2 Electrostatica en El Vacio Miguel Delgado Leon 1

7/26/2019 2 Electrostatica en El Vacio Miguel Delgado Leon 1

http://slidepdf.com/reader/full/2-electrostatica-en-el-vacio-miguel-delgado-leon-1 1/13

Cap2

Electrostática en el Vacío

Ley de Coulomb

Si dos cargas en reposo

’ (fuente) y

(carga de campo) se localizan en el espacio. Aparece una fuerza

eléctrica sobre dado por

→ 14′ .

′ vector posición relativa

es la permitividad del espacio libre

En el SI 8.854×10− /

Campo Eléctrico

lim→ →

14

<>

Distribución de Cargas Continuas

Lineal

Se define la densidad de carga lineal

La carga total

∫

Superficial

Se define la densidad de carga superficial

La carga total

∬



Volumétrica

Se define la densidad de carga superficial

La carga total

∭

Principio de Superposición

14

El campo total

14 ∫

Problemas:

1) Una línea infinita tiene una carga eléctrica con densidad lineal constante , determine el

campo eléctrico

2)

Una espira circular tiene una radio ay una densidad de carga lineal constante , determine

en el eje de la espira

3)

El campo eléctrico de una placa infinita con densidad de carga superficial uniforme

Solución 1)

14 14

Nos damos cuenta que la que la resultante tiene la dirección radial

c os

14

El campo total

4 ∫ +

−

∫

+

− 1

+

2 √ +



→ ∞ ≫ ⟹ 2

Solución 2)

1

4

1

4

1

4

∅

c os

14∅

El campo total

4 ∫ ∅ +

2 +

Solución 3)

2 +

2 +

2 ∫ +

2

( 1

+

)

0

2 1 1√ +

→ ∞ ⟹ 2

Línea de transmisión de placas paralelas



Ley de Gauss

14

La integral de superficie

∮ ∙ ∮ 14 ∙

∮ ∙ ∮ 14 ⊥

⊥ Ω

∮ ∙

4 ∫

∮ ∙

Ley de Gauss

∮ ∙ 1 ∫

Forma diferencial de la Ley de Gauss

∮ ∙ 1 ∫

Teorema de la divergencia

∭ ∇ ∙ 1 ∫

∇ ∙ 1



Potencial Escalar o Electrostático

14

+ +

Es fácil descubrir que:

∇ 1

∇ 1√ + +

4 ∇ 1

∇ 4

∇

4

Es el potencial electrostático debido a una carga puntual

El campo eléctrico es irrotacional ∇ × 0

Demostración

∇ × ∇ × ∇ ∇ × ∇ 0

Ejemplo:

Potencial electrostático de una carga lineal infinita con densidad de carga lineal uniforme

Solución

El Potencial de una carga puntual

′4

4

4



4 ∫ −

4 ∫ +

−

∫ + − ln + +

4 ln + √ + + √ +

Para carga lineal infinita → ∞

4 lim→ ln + √

+

+ √ +

(Desarrollado en el Texto Wagness)

Relación entre Potencial Eléctrico y Campo Eléctrico

∇

Por otro lado

∇ ∙

∙

Integrando

∫

∫ ∙

∫ ∙

Resolvemos el ejemplo anterior mediante esta fórmula

2

∫ 2 ∙

2 ln



Se debe escoger un punto de referencia (a parte del infinito) donde el sea cero. Porque si

se escoge ∞ saldría un absurdo, y no llegaríamos a una solución.

2 ln

Cuando la distribución de carga es infinita, debe escogerse un punto de referencia diferente del

∞

(punto de referencia) donde sea cero.

Problemas de Ley de Gauss (U de Chicago y U de Berkeley)

1)

Una distribución de carga volumétrica con densidad de carga (constante) se distribuye en

una región esférica de radio excepto en un agujero esférico de radio con centro a una

distancia del centro de la región esférica de radio como se muestra en la figura.

Determine

a)

El campo eléctrico en el centro del agujero

b) EL potencial escalar en el mismo punto

[Universidad Chicago y Berkeley]

2) Una distribución de carga uniforme existe en la región

′ , < < 0,

Determine el campo eléctrico en todo el espacio

Solución 1)

Usando Superposición

Ley de Gauss

∯ ∙

4 1

43 , >

4

3 , <

3 , > 3 , <

a)

3

3

b) El potencial debido a la primera esfera



∫ ∙

0 → ∞

∫ 3 ∙

∫ 3 .

3 ∫ 1 3 ∫

3 1 ∞ 3 2

3 6

3 2 + 2

6 3

El potencial debido a la segunda esfera

6 3 0

El potencial es la suma

6 3 3

Solución 2)

Superficie gaussiana es un paralelepípedo

∯ ∙

∆ ∆ , 0 < < ∆ , >

, 0 < < , >



Campos Electrostáticos en Medios Conductores

El campo eléctrico dentro de un conductor es cero.

+ 0

Las cargas polarizadas producen un campo que anula al campo inicial.

La carga neta dentro de un conductor es cero.

Se demuestra mediante la ley de Gauss en la superficie S

∯ ∙

0 ⟹ 0

La carga se distribuye en la superficie del conductor

El potencial dentro (y en la superficie) de un conductor es constante

∇ 0

0∇

EL campo eléctrico es normal a la superficie del conductor

Relación entre la densidad de carga y el campo eléctrico

Mediante la Ley de Gauss en la superficie del conductor

∯ ∙∆

∆ ∆

En general

∙

Ejemplo:

Capacitor de placas paralelas

≫

Piden Capacidad potencial dentro del capacitor

Puede considerarse como placas infinitas



Calculado anteriormente

∫ ∙

0 ∫ ∙

La carga del conductor superior

Capacidad

0 ∫ ∙

Dipolo Eléctrico

Aislante o Dieléctrico

Potencial y campo eléctrico de un Dipolo

4 + 4

Simplificando

4

≈ ≈ ≈

cos4

∙ 4



Se define el momento dipolar eléctrico

De manera que el Potencial de un Dipolo Eléctrico será

∙4

El Campo Eléctrico de un Dipolo

∇

∇ é

1

cos4 2 + sin4

4 2c os +s in

Es el campo eléctrico de un dipolo eléctrico

4 2c os +s in

Ejemplos:

1) El momento dipolar eléctrico de 2 cuerpos con densidad superficial + y; se coloca como

origen de coordenadas entre los cuerpos.

2

2 ∫

2)

En la región ∅ 0 , / 2 y 0, / 2 existe una carga con densidad superficial + ypara

∅ 0 , / 2 y

/ 2 , la densidad es

.

′ ′ sin ∅ 2c os

′

sin ∅2cos

2

∫ ∫ s i n

cos

∅

2



Expansión Multipolar

14 ∫ ′

−

+

2∙

−

Extendiendo (Binomio de Newton) se llega

+ + +

Término potencial Monopolar

Término potencial Dipolar

Término potencial Cuadripolar

Donde:

4 14 ∫ ′

4 ∫ ′′ ∙4

141 ∑ ∑ =,,=,,

Donde

12 ∫ 3 ′

Tensor Momento Cuadripolar

1, 0, ≠

Ejemplo (Propuesto en el Milford)

Se tiene tres cargas puntuales 2 en el origen, en 0,0, y en 0,0,. Para || ≫ determine aproximado en esféricas. También determine el tensor momento cuadripolar.

Solución:

4 0 0

∙4

∫ ′′



Para el ejemplo

∑′ + 0 ∙2 0

Término Cuadripolar

14 1 [ + + + ⋯ + + ⋯ + ] 12 ∑3′

12 3′ + 12 3′ + 12 3′

12 0

+12 02 +

12 0

12 ∑3 0

Nos damos cuenta

141 [ + + ]

Propiedad + + 2

Se verifica

12 ∑3′

12 2

+ 2

2

141 + + 2

14 + 2

s i n c o s ∅ s i n s i n ∅ c o s

14 3cos 1

2 Electrostatica en El Vacio Miguel Delgado Leon 1

Documents

Transcript of 2 Electrostatica en El Vacio Miguel Delgado Leon 1