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PROBLEMAS DE FORMULACION

PROBLEMA 1 Una empresa fabrica tres productos : 1, 2 y 3. Cada producto requiere un tiempo de produccin en tres departamentos, como lo muestra la siguiente tabla :

Producto Departamento 1 Departamento 2 Departamento 3

1 3 hrs/unid. 2 hrs/unid. 1 hrs/unid.

2 4 hrs/unid. 1 hrs/unid. 3 hrs/unid.

3 2 hrs/unid. 2 hrs/unid. 3 hrs/unid.

En cado uno de los tres departamentos, se dispone de 600, 400 y 300 horas de produccin semanales. Si cada uno de los productos. 1, 2 y 3; contribuye con una utilidad unitaria de $2, $4 y $2.50 respectivamente. Determine la combinacin que maximiza la utilidad. PROBLEMA 2 Un negocio se dedica al expendi de empaques, los que contienen : almendras, pecanas y nueces. La firma ordena diariamente un pedido que consiste en : 150 Kg. de pecanas, 100 Kg. de nueces y 52 Kg. da almendras. La empresa hace tres tipos de empaques: A. B y C. Los cuales se diferencian no por el tamao si no por los proporcin de cada producto. El contenido se muestra en la siguiente tabla.

Empaque Almendras Pecanas Nueces

A 30% 60% 10%

B 25% 35% 40%

C 25% 45% 30%

Si el empaque de 0.50 Kg. de las mezclas A, B y C, los venden respectivamente a $2.00, $1.30 y $0.90. Cuantos empaques de cada tipo debe producir a efectos de maximizar sus ingresos. PROBLEMA 3 Una empresa se dedica a la fabricacin de objetos para usos civiles y militares. Fabrica actualmente una lnea de armas para civiles con una produccin diaria de 20 unidades del modelo A-1 y 120 unidades del modelo A-2. El jefe de produccin, desea saber si podra incrementar las utilidades , cambiando la mezcla actual de productos entre los dos modelos. Se tiene la siguiente informacin.

Horas requeridas Modelo A-1 Modelo A-2 Horas Disponibles Diarias

Departamento 1 2 0 160

Departamento 2 0 3 540

Departamento 3 2 2 440

Departamento 4 1.2 1.5 300

Utilidad Unitaria $50 $ 40

a) Determine la mezcla optima de productos, suponiendo que puede venderse todo lo que se

produce. b) En cuanto aumentara la utilidad, si producimos de acuerdo a la mezcla optima . c) La empresa esta considerando un tercer producto, el modelo A-3, que se utilizar las mismas

instalaciones que los otros modelos. Los requerimientos de este nuevo modelo son los siguientes.

2

Departamento 1 Departamento 2 Departamento 3 Departamento 4

0.10 hr. 0.50 hr 0.20 hr 1.20 hr

La contribucin a la utilidad del nuevo modelo, es de $55 por unidad. Determine la combinacin que haga optima la utilidad. PROBLEMA 4 De los muchos productos que hace una fabrica metalmecnica, solo los productos C, D, E y F pasan por los siguientes departamentos : Cepillado, Fresado, Taladrado y Ensamblado. Los requerimientos por unidad de producto en horas y sus correspondientes utilidades son :

Operaciones Utilidad

Cepillado Fresado Taladrado Ensamblado

Producto C 0.5 2.0 0.5 3.0 $8

Producto D 1.0 1.0 0.5 1.0 $9

Producto E 1.0 1.0 1.0 2.0 $7

Producto F 0.5 1.0 1.0 3.0 $6

Las capacidades disponibles en el mes son, para los productos C, D, E y F, as como los requerimientos mnimos de ventas, son :

Departamentos Capacidad hrs. Requerimientos Mnimo de Ventas

Cepillado 1800 Producto C 100

Fresado 2880 Producto D 600

Taladrado 3000 Producto E 500

Ensamblado 6000 Producto F 400

a) Determine la cantidad de los productos C, D, E y F que habr que fabricar este mes para

maximizar la contribucin. b) Determine la contribucin total mxima de los productos C, D, E y F en este mes. c) Determine el tiempo sobrante en los cuatro departamentos. PROBLEMA 5 Una competencia de relevos de 100 metros incluye a cuatro diferentes nadadores, quienes nadan sucesivamente 25 metros de dorso, pecho, mariposa y libre. El entrenador tiene seis nadadores muy veloces, cuyos tiempos esperados en segundo para los eventos esperados individuales se dan en la tabla.

Dorso Pecho Mariposa Libre

Nadador 1 65 73 63 57

Nadador 2 67 70 65 58

Nadador 3 68 72 69 55

Nadador 4 67 75 70 59

Nadador 5 69 69 75 57

Nadador 6 75 70 66 59

Como deber el entrenador asignar, los nadadores a los relevos a fin de minimizar la suma de sus tiempos.

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PROBLEMA 6 Un negocio de ensambla 2 tipos de artculos: A y B cada unidad del producto A, requiere 1 hora de servicio de ingeniera y 5 horas de maquinado. De la misma manera cada unidad del producto B requiere 2 horas de ingeniera y 8 horas de maquinado. Semanalmente se dispone de 100 horas de ingeniera y 400 horas de maquinado. Los costos de produccin se presentan a continuacin:

Producto A Producto B

Produccin (unidades) Costos unitarios ($) Produccin (unidades) Costos unitarios ($)

0 - 50 10 0 - 40 7

50 - 100 8 40 - 100 3

Los precios unitarios de venta al publico son respectivamente para A $12 y para B $14. La gerencia del negocio esta interesada en determinar el plan semanal de ensamblaje que maximice la utilidad total. PROBLEMA 7 Una compaa esta considerando la fabricacin de una nueva lnea de produccin compuesta de cuatro productos. Cada uno de ellos puede fabricarse con dos mtodos diferentes y completamente distintos. El mtodo A consta de tres departamentos (1, 2 y 3) y el mtodo B consta de dos departamentos (4 y 5). El precio de venta de esos productos, los costos variables, as como las cantidades que probablemente puedan venderse, de acuerdo con la opinin de su Departamento de Ventas son las siguientes.

Producto 1 Producto 2 Producto 3 Producto 4

Precio de Venta $100 $150 $125 $140

Costo Variable del Mtodo A $80 $135 $120 $135

Costo Variable del Mtodo B $180 $150 $100 $119

Cantidad que puede venderse 1000 3000 4000 6000

Mtodo A Producto 1 Producto 2 Producto 3 Producto 4

Departamento 1 3 3.6 2 3.5

Departamento 2 9 10 8 9

Departamento 3 1 1 0.5 0.5

Mtodo B Producto 1 Producto 2 Producto 3 Producto 4

Departamento 4 4 4 2 4

Departamento 5 5 8 4 3

Horas Disponibles

Departamento 1 15000

Departamento 2 50000

Departamento 3 8000

Departamento 4 10000

Departamento 5 10000

Con cual de los mtodos, debe trabajar la empresa a fin de maximizar la utilidad. PROBLEMA 8 Un avin carguero, posee tres bodegas A, B y C. Las capacidades limites son :

Bodega Tonelaje Pies

A 105 3000

B 80 1500

4

C 70 2500

Carga Tonelaje Pies / tonelaje Utilidad

1 300 60 $800

2 80 50 $8000

3 70 25 $9000

Se han recibido las siguientes ofertas de carga : Como se debe distribuir la carga, para maximizar la utilidad. PROBLEMA 9 Una agencia de servicios trabaja 24 horas al da, su personal trabaja turnos de 8 horas consecutivas cada da. La siguiente tabla muestra las necesidades diarias de personal

Horas del da Numero mnimo de personal

02-06 8

06-10 12

10-14 10

14-18 7

18-22 10

22-02 9

Con cuanto de personal como mnimo se debe trabajar para cumplir con los requerimientos diarios. PROBLEMA 10 Una unidad completa de cierto producto se ensambla con tres partes. Las que se producen en cuatro departamentos diferentes. Cada departamento tiene un numero limitado de horas de produccin. La tabla siguiente da la tasa de produccin para las tres partes. El objetivo es determinar el numero de horas que cada departamento debe asignar a la produccin de cada parte para maximizar el nmero de unidades completas del producto final.

Capacidad / Hora

Tasa de produccin (cantidad por hora)

Departamentos Parte 1 Parte 2 Parte 3

1 100 10 15 15

2 150 15 10 5

3 250 20 5 10

4 100 10 15 20

PROBLEMA 11 Don Pedro es un exitoso industrial que tiene un sobrino llamado Luis. Un sbado Luis fue a visitar a su to. Al llegar a las oficinas encontr que tenia varios huspedes quienes esperaban su turno para ser atendidos, Don Pedro llamo a Luis y le dijo : Atiende a Don Dionisio pues es un husped de honor. Si es posible trata de emborracharlo pues le gusta tomar una variedad de tragos. Toma $200, anda al bar de la esquina y regresas en no ms de cuatro horas

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Luis fue al bar de la esquina y selecciono los tragos que invitara a tan distinguido husped. Debemos acotar, que Luis no tomaba trago, consult los tipos de trago que all preparaban, precios de cada vaso, las unidades alcohlicas contenidas en cada vaso, as como el tiempo estimado que una persona demora en tomar cada vaso de trago. La informacin que recibi fue la siguiente :

Tragos Precio/ Vaso ($) Unidad de Alcohol por Vaso Tiempo de vaso (min.)

Cerveza 3 20 05

Ron 5 25 15

Vino 10 30 12

Whisky 12 10 20

Mas aun Luis se informo que el husped nunca tomaba ms de 8 vasos de cerveza, mas de 10 de ron, mas de 24 de vino, ni ms de 12 vasos de Whisky. Por otro lado no toma menos de 4 vasos de Whisky, ni menos de 4 vasos de vino. Suponiendo que una persona estar ms borracha cuando ingiere mas cantidad de alcohol. Como resolvi Luis este problema PROBLEMA 12 El gobierno peruano planea un programa de desarrollo educacional para los prximos siete aos mediante el cual profesores sern enviados a la sierra para ensear en las escuelas primarias de dicha regin. Los profesores pueden ser contratados por 1, 2, 3 4 aos. Se tienen los siguientes costos asociados al numero de aos que dura el contrato.

Aos 1 2 3 4

Costo 600 1080 1440 1800

El nmero mnimo de profesores requeridos cada ao es el siguiente

Aos 1 2 3 4 5 6 7

Requerimientos Mnimos

800 1600 2700 3100 3500 3700 3900

Se supone que este programa de reclutamiento de profesores slo ser necesario durante los prximos siete aos. El mercado no ofrece ms de 1000 profesores cada ao. Determine la poltica de contrataciones para los prximos siete aos, que haga mnimo el costo del plan. PROBLEMA 13 Una compaa dispone de $35 millones para distribuirlos el prximo ao entre sus sucursales. Debido a compromisos de la estabilidad, el nivel de empleados y por otras razones la compaa ha establecido un nivel mnimo de fondos para cada sucursal. Estos fondos mnimos son $8, $10 y $15 millones respectivamente. Debido a la naturaleza de su operacin, la sucursal 2 no puede utilizar mas de $20 millones. Cada sucursal tiene la oportunidad de dirigir distintos proyectos con los fondos que recibe. Para cada proyecto se ha establecido una tasa de ganancia (como un porcentaje de la inversin). Por otra parte, algunos de los proyectos permiten solo una inversin limitada. A continuacin se dan los datos para cada proyecto.

Sucursal Proyecto Tasa de Utilidad % Inversin Mxima

1

1 8 10

2 6 5

3 7 9

2

1 5 7

2 8 10

3 9 4

3

1 10 6

2 6 12

3 15 6

6

PROBLEMA 14 Un financiera se encuentra en la formulacin de su poltica de prstamos para el prximo ao, para este fin dispone de $12 millones. Siendo una institucin se servicios mltiples est obligada a otorgar prestamos a diversos clientes. La tabla que sigue seala los tipos de prstamos, la tasa de inters que cobra la financiera y la probabilidad de que el cliente no cumple con los pagos (incobrables o irrecuperables) segn su experiencia

Tipo de prstamo Tasa de inters Probabilidad de recuperacin

Personal 0.140 0.90

Automvil 0.130 0.93

Vivienda 0.120 0.97

Agricultura 0.125 0.95

Comercial 0.100 0.98

El mercado exige que la financiera asigne cuando menos el 40% de los fondos totales a prstamos agrcolas y comerciales. Para dar impulso a la construccin de vivienda, debe asignar cuando menos 50% de los prstamos para automvil y vivienda. La financiera tambin tiene una poltica la que especifica que la relacin global do los prestamos irrecuperables no pueden superar el 4% del fondo total. Cual debe ser el plan de inversin de esta financiera para maximizar sus intereses. PROBLEMA 15 Un comando de bombardeo estratgico recibe instrucciones de interrumpir la fabricacin de msiles del enemigo. Este tiene cuatro plantas de gran importancia localizadas en distintos lugares y la destruccin de cualquiera de ellas detendr efectivamente la produccin de msiles. El combustible que utilizan estos aviones esta muy escaso, lo que limita la provisin a 15000 galones para una misin particular. Cualquier ataque enviado a un determinado lugar debe llevase cuando menos el combustible suficiente para el viaje de ida y vuelta. Ms una reserva de cien galones. El comando debo efectuar:

Al menos 20 ataques en bombarderos ligeros.

Al menos 10 ataques en pesados.

No ms de 5 ataques a la planta 1, con bombarderos pesados. No mas de 8 ataques a la planta -1, con bombarderos ligeros.

El nmero de ataques (salidas de bombarderos) que se puede realizar desde la base, as como sus descripciones se presentan en la siguiente tabla.

Tipo de Bomba Descripcin Milla por Galn Ataques posibles

1 Pesado 2 48

2 Ligero 3 32

La informacin acerca de la localizacin de cada planta y su vulnerabilidad al ataque de un bombardeo (ligero y un pesado), se da en la siguiente tabla.

Dist. De la Base Probabilidad de Probabilidad de

7

Plantas (En Millas) destruccin por un bombardero tipo 1

destruccin por un bombardero tipo 2

1 450 0.10 0.08

2 480 0.20 0.16

3 540 0.15 0.12

4 600 0.25 0.20

Cuntos bombarderos de cada tipo deben enviarse y como deben repartirse en los cuatro blancos, para hacer mxima la probabilidad de xito. Suponga que no inflinge dao alguno a una planta. Por un bombardero que no la destruye. PROBLEMA 16 Una empresa dedicada a la fabricacin de pinturas para fuselaje de aviones posee 3 maquinas con diferentes capacidades. Poner en operacin un da cada maquina, tiene costos fijos y un costo de precio por galn. Las capacidades de cada maquina, son como sigue:

Maquina Costos Fijos Costo del proceso

por Galn. Capacidad Mxima diaria en Galones.

1 $100 $5 2000

2 $200 $4 3000

3 $300 $3 4000

La empresa espera una demanda diaria de 3500 galones. El problema consiste en determinar cual de las tres maquinas utilizar y cuantos galones debe producir cada maquina de tal manera que la demanda quede satisfecha y el costo total sea el mas pequeo posible. PROBLEMA 17 Una empresa fabrica los productos A y B. En el proceso estn involucrados 4 departamentos de produccin. Un producto puede fabricarse, utilizando hasta 3 formas alternativas. Tal como se describe en la tabla siguiente. Las utilidades por cada producto; varan segn la forma alternativa utilizada. El mercado consume como mximo 100 unidades de A y no menos de 200 de B. Qu cantidad de cada producto debe producirse para hacer mxima la utilidad?. A continuacin tiene la siguiente informacin.

Horas / Unidad en el departamento

Utilidad Unitaria ($)

Producto Forma

Alternativas I II III IV

A 1 2

2 2

3 3

4 -

- 4

5.5 4.0

B 1 2 3

2 3 2

- 1 -

- 3 -

- - 1

3.8 7.0 6.0

Horas disponibles 160 300 400 250

8

PROBLEMA 18 Una compaa fabrica 5 productos en dos plantas. La planta 1 elabora los productos P1, P2, y P3. La planta 2 elabora los productos P4 y P5. La cantidad de materia prima y el espacio necesario de almacenamiento se dan en la siguiente tablas.

Producto P1 P2 P3 P4 P5 Disponibles

Materia Prima 2 4 4 3 3 6000 Kg.

Espacio libre 1 2 2 2 5 4000 pies3

Utilidad ($) 20 25 10 30 16

Los productos Pl, P2, y P4 son vendidos a empresas industriales y entre los tres productos se deben producir como mnimo 400 unidades. Los productos P3 y P5 son comprados por empresas comercializadoras y entre los 2 productos se deben producir como mnimo 250 unidades. Cada uno de los 5 productos necesita un tiempo de procesamiento de una hora. Las plantas 1 y 2 no disponen de mas de 1400 y 1000 horas respectivamente. Utilice la programacin lineal para obtener el plan optimo de produccin., PROBLEMA 19 Un alumno en vsperas de sus exmenes finales, dispone de 40 horas para estudiar tres asignaturas A, B, y C. Por cada hora de estudio espera lograr : un punto en A, dos en B, y tres en C. Si ya tiene asegurados 50, 58 y 45 puntos en A, B, y C respectivamente. Debe lograr cuando menos 10, 2, y 15 puntos mas respectivamente para lograr aprobar en cada una de las asignaturas. Si no puede obtener mas de 100 puntos en cada una. Cuantas horas debe dedicar al estudio de cada asignatura, para maximizar sus puntos en sus exmenes?

PROBLEMA 20 Una pastelera hornea tres tipos de pastelillos. Los ingredientes son: mantequilla, nata, y crema. Las cantidades que dispone de dichos ingredientes son: 232 gr. 300 gr. y 720 gr. respectivamente. Las necesidades requeridas, para la elaboracin de dichos pastelillos, se dan a continuacin:

Tipo de Pastelillo Mantequilla (gr.) Nata (gr.) Crema (gr.)

A B C

5 6 4

8 5 6

9 8

12

Las utilidades provenientes de cada pastelillo son respectivamente. $ 0.10 para A, $ 0.05 para B y $0.015 para C. Cuantos pastelillos de cada tipo debe producir diario para hacer mxima su utilidad?. PROBLEMA 21 Cierta persona requiere por razones de salud una cantidad diaria de 6000 unidades de carbohidratos, 4000 unidades de protenas y 3500 unidades de grasas por da. Los carbohidratos, protenas y grasas se encuentran principalmente en dos alimentos diferentes A y B. La cantidad de cada uno de estos nutrientes presente en estos dos alimentos por cada 100 gr., los precios respectivos por cada 100gr. de cada alimento y los requerimientos diarios se dan en la siguiente tabla:

A B Requerimiento Diario

9

Carbohidratos 500 200 6000

Protena 300 200 4000

Grasa 600 100 1500

Costo (S/. 100 gr.) 1.50 0.60

PROBLEMA 22 Una empresa patrocina peridicamente seminarios y programas sobre servicios pblicos. En estos momentos se estn realizando planes promocinales para el programa de este ao, las alternativas de publicidad incluyen televisin, radio y peridicos. A continuacin se muestran las estimaciones de audiencia, los costos y las limitacin sobre el uso mximo de los medios:

. Para asegurar una utilizacin adecuada de los medios publicitarios, los anuncios por radio no deben rebasar el 50% del numero total de anuncios que se autoricen. Adems se requiere que la televisin constituya cuando menos el 10% del numero total de anuncios autorizados. a) Si el presupuesto de publicidad esta limitado a US $ 25,000. Cuntos mensajes comerciales

deben colocarse en cada medio con el objeto de maximizar el contacto total de la audiencia?. b) Cul es la asignacin del presupuesto entre los tres medios y cual la audiencia total que

alcanza?. c) Cul es el contacto que se estima con la audiencia y que se obtendra asignando US $ 1,1000

adicionales al presupuesto de publicidad?. PROBLEMA 23 Un contratista esta considerando una propuesta para la pavimentacin de un camino, las especificaciones exigen un espesor mnimo de 12 y un mximo de 27. El camino debe ser pavimentado en concreto, asfalto o gravilla, o cualquier combinacin de estas tres elementos. Sin embargo las especificaciones requieren una consistencia final igual o mayor que la correspondiente a una superficie de concreto de 7 de espesor. El contratista ha determinado que 3 de asfalto son tan resistentes como 1 de concreto y que 2 de gravilla lo son tanto como 1 de asfalto. Cada pulgada de espesor por yarda cuadrada de concreto le cuesta US $60, de asfalto US $20 y de gravilla US $10. El espesor de la capa de asfalto debe ser igual a la tercera parte del espesor total. PROBLEMA 24 Una cierta organizacin agropecuaria opera 3 terrenos de productividad comparable. La produccin de cada una esta limitada por el terreno utilizable y la cantidad de agua para el riego. Los datos para la estacin que viene son los siguientes:

Terreno rea utilizable (Hectreas) Agua disponible (m

3)

1 400 15,000

2 600 20,000

3 300 9,000

Televisin Radio Peridico

Audiencia por anuncio 100,000 18,000 40,000

Costo por anuncio 2000 300 600

Utilizacin mximo del medio 10 20 10

10

La organizacin esta considerando tres cultivos que difieren principalmente en el consumo de agua, la utilizacin por hectrea y la cantidad de terreno asignada a cada cultivo que esta limitada por la disponibilidad de equipo apropiado.

Cultivo Mxima cantidad de

terreno asignada Consumo de Agua

(m3/ c)

Utilidad por Hectrea ($)

A 700 hect. 50 20,000

B 800 hect. 40 15,000

C 300 hect. 30 5,000

Para mantener la carga de trabajo uniforme entre los terrenos, la poltica de la organizacin establece que el porcentaje de terreno usado en cada una debe ser el mismo. Sin embargo, puede usarse cualquier combinacin de cultivos en los terrenos. La organizacin desea saber cuantas hectreas dedicar a cada cultivo en cada terreno para maximizar la utilidad esperada. PROBLEMA 25 Una empresa de inversiones, que maneja carteras de acciones para diversos clientes. Un cliente nuevo acaba de solicitarle que le maneje una cartera de US $ 80,000. El cliente desea, como estrategia inicial de inversin, restringir la cartera a una combinacin de las tres siguientes acciones:

Accin Precio por Accin ($) Rendimiento Anual

estimado por Accin Inversin Mxima

Posible ($)

Blue Chip 50 $ 6 50,000

Best 30 $ 4 45,000

Regular 35 $ 5 30,000

Suponiendo que el cliente desea maximizar el rendimiento anual total, formule un modelo de programacin lineal para el problema de inversin. PROBLEMA 26 Una fabrica produce bobinas de papel que es utilizado en peridicos y revistas. El papel es producido en rollos de 180 pulgadas de ancho estndar. Sin embargo, los clientes piden rollos de longitud estndar pero de ancho variable. Los anchos pedidos son los siguientes:

Ancho Numero de Rollos

80 200

45 120

27 130

11

Los rollos mas angostos tienen que ser cortados de los rollos de 180 pulgadas. Suponga que estos anchos son ordenados frecuentemente y por lo tanto no importa cortar en exceso y guardarla para satisfacer ordenes futuras. Cmo se podra cumplir con los pedidos de forma optima? PROBLEMA 27 Un carpintero fabrica dos productos sillas y mesas. Su produccin esta limitada por las disponibilidades de madera en el mercado (36 semanales) y por las horas de mano contratada (48 semanales). Cada silla requiere de 4 listones de madera y 3 horas de mano de obra. Cada mesa requiere de 4 listones de madera y 6 horas de mano de obra. Si el carpintero obtiene $ 27 y $18 de utilidad por cada silla y mesa respectivamente. a) Determine el plan de produccin optimo. b) Cmo variara el esquema de produccin si la utilidad neta por silla se redujera a $ 18?. c) El carpintero se olvido que tenia que pagar $ 120 semanal por el alquiler del local donde opera

Como afecta esto a la solucin optima del problema?. d) Es necesario ahora usar una maquina cepilladora que se puede usar como mximo 70 horas por

semana. Adems una silla requiere de 10 horas de cepillado y una mesa requiere de 5 horas. e) Suponga que ya no hay mas restricciones para comprar mas listones de madera Cunto les

recomendaras usted que compre? Por qu? y Cunto como mximo se podra pagar en exceso por la compra de los listones adicionales de madera?.

f) Suponga que la utilidad de la silla es variable, mientras que la utilidad de las mesas es constante e igual a $ 18. Sea c la utilidad neta por cada silla. Hallar las soluciones optimas en funcin al valor que se puede tomar c . Hallar tambin Z = f(c).

PROBLEMA 28

Existen tres procesos para ensamblar un articulo:

Insumos Costo por unidad producida ($) A B

Proceso - 1 5 3 9

Proceso - 2 6 2 8

Proceso - 3 1 4 15

Disponibilidad 360 300

Hay una demanda de 100 artculos. Cuntas unidades deben ensamblarse con cada proceso, para hacer mnimo el costo total?. PROBLEMA 29 Un pirata, en sus pilleras por Amrica, recogi el siguiente botn: 62,000 libras de plata, 44,000 de oro y 21,000 en piedras preciosas. La capacidad del barco pirata era la siguiente:

Libras Pies Cbicos

Popa 19,800 1,100

Centro 30,000 1,340

Proa 15,200 480

Los artculos de plata requieren 0.6 pies

3 / libra y su valor es de 24 chelines / onza. Los artculos de

Oro requieren 0.52 pies3 / libra y su valor es de 32 chelines / onza. Los artculos de piedras preciosas

requieren 0.24 pies3/libra y su valor es de 19 chelines / onza. Qu cantidad hubiera convenido

cargar en el barco para obtener un mximo beneficio?.

12

PROBLEMA 30 Un individuo cuyo negocio es mezclar Whisky, importa 3 grados A, B, y C. Los combina de acuerdo con recetas que especifican los porcentajes mximos y mnimos de los grados A, B, y C en la mezcla. Estos porcentajes se dan en la siguiente tabla:

Nombre de la mezcla Especificaciones Precio / Botella ($)

Blue Dot No menos de 60% de A No mas de 20% de C

6.80

High - fli No mas de 60% de C

No menos de 15% de A 5.70

Old - Franz No menos de 50% 4.50

Whisky bsico

Disponibilidad diaria / botella

Costo / Botella ($)

A 2000 7

B 2500 5

C 1200 4

Proyecte una poltica de produccin que maximice las ganancias. PROBLEMA 31 Un industrial tiene 240 pies de madera, 370 Kg. de plstico y 300 Kg. de acero; para fabricar dos productos A y B. El producto A requiere: 1 pie de madera, 3 Kg. de plstico, y 2 Kg. de acero. El producto B requiere 3 pies de madera, 4 Kg. de plstico, y 1 Kg. de acero. Si el producto A se vende a $ 400 y el producto B a $ 600 cada unidad. Cunto se debe producir de cada uno; para obtener mayores ingresos?.

PROBLEMA 32 Una empresa metalrgica produce una aleacin de 4 metales A, B, C, y D. La aleacin debe contener al menos:

- Al menos 23% del metal A. - No mas del 15% del metal B - No mas del 14% del metal C - Entre 50% y 75% del metal D. -

La empresa dispone de seis tipos de concentrados minerales, de los cuales los metales se obtienen por refinacin. Las impurezas de los concentrados son eliminados antes del procesamiento. Las caractersticas de los concentrados son indicados en la siguiente tabla:

Concentrado Porcentaje ( % )

Costo / Tonelada ( $ )

A B C D

13

1 25 10 10 55 23

2 40 0 0 60 20

3 20 10 0 70 18

4 0 15 5 80 10

5 20 20 0 60 27

6 8 5 20 67 12

Determinar las cantidades de los concentrados requeridos para producir, a costo mnimo, una tonelada de aleacin. PROBLEMA 33 Una empresa industrial desea decidir la forma mas eficiente de atender los pedidos pendientes de cuatro productos ( A, B, C, y D ). Existen dos procesos que permiten producir los artculos 1 y 2. El proceso 1 permite elaborar cuatro, tres, dos y una tonelada por hora de A, B, C, y D respectivamente en forma simultanea. El costo del proceso es de US $ 2,000 por hora (incluye materiales, energa, desgaste, mano de obra, etc.). El proceso 2 permite elaborar uno, dos, tres, y cuatro toneladas por hora respectivamente de A, B, C, y D en forma simultanea. El costo del proceso es de US $ 3,000 por hora. Los pedidos pendientes de A, B, C, y D son de 50, 60, 70 y 80 toneladas respectivamente. Es posible fabricar mayor cantidad de cada producto para guardarlo en inventario, aunque esto significara mayores costos 10, 50, 30, y 20 dlares por tonelada almacenada de A, B, C, y D respectivamente (se almacenara el exceso). PROBLEMA 34 Una planta de produccin fabrica refrigeradoras, estufas, y lavaplatos. Durante el prximo ao se esperan las ventas siguientes:

Producto Trimestre - 1 Trimestre - 2 Trimestre - 3 Trimestre - 4

Refrigeradora 2000 1500 3000 1000

Estufa 1500 1500 1000 1500

Lavaplatos 1000 3000 1500 3000

La compaa ha de establecer un plan de produccin que cubra las demandas previstas. Durante cada trimestre se dispone de 8,500 horas de produccin. Una refrigeradora requiere de 0.5 horas, una estufa 2 horas y un lavaplatos 1.5 horas de produccin. Suponga que cualquier producto que permanezca al final de un trimestre (incluido el ultimo), supone un costo de almacenamiento de $150 por unidad. La compaa requiere un plan de fabricacin que no exceda la limitacin de horas de fabricacin disponible cada trimestre, que satisfaga la demanda trimestral, y que tenga un costo mnimo por unidades almacenadas al final de cada trimestre. PROBLEMA 35 Un inversionista tiene una disponibilidad de $ 1,800,000 para invertir entre un conjunto de 6 proyectos. El inversionista tiene un buen crdito en la banca, por lo que los bancos le pueden prestar hasta un mximo de lo que invierta con su dinero. Todos los proyectos deben ejecutarse en el ao Cero o no ejecutarse.

- El proyecto C, solo puede ejecutarse, si se ejecuta el proyecto A. - los proyectos B y F, solo pueden ejecutarse si se ejecuta el proyecto C. - Los proyectos C y D son excluyentes. (No se pueden ejecutar a la vez). - Debe hacerse al menos uno de los proyectos D y E. - Es necesario hacer el proyecto B o F, pero no es posible hacer ambos.

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Proyecto Capital Propio Capital Deuda Proyecto (aos) Retorno Anual ( $ )

A 100,000 80,000 10 40,000

B 200,000 40,000 5 90,000

C 500,000 200,000 7 280,000

D 600,000 60,000 8 240,000

E 700,000 200,000 9 320,000

F 300,000 60,000 9 150,000

Los proyectos E y F son complementarios (o se hacen los dos, o ninguno). El inversionista desea maximizar el valor presente neto de lo invertido. Considere que el costo de capital es de 25% anual. El propsito de este caso es ejercitar tanto el juicio como la habilidad tcnica. Tendr que decidir, basndose en los objetivos del inversionista, exactamente que informacin debe proporcionarle. Despus tendr que formular un modelo (o modelos) de programacin lineal, ejecutarlo (o ejecutarlos), y presentar un informe resumido, los resultados relevantes. PROBLEMA 36 Una compaa elabora un producto en dos fabricas: Fabrica 1 y Fabrica 2. En la tabla siguiente, se da el costo unitario de produccin y la capacidad de produccin para cada periodo.

Costo unitario de produccin ( $ ) Capacidad

Fabrica 1 (periodo 1) 33 7

Fabrica 1 (periodo 2) 43 4

Fabrica 2 (periodo 1) 30 9

Fabrica 2 (periodo 2) 41 9

Se enva de inmediato el producto al nico cliente de la compaa segn los costos unitarios de envi dados en la tabla siguiente. Si se produce y se enva una unidad durante el periodo 1, todava podr ser utilizado para satisfacer la demanda del periodo 3, pero se cargara un costo por mantenimiento del inventario de $13 por unidad. Al terminar el periodo 1, se puede tener a los mas seis unidades en el inventario. Las dems en el siguiente: Periodo 1: 9, Periodo 2 : 11. formule PPL que se pueda utilizar para minimizar el costo de satisfacer todas las demandas a tiempo. Dibuje la red y determine el flujo neto en cada nodo, las capacidades de arco y los costos de envi.

Periodo 1 Periodo 2 Fabrica 1 al cliente $ 51 $60

Fabrica 2 all cliente $42 $71

PROBLEMA 37 Una compaa, tiene que escoger un conjunto de proyectos de la siguiente lista. Su meta es maximizar el valor presente neto total del conjunto de proyectos seleccionados; pero sin gastar de lo presupuestado, en cualquiera de los prximos 3 aos. Los datos de este problema de presupuesto de capital, son dados en la siguiente tabla. Tambin se dan algunas restricciones adicionales sobre los proyectos que pueden ser seleccionados:

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Proyecto

Valor presente neto ($)

Desembolsos requeridos US $

Ao - 1 Ao - 2 Ao- 3

1 40 10 15 10

2 50 20 10 5

3 30 10 15 10

4 40 20 10 5

5 50 10 15 10

6 60 20 10 5

- La compaa tiene que escoger al menos uno de los proyectos, ya sea 1 o el 6. - Si el proyecto 6 es seleccionado entonces el proyecto 5 tambin tiene que serlo. - Exactamente un proyecto del conjunto 1, 2, 3, tiene que ser seleccionado.

- El proyecto 4 puede ser seleccionado solo si el proyecto 5 es seleccionado. Sin embargo el proyecto 5, puede ser seleccionado sin que el 4 sea seleccionado.

PROBLEMA 38 Una compaa fabrica tres clases de abrigos para caballeros: deportivos (A), formal (B) y ejecutivo (C). La compaa es un negocio propiedad de la familia y operado por esta, pero la mayora de los empleados de la compaa no son miembros de la familia. Debido a la naturaleza competitiva del negocio y a la gran demanda de mano de obra de la industria, es de gran importancia mantener satisfechos a los empleados. Los administradores consideran que una medida importante para satisfacer las necesidades de sus empleados es ofrecer empleo de tiempo completo, aun cuando esto exija producir en exceso e incurrir en algunas perdidas. Por fortuna los administradores esperan que la demanda de sus productos siga bastante elevada. De hecho, para satisfacer parte de la demanda, podra ser necesario operar en tiempo extra. Las tres lneas de abrigo de la ABC, se fabrican en dos departamentos. La tabla muestra un programa semanal de requerimientos de mano de obra y materiales para el proceso de fabricacin.

Requerimientos de produccin (por unidad) Recursos:

Mano obra / Material A Deportivo

B Formal

C Ejecutivo

Departamento 1 4 horas 12 horas 10 horas 8000 horas

Departamento 2 6 horas 6 horas 16 horas 4000 horas

Material 8 yardas 6 yardas 12 yardas 8000 yardas

Los precios unitarios de las tres lneas son: $100, $150 y $250, respectivamente. Los administradores han determinado que a un nivel normal de produccin los costos variables son de $70, $80 y $100 por abrigo respectivamente. Los costos de tiempo extra son $2 por hora por encima de su salario normal para el departamento 1 y $3 para el departamento 2. Los materiales extras pueden adquirirse a un costo de $2 por yarda por encima del costo normal. Los administradores de la empresa han pronosticado que la demanda del mercado para el abrigo deportivo es de 1000 unidades por semana y la demanda de las otras lneas es de 500 y 200 unidades respectivamente. El nivel de equilibrio de produccin es de 100 unidades del producto uno (deportivo) y 50 unidades de cada uno de los otros dos productos. Para ayudar a analizar el problema, los han identificado en orden de prioridad, las siguientes metas: Meta 1: Utilizar toda la operacin de produccin disponible, es decir, no debe existir tiempo

muerto en ningn departamento.

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Meta 2: Alcanzar los niveles de produccin de punto de equilibrio en cada una de las lneas de produccin.

Meta 3: Dado que es posible que exista escasez de mano de obra en el departamento 2, y dado que puede enviarse personal, en tiempo extra a ese departamento, el tiempo extra aqu puede ser mayor que el del departamento 1. Sin embargo el tiempo extra del departamento 2 debe estar limitado a 600 horas. El tiempo extra del departamento 1 no debe ser mayor de 200 horas.

Meta 4: Alcanzar una meta de utilidades semanales de $ 20,000. Meta 5: Satisfacer todas las demandas del mercado. Dentro de esta meta deben utilizarse

ponderaciones distintas para reflejar la contribucin unitaria normal a las utilidades. PROBLEMA 39 Un fabricante de televisores tiene cuatro modelos: (1) Un televisor porttil B/N llamado Deportista, (2) Un televisor B/N comn llamado Normal, (3) Un Televisor porttil a colores llamado Viajero y (4) Un modelo normal a colores llamado Super. Cada televisor requiere un tiempo de montaje y pruebas. En la siguiente tabla se indican los requisitos de montaje y pruebas para cada modelo, as como la cantidad de tiempo disponible para cada operacin.

Modelos

Sport Normal Viajero Super Total

Tiempo de montaje (hs) 2 10 12 15 2000

Tiempo de prueba (hs) 8 2 2 5 500

Utilidad 40 60 60 100 100

Adems por causa de una huelga, hay una escasez de cinescopios y el proveedor indica que no podr proporcionar mas de 180 cinescopios el prximo mes y de estos, como mximo 100 podrn ser de color. a) Cual es el programa de produccin optimo para el fabricante de televisores?. Hay programas

alternativos ?, de ser as hllelos. b) Cul es el valor marginal de una hora adicional de montaje?. En que intervalo es valido este

valor marginal? c) Supongan que se pueden obtener 80 horas adicionales de tiempo de pruebas a un costo de $ 4

por hora. Debe obtenerse?. Cual seria el incremento de los beneficios?. Cual es el valor de la hora adicional de tiempo de pruebas?. En que intervalo es valido este valor?.

d) Suponga que se considere un cambio de precio que modifica el beneficio marginal del modelo deportista de $ 40, a $45. Cambiaria esto el plan optimo de produccin?. Suponga que el precio del modelo deportista cambia de $ 40 a $ 55, en este caso, Variara el plan de produccin?.

e) Cunto tendra que cambiar el precio del modelo normal para que haya una modificacin en el programa de produccin?.

f) Suponga que se puede obtener cinescopios adicionales de otro proveedor, pero cuestan $ 2 mas que los del proveedor regular para blanco y negro y $ 5 mas para el de color. Deben comprarse cinescopios?, Cuntos?.

g) La gerencia quiere introducir un nuevo modelo a color, llamado Compaero, solo requerir 10 horas de montaje y 3 horas de pruebas. El beneficio marginal del modelo seria de $ 70. Debe producirse el nuevo modelo?. De ser as, Cul seria el valor marginal de la produccin de unidad del modelo compaero?. Cul seria el nuevo programa de produccin?.

PROBLEMA 40 Tres depsitos surten a 5 almacenes de un mismo producto. La tabla indica el costo de transporte por unidad entre depsitos y almacenes. Sin embargo, por el dao de un puente principal se han impedido las entregas desde el deposito A hasta el almacn 5, desde el deposito B, hasta el almacn 2, y desde el deposito C, hasta el almacn 4. Determine la distribucin optima.

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Almacn Disponibilidad

1 2 3 4 5

Deposito A 2 3 4 4 2 850

Deposito B 4 8 3 6 6 300

Deposito C 6 7 8 3 5 450

Demanda 74 345 180 90 210

PROBLEMA 41 Se desea instalar cuatro fbricas. Una de papel, otra de vidrio, otra de fibra artificial, y una de llantas. Se ha tomado la decisin de invertir en una fabrica para Arequipa, Huancayo, Iquitos, y Chiclayo. Se desea conocer el tipo de fabrica que deber instalarse encada ciudad. La matriz siguiente muestra las utilidades netas en millones de dlares.

Almacn

Fabrica Arequipa Huancayo Iquitos Chiclayo

Papel 27 13 15 18

Vidrio 35 22 10 22

Fibra de vidrio 12 30 40 32

Llantas 15 26 14 28

PROBLEMA 42 Un fabricante debe cumplir un contrato de cuatro meses; durante los cuales varan los costos de produccin. El costo de almacenamiento paras unidades producidas en un mes y no vendidas en ese mes es de $ 1/ unidades / mes.

Minimizar el costo total de produccin e inventario.

PROBLEMA 43 Una compaa de aviacin tiene un proyecto de comprar aviones de vuelos cortos, medianos y largos. Los aviones de vuelos cortos tienen un precio de $ 3,500, cada uno, los aviones de vuelos medianos $5,000, cada uno y los de vuelos largos $ 6,700 cada uno. Se tiene presupuesto mximo de $ 150 millones, para el proyecto. Los aviones sern utilizados al mximo de su capacidad produciendo as una ganancia neta anual:

- Aviones de vuelos cortos $ 230,000 - Aviones de vuelos largos $ 400,000

Mes Contrato de Ventas Capacidad de Prod. Costo Unitario $

1 20 40 14

2 30 50 16

3 50 30 15

4 40 50 17

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- Aviones de vuelos medianos $ 430,000 El numero de pilotos disponibles es de 30. La capacidad de los hangares es limitada. Si nicamente se comprara aviones de vuelos cortos; podran atender solo 40 aviones. La capacidad ocupada por los medianos es de 4/3 de la de los vuelos cortos y la de los vuelos largos 5/3 de la de los vuelos cortos. Se desea conocer cuantos aviones de cada tipo se deben comprar para obtener una ganancia mxima. Formule un modelo de programacin lineal para hacer mxima la utilidad.

PROBLEMA 44 Una corporacin tiene tres plantas con exceso en su capacidad de produccin. Las tres plantas tienen la capacidad de producir un cierto producto por lo que el jefe ha decidido aprovechar ese exceso de produccin de la siguiente manera: El producto puede ser fabricado en tres tamaos: Grande, mediano, y pequeo, con una ganancia neta por unidad de $12, $10 y $9 respectivamente. Las plantas 1, 2 y 3 tienen un exceso de mano de obra y equipo con capacidad de producir 500, 600, y 300 unidades por da del producto respectivamente. El aumento del producto para almacenar impone una limitacin en la ruta de produccin; las plantas 1, 2 y 3 tienen 9000, 8000 y 3500 pies cuadrados para almacenar el producto. Cada unidad del grande, mediano, y pequeo producidas por da requieren 20, 15 y 12 pies respectivamente. Las estadsticas de ventas indican que 600, 800 y 500 unidades del grande, mediano y pequeo respectivamente pueden ser vendidas por da. Para manejar una carga uniforme entre las plantas, se ha dispuesto que la produccin adicional asignada a cada planta debe corresponder a porcentajes iguales del exceso de capacidad. Se debe conocer que tanto de cada uno debe ser producido y por cual planta con el objeto de tener una mxima ganancia. Formule un modelo de programacin lineal para este problema.

PROBLEMA 45 Supongamos que se dispone de 5 alimentos distintos; los cuales contienen dos tipos de nutrientes: caloras y vitaminas, en la cantidad que se encuentran en la tabla siguiente:

Nutriente

Alimento Requerimiento mnimo 1 2 3 4 5

Caloras 1 0 1 1 2 700

Vitaminas 0 1 0 1 1 400

Precio ($) 2 20 3 11 12

En esta tabla se muestra adems los requerimientos mnimos de cada nutriente en una dieta, as como el precio por la unidad de alimentos. Formular el modelo de manera que se satisfagan los requisitos de una dieta normal PROBLEMA 46 Una pequea refinera mezcla 5 crudos para producir 2 grados de gasolina A y B. El numero de barriles diarios disponibles, numero y el costo por barril aparecen en la tabla siguiente:

Crudo Numero de Octanos Barriles / Da Costo / Barril

1 70 2000 800

2 80 4000 900

3 85 4000 950

4 90 5000 1000

5 99 3000 2000

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El numero de octanos de gasolina A, no puede ser menor de 95 y de la B no menos de 85. Asumir que una disposicin gubernamental obliga a producir por lo menos 8000 barriles diarios de gasolina tipo B. La gasolina tipo A se vende a los distribuidores a $3500 por barril y la de tipo B a $2800 por barril. Los crudos no utilizados para producir gasolina tipo A y B siempre y cuando tengan al menos 90 octanos se venden como gasolina de aviacin a $2500 por barril y aquellos con 85 octanos como mximo se venden como Extra a $1500 por barril. Si deseamos maximizar las utilidades diarias. Cul debe ser la produccin de gasolina A y B, y como se deben de mezclar los crudos?. PROBLEMA 47 Supongamos que se cuentan con dos alimentos : pan y queso. Cada uno de ellos contiene caloras y protenas en diversas proporciones.

- Un kg. de pan contiene 2000 caloras y 50 gr. de protenas - Un kg. de queso contiene 4000 caloras y 200 gramos de protenas.

Supngase que una dieta normal requiere cuando menos de 6000 caloras y 200 gramos de protenas al da. Si el kg. de pan cuesta $6 y el de queso $21. Qu cantidades de pan y de queso deben comprarse para satisfacer los requisitos de la dieta normal gastando la menor cantidad de dinero? PROBLEMA 48 Suponga que una persona acaba de heredar $6000 y que desea invertirlos. Al or esta noticia dos amigos distintos le ofrecen la oportunidad de participar como socio en dos negocios, cada uno planeado por cada amigo. En ambos casos, la inversin significa dedicar un poco de tiempo el siguiente verano, al igual que invertir efectivo. Con el primer amigo al convertirse en socio completo tendra que invertir $5000 y 400 horas, y la ganancia estimada (ignorando el valor del tiempo) sera $4500. Las cifras correspondientes a la proposicin del segundo amigo son $4000 y 500 horas, con una ganancia estimada de $4500. Sin embargo, ambos amigos son flexibles y le permitiran entrar en el negocio con cualquier fraccin de la sociedad; la participacin en las utilidades sera proporcional a esa fraccin. Como de todas maneras esta persona est buscando un trabajo interesante para el verano (600 horas a lo sumo), ha decidido participar en una o ambas propuestas, con la combinacin que maximice la ganancia total estimada. Es necesario resolver el problema de obtener la mejor combinacin. PROBLEMA 49 Una compaa manufacturera descontinu la produccin de cierta lnea de productos no redituable. Esto cre un exceso considerable en la capacidad de produccin. La gerencia quiere dedicar esta capacidad a uno o ms de tres productos; llmense productos 1, 2 y 3. En la siguiente tabla se resume la capacidad disponible de cada mquina que puede limitar la produccin:

Tipo de mquina Tiempo disponible

Fresadora 500

Torno 350

Rectificadora 150

El nmero de horas-mquina que se requiere para cada producto es

Tipo de mquina Producto 1 Producto 2 Producto 3

Fresadora 9 3 5

Torno 5 4 0

20

Rectificadora 3 0 2

El departamento de ventas ha indicado que las ventas potenciales para los productos 1 y 2 exceden la tasa mxima de produccin y que las ventas potenciales del producto 3 son 20 unidades por semana. La ganancia unitaria sera de $50, $20 y $25, respectivamente, para los productos 1, 2 y 3. El objetivo es determinar cuntos productos de cada tipo debe producir la compaa para maximizar la ganancia. PROBLEMA 50 Una familia campesina es propietaria de 125 acres y tiene fondos por $40000 para invertir. Sus miembros pueden producir un total de 3500 horas-hombre de mano de obra durante los meses de invierno (mediados de septiembre a mediados de mayo) y 4000 horas-hombre durante el verano. En caso de que no se necesite una parte de estas horas-hombre, los jvenes de la familia las emplearn para trabajar en un campo vecino por $5.00 la hora durante los meses de invierno y por $6.00 la hora en el verano. Pueden obtener el ingreso en efectivo a partir de tres tipos de cosecha y dos tipos de animales de granja: vacas lecheras y gallinas ponedoras. Para las cosechas no se necesita inversin, pero cada vaca requerir un desembolso de $1200 y cada gallina costar $9. Cada vaca necesita 1.5 acres, 100 horas-hombre durante el invierno y otras 50 horas-hombre en el verano; cada una producir un ingreso anual neto de $1000 para la familia. Las cifras correspondientes para cada gallina son nada de terreno, 0.6 horas-hombre en el invierno, 0.3 horas-hombre en el verano y un ingreso anual neto de $5. Caben 3000 gallinas en el gallinero y el corral limita el ganado a un mximo de 32 vacas. Las estimaciones de las horas-hombre y el ingreso por acre plantado con cada tipo de cosecha son

Soya Maz Avena

Horas-hombre en invierno 20 35 10

Horas-hombre en verano 50 75 40

Ingreso neto anual 600 900 450

La familia quiere determinar cuntos acres debe sembrar con cada tipo de cosecha y cuntas vacas y gallinas debe mantener para maximizar su ingreso neto. Formule el modelo de programacin lineal para este problema.

PROBLEMA 51

Un avin de carga tiene tres compartimientos para almacenar: delantero, central y trasero. Estos compartimientos tienen un lmite de capacidad tanto en peso como en espacio. Los datos se resumen en seguida:

Compartimiento Capacidad de peso Capacidad de espacio

Delantero 12 7000

Central 18 9000

Trasero 10 5000

Para mantener el avin balanceado, el peso de la carga en los respectivos compartimientos debe ser proporcional a su capacidad. Se tienen ofertas para los siguientes envos en un vuelo prximo ya que se cuenta con espacio:

Carga Peso (toneladas)

Volumen (pies cbicos/tons)

Ganancia ($ / tonelada)

1 20 500 320

2 16 700 400

21

3 25 600 360

4 13 400 290

Se puede aceptar cualquier fraccin de estas cargas. El objetivo es determinar qu cantidad de cada carga debe aceptarse (si se acepta) y cmo distribuirla en los compartimientos para maximizar la ganancia del vuelo. PROBLEMA 52 Una pequea fbrica de muebles produce mesas y sillas. Tarda dos horas en ensamblar una mesa y 30 minutos en armar una silla. El ensamblaje lo realizan cuatro trabajadores sobre la base de un solo turno diario de 8 horas. Los clientes suelen comprar cuando menos cuatro sillas con cada mesa, lo que significa que la fbrica debe producir por lo menos cuatro veces ms sillas que mesas. El precio de venta es de $135 por mesa y $50 por silla. Determine la combinacin de sillas y mesas en la produccin diaria que maximizara el ingreso total diario de la fbrica. PROBLEMA 53 Un pequeo banco asigna un mximo de $20 000 para prstamos personales y para automvil durante el mes siguiente. El banco cobra una tasa de inters anual del 14% a prstamos personales y del 12% a prstamos para automvil. Ambos tipos de prstamos se saldan en periodos de tres aos. El monto de los prstamos para automvil debe ser cuando menos dos veces mayor que el de los prstamos personales. La experiencia pasada ha demostrado que los adeudos no cubiertos constituyen el 1% de todos los prstamos personales. Cmo deben asignarse los fondos? PROBLEMA 54 Una compaa de productos electrnicos produce dos modelos de radio, cada uno en una lnea de produccin de volumen diferente. La capacidad diaria de la primera lnea es de 60 unidades y la de la segunda es de 75 radios. Cada unidad del primer modelo utiliza 10 piezas de cierta componente electrnica, en tanto que cada unidad del segundo modelo requiere ocho piezas de la misma componente. La disponibilidad diaria mxima de la componente especial es de 800 piezas. La ganancia por unidad de los modelos 1 y 2 es $30 y $20, respectivamente. Determine la produccin diaria ptima de cada modelo de radio. PROBLEMA 55 Una compaa puede anunciar su producto mediante el uso de estaciones de radio y televisin locales. Su presupuesto limita los gastos en publicidad a $1000 por mes. Cada minuto de anuncio en la radio cuesta $5 y cada minuto de publicidad en televisin cuesta $100. La compaa deseara utilizar la radio cuando menos dos veces ms que la televisin. La experiencia pasada muestra que cada minuto de publicidad por televisin generar en trminos generales 25 veces ms ventas que cada minuto de publicidad por la radio. Determine la asignacin ptima del presupuesto mensual para anuncios por radio y televisin. PROBLEMA 56 Un hospital est tratando de determinar el nmero de comidas de pescado y de res que debe servir durante el mes que viene. El hospital necesita una comida para cada uno de los 30 das. Las comidas de pescado cuestan $2 cada una y las de res 2.50 (los costos incluyen vegetales y ensalada). Ambas comidas cumplen con las necesidades de protenas. Si se juzga el sabor en una escala de 1 a 10, el pescado obtiene un 5 y la res 9. El hospital quiere alcanzar en el mes un total de por lo menos 200 puntos en el sabor. Los requerimientos totales de vitaminas en el mes debe ser, por lo menos, 300 unidades. La comida de pescado proporciona 8 unidades y la de res 12 unidades. Cuntas comidas de cad tipo debe planear el hospital?

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PROBLEMA 57 Una fabrica papelera est tratando de encontrar la mejor manera de cortar platos de papel del rollo estndar. Tiene dos pedidos de platos: uno por 100000 platos de 9 pulgadas, el otro por 178000 platos de 7 pulgadas. Se han propuesto dos mtodos de corte. El corte a da 5 platos de 9 pulgadas y 10 de 7, ms 4 pulgadas de desperdicio por cada pie de material del rollo. El corte b da 8 platos de 9 pulgadas y 5 de 7, ms 6 pulgadas de desperdicio por cada pie de material del rollo. Cuntos cortes de cada tipo deben hacerse para minimizar el desperdicio? PROBLEMA 58 Un dietista est tratando de seleccionar las cantidades apropiadas de dos alimentos para cumplir con las necesidades diarias de dos vitaminas. El alimento A proporciona cinco unidades de la vitamina X y tres unidades de la vitamina Y a un costo de $0.04 por onza. El alimento B proporciona tres unidades de la vitamina X y siete unidades de la vitamina Y a un costo de 0.05 por onza. Los requerimientos diarios son de 15 unidades de la vitamina X y 20 unidades de la vitamina Y. Formlese el problema de programacin lineal y encuntrese la solucin entera que minimiza los costos totales. PROBLEMA 59 Un empresa fabrica sofs especiales de dos tipos: contemporneo y americano clsico. La compaa dispone de 150 horas de mano de obra para el prximo periodo, para hacer estructuras y de 200 horas para tapizar, nicas operaciones. Los materiales no son una restriccin y tampoco la demanda. Un sof contemporneo lleva cinco horas para la estructura y tres horas de tapicera y contribuye con $400 a la ganancia. Un tipo americano clsico lleva tres horas para la estructura y siete horas para la tapicera y contribuye con $500. Formlese el problema de programacin lineal y encuntrese la solucin entera que maximiza la contribucin. PROBLEMA 60 Una agencia de publicidad est tratando de determinar el nmero de anuncios que debe comprar en cada una de dos revistas. Ha recopilado los siguientes datos:

Revista Hombres Mujeres Costo/anuncio

1 40 000 30 000 $3 000

2 40 000 11 000 $4 000

La agencia quiere llegar, por lo menos, a 160 000 hombres y a 330 000 mujeres a un costo mnimo. Formlese el problema de programacin lineal y encuntrese la solucin entera ptima. PROBLEMA 61 Debido a una escasez de gasolina, la demanda de boletos de una aerolinea ha aumentado mucho en los ltimos meses. La demanda ha crecido tanto que ahora la aerolnea est analizando la posibilidad de adquirir varios aviones nuevos. Existen tres tipos de aviones de entre los cuales se pueden elegir el DC-33, el Boeing 797 y el Lockheed Bi-Star. En la siguiente tabla se muestran el costo, capacidad y tiempo requerido de mantenimiento mensual para cada tipo. La aerolinea desea adquirir los nuevos aviones al mnimo costo posible, sujeto a los requerimientos de capacidad y mantenimiento. Los nuevos aviones deben transportar un total combinado de cuando menos 3,400 pasajeros y deben tener un tiempo combinado total de mantenimiento que no exceda las 250 horas mensuales. Se complica an ms la decisin de qu aviones adquirir porque slo existen disponibles para su compra cinco aviones Bi-Star.

Avin Costo (en millones) Capacidad Tiempo de mantenimiento (horas por mes)

DC-33 10 350 25

23

Boeing 797 15 450 15

Lockheed Bi-Star 12 400 15

PROBLEMA 62 Leonard Myers es el gerente de El Cheapo Grocery Store. En la actualidad est considerando utilizar 50 pies cuadrados de espacio de estantes para varias exhibiciones de tabaco. Las exhibiciones requieren diferentes cantidades de espacio en los estantes y al seor Myers le gustara que le pagaran diferentes cantidades por cada una de las exhibiciones de las compaas tabacaleras. Leonard quiere maximizar sus ingresos provenientes de las compaas tabacaleras, al mismo tiempo que no desea utilizar ms de los 50 pies cuadrados que ha asignado de espacio para las exhibiciones. En la siguiente tabla se muestran los posibles pagos de cada una de las compaas tabacaleras y el espacio de estantes que se requiere.

Producto Compaa tabacalera Pagos ($) Espacio que se requiere

1 Puffo 100 17

2 Hack & Hack 75 15

3 L. Porrilland 115 20

4 Krogo 50 15

5 Browntooth 135 20

PROBLEMA 63 La Mc Davis Consulting Co. se especializa en la preparacin de preparacin de programas de computadora para el gobierno y la industria. Estos programas se escriben en uno de cuatro lenguajes de programacin: FORTRAN, Ensamblador, COBOL y APL. La compaa tiene tres programadores que realizan esta labor y existen cinco trabajos de programacin que deben terminarse lo ms pronto posible. No todos los programadores trabajan a la misma velocidad en todos los lenguajes y se les paga en forma diferente con base en su experiencia. Cada uno de los trabajos debe elaborarlo un solo programador. Los costos de terminacin de cada tarea por programador se muestran a continuacin:

Programador Trabajo 1 Trabajo 2 Trabajo 3 Trabajo 4 Trabajo 5

Joe $100 $150 $200 $100 $50

Sue 80 200 100 100 80

Susan 200 250 250 150 100

A continuacin se muestran el tiempo que necesita cada programador para terminar cada trabajo y el

tiempo de que dispone despus de realizar sus dems tareas.

Prog. Trabajo 1 Trabajo 2 Trabajo 3 Trabajo 4 Trabajo 5 Tiempo disponible

Joe 10 15 20 10 5 35

Sue 4 10 5 5 4 20

Susan 20 25 25 15 10 40

PROBLEMA 64 Un granjero desea determinar cul es la mejor seleccin de ganado para su granja con el objeto de maximizar las utilidades provenientes de las ventas de los animales al final del verano. Puede comprar ovejas, reses o cabras. Cada oveja necesita un acre de pastura y $15 de alimentacin y tratamiento. Una oveja cuesta $25 y puede venderse en $60. Para las reses, estos valores son 4 acres, $30, $40 y $100. Y para las cabras, estos valores son 0.5 de acre, $5, $10 y $20. La granja

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tiene 300 acres y el granjero dispone de $2,500 para comprar y mantener su ganado. Por ltimo, el granjero ha fijado un lmite inferior al nmero de animales que desea adquirir, si es que compra alguno de cada tipo. Este lmite inferior es de 50 para las ovejas, 25 para las reses y 100 para las cabras. Plantee esto como un problema de programacin lineal entera. PROBLEMA 65 Una compaa manufactura cajas de herramientas en tres plantas y la manda despus por barco a tres centros de distribucin (los cuales son propiedad de la compaa). Los costos de produccin y distribucin variable por unidad transportada entre las plantas y los centros de distribucin, as como la capacidad de produccin mensual de las plantas, la demanda mensual de cada centro de distribucin, y los costos fijos mensuales por operar las plantas y centros de distribucin se muestran en la siguiente tabla:

Planta Centro de distribucin A

Centro de distribucin B

Centro de distribucin C

Capacidad Costos fijos

1 $25 30 27 600 1700

2 27 25 29 600 2000

3 30 27 26 600 1900

Demanda 500 500 500

Costo fijo 500 400 600

La compaa est pasando por momentos econmicos difciles y la administracin ha decidido cerrar una planta y un centro de distribucin. Desde luego que la demanda del centro de distribucin se perder (no ser satisfecho). Cuando un centro de distribucin se cierra, nada llegar a l y los costos fijos no se tomarn en cuenta. Cuando se cierra una planta, nada se manufacturar ni saldr de ella. Formule el modelo de programacin entera para decidir qu planta y centro de distribucin cerrar. PROBLEMA 66 La Compaa CMC est abriendo un centro de investigaciones en Austin, Texas, y debe comprar 400 escritorios para sus oficinas. Existen tres vendedores en el rea que ofrecen grandes volmenes de escritorios. El vendedor 1 puede proveer cualquier nmero de escritorios por un costo de $500 cada uno, ms un costo fijo por orden de $100. El vendedor 2 puede proveer hasta 350 escritorios. Los primeros 100 costaran $550 cada uno, mientras que cada escritorio adicional (despus de los 100) costara $490. Este proveedor no considera costo fijo. El vendedor 3 maneja un mnimo de 50 escritorios por orden y un mximo de 200. Si se le compra al proveedor 3, pero la orden contiene menos de 100 escritorios, entonces se tendr un costo fijo de $300. El precio del escritorio con este proveedor es de $495. La compaa ha decidido no comprarles a ms de dos vendedores. Formule en modelo de programacin entera que encuentre la solucin ptima.