6AD @E FOCO, lo que obliga a tomar como eje 7 de re9erencia el radioC-, y llevar a partir de 6l Iy en el mismo sentido9 los $n!ulos centrales dobles) l eje ; est$ representado por el radioC3) ntre ambos e.es en el C) de M) el ángulo central $doble% es de +'7F, y por lo tanto en el elemento será la mitad $=7F%)#ara la construcción grá(ca manual, esto resulta incómodo, ya que los e.es del elemento no resultan paralelos a los de larepresentación en la C) de M), y los ángulos se deben llear dobles, por lo que además de eectuar la multiplicación por 2

$que agrega un posi*le factor de error %, obli!a a utili#ar un transportador de $n!ulos para hacer la medición) @l uso delFOCO simplica todo esto, permitiendo trasladar directamente paralelas entre el prisma elemental y la C) de M), acilitandoasimismo el tra5ado manual apro1imado con (nes conceptuales y de control)

;

3

C

-

7 C

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