1.4.TRANSFORMACIONES GEOMETRICAS

DIBUJO TÉCNICO IBLOQUE 1: TRAZADOS GEOMÉTRICOS

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U.D. 4. TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS

1. CONCEPTO Y CLASIFICACIÓNCONCEPTOSon procesos de variación o movimiento de los puntos del plano de forma que se establece una relación entre los elementos origen y los elementos transformados.Diremos que un par de puntos son homólogos cuando se obtengan el uno del otro mediante la aplicación de una transformación en su plano.

CLASIFICACIÓNA. ISOMÉTRICAS.- Son aquellas que conservan las dimensiones y los ángulos entre la

figura original y la transformada:a. TRASLACIÓNb. GIROc. SIMETRÍA:

-Central-Axial

B. ISOMÓRFICAS O CONFORMES.- Son aquellas transformaciones que conservan la forma, es decir, los ángulos de la figura original y la transformada son iguales y las longitudes son proporcionales:

a. HOMOTECIAb. SEMEJANZA

C. ANAMÓRFICAS.- Son aquellas en las que cambia la forma entre la original y la transformada:

INVERSIÓN

2. TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICASA. TRASLACIÓNConcepto.- Transformación isométrica en la cual cada punto de la figura se desplaza a una distancia sobre rectas paralelas a una determinada dirección.Elementos.-

-Dirección-Sentido-Magnitud de traslación

Traslación de una figura.-

B. GIROConcepto.- Transformación isométrica en la que fijado un ángulo y un punto fijo O, se pasa un punto dado A a su homólogo A’, mediante un arco de amplitud igual al ángulo dado y radio igual a la distancia OAElementos.-

-Centro de giro -Ángulo de giro -Sentido de giro (se considera positivo el sentido antihorario)

Giro de un punto.-

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U.D. 4. TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICASGiro de una recta.- Se gira el pie de la perpendicular a la recta desde el centro de giro.

Giro de una figura.- Se giran cada uno de sus vértices.

Giro de una circunferencia.- Basta con girar su centro y trazar una circunferencia igual a la anterior

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C. SIMETRÍAConcepto.- Transformación que se establece entre dos elementos cuyas distancias a un punto fijo, o a una recta, o a un plano son iguales.

C.2. SIMETRÍA CENTRALConcepto.- Transformación isométrica que se establece cuando dos elementos se relacionan del tal forma que se encuentran alineados con un punto fijo, denominado centro de simetría, y a la misma distancia con respecto a él. En la simetría central existe paralelismo entre las rectas correspondientes de las dos figuras.La simetría central equivale a un giro de 180º en el que el centro de giro es el centro de simetría.Elementos.-

-Centro de simetríaSimetría central de un punto.-

Simetría central de una recta.- Basta con determinar el simétrico de un punto y trazar la paralela a la recta dada

Simetría central de una figura.-

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Simetría de una circunferencia.- Basta con hallar el simétrico de su centro y trazar la circunferencia de igual radio a la circunferencia origen.

C.2. SIMETRÍA AXIALConcepto.- Transformación isométrica que se establece cuando dos elementos se relacionan del tal forma que se encuentran sobre perpendiculares a una recta fija denominada eje de simetría, y se encuentran a la misma distancia con respecto a él.Elementos.-

-Eje de simetríaSimetría axial de un punto.-

Simetría axial de una recta.- - La recta corta al eje.- Se determina el simétrico de uno de sus puntos con respecto

al eje y se une este con el punto de intersección de la recta y el eje, pues los puntos contenidos en el eje de simetría son simétricos de sí mismos.

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U.D. 4. TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS- La recta no corta al eje.- Se determina el simétrico de un punto de la recta y se traza su simétrica paralelamente al eje de simetría

Simetría axial de una figura.- Se determinan los simétricos de sus vértices

Simetría axial de una circunferencia.- Basta con hallar el simétrico de su centro con respecto al eje y dibujar la circunferencia con este nuevo centro.

3. TRANSFORMACIONES ISOMÓRFICAS

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U.D. 4. TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICASHOMOTECIAConcepto.- Transformación isomórfica que hace corresponder dos puntos del plano de tal modo que estos se encuentran alineados con otro fijo denominado centro de homotecia y cuyo cociente de distancias al centro de homotecia es constante y como consecuencia de esto las rectas o segmentos homotéticos son paralelos. Este cociente se llama razón de homotecia.

OA/OA´=KElementos.-

Centro de homoteciaRazón de homotecia

HOMOTECIA DIRECTAConcepto.- La razón de homotecia es positiva. Los pares de puntos homotéticos están situados al mismo lado de O.

HOMOTECIA INVERSAConcepto.- La razón de semejanza es negativa. Los pares de puntos homotéticos están situados a distinto lado de O.

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PROPIEDADES DE LAL HOMOTECIAPROPIEDADES GENERALES

- Una recta r que no pasa por el centro de homotecia se transforma en otra r´ paralela.

- La razón entre dos segmentos homólogos es igual a la razón de homotecia. Esto es:

OA/OA´=OB/OB´=AB/A´B´=…=k- Las rectas a y b que pasan por el centro O se transforman en sí mismas

(son dobles). - Los ángulos homólogos son iguales, ya que sus lados son paralelos.

PROPIEDADES DE TRANSFORMACIÓN- Si la razón de homotecia es igual a la unidad (k =1), todos los puntos del

plano son dobles (homólogos de sí mismos) y la transformación es una identidad (las dos figuras coinciden).

- Si la razón de homotecia es k = -1, la transformación es una simetría central de centro O.

- Si el centro de homotecia se encuentra en el infinito (homotecia impropia) y la razón k = 1, la correspondencia geométrica se transforma en una traslación.

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TRAZADO DE FIGURAS HOMOTÉTICASPara dibujar una figura homotética de otra, puede elegirse como centro de homotecia (O) cualquier punto interior a la figura, exterior o del contorno de la misma.

Con el centro O en un punto interior.Cuadrilátero ABCDCentro de homotecia O (en el interior de la figura) Razón de homotecia: k = 1/2

Con el centro O en un punto exterior.Triángulo ABCCentro de homotecia O (en el exterior de la figura)Razón de homotecia en los dos casos posibles:

1.- k = 1/2 ( directa o positiva ).2.- k = -2/3 (inversa o negativa).

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Se define A’ como punto homotético de A, verificándose:

OA/OA’ = 1/2; OA’ = 2OA.Partiendo de conocer A’ se trazan paralelas a los lados y se determina el polígono homotético A’B’C’D’.

Se determina A’ como homotético de A, cumpliéndose que:

OA’ =2OASeguidamente, se trazan paralelas a los lados homólogos hasta completar el triángulo homotético del dado.

Análogamente, el vértice A’’ se obtiene considerando que:

OA’’ =3OA/2 El resto de vértices que determina la figura homotética se consigue trazando, como siempre, paralelas


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Con el centro O en un vértice.Pentágono OABCDCentro de homotecia en el punto O (vértice de la figura)Razón de homotecia: k = 5/3.

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Como en casos anteriores, se comienza por determinar el homotético de un vértice (en la figura A’) que verifica la relación:

OA/OA’ = 5/3.Partiendo de conocer A’ se trazan paralelas a los lados correspondientes, determinando el polígono homotético


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4. IGUALDADConcepto.- Dos figuras son iguales cuando sus lados y sus ángulos son iguales y están igualmente dispuestos.

Construcción de una figura igual a otra dada.-

5. EQUIVALENCIAConcepto.- Dos figuras son equivalentes cuando tienen la misma superficie.

Construcción de figuras equivalentes.- Cambiando el contorno aparente es fácil obtener figuras equivalentes sucesivas con número de lados decreciente.

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Construcción de un triángulo equivalente a un polígono dado.- Se basa en la construcción anterior.

Construcción de un cuadrado equivalente a un pentágono regular.- En primer lugar obtendremos un triángulo isósceles por el método anterior y h abrá que tener en cuenta que el lado l del cuadrado es medio prporcional entre la base b y la mitad de la altura del triángulo hallado.

NOTA.- Algunas designaciones, así como los dibujan se deben completar en las clases.

BIBLIOGRAFÍA

-Dibujo Técnico 1, editorial EDITEX, 1º Bachillerato, Jon Arrate, Francisco Javier Gutiérrez,

José Ramón Gutiérrez, Gaspar Regato

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U.D. 4. TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS-Trazado Geométrico, Mario Gonzáles Monsalve y Julián Palencia Cortés.

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