Círculo de Mohr para tensión plana

Las ecuaciones de transformación para la tensión plana pueden representarse en forma gráfica por medio de un trazado conocido como círculo de Mohr. Esta representación gráfica es de gran utilidad porque permite visualizar las relaciones entre las tensiones normales y tangenciales que actúan sobre varios planos inclinados en un punto de un cuerpo sometido a tensiones; sirve también para calcular las tensiones principales, las tensiones tangenciales máximas y las tensiones en planos inclinados. Además, el círculo de Mohr es válido no sólo para tensiones, sino también para otras cantidades de naturaleza matemática similar, incluidas las deformaciones y los momentos de inercia.

Ecuaciones del círculo de Mohr

Las ecuaciones del círculo de Mohr pueden deducirse de las ecuaciones de transformación para la tensión plana. Las dos ecuaciones se repiten aquí pero con un pequeño reordenamiento de la primera expresión:

Por la geometría analítica, reconocemos que ambas son las ecuaciones de un círculo en forma paramétrica, donde el ángulo 2θ es el parámetro y las tensiones σx1 y τx1y1 son las coordenadas. En esta etapa no es necesario identificar la naturaleza de las ecuaciones; si eliminamos el parámetro, el significado de las ecuaciones resultará claro. Para suprimir el parámetro 2θ, elevamos al cuadrado ambos lados de cada ecuación y luego sumamos ambas. El resultado es:

Que es la ecuación algebraica de un círculo. Las coordenadas son σx1 y τx1y1, el radio es R y el centro del círculo tiene las coordenadas σx1= σprom y τx1y1=0.

Dos formas del círculo de Mohr

El círculo de Mohr puede trazarse a partir de las ecuaciones anteriores de dos maneras distintas. En la primera se traza la tensión normal σx1 positiva hacia la derecha y la tensión tangencial τx1y1 positiva hacia abajo, como se muestra en la figura 7-14a. La ventaja de trazar las tensiones tangenciales positivas hacia abajo es que el ángulo 2θ sobre el círculo de Mohr es positivo en sentido antihorario, lo que concuerda con la dirección positiva de 2θ en la deducción de las ecuaciones de transformación (vea las Figs. 7-1 y 7-2). En la segunda forma del círculo de Mobr, τx1y1 se traza positivo hacia arriba pero el ángulo 2θ ahora es positivo en sentido horario (Fig. 7-14b), que es opuesto a su dirección positiva usual.

Ambas formas son matemáticamente correctas y cualquiera puede usarse; pero, es más fácil visualizar la orientación del elemento de tensión si la dirección positiva del ángulo 2θ es la misma en el cfrculo de Mohr y en el elemento. Por lo tanto, optaremos por la primera forma del círculo de Mohr (Fig. 7-14a) en la que la tensión tangencial positiva se traza hacia abajo y un ángulo positivo 2θ se traza en sentido antihorario.

Construcción del círculo de Mohr

El círculo de Mohr puede construirse de varias maneras, dependiendo de cuáles tensiones se conozcan y cuáles se desconozcan. Para nuestro propósito inmediato, que es mostrar las propiedades básicas del círculo, supongamos que conocemos las tensiones σx, σy, y τxy que actúan sobre los planos x e y de un elemento en tensión plana (Fig. 7-15a). Como veremos, esta información es suficiente para construir el círculo. Luego, con el círculo dibujado, podemos determinar las tensiones σx1, σy1, y τx1y1 que actúan sobre un elemento inclinado (Fig. 7-15b). También podemos obtener las tensiones principales y las tensiones tangenciales máximas con ayuda del círculo.