2 Geometría de Las Cáscaras
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Geometría de las cáscaras
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Geometra de las cscaras
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Geometra de las cscaras
S
R
Q
P
dSy
dSx
2
1
1 + d 1
2 + d 2
n1
t1
t2
Las curvaturas correspondientes a
los arcos diferenciales dSx y dSy :
1'
1
2'
1
22
11
Kr
xcte
Kr
xcte
x
y
El factor K= K1.K2 es el denominado
Indice de curvatura de Gauss.
rx
ry
Este ndice , que en general es una fun-
cin de 1 y 2 , determina las caracte-
rsticas geomtricas de la superficie.
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Geometra de las cscaras
a) Casos en que K=0
b) Casos en que K es distinto de cero.
Lamina cilindrica
EsferaParaboloide hiperblico
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Geometra de las cscarasEl indice de Gauss clasifica las superficies de las lminas en tres clases:
En 1) se agrupan las lminas esfricas , parablicas y elpticas.
En la 2) el paraboloide hiperblico y el hiperboloide de revolucin.
En la 3) las lminas desarrollables , cilndricas y cnicas.
Hiperboloide de revolucin
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Geometra de las cscaras
La geometra de lminas de curvatura negativa hace que stas estn
sujetas a grandes desplazamientos, puesto que pequeas deformac.
en el plano medio puede dar lugar a grandes flechas transversales.
K (-)
Placa en mnsula
(paraboloide hiperblico)
Deformaciones inextensibles
K (+)
Lmina con curvatura positiva
No hay deformaciones inextensibles
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Geometra de las cscaras Consideraciones para el diseo:
a) Curvatura
b) Condiciones de contorno
Lmina en paraboloide hiperblico
con vigas de borde rgidas.Lmina esfrica con
gran lucernario.
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Geometra de las cscaras
z = z (r)
(depende solamente de r )
r
r
Son engendradas por el giro o rotacin de
una curva plana alrededor de un eje.
esta curva se llama meridiana y el plano
que la contiene plano meridiano.
Superficies de revolucin
Una superficie de revolucin tiene en
Coordenadas cilndricas la ecuacin:
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Geometra de las cscaras
En forma paramtrica:
x = r cos
y = r sen
z = z ( r )
r = r ( 1, 2)
1
2
Superficies de revolucin
x
y
z
O3
O2
O1
n
t2
t1
P
r1
r2
dd
Q
SR
Si cortamos un elemento de superficie entre dos meridianos adyascentes
Y dos planos prximos paralelos, obtendremos el elemento de la figura:
r
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Geometra de las cscarasSuperficies de revolucin
22
11
2
1
dASd
dAdS
Siendo A1 y A2 parmetros.
A1 es la long del arco del meridiano para dz = 1
A2 es la long.del arco del paralelo para d = 1
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Geometra de las cscarasSuperficies de revolucin
Se puede demostrar que la superficie PQPQ es desarrollable (no plana)y a lo largo de un paralelo nos describe un tronco de cono.
Si de los extremos del paralelogramo curvilneo PQRS ,trazamos las
direcciones normales desde cada punto de su contorno:
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Geometra de las cscarasSuperficies de traslacin
La curva C designada directriz se traslada paralelamente a su
plano vertical, apoyndose al recorrer su trayectoria sobre la cur-
va C designada generatriz, originando en su movimiento la su perficie de traslacin indicada en la figura.
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Geometra de las cscaras
Superficies regladas
Paraboloide hiperblico reglado
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Geometra de las cscarasClasificacin
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PROPIAS Hiperblicas
-
PROPIAS Hiperblicas
-
Geometra de las cscarasSuperficies de traslacin
La expresin analtica de las superficies de traslacin de planta
rectangular , en coordenadas cartesianas ,est dado por:
Paraboloide hiperblico
-
PROPIAS Elpticas
-
PROPIAS Elpticas
-
Geometra de las cscaras
Superficies de traslacin
Paraboloide elptico
-
IMPROPIAS
-
IMPROPIAS
-
Geometra de las cscaras
Superficies de traslacin
Cilindro Parablico
-
ESTRUCTURAS LAMINARES
Estructuras portantes bidimensionales
Superficie plana:
Placa
Superficie curva:
Cscara
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Teora de las Cscaras Delgadas
El material se supone continuo , istropo y homogneo.
Hipotesis fundamentales:
De comportamiento elstico y lineal.
Las deformaciones elsticas son pequeas en relacin al espesor de la cscara.
La normal a la superficie media se mantiene tras la deformacin.
Se podrn despreciar las tensiones normales perpendiculares a la sup. media.
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Teora Membranal de las
cscaras de revolucin
Las cscaras de revolucin son la
clase ms importante de cscaras
para la construccin de cpulas y
depsitos.
Adems de esto, son ms fcil de
describir matemticamente, y as,
de analizarlas.
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Teora Membranal de las cscaras
de revolucin
Eje de la cscara
Meridiano
a
O2
O1
n
t1
P
La superficie media se genera por la rotacin de una curva alrededor
de un eje de la cscara.
O1P : Radio de curvatura del meridiano
O2P : Long normal de P hasta el eje
paralelo
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Caractersticas de las cscaras
de revolucin
Fuerzas normales y fuerzas tangenciales repartidas
Fuerzas de corte repartidas
Momentos flectores y momentos torsores uniformemente repartidos
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La teora membranal solo es
aplicable con condiciones de borde
convenientes
Dependencia del equilibrio de las fuerzas membranales con las
condiciones de apoyo de una cscara
Equilibrio de las fuerzas membranales con cargas concentradas
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Normales N y Tangenciales T
Meridiano
N
T
N
T
Esfuerzos
-
Corte Q
Meridiano
Paralel
o
Q
Q
Esfuerzos
-
Momentos flectores M y torsores Mt
MM
Mt
Mt
Meridiano
Paralel
o
Esfuerzos
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Si cortamos un elemento de la cscara
podremos escribir las ecuaciones de equilibrio de fuerzas y las de
momentos.
Total de ecuaciones: 6
Total de incgnitas: 10
Esfuerzos
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Hiptesis del estado de
tensiones membranales
Hay 10 incognitas (2 Torsores, 2 Flectores , 2
Tensiones Normales, 2 Tensiones Cortantes, 2
Tensiones Tangenciales)
y solo 6 ecuaciones (3 sumatorias de fuerzas y 3 de
momentos)
El problema es indeterminado interiormente , por
tanto, es necesario considerar las deformaciones para
resolverlo.
Es posible evitar el clculo mediante una teora
aproximada , que en muchos casos, da resultados
tiles, esta es la llamada Teora Membranal
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Teora Membranal
Suponiendo que una cscara tiene el
comportamiento de barras biarticuladas , pero
en dos direcciones, podemos suponer:
En el elemento solo aparecen fuerzas
normales, y no momentos flectores ni
fuerzas de corte.
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Si calculamos la cscara considerando los
momentos flectores y fuerzas de corte, las
tensiones generadas por stas son pequeas
respecto a las tensiones generadas por las
fuerzas normales
Existe limitacin de esta suposicin, en la
medida de que en realidad las membranas no
tienen un comportamiento exacto al de las
barras en dos direcciones.
Teora Membranal
-
Limitaciones de la Teora
Membranal:
Es aplicable en condiciones de bordes
convenientes.
No es compatible con la teora membranal las cargas concentradas que acten
perpendicularmente a la superficie media.
El espesor de la membrana es delgado, esto es, no es gruesa y tampoco de espesor despreciable.
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Teora Membranal
El material se supone continuo istropo y
homogneo.
De comportamiento elstico y lineal.
Las deformaciones elsticas son pequeas
en relacin al espesor de
la cscara.
Hiptesis fundamentales:
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La normal a la superficie media
se mantiene tras
la deformacin.
Se podrn despreciar las
tensiones
normales
perpendiculares
a la sup. media.
Teora Membranal Hiptesis fundamentales:
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Teora Membranal de las
cscaras de revolucinEje de la cscara
Meridiano
a
O2
O1
n
t1
P
Paralelo
-
Hiptesis
Actan solo tensiones
normales (Nx , Ny)
y tangenciales
( Nxy , Nyx )
alojadas en el
plano tangente a
la superficie de la
membrana.
P
t2
t1
n Plano tangente
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Hiptesis Generales
Las tensiones normales y tangenciales son uniformes en el espesor de la membrana.
No existen momentos flectores , ni torsores , ni esfuerzos de corte.
Las deformaciones son muy pequeas , por lo que se consideran inexistentes.
Las deformaciones no tienen influencia sobre los esfuerzos.
Interesa el clculo de deformaciones , cuando interesa hallar esfuerzos complementarios de borde.
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Condiciones necesarias para la existencia del estado membranal
1. Condiciones de deformacin.
Arco
La linea de presiones no coincide
con el meridiano .
Hay flexin
Eje
La linea de presiones coincide con
el meridiano .
No hay flexin
Superficie
membranal
Accin de
frenado de
los paralelos
Eje
-
Condiciones necesarias para la existencia del estado membranal
2. Condiciones de apoyo.
Apoyo sin
equilibrio
N1 N1
Apoyo en
equilibrio
-
Condiciones necesarias para la existencia del estado membranal
3- Condiciones de
carga exterior.
No son compatibles
las cargas
concentradas que
acten
perpendicularmente
a la superficie
media
P
Sin equilibrio
N1 N1
-
Membrana de revolucin con
simetra radial
Q
n n
N1 N1
N1 = Q
2 r sen
r
-
Membrana de revolucin con
simetra radial
-
Membrana de revolucin con
simetra radial
N2 = R2 ( Z - )N1
R1
