13 de diciembre de 2015 · Programación Lineal Julio arascaY CEPREUNI 13 de diciembre de 2015...

Programación Lineal

Julio Yarasca

CEPREUNI

13 de diciembre de 2015

Julio Yarasca (CEPREUNI) Programación Lineal 13 de diciembre de 2015 1 / 21

Introducción

Figura: George Dantzing


Conjunto Convexo

Conjunto Convexo

Un conjunto C ⊂ R2 es convexo si para cada par de puntos del conjunto, elsegmento que los une esta incluido en el conjunto.

x1

x2

x1

x2

Conjunto convexo Conjunto no convexo

CS

1

1C es convexo si dados dos puntos cualesquiera x1 y x2 en C , entonces λx1 + (1− λ)x2 ∈ Cpara todo λ ∈ [0, 1].


Propiedades de los conjuntos convexos

1 Si S ,T son conjuntos convexos, entonces S ∩ T es un conjunto convexo.

2 Si S1,S2, · · · ,Sn son conjuntos convexos, entonces

n⋂i=1

Si := S1 ∩ S2 ∩ · · · ∩ Sn

es un conjunto convexo.


Unión?

Veamos que la unión de dos conjuntos convexos no necesariamente es un conjuntoconvexo, sean los conjuntos A y B

A B

claramente convexos pero tenemos que la unión A∪B, no es un conjunto convexo.

A ∪ B

x1 x2


Ejemplos

Ejemplo: Semiplano

El siguiente conjunto es un conjunto convexo

S ={(x , y) ∈ R2 / ax + by ≤ c

}

ax + by ≤ c


Ejemplo: Poliedro

Sea U el conjunto solución del sistema de inecuacionesx + y ≤ 100x + 4y ≤ 160x + 2y ≤ 110

x ≥ 0y ≥ 0

es un conjunto convexo.


Problema de Programación lineal

Un problema de programación lineal PPL (en dos variables) consiste en maximizaro minimizar (es decir, optimizar) una función f (llamada función objetivo) de laforma

z = f (x , y) = ax + by

sujeta a las restricciones (�s.a�)

(1)

a1x + b1y ≤ c1a2x + b2y ≤ c2

...anx + bny ≤ cn

y

(2)

{x ≥ 0y ≥ 0

llamadas restricciones de vínculo y de no negatividad, respectivamente, alconjunto solución de (1) y (2) se le conoce como región admisible.


Ejemplo

Sea el PPLmáx f (x , y) = 4x + ys.a

x + y ≤ 6−x + 2y ≤ 8

x ≥ 0y ≥ 0

Gra�que la región admisible.

(6, 0)

(43 ,

143

)(0, 6)

(0, 0)

región admisible


Puntos del conjunto admisible

Una solución factible o admisible de un PPL, es todo par ordenado (x , y)que pertence a la región admisible.

Una solución óptima de un PPL, es una solución factible que optimiza lafunción objetivo.

Si (x0, y0) es una solución óptima de un PPL, f (x0, y0) es llamado valor

óptimo.


Teorema

Teorema Fundamental de la Programación Lineal

Si un PPL tiene valor óptimo, tal valor es alcanzado por lo menos en un vértice dela región admisible; y si este valor óptimo se alcanza en dos vértices A,B tal valorse logra en todo el segmento de extremos A y B.

Este teorema nos brinda una herramienta para poder resolver los problemas deprogramación lineal.

Método Analítico

Consiste basicamente de dos pasos

1 Gra�car la región admisible y encontrar los vertices.

2 Evaluar la función objetivo en cada vertice y encontrar cual maximiza ominimiza la función.


Ejemplo

Sea el PPLmáx f (x, y) = 4x + ys.a

x + y ≤ 100x + 4y ≤ 160x + 2y ≤ 110x ≥ 0, y ≥ 0

La región admisible es

(100, 0)

(90, 10)

(60, 25)

(0, 40)

(0, 0)

Region Admisible

vértices (x, y) f(x,y)=4x+y(0; 0) 0(0; 40) 40(60; 25) 265(90; 10) 360(100; 0) 400

Por lo tanto el máximo se obtiene en el punto (100, 0)


Región acotada

Región admisible acotada

Una región admisible es acotada si alrededor del origen existe una cirfunferenciaque lo contenga.

Sea el PPL

máx f (x , y) = 4x + ys.a

x + y ≤ 6−x + 2y ≤ 8

x ≥ 0y ≥ 0

(6, 0)

(4

3,14

3

)(0, 6)

(0, 0)

Región admisible acotada


Sea el PPL

máx f (x , y) = 4x + ys.a

4y − x ≤ 32−x + 2y ≤ 12

x ≥ 0y ≥ 0

Región admisible no acotada(0,6)

(8,10)

(0,0)


Teorema

Teorema de representación

En un PPL si la región admisible es no vacía entonces el conjunto de sus vérticeses un conjunto no vacío y �nito.

Como cololario tenemos

1 En un PPL si la región admisible es acotada y no vacía, entonces el problematiene solución.

Propiedad

Sobre cualquier región admisible tenemos

máximo ax + by = −mínimo − (ax + by)


Método geométrico

Sea el problema máx F (x , y) = ax + by sobre cualquier región admisible.

1 Gra�camos la región admisible.

2 Gra�camos la rectas ax + by = k y las movemos en la direción (a, b) tantocomo sea posible .

En caso de un problema de minimización las rectas las movemos tanto como seaposible en la direción (−a,−b), es decir en la direción opuesta.


Ejemplo

Sea el problema

máx f (x , y) = x + 2ys.a

x − 2y ≥ −10x + 4y ≤ 10

x ≥ 0y ≥ 0

Entonces la región admisible es:

(100, 0)

(90, 10)

(65, 25)

(0, 40)

(0, 0)

(5, 0)

(2, 6)

(0, 5)

región admisible


Gra�camos las rectas x + 2y = z y la movemos hasta en la direción2 (1, 2) tantocomo sea posible.

(100, 0)

(90, 10)

(65, 25)

(0, 40)

(5, 0)

(2, 6)

(0, 5)

(0, 0)

(1, 2)

Por lo tanto la solución es el punto (2, 6)

2En el caso de un problema de minimización es en la dirección opuesta.Julio Yarasca (CEPREUNI) Programación Lineal 13 de diciembre de 2015 18 / 21

Otra forma

1 Gra�camos la región admisible.

2 Gra�camos la rectas con dirección (−b, a) que pasan por los puntosextremos3.

3 Se observa en qué vértice la función objetivo se hace máxima (o mínima) soloteniendo en cuenta cuál de las rectas corta en un punto mayor (o menor) aleje y.

3Es decir, sea (x0, y0) una punto extremo, gra�camos la recta ax + by = ax0 + byoJulio Yarasca (CEPREUNI) Programación Lineal 13 de diciembre de 2015 19 / 21

Ejemplo

En el problema anterior

máx f (x , y) = x + 2ys.a

x − 2y ≥ −10x + 4y ≤ 10

x ≥ 0y ≥ 0

(100, 0)

(90, 10)

(65, 25)

(0, 40)

(0, 0)

(−2, 1)

(5, 0)

(2, 6)

(0, 5)

(0, 7)

(0, 2,5)

Por lo tanto

la solución es (2, 6)


Bibliografía

1 Programación y �ujos de redes, Mokhtar Bazaraa.

2 Que es la programación lineal, Barsov.

3 Técnicas de Cálculo para Sistemas de Ecuaciones, Programación Lineal yProgramación Entera, Jose Luis de la Fuente O'Connor.

Gracias por su tiempo.


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