11 /42/42

Mg. Samuel Oporto Díaz Lima, 16 de Julio 2005

Inferencia en Lógica de Predicados

INTELIGENCIA ARTIFICIAL

22 /42/42

Tabla de Contenido

1. Sustitución.

2. Unificación

3. Reglas de Inferencia con Cuantificadores

4. Formas Canónicas para Resolución

5. Bibliografía

33 /42/42

Objetivos• Exponer los mecanismos de inferencia en lógica

de Predicados.• Presentar los conceptos de Sustitución y

Unificación.• Ampliar la técnica de Resolución a la Lógica de

Predicados• Exponer las reglas de inferencia con

cuantificadores.• Exponer las formas canónicas de la resolución.• Exponer los conceptos del probador de

teoremas (refutación)

44 /42/42

SUSTITUCION

55 /42/42

Término Base (Ground term)

• El término base es:– Una constante

• Taki• Piedra• Pedro

– El resultado de una función donde todas sus entradas son términos base.

• loriana(Lunes)

• policia(Asiri)

66 /42/42

Sustitución

• Se utilizará la notación SUST(, ) para representar el resultado de aplicar la sustitución (o lista de enlace) a la oración , por ejemplo:

= ConcurreA(x, y) GustaDe(x, y) = {x/Juan, y/CursoIA}

• subst( {x/Juan, y/CursoIA}, ConcurreA(x, y) GustaDe(x, y) )

• ConcurreA(Juan, CursoIA) GustaDe(Juan, CursoIA)

• Juan concurre a curso de IA y Juan gusta de curso de IA.

77 /42/42

Sustitución• Dadas las variables x1, x2, ..., xn y los términos t1, t2, .., tn (sin

variables), la sustitución θ es un conjunto de pares ordenados:

θ = {x1/t1, x2/t2,..,xn/tn} (x/t se lee sustituir x por t)

• La operación consiste en, dado un literal α que contiene x1, x2, .., xn, y una sustitución θ, reemplazar en todos los lugares de α donde aparezca xi por ti.

Ejemplo:subst({X/george, Y/tony}, likes(X,Y)) = likes(george, tony)

Los términos de θ no pueden contener símbolos de constantes ni de función que ya estén en α

88 /42/42

Sustitución• Sustitución vacía {}, cuando no modifica la expresión.

• Composición de la sustitución. Es una sustitución tal que αθ1 θ2=(αθ1) θ2.– La composición de sustituciones es asociativa

(θ1 θ2)θ3 = θ1(θ2 θ3)– Pero no conmutativa

θ1θ2≠θ2θ1

• No se puede calcular la composición resultante uniendo simplemente los conjuntos θ1 y θ2, hemos de aplicar primero θ2 a los términos de θ1 y después añadir los pares de θ2 cuyas variables no están entre los de θ1.

99 /42/42

Ejercicios

Sean:

α = F1(x,y), F2(y,w), F3(x,y,z,r)

θ1 = (x/a, y/b, z/w), θ2 = (w/c), θ3 = (r/b)

Calcular: αθ1θ2θ3

αθ1 = F1(a, b), F2(b,w), F3(a, b, w, r)

αθ1θ2 = F1(a, b), F2(b,c), F3(a, b, c, r)

αθ1θ2θ3 = F1(a, b), F2(b,c), F3(a, b, c, c)

1010 /42/42

Ejercicios• Calcular: θ4 = (θ1θ2)θ3 y luego αθ4

θ1 = (x/a, y/b, z/w), θ2 = (w/c), θ3 = (r/b)• θ12= (x/a, y/b, z/c)• θ4 = (x/a, y/b, z/c, r/b)• αθ4 = F1(a,b), F2(b,w), F3(a,b,c,b)

• Calcular: θ4 = θ1(θ2θ3) y luego αθ4

θ1 = (x/a, y/b, z/w), θ2 = (w/c), θ3 = (r/b)• θ23= (w/c, r/b)• θ4 = (x/a, y/b, z/c, r/b)• αθ4 = F1(a,b), F2(b,w), F3(a,b,c,b)

1111 /42/42

EjerciciosEjercicios = monopolio(M) penalizado(M) = {M/LosGarcia}

subst( {M/LosGarcia}, monopolio(M) penalizado(M) )monopolio(LosGarcia) penalizados(LosGarcia)

= realiza(M,W) feo(W) odiado(M) = {M/Hormel, W/Spam}

subst( {M/Hormel,W/Spam} realiza(M,W)feo(W)odiado(M)) realiza(Hormel, Spam) feo(Spam) odiado(Hormel)

1212 /42/42

UNIFICACION

1313 /42/42

Unificación• Lo que hace la rutina de unificación UNIFICAR es

convertir dos oraciones α y β en una sustitución mediante la cual α y β resultan idénticas. De no existir tal unificación, UNIFICAR produce una falla.

• Formalmente:– UNIFICAR(α, β) = , donde SUST(, α) = SUST(, β)

se conoce como el unificador de las dos oraciones.

1414 /42/42

Unificación• Supongamos que tenemos la regla conoce(juan,X) odia(juan,X) “Juan odia a todos los que conoce”

• Y la queremos utilizar como regla de inferencia de Modus Ponens y poder saber a quién odia Juan. Es decir, tenemos que saber a qué oraciones de la base de conocimiento se unifican a conoce(juan,X).

• Supongamos que nuestra base de conocimiento contiene:– conoce(juan,jane)– conoce(Y,leónidas)– conoce(Y,madre(Y))– conoce(X, isabel)

1515 /42/42

Unificación

Al unificar el antecedente de la regla con cada una de las oraciones de la BC obtenemos:conoce(juan,X) odia(juan,X)

UNIFICAR(conoce(juan,X),conoce(juan,jane)) = {X/jane}

UNIFICAR(conoce(juan,X),conoce(Y,leónidas)) = {X/leónidas, Y/Juan}

UNIFICAR(conoce(juan,X),conoce(Y,madre(Y))) = {Y/juan, X/madre(juan)}

UNIFICAR(conoce(juan,X),conoce(X,isabel))= falla

– conoce(juan,jane)– conoce(Y,leónidas)– conoce(Y,madre(Y))– conoce(X, isabel)

1616 /42/42

Unificación• La última unificación falla, porque X no puede tomar el

valor de juan e isabel al mismo tiempo.• De manera intuitiva, sabemos que Juan odia a todos los

que conoce, y que todos conocen a Isabel, por lo que podríamos inferir que Juan odia a Isabel.

• Para resolver este problema, se pueden normalizar por separado las dos oraciones que se van a unificar, lo que significa renombrar las variables de una de ellas (o de ambas) para evitar que haya repetición de nombres:

UNIFICAR(conoce(juan,x1),conoce(x2,isabel))={x1/isabel, x2/juan}

1717 /42/42

Ejercicio: Unificar y Resolver.

1. femenino(ana)2. femenino(X) Λ padre (Y, X) hija(X, Y)3. padre (juan, ana)

1818 /42/42

Ejercicio: Unificar y Resolver.

femenino(ana) femenino(X) Λ padre (Y, X) hija(X, Y)

padre(Y,ana) hija(ana,Y)

hija(ana, juan)

padre (juan, ana)

θ1 = (X/ana)

θ2 = (Y/juan)

1. femenino(ana)2. femenino(X) Λ padre (Y, X) hija(X, Y)3. padre (juan, ana)

1919 /42/42

Tarea• Para cada uno de los siguientes pares de oraciones,

indique el unificador más general, o diga que no existe y explique por qué.

• El unificador más general es el que permite que pocas variables o funciones no sean cambiadas a constantes como sea posible.

1. P(x, y, y) y P(A, f(B), f(z)) 

2. P(x, F(x), A) y P(y, y, z) 

3. P(x, y, z) y Q(A, B, B) 

4. Q(x, F(y, A), z) y Q(A, F(A, A), x) 

5. Q(x, G(y, y), w, F(z, z)) y Q(H(u, v), v, A, F(x, y))

2020 /42/42

Reglas de Inferencia con cuantificadores

2121 /42/42

Reglas de Inferencia con cuantificadores• Reglas de inferencia utilizadas en lógica proposicional:

• También son válidas en la lógica de primer orden, pero se requieren reglas de inferencias adicionales para manejar las oraciones de lógica de primer orden con cuantificadores:– Eliminación Universal– Eliminación Existencial– Introducción Existencial.

Modus ponensY-eliminaciónY-introducciónO-introducción

Doble negación eliminaciónResolución unitariaResolución

2222 /42/42

Eliminación Universal

• Para toda oración , variable v y término de base g :

Por ejemplo, en x le_gusta(x, helado), podemos utilizar la sustitución {x/ben} e inferir que:

le_gusta(ben, helado).

v SUST({v/g},)

Término de Base: Es aquél término en el que no hay variables; es decir, un símbolo constante o un símbolo de función aplicados a algunos términos de base.

2323 /42/42

Eliminación Existencial

• Para toda oración , variable v y símbolo constante k que no aparezca en ninguna parte de la base de conocimientos:

Por ejemplo, en x matar(x, víctima), podemos inferir que matar(asesino, víctima) en tanto que asesino no aparezca en ninguna parte de la base de conocimientos.

v SUST({v/k},)

Es importante que la constante k usada para la sustituir la variable sea una variable nueva

2424 /42/42

Introducción Existencial

• Para toda oración , variable v que no esté en y término de base g que no esté presente en :

Por ejemplo, en le_gusta(jerry,helado) podemos inferir que X le_gusta(X, helado).

v SUST({g/v},)

2525 /42/42

EjemploAxiomas:Es ilegal que un turista venda huacos en Rusia x,y Turista(x) Λ huacos(y) Λ Vender(x,y)=>Infractor(x)

Diego es un turista en RusiaTurista(Diego)

Cada uno de los turistas en Rusia venden algunos huacosx,y Turista(x) Λ Huacos(y) Λ Vende(x,y)

¿Es Diego un infractor?Infractor(Diego)

2626 /42/42

EjemploEliminación Universal: SUST({x/Diego}, )x,y Turista(x) Λ Huacos(y) Λ Vender(x,y)=>Infractor(x) Turista(Diego) Λ Huacos(y) Λ Vender(Diego,y)=>Infractor(Diego)

Eliminación Universal: SUST({x/Diego}, )

x,y Turista(x) Λ Huacos(y) Λ Vende(x,y)Turista(Diego) Λ Huacos(y) Λ Vende(Diego,y)

2727 /42/42

EjemploEliminación Universal: SUST({x/Diego}, )x,y Turista(x) Λ Huacos(y) Λ Vender(x,y)=>Infractor(x) Turista(Diego) Λ Huacos(y) Λ Vender(Diego,y)=>Infractor(Diego)

Eliminación Universal: SUST({x/Diego}, )

x,y Turista(x) Λ Huacos(y) Λ Vende(x,y)Turista(Diego) Λ Huacos(y) Λ Vende(Diego,y)

Turista(Diego) Λ Huacos(y) Λ Vender(Diego,y)=>Infractor(Diego)

Turista(Diego) Λ Huacos(y) Λ Vende(Diego,y)

Infractor(Diego)

2828 /42/42

Formas Canónicas para Resolución

Formas Canónicas: Regla de Resolución

1. Forma normal conjuntiva (CNF). Disyunción de literales.2. Forma normal implicativa (INF). Conjunciones en la

izquierda que implica las disyunciones en el derecho.

• La CNF es más común, pero la INF es más "natural" para el análisis humano.

Original KB CNF INF

x P(x) Q(x)  P(w) Q(w)  P(w) Q(w) 

x P(x) R(x) P(x) R(x) True P(x) R(x)

x Q(x) S(x) Q(y)S(y) Q(y) S(y)

x R(x) S(x) R(z)S(z) R(z) S(z)

A, A B                True A, A B

      B                                 True B

Ejercicio: Unificar y resolver por Resolución.

1. P(w) Q(w)2. Q(y) S(y)3. True P(x) V R(x)4. R(z) s(z)

Ejercicio: Unificar y resolver por Resolución.

1. P(w) Q(w)2. Q(y) S(y)3. True P(x) V R(x)4. R(z) s(z)

3232 /42/42

Probador de Teoremas• Conocido como:

– Refutación.– Demostración por contradicción– Reducción al absurdo

• Consiste en que para demostrar P(x), suponemos que P(x) es falsa (se añade –P(x) a la BD) y se demuestra la contradicción

[BD [BD ΛΛ ¬¬P(x) P(x) Falso] Falso] [BD [BD P(x)] P(x)]

Probador de TeoremasPrueba por refutación: (1). P P (2). (P Q) R P Q R (3). (S T) Q S Q (4). T QProbar R: (5). T T

Probador de TeoremasPrueba por refutación: (1). P P (2). (P Q) R P Q R (3). (S T) Q S Q (4). T QProbar R: (5). T T

P Q R R

P Q

T Q

P

Q

T T

nil

3535 /42/42

Ejercicio: Unificar y resolver por Resolución.

1. -PhD(x) V HQ(x)2. -HQ(x) V Rich(x)3. PhD(x) V ES(x)4. -ES(x) V Rich(x)

Probar Rich(Me)

3636 /42/42

Ejercicio: Unificar y resolver por Resolución.

1. -PhD(x) V HQ(x)2. -HQ(x) V Rich(x)3. PhD(x) V ES(x)4. -ES(x) V Rich(x)5. Probar Rich(Me)

3737 /42/42

Ejemplo

1. x [y animal (y) ama(x,y)] [y ama(y,x)]

2. x [y animal (y) Λ mata(x,y)] [z ¬ama(z,x)]

3. x animal (x) ama(Bush,y)

4. mata(Bush,Fido) V mata(Wolfowitz,Fido)

5. perro(Fido)

6. x perro(x) animal (x)

Probar: mata(Wolfowitz, gato)

7. ¬mata(Wolfowitz, Fido)

3838 /42/42

Ejemplo

Convirtiendo a lógica de predicados:1. [animal (y) ama(x,y)] ama(G, x)

2. [animal (H) Λ mata(x, H)] ¬ama(z,x)

3. animal (x) ama(Bush,y)

4. mata(Bush,Fido) V mata(Wolfowitz,Fido)

5. perro(Fido)

6. perro(x) animal (x)

7. ¬mata(Wolfowitz, Fido)

3939 /42/42

Ejemplo

Convirtiendo a CNF:1. animal (y) V ama(G, x)

2. - ama(x, y) V ama(G, x)

3. -animal (H) V -mata(x, H) V ¬ama(z, x)

4. -animal (x) V ama(Bush, y)

5. mata(Bush, Fido) V mata(Wolfowitz, Fido)

6. perro(Fido)

7. - perro(x) V animal (x)

8. ¬mata(Wolfowitz, Fido)

4040 /42/42

Ejemplo

animal (y) V ama(G, x)

- ama(x, y) V ama(G, x)

-animal (H) V -mata(x, H) V ¬ama(z, x)

-animal (x) V ama(Bush, y)

mata(Bush, Fido) V mata(Wolfowitz, Fido)

perro(Fido) - perro(x) V animal (x)

¬mata(Wolfowitz, Fido)

4141 /42/42

Tarea(1) man(Marcus)

(2) Pompeian(Marcus)

(3) x Pompeian(x) Roman(x)

(4) ruler(Caesar)

(5) x Roman(x) loyalto(x, Caesar) hate(x, Caesar)

(6) x y loyalto(x, y)

(7) x y person(x) ruler(y) tryassassinate(x, y) loyalto(x, y)

(8) tryassassinate(Marcus, Caesar)

¿Marcus era fiel a César?

4242 /42/42

Bibliografía• AIMA. Capítulo 8, primera edición.• AIMA. Chapter 9, second edition.