2 teoria de_probabilidades

Francisco A. Sandoval

Análisis Estadístico y

Probabilístico

2013 fralbe.com

Agenda

CAP. 2: TEORÍA DE PROBABILIDADES

• Espacio de Muestras

• Algebra de Eventos

• Medida de Probabilidades

• Sistema de Probabilidad

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Objetivos

• Introducir un modelo matemático que permita estudiar de forma abstracta un fenómeno físico al cual está asociada una incerteza.

– El modelo tiene como base la teoría de la probabilidad y caracterizará una experiencia asociada al fenómeno físico en análisis.

– El modelo se compone de tres elementos:

• Espacio de muestras

• Álgebra de eventos

• Medida de Probabilidad fralbe.com

ESPACIO DE MUESTRAS

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Espacio de Muestras

• Los elementos de Ω son denominados puntos de

muestra 𝜔 o resultados y son indescomponibles.

• Ω no es necesariamente único.

• Ω puede ser discreto (finito o infinito contable)

o continuo (infinito no contable)

Definición 1: Espacio de Muestra 𝜴 Es un conjunto que contiene todos los resultados posibles de un experimento 𝜀.

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Espacio de Muestras

Fenómeno físico

Experiencia

𝜔

Ω

Experimento

Lanzamiento de un dado

Lanzar dado y observar el número en la cara visible (arriba)

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Ejemplo 1: Espacio de Muestras

• 𝜀1: Giro de una ruleta y observación del número obtenido. Ω1 = 0, 1, 2, … , 36

– 𝐴 = {«obtener número impar»}

A = 1, 3, 5, … , 35 • 𝜀2: Giro de una ruleta y

observación del color. Ω2 ={«rojo», «negro»} fra

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• 𝜀3: Giro hasta obtener 0 y observar el número de intentos

a • Ω3 = 1, 2, 3… = ℝ+

b • Ω3 = 1, 2, 3… = ℕ

+

c • Ω3 = ,0,∞) = ℝ

+

d • Ω3 = *0,1,2,3, … + = ℕ

+

e • Ω3 = 1,2,3, … , 𝑛 = ℕ

+; 𝑛 = «𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠» fralbe.com


• 𝜀4: Giro y observación del tiempo que tarde en parar.

a • Ω4 = 1, 2, 3… = ℝ

+

b • Ω4 = 1, 2, 3… = ℕ+

c • Ω4 = ,0,∞) = ℝ+

d • Ω4 = *0,1,2,3, … + = ℕ+

e • Ω4 = 1,2,3, … , 𝑡 = ℝ+; 𝑡 = «𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜» fra

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CENTRAL A CENTRAL B

200 terminales telefónicos

𝑛 circuitos

𝑛 = 20

Contar el número 𝑛𝑝 de llamadas simultáneamente en progreso entre A y B

en un dado instante, definiendo como resultado de la experiencia el propio valor de 𝑛𝑝.

Ω = 0, 1, 2,… , 20

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Si el resultado de la experiencia es la verificación de la existencia o no de congestionamiento entre las centrales A y B.

– La condición de congestionamiento corresponde a observar 𝑛𝑝 = 20 y puede ser identificado como el punto de muestra 𝑤1.

– La condición de no-congestionamiento 𝑛𝑝 < 20 correspondería al punto de muestra 𝑤2.

Ω = 𝑤1, 𝑤2

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Espacio de Muestras

Lo importante en la definición del resultado de una experiencia es, a partir de los objetivos del modelo matemático que está siendo construido, llegar a un espacio de muestras que no sea más detallado de lo que es necesario, ni tan compacto al punto de omitir aspectos importantes del fenómeno que está siendo observado.

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Espacio de Muestras

video

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Tarea: Espacio de Muestras

Leer el Capítulo 3: Blaise Pascal

Descargar el libro: [link]

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http://www.madrid.org/iestadis/fijas/otros/comic.htm

Tarea: Espacio de Muestras

Luego de leer el texto, responder a las siguientes preguntas:

1. ¿Qué es análisis combinatorio?

2. Defina permutación y combinación y de dos ejemplos de cada uno.

3. Se extrae una carta aleatoria de una baraja de 52 cartas. Describir el espacio de muestras si

a) No se tiene en consideración el palo.

b) Si se tiene en cuenta el palo.

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ALGEBRA DE EVENTOS

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Algebra de Eventos

• Ejemplo 2.1: Saber cuales son las posibilidades de que el número de llamadas en progreso simultáneo sea inferior a 10, o sea, cuál es la posibilidad de que el resultado de la experiencia pertenezca al subconjunto 𝐴 del espacio de muestras definido por:

𝐴 = 0, 1,… , 9

Es común que solamente algunos subconjuntos de Ω sean de interés y estos son los que se desea asociar a una probabilidad. Sea 𝐴 esta colección.

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Eventos - Ejemplo

𝜔

Ω

Punto de Muestra

Espacio de Muestras

Evento

Obtener número par en lanzamiento de dado

Evento

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Algebra de Eventos

• En el modelo matemático que sirve de base

para la teoría de probabilidad, la manipulación

de conjuntos de puntos de muestras, es de

extrema importancia.

• Las operaciones que envuelven subconjuntos

de Ω obedecen a las reglas y propiedades

usuales de las operaciones de conjuntos.

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Conjuntos, Reglas y Propiedades

Definición 2: Igualdad Dos conjuntos 𝐴, 𝐵 son iguales (𝑨 = 𝑩), si todo elemento (punto de muestra) de 𝐴 es elemento de 𝐵 y todo elemento de 𝐵 es elemento de 𝐴.

Definición 3: Inclusión Un conjunto 𝐴 está incluido o contenido en un conjunto B (𝑨 ⊂ 𝑩), si todo elemento de 𝐴 es elemento de 𝐵. Equivalentemente, se dice que 𝐵 contiene a 𝐴 escribiendo (𝐁 ⊂ 𝑨).

A B

Ω

𝐴 ⊂ 𝐵 fralbe.com


Definición 4: Unión El conjunto cuyos elementos son elementos de un conjunto 𝐴, de un conjunto 𝐵 o de ambos es denominado unión de los conjuntos 𝐴 y 𝐵, y se denota:

𝐴 ∪ 𝐵 ≜ 𝜔 ∈ Ω ∶ 𝜔 ∈ 𝐴 o 𝜔 ∈ 𝐵 o ambos

𝐴 ∪𝐵 fralbe.com


Definición 5: Intersección El conjunto cuyos elementos son simultáneamente elementos de un conjunto 𝐴 y de un conjunto 𝐵 es denominado intersección de los conjuntos 𝐴 y 𝐵, y se denota:

𝐴 ∩ 𝐵 ≜ 𝜔 ∈ Ω ∶ 𝜔 ∈ 𝐴 y 𝜔 ∈ 𝐵

𝐴 ∩𝐵 fralbe.com


Definición 6: Complemento El conjunto cuyos elementos son los elementos de Ω que no pertenecen a un determinado conjunto 𝐴 es llamado complemento de 𝐴, y se representa por 𝐴 , osea:

𝐴 ≜ 𝜔 ∈ Ω ∶ 𝜔 ∈ 𝐵 𝑦 𝜔 ∉ 𝐴

A

Ω

𝐴

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Definición 7: Diferencia El conjunto cuyos elementos son los elementos de un conjunto 𝐵 que no pertenecen a otro conjunto 𝐴 es llamado conjunto diferencia entre 𝐵 y 𝐴, y se denota:

B – A ≜ 𝜔 ∈ Ω ∶ 𝜔 ∉ 𝐴

𝐵 − 𝐴

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Definición 8: Conjunto vacío El conjunto que contiene elementos es denominado conjunto vacío, y se representa por ∅.

Definición 9: Conjuntos Disjuntos Dos conjuntos 𝐴 y 𝐵 que no tienen elementos en común son llamados disjuntos.

Definición 10: Clase Clase es el nombre dado a una colección de conjuntos.

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Propiedad 1: Asociativa Las operaciones de unión e intersección, definidas anteriormente, son asociativas, o sea:

𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶 = (𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 = (𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶

Propiedad 2: Distributiva: La operación de intersección es distributivas en relación a la operación de unión, o sea:

𝐴 ∩ 𝐵 ∪ 𝐶 = (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶)

Más Información: En la Página de la Componente: Teoría de Conjuntos

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https://www.dropbox.com/s/qr2upgso9yu8k2w/teoria de conjuntos.pdf

Álgebra

Propiedades:

i. 𝐴 ∈ 𝓐 y 𝐵 ∈ 𝓐 ⇒ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ 𝓐

ii. 𝐴 ∈ 𝓐 y 𝐵 ∈ 𝓐 ⇒ (𝐴 − 𝐵) ∈ 𝓐

iii. ∅ ∈ 𝓐

iv. Ω ∈ 𝓐

v. 𝐴𝑖 ∈ 𝓐; 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 ⇒ 𝐴𝒊𝒏𝒊=𝟏 ∈ 𝓐

Definición 11: Álgebra Una determinada clase o colección 𝓐 es dicha una álgebra cuando satisface las siguientes condiciones: i. 𝐴 ∈ 𝓐 ⇒ 𝐴 ∈ 𝓐 ii. 𝐴 ∈ 𝓐 y 𝐵 ∈ 𝓐 ⇒ (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ 𝓐

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Álgebra

Definición 12: 𝝈-Álgebra Cuando la propiedad v, continua siendo válida, hasta para un número infinito de conjuntos, o sea:

𝐴𝑖 ∈ 𝓐; 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 ⇒ 𝐴𝒊

∞

𝒊=𝟏

∈ 𝓐

Definición 13: 𝝈-Álgebra generada por una Clase 𝓒 La menor 𝜎-álgebra que contiene todos los conjuntos de una clase 𝓒 es representada por 𝓐(𝓒) y es denominada 𝜎-álgebra generada por 𝓒. fra

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Ejemplo: Álgebra

Considere una experiencia que consiste en el lanzamiento de un dado y cuyo resultado es el valor de la cara que se observa. Si el punto de muestra asociado a la observación de la cara 𝑖, (𝑖 =1,2, … , 6) es representado por 𝑓𝑖, tiene el siguiente espacio de muestras

Ω = 𝑓1, 𝑓2, 𝑓3, 𝑓4, 𝑓5, 𝑓6 ¿Cuál de las siguientes opciones constituye una álgebra? fra

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Ejemplo: Álgebra

a • 𝓒 = ∅,Ω, 𝑓1, 𝑓3, 𝑓5 , 𝑓2, 𝑓4, 𝑓6 , 𝑓1 , 𝑓1, 𝑓2, 𝑓4, 𝑓6 , 𝑓2, 𝑓3, 𝑓4, 𝑓5, 𝑓6 , 𝑓3, 𝑓5

b • 𝓒 = ∅,Ω, 𝑓1, 𝑓3, 𝑓5 , 𝑓2, 𝑓4, 𝑓6 , 𝑓1 , 𝑓2, 𝑓3, 𝑓4, 𝑓5, 𝑓6

c • 𝓒 = 𝑓1, 𝑓3, 𝑓5 , 𝑓2, 𝑓4, 𝑓6 , 𝑓1 , 𝑓1, 𝑓2, 𝑓4, 𝑓6 , 𝑓2, 𝑓3, 𝑓4, 𝑓5, 𝑓6 , 𝑓3, 𝑓5

d • 𝓒 = ∅,Ω, 𝑓1, 𝑓3, 𝑓5 , 𝑓2, 𝑓4, 𝑓6 , 𝑓1 fra

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Ejemplo - Respuesta

• d no constituye una álgebra. Viola la definición. (La Unión)

𝑓1 𝑓2, 𝑓4, 𝑓6 = 𝑓1, 𝑓2, 𝑓4, 𝑓6

No es miembro de 𝓒. • Para que fuera álgebra, este subconjunto debería pertenecer a la

clase. • De igual forma el complemento de 𝑓1 , 𝑓2, 𝑓3, 𝑓4, 𝑓5, 𝑓6 debería

pertenecer a la clase. • Incluyendo también el complemento de 𝑓1, 𝑓2, 𝑓4, 𝑓6 , el álgebra

cerrada en relación al complemento y la unión será: ∅, Ω, 𝑓1, 𝑓3, 𝑓5 , 𝑓2, 𝑓4, 𝑓6 , 𝑓1 , 𝑓1, 𝑓2, 𝑓4, 𝑓6 , 𝑓2, 𝑓3, 𝑓4, 𝑓5, 𝑓6 , 𝑓3, 𝑓5

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Álgebra

Definición 14: Evento Evento es cualquier subconjunto de Ω que pertenece a 𝜎-álgebra.

Definición 15: Eventos mutuamente exclusivos Dos eventos son mutuamente exclusivos cuando ellos corresponden a dos subconjuntos de Ω que son disjuntos.

Ω

A B fralbe.com

Ejemplo 4: Álgebra

Una red de comunicaciones contiene 4 terminales (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑), cinco troncales (𝑒1, 𝑒2, 𝑒3, 𝑒4, 𝑒5) y una llave 𝑆 que puede asumir 3 posiciones (𝐼, 𝐼𝐼, 𝐼𝐼𝐼). Cada troncal se puede encontrar en estado de operación o fuera de operación.

Se define una experiencia que consiste en observar la situación de la red en un dado instante verificando la posición de la llave 𝑆 y los estados de los troncos y cuyo resultado es precisamente la especificación de esta situación.

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Ejemplo 4: Álgebra

a) Encuentre un método simple de representar los puntos de muestra que constituyen el espacio de muestra correspondiente a esta experiencia. Determine el número de puntos de muestra.

b) Determine cuantos puntos de muestra pertenecen a los siguientes eventos: 𝐴 = 𝜔 ∈ Ω: 𝑎 y 𝑐 pueden comunicarse 𝐵 = 𝜔 ∈ Ω: 𝑏 y 𝑐 pueden comunicarse 𝐶 = 𝜔 ∈ Ω: la llave 𝑆 está en la posición 𝐼

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Ejemplo 4: Álgebra (Sol)

a) Un punto genérico del espacio de muestras 𝜔𝑖 puede representarse por:

𝜔𝑖 = 𝐶𝑠 , 𝑇1, 𝑇2, 𝑇3, 𝑇4, 𝑇5

donde 𝐶𝑠 ∈ *𝐼, 𝐼𝐼, 𝐼𝐼𝐼+ y 𝑇𝑖 ∈ *0,1+ para 𝑖 = 1, 5. El valor de 𝐶𝑠 indicará la posición de la llave y el valor de 𝑇𝑖 indicará la posición de estado del tronco 𝑖. Convencionalmente 𝑇𝑖 = 0 si el estado del tronco 𝑖 está fuera de operación.

Se tiene 𝟑 × 𝟐𝟓 = 𝟗𝟔 puntos de muestra. fra

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Ejemplo 4: Álgebra (Sol) b) El evento 𝐴 puede ser expresado por la unión de tres subconjuntos:

𝐴1 = *𝐼, 1,×,×, 1,×+ × indica que el estado del tronco puede ser tanto «0» como «1». De forma no compacta,

𝐴1 = * 𝐼, 1,0,0,1,0 , 𝐼, 1,0,0,1,1 , 𝐼, 1,0,1,1,0 , 𝐼, 1,0,1,1,1 , 𝐼, 1,1,0,1,1 , 𝐼, 1,1,0,1,1 , 𝐼, 1,1,1,1,0 , (𝐼, 1,1,1,1,1)+ Análogamente

𝐴2 = *𝐼𝐼,×, 1,×,×,×+ y

𝐴3 = *𝐼𝐼𝐼,×,×, 1,×, 1+ Se tiene entonces

𝐴 = 𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ 𝐴3 El número de puntos en estos subconjuntos es respectivamente 8, 16 y 8. Como estos subconjuntos son disjuntos, el total de puntos en 𝑨 es 32. Para los otros eventos, de forma similar:

𝐵 = *×,×,×,×, 1,×+} El número de puntos en 𝐵 será entonces 𝟑 × 𝟏𝟔 = 𝟒𝟖 Para el evento 𝐶,

𝐶 = *𝐼,×,×,×,×,×+

y por tanto el número de puntos en 𝐶 será 𝟐𝟓 = 𝟑𝟐.

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1. Represente el espacio de muestras Ω de las siguientes experiencias. a. Experimento 1: Se Selecciona un balón de una urna

que contiene balones numerados entre 1 y 4. Suponga que los balones 1 y 2 son negros y que los balones 3 y 4 son blancos. Represente el número y el color del balón seleccionado.

b. Experimento 2: Mida el tiempo de vida de un chip de memoria de una computador dado en un específico ambiente.

2. Escriba un evento 𝐴𝑘 que corresponda con los experimentos del ítem anterior. fra

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MEDIDA DE PROBABILIDADES

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Medida de Probabilidad

• La motivación para utilizar un modelo

probabilístico fue caracterizar un cierto

«comportamiento medio» asociado al

fenómeno.

• Ω y 𝐴 no hacen mucho en este sentido.

• Para esto se introduce el tercer elemento:

medida de probabilidad 𝑃. fralbe.com


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Definición de Probabilidad

• Escuela clásica

• Escuela frecuencial

• Escuela axiomática

• Escuela subjetiva

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Escuela Clásica

• Ventaja: – Definición a priori. No requiere experimentación.

• Inconvenientes: – Requiere Ω finito.

– Exige sucesos elementales equiprobables, es decir, todos los resultados son igualmente verosímiles.

• Ejemplo: – 𝜀1: Lanzamiento de dos dados y observación de la suma. 𝑃 𝐴 = 1/12.

Definición 16: Probabilidad, Escuela Clásica

𝑃 𝐴 =n° casos favorables a 𝐴

n° casos posibles=𝐴

Ω

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Escuela Frecuencial

• Ventaja: – Conexión con la Ley de los Grandes Números.

• Inconvenientes: – Poca utilidad. Requiere un n° elevado de experimentos.

– Dificultades matemáticas para el desarrollo de la Teoría de la Probabilidad.

• Probabilidad:

𝑃 𝐴 = lim𝑁→∞

𝑛(𝐴)

𝑁

Definición 17: Frecuencia Relativa Asuma que se ha observado un fenómeno 𝑁 veces, se anota el número de veces que un dado evento 𝐴 ha ocurrido. Si representamos por 𝑛(𝐴) este número, la razón:

𝑛(𝐴)

𝑁

Es denominada frecuencia relativa de ocurrencia de 𝐴 para las 𝑁 observaciones efectuadas.

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Ejemplo 5: Escuela Frecuencial

Lanzamiento de una moneda

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Ejemplo 6: Escuela Frecuencial

Aguja de Buffon

Información detallada: http://mathworld.wolfram.com/BuffonsNeedleProblem.html

𝑃(aguja cruce una de las lineas) =2

𝜋

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http://mathworld.wolfram.com/BuffonsNeedleProblem.html

Escuela Frecuencial

Propiedades de la Frecuencia Relativa:

1. 0 ≤𝑛(𝐴)

𝑁≤ 1

2. Considere el evento Ω, 𝑛 Ω = 𝑁. (En cualquiera de las 𝑁 repeticiones de la experiencia se observará la ocurrencia del evento 𝛺)

3. Considere dos eventos A y B, mutuamente exclusivos (𝐴⋂𝐵 = ∅), y se examina el número de veces, 𝑛(𝐴 𝐵), en que 𝐴 𝐵 ocurre en 𝑁 observaciones de la experiencia.

𝑛 𝐴 𝐵 = 𝑛 𝐴 + 𝑛(𝐵) Por tanto la frecuencia relativa de la unión de dos eventos mutuamente exclusivos e igual a la suma de las frecuencias relativas de cada evento.

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Escuela Axiomática

Axioma 1: 𝑃(𝐴) ≥ 0

Axioma 2: 𝑃 Ω = 1

Axioma 3: a) Si 𝐴⋂𝐵 = ∅, entonces

𝑃 𝐴 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 b) Si 𝐴𝑖⋂𝐴𝑗 = ∅, 𝑖, 𝑗 = 1, 2, … 𝑖 ≠ 𝑗 , entonces

𝑃 𝐴𝑖

∞

𝑖=1

= 𝑃(𝐴𝑖)

∞

𝑖=1

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ConcepTest: Definición de Probabilidad

Experimento: Lanzamiento de una moneda. Cuál es la probabilidad de obtener cara o sello? Suponer que : - Espacio de muestra: cara o sello. Probabilidad de caer de pie

despreciable - Moneda honesta

Usando definición clásica de probabilidad: Un caso favorable y dos casos posibles.

𝑃 = 0.5 fralbe.com


Si la moneda se encuentra trucada. (La probabilidad de salir cara es diferente de P=0.5)

Utilizando def. Frecuencialista: Lanzar la moneda un número grande de veces, y hace el cociente entre número de casos favorables sobre número de experimentos ciertos. En este caso la def. axiomática no sirve mucho. fra

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Se lanza la moneda y se tapa el resultado. Cuál es la probabilidad de obtener cara o sello?

𝑃 = 0.5

Otro experimento: Dos personas, se lanza la moneda uno tiene acceso a ver que como cayo la moneda y la otra persona no. Cuál es la probabilidad de salir cara?

Para la persona que tiene acceso a la información: • O es 0 o es 1. O salió cara o no salió. Para la persona que no tiene acceso a al información: • 𝑃 = 0.5

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Experimento, lanzar una moneda. Se pregunta a una persona cuál es la probabilidad de haber salido cara? - La persona responde: «Yo creo que la probabilidad de haber salido

cara es de 70%» - Se espera probabilidad del 50% - La persona manifiesta que tiene poderes paranormales y que cree

que salió cara, por eso da mayor probabilidad a ese resultado.

Se cree en esa persona? La persona trae un certificado de una entidad de investigación que certifica que la persona tiene capacidades especiales, y en el 70% de las situaciones tiene la razón. Se cree en esa persona?

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Conclusión: Probabilidad es una medida de la información o creencia sobre la ocurrencia de un evento. fra

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Propiedades:

i. Aditiva Para una colección de 𝑛 eventos disjuntos 𝐴𝑖 , 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 , esto es, satisfaciendo

𝐴𝑖⋂𝐴𝑗 = ∅; 𝑖, 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 𝑖 ≠ 𝑗

resulta que

𝑃 𝐴𝑖𝑛𝑖=1 = 𝑃(𝐴𝑖)

𝑛𝑖=1

ii. Propiedad del Complemento

𝑃 𝐴 = 1 − 𝑃(𝐴) iii. Propiedad del Evento Vacío

𝑃 ∅ = 0 iv. Limitante Superior para P(A)

𝑃(𝐴) ≤ 1 v. Probabilidad de la Unión

𝑃 𝐴 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 𝑃(𝐴⋂𝐵)

Demostrar

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Probabilidad condicional

Se lanza un dado. Felipe alcanza a ver que salió un número par. ¿Cuál es la probabilidad de que sea un 2?

a •1/6

b •1/2

c •1/3

d •1/4 fralbe.com

Probabilidad condicional

𝐴 = salió un número par 𝐵 = salió el 2 La probabilidad de que salga el número 2, condicionada a que haya sucedido el evento A, es decir salió un par, es:

𝑃 𝐵|𝐴 =

1612

=1

3

El concepto y la expresión exacta para la probabilidad condicional se analiza a continuación. fra

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Probabilidad Condicional

Definición 18: Probabilidad Condicional Dado dos eventos A y B, con 𝑃 𝐴 > 0, se llama probabilidad condicional de B dado A y se escribe 𝑃(𝐵|𝐴) a la expresión

𝑃 𝐵 𝐴 =𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

𝑃(𝐴)

Propiedades:

i. Si dos eventos A y B, con 𝑃 𝐴 > 0, son mutuamente exclusivos, 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ y por tanto 𝑃 𝐴⋂𝐵 = 0. Resulta inmediatamente que

𝑃 𝐵 𝐴 = 0

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Probabilidad Condicional

iii. Si 𝐴 ⊃ 𝐵 se tiene que 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐵, por tanto, para 𝑃 𝐴 > 0 y es posible escribir

𝑃 𝐵 𝐴 =𝑃(𝐵)

𝑃(𝐴)≥ 𝑃(𝐵)

ii. Si para dos eventos A y B se tiene 𝐴 ⊂ 𝐵 deriva que 𝐴⋂𝐵 = 𝐴, resultando entonces que

𝑃 𝐵 𝐴 = 1

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Ejemplo 7: Probabilidad Condicional

En la red de comunicaciones presentada, cualquier configuración que la red pueda asumir es equiprobable. Esto es, se adopta una medida de probabilidad que atribuye probabilidades iguales a todos los puntos de muestra del espacio de muestras. Calcule las siguientes probabilidades. 𝑃(A), 𝑃(𝐵), 𝑃(𝐴|𝐵), 𝑃(𝐶|𝐷), donde 𝐴, 𝐵, 𝐶 y 𝐷 son eventos definidos como:

𝐴 = 𝜔 ∈ Ω: 𝑎 y 𝑐 pueden comunicarse 𝐵 = 𝜔 ∈ Ω: 𝑏 y 𝑐 pueden comunicarse 𝐶 = 𝜔 ∈ Ω: la llave 𝑆 está en la posición 𝐼 𝐷 = 𝐴 ∩ 𝐵 fra

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Se tiene 96 puntos de muestras en el espacio de muestras. La probabilidad de un punto de muestra 𝜔𝑖 es

𝑃 𝜔𝑖 = 𝑝 constante para cualquier 𝑖. Resulta entonces del Axioma 2 y la Probabilidad Aditiva que

𝑃 Ω = 𝑃 𝜔𝑖 = 96 𝑝 = 1

96

𝑖=1

o sea

𝑝 =1

96

Los eventos 𝐴 y 𝐵 están constituidos por 32 y 48 puntos de muestra, respectivamente. Por tanto,

𝑃 𝐴 = 32𝑝 =32

96=1

3

𝑃 𝐵 = 48 𝑝 =48

96=1

2

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Para determinar 𝑃(𝐴|𝐵) es preciso caracterizar inicialmente el evento (𝐴 ∩ 𝐵). Según la notación introducida,

𝐴 = 𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ 𝐴3 𝐴 = 𝐼, 1,×,×, 1,× ∪ 𝐼𝐼,×, 1,×,×,× ∪ *𝐼𝐼𝐼,×,×, 1,×, 1+

y 𝐵 = *×,×,×,×, 1,×+

Por la propiedad de distributiva de la intersección con relación a la unión se tiene

𝐴 ∩ 𝐵 = (𝐴1 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴2 ∩ 𝐵) ∪ 𝐴3 ∩ 𝐵 o

𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐼, 1,×,×, 1,× ∪ 𝐼𝐼,×, 1,×, 1,× ∪ *𝐼𝐼𝐼,×,×, 1, 1, 1+ Como los eventos en el segundo miembro de esta igualdad son disjuntos y contienen respectivamente 8, 8 y 4 puntos de muestra, resulta que 𝐴 ∩ 𝐵 contiene 20 puntos. Por tanto

𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 20𝑝 =20

96=5

24

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Se tiene entonces

𝑃 𝐴 𝐵 =𝑃 𝐴 ∩ 𝐵

𝑃 𝐵=

52412

=5

12

Para obtener 𝑃 𝐶 𝐷 , verifique primero que

𝐶 ∩ 𝐷 = 𝐶 ∩ 𝐴 ∩ 𝐵 = *𝐼, 1,×,×, 1,×+

De esto resulta fácilmente

𝑃 𝐶 𝐷 =2

5

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Teorema de probabilidad total

En una bolsa existen papeles de tres colores, con la siguiente probabilidad de ser elegidos: amarillo (prob. 50%), azul (prob. 30%) y rojo (prob. 20%). Según el color de papel elegido, podrá participar en diferentes sorteos con la siguiente probabilidad de ganar: amarillo (prob. de ganar del 40%), azul (prob. de ganar del 60%), rojo (prob. de ganar del 80%). ¿Qué probabilidad tiene de ganar el sorteo en el que participe?

a • 40%, se considera la menor prob.

b • 45%, realizando operaciones.

c • 54%, realizando operaciones.

d • 80%, se considera la mayor prob. 𝑃 = 0,5 ∗ 0,4 + 0,3 ∗ 0,6 + 0,2 ∗ 0,8 = 0,54

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Teorema de Probabilidad Total

Definición 19: Participación del Espacio de Muestras Un conjunto de eventos 𝐵𝑖 , 𝑖 = 1,… ,𝑚 constituye una partición del espacio de muestras Ω cuando

𝐵𝑖 ∩ 𝐵𝑗 = ∅, ∀ 𝑖, 𝑗 = 1,… ,𝑚 (𝑖 ≠ 𝑗)

𝐵𝑖 = Ω𝑚

𝑖=1

Propiedad: Teorema de Probabilidad Total Considere un evento A y una partición del espacio de muestras

𝐵𝑗 , 𝑗 = 1,… ,𝑚

Para esta partición y este evento, se tiene que

𝑃 𝐴 = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵𝑗)𝑚

𝑗=1

y aún

𝑃 𝐴 = 𝑃 𝐴 𝐵𝑗 𝑃(𝐵𝑗)

𝑚

𝑗=1

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𝑃(𝐵𝑗|𝐴) =𝑃 𝐵𝑗 𝑃(𝐴|𝐵𝑗)

𝑃 𝐵𝑘 𝑃(𝐴|𝐵𝑘)𝑚𝑘=1

Regla de Bayes

Regla de Bayes

• Considere una partición de 𝐵𝑗 , 𝑗 = 1,… ,𝑚 del espacio de muestras con 𝑃(𝐵𝑗) > 0 para todo 𝑗. Sea aún 𝐴, un evento con 𝑃 𝐴 > 0.

𝑃 𝐵𝑗 𝐴 =𝑃(𝐵𝑗 ∩ 𝐴)

𝑃(𝐴)

𝑃(𝐴|𝐵𝑗) =𝑃(𝐵𝑗∩𝐴)

𝑃(𝐵𝑗)

𝑃(𝐵𝑗|𝐴) =𝑃 𝐴|𝐵𝑗 𝑃(𝐵𝑗)

𝑃(𝐴)

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Ejemplo 8: Teorema de Probabilidad Total

Considere cuatro cajas que contienen elementos electrónicos. Las cajas contienen 2000, 500, 1000 y 1000 componentes. Se sabe que, respectivamente el 5%, 40%, 10% y 10% de los componentes de cada caja son defectuosos. Se escoge una de las cajas al azar y se retira de ella un componente. Determine la probabilidad de que el componente sea defectuoso.

1

1

2 3 4

= 2000 = 500 = 1000 = 1000

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Se admite que los componentes están numerados de 1 a 4500. SE define entonces como resultado de la experiencia el orden del componente retirado. El espacio de muestras asociado a la experiencia contiene por tanto 4500 puntos de muestra.

Caja Componentes buenos Componentes defectuosos

1 1900 100

2 300 200

3 900 100

4 900 100

Se define ahora 5 eventos 𝐵𝑖 = 𝜔:𝜔 componente perteneciente a la caja 𝑖 (𝑖 = 1,2,3,4)

y 𝐷 = *𝜔:𝜔 es componente defectuoso+

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Se desea encontrar 𝑃(𝐷). Además,

𝑃 𝐵𝑖 =1

4(𝑖 = 1,2,3,4)

Una vez escogida una caja, la probabilidad de ser retirado un elemento particular es igual para todos los elementos. Por esta razón la probabilidad del evento 𝐷 condicionada a cada uno de los 𝐵𝑖 (𝑖 = 1,2,3,4) es igual al producto del número de elementos defectuosos en la caja por la probabilidad de cada uno de estos elementos sean retirados, o sea

𝑃 𝐷 𝐵1 = 1001

2000= 0,05

𝑃 𝐷 𝐵2 = 2001

500= 0,4

𝑃 𝐷 𝐵3 = 𝑃(𝐷|𝐵4) = 1001

1000= 0,1

Por el teorema de probabilidad total, 𝑃 𝐷 = 𝑃 𝐷 𝐵1 𝑃 𝐵1 + 𝑃 𝐷 𝐵2 𝑃 𝐵2 + 𝑃 𝐷 𝐵3 𝑃 𝐵3

+ 𝑃 𝐷 𝐵4 𝑃(𝐵4) Por tanto,

𝑃 𝐷 =1

40,05 + 0,4 + 0,1 + 0,1 = 0,1625

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Ejemplo 9: Regla de Bayes

Asuma que en el ejemplo anterior, el componente retirado de una de las cajas ha sido examinado, y fue constatado que era defectuoso. Determine entonces, la probabilidad de haya sido retirado de la caja número 2.

2 fralbe.com

Ejemplo 9: Regla de Bayes (Sol)

Se desea calcular la probabilidad 𝑃(𝐵2|𝐷) de el elemento haber sido retirado de la caja 2 dado que era defectuoso. Se tiene

𝑃 𝐷 = 0,1625

𝑃 𝐷 𝐵2 = 0,4

𝑃 𝐵2 = 0,25

𝑃 𝐵2 𝐷 =𝑃 𝐷 𝐵2 𝑃 𝐵2𝑃 𝐷

= 0,615

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Ejemplo 10: T. de Probabilidad Total y T. de Bayes

0,9

0,8

0,2

0,1

𝑥 = 0

𝑥 = 1

𝑦 = 0

𝑦 = 1

Sistema de Comunicaciones Binario

𝑃 𝑦 = 0 𝑥 = 0 = 0,9 𝑃 𝑦 = 0 𝑥 = 1 = 0,2 𝑃 𝑦 = 1 𝑥 = 0 = 0,1 𝑃 𝑦 = 1 𝑥 = 1 = 0,8

• Probabilidades a priori: 𝑃 𝑥 = 0 = 𝑃 𝑥 = 1 = 0,5 • Ω = 𝑥 = 0, 𝑦 = 0 , 0,1 , 1, 0 , 1,1 . • 𝑥 = 0 = 0, 0 , 0, 1 ; * 𝑥 = 0 , *𝑥 = 1++ es partición. • Probabilidad Total: 𝑃 𝑦 = 0 = 𝑃 𝑦 = 0 𝑥 = 0 𝑃 𝑥 = 0 + 𝑃 𝑦 = 0 𝑥 = 1 𝑃 𝑥 = 1 = 0,55

𝑃 𝑦 = 1 = … = 1 − 𝑃 𝑦 = 0 = 0,45

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Ejemplo 10: T. de Probabilidad Total y T. de Bayes

0,9

0,8

0,2

0,1

𝑥 = 0

𝑥 = 1

𝑦 = 0

𝑦 = 1

Sistema de Comunicaciones Binario

𝑃 𝑦 = 0 𝑥 = 0 = 0,9 𝑃 𝑦 = 0 𝑥 = 1 = 0,2 𝑃 𝑦 = 1 𝑥 = 0 = 0,1 𝑃 𝑦 = 1 𝑥 = 1 = 0,8

• Bayes (vemos 𝑦 y queremos conocer 𝑥):

𝑃 𝑥 = 0 𝑦 = 0 =𝑃 𝑦 = 0 𝑥 = 0 𝑃 𝑥 = 0

𝑃 𝑦 = 0= 𝟎, 𝟖𝟐

𝑃 𝑥 = 1 𝑦 = 1 =𝑃 𝑦 = 1 𝑥 = 1 𝑃 𝑥 = 1

𝑃 𝑦 = 1= 𝟎, 𝟖𝟗

𝑃 error = 𝑃 𝑥 = 0 ∩ 𝑦 = 1 ∪ *𝑥 = 1 ∩ 𝑦 = 0+)

= 𝑃 𝑥 = 0 ∩ 𝑦 = 1 + *𝑥 = 1 ∩ 𝑦 = 0+) ………………………

= 𝑃 𝑦 = 1|𝑥 = 0 𝑃 𝑥 = 0 + 𝑃 𝑦 = 0 𝑥 = 1 𝑃 𝑥 = 1 = 𝟎, 𝟏𝟓

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Ejemplo 11: Teorema de Bayes

Preguntas: 1. Cuál es la probabilidad de la CPU procesar un programa

grande? 2. Si se sabe que el programa procesado por la CPU es

grande, cuál es la probabilidad de que el haya venido de la fila 2?

• programas: grandes y pequeños. • 50%, 30% y 20% de los

programas de las filas 1, 2 y 3 son grandes.

• El Scheduler selecciona aleatoriamente programas de las filas 1, 2 y 3.

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Ejemplo 11: Teorema de Bayes

A = el programa procesado por la CPU es grande. 𝐵𝑛 = el programa proviene de la fila 𝑛 𝑛 = 1,2,3 Se sabe: a) 𝑃 𝐵1 = 𝑃 𝐵2 = 𝑃 𝐵3 = 1/3 b) 𝑃 𝐴 𝐵1 = 1/2 (50%) c) 𝑃 𝐴 𝐵2 = 3/10 (30%) d) 𝑃 𝐴 𝐵3 = 1/5 (20%)

Pregunta 1: 𝑃 𝐴 Pregunta 2: 𝑃(𝐵2|𝐴) fra

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Ejemplo 11: Teorema de Bayes [Rta]

𝑃 𝐴 =1

3∙5

10+1

3∙3

10+1

3∙2

10=1

3

𝑃 𝐵2 𝐴 =𝑃(𝐴 ∩ 𝐵2)

𝑃(𝐴)=𝑃(𝐵2) ∙ 𝑃(𝐴|𝐵2)

𝑃(𝐴)

𝑃 𝐵2 𝐴 =

13∙31013

=3

10 fra

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Independencia Estadística entre Eventos

• Cuando 𝑃 𝐴 > 0 y 𝑃 𝐵 > 0, entonces de la definición de probabilidad condicional resulta que:

𝑃 𝐵 𝐴 = 𝑃 𝐵

𝑃 𝐴 𝐵 = 𝑃(𝐴) • Si 𝑃(𝐴) y 𝑃(𝐵) son estrictamente positivos e 𝐴 y 𝐵 son

mutuamente exclusivos, entonces los eventos 𝐴 y 𝐵 no son estadísticamente independientes. Siendo 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ se tiene que 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 0 y por tanto

𝑃 𝐵 𝐴 = 0 ≠ 𝑃(𝐵)

Definición 20: Independencia Estadística entre dos eventos Dos eventos A y B son estadísticamente independientes cuando

𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 𝑃(𝐵)

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• Si los eventos 𝐴 y 𝐵 son independientes y

mutuamente exclusivos, entonces por lo menos

uno de los eventos tienen probabilidad nula.

Ejemplo: Considere el lanzamiento de un dado y el espacio de muestras asociado Ω =1, 2, 3, 4, 5, 6 ; sean los eventos 𝐴 = 1, 2 y 𝐵 = 2, 4, 6 . Asumiendo que las 6

caras del dado son equiprobables, se tiene:

𝑃 𝐴 𝐵 =𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

𝑃(𝐵)=1/6

1/2=1

3

𝑃 𝐴 =1

3

Resultando que 𝐴 y 𝐵 son estadísticamente independientes. Entretanto , ya que 𝐴 ∩ 𝐵 = 2 , 𝐴 y 𝐵 no son eventos disjuntos.

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Definición 21: Independencia Estadística entre Eventos Los eventos 𝐴𝑘 , 𝑘 = 1,… , 𝑛 son estadísticamente independientes cuando para cualquier conjunto de índices distintos

𝑘𝑖 , 𝑖 = 1,… , 𝑗 con

𝑘𝑖 ∈ 1,… , 𝑛 , 𝑖 = 1, … , 𝑗 y

∀𝑗 ∈ 2 … , 𝑛 se tiene

𝑃 𝐴𝑘𝑖

𝑗

𝑖=1

= 𝑃 𝐴𝑘𝑖

𝑗

𝑖=1

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• En particular para tres eventos 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3 esta condición se desdoblaría en

𝑃 𝐴1 ∩ 𝐴2 = 𝑃 𝐴1 𝑃 𝐴2

𝑃 𝐴1 ∩ 𝐴3 = 𝑃 𝐴1 𝑃 𝐴3

𝑃 𝐴2 ∩ 𝐴3 = 𝑃 𝐴2 𝑃 𝐴3

𝑃 𝐴1 ∩ 𝐴2 ∩ 𝐴3 = 𝑃 𝐴1 𝑃 𝐴2 𝑃 𝐴3

De acuerdo con la Definición 17 𝑛 eventos son estadística mete independientes cuando la probabilidad de intersección de 𝑘, (2 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛), de estos eventos es igual al producto de las probabilidades de los 𝑘 eventos.

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ConcepTest

• Sean tres eventos 𝐴, 𝐵 y 𝐶 que satisfacen 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 = 𝑃 𝐴 𝑃 𝐵 𝑃(𝐶)

𝑃 𝐴 =1

3

𝑃 𝐵 =1

3

𝑃 𝐶 =1

3

𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 =1

27

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¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?

a • Los eventos son estadísticamente independientes dos a dos.

b

• El evento 𝐴 no es estadísticamente independiente del evento 𝐵, pero si e.i. del evento 𝐶

c • El evento 𝐴 es estadísticamente independiente del evento 𝐵

d • El evento 𝐴 no es estadísticamente independiente del evento 𝐵

e • Los eventos A, B, C son e.i. fra

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ConcepTest - Respuesta

• Aunque se satisface una de las condiciones [𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 -, dos eventos cualquier no son independientes. Así por ejemplo para los eventos 𝐴 y 𝐵 se tiene

𝑃 𝐴 𝑃 𝐵 =1

9

𝑃 𝐴⋂𝐵 =1

27

Lo que muestra que 𝐴 y 𝐵 no son estadísticamente independientes.

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SISTEMA DE PROBABILIDAD

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Sistema de Probabilidad

Espacio de Muestras

𝜎-álgebra sobre Ω

medida de probabilidad 𝐴.

𝒮 = Ω,𝒜, 𝑃

Definición 22: Independencia entre dos sistemas de probabilidad Dos sistemas de probabilidad 𝒮1 = Ω1, 𝒜1, 𝑃1 y 𝒮2 = Ω2, 𝒜2, 𝑃2 son estadísticamente independientes cuando para todo 𝐴1 ∈ 𝒜1 y todo 𝐴2 ∈ 𝒜2 se tiene

𝑃 𝐴1 × 𝐴2 = 𝑃1 𝐴1 𝑃2 𝐴2 donde P es la medida de probabilidad de la experiencia combinada.

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Ejemplo 12: Sistema de Probabilidad

Considere la experiencia correspondiente al lanzamiento de un dado y de una moneda, cuyo resultado es la especificación del valor del dado y del resultado de la moneda.

Se desea calcular la probabilidad asociada al evento «valor 1 y cara».

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Ejemplo 12: Sistema de Probabilidad (Sol)

Se considera una única experiencia con espacio de muestras constituido por 12 puntos de muestra de forma:

𝜔 = 𝑓𝑖 , 𝑘𝑖 , 𝑖 = 1, … , 6 ; 𝑗 = 1, 2 donde 𝑓𝑖 y 𝑘𝑖 representan las caras del dado y de la moneda, respectivamente. Además, que 𝑘1 corresponde a cara. Considere ahora los eventos

𝐴𝑖 = 𝑓𝑖 , 𝑘1 , 𝑓𝑖 , 𝑘2 ; 𝑖 = 1, … , 6 y

𝐵𝑗 = 𝑓1, 𝑘𝑗 , 𝑓2, 𝑘𝑗 , 𝑓3, 𝑘𝑗 , 𝑓4, 𝑘𝑗 , 𝑓5, 𝑘𝑗 , 𝑓6, 𝑘𝑗 ; 𝑗 = 1,2.

Se tiene entonces 𝜔: 1 es cara = 𝐴1 ∩ 𝐵1 = *(𝑓1, 𝑘1)+.

Se admite una distribución de probabilidad tal que

𝑃 𝐴𝑖 =1

6 ; 𝑖 = 1, … , 6

y 𝑃 𝐵𝑗 = 𝑞𝑗 ; 𝑗 = 1,2

y considerando también que cada 𝐴𝑖 es independiente de cada 𝐵𝑗 se tiene

en particular

𝑃 𝐴1 ∩ 𝐵1 = 𝑃 𝐴1 𝑃 𝐵1 =1

6 𝑞1.

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Considere ahora que la experiencia examinada es una combinación de dos experiencias elementales: «lanzamiento del dado teniendo como resultado la especificación de la cara del dado» y «lanzamiento de la moneda teniendo como resultado la especificación de la cada de la moneda». A la primera experiencia está asociado el sistema de probabilidad con espacios de muestra,

Ω1 = 𝑓1, 𝑓2, 𝑓3, 𝑓4, 𝑓5, 𝑓6 y con medida de probabilidad que puede ser definida por

𝑃1 𝑓𝑖 =1

6 ; 𝑖 = 1,… , 6.

De la misma manera para la segunda experiencia se tiene, Ω2 = 𝑘1, 𝑘2

y

𝑃2 𝑘𝑗 = 𝑞𝑗 ; 𝑗 = 1,2.

Al admitir que las dos experiencias están asociadas como sistemas de probabilidad independientes se tiene inmediatamente la Definición 22,

𝑃 𝑓1, 𝑘1 =1

6𝑞1

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Una caja contiene 10 bolas blancas y 5 rojas. Una segunda caja contiene 20 bolas blancas y 20 rojas. Se retira una bola de cada caja.

Determine las probabilidades asociadas a los siguientes eventos:

a) retirar una bola blanca de la primera caja y una bola roja de la segunda caja.

b) retirar una bola blanca y una bola roja. fralbe.com


Considere la experiencia combinada, constituida de dos experiencias independientes. La primera está asociada a un espacio de muestras Ω1 constituido de 15 puntos de muestra. En conexión con esta experiencia se define los eventos,

𝐵1 = *𝜔1 ∈ Ω1: la bola retirada es blanca+ y 𝑉1 = 𝜔1 ∈ Ω1: la bola retirada es roja por tanto,

𝑃1 𝐵1 = 101

15=2

3

𝑃1 𝑉1 = 51

15=1

3

Análogamente el espacio de muestras Ω2 asociado a la segunda experiencia contiene 40 puntos de muestra y

𝑃2 𝑉2 = 201

40=1

2

𝑃2 𝐵2 = 201

40=1

2

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donde 𝑉2 = *𝜔2 ∈ Ω2 ∶ la bola retirada es roja+

y 𝐵2 = *𝜔2 ∈ Ω2 ∶ la bola retirada es blanca+

Las probabilidades procuradas son

𝑃 𝐵1 × 𝑉2 = 𝑃1 𝐵1 𝑃2 𝑉2 =1

3

y

𝑃 𝐵1 × 𝑉2 ∪ 𝑉1 × 𝐵2 = 𝑃 𝐵1 × 𝑉2 + 𝑃 𝑉1 × 𝐵2 = 𝑃1 𝐵1 ∙ 𝑃2 𝑉2 + 𝑃1 𝑉1 ∙ 𝑃2 𝐵2

=1

3+1

6=1

2

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Sistema de Probabilidad

Definición 23: Sistemas de Probabilidad Independientes Considere 𝑛 sistemas de probabilidades 𝒮𝑘 = Ω𝑘 , 𝒜𝑘 , 𝑃𝑘 ; 𝑘 = 1,… , 𝑛 asociados a 𝑛 experiencias. Considere aún una colección de 𝑛 eventos, tal que

𝐴𝑖𝑘 ∈ 𝒜𝑘 , 𝑘 = 1,… , 𝑛

Los sistemas de probabilidades 𝒮𝑘(𝑘 = 1, … , 𝑛) son independientes cuando la medida de probabilidad P asociada a la experiencia combinada es tal que

𝑃 𝐴𝑖1 × 𝐴𝑖2 ×⋯× 𝐴𝑖𝑛 = 𝑃1 𝐴𝑖1 𝑃2 𝐴𝑖2 …𝑃𝑛(𝐴𝑖𝑛)

para toda colección 𝐴𝑖𝑘

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En la red de comunicaciones presentada, las tres posiciones de la llave son equiprobables y la probabilidad de un ramal cualquier se encuentra fuera de operación es 𝑝. Considere aún que la posición de la llave y la situación de los troncos son independientes. Como anteriormente, calcule las probabilidades 𝑃 𝐴 , 𝑃 𝐵 , 𝑃 𝐴 𝐵 y 𝑃(𝐶|𝐷) siendo 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 los eventos definidos:

𝐴 = 𝜔 ∈ Ω: 𝑎 y 𝑐 pueden comunicarse 𝐵 = 𝜔 ∈ Ω: 𝑏 y 𝑐 pueden comunicarse 𝐶 = 𝜔 ∈ Ω: la llave 𝑆 está en la posición 𝐼 𝐷 = 𝐴 ∩ 𝐵 fra

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• El espacio de muestras correspondiente a la posición de la llave es Ω𝑐 = (𝐼, 𝐼𝐼, 𝐼𝐼𝐼)

• Y el espacio de muestras correspondiente al tronco 𝑖 (𝑖 =1, 2, 3, 4, 5) es

Ω𝑖 = (0, 1) • El evento 𝐴 puede ser expresado como la unión de 3 eventos

distintos 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3. – Cada uno de estos eventos es el producto cartesiano de 6 eventos, así:

𝐴1 = 𝐼 × 1 × Ω2 × Ω3 × 1 × Ω5 𝐴2 = 𝐼𝐼 × Ω1 × *1+ × Ω3 × Ω4 × Ω5 𝐴3 = 𝐼𝐼𝐼 × Ω1 × Ω2 × 1 × Ω4 × *1+

El problema se resuelve considerando la posición de la llave y la situación de cada uno de los cinco troncos como seis experiencias independientes las cuales están asociadas a sistemas de probabilidad independientes.

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Como, por hipótesis, los sistemas de probabilidad son independientes,

𝑃 𝐴1 = 𝑃𝑐 𝐼 𝑃1 1 𝑃2 Ω2 𝑃3 Ω3 𝑃4 1 𝑃5 Ω5 o sea

𝑃 𝐴1 =1

31 − 𝑝 1 1 1 − 𝑝 1 =

1 − 𝑝 2

3.

Resulta análogamente

𝑃 𝐴2 =1 − 𝑝

3

y

𝑃 𝐴3 =1 − 𝑝 2

3

así,

𝑃 𝐴 = 𝑃 𝐴1 + 𝑃 𝐴2 + 𝑃 𝐴3 =1 − 𝑝 3 − 2𝑝

3 fra

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finalizar en casa…

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PROBLEMAS

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ClickProblem 1

• Un transmisor de un sistema de comunicaciones envía tres símbolos (+1, 0, -1) a un receptor lejano de un canal determinado. Dicho canal puede introducir errores en la transmisión ocasionando, por ejemplo, que un «+1» enviado aparezca como un «-1» o un «0» en el receptor. Considere los sucesos 𝐴𝑖 y 𝐵𝑖 definidos de la siguiente manera: 𝐴𝑖 = "el símbolo enviado es i" , 𝐵𝑖 = "el símbolo recibido es i" . Suponiendo que 𝑃 𝐴1 = 0.5, 𝑃 𝐴2 = 0.3, 𝑃 𝐴3 = 0.1, y que 𝑃 𝐵𝑖 𝐴𝑗 =0.1 si 𝑖 ≠ 𝑗, y 𝑃 𝐵𝑖 𝐴𝑗 = 0.8 si 𝑖 = 𝑗; calcule:

a) las probabilidades del suceso 𝐵𝑖 para 𝑖 = 1,2,3

b) las probabilidades a posteriori 𝑃(𝐴𝑖|𝐵𝑗) c) la probabilidad de cometer un error en la transmisión. fra

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ClickProblem 2

Lanzamiento consecutivo de 4 monedas. Obtener la Probabilidad de:

1. Salir un número par de caras.

2. Salir exactamente 3 caras.

3. Salir exactamente 3 caras o obtener un número par de caras.

4. Salir exactamente 3 caras y a la vez que dos caras sean consecutivas.

5. Salir por lo menos dos caras consecutivas.

6. No ocurrir el evento el evento número par de caras y por lo menos dos caras consecutivas. fra

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ClickProblem 3

Paradoja de Bertrand:

Considere una circunferencia de radio 1. Determinar la probabilidad de que una cuerda de esta circunferencia, elegida «al azar», sea mayor que el lado del triángulo equilátero inscrito en los siguientes casos:

a) Fijar un punto I en la circunferencia y elgir, con distribución uniforme, un punto M del único diámetro que pasa el punto I. Este punto M determina de forma única una cuerda perpendicular en M al diámetro.

b) Fijar un extremo de la cuerda en la circunferencia y elegir el otro extremo con distribución uniforme en la circunferencia.

c) Elegir un punto cualquiera M dentro del círculo, y considerar la cuerda perpendicular en M al único radio que pasa por M. fra

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REFERENCIAS

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Referencias

• ALBUQUERQUE, J. P. A.; FORTES, J. M.; FINAMORE, W. A.

(1993) Modelos Probabilísticos em Engenharia Elétrica;

Rio de Janeiro: Publicação CETUC.

• Marco Grivet, Procesos Estocásticos I, Centro de Estudios

em Telecomunicaciones – CETUC, 2006. [Slide]

• Universidad de Cantabria, Teoría de la Probabilidad, Teoría

de la Comunicación, Curso 2007-2008. [Slide]

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