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Programación Entera José Luis Quintero 1
FORMULACIÓN DE MODELOS DE PROGRAMACIÓN
ENTERAPROBLEMAS DE REDES
Ingeniería en Informática
Ingeniería Industrial
Universidad Católica Andrés Bello
16 de Octubre de 2017
Programación Entera José Luis Quintero 2
1. Problemas de redes
2. Transporte
3. Transbordo
4. Asignación
5. Ruta más corta
6. Flujo con costo mínimo
7. Flujo máximo
8. Red PERT
Puntos a tratar
Programación Entera José Luis Quintero 3
• Una red consiste en una serie de nodos conectadospor arcos que también se denominan conexiones olíneas.
• Existen redes físicas (carreteras, comunicaciones,oleoductos, etc.) y sistemas que puedenrepresentarse como redes:
– Los nodos representan estados de un sistema,finalización de una operación, un período detiempo,…
– Los arcos representan órdenes de precedenciaentre operaciones,…
• Gráficamente, las redes se representan:
– Nodos mediante círculos.
– Arcos mediante líneas.
– Dirección del arco mediante puntas de flecha.
Modelos de redes
Programación Entera José Luis Quintero 4
Nodos Arcos
10
Funciones en los arcos
Problemas de redes
Programación Entera José Luis Quintero 5
Muchos problemas comerciales pueden ser resueltos através de modelos de redes.
Dadas ciertas condiciones en los datos, el resultado deun problema de redes garantiza una solución entera,dada su estructura matemática. No se necesitanrestricciones adicionales para obtener este tipo desolución.
Problemas de redes pueden ser resueltos por pequeñosalgoritmos , no importando el tamaño del problema,dada su estructura matemática.
Importancia de los problemas de redes
Programación Entera José Luis Quintero 6
Formulación general de un problema de redes
Programación Entera José Luis Quintero
¿Por qué un experimento?
Problema de Transporte
Problema de Transbordo
Problema de Asignación
Problema de la Ruta más Corta
Problema del Flujo con Costo
Mínimo
Problema del Flujo Máximo
Problemas de Redes
Programación Entera José Luis Quintero 8
1. Problemas de redes
2. Transporte
3. Transbordo
4. Asignación
5. Ruta más corta
6. Flujo con costo mínimo
7. Flujo máximo
8. Red PERT
Puntos a tratar
Programación Entera José Luis Quintero 9
Un problema de transporte surge cuando se necesitaun modelo costo-efectividad que permita transportarciertos bienes desde un lugar de origen a un destinoque necesita aquellos bienes, con ciertas restriccionesen la cantidad que se puede transportar.
Se tienen m lugares de origen. Cada lugar de origentiene una capacidad de producción Si . Se tienen ndestinos. Cada destino j demanda Dj.
OBJETIVO. Minimizar el costo de transporte de la cargaal lugar de destino cumpliendo con las restricciones delos lugares de origen.
Problema de transporte
Programación Entera José Luis Quintero 10
1 2 … n Recursos1 c11 c12 … c1n s1
Origen 2 c21 c22 … c2n s2… … … … …
m cm1 cm2 … cmn smDemanda d1 d2 … dn
DestinoCosto por unidad distribuida
M
Modelo general del problema de transporte
Programación Entera José Luis Quintero 11
S1[s1]
S2[s2]
Sm[sm]
D1 [-d1]
D2 [-d2]
Dm [-dm]
c11
c12
c1nc21 c22
c2n
cm1cm2
cmn
Modelo de red del problema de transporte
Programación Entera José Luis Quintero 12
.y para,0
,,...,2,1 para
,,...,2,1 para
a sujeta
min
1
1
1 1
jix
njdx
misx
xcZ
ij
m
jjij
n
jjij
m
i
n
jijij
≥
==
==
=
∑
∑
∑∑
=
=
= =
.y para,0
,,...,2,1 para
,,...,2,1 para
a sujeta
min
1
1
1 1
jix
njdx
misx
xcZ
ij
m
jjij
n
jjij
m
i
n
jijij
≥
==
==
=
∑
∑
∑∑
=
=
= =
Modelo matemático del problema de transporte
Programación Entera José Luis Quintero 13
1. La oferta total no es igual a la demandatotal
2. Maximización en lugar de minimización
3. Capacidades en las rutas o mínimos en lasrutas
4. Rutas inaceptables
Algunas variantes del problema de transporte
Programación Entera José Luis Quintero 14
La farmacéutica Carlton abastece dedrogas y otros suministros médicos. Estatiene tres plantas en: Cleveland, Detroit,Greensboro. Tiene cuatro centros dedistribución en: Boston, Richmond,Atlanta, St Louis. La gerencia de Carltondesea realizar el transporte de susproductos de la manera más económicaposible.
Ejemplo 1. Farmacéutica Carlton
Programación Entera José Luis Quintero 15
Boston
Richmond
Atlanta
St.Louis
Origenes
Cleveland
Detroit
Greensboro
S1=1200
S2=1000
S3= 800
D1=1100
D2=400
D3=750
D4=750
Ejemplo 1. Red del problema
Destinos
Programación Entera José Luis Quintero 16
La estructura del modelo es la siguiente:
Minimizar <Costo total de transporte>
sujeto a :
cantidad a transportar desde la fabrica = oferta de la fábrica
cantidad a recibir por la distribuidora = demanda de la distribuidora.
Variables de decisión:
Xij = cantidad a transportar desde la fábrica i a ladistribuidora j
donde i = 1 (Cleveland), 2 (Detroit), 3 (Greensboro)
j = 1 (Boston), 2 (Richmond), 3 (Atlanta),
4 (St,Louis)
Ejemplo 1. Modelo matemático
Programación Entera José Luis Quintero 17
Boston
Richmond
Atlanta
St.Louis
D1=1100
D2=400
D3=750
D4=750
Cleveland
O1=1200
X11
X12
X13
X14
Detroit
O2=1000
X21
X22
X23
X24
Greensboro
O3= 800
X31
X32
X33
X34
Ejemplo 1. Modelo matemático
Programación Entera José Luis Quintero 18
Minimizar 35X11+30X12+40X13+ 32X14 +37X21+40X22+42X23+25X24+ 40X31+15X32+20X33+38X34
ST
Restricciones de la ofertaX11+ X12+ X13+ X14 1200
X21+ X22+ X23+ X24 1000X31+ X32+ X33+ X34 800
Restricciones de la demanda:X11+ X21+ X31 1100
X12+ X22+ X32 400X13+ X23+ X33 750
X14+ X24+ X34 750
Todos los Xij mayores que cero
===
=
===
Ejemplo 1. Modelo matemático completo
Programación Entera José Luis Quintero 19
Se transporta un producto desde 3 plantas hasta
4 centros de distribución:
Origen Planta Capacidad deProducción en 3meses (unidades)
1 Cleveland 50002 Bedford 60003 York 2500
Total 13 500
DestinoCentro deDistribución
Pronóstico de lademanda a 3meses (unidades)
1 Boston 60002 Chicago 40003 St. Louis 20004 Lexigton 1500
Total 13 500
Ejemplo 2. Problema de la Foster Generators
Programación Entera José Luis Quintero 20
Origen Boston Chicago St Louis Lexigton ProducciónCleveland 3 2 7 6 5000Bedford 7 5 2 3 6000
York 2 5 4 5 2500Demanda 6000 4000 2000 1500
13500
13500
Costo por unidad distribuidaDestino
Ejemplo 2. Problema de la Foster Generators
Programación Entera José Luis Quintero 21
O1[5000]
O2[6000]
O3[2500]
D1 [6000]
[4000]
[2000]
[1500]
D2
D3
D4
2
45
Plantas
Nodos de Origen
Centros de Dist.
Nodos de DestinoRutas de Distribución
Arcos
Ejemplo 2. Modelo de red
Programación Entera José Luis Quintero 22
Sea Z el costo total de transporte y sea xij (i=1,2,3;j=1,2,3,4) elnúmero de unidades transportadas de la enlatadora i al almacén j.
Max
Sujeta a las restricciones
11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34
11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
11 21 31
12 22 32
13 23 33
Z 3x 2x 7x 6x 7x 5x 2x 3x 2x 5x 4x 5x
x x x x 5000
x x x x 6000
x x x x 2500
x x x 6000
x x x 4000
x x x
= + + + + + + + + + + +
+ + + =+ + + =
+ + + =+ + =
+ + =+ + =
14 24 34
ij
2000
x x x 1500
x 0 (i 1,2,3;j 1,2,3,4)
+ + =≥ = =
Max
Sujeta a las restricciones
11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34
11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
11 21 31
12 22 32
13 23 33
Z 3x 2x 7x 6x 7x 5x 2x 3x 2x 5x 4x 5x
x x x x 5000
x x x x 6000
x x x x 2500
x x x 6000
x x x 4000
x x x
= + + + + + + + + + + +
+ + + =+ + + =
+ + + =+ + =
+ + =+ + =
14 24 34
ij
2000
x x x 1500
x 0 (i 1,2,3;j 1,2,3,4)
+ + =≥ = =
Ejemplo 2. Modelo matemático
Programación Entera José Luis Quintero 23
Origen Boston Chicago St Louis Lexigton ProducciónCleveland 3500 1500 0 0 5000Bedford 0 2500 2000 1500 6000
York 2500 0 0 0 2500Demanda 6000 4000 2000 1500 39500
Unidades que se envíanDestino
Origen Boston Chicago St Louis Lexigton ProducciónCleveland 3500 1500 0 0 5000Bedford 0 2500 2000 1500 6000
York 2500 0 0 0 2500Demanda 6000 4000 2000 1500 39500
Unidades que se envíanDestino
COSTO
Ejemplo 2. Solución óptima
Programación Entera José Luis Quintero 24
La corporación Versatech producirá tresproductos nuevos. En este momento, cinco desus plantas tienen exceso de capacidad deproducción. El costo unitario respectivo defabricación del primer producto será de $31,$29, $32, $28 y $29, en las plantas 1, 2, 3, 4 y 5.El costo unitario respectivo de fabricación delsegundo producto será de $45, $41, $46, $42 y$43 en las plantas respectivas 1, 2, 3, 4 y 5; ypara el tercer producto será de $38, $35 y $40en las plantas respectivas 1, 2 y 3, pero lasplantas 4 y 5 no pueden fabricar este producto.
Ejemplo 3. Problema Versatech
Programación Entera José Luis Quintero 25
Los pronósticos de ventas indican que laproducción diaria debe ser 600, 1000 y 800unidades de los productos 1, 2 y 3,respectivamente. Las plantas 1, 2, 3, 4 y 5tienen capacidades para producir 400, 600,400, 600 y 1000 unidades diarias; sin importarel producto o combinación de productos.Suponga que cualquier planta que tienecapacidad y posibilidad de fabricarlos podráproducir cualquier combinación deproductos en cualquier cantidad.
Ejemplo 3. Problema Versatech
Programación Entera José Luis Quintero 26
La gerencia desea asignar losnuevos productos a las plantas conel mínimo costo total defabricación.
Ejemplo 3. Problema Versatech
Programación Entera José Luis Quintero 27
1 2 3Planta 1 $31 $45 $38 400Planta 2 $29 $41 $35 600Planta 3 $32 $46 $40 400Planta 4 $28 $42 - 600Planta 5 $29 $43 - 1000
Pr Diaria 600 1000 800
3000
Capacidad
2400
OrigenTipo de Producto
Tabla de Costos
Destino1 2 3
Planta 1 $31 $45 $38 400Planta 2 $29 $41 $35 600Planta 3 $32 $46 $40 400Planta 4 $28 $42 - 600Planta 5 $29 $43 - 1000
Pr Diaria 600 1000 800
3000
Capacidad
2400
OrigenTipo de Producto
Tabla de Costos
Destino
Ejemplo 3. Datos problema Versatech
Programación Entera José Luis Quintero 28
1 2 3Planta 1 0 0 200 200 <= 400Planta 2 0 0 600 600 <= 600Planta 3 0 0 0 0 <= 400Planta 4 600 0 0 600 <= 600Planta 5 0 1000 0 1000 <= 1000
Pr Diaria 600 1000 800 $88,400.00= = =
600 1000 800
Costo Mínimo
DestinoOrigen
CapacidadTipo de Producto
Tabla Cantidades (asignaciones a cada planta)
Ejemplo 3. Solución óptima problema Versatech
Programación Entera José Luis Quintero 29
La compañía Move-It tiene dos plantas que producenmontacargas que se mandan a tres centros dedistribución. Los costos de producción unitarios son losmismos para las dos plantas y los costos de transporte(en cientos de dólares) por unidad para todas lascombinaciones de planta y centro de distribución semuestran en la tabla anexa. Se debe producir y mandarun total de 60 unidades por semana. Cada plantapuede producir y mandar cualquier cantidad hasta unmáximo de 50 unidades a la semana, de manera quehay una gran flexibilidad para dividir la producción totalentre las dos plantas y reducir los costos de transporte.
Ejemplo 4. Problema Move-It
Programación Entera José Luis Quintero 30
El objetivo de la gerencia es determinar cuánto sedebe producir en cada planta y después, cuál debeser el patrón de embarque de manera que seminimice el costo total de transporte
Ejemplo 4. Problema Move-It
1 2 3Planta A $800 $700 $400 50Planta B $600 $800 $500 50
Dist. Sem. ? ? ?Suma
DestinoCentro de Distribución
Tabla de Costos de Transporte
Origen
100
Capacidad
60
1 2 3Planta A $800 $700 $400 50Planta B $600 $800 $500 50
Dist. Sem. ? ? ?Suma
DestinoCentro de Distribución
Tabla de Costos de Transporte
Origen
100
Capacidad
60
Programación Entera José Luis Quintero 31
1 2 3Planta A $800 $700 $400 50Planta B $600 $800 $500 50
Dist. Sem. ? ? ?Suma
DestinoCentro de Distribución
Tabla de Costos de Transporte
Origen
100
Capacidad
60
1 2 3Planta A 0 0 50 50 <= 50Planta B 0 0 10 10 <= 50
Dist. Sem. 0 0 60 $25,000.0Suma COSTO Min.
=60
60
OrigenDestino
CapacidadCentro de Distribución
Cantidades por planta
Ejemplo 4. Datos y solución óptima problema Move-It
Programación Entera José Luis Quintero 32
Resolver el problema de Move-It sicualquier centro de distribución puederecibir cualquier cantidad entre 10 y 30montacargas por semana para reducirmás el costo total de envío, siempre queel envío total a los tres centros sea iguala 60 montacargas por semana.
Ejemplo 5. Problema Move-It modificado
Programación Entera José Luis Quintero 33
1 2 3Planta A $800 $700 $400 50Planta B $600 $800 $500 50
Dist. Sem. 10-30 10-30 10-30Suma
DestinoCentro de Distribución
Tabla de Costos de Transporte
Origen
100
Capacidad
60
1 2 3Planta A 0 10 30 40 <= 50Planta B 20 0 0 20 <= 50
Dist. Sem. 20 10 30 $31,000.0>=10 >=10 >=10 COSTO Min.<=30 <=30 <=30
Suma=60
60
OrigenDestino
CapacidadCentro de Distribución
Cantidades por planta
Ejemplo 5. Datos y solución óptima problema Move-It modificado
Programación Entera José Luis Quintero 34
El modelo matemático clásico de transporte hacevarias suposiciones simplificatorias. Entre las másimportantes están:
• Supone que los costos de envío son proporcionales alas cantidades que se envían.
• Supone que se puede enviar cualquier cantidad demercancía de cada fábrica a cada tienda sujetasolamente a satisfacer las demandas y no exceder lascapacidades de producción, no poniéndolerestricciones a las capacidades de las rutas de envío.
• Solamente se considera un tipo de mercancía en todoel problema.
• Se suponen nulas las pérdidas de mercancía en cadaruta del transporte.
Problema de transporte capacitado
Programación Entera José Luis Quintero 35
Una generalización que se le puede hacer almodelo es ponerle restricciones de capacidada las rutas de envío para modelar, porejemplo, la cantidad de vehículos detransporte con que se cuenta, o la capacidadde la infraestructura del transporte (porejemplo el ancho de la carretera que limita elnúmero de vehículos que pueden transitar porhora en transporte carretero.) Es así que unmodelo llamado de Transporte Capacitadosatisface las siguientes expresionesmatemáticas:
Problema de transporte capacitado
Programación Entera José Luis Quintero 36
M N
Minimizar ΣΣΣΣ ΣΣΣΣ Cij xij
j=1 i=1
M
sujeto a: ΣΣΣΣ xij = bj , j = 1, 2, ..., N
i=1
N
ΣΣΣΣ xij = ai , i = 1, 2, ..., Mj=1
kij ≥≥≥≥ xij ≥≥≥≥ 0, i = 1, 2, ..., M; j = 1, 2, ..., N
donde kij es la capacidad de transporte de laruta de envío que va de la fábrica i a latienda j.
Problema de transporte capacitado
Programación Entera José Luis Quintero 37
1. Problemas de redes
2. Transporte
3. Transbordo
4. Asignación
5. Ruta más corta
6. Flujo con costo mínimo
7. Flujo máximo
8. Red PERT
Puntos a tratar
Programación Entera José Luis Quintero 38
• El problema de transbordo es un problema de transporte en el que lamercancía, en lugar de ir directamente de origen a destino, puedepasar por unas zonas de trasbordo intermedias.
• El planteamiento general es:
Sujeto a:
Restricciones de oferta:
Restricciones de demanda:
Balance en zonas de transbordo:
m n n K m K
ij i j jk jk ik iki 1 j 1 j 1 k 1 i 1 k 1
M in (z ) c x c x c x= = = = = =
= + +∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑
i j k
n K
ij ik ij 1 k 1
i x x O= =
∀ → + ≤∑ ∑
= =
∀ → + ≥∑ ∑m n
ik jk ki 1 j 1
k x x D
m K
ij jki 1 k 1
j x x= =
∀ → =∑ ∑
Problema de transbordo
Programación Entera José Luis Quintero 39
Se debe minimizar el coste entre los orígenes 1 y 2 y losdestinos finales 5,6 y 7; satisfaciendo la demanda.
Oferta máxima Demanda
1 5
6
72
3
4
100.000
200.000
65.000
60.000
40.000
Origen 3 4 5 6 71 900 2400 - - -2 1200 2700 - - -3 - - 2107 1223 13434 - - 1095 1833 1348
DestinosCostes de transporte entre los puntos
Ejemplo 6. Problema de transbordo
Programación Entera José Luis Quintero 40
Definición de variables
xij Cantidad de producto transportado de i a j donde i = (1, 2), j = (3, 4)
xjk Cantidad de producto transportado de j a k donde j = (3, 4), k = (5, 6, 7)
• Función Objetivo
• Restricciones
Transbordo
Oferta
Demanda
Negatividad: xij, , xjk ≥ 0
3 5 4 5
3 6 4 6
3 7 4 7
6 0 . 0 0 0
4 0 . 0 0 0
6 5 . 0 0 0
x x
x x
x x
+ =+ =+ =
1 3 2 3 3 5 3 6 3 7
1 4 2 4 4 5 4 6 4 7
x x x x x
x x x x x
+ = + ++ = + +
13 23 14 24 35
45 36 46 37 47
( ) 900 1200 2400 2700 2107
1095 1226 1833 1343 1348
M in z x x x x x
x x x x x
= + + + ++ + + + +
1 3 1 4
2 3 2 4
2 0 0 . 0 0 0
1 0 0 . 0 0 0
x x
x x
+ ≤+ ≤
Ejemplo 6. Problema de transbordo
Programación Entera José Luis Quintero 41
1. Problemas de redes
2. Transporte
3. Transbordo
4. Asignación
5. Ruta más corta
6. Flujo con costo mínimo
7. Flujo máximo
8. Red PERT
Puntos a tratar
Programación Entera José Luis Quintero 42
n trabajadores deben ser asignados a ntrabajos. Un costo unitario (o ganancia) Cij esasociado al trabajador i que realizará eltrabajo j.
Minimizar el costo total (o maximizar laganancia total) de la asignación detrabajadores a sus respectivos empleos que lecorresponde a cada uno, tratando de que estaasignación sea la óptima posible.
Problema de asignación
Programación Entera José Luis Quintero 43
1. El número de asignados es igual al número detareas (se denota por n). (esto puede variar)
2. Cada asignado se asigna exactamente a unatarea.
3. Cada tarea debe realizarla exactamente unasignado.
4. Existe un costo cij asociado con el asignado i(i=1,2,…,n).
5. El objetivo es determinar cómo deben hacerse lasasignaciones para minimizar los costos totales.
Suposiciones del problema de asignación
Programación Entera José Luis Quintero 44
S1[1]
S2[1]
Sm[1]
D1 [1]
D2[1]
Dm [1]
c11c12
c1nc21 c22
c2n
cm1 cm2
cmn
Modelo de red del problema de asignación
Programación Entera José Luis Quintero 45
).y todapara binarias, (y para,0
,,...,2,1 para1
,,...,2,1 para1
a sujeta
min
1
1
1 1
jixjix
njx
mix
xcZ
ijij
m
jij
n
jij
ij
m
i
n
jij
≥
==
==
=
∑
∑
∑∑
=
=
= =
).y todapara binarias, (y para,0
,,...,2,1 para1
,,...,2,1 para1
a sujeta
min
1
1
1 1
jixjix
njx
mix
xcZ
ijij
m
jij
n
jij
ij
m
i
n
jij
≥
==
==
=
∑
∑
∑∑
=
=
= =
Modelo matemático del problema de asignación
Programación Entera José Luis Quintero 46
Existen 5 diferentes proyectos eléctricos sobre 5 líneasde producción que necesitan ser inspeccionadas. Eltiempo para realizar una buena inspección de un áreadepende de la línea de producción y del área deinspección. La gerencia desea asignar diferentes áreasde inspección a inspectores de productos tal que eltiempo total utilizado sea mínimo.
Tiempo de inspección en minutos para la línea de ensamble de cada área de inspección.
Area de InspecciónA B C D E
1 10 4 6 10 12 Linea 2 11 7 7 9 14Ensamble 3 13 8 12 14 15
4 14 16 13 17 175 19 17 11 20 19
Ejemplo 7. Electrónica Ballston
Programación Entera José Luis Quintero 47
1
2
3
4
5
Línea de ensamble Área de Inspección
A
B
C
D
E
S1=1
S2=1
S3=1
S4=1
S5=1
D1=1
D2=1
D3=1
D4=1
D5=1
Ejemplo 7. Red del problema
Programación Entera José Luis Quintero 48
1 2 31. Terry 10 15 92. Carla 9 18 53. Roberto 6 14 3
Jefe deProyecto
Cliente
Tiempos estimados de terminación delproyecto (días)
Ejemplo 8. Fowle Marketing Research
Programación Entera José Luis Quintero 49
J1[1]
J2[1]
J3[1]
C1 [1]
[1]
[1]
C2
C3
18
3
Jefes de Proyecto
Nodos de Origen
Clientes
Nodos de DestinoAsignaciones Posibles
Arcos
Ejemplo 8. Modelo de red
Programación Entera José Luis Quintero 50
Sea Z el tiempo total de terminación
)4,3,2,1;3,2,1(0
1
1
1
1
1
1
3146518991510
332313
322212
312111
333231
232221
131211
333231232221131211
==≥=++=++=++=++
=++=++
++++++++=
jix
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxxxxxxxxZ
ij
nesrestriccio las a Sujeta
Max
)4,3,2,1;3,2,1(0
1
1
1
1
1
1
3146518991510
332313
322212
312111
333231
232221
131211
333231232221131211
==≥=++=++=++=++
=++=++
++++++++=
jix
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxxxxxxxxZ
ij
nesrestriccio las a Sujeta
Max
Ejemplo 8. Modelo matemático
=así es no si
cliente al proyecto de jefe el asigna se si
0
1 jixij
Programación Entera José Luis Quintero 51
1 2 31. Terry 0 1 0 1 = 12. Carla 0 0 1 1 = 13. Roberto 1 0 0 1 = 1
1 1 1= = = Costo 261 1 1
AsignacionesJefe deProyecto
Cliente
Ejemplo 8. Solución óptima
Programación Entera José Luis Quintero 52
El entrenador de un equipo de natación debe asignarcompetidores para la prueba de 200 metros de relevocombinado que irán a las Olimpiadas Juveniles. Comomuchos de sus mejores nadadores son rápidos en másde un estilo, no es fácil decidir qué nadador asignarcada uno de los cuatro estilos. Los cinco mejoresnadadores y sus mejores tiempos (en segundos) encada estilo son los siguientes.
Carlos Cristy David Antony JoséDorso 37.7 32.9 33.8 37 35.4Pecho 43.4 33.1 42.2 34.7 41.8Mariposa 33.3 28.5 38.9 30.4 33.6Libre 29.2 26.4 29.6 28.5 31.1
Tiempo de Nado
Ejemplo 9. Problema natación
Programación Entera José Luis Quintero 53
Carlos Cristy David Antony JoséDorso 0 0 1 0 0 1 = 1Pecho 0 0 0 1 0 1 = 1Mariposa 0 1 0 0 0 1 = 1Libre 1 0 0 0 0 1 = 1
1 1 1 1 0<= <= <= <= <=1 1 1 1 1
TIEMPO Min.
Tiempo de Nado
126.2
Ejemplo 9. Solución óptima problema natación
Programación Entera José Luis Quintero 54
GENERALIZED ASSIGNMENT PROBLEM.
Se tiene un conjunto J={1,2,..,n} de índices de lostrabajos a realizar y otro conjunto I={1,2,..,m} depersonas para realizarlos. El coste (o valor) de asignarla persona i al trabajo j viene dado por cij. Además setiene una disponibilidad bi de recursos de la persona i(como por ejemplo horas de trabajo) y una cantidadaij de recursos de la persona i necesarias para realizarel trabajo j. Con todo esto, el problema consiste enasignar las personas a los trabajos con el mínimo coste(o el máximo valor).
Al igual que en los otros modelos de asignaciónvistos, se introducen variables xij que valen 1 si lapersona i se asigna al trabajo j y 0 en otro caso.
Problema de la asignación generalizada (GAP)
Programación Entera José Luis Quintero 55
Problema de la asignación generalizada
{ }
m n
ij iji 1 j 1
n
ij ij ij 1
m
iji 1
ij
min c x s.a.
a x b i 1,...,m
x 1 j 1,...,n
x 0,1 , i 1,...,m j 1,...,n
= =
=
=
≤ =
= =
∈ = =
∑∑
∑
∑
Programación Entera José Luis Quintero 56
En este modelo de asignación se puede asignaruna persona a más de un trabajo, respetandoobviamente las limitaciones en los recursos.
Algunas de las aplicaciones mas relevantes son:
– • Asignación de clientes a camiones (de reparto o
recogida) de mercancías.
– • Asignación de tareas a programadores.
– • Asignación de trabajos a una red de
computadores.
Problema de la asignación generalizada
Programación Entera José Luis Quintero 57
1. Problemas de redes
2. Transporte
3. Transbordo
4. Asignación
5. Ruta más corta
6. Flujo con costo mínimo
7. Flujo máximo
8. Red PERT
Puntos a tratar
Programación Entera José Luis Quintero 58
Se trata de encontrar la ruta de menor distancia, ocosto, entre el punto de partida o nodo inicial y eldestino o nodo terminal.
Se tienen n nodos, partiendo del nodo inicial 1 yterminando en el nodo final n.
Arcos bi-direccionales conectan los nodos i y j condistancias mayores que cero, dij . Se desea encontrarla ruta de mínima distancia que conecta el nodo 1 conel nodo n.
LINEAS FAIRWAY VAN
Determine la ruta mas corta entre Seattle y El Paso parala siguiente red de carreteras.
Problema de la ruta más corta
Programación Entera José Luis Quintero 59
Salt Lake City
1 2
3 4
5 6
7
8
9
1011
12
1314
15
1617 18 19
El Paso
Seattle
Boise
Portland
Butte
Cheyenne
Reno
Sac.
Bakersfield
Las Vegas
Denver
Albuque.
KingmanBarstow
Los Angeles
San DiegoTucson
Phoenix
599
691497180
432 345 440
102
452
621
420
526138
291
280
432
108
469207
155114
386 403
118
425 314
Ejemplo 10. Red del problema
Programación Entera José Luis Quintero 60
Solución - Analogía de un problema deprogramación lineal
Variables de decisión
Xij = 1 si un transporte debe viajar por la carretera que une la ciudad i con la ciudad j. 0 En cualquier otro caso
Objetivo = Minimizar S dijXij
Ejemplo 10. Problema de la ruta más corta
Programación Entera José Luis Quintero 61
7
2
Salt Lake City
1
3 4
Seattle
Boise
Portland
599
497180
432 345
Butte
[El numero de carreteras para salir de Seattle (Nodo de inicio)] = 1 X12 + X13 + X14 = 1
De una forma similar:[El número de carreteras para llegar a El Paso (Nodo final)] = 1 X12,19 + X16,19 + X18,19 = 1
[El número de carreteras para entrar a la cuidad] = [El número de carreteras para salir de la ciudad]. Por ejemplo, en Boise (Ciudad 4): X14 + X34 +X74 = X41 + X43 + X47.
Sujeto a las siguientes restricciones
Ejemplo 10. Problema de la ruta más corta
Programación Entera José Luis Quintero 62
1. Problemas de redes
2. Transporte
3. Transbordo
4. Asignación
5. Ruta más corta
6. Flujo con costo mínimo
7. Flujo máximo
8. Red PERT
Puntos a tratar
Programación Entera José Luis Quintero 63
• Son una generalización de los problemasde transporte y transbordo.
• Consiste en “transportar” una ciertacantidad de “producto” de unos orígenes aunos destinos. El paso por cada arcoorigina un costo. Se debe minimizar lasuma de los costos.
Problema del flujo con costo mínimo
Programación Entera José Luis Quintero 64
• Se debe minimizar el costo entre los orígenes 1 y 2y los destinos 9,8 y 10
1 3 9
5 6 8
2 4 7 10
50
67
20
52
45
6
3
10
8
4
53
22
3
7
6
Ejemplo 11. Problema del flujo con costo mínimo
Programación Entera José Luis Quintero 65
• El planteamiento sería:
• Sujeto a:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
No negatividad: xij ≥0
1 3 2 4 3 9 3 6
4 5 4 7 5 6 6 8
6 9 6 1 0 7 5 7 6
M i n ( z ) = 6 x + 3 x + 1 0 x + 8 x
+ 5 x + 3 x + 4 x + 7 x
+ 3 x + 6 x + 2 x + 2 x
1 3
2 4
1 3 3 9 3 6
2 4 4 5 4 7
4 5 7 5 5 6
3 6 5 6 7 6 6 8 6 9 6 1 0
4 7 7 5 7 6
6 8
3 9 6 9
6 1 0
- x = - 5 0
- x = - 6 7
x - x - x = 0
x - x - x = 0
x + x - x = 0
x + x + x - x - x - x = 0
x - x - x = 0
x = 5 2
x + x = 2 0
x = 4 5
Ejemplo 11. Problema del flujo con costo mínimo
Programación Entera José Luis Quintero 66
1. Problemas de redes
2. Transporte
3. Transbordo
4. Asignación
5. Ruta más corta
6. Flujo con costo mínimo
7. Flujo máximo
8. Red PERT
Puntos a tratar
Programación Entera José Luis Quintero 67
Consiste en planificar los flujos a través de una red de manera que semaximice el volumen de mercancía en circulación, teniendo en cuentaque existen restricciones de flujo máximo y, posiblemente de flujo mínimoen cada uno de los arcos.
2 5 7
1 3 9
4 6 8
Placa Principal Inst. Opciones Test
Grafo del problema
Capacidades máximasNodo Capacidad
1 302 203 154 105 186 257 108 129 ∞
Ejemplo 12. Problema del flujo máximo con limitación en los arcos
Programación Entera José Luis Quintero 68
• La formulación del problema sería:Max (z) = x79 + x89
• Sujeto a:Balance de flujos:
2) x12 – x25 = 03) x13 – x35 – x36 = 04) x14 – x46 = 05) x25 + x35 – x57 = 06) x36 + x46 – x67 – x68 = 07) x57 + x67 – x79 = 08) x68 – x89 = 0
Restricciones de flujo máximo:1) x12 + x13 + x14 ≤ 302) x25 ≤ 203) x36 + x35 ≤ 154) x46 ≤ 105) x57 ≤ 186) x67 + x68 ≤ 257) x79 ≤ 108) x89 ≤ 12
No negatividad: xij ≥0
Ejemplo 12. Problema del flujo máximo con limitación en los arcos
Programación Entera José Luis Quintero 69
1. Problemas de redes
2. Transporte
3. Transbordo
4. Asignación
5. Ruta más corta
6. Flujo con costo mínimo
7. Flujo máximo
8. Red PERT
Puntos a tratar
Programación Entera José Luis Quintero 70
• Los proyectos se descomponen en un conjunto de actividadesque deben realizarse en un orden determinado.
• El proyecto puede representarse como un grafo, donde cadanodo representa una tarea y cada arco representa una relaciónde precedencia entre dos trabajos. La distancia entre los nodosserá el tiempo previsto que se empleará en pasar de una tarea aotra.
• Un problema de gran interés es determinar el camino crítico queconsiste en calcular el camino más largo que permite atravesarla red o completar el proyecto.
• Esto permitirá calcular cuál va a ser la duración total delproyecto y detectar las fases críticas (aquellas que condicionanla duración del mismo).
• El planteamiento es idéntico al de camino más corto, sólo que lafunción objetivo será una de maximización.
Red PERT
Programación Entera José Luis Quintero 71
• El planteamiento sería:
Max (z) = 5x12 + 4x13 + 6x24 + 3x25 + 2x32+ 4x35 +4x46 + 2x56
• Sujeto a:
1) - x12 – x13 = -1
2) x12 + x32 – x24 – x25 = 0
3) x13 – x32 – x35 = 0
4) x24 – x45 – x46 = 0
5) x25 + x45 + x35 – x56 =0
6) x46 + x56 =1
xij ≥0
2 4
5
6
3
64
5
4 4
213
2
Ejemplo 13. Red PERT
Programación Entera José Luis Quintero 72
Pensamiento de hoy
“Los gerentes no controlan larealidad, sino los modelos orepresentaciones de ésta”.
Robert D. Gilbreath