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• Observa la imagen del escritorio durante aproximada-mente 30 segundos.
• Elabora una lista de diez palabras o frases sobre cual-quier aspecto de la imagen.
• Observa de nuevo la imagen durante 30 segundos y añade diez palabras o frases más.
• Poned en común y comentad vuestras respuestas.
Rutina de pensamientoMIRAR:10 VECES 2
Inicialmente, el ser humano representaba los números naturales mediante marcas en piedras, huesos, made-ras... en los que cada una de ellas hacía referencia a un elemento. A medida que tuvo la necesidad de representar números más grandes, creó sistemas de numeración que permitirían representarlos de forma más rápida y fácil.
En la actualidad, los números naturales, ademas de para contar, se utilizan también para estimar cantidades, orde-nar elementos y codifi car informaciones.
CONTENIDOS
1. Sistemas de numeración
2. El conjunto de los naturales
3. Técnicas de cálculo
Cre@ctividad Creación de una calculadora simultánea
NÚMEROS Y ÁLGEBRA1 Números naturales
13
14 Unidad 1
1. Sistemas de numeraciónA lo largo de la historia, diferentes civilizaciones han desarrollado distintos siste-mas para representar cantidades.
Observa los símbolos que utilizaban los egipcios, los babilonios y los romanos.
Combinando estos símbolos y utilizando reglas específicas podían escribir cual-quier número.
Observa cómo representaban el número 1664 en las tres civilizaciones anteriores:
1. Representa las siguientes cantidades en los sistemas de numeración egipcio, babilonio y romano:
a) 12 b) 25 c) 250 d) 1 350
2. Elabora una lista con las ventajas y los inconvenientes de los sistemas anteriores.
— ¿Qué característica debe tener un sistema para que sea eficaz a la hora de representar cualquier número natural?
3. En la siguiente página encontrarás información sobre diversos sistemas de numeración:
http://links.edebe.com/9mde
— ¿Cuándo se introdujo el símbolo del 0?
— ¿Aparece el 0 en el sistema de numeración griego? ¿Y en el maya?
4. En grupo, cread un sistema de numeración con los sím-bolos y las reglas necesarios para poder representar cualquier cantidad. Comprobad su validez escribiendo distintas cantidades.
El conjunto de símbolos y reglas que permiten escribir y leer cualquier núme-ro se denomina sistema de numeración.
Activid
ades
Los egipcios (3000 a. C.)
1001098765432
1 000 000100 00010 0001 000
Los babilonios (2000 a. C.)
6 7 8 9 10
20 30 40 50
1 32 4 5
Los romanos (500 a. C.)
6 7 8 9
1
10
3
100
2
50
4
500
5
1 000
+ 1 000 = 1 664
10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 +
100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 +
4 +
(20 + 7) × 60 + 44 =
= 1 620 + 44 =
= 1 664
1 000 + 500 + 100 + 50 + 10 + 4 =
= 1 664
15Números naturales
1.1. Sistema de numeración decimalEl sistema de numeración decimal fue introducido en Europa en el siglo xiii por un des-tacado matemático de la época: Leonardo Fibonacci.
•Para representar los distintos números se utilizan los símbolos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9, denominados cifras o dígitos.
•El valor de estas cifras varía según la posición que ocupan dentro de cada número. Se trata, por lo tanto, de un sistema de numeración posicional.
Observa el valor de las cifras del número 223:
Diez unidades de un orden forman una unidad del orden inmediatamente su-perior. De ahí el nombre de sistema de numeración decimal.
A continuación, puedes ver en esta tabla los diferentes órdenes de unidades, has-ta las unidades de millón, y su valor en unidades.
•Así, podemos descomponer el número 4 248 759 de la siguiente forma:
4 248 759 = 4 × 1 000 000 + 2 × 100 000 + 4 × 10 000 + 8 × 1 000 + 7 × 100 + 5 × 10 + 9
Se lee cuatro millones doscientos cuarenta y ocho mil setecientos cincuenta y nueve.
Decena de millar (DM)
10 000
Centena de millar (CM)
100 000
Centena (C)
100
Decena (D)
10
Unidad (U)
1
Unidad de millón (UMM)
1 000 000
Unidad de millar (UM)
1 000
ORDEN DE LA UNIDAD
VALOR
5. ¿El sistema de numeración egipcio es posicional o no posicional? ¿Y el babilónico? ¿Y el romano?
6. Escribe un número de cuatro cifras en el que el 5 ocupe el lugar de las centenas y el 3, el de las unidades de mi-llar.
7. Observa los órdenes de unidades del número 3 546:
3 UM 5 C 4 D 6 U
— Ahora escribe los órdenes de unidades de cada una de las cifras de estos números:
a) 7 892 b) 9 034 c) 216 314 d) 3 456 245 e) 5 378 167
Activid
ades
200 unidades
2 centenas = (2 C)
20 unidades 3 unidades
+ +
=
10 unidades = 1 decena
=
10 decenas = 1 centena
2 decenas = (2 D) 3 unidades = (3 U)
El sistema de numeración de-cimal fue inventado en la India y popularizado por los árabes. Es por ello que se conoce como sistema de numeración indo-arábigo.
16 Unidad 1
2. El conjunto de los naturalesPara contar, asociamos números a los objetos.
Con los números naturales podemos efectuar distintas operaciones. Repasare-mos primero la suma, la resta, la multiplicacion y la división. Luego trabajaremos las potencias y la raiz cuadrada.
2.1. Suma y restaSumar consiste en agregar una cantidad a otra.
Ejemplo 1Irene tiene ahorrados 248 euros y Elena, 345. ¿Cuánto dinero tienen entre las dos?
248+ 345
593
Restar es la operación contraria a la suma y consiste en quitar o sustraer una cantidad de otra.
Los números naturales son los números que utilizamos para contar y for-man un conjunto, el conjunto de números naturales, que representamos por la letra N.
N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12...}
Asociativa
Conmutativa
Si cambiamos el orden de los sumandos, el resultado no varía:
a + b = b + a
24 + 22 = 22 + 24
46 = 46
El resultado no depende de la forma en que se agrupen los sumandos:
(a + b) + c = a + (b + c)
(24 + 22) + 25 = 24 + (22 + 25)
46 + 25 = 24 + 47
71 = 71
PROPIEDAD ENUNCIADO EJEMPLO
8. Efectúa las siguientes operaciones:
a) 1 235 695 + 236 528 c) 532 214 − 125 638
b) 1 234 672 − 1 027 754 d) 23 456 + 456 782
— Comprueba el resultado de las restas aplicando la prueba de la resta.
9. Explica de dos formas distintas cómo resolverías esta operación: 1 325 + 75 + 5 698.
— ¿Qué propiedad has aplicado?
10. ¿Cumple la resta la propiedad conmutativa? ¿Y la pro-piedad asociativa? Razona tus respuestas.
La prueba de la resta
En toda resta se cumple:
Sustraendo+ Diferencia
Minuendo
Así, 428 + 579 = 1 007
√
√
Activid
ades
Características del conjunto de los números naturales
• El primer elemento es el nú-mero 1.
• Cada elemento se obtiene del anterior al sumarle una uni-dad.
1 2...143 144...3 256 3 257
• Sus elementos están ordena-dos ya que cada número es mayor que el anterior.
… 215 < 216 < 217…
• El número de elementos del conjunto es ilimitado.
+1 +1 +1
Ejemplo 2La distancia de Sevilla a San Sebastián es de 1 007 km. Si ya hemos recorrido 428 km, ¿cuántos kilómetros nos faltan para llegar?
1 007− 428
579
MinuendoSustraendo
Resta o diferencia
17Números naturales
2.2. MultiplicaciónMultiplicar consiste en sumar una misma cantidad cierto número de veces.
Ejemplo 3
Una estantería de la biblioteca tiene 24 estantes. Si en cada estante colocamos 56 libros, ¿cuántos li-bros hay en la estantería?
24× 56
144120
1 344
FactorFactor
Productosintermedios
Producto
La multiplicación de números naturales tiene las siguientes propiedades:
Factor ComúnLa propiedad distributiva puede aplicarse para transformar una suma de produc-tos con un factor común en el producto de dicho factor por una suma. Dicha operación se denomina sacar factor común.
2 × 9 + 2 × 5 = 2 × (9 + 5)
11. Efectúa estas multiplicaciones:
a) 3 456 × 296 c) 97 532 × 26
b) 325 × 9 997 d) 329 × 8 976
12. Resuelve aplicando la propiedad distributiva:
a) 2 × (45 + 70) b) 5 × (15 − 11)
13. Resuelve sacando factor común:
a) 125 × 5 + 300 × 5 c) 3 × a + 3 × b
b) 42 × 4 − 4 × 25 d) 5 × b + 5
14. Manuel tiene ahorrados, tres billetes de 10 ∑ y tres bille-tes de 5 ∑. Calcula cuánto dinero tiene ahorrado de dos formas distintas.
Activid
ades
Conmutativa
Asociativa
Elemento unidad
Distributiva de la multiplicación respecto de la suma
Si cambiamos el orden de los factores, el resultado no varía:
a × b = b × a
12 × 3 = 3 × 12
36 = 36
El producto de un número por una suma (o resta) es igual a la suma (o resta) de este número por cada sumando (o sustraendo).
a × (b + c) = a × b + a × c
a × (b − c) = a × b − a × c
El resultado no depende de la forma en que se agru-pen los factores:
(a × b) × c = a × (b × c)
El 1 es el elemento unidad de la multiplicación, pues al multiplicar cualquier número por 1 se obtiene el mismo número.
a × 1 = a
(9 × 3) × 4 = 9 × (3 × 4)
27 × 4 = 9 × 12
108 = 108
34 × 1 = 34
3 × (7 + 4) = 3 × 7 + 3 × 4
3 × 11 = 21 + 12 → 33 = 33
3 × (7 − 4) = 3 × 7 − 3 × 4
3 × 3 = 21 − 12 → 9 = 9
PROPIEDAD ENUNCIADO EJEMPLO
√
√√
√√
18 Unidad 1
2.3. División Dividir consiste en repartir una cantidad en partes iguales.
Ejemplo 4
Susana quiere repartir 125 fotografías y 153 postales en 25 cajas de modo que cada caja contenga el mismo número de fotografías y postales. ¿Cuántas de cada tipo debe poner en cada caja?
Susana pondrá 5 fotografías en cada caja y no le sobrará ningu-na fotografía.
Susana pondrá 6 postales en cada caja y le sobrarán 3 postales.
125 fotografías en 25 cajas.
REPARTO DE:
153 postales en 25 cajas.
Dividendo
Resto
Divisor
Cociente
125 25
50
Dividendo
Resto
Divisor
Cociente
153 25
53
División exacta División entera
Comprobamos que esta condición se cumple en las dos divisiones anteriores.
Divisor × Cociente + Resto == Dividendo
25 × 5 + 0 = 125
Divisor × Cociente + Resto == Dividendo
25 × 6 + 3 = 150 + 3 = 153 √ √
Decimos que una división es exacta si el resto es 0.
Decimos que una división es entera si el resto es distintode 0.
División entera
• Ten en cuenta que en toda división entera el resto es mayor que 0 y menor que el
divisor.
0 < Resto < Divisor
• En una divisón entera no es posible repartir una canti-dad en tantas partes igua-les como indica el cociente. El resto indica las partes que sobran.
15. Calcula estas divisiones e indica si son exactas o enteras.
a) 2 422 : 56 c) 3 892 123 : 531
b) 1 326 : 26 d) 56 850 869 : 589
16. Efectúa las divisiones y verifi ca que se cumple la prueba de la división.
a) 345 678 : 98 b) 1 009 876 : 456
17. En una división entera el divisor es 474, el cociente 5 295 y el resto 83. ¿Cuál es el dividendo?
18. ¿Cumple la división la propiedad conmutativa? ¿Tiene elemento unidad? Razona tus respuestas.
19. Un profesor reparte 176 fi chas, en partes iguales, entre sus 24 alumnos. ¿Cuántas fi chas le sobrarán? ¿Cuántas fi chas recibirá cada alumno?
En toda división se cumple que:
Divisor × Cociente + Resto = Dividendo
Cociente
Divisor
Cociente
Activid
ades
19Números naturales
2.4. Operaciones combinadasA veces nos encontramos con varias operaciones distintas seguidas, separadas en algunos casos por paréntesis. Se trata de operaciones combinadas.
5 × 4 + 3 42 − 24 : 4 × 5 3 + 5 × (4 + 2)
¿En qué orden debemos efectuar estas operaciones?
En algunas operaciones combinadas encontramos paréntesis dentro de otros paréntesis. En estos casos los paréntesis exteriores se representan por corche- tes [ ].
Efectúa la siguiente operación combinada:
[18 + 4 × (5 × 3 − 9)] : 2 − 3 × (20 − 14)
COMPRENSIÓN:
En este caso aparecen paréntesis y corchetes. Comenzamos operando del más in-terno al más externo.
RESOLUCIÓN:
— Primero, efectuamos las operaciones indicadas en el paréntesis interior y susti-tuimos los corchetes por paréntesis:
(18 + 4 × 6) : 2 − 3 × (20 − 14)
— Después, efectuamos las operaciones que están dentro de los paréntesis y, a continuación, procedemos como en las operaciones combinadas sin paréntesis:
42 : 2 − 3 × 6 = 21 − 18 = 3
Eje
mp
lo 5
20. Efectúa estas operaciones combinadas:
a) 3 + 7 − 3 × (6 − 4) + 3 c) 250 − 12 × 28 + 4 × (28 − 7)
b) [(5 + 12) × 6] : 34 d) 5 625 − [(200 − 50) × 20] : 40
21. Completa en tu cuaderno con el número que falta:
a) 4 × ..... − 2 + 4 = 14 c) 2 × 3 + ..... − 3 × 2 = 5
b) 3 × (..... − 5) + 6 = 9 d) 3 × (..... − 5) + 2 × (..... − 2) = 11
22. Dos amigos han instalado un chiringuito de venta de li-monada en la playa. Al final de la semana han recaudado cinco billetes de 10 ∑, cuatro billetes de 5 ∑ y cuatro monedas de 2 ∑:
a) ¿Cuánto dinero ganaron en total?
b) Si se repartieron el dinero en partes iguales, ¿qué cantidad ganó cada uno?
c) ¿Cómo expresarías lo que ganó cada uno en una ope-ración combinada?
12
Si no hay paréntesis, efectuamos primero las multiplicaciones y las divisiones, en el orden en que aparecen, y después las sumas y las restas.
Si hay paréntesis, debemos efectuar primero las operaciones indicadas dentro de ellos.
Paréntesis
Multiplicación
Suma
Multiplicación
Suma
23
División
Multiplicación
Resta
42 − 24 : 4 × 5
4 − 30
42 − 6 × 5
5 × 4 + 3
20 + 3
3 + 5 × (4 + 2)
33
3 + 30
3 + 5 × 6
Calculadora
La calculadora puede serte útil para efectuar operaciones con números grandes y para compro-bar tus resultados.
La mayor parte de las calculado-ras actuales respetan la prioridad de operaciones.
Por ejemplo, para efectuar la ope-ración combinada
288 : (8 − 4) + 23
es necesario teclear en tu calcula-dora los paréntesis:
— ¿Qué sucedería si no los pusie-ras?
12
Activid
ades
20 Unidad 1
BasePotencia
Exponente
2.5. PotenciasComo ya sabes, la multiplicación se define a partir de sumas de sumandos igua-les. Análogamente, a menudo conviene efectuar productos de factores iguales, denominados potencias.
El cubo de la imagen tiene cuatro pisos. Cada piso tiene cuatro filas de cuatro cubitos cada una. Así, el cubo mayor está formado por:
4 × 4 × 4 = 64 cubitos
Escritura de potenciasEl número que indica la base se escribe al mismo nivel y tamaño de letra que la línea del texto y el exponente se escribe a la derecha, como superíndice.
4 × 4 × 4 = 4 3
Así, la solución del ejemplo anterior se puede escribir:
1 + 3 + 32 + 33 + 34 + 35
Lectura de potenciasLas potencias cuyo exponente es mayor que 3, como por ejemplo 68, se leen:
6 elevado a 8 o bien 6 elevado a la octava potencia
23. Escribe en forma abreviada los siguientes productos. Identifica en cada caso la base y el exponente, y calcula:
a) 4 × 4 × 4 × 4 × 4
b) 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3
24. Expresa en forma de producto de factores iguales y cal-cula:
a) 23 = 2 × 2 × 2 = 8 c) 31 e) 25
b) 35 d) 73 f) 52
Una potencia es un producto de factores iguales.
El factor que se repite es la base.
El número de veces que se repite el factor es el exponente.
Cuadrados y cubos
Las potencias de exponente 2 se denominan cuadrados. Así, 72 se lee 7 elevado al cuadrado.
Las potencias de exponente 3 se denominan cubos. Así, 53 se lee 5 elevado al cubo.
Ana recibe un sms. En un minuto reenvía el sms a Benito, Carlos y Diana. Cada uno de ellos, en un minu-to, envía el sms a otras tres personas y así sucesivamente. Si todas las personas que reciben el sms son diferen-tes y cada una lo envía a otras tres personas en un minuto, ¿cuántas personas reciben el sms al cabo de 5 minutos?
COMPRENSIÓN: Un esquema o dibujo de la situación puede ayudarnos en la identificación de datos y en la resolución.
— En el primer minuto reciben el sms 3 per-sonas, en el segundo minuto 3 × 3 , en el tercero 3 × 3 × 3 y así sucesivamente.
RESOLUCIÓN:
Al cabo de 5 minutos han recibido el sms:
1 + 3 + 3 × 3 + 3 × 3 × 3 + 3 × 3 × 3 × 3 + 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 364
Transcurridos 5 minutos, 364 personas habrán recibido el sms.
Eje
mp
lo 6
Activid
ades
... ... ...
21Números naturales
Potencias de 10 Fíjate en el resultado de algunas potencias de 10:
105 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 100 000
108 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 100 000 000
En cada caso el número de ceros es igual al exponente.
Toda potencia de 10 cuyo exponente es un número natural es igual a la unidad seguida de tantos ceros como indica el exponente.
Las potencias de 10 son muy útiles puesto que nos permiten mostrar el orden de magnitud de cantidades muy grandes.
Observa el siguiente número:
8 × 1022 = 80 000 000 000 000 000 000 000
La expresión que usa la potencia de 10 nos permite reconocer el orden de mag-nitud del número; es decir, cuántas cifras tiene, mucho más rápida y claramente que su expresión completa.
Además, la sencillez de su expresión permite su empleo como elemento fun-damental en el sistema de representación de los números que se conoce como notación científi ca.
Descomposición polinómica de un númeroCualquier número formado por una o varias cifras puede expresarse como una combinación de potencias de 10. Así:
7 654 = 7 × 103 + 6 × 102 + 5 × 10 + 4
Esta expresión recibe el nombre de descomposición polinómica del número7 654.
25. Completa:
a) 103 = 10 × 10 × 10 = .........................
b) 104 = .................................................. = 10 000
c) ......... = .................................................. = 10 000 000
26. Escribe las descomposiciones polinómica de estos números:
a) 1 537 b) 9 007 163 c) 15 318
27. Expresa las siguientes distancias como produc-to de un número por una potencia de 10:
a) De la Tierra al Sol, 150 000 000 km.
b) De la Tierra a Marte, 78 000 000 km.
c) De la Tierra a la estrella Alfa de Centauro,40 000 000 000 000 km.
Orden de magnitud
El orden de magnitud de un nú-mero es la aproximación a la po-tencia de 10 más próxima a este número. Por ejemplo, el orden de magnitud de 1 273 es 103.
¿Grande o muy grande?
Acércate al mundo de las mag-nitudes estelares.
http://links.edebe.com/s6dr9d
— Expresa los diámetros de los planetas y las estrellas que se presentan en los ví-deos como producto de un número por una potencia de 10.
— Compara los diámetros de los planetas y las estrellas con el diámetro del Sol.
7 654
600
6 × 100
6 × 102
50
5 × 10
5 × 10
4
4
4
7 000
7 × 1 000
7 × 103
Activid
ades
22 Unidad 1
Operaciones con potencias En las operaciones combinadas, las potencias, dado que son productos de fac-tores iguales, tienen prioridad respecto a las sumas y restas.
Observa el ejemplo siguiente:
Veamos dos casos particulares de potencias.
28. Calcula:
a) 2 × 34 + (2 + 3)4 − 42 + 1
b) 26 : 42 + 30 × 41
29. Razona, escribiendo todos los factores, que:
54 × 56 = 510
30. Resuelve según el modelo:
a) 42 × 43 = 42 + 3 = 45 = 1 024
b) 51 × 52 = 5.... = 5.... = .......
c) 24 : 23 = ....... = ....... = .......
d) 36 : 32 = ....... = ....... = .......
El producto de potencias con la misma base es otra potencia con la misma base cuyo exponente es la suma de los exponentes.
am × an = am + n
Cualquier potencia de exponen-te 0 es igual a 1.
a0 = 1
Cualquier potencia de exponente 1 es igual a la base.
a1 = a
El cociente de potencias con la misma base es otra potencia con la misma base cuyo exponente es la di-ferencia de los exponentes.
am : an = am − n
Producto de potencias
Puesto que 100 = 1 y 101 = 10, podemos expresar todas las ci-fras de cualquier número como producto de potencias de 10. Así:
7 654 = 7 × 103 + 6 × 102 + + 5 × 101 + 4 × 100
Activid
ades
Paréntesis
Potencias y Multiplicaciones
5 × 103 − 3 × (52 + 25) + 24 × 42
5 × 103 − 3 × 57 + 24 × 42
5 000 − 171 + 256 = 5 085
Eje
mp
lo 7
Multiplicación de potencias con la misma base
7 2 × 73 = 7 × 7 × 7 × 7 × 7 = 75 = 7 2 + 3
División de potencias con la misma base
117 : 114 =11 × 11 × 11 × 11 × 11 × 11 × 11
11 × 11 × 11 × 11=
= 11 × 11 × 11 = 113 = 117−4
Potencias de exponente 0
Consideremos la siguiente división:
74 : 74 = 7 × 7 × 7 × 77 × 7 × 7 × 7
= 74−4 = 70 = 1
7 7 7 7 7 7
7 7 7 7 7 7
7 7 7 7 7 7
7 7 7 7 7 7
=
Potencias de exponente 1
Consideremos la siguiente división:
74 : 73 = 7 × 7 × 7 × 7
7 × 7 × 7
= 74−3 = 71 = 7
7 7 7
7 7 7
7 7 7
7 7 7
7 7 7
7 7 7 =
23Números naturales
Para elevar un producto a una potencia, se eleva cada uno de los factores a dicha potencia.
(a × b)n = an × bn
Al elevar una potencia a un exponente resulta una nueva potencia con la misma base, cuyo exponente es igual al producto de los exponentes.
(am)n = am × n
31. Aplica las propiedades de las potencias para expresar como una potencia única cada una de las expresiones numéricas siguientes:
a) 25 × 23 d) 103 × (2 × 5)3 g) 115 : 112
b) (34)7 e) (3 × 2)4 h) 63 × (2 × 3)2
c) (34)2 : 33 × 32 f) (23 × 23)2 : 23 i) (54 : 52)2
32. Expresa las siguientes operaciones en forma de una úni-ca potencia:
a) (642 × 83)5 b) (162 : 22 × 24)2 c) 72 × 74 : 493
33. Para fabricar una cortina hemos comprada una tela rec-tangular de 3 m de alto y 600 mm de ancho. ¿Cuántos milímetros cuadrados tendrá la cortina? Expresa el re-sultado en forma de potencia de 10.
Activid
ades
Observa cómo se aplican las propiedades de las potencias en los siguientes ejemplos:
Expresa las siguientes operaciones en forma de una sola potencia:
a) 252 × 53 b) 1443 : 12
COMPRENSIÓN:
a) Expresaremos 25 como potencia de 5 y aplicaremos las propiedades de las potencias.
b) Expresaremos 144 como potencia de 12 y aplicaremos las propiedades de las potencias.
RESOLUCIÓN:
a) 25 = 5 × 5 = 52
252 × 53 = (52)2 × 53 = 52 × 2 × 53 = 54 × 53 = 54 + 3 = 57
b) 144 = 12 × 12 = 122
1442 : 12 = (122)2 : 12 = 122 × 2 : 121 = 124 : 121 = 124 − 1 = 123
Eje
mp
lo 8
Un terreno agrícola rectangular tiene 8 ha de ancho y 6 000 m de largo. ¿Cuántos me-tros cuadrados tiene de área? Expresa los datos y el resultado en forma de potencia de 10
COMPRENSIÓN: El área de un rectángulo se calcula multiplicando la base por la altura. Expresaremos las medidas en metros y en forma de potencia de diez y calcularemos el área aplicando las propiedades de las potencias.
RESOLUCIÓN:
8 ha = 800 m = 8 × 102 m 6 000 m = 6 × 103 m
Área = 8 × 102 × 6 × 103 = (8 × 6) × 103+2 = 48 × 105
El área del terreno es de 48 × 105 m2
Eje
mp
lo 9
Potencia de un producto
(3 × 5)2 = (3 × 5) × (3 × 5) = 3 × 5 × 3 × 5 = 3 2 × 5 2
Potencia de una potencia
(7 2 ) 3 = 72 × 72 × 72 = 72 + 2 + 2 = 7 2 × 3
24 Unidad 1
2.6. Raíces cuadradasObserva en la tabla los cuadrados de los diez primeros números naturales. ¿Cuál es el número que elevado al cuadrado da 9? ¿Y el que da 64?
Diremos que 3 es la raíz cuadrada de 9, pues 32 = 9.
De la misma manera, 8 es la raíz cuadrada de 64, pues 82 = 64.
La expresión 9 se lee raíz cuadrada de 9.
Radicando
Raíz cuadradaSímbolo de la raíz cuadrada 9 3=
La raíz cuadrada de un número es otro número que elevado al cuadrado es igual al primero.
2A a a A= → =
Aquellos números que son el cuadrado de otro número se llaman cuadrados perfectos. Así, según si el radicando es un cuadrado perfecto o no, tendremos raíces cuadradas exactas o enteras.
34. Halla los números cuyos cuadrados perfectos son: 4, 121, 144, 169, 16, 25, 81, 49.
— ¿Qué operación matemática estás efectuando?
35. Calcula mentalmente las siguientes raíces cuadradas y escríbelas ordenadas de mayor a menor:
400 36 100 25 625 64
36. Halla la raíz cuadrada entera de los siguientes números: 231, 453, 40, 125, 18, 990, 48, 72.
37. Disponemos de 88 baldosas cuadradas. ¿Cuántas baldosas tendrá la superficie cuadrada máxima que podremos cubrir?¿Cuántas baldosas habrá en cada lado de esta superfície?
Cuadrados perfectos
Memorizar algunos cuadrados perfectos nos permitirá calcular algunas raíces cuadradas exac-tas:
112 = 121; 121 11=
122 = 144; 144 12=
132 = 169; 169 13=
142 = 196; 196 14=
152 = 225; 225 15=
202 = 400; 400 20=
252 = 625; 625 25=
Cuadrado Raíz cuadrada
1 × 1 = 12 = 1 1 1 12= =
2 × 2 = 22 = 4 4 2 22= =
3 × 3 = 32 = 9 9 3 32= =
4 × 4 = 42 = 16 16 4 42= =
5 × 5 = 52 = 25 25 5 52= =
6 × 6 = 62 = 36 36 6 62= =
7 × 7 = 72 = 49 49 7 72= =
8 × 8 = 82 = 64 64 8 82= =
9 × 9 = 92 = 81 81 9 92= =
10 × 10 = 102 = 100 100 10 102= =
Raíz cuadrada exacta
64
64 es un cuadrado perfecto → 64 = 82
Por tanto, 8 es la raíz cuadrada de 64. 64 8 82= =
Diremos que la raíz cuadrada exacta de 64 es 8.
Raíz cuadrada entera60
60 no es un cuadrado perfecto, pero está comprendido entre dos cuadrados perfectos, 49 y 64.
Así 60 cumplirá →
49 60 64
7 60 8
7 60 8
2 2
< << <
< <
La raíz cuadrada de 60 es un número entre 7 y 8.
Diremos que la raíz cuadrada entera de 60 es 7 (el menor de los dos).
Activid
ades
25Números naturales
Potencias y raíces con calculadoraLas calculadoras científicas permiten calcular directamente una potencia o una raíz cuadrada mediante teclas específicas.
Observa las teclas que se utilizan en el cálculo de potencias y raíces cuadradas, y efectúa las operaciones que tienes a continuación.
38. Resuelve con la calculadora las siguientes potencias:
a) 94 c) (11)4 e) (7)3 + (7)5
b) 158 d) (20)17 f) 237 : 232
39. Efectúa con la calculadora estas raíces cuadradas:
) 1024 ) 3 100 ) 50 625 ) 725a b c d
40. Efectúa con la calculadora las siguientes operaciones combinadas:
a) 33 : 32 + 5 × (92 × 33) + 17
b) 83 × 152 + 2 × (12)3 × (45 × 24) + 50 × 92
c) 54 : 252 + (25 × 23) × 36 − (142 × 140)
Raíz cuadrada Elevado al cubo
Elevado a una potencia
Tecla para borrar un carácter
Tecla para obtener el resultado de la operación
Cursor para trasladarse de un caracter a otro
Elevado al cuadrado
Abre paréntesis
Cierra paréntesis
Signo −
Operaciones combinadas
e) 5 × 103 − 3 × (52 + 25) + 24 × 42
Números muy grandes
f) 1505 + 2505
Raíces cuadradas
c) 576
d) 1024
Potencias de números
a) 224
b) 135
— Cuando el resultado es un número muy grande, ¿cómo lo expresa la calculadora?
Activid
ades
26 Unidad 1
3. Técnicas de cálculoLas estrategias de cálculo mental y las aproximaciones mediante redondeo per-miten resolver operaciones con números naturales de un modo más fácil y rápido.
3.1. Estrategias de cálculo mental
41. Aplica una de las estrategias anteriores para calcular mentalmente estas sumas y restas:
a) 31 + 53 e) 86 − 38
b) 95 + 12 f) 120 − 29
c) 76 + 12 g) 151 − 142
d) 36 + 54 h) 76 − 39
42. Indica la estrategia más adecuada (reducción o aumento simultáneo o descomposición de números) para resolver las operaciones siguientes:
a) Sumar dos números y que la suma de las unidades sea menor que 10.
b) Restar dos números y que el resultado de la resta de las unidades sea con llevadas.
¿16+7?¿55-23?
Propiedad fundamental de la resta
Si sumamos o restamos el mis-mo número al minuendo y al sustraendo obtenemos una res-ta equivalente.
27 − 18 = 9
• Si sumamos 2 al minuendo y al sustraendo:
(27 + 2) − (18 + 2) = 29 − 20 = 9
• Si restamos 8 al minuendo y al sustraendo:
(27 − 8) − (18 − 8) = 19 − 10 = 9
ESTRATEGIAS PARA LA SUMA
ESTRATEGIA EJEMPLO
Reducción y aumento simultáneo
Descomposición de números
Se reduce y aumenta simultáneamente la misma cantidad en los dos sumandos buscando completar el primer sumando a la decena más cercana.
16 + 7 = (16 + 4) + (7 − 4) = 20 + 3 = 23
12 + 57 = (12 − 2) + (57 + 2) = 10 + 59 = 69
Se descomponen los dos sumandos en sumas de decenas y unidades, se suman las decenas y las unidades por separado, y se suman los resultados parciales:
46 + 52 = (40 + 6) + (50 + 2) = (40 + 50) + (6 + 2) = 90 + 8 = 98
23 + 67 = (20 + 3) + (60 + 7) = (20 + 60) + (3 + 7) = 80 + 10 = 90
ESTRATEGIAS PARA LA RESTA
ESTRATEGIA EJEMPLO
Reducción o aumento simultáneo
Descomposición de números
Se reduce o se aumenta simultáneamente la misma cantidad en el minuendo y el sustraendo buscando completar el sus-traendo a la decena más cercana.
55 − 23 = (55 − 3) − (23 − 3) = 52 − 20 = 32
48 − 29 = (48 + 1) − (29 + 1) = 49 − 30 = 19
Se descomponen el minuendo y el sustraendo en sumas de decenas y unidades, se restan las decenas y las unidades por separado y se suman los resultados parciales.
43 − 12 = (40 + 3) − (10 + 2) = (40 − 10) + (3 − 2) = 30 + 1 = 31
57 − 25 = (50 + 7) − (20 + 5) = (50 − 20) + (7 − 5) = 30 + 2 = 32
Activid
ades
27Números naturales
3.2. Redondeo A veces, no es necesario trabajar con un número exacto y basta con conocer una aproximación de este que nos facilite los cálculos a la hora de efectuar operacio-nes.
Para redondear un número a un cierto orden de unidad, observamos la cifra siguiente a la que queremos redondear.
Observa como redondeamos el número 54 374 a las unidades de millar y a las centenas:
— Para redondear a las unidades de millar, nos fijamos en la cifra de las centenas:
43. Redondea los siguientes números a las decenas de millón:
a) 127 124 000 b) 58 527 333 c) 2 381 456 214
44. En los últimos dos meses Jesús ha leído tres libros: el primero de 127 páginas, el segundo de 220 páginas y el tercero de 107 páginas. Calcula el número de páginas que ha leído Jesús redondeadas a las centenas.
45. Redondea a las centenas los números de estas opera-ciones y efectúalas con los números redondeados:
a) 3 980 × 320 + 5 550 × 432 c) 7 723 + 1 572
b) 3 576 × (467 + 423) d) 4 780 × 720 + 5 356 × 693
46. En una carrera popular se han inscrito 2 389 hombres y 2 029 mujeres. Calcula el número de inscritos redon-deando a las centenas y a las decenas.
Aproximación en operaciones
Si en una operación queremos obtener el resultado redondea-do a un cierto orden de unidad, podemos sustituir los números que intervienen en la operación por números próximos más sen-cillos obtenidos mediante el re-dondeo.
La familia de María ha gastado en sus vacaciones 2 550 ∑ y la familia de Juan, 2 738 ∑. ¿Cuánto dinero han gastado aproximadamente entre las dos familias?
COMPRENSIÓN: Como no necesitamos un resultado exacto, redondeamos los sumandos a las centenas y calculamos la suma de los operandos redondeados.
RESOLUCIÓN:
— Redondeamos a las centenas cada uno de los sumandos:
2 550 → 2 600 2 738 → 2 700
— Sumamos: 2 600 + 2 700 = 5 300
Entre las dos familias han gastado 5 300 euros.
COMPROBACIÓN: Observamos que si sumamos y después redondeamos obtenemos el mismo resultado:
2 550 + 2 738 = 5 288 ∑ 5 288 → 5 300
— Si hubiéramos aproximado los operandos a las decenas, ¿los cálculos hubieran sido más fáciles o más complejos? ¿Y más aproximados o menos?
Eje
mp
lo 1
1
54 374 Si es menor que 5, se sustituyen por 0 todas las cifras de su derecha y dicha cifra.
54 000
Si es mayor o igual que 5, se suma una uni-dad a la cifra anterior y se sustituyen por 0 todas las cifras de su derecha y dicha cifra.
54 40054 374
— Para redondear a las centenas, nos fijamos en la cifra de las decenas:
Activid
ades
ACTIVIDADES RESUELTAS
Utiliza la estrategia anterior para resolver estos problemas:
47. Carlota ha abierto la hucha y tiene dos billetes de 10 ∑, dos de 5 ∑ y diez monedas de 2 ∑. ¿Podrá comprar un juego que cuesta 59 ∑?
48. La equipación de tenis de María consta de unas ber-mudas de 13 ∑, una camiseta de 22 ∑, unas deportivas de 54 ∑ y una raqueta de 63 ∑. Si dispone de un vale de descuento de 100 ∑, ¿cuánto ha pagado por toda la equipación?
Activid
ades
28
Comprender
— ¿Cuáles son los datos de los que dispones?
— ¿Cuál es la pregunta?
— ¿Tienes sufi cientes datos? ¿Hay datos irrelevantes?
— Anotamos los datos del enunciado.
Gastos mensuales:
Alimentación: 240 ∑
Ocio: 300 ∑.
Alquiler de la vivienda: 900 ∑.
Suministros: 150 ∑
Plani� car
— Confi gura un plan para resolver el problema.
Dinero ahorrado = Ingresos totales − Gastos totales
— Calculamos los gastos mensuales y los comparamos con los ingresos.
— Si los ingresos son mayores que los gastos, restamos los in-gresos de los gastos y obtenemos el dinero ahorrado.
Ejecutar el plan
— Resuelve las operaciones.
— ¿Te convence el método de resolución? Si no es así, prueba con otra forma de ejecutar el problema.
— Sumamos los gastos mensuales.
240 + 300 + 900 + 150 = 1 590 ∑
— Como los ingresos son mayores que los gastos (1 832 ∑ >1 590 ∑), restamos y obtenemos el dinero ahorrado.
— Mensualmente ahorran 242 ∑.
Revisar
— ¿Cómo puedes comprobar si tu solución es correcta?
— ¿Crees que podrías resolver el problema de otro modo?
— Repasamos que la suma de los gastos sea correcta.
— Comprobamos la diferencia mediante la prueba de la resta:
Sustraendo + Diferencia = Minuendo
1 590 ∑ + 242 ∑ = 1 832 ∑
1 8 3 2 ∑− 1 5 9 0 ∑ 2 4 2 ∑
Ingresos mensuales: 1 832 ∑.
Unidad 1
Método general de resolución de problemasAntes de abordar la resolución de un problema, debes entender el enunciado y ser capaz de reescribirlo con tus propias palabras. Una vez hayas analizado el problema, tendrás que elaborar un plan de resolución y resolverlo. Como último paso y antes de dar el problema por terminado, debes comprobar que el resultado responde a la pregunta inicial planteada y que el proceso de resolución elegido es correcto.
Una familia gasta en un mes 240 ∑ en alimentación, 300 ∑ en actividades de ocio, 900 ∑ en el alquiler y 150 ∑ en gastos de suministros (luz, gas y agua). Si los ingresos son de 1 832 ∑, ¿cuánto dinero ahorran mensualmente?
Actividades fi nalesSistemas de numeración49. a Escribe todos los números de tres cifras que
contienen un 2, un 4 y un 7.
50. a ¿Cómo se leen los siguientes números?
a) 8 245 365 b) 165 755 256
51. a Escribe el número anterior a cada uno de los siguientes:
a) 2 millones c) 5 centenas de millón
b) 3 decenas de mi llón d) 20 unidades de millar
52. s Ob serva cómo se calculan las centenasque hay en un millón: 1 UMM = 1 000 000 U == 100 000 D = 10 000 C
— ¿Cuántas decenas de millar hay en una decena de millón?
53. s Escribe los números mayor y menor de cuatro cifras que pueden formarse con el 2, el 4, el 6 y el 8 de modo que en ambos no se repita ninguna de ellas. ¿Cuál es la diferencia entre los dos números?
El conjunto de los números naturales54. a Escribe diez números naturales comprendidos
entre 1 y 20, y diez números naturales comprendi-dos entre 1 000 y 1 100.
55. a Ordena de menor a mayor los siguientes nú-meros: 365 089, 356 088, 365 004, 145 567, 145 099.
56. s Un código numérico muy utilizado es el que se emplea en las bibliotecas para identifi car los libros. Inventa un código que tenga en cuenta el autor, el tema del libro y su ubicación dentro de la biblioteca. Descríbelo.
Operacioneselementales Potencias Raíz cuadrada
SÍNTESIS
NÚMEROS NATURALES
Se expresan mediante el sistema de numeración decimal y se emplean para contar, ordenar, codifi car...
La potencia es un producto de factores iguales.Base: factor que se repite.Exponente: número de veces que se repite el factor.
EnterasExactasDivisiónMultiplicaciónRestaSuma
La raíz cuadrada de un número A es otro número a que eleva-do al cuadrado es igual al pri-mero:
A a a A2= → =
29Números naturales
Actividades finalesSuma, resta, multiplicación y división
57. a Efectúa en tu cuaderno las siguientes sumas y res-tas:
a) 4 906 b) 8 305 c) 7 827
+ 2 001 + 4 595 − 3 084
58. a En este momento, la diferencia de precio entre dos modelos de coches es de 987 ∑. ¿Cuál será la nueva diferencia si el modelo más caro disminuye 50 ∑ en su precio y el más económico lo aumenta en 200 ∑?
59. a Calcula:
a) 5 816 × 927 c) 2 835 : 27
b) 14 280 × 143 d) 5 901 : 84
60. a ¿Qué número dividido por 12 da 63 de cociente y 7 de resto?
61. a En una división entera el dividendo es 50, el co-ciente es 3 y el resto es 5. ¿Cuál es el divisor?
— ¿Cuál debería ser el dividendo para que con el mismo cociente y el mismo divisor, la división fuera exacta?
62. s Calcula las siguientes operaciones combinadas sa-cando factor común:
a) 2 × 7 + 2 × 6 + 2 × 2 + 2 × 9 c) 2 × 4 + 7 × 4 + 8 × 4
b) 9 × 3 + 9 × 1 + 9 × 9 d) 5 × 3 + 9 × 5 + 5 × 9
63. s Resuelve estas operaciones combinadas. Recuerda la prioridad que se establece en ellas:
a) 23 + 34 × 12 + 5 d) 12 + 3 × (4 − 6 : 2)
b) 3 + 2 × (4 + 3) e) 29 × [3 − (2 × 6 − 10)]
c) 9 − 6 : 3 + 1 f ) 3 × [4 + 6 : (2 × 5 − 8)] − 5
64. s Coloca los paréntesis necesarios para que el resul-tado sea correcto:
a) 7 + 4 × 5 = 55 c) 12 : 2 × 3 + 2 = 30
b) 5 + 3 : 2 + 5 − 3 = 2 d) 3 + 15 × 7 − 9 = 117
65. s Efectúa estas operaciones combinadas:
a) 26 − 2 × 5 − 7 × 2 + 10 : 5
b) 10 + 4 × 3 − 12 : 3 − 10 : 5
c) (6 + 2 × (4 − 2 )) : 5 + (2 + 4 × 2)
d) 3 × 9 + (6 + 5 − 3) − 12 : 2
e) 30 + 3 − 45 : 5 + 14
f) (3 + 12 × 2) : 3 + 4
66. s Usa la propiedad distributiva para calcular los re-sultados de las siguientes operaciones:
a) (2 + 3) × 5 − (3 − 2) × 9
b) 1 + 5 × (2 + 8) − 6 × (4 − 2)
c) 3 × (7 − 3) + 2 × (4 − 5)
d) 6 × (2 − 1) + (7 − 3) × 3
67. d Calcula sacando factor común:
a) 2 × (3 × 9 + 3 × 5) − (3 × 6 − 3 × 4) − 1
b) 5 × (2 × 9 + 2 × 3) − 4 × (2 × 5 + 2 × 4)
c) 4 × 2 + 4 × 5 − 4 × 6
68. d Usando la propiedad distributiva, halla cuál es el número que falta en cada una de estas expresiones:
a) ...... × 5 − ...... × 4 + ...... × 3 = 8
b) 2 × (...... × 3 − ...... × 2) + ...... × 3 = 20
c) (5 × ...... − 2 × ......) × 2 + 3 × (...... + ...... × 2) = 15
Potencias y raíces
69. a Halla el valor de cada una de estas expresiones.
a) 52 c) (2 + 3)4 e) 32 × 23
b) 56 d) (7 − 2)3 f ) 82 + 24
70. a Completa, siguiendo el modelo:
a) 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 35 = 243 d) 5 × ..... = 54 = .....
b) 4 × 4 × 4 = 43 =..... e) ................ = 5... = 125
c) 4 × 4 × 4 × 4 = ..... = ..... f ) ................ = 63 = .....
71. a Escribe y calcula las potencias que se indican:
a) Cubo de 3. c) Base 4 y exponente 3.
b) Base 3 y exponente 4.
72. a Escribe como producto de un número natural por una potencia de 10 los números siguientes:
a) 450 000 000 000 c) 812 000 000
b) 700 000 000 d) 900 000
73. a¿ Cuáles de las expresiones siguientes se pueden escribir como una sola potencia? Escribe las que lo sean en forma de base y exponente:
a) 6 + 6 + 6 d) 23 × 25
b) 4 + 4 + 4 + 4 e) 23 × 45
c) 5 × 5 + 5 × 5 + 5 × 5 f ) (3 + 5) × (3 + 5) × (3 + 5)
30 Unidad 1
74. s Aplica las propiedades de las operaciones con po-tencias:
a) 54 × 54 e) 75 : 73 i) (3 × 6)8 : 62
b) 53 × 54 f ) 95 : 9 j) 3 × 32 × (32)2
c) 125 × 123 g) 811 : 84 × 83 k) (43)5
d) 42 × 43 × 44 h) (3 × 5)6 l) (23)5 : 212
75. s Calcula aplicando las propiedades de las po-tencias:
a) 107 × 103 c) 105 : 104 × 103
b) 105 : 102 d) (103)2
76. s Completa:
Cuando buscamos la raíz cuadrada de un número A, es-tamos buscando otro número tal que ............... nos dé A. Por ello, 169 ............... ya que (13)..... = ...............
77. s Halla el valor de cada una de estas raíces cuadra-das:
a) 169 b) 100 c) 255 d) 10000
78. d Calcula mentalmente el valor de la raíz cuadrada entera de cada uno de los números siguientes y busca su aproximación decimal mediante la calculadora:
a) 12 b) 110 c) 240 d) 10 005
79. d Indica:
a) Todos los números naturales cuyos cuadrados están comprendidos entre 200 y 500.
b) El primer número natural cuyo cubo tiene tres cifras.
c) El primero cuya cuarta potencia tiene cuatro cifras.
80. d ¿Cuántos cuadraditos tiene este cuadrado? ¿Cuán-tos cubitos tiene el cubo?
81. d Observa las fi guras anteriores y resuelve las cues-tiones siguientes escribiendo las respuestas en forma de potencia:
a) ¿Cuántos cuadraditos se pueden contar en total en la superfi cie exterior del cubo?
b) Si se pinta toda la superfi cie exterior del cubo ¿cuán-tos cubitos quedarán con una sola cara pintada?
82. d Observa estos resultados:
(1) + (1 + 2) = 4 = 22
(1 + 2) + (1 + 2 + 3) = 9 = 32
(1 + 2 + 3) + (1 + 2 + 3 + 4) = 16 = 42
— ¿Puedes intuir cómo serán los cuatro resultados si-guientes? En tal caso comprueba tu teoría.
83. d Calcula las raíces cuadradas:
a) 25 b) 144
— Efectúa ahora 25 144× y justifi ca si es válida la si-guiente afi rmación: «La raíz cuadrada de una suma es igual a la suma de las raíces cuadradas».
84. d Queremos colaborar con una ONG prestando ayu-da de este modo: cada día una persona ayuda a 3 más y cada una de las personas que ha sido ayudada, ayuda a su vez a 3 personas más que no hayan recibido ayuda antes. Así sucesivamente. ¿A cuántas personas habre-mos ayudado el 5.o día? ¿Y al cabo de 10 días?
Problemas
85. a Calcula la diferencia entre seis docenas de docenas de huevos y la mitad de una docena de docenas de hue-vos.
86. a Un autobús escolar, de lunes a viernes, va de la es-tación a la escuela (2 km). Además, los lunes, los miér-coles y los viernes cubre el recorrido de la escuela a la piscina (7 km), y los viernes de la escuela al museo de arte (3 km). ¿Cuántos kilómetros recorre a la semana? Ten en cuenta que cada trayecto es de ida y vuelta.
87. a Un grupo musical ofrecerá cuatro conciertos en cuatro estadios diferentes en los que caben 5 500, 11 380, 5 450 y 6 500 personas. Si se han agotado todas las entradas y el precio de cada una de ellas es de 24 ∑, haz una estimación de lo que se ha recaudado en total.
31Números naturales
Actividades finales
32
88. a Para celebrar una fiesta de cumpleaños hemos comprado 100 caramelos de fresa y 200 de menta, y los queremos distribuir en bolsas que contengan 3 carame-los de fresa y 7 de menta:
a) ¿Cuántas bolsas podremos preparar?
b) ¿Cuántos caramelos de cada clase sobrarán?
89. a Necesitamos colocar 354 botones en cajas de 6 uni-dades. ¿Es posible agruparlos sin que nos sobre ningún botón? ¿Y si hemos de agruparlos en cajas de 11 unida-des? Justifica tus respuestas.
90. a Una persona podría completar el Camino de San-tiago en 30 días recorriendo diariamente 18 kilómetros, pero por una herida en el pie no puede andar más de 12 km por día. ¿Cuánto tiempo de más tardará en com-pletarlo?
91. a Un comedor escolar necesita comprar yogures para los 152 alumnos que se quedan a comer. Los yo-gures se venden en cajas de 6 paquetes y cada paquete contiene 4 yogures:
a) ¿Cuántas cajas se deberían comprar?
b) ¿Cuántos paquetes sobrarán?
92. a Si queremos cambiar 47,45 ∑ en monedas, ¿cuál será la menor cantidad de monedas que nos darán?
93. s Necesitamos 60 g de pasta para preparar un plato de sopa. ¿Cuántos paquetes de pasta de medio kilo ha-cen falta para cocinar una sopa para 240 personas?
94. s Queremos celebrar una fiesta para 53 invitados y debemos calcular la cantidad mínima de refrescos que necesitaremos:
a) Si decidimos repartir, como mínimo, una lata de refresco por invitado, y estos van en paquetes de 6, ¿cuántos paquetes deberemos comprar?
b) Si en lugar de latas decidimos repartir a cada invitado un vaso de 250 mL, ¿cuántas botellas de 2 000 mL deberemos comprar, como mínimo, para que cada invitado pueda tomar un vaso de refresco?
95. s Un operario que cobra 12 ∑ por el desplazamiento y 23 ∑ por cada hora de trabajo, repara una fuga de agua de un radiador por la que cobra 58 ∑:
a) ¿Cuántas horas ha tardado en completar la reparación?
b) ¿Cuánto cobraría por una reparación de tres horas de duración?
96. s La recaudación de un establecimiento al cerrar la caja un día cualquiera es de 23 billetes de 20 ∑, 15 de 10 ∑, 25 de 5 ∑, 40 monedas de 2 ∑ y 38 de 1 ∑.
a) ¿Cuánto ha recaudado el propietario del estableci-miento?
b) Si decide ir al banco a cambiar la recaudación por el mínimo número de billetes posibles, ¿cuántos bille-tes le darán? ¿Cuántas monedas le sobrarán?
97. s He comprado 12 cajas de pañuelos. En cada una de ellas hay 12 paquetes y cada paquete tiene 12 pañuelos. ¿Cuántos pañuelos tengo en total? Escribe el resultado en forma de potencia.
98. s La suma de tres potencias de base 3 es 279. La ma-yor es 35 y tiene 234 unidades más que la menor. ¿Cuáles son dichas potencias?
99. s El número de filas de un teatro coincide con el nú-mero de butacas que hay en cada fila. Si el aforo es de 576 butacas, ¿cuántas filas hay en el teatro?
—En otro teatro, el número de filas coincide con el número de butacas que hay a cada lado del pasillo central. Si 288 butacas componen el aforo, ¿cuál es el número de filas del teatro?
100. s Observa cómo se calcula el lado de un cuadrado sabiendo que su área es de 196 m2:
a2 = 196 a = 196 = 14 m
Calcula las longitudes de los lados de estos cuadrados cuyas áreas son:
a) A = 144 m2 d) A = 324 m2
b) A = 225 m2 e) A = 484 m2
c) A = 289 m2 f ) A = 625 m2
101. d Juan tiene un cubo de 8 cm3 de volumen. ¿Cuán-to mide el lado de este cubo? Si Juan quiere cons-truir un cubo cuyo volumen sea el doble del anterior, ¿cuánto medirá ahora su lado?
102. d ¿Cuántos metros de cerca se necesitan para po-der rodear un terreno cuadrado de 289 m2?
32 Unidad 1
33Números naturales
Las hojas de cálculo del LibreOffi ce permiten efectuar cálculos a partir de fórmulas o funciones que el propio programa Calc tiene predefi nidas.
Veamos dos de sus funciones que te permitirán pro-gramar una calculadora que, además de incluir las operaciones básicas (sumas, restas, multiplicaciones y divisiones), trabaje con potencias y raíces.
— Escribe la base de una potencia en la celda B3 y su exponente en la celda B4 (por ejemplo, 2 y 4). Observa que el resultado que se obtiene en la cel-da B5 al escribir «potencia»: =POTENCIA(B3;B4) es el resultado de multiplicar el valor de la celda B3 el número de veces que nos indique el valor de la celda B4.
— Escribe el radicando de una raíz en la celda B3. Ob-serva que el resultado que se obtiene en la celda B4 al escribir «raíz»: =RAIZ(B3) es la raíz cuadrada del valor de la celda B3.
Atrévete
a) ¿Qué valores debes cambiar en la función «poten-cia» para obtener 5 elevado al cubo? Compruébalo.
b) ¿Qué valor debes cambiar en la función «raíz» para obtener la raíz cuadrada de 36?
— Ahora ya puedes crear tu propia calculadorasimultánea. Esta deberá calcular simultáneamen-te (mediante tres celdas distintas) el cuadrado, el cubo y la raíz cuadrada del valor de la celda B3.
— ¿Te atreves a ampliar el número de operaciones si-multáneas de tu calculadora?
Cre@ctividad: Creación de una calculadora simultánea
Base 2 Celda B3 (columna B, fi la3)
4
16
CRE@CTiViDAD
Exponente Celda B4 (columna B, fi la4)
Celda B5 (columna B, fi la5)
B5 =POTENCIA(B3;B4)
Radicando 16 Celda B3 (columna B, fi la3)
4
CRE@CTiViDAD
Celda B4 (columna B, fi la4)
B5 =RAIZ(B3)
103. d El día de la raíz cuadrada es una fecha que solo se celebra nueve veces en un siglo. Volverá a tener lu-gar el 4 de abril de 2016. Escribe todas las fechas del siglo xxi que son día de la raíz cuadrada.
— Accede a la página http://links.edebe.com/7hezas y explica el origen del símbolo de la raíz, in-dicando quién fue el matemático que lo propuso y en qué año lo hizo.
104. d En la leyenda de Sisa (http://links.edebe.com/bez5fd), se analiza la relación existente entre una suma de potencias de base 2 y la siguiente potencia de base 2.
a) Comprueba que 1 + 2 + 22 + 23 = 24 − 1
b) Comprueba que 1 + 2 + 22 + 23 + 24 = 25 − 1
c) Generalízalo con potencias de base 2. Redacta tu conjetura y compruébala en algunos casos.
d) Comprueba si se verifica una igualdad análoga para potencias de otra base.
LA TECNOLOGÍA EN EL AULA
Tu centro educativo quiere cambiar los ordenadores ac-tuales por unos nuevos que soporten todo tipo de ma-terial en formato digital: paquetes ofi máticos, software matemático interactivo, applets, etc. Sabiendo que para elegir el ordenador son importantes cuatro variables: medidas de la pantalla, memoria RAM, velocidad del procesador y precio (cada ordenador no puede superar los 550 ∑), desde el departamento de informática se os pide:
— Investigad en grupo los diferentes ordenadores del mercado comparando, entre los que hayáis seleccio-nado, las cuatro variables. Presentad los resultados en una fi cha para cada uno de los ordenadores estu-diados en la que se explique sus ventajas y sus incon-venientes teniendo en cuenta el uso que se le va a dar y el número de ordenadores mecesarios
Para conseguir información, podéis consultar:
• Webs de tiendas de venta de ordenadores.
• Webs que expliquen de forma detallada las caracterís-ticas de los componentes de un ordenador.
LA TECNOLOGÍA EN EL AULA
PBL
33Números naturales
34 Unidad 1
1. En la tienda de recuerdos de un museo, un turista compra los artículos que se muestran en la ilustración:
a) ¿Cuál es el importe total en euros de la compra?
b) ¿Cuál es la combinación más simple de billetes y monedas que el turista gastará a la hora de pagar suponiendo que lleva en el bolsillo un billete de 200 ∑, dos billetes de 100 ∑, cuatro billetes de 20 ∑, ocho billetes de 10 ∑, siete billetes de 5 ∑ y una moneda de 1 ∑?
c) ¿Cuál es la combinación de billetes y monedas más sencilla que el turista puede conseguir para que no gaste ninguno de los billetes de 5 ∑ que lleva?
d) ¿Qué cambio le devolverá el vendedor en este segundo caso?
e) ¿Cuánto dinero le queda en total al turista en su bolsillo tras la compra?
2. Lee el siguiente artículo sobre los componentes sanguíneos:
a) Escribe en forma de potencia de 10 los números de las distintas células que se encuentran en la sangre.
b) ¿Cuántas veces es mayor el número de glóbulos rojos que el de glóbulos blancos? ¿Y el número de plaquetas respecto al de glóbulos blancos?
c) ¿Qué cantidad de sangre hay en el cuerpo humano? ¿Cuántos milímetros cúbicos representan?
d) Halla el total de glóbulos blancos, glóbulos rojos y plaquetas que se encuentran en la sangre.
3. En un laboratorio se estudian dos muestras diferentes de bacterias. Las bacterias de la muestra 1 se duplican cada hora y las bacterias de la muestra 2 se cuadruplican cada 3 horas.
El experimento con la muestra 1 se inició con 3 bacterias y el de la muestra 2, con 2.
a) Transcurridas 6 horas ¿cuántas bacterias habrá en cada muestra? ¿Dónde habrá más?
b) ¿Cuántas bacterias habrá al cabo de 24 h en cada muestra? ¿Y al cabo de 2 días?
c) ¿Qué relación se establecerá entre las bacterias de las muestras 1 y 2 transcurrida una semana?
Pon a prueba tus competencias
La sangre es un líquido que recorre el organismo, a través de los vasos sanguíneos, transportando células y todos los elementos ne-cesarios para realizar sus funciones vitales (respirar, formar sustan-cias, defenderse de agresiones). La cantidad de sangre de una per-sona es de unos 5 L o dm3 y representa el 7 % de su peso corporal.
La sangre está formada por el plasma y los elementos celulares. El plasma es un líquido compuesto por agua y distintas sustancias (proteínas, lípidos...) y en su interior se encuentran sumergidos los elementos celulares: los glóbulos rojos, los glóbulos blancos y las plaquetas.
Los glóbulos rojos se encargan de transportar el oxígeno; la cantidad de glóbulos rojos en sangre es de 5 millones por cada mm3. Los glóbulos blancos, también denominados leucocitos, son una pieza clave del sistema de de-fensa del cuerpo contra las infecciones; la cantidad de glóbulos blancos es de unos 6 000 por mm3. Las plaquetas, también denominadas trombocitos, son células diminutas de forma ovalada que se fabrican en la médula ósea y participan en los procesos de coagulación. Su número en sangre es de unos 200 000 por mm3.
35Números naturales
Todos los productos poseen un código de barras cuya fi nalidad principal es identifi car cada producto de forma única.
Los productos europeos usan el código de barras EAN-13 (European Article Number) con 13 dígitos: doce de ellos iden-tifi can el producto y el último, el dígito de control, resulta de efectuar una serie de operaciones con los doce primeros.
Al pasar un producto por el lector de la caja registradora, esta realiza una operación combinada con los doce primeros dí-gitos del código de barras cuyo resultado tiene que coincidir con el dígito de control. Cuando el resultado no coincide con el dígito de control, no lee el producto correctamente y es necesario volver a pasarlo.
Verifi ca las operaciones realizadas por una caja registradora a partir del código de barras de la imagen:
1) Numera los dígitos de izquierda a derecha comenzando por la posición 12 hasta la posición 1 tal y como se indica en la siguiente tabla:
2) Suma todos los dígitos de las posiciones impares y multiplica el resultado obtenido por 3:
3 × (1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 4) = 3 × 10 = 30
3) Suma todos los dígitos de las posiciones pares:
0 + 1 + 0 + 7 + 1 + 8 = 17
4) Suma ambos resultados:
30 + 17 = 47
5) ¿Qué número tienes que añadir a este resultado para obtener un múltiplo de 10?
47 + 3 = 50. El 3 es el dígito de control.
— Valida el dígito de control de diferentes productos.
Visión 360º
8
12
CÓDIGO
POSICIÓN
4
11
0
5
7
8
0
2
1
10
1
4
0
7
1
1
4
9
1
3
0
6
?
0
4. Pablo ha modelado un bloque de plastilina para crear un rectángulo de 20 cm × 15 cm y cuyo grosor es de 1 cm.
— ¿Podrá volver a modelar la plastilina para formar un cuadrado del mismo grosor?
— Si la respuesta del apartado anterior es afi rmativa, ¿cuánto medirá el lado de este cua-drado?
8 414700 011013
Refl exiona— ¿Consideras que el texto de la página 12 sobre los números naturales tiene relación con los
conceptos tratados en la unidad? ¿Con cuáles?
— Los contenidos estudiados en la unidad, ¿te han servido para ampliar tus conocimientos de los números?
— ¿Crees que algunos conceptos aprendidos en esta unidad pueden ser aplicables en tu vida cotidia-na? ¿Cuáles? ¿Cómo?
Diario de aprendizaje
