1

Método SimplexMétodo Simplex

Simplex TableauSimplex Tableau

2

IntroducciónIntroducción

● El método simplex como fue descrito anteriormente resulta muy ineficiente computacionalmente: Muchas operaciones redundantes y algunas operaciones computacionalmente costosas como invertir la matrix B.

● La "Simplex Tableau" es una forma de realizar todas las operaciones del método simplex de forma muy eficiente.

3

Simplex TableauSimplex Tableau

● La estructura general es la siguiente:

-Z ck - cBB-1Ak

xiB B-1Ak

Valoresde las

variablesbásicas

Negacióndel valoróptimo

Reduccióndel costo

∆xiB

4

DescripciónDescripción

● n: Número de variables

● m: Número de restricciones

● La "Tableau" tiene n+1 columnas y m+1 filas.

● Filas y columnas se numeran desde 0.

5

InicializaciónInicialización

● Se debe determinar una base inicial (más detalles posteriormente).

● Se inicializan las entradas Tij con los valores

correspondientes:

● Reducción de costo en fila 0

● Valores de la base inicial columna 0

● B-1Ak las columnas k=1..n (cuando B es la matriz identidad, estas son las mismas columnas de A).

● -Z=0

6

IteraciónIteración

● Si todas las reducciones de costo son positivas, terminar.

● Seleccionar una xk correspondiente a la columna k

con reducción de costo negativa para que entre a la base.

● Se calculan las razones xi/∆x

i para la columna k en las

filas con ∆xi>0. La mínima es el valor λ que toma x

k.

● Se actualizan los costos reducidos y los componentes B-1Ak.

7

Actualización de la Tablaeu:Actualización de la Tablaeu:Forma canónicaForma canónica

Forma canónica: La submatriz B es la matriz identidad.

● Supongamos que xk entra a la base, y x

h sale.

● Se divide la fila h por Thk

. Esto garantiza que Thk

sea uno.

● Para todas las filas i≠h, se multiplica la fila h por T

ik y se resta de la fila i. Esto hace los

valores Tik=0. (Pivotar)

9

Justificación fila 0 - (2)Justificación fila 0 - (2)

● Al llevar a la forma canónica la columna de la variable z, la fila cero equivale a la ecuación:

● Se observa además que T0i=0 para i correspondiente

a las variables básicas, y que xj=0 para las variables

básicas. Por lo tanto la canolización arroja el valor

z=Z

que es solución de (*), y que por lo tanto corresponde al negativo del valor óptimo correspondiente a la base actual.

10

EjemploEjemplo

● Retomemos el problema previamente analizado:

11

Configuración inicialConfiguración inicial

● La base inicial es {x4, x

5, x

6}

-Z x1

x2

x3

x4

x5

x6

0 5 -10 8 0 0 0

x4

10 1 3 2 1 0 0

x5

20 -2 4 1 0 1 0

x6

5 1 -1 10 0 0 1

(Observar que cB son ceros, por lo tanto las reducciones de costo coinciden con ck)

12

Primera iteraciónPrimera iteración

● T02

=-10 es el único coeficiente que reduce el costo:

Entra x2

● Las razones xi/∆x

i correspondientes a k=2 y ∆x

i>0 son

10/3 y 20/4. El mínimo es λ=3.33 y la variable que sale es x

4.

-Z x1

x2

x3

x4

x5

x6

0 5 -10 8 0 0 0

x4

10 1 3 2 1 0 0

x5

20 -2 4 1 0 1 0

x6

5 1 -1 10 0 0 1

13

Actualización del TableauActualización del Tableau

● fila1=fila

1/3

● fila0=fila

0-T

0k*fila

2

● fila2=fila

2-T

2k*fila

2

● fila3=fila

3-T

3k*fila

2

-Z x1

x2

x3

x4

x5

x6

33.3 8.33 0 -1.33 3.33 0 0

x2

3.33 0.33 1 0.67 0.33 0 0

x5

6.67 -3.33 0 -2.67 -1.33 1 0

x6

8.33 1.33 0 10.67 0.33 0 1

Base = { x2, x

5, x

6 }

14

Segunda iteraciónSegunda iteración

● Si x3 entra a la base, se reduce el costo.

● Las razones xi/∆x

i son 3.33/0.67=5 y 8.33/10.67=0.78.

El mínimo es λ=0.78 y sale x6.

● Se actualizan el Tableau y se obtiene

-Z x1

x2

x3

x4

x5

x6

34.37 8.5 0 0 3.38 0 0.13

x2

2.81 0.25 1 0 0.31 0 -0.06

x5

8.75 -3.00 0 0 -1.25 1 0.25

x3

0.78 0.13 0 1 0.03 0 0.09

Por lo tanto el valor óptimo es -34.37 y el optimizador es x=(0, 2.81, 0.78, 0, 8.75, 0)

15

Obtención de una BFS inicialObtención de una BFS inicial

● Cuando se agregan m variables slack adicionales la elección de la base inicial es trivial. Qué hacer cuando no?

● Una solución general a este problema es el método de las variables artificiales, o de las dos

fases.

16

Método de las variables artificialesMétodo de las variables artificialesFase 1Fase 1

● Se agregan m variables artificiales al Tableau, xia.

● Fase 1: Se resuelve el problema minimizando la función

17

Método de las variables artificialesMétodo de las variables artificiales

● Se pueden presentar 3 casos:

● ε=0 y todas las xia se hacen 0 (se remueven de la base), y la base

restante es una base del problema original.

● ε>0, indicando que el problema original no es factible. Si el

problema original es factible, el mínimo valor de ε es cero.

● ε=0 pero algunas xia aparecen en la solución.

● Se se da el 1er caso, se borran las columnas correspondientes a xia

(estas variables son ceros), se reemplaza la fila 0 y se continua el método simplex.

● En el 3er caso, se puede "pivotar" una variable original (tal que

∆xi≠0) no presente en la base para reemplazar x

ia. La nueva variable

toma el valor λ=0, por lo que no afecta el valor de la fila 0.

18

Método de las variables artificialesMétodo de las variables artificialesFase 2Fase 2

● Si el problema es factible, la fase 1 siempre arroja como resultado una BFS para el problema original con sus valores.

● Con esta base se procede a resolver el problema original.

19

Situaciones EspecialesSituaciones Especiales

20

Base DegeneradaBase Degenerada

● Si la columna 0 contiene valores 0, se dice que la base actual es una base degenerada.

● En este caso, xk=0 puede entrar a la base

reemplazando a xi, aunque el punto x∈ℝn sigue

siendo el mismo.

xk

-Z

xi

0 ∆xi>0

21

Columna k es negativaColumna k es negativa

● Si todos los valores de ∆xi son negativos,

entonces la variable xk se puede hacer tan

grande como se quiera sin violar ninguna restricción.

● En este caso, el espacio factible no está acotado y se dice que el valor óptimo es -∞.

xk

-Z

xi ∆x

i<0

22

Solución NuméricaSolución Numérica

● Matlab Optimization Toolbox ofrece la siguiente función para resolver problemas de optimización lineal:

● Para detalles completos visitar:

http://www.mathworks.com/help/toolbox/optim/ug/linprog.html

[x,fval] = linprog(c,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)

23

El ejemplo anteriorEl ejemplo anterior

● Asi se puede codificar

y retorna el resultado:

A= [ 1 3 2

-2 4 0

1 -1 10 ];

b = [ 10 20 5 ]';

c = [ 5 -10 -8 ];

lb = zeros(3,1);

[x, fval, exitflag] = linprog(c,A,b,[],[],lb)

x =

0.0000

2.8125

0.7812

fval =

-34.3750