15. GAIA: DINAMIKA PUNTUAREN ZINETIKA - Grupo de ... · PDF fileOsagai cartesiar angeluzuzenen...

I.I.T.koI.I.T.ko 1. 1. mailamaila: : MEKANIKA IMEKANIKA I

Saila: INGENIARITZA MEKANIKOA, ENERGETIKOA ETA MATERIALENASaila: INGENIARITZA MEKANIKOA, ENERGETIKOA ETA MATERIALENA

15. GAIA: 15. GAIA:

DINAMIKADINAMIKADINAMIKADINAMIKADINAMIKADINAMIKADINAMIKADINAMIKA

PUNTUAREN ZINETIKAPUNTUAREN ZINETIKA

-- 22 --

I.I.T.ren 1. maila:

MEKANIKA I

I.I.T.renI.I.T.ren 1. 1. mailamaila::

MEKANIKA IMEKANIKA I

Departamento de Ingeniería Mecánica, Energética y de MaterialesIngeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila


AurkibideaAurkibidea� 15.1. Sarrera

� 15.2. Mugimenduaren ekuazioak

� 15.2.1 Newtonen Bigarren Legea

� 15.2.2 Puntu batean mugimenduaren ekuazioak

� 15.2.3 Puntu-sistema batean mugimenduaren ekuazioak

� 15.3. Mugimendu lerrozuzena

� 13.3.1.etik 13.3.6.era bitarteko puntuak x(t), v(t), a(t), a(x), a(v) eta a = kte

ezagututa

� 13.3.7 Analisi grafikoa

� 15.4. Mugimendu lerromakurra

� 15.4.1. Mugimendu lerromakur laua

� 15.4.2. Mugimendu lerromakurra espazioan

-- 33 --

I.I.T.ren 1. maila:

MEKANIKA I





15.1 Sarrera

Gorputz puntualaren gainean indarren sistema nulua denean, gorputza orekan (atsedenean edo abiadura konstantearekin) dago. Aipatu indarren sistema nulua ez denean, gorputzak mugimendu azeleratua du.Orekatuta ez dauden indarrek eta sortzen dituzten mugimenduek zinetika osatzen dute eta gai hori landuko dugu ikasturtea amaitzeko gelditzen diren bi kapituluetan.Gorputz batek orekatu gabeko indarren sistema pairatzen duenean, mugimendua hiru metodo erabiliz zehatz daiteke:

1.- Indar, masa eta azelerazioaren metodoa.2.- Lanaren eta energiaren metodoa.3.- Bultzadaren eta mugimendu-kantitatearen metodoa.

Ariketa bakoitza ebazteko metodorik erabilgarriena indar-sistemaren izaeraren (konstanteak edo aldakorrak) eta bilatutako informazioaren (erreakzioak, abiadurak, azelerazioak, etab.) araberakoa da.Ikasturte honetan bakarrik lehenengo metodoa garatuko da. Beste biak interesgarriak izan arren, lehenengoa da erabiliena eta, gainera, guztiak behar bezala azaltzeko ez da denborarik izango.

-- 44 --

I.I.T.ren 1. maila:

MEKANIKA I





15.2 Mugimenduaren ekuazioakAntzina, askoren iritziz, gorputza atsedenean

egoera naturalean zegoen, beraz, mugimenduan mantentzeko indarra egin behar zen. Newtonek ekarpen handia egin zion Mekanikari: gorputza mugimenduan mantentzeko indarra ez zela beharrezkoa ohartu zen, gorputza jada mugimenduan bazegoen. Ildo horri jarraiki, indarraren efektua abiadura aldatzea da, ez mantentzea.

15.2.1 Newtonen bigarren legeaNewtonen lehenengo legeakpuntu materiala aipatzen du, bai atsedenean, bai abiadura konstantearekin eta Newtonen hirugarren legeakelkarrekintzan diharduten gorputzen arteko akzioa eta erreakzioa arautzen du. Biak Estatikaren kontzeptuak garatzeko erabili dira.Newtonen bigarren legeakmugimenduari erreparatzen dio: puntu materialaren mugimendu azeleratua eta mugimendua sortzen duten indarrak erlazionatzen ditu. Dinamikaren ikasketen oinarria da.Newtonen lehenengo legeabigarrenaren kasu berezia da. Ondoriozko indarra nulua denean (R = 0), puntuaren azelerazioa nulua da (a = 0); beraz, puntua atsedenean egongo da edo abiadura konstantearekin mugituko da (OREKA).

-- 55 --

I.I.T.ren 1. maila:

MEKANIKA I





Partikula baten gainean kanpoko indarra eginez gero, azeleratu egingo da indarraren norabidean eta noranzkoan eta azelerazioaren modulua indarrarekiko zuzenki proportzionala izango da eta partikularen masarekiko alderantziz proportzionala.

Matematikaren ikuspegitik:

Newtonen bigarren legearenenuntziatumodernoa honakoa da:

m

Fka = non:

• a partikularen azelerazioa da.• F partikularen gainean egiten den indarra da.• m partikularen masa da.• k proportzionaltasunaren konstantea da eta unitateen arabera aldatzen da.

Ekuazio hau baliagarria da, bai indar konstanteen kasuan, bai denborarekin (moduluan nahiz norabidean) aldatzen diren indarren kasuan. Horietan F eta a-ren moduluak proportzionalak dira eta F eta a bektoreek norabide eta noranzko berdina dute (m eskalar positiboa baita). Sistema batean k = 1 bada, unitate zinetiko koherenteak izango ditu (adibidez, SI).Indarraren unitatea (Newton) honakoa da: 1 kg-ko masari aplikatutako indarra 1 m/s2-ko azelerazioa sortzeko. SI-an, gorputzaren W pisuak (grabitatearen indarra) honakoa balio du: gmW =

-- 66 --

I.I.T.ren 1. maila:

MEKANIKA I





15.2.2 Puntu baten mugimenduarenekuazioak

Puntu material baten gainean F1, F2, F3, …Fn indarren sistema aplikatzen denean, ondoriozkoa R indarra da eta zuzen euskarria puntuaren masa-zentrotik pasatzen da, puntu baten gainean egiten den indar-sistema oro indar-sistema bildua izan behar baitu. Puntu materialaren mugimendua Newtonen bigarren legeak arautzen du hurrengo moduan:

amFR ∑ ==Osagai cartesiar angeluzuzenen arabera:

( ) ( ) ( ) ( )kjikjikjikji zyxmvvvmaaamFFF zyxzyxzyx &&&&&&&&& ++=++=++=++∑Puntu baten

mugimenduaren halako ekuazioren bat

erabiltzen denean, ikurren hitzarmena

egin beharko da.

-- 77 --

I.I.T.ren 1. maila:

MEKANIKA I





15.2.3 Puntu-sistemarenmugimenduen ekuazioak

Puntu materialen sisteman mugimenduaren ekuazioak Newtonen 2. legea aplikatuz lor daitezke. Horretarako, aipatu legea sistemaren puntu bakoitzari aplikatuko zaio.

Adibidea.- Kontuan har dezagun irudian marraztutako n partikulen multzoa. i. partikulak mi masa du eta posizioa erreferentzi ardatz-sistema egokiarekiko zehazten da. Horretarako, ri posizio-bektorea erabiltzen da. Sistemaren partikula bakoitzak Ri kanpoko indar-sistema paira dezake, baita fi1, fi2, fi3, …fin, barneko indarren sistema ere. Barneko indarrak partikulen arteko elkarrekintza elastikoaren ondorioz sortzen dira, baita efektu elektriko edo magnetikoengatik ere. pj partikulak pi partikularen gainean egindako barneko indarra fij bidez adierazten da. i. partikulari Newtonen bigarren legea aplikatuz gero, honakoa lortzen da:

ii

n

jiji amfR ∑

=

=+1

-- 88 --

I.I.T.ren 1. maila:

MEKANIKA I





ii

n

jiji amfR ∑

=

=+1

Barneko indarren baturan, fij nulua da, pi partikulak bere buruaren gainean ez baitu indarrik egiten.

pj partikulak pi partikularen gainean fij indarra eginez gero, Newtonen 3. legeak esandakoaren arabera, pi partikulak pj partikularen gainean fji indarra egingo du eta fijindarraren zuzen euskarri eta modulu berdina izango du, baina kontrako noranzkoarekin.

Sistemaren n partikulei dagozkien mugimenduaren ekuazioak batuz, sistema guztiaren mugimendu-ekuazioa lortzen da. Ildo horri jarraiki,

∑∑∑∑ ∑∑=====

==⇒=

+

n

iii

n

ii

n

iii

n

i

n

jij

n

ii amRRamfR

111! 11

Ekuazio honen arabera, partikula-sistemaren gainean aplikatutako kanpoko indar--sistemaren ondoriozko R sistema-partikulen ma inertzi bektoreen berdina da. Batzuetan inertzi indarrak deritze.

(1)

-- 99 --

I.I.T.ren 1. maila:

MEKANIKA I





Puntu materialen sistemaren MZ kontuan hartuta, aurreko ekuazioa beste modu batera idatz daiteke.

Sistemaren MZ G puntua da, hain zuzen ere, rG posizio-bektorearen bidez definituta, zeinak betetzen duen:

∑∑==

==n

ji

n

jiiG mmnonrmrm

11

Aurreko ekuazioa denborarekiko deribatuz honakoa lortuko dugu:

(1) eta (2) ekuazioak konbinatuz honakoalortuko dugu:

(2)

GamR =

Ekuazio hauek puntu materialen sistemaren “masa-zentroaren mugimendu-printzipioa”dira. Adierazpen horiek eta puntu material bakarrarentzat lortutakoak berdinak direnez, puntu materialen sistema puntu material bakarra bezala lan daiteke, hain zuzen ere, MZ-an, G-n kokatua, G-tik pasatzen den zuzenean eutsitako R ondoriozko indarraren indar berdina aplikatzen dela suposatuz gero.Izan ere, gorputz oro puntu materialtzat jo daiteke aurreko ekuazioa aplikatzean.

Gzzz

Gyyy

Gxxx

amRF

amRF

amRF

==

==

==

∑∑∑

∑∑∑===

=⇒==n

jiiG

n

jiiG

n

jiiG amamrmrmyrmrm

111

&&&&&&

-- 1010 --

I.I.T.ren 1. maila:

MEKANIKA I





15.3 Mugimendu lerrozuzena

13. Gaian mugimendu lerrozuzenaren bidez mugitutako puntu materialaren zinematika deskribatu zen. x ardatza mugimenduaren ibilbidearekin bat etortzeko orientatuz gero, honakoa izango dugu: ;i;i;i xraxrvxr &&&&&& =====x ardatzean zehar mugimendu lerrozuzenaren kasuan, Zinetikaren ekuazioak hurrengora mugatzen dira: 0;0; ∑∑∑ === zyxx FFamF

Mugimendu-mota honetan, alde batera utz dezakegu notazio bektoriala eta magnitude baten ikurra erabili magnitude bektorialaren noranzkoa x ardatzaren ardatz erdi positiboa ala negatiboa den adierazteko.

Mugimendu lerrozuzenari dagokionez, 4 ariketa-motadaude:1. F = konstantea2. F = denboraren araberakoa3. F = posizioaren araberakoa4. F = abiaduraren araberakoa

-- 1111 --

I.I.T.ren 1. maila:

MEKANIKA I





Lehenengo kasua: F = konstantea. 2. legeari erreparatuz:

Denborarekiko 2 aldiz integratuz honakoa lortzen da:

Bi C-ak ariketaren hasierako baldintzetatik abiatuta zehatz daitezke.

Bigarren kasua: F = denboraren araberakoa. 2. legeari erreparatuz:

Aurreko ekuazioa denborarekiko 2 aldiz integra daiteke abiaduraren eta posizioaren adierazpenak lortzeko. Agertzen diren bi konstanteak ariketaren hasierako baldintzetatik abiatuta zehatz daitezke.

Ariketa-motak (mugimendu lerrozuzena):

m

Fx =&&

212

1

2

1CtCt

m

Fx

Ctm

Fx

++=

+=&

( )m

tFx =&&

*

*

-- 1212 --

I.I.T.ren 1. maila:

MEKANIKA I





Hurrengoa kontuan hartuta:

Beraz, eta integratuz, –ren arabera lortzen dugu

denez, berriz integra dezakegu x eta t artean erlazioa lortzeko.

Agertzen diren bi konstanteak ariketaren hasierako baldintzetatik abiatuta zehatz daitezke.

Laugarren kasua: F = abiaduraren arabera. 2. legea:

Agertzen diren bi konstanteak ariketaren hasierako baldintzetatik abiatuta zehatz daitezke.

( )m

xFx =&&

dx

xdx

dt

dx

dx

xd

dt

xdx

&&

&&&& ===

( )dx

m

xFxdx =&& x&x

dt

dxx =&

Hirugarren kasua: F = posizioaren arabera. 2. legearen arabera:

( ) ( )m

xF

dx

xdxx

m

xF

dt

xdx

&&&&&

&&&& ==== bieno

( ) ( )

( ) ( )∫

∫

⇒⇒=

⇒⇒=

xvxF

xmxddx

tvxF

xmddt

&

&

&

&

*

*

-- 1313 --

I.I.T.ren 1. maila:

MEKANIKA I





15.2. ARIKETA15.2. ARIKETA

-- 1414 --

I.I.T.ren 1. maila:

MEKANIKA I






-- 1515 --

I.I.T.ren 1. maila:

MEKANIKA I





15.4 Mugimendu lerromakurra

Deskribatzeko bi koordenatubehar dira eta koordenatu lauen hiru sistemetatik (kartesiar angeluzuzenak, polarrak edo normal/tangentzialak) bat aukeratu beharko da.

Koordenatu kartesiar angeluzuzenak: puntu baten posizioa bi erreferentzi ardatzekiko (x-y) distantziekin deskribatzen da. v eta a posizio-ekuazioak honako hauek dira:

15.4.1 Mugimendu lerromakur laua

• Mugimendu lerromakur laua.- Koordenatuen sisteman une oro nuluak dira z osagaiaren posizioa, abiadura eta azelerazioa.• Mugimendu lerromakurra espazioan.- Koordenatu kartesiarren sistemarik ez da non une oro gutxienez posizioaren, abiaduraren eta azelerazioaren osagai bat nulua den.

ji

ji

ji

yxra

yxrv

yxr

&&&&&&

&&&

+==+==

+=2. legea

0=

=

=

∑∑∑

z

yy

xx

F

amF

amF

ymamF

xmamF

yy

xx

&&

&&

==

==

∑∑

Bi mugimendu lerrozuzenen gainjartzea x eta y ardatzen arabera.

-- 1616 --

I.I.T.ren 1. maila:

MEKANIKA I





Koordenatu polarrak: puntu baten posizioa deskribatzeko, puntu finkoarekiko r distantzia eta zuzen finkoarekiko θ desplazamendu angeluarra erabiltzen da.

er eta eθ

bektore unitarioak: lehenengoa radialki eta puntu finkoaren urruntze-noranzkoan bideratuta dago; bigarrena lehenengoarekiko elkarzut da eta gorazko θ angeluaren noranzkoan bideratuta dago.Posizioaren, abiaduraren eta azelerazioaren kasuan ekuazioak honako hauek dira:

( ) ( ) θ

θ

θθθθ

errerrra

ererrv

err

r

r

r

&&&&&&&&&

&&&

++−==

+==

=

22

2. legea

0=

=

=

∑∑∑

z

rr

F

amF

amF

θθ

( )( )θθ

θ

θθ&&&&

&&&

rrmamF

rrmamF rr

+==

−==

∑∑

2

2

Ekuazioeskalarrak

-- 1717 --

I.I.T.ren 1. maila:

MEKANIKA I





15.4.2 Mugimendu lerromakurra espazioan

Deskribatzeko hiru koordenatubehar dira eta espazioko koordenatuen hiru sistemetatik bat (kartesiar angeluzuzenak, zilindrikoak edo esferikoak) aukeratu behar da.

Koordenatu kartesiar angeluzuzenak: sistema hau ariketa lauetan erabilitako sistema angeluzuzenaren hedapen zuzena da. Posizioaren, abiaduraren eta azelerazioarenekuazioak honako hauek dira:

kji

kji

kji

zyxra

zyxrv

zyxr

&&&&&&&&

&&&&

++==

++==++=

2. legea

zz

yy

xx

amF

amF

amF

=

=

=

∑∑∑

zmamF

ymamF

xmamF

zz

yy

xx

&&

&&

&&

==

==

==

∑∑∑

Ekuazioeskalarrak

-- 1818 --

I.I.T.ren 1. maila:

MEKANIKA I





Sistema hau ariketa lauetan erabilitako koordenatu polarren sistemaren zuzeneko hedapena da. Posizioaren, abiaduraren eta azelerazioaren ekuazioak honako hauek dira:

2. legea

Ekuazioeskalarrak

( ) ( ) k2

k

k

2 zerrerrra

zererrv

zerr

r

r

r

&&&&&&&&&&&

&&&&

+++−==

++==

+=

θ

θ

θθθθ

zz

rr

amF

amF

amF

=

=

=

∑∑∑

θθ ( )( )zmamF

rrmamF

rrmamF

zz

rr

&&

&&&&

&&&

==

+==

−==

∑∑∑

θθ

θ

θθ 2

2

Koordenatu zilindrikoak:

-- 1919 --

I.I.T.ren 1. maila:

MEKANIKA I






-- 2020 --

I.I.T.ren 1. maila:

MEKANIKA I






15. GAIA: DINAMIKA PUNTUAREN ZINETIKA - Grupo de ... · PDF fileOsagai cartesiar angeluzuzenen...

Documents

Transcript of 15. GAIA: DINAMIKA PUNTUAREN ZINETIKA - Grupo de ... · PDF fileOsagai cartesiar angeluzuzenen...