El Circulo de Mohr
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EL CIRCULO DE MOHR
Desarrollo hecho por Christian Otto Mohr (1835-1918), el crculo de Mohr es
un mtodo grfico para determinar el estado tensional en los distintos puntos
de un cuerpo. Entre las tensiones existentes en un cuerpo sometido a un cierto
estado de cargas y con unas ciertas restricciones, importan en general las
tensiones principales, que son las tensiones que existen sobre ciertos planos
del cuerpo, donde las tensiones de corte nulas. Estas tensiones son de
importancia para el estudio de la resistencia mecnica de una pieza.
Este mtodo tiene aplicacin para estados tensionales en dos y tresdimensiones.
Las aplicaciones de esta construccin grfica tienen su fundamento en las
leyes de transformacin de ciertas entidades matemticas llamadas tensores, a
la que el crculo de Mohr representa con sencillez y claridad.
Una de sus caractersticas mas importantes es que aunque se trata de una
solucin grfica, su construccin no exige en la mayora de las aplicaciones,medidas a escala; tan solo es necesario recurrir a relaciones trigonometricas
elementales para obtener ecuaciones de inters en la solucin de algunos
problemas propios de la resistencia de materiales y de la mecnica de los
suelos.
El diagrama de Mohr es el mtodo ms comn para representar los resultados
de los ensayos de corte en suelos. El crculo de Mohr representa un ensayo
triaxial y la envolvente de los crculos de Mohr representa el estado de
esfuerzos en el momento de una falla al cortante.En un anlisis en dos
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dimensiones, los esfuerzos en un punto pueden ser representados por un
elemento infinitamente pequeo sometido a los esfuerzos x, y, y xy.
CIRCUNFERENCIA DE MOHR
Es una tcnica usada en ingeniera y geofsica para representar grficamente
un tensor simtrico (de 2x2 o de 3x3) y calcular con ella momentos de inercia,
deformaciones y tensiones, adaptando los mismos a las caractersticas de una
circunferencia (radio, centro, etc). Tambin es posible el clculo del esfuerzo
cortante mximo absoluto y la deformacin mxima absoluta.
Este mtodo fue desarrollado hacia 1882 por el ingeniero civil alemnChristian Otto Mohr (1835-1918).
IMPORTANCIA DEL CIRCULO DE MOHR
La construccin del Crculo de Mohr es de una importancia fundamental
porque aplica cantidades tensoriales (bidimensionales) (por ejemplo, fuerzas
lineales, esfuerzo, deformacin, momento de inercia). Sin embargo un simple
Circulo de Mohr, no representa completamente el. Estado de esfuerzo en un
punto. El estado de esfuerzo es tridimensional; por tanto se requieren tres
crculos de Mohr.
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CIRCULO DE MOHR PARA ESFUERZOS
Caso bidimensional
En dos dimensiones, la Circunferencia de Mohr permite determinar la tensin
mxima y mnima, a partir de dos mediciones de la tensin normal y
tangencial sobre dos ngulos que forman 90:
NOTA: El eje vertical se encuentra invertido, por lo que esfuerzos positivos van haciaabajo y esfuerzos negativos se ubican en la parte superior.
Usando ejes rectangulares, donde el eje horizontal representa la tensin
normal y el eje vertical representa latensin cortante o tangencial para
cada uno de los planos anteriores. Los valores de la circunferencia quedan
representados de la siguiente manera:
http://es.wikipedia.org/wiki/Tensi%C3%B3n_normalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Tensi%C3%B3n_normalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Tensi%C3%B3n_cortantehttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Mohrs_circle.pnghttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Mohrs_circle.pnghttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Mohrs_circle.pnghttp://es.wikipedia.org/wiki/Tensi%C3%B3n_cortantehttp://es.wikipedia.org/wiki/Tensi%C3%B3n_normalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Tensi%C3%B3n_normal -
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Caso Tridimensional
El caso del estado tensional de un punto P de un slido tridimensional es ms
complicado ya que matemticamente se representa por una matriz de 3x3 para
la que existen 3 valores propios, no necesariamente diferentes.
En el caso general, las tensiones normal () y tangencial (), medidas sobre
cualquier plano que pase por el punto P, representadas en el diagrama (,)
caen siempre dentro de una regin delimitada por 3 circulos. Esto es ms
complejo que el caso bidimensional, donde el estado tensional caa siempre
sobre una nica circunferencia. Cada uno de las 3 circunferencias que
delimitan la regin de posibles pares (,) se conoce con el nombre de
circunferencia de Mohr.
CIRCUNFERENCIA DE MOHR PARA MOMENTOS DE INERCIA
Para slidos planos o casi-planos, puede aplicarse la misma tcnica de la
circunferencia de Mohr que se us para tensiones en dos dimensiones. En
muchas ocasiones es necesario calcular elmomento de inercia alrededor de un
eje que se encuentra inclinado, la circunferencia de Mohr puede ser utilizado
para obtener este valor. Tambin es posible obtener los momentos de inercia
http://es.wikipedia.org/wiki/Momento_de_inerciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Momento_de_inercia -
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principales. En este caso las frmulas de clculo del momento de inercia
medio y el radio de la circunferencia de Mohr para momentos de inercia son
anlogas a las del clculo de esfuerzos:
Centro de la circunferencia:
Radio de la circunferencia:
COMO SE CONSTRUYE EL CIRCULO DE MOHR?
Se toman unos ejes coordenados de forma que en el eje de abcisas situamos
las tensiones normales y en el de las ordenadas las tensiones cortantes. A
continuacin se traza la circunferencia como se puede ver en la figura.
Figura 2.- Construccin del circulo de Mohr (Tomada de libro de Carlos Ramiro Vallecilla)
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Los puntos representativos de las tensiones que actan en 2 caras
perpendiculares definen un dimetro del circulo de morh.
Las tensiones cortantes que actan en dos secciones perpendiculares son
iguales y de sentido contrario.
Para dibujar correctamente el crculo de Mohr deben tenerse en cuenta los
siguientes detalles:
o El sentido de giro del ngulo j en el crculo se corresponde con el
sentido de giro del plano AB en la realidad.
o
El signo de las tensiones tangenciales (t) se toma como positivo sigiran en sentido de las agujas del reloj alrededor del elemento
diferencial y negativo en caso contrario.
o
El ngulo entre dos radios del crculo equivale al doble del
ngulo entre los planos reales correspondientes.
EL SIGNO DEL ANGULO EN EL CIRCULO DE MOHR
Regla General: Cuando los ngulos se miden con vrtice en el centro del
crculo de Mohr el sentido del giro del elemento es igual al sentido del giro en
el crculo de Mohr, el que a su vez duplica el valor del ngulo rotado: Es decir
EJEMPLO:
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Determine los esfuerzos principales y el esfuerzo cortante mximo con el
circulo de Mohr. Las series de datos siguientes dan los esfuerzos en el
elemento sometido a esfuerzo inicial realice las operaciones siguientes:
1.
Dibuje el circulo de Mohr completo con los puntos crticos
identificados incluidos
2. En el crculo de Mohr, indique la lnea que presenta el eje x en el
elemento sometido a esfuerzo inicial.
3.
En el crculo de Mohr, indique los ngulos a partir de la lnea que
representa el eje x hacia el eje
4. Dibuje el centro sometido a esfuerzo inicia y el elemento sometido a
esfuerzos cortante y mximo orientados adecuadamente con respecto al
elemento sometido a esfuerzo inicial.
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CONCLUSIONES
El crculo de Mohr es una tcnica usada en ingeniera para el clculo de los
momentos de inercia, esfuerzos y en algunos casos deformaciones. Es un
mtodo simple que opta las mismas caractersticas de un crculo (radio, centro,
entre otros).
Tan solo es necesario aplicar las formulas trigonomtricas para obtener
ecuaciones que nos interesan para la resolucin de problemas de resistencia de
materiales.
El circulo de Mohr es la una herramienta en ingeniera civil que no ha perdido
importancia atravez de los aos ni ha dejado de funcionar incluso con los
nuevos inventos.
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REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
BECARRY, F., 2007 Circulo de Mohr. Libro en Lnea. Disponible en:
http://ibiguridp3.wordpress.com/res/mohr/
VALLECILLA, C., 2010 Circulo de Mohr Fundamentos y aplicaciones
ANTICO,F., 2010 Circulo de Mohr. Libro en Lnea. Disponible en:
http://www.aero.ing.unlp.edu.ar/catedras/archivos/Circulo%20de%20Mohr.pdf
http://ibiguridp3.wordpress.com/res/mohr/http://ibiguridp3.wordpress.com/res/mohr/http://ibiguridp3.wordpress.com/res/mohr/ -
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RESISTENCIA DE MATERIALES
NOMBRE:
Ushia Pacha Jessica Aracely
TEMA:
Ensayo CIRCULO DE MOHR
AULA:
C-403
INSTRUCTOR:
Dr. Juan Carlos Vielma