Autor: Mario A. Jordán

Fundamentos de Control Realimentado

NOTA: Esta Copia de Power-Point es para uso exclusivo del Alumnado de FCR,2do. Cuatrimestre 2014 Contiene los conceptos fundamentales en el marco de la

Bibliografía disponible y es una contribución didáctica para el Curso. Esta versión está sujeta a futuras mejoras y extensiones. Para mostrar animaciones desde el comienzo presione F5

Clases 2 y 3 - Versión 1 - 2014

Contenido básico:

Sistemas Dinámicos

Linealidad

Leyes y Principios de comportamiento dinámico

2

Sistemas dinámicos según áreas de la Física

Identificación de sistemas dinámicos

Un sistema dinámico es lineal si obedece al

Principio de Superposición

Linealidad

Si un sistema dinámico obedece al Principio de Superposición,

entonces es Lineal

Modelo Dinámico

u1(t)u2(t)u1(t) + u2(t)

y(t) = y1(t) + y2(t)

y1(t)y2(t)y(t)

Ejemplo 1

3

Linealidad

u(t)dy/dt = y(t) + u(t)

0

Ejemplo 2

dy1/dt = y1 + u1 (t) dy2/dt = y2 + u2 (t)

dy/dt = y + u1 + u2

dy/dt = y + dy1/dt - y1 + dy2/dt – y2

[dy/dt – dy1/dt – dy2/dt] – [y – y1 – y2]= 0

0

y = y1 + y2

y(t)

4

Leyes y Principios de comportamiento dinámico

Sistemas Mecánicos

Sistemas Eléctricos

Sistemas Electromagnéticos

Sistemas Térmicos

Sistemas Termodinámicos

Sistemas Electromecánicos

5

Sistemas Mecánicos

Leyes de Newton – Movimiento traslacional

u = m x..

Fuerza = masa x aceleración

o también

6

Sistemas Mecánicos

Sistema amortiguador

m1

m2

resorte

amortiguador

7

Sistemas MecánicosSistema multicuerpos: 2 masas

rueda

Chasis/4

elasti-cidad

resorte amortiguador

calle

cota de referencia

2) Cuerpo libre1) Diagrama en bloques

{3) Sistema de ODEs

{O bien

8

Sistemas MecánicosResolución del sistema ODE

Encontrar x(t) e y(t) para un perfil de camino r(t) y CI determinadas

{

{

Resolvemos el sistema de ODE (Numéricamente c/MATLAB)

O cambiamos de dominio: Reemplazamos s por d/dt

Y nos queda un sistema algebraico con dos incógnitas X e Y

9

Sistemas MecánicosResolución del sistema algebraico

٠Se despeja X(s) en la primera ecuación y se reemplaza en la segunda٠Se despeja Y(s) en función de la única entrada R(s)

٠Y(s) expresa en el dominio s la oscilación que percibe el conductor del auto para un camino sinuoso R(s).

٠Y(s) debería ser más suave y menos intensa que R(s).

٠La parte derecha de la función racional es un filtro pasabajos

10

Sistemas MecánicosLey de Newton (rotacional): Sistema satélite

Fc d+MD=uFc d+MD=u

11

Sistemas ElectomecánicosSistema de disco rígido para lectura

Esquema de fuerzasI1

I2

1

Mc + MD

k(1-2)

k

b(1-2). .

2k(1-2)

b(1- 2). .

b

12

Sistemas ElectomecánicosSistema de dos cuerpos rotacionales

Cuerpo libre

{Sistema ODE

Sistema Algebraico

Despreciando b y MD, queda un sistema oscilatorio:

13

Sistema: disco rígido para lectura de datos

Sistemas Electomecánicos

Sistemas colocados: A través de Mc se debe llevar a 2 a unareferencia 2 ref pasando por 1 con nexoselásticos (eje del motor)

Sistemas no-colocados: A través de Mc se debe llevar a 2 a unareferencia 2 ref con un eje rígido del motor,

es decir 2=1 casi instantáneamente.

14

Sistema: péndulo

Sistemas Mecánicos

Linealización

I=m l2I=m l2

15

Sistema: péndulo

Sistemas Mecánicos

Sistema linealizado:

Transferencia del torque al movimiento de la masa en el puntal

Respuesta impulsiva del péndulo de reloj

16

Sistema: Grúa pórtico

Sistemas Mecánicos17

Sistema: Grúa pórticoSistemas Mecánicos

{Función de transferencia

{

18

Sistema: Péndulo invertidoSistemas Mecánicos

{

19

Sistema: Brazo Robótico flexibleSistemas Mecánicos

20

Sistema: Brazo Robótico flexibleSistemas Electromecánicos

Péndulos invertidos simple, doble, etc.

1er Modo de oscilación

2do Modo de oscilación

21

ODE de parámetros distribuidos

Sistema: Motor DC

Sistemas Electromecánico22

Sistema: Motor DCSistemas Electromecánicos

Electromagnetismo: Ley de Faraday:

Mecánica: 2o Ley de Newton:

Electricidad: Ley de Kirchoff:

23

Sistema: Motor DC

Sistemas Electromecánicos

Definición de entrada y salida según objetivo de control

Entrada: ua Salida: qm

Función de transferencia para control de posición de un motor DC

Modelo de tercer ordencon un integrador

24

Sistema: Motor DC

Sistemas Electromecánico

Definición de entrada y salida según objetivo de control

Entrada: ua Salida: Wm

La dia/dt + Ra ia = ua – Ke Wm

Jm dWm /dt + b Wm = Kt ia

Modelo simplificado para control de velocidad de un motor DC

con Wm = qm .

Además, si La=0, el modelo es de 1er orden

El modelo resultará de 2do orden

25

Sistema: Puente T (redes de Zobel)Sistemas Electrónicos

Circuito de red cuya característica es que tiene una impedancia de entrada específica independiente de la función de transferencia entrada-salida

Tiene dos elementos acumulativos de energía (2 capacitores), por tanto sus 2 ODEs poseen dos variables de estado.

Aplicando la ley de Kirchoff de corriente en nodos que involucran a ambos capacitores, se tiene:

26

Sistema: Puente T, Ecuación de Estado

Sistemas Electrónicos

Ecuación del sistema

Ecuación de salida

Vector de estados

Matrices del sistema y de entrada

Matriz de salida

ODE vectorial de1er orden

27

J = 0Matriz de transferencia directa

Transmisión de Calor por Conducción: Resistencia térmica

Sistemas Térmicos

R q = T1-T2

R: resistencia térmicaq: flujo de calorT1: Temperatura altaT2: Temperatura bajaT2T1

qq

T1>T2

l

k: Conductividad térmica

28

Transmisión de Calor por Convección Transferencia térmica entre masas líquidas

Sistemas Térmicos

q = w cv (T1-T2)

w: caudal de masa líquida

cv: calor específico a V=cte

T1: Temperatura alta

T2: Temperatura baja

q: flujo de calorT1

T2

q

w

29

T1>T2

Ecuaciones básicas: Capacidad térmica

Sistemas Térmicos

q = C dT/dtC: capacidad térmicaq: flujo de calordT/dt: variación de temperatura en un punto

Recinto cerrado conuna fuente de calor

m: masa del aire (fluido)cv: calor específico a V=cte

Tq

30

Sistema: Recinto cerradoSistemas Térmicos

q = C dTi/dt

q = q1 + q2

q1 =1/R1 (Ti-To)

q2 =1/R2 (Ti-To)

dTi/dt =1/C (1/R1+1/R2) (Ti-To)Ecuación del Sistema:

Ti

To

q2

qq1

R1

R2

C

31

aislados

aisl

ado

aislado

Sistema: Caldera

Sistemas Térmicos32

Sistema: IntercambiadorSistemas Térmicos

El vapor transfiere calor a la cámara:

El agua absorbe calor por conducción:

El calor del vapor en la cámaraaumenta la temperatura:

Válvula de control

Termómetro

33

Ks es el factor de flujo

Cámara El calor del agua en la tuberíaaumenta la temperatura:

qw w w

Sistema: Intercambiador

Sistemas Térmicos

El calor del vapor es:

El calor del agua es:

El termómetro del agua marca:

34

Sistema: CalderaSistemas Térmicos

Válvula de control

Termómetro Objetivo de Control

Sistema de ODEs

Matrices de las Ecuaciones de Estado

35

Sistemas MecánicosSistemas varios: Engranajes

w2/w1 = k1 n1/n2 = k1

n: número de dientes

w3/w2 = k2 n2/n3 = k2

w3/w1 = n1/n3 = k1 k2

w: velocidad angularw1

w2

w3

Torque 2 / Torque 1 = n2/n1 = 1/k1

Torque 3 / Torque 2 = n3/n2 = 1/k2

Torque 3/Torque 1 = 1/ k1 k2

36

Sistemas MecánicosSistemas varios: Engranajes

Relación cualitativa entre torque y velocidad en los cambios de un auto

Torque 2 / Torque 1 = n2/n1 = 1/k

El torque aplicado al engranaje motriz de menor número de dienteses amplificado en el eje del engranajeconducido.

Sin embargo la velocidad angular se reduce en este último.

Relación = k : 1

37

Sistemas MecánicosSistemas varios: Poleas

w2/w1 = k = R1/R2 Torque 2/Torque 1 = 1/k

w2w1

R2R1

38

Sistemas MecánicosSistemas varios: Aparejos

Fuerza en el cabo P = peso Q / número de cuerdas entre poleas

39

Sistemas Mecánicos

Palanca

Pistones

Diafragma

Columna de agua

Fuerza = presión x Área

Fuerza 1 x L1 = Fuerza 2 x L2

Fuerza = presión x Área

Presión = densidad x g x h

Sistemas varios

Parlante

40

Identificación de Sistemas41

Sea:

Sistema Dinámico

u (t) y (t)

Se conoce de él que:1) Es lineal alrededor de un punto de operación de interés

2) Puede excitarse en un intervalo pequeño alrededor del punto el operación de interés midiendo la salida

sensor

PC

3) Puede o no conocerse la estructura de la ecuación diferencial ordinaria ODE

ym (t)

Identificación de Sistemas42

a) Si se conoce la estructura de la ecuación diferencial,por ejemplo:

b) Si, por el contrario, la estructura de la ODE no es conocida:

Se puede emplear un método frecuencial por ejemplo para determinar los órdenes de los polinomios numerador y denominador de la ODE y luego estimar sus coeficientes.

d3y/dt3 = – a1 d2y/dt2 – a2 dy/dt – a3y + b0 du/dt + b1 u

entonces sólo los coeficientes a1 , a2 , a3, b0 y b1 y b0 son desconocidos y deberán ser determinados.

Identificación Paramétrica43

Se trata de determinar los coeficientes de la ODE

Frecuenciales: Determinar asíntotas en respuesta frecuencial

Métodos

TemporalesDeterminar características singulares de la respuesta al escalón

Métodos estadísticosExcitando al sistema con señales aleatorias o pseudo-aleatorias

Se conoce su estructura.