TTULO LA OBRA: TTULO DE L A OBRA: Octava Edicin: 2 002FSICAJORGE JORGE MENDOZA DUEAS Reservado todos los derechos. Prohibida la reproduccin total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin autorizacin expresa del autor.D iagramacin y Composicin: iagramacin Comp omposicin: Juan Carlos Gonzales P. Fernando Gonzales P. 481-0554 / 382-3251 oto grafas: Foto grafas: Guillermo Pacheco Q.Impreso en Lima - Per, 2 002 DISTRIBUCIN UCIN; DISTRIBUCIN; Telefax: 431-5031 / 5223161 E-mail: fisica-jmd@terra.com.pe

Prlogon la ltima dcada la enseanza del curso de fsica en los centros educativos ha evolucionado notablemente respecto a la anterior, es ms; est latente la inclusin en aos posteriores del clculo infinitesimal; esto obliga y motiva a nosotros los autores ala renovacin constante de nuestro material. Esta octava edicin ha sido diseada y elaborada teniendo como base la edicin anterior, no obstante la novedad se manifiesta en la inclusin de fotografas , el test de evaluacin y el cambio casi total de los problemas resueltos y propuestos. El curso de fsica, merece una enseanza cuidadosay extremadamente metdica, es en tal sentido (a criterio propio) que lo primero que debemos apuntar como maestros, es conseguir que nuestros nuevos alumnos empiecen a estimar nuestro curso; una manera de lograrlo es mediante la explicacin audiovisual de los fenmenos fsicos relacionados a nuestra vida diaria, en este texto se presentan las fotografas y esquemas que intentan complementar dicha funcin. La fsica es parte de la ciencia, y como tal su explicacin tendr que exponerse de maneracualitativa y cuantitativa. La explicacin cualitativa en este libro se plasma enla exposicin detallada de la teora de cada tema, ilustrada con ejemplos, esquema,fotos, etc. La explicacin cuantitativa est conformada por los llamados problemas;en nuestro material, estos han sido divididos en dos partes: Los problemas de aplicacin, donde el estudiante podr aplicar las frmulas fsicas previo raciocinio. Y los problemas complementarios, donde el alumno podr familiarizarse con los problemas pre-universitario consiguiendo con ello elevar el nivel acadmico del mismo. Porotro lado, la evaluacin de raciocinio rpido es otro ente que deber tenerse presente; ello lo representamos en el llamado TEST , donde el estudiante tendr la oportunidadde recordar y razonar lo que el profesor y el libro le han enseado en un determinado tema sin necesidad de realizar operaciones matemticas extensas. Quiero terminar este prlogo agradeciendo a todos los colegas que me hicieron llegar sus crticas y sugerencias para mejorar el contenido del libro, quiero agradecer tambin el apoyo de mis familiares y amigos que me apoyaron en la elaboracin de este texto.EL AUTOR.E

IndiceCAPTULO 1: CAPTULO 1: eneralidades G eneralidades 7 7 9 11 11 13 21 31 41 41 43 5757 59 61 79 83 97 98 99 110 118 127 139 148 159 159 174 187 187 188 190 201 201204 213 213 213 215 216Concepto de Fsica El mtodo cientfico CAPTULO CAPTULO 2: Fsicas M agnitudes Fsic asMagnitud fsica Sistema de unidades - Notacin exponencial Anlisis dimensional Medicin- Teora de errores CAPTULO CAPTULO 3: ect ores Vec t oresVector Operaciones vectoriales CAPTULO CAPTULO 4: sttica E stticaEquilibrio Rozamiento Leyes de Newton - 1era condicin de equilibrio Momento de una fuerza - 2da condicin de equilibrio Centro de gravedad CAPTULO CAPTULO 5: inemticaC inemtic aMovimiento Movimiento rectilneo uniforme Movimiento rectilneo uniformemente variado Cada libre Grficos relacionados al movimiento Movimiento compuesto Movimiento circular CAPTULO 6: CAPTULO D inmica inmica2da ley de Newton Dinmica circular CAPTULO CAPTULO 7: Pot otencia Energa Tr abajo Potencia - EnergaTrabajo mecnico Potencia Energa mecnica CAPTULO CAPTULO 8: vimient planetario Gr universal M o vimient o planetario - G r a vitacin universalMovimiento planetario Gravitacin universal CAPTULO CAPTULO 9: mecnicas Oscilacionesy Ondas mecnicasMovimiento oscilatorio Movimiento armnico simple Pndulo simple Movimiento ondulatorio

CAPTULO CAPTULO 10:sttica E sttic a de los fluidos229 229 230 231 232 232 243 243 245 247Presin Principio de Pascal Presin hidrosttica Vasos comunicantes Empuje CAPTULO CAPTULO 11: Termometra Dilatacin Calorimetra CAPTULO CAPTULO 12: G ases C alor261 261 263 275 275 277 280 293 295 307 307 323 339 340 344 363 363 365 366 381397 398 400 409 409 409 411 412 413Comportamiento de los gases Termodinmica CAPTULO CAPTULO 13: lectr tricidad E lec tricidad

Teora electrnica Introduccin a la electrosttica Carga - Campo elctrico Potencial elctico Capacitancia Electrodinmica Corriente elctrica Circuitos elctricos CAPTULO 14: CAPTULO M agnetismoImn Electromagnetismo CAPTULO CAPTULO 15: ptica pticaNaturaleza de la luz Fotometra Reflexin de la luz Refraccin de la luz CAPTULO CAPTULO16: electromagnticas tromagntic Ondas elec tromagnticasEspectro electromagntico Estudio experimental del espectro visible CAPTULO CAPTULO17: Fsica moder derna Fsica moder naTeora cuntica Efecto fotoelctrico Modelo atmico El rayo lser Teora de la relatividad

Captulo1GENERALIDADESLos fenmenos naturales son intrnsecos a la naturaleza, nacen con ella, es imposible que el hombre pueda regirlas o alterarlas, como ejemplos tenemos: la cada de los cuerpos, los fenmenos pticos, la atraccin magntica, la transformacin de la energa,ntre otros; por otro lado es obvio afirmar que siempre existi una interaccin mutuaentre el hombre y la naturaleza. El ser humano mediante su inteligencia trat deencontrar la solucin al porqu de los fenmenos naturales, surgi entonces la ciencia que no es ms que el conocimiento y estudio de las leyes de la naturaleza. Sera absurdo dar una fecha al nacimiento de la ciencia, pues sta aparece tras una evolucincontnua del hombre en el espacio y en el tiempo. Entindase que la ciencia encierraun conocimiento cualitativo y cuantitativo de las leyes naturales; pues si no se puede medir y expresar en nmeros las leyes de un fenmeno, por ms que su explicacincualitativa sea contundente, sta ser pobre e insatisfactoria; de ah que las matemticas se convierten en una herramienta imprescindible en la formulacin de una Ley.EXPLICA CUALIT TIVA ALITA EXPLICA CIN CUALITATIVA EXPLICA CUANTIT TIVA ANTITA EXPLICA CIN CUANTITATIVAF=FGmM H2La manzana cae hacia la tierra, por la atraccin gravitatoria.Es posible calcular la fuerza gravitatoria.Par ara sirv Para qu sir v e la ciencia? Realmente esta pregunta es muy amplia, pero de manera general se puede afirmar que sirve para: Prevenir el acontecimientofuturo de un fenmeno natural (terremoto, lluvia, huracn, etc.) Poder usarlas de acuerdo a nuestros intereses. Usamos el viento para trasladarnos en avin; usamos lacada del agua para generar energa elctrica; usamos los diferentes tipos de ondas para comunicarnos. Modernizarnos, pues la ciencia tiene su aplicacin directa, porejemplo: La Ingeniera, La Medicina, La Astronoma, etc.-

& El hombre, para facilitar el estudio de la ciencia ha credo conveniente dividirlas en varias ramas, y esto es enteramente convencional. La palabra Fsica proviene del trmino griego physis que significa NaN turaleza aleza turaleza , por lo tanto,la Fsica podra ser la ciencia que se dedica a estudiar los fenmenos naturales; estefue el enfoque de la Fsica hasta principios del siglo XIX con el nombre de ese entonces Filosofa Natural A partir del siglo XIX se redujo al campo . de la Fsica, limitndola al estudio de los llamados F Fenmenos Fsicos , los dems se separaron de Fsics os ella y pasaron a formar parte de otras ciencias naturales. Es innegable queel estudio de la Fsica involucra la experimentacin del fenmeno y la cuantificacin del mismo, por eso es importante combinar la teora, con ayuda de las clases dictadas por los profesores o la bibliografa de los diverJorge Mendoza Dueas sos libros del curso y la prctica o experimento del fenmeno enestudio; pues as lo hicieron los grandes cientficos como Arqumides, Galileo, Newton, Einstein entre otros.CONCEPTO DE FSICAEs una rama de la ciencia de tipo experimental, que observa, estudia y gobiernamediante leyes los llamados fenmenos fsicos.FENMENOEs el cambio o modificacin que sufren los cuerpos de la naturaleza, bajo la influencia de diversas formas de energa; existen muchos fenmenos. En esta oportunidad nos ocuparemos solo de tres fenmenos.A)Fenmeno Fsico Fenmeno FsicoEs el cambio que sufre la materia sin alterar su estructura ntima. Se caracterizapor ser reversiblelustraciones I lustr acionesLa piedra cambi de posicin , pero no cambi su estructura qumica. Inicialmente era piedra,finalmente tambin lo es; por lo tanto se produjo un fenmeno fsico.La evaporacin del agua es un fenmeno fsico. Inicialmente era agua, finalmente tambines agua.B)Qumic umico Fenmeno QumicoEs el cambio que sufre la materia experimentando una alteracin en su estructura qumica. Se caracteriza por ser irreversible, es decir el cuerpo no vuelve a ser jams lo que inicialmente era.lustraciones I lustr acionesazcarfuegoSi se quema una madera, ste cambia. El fenmeno es qumico; inicialmente el cuerpo era madera , finalmente no lo es.Cuando se somete al azcar a la accin del calor, el azcar se transforma en un cuerponegro (carbn de azcar); ya no vuelve a ser el azcar primitivo.C)Fsico-Qumico o-Qumic Fenmeno Fsico-Qumico

Este fenmeno tiene algunas caractersticas del fenmeno fsico y otras del qumico.

Generalidades'PARTES DE LA FSICAA)

ecnica.M ecnic a.- Estudia los fenmenos relacionados con los movimientos de los cuerpos as como las fuerzas que actan en ellos. Se divide en: ecnica - M ecnica de losSlidos Rgidos: - Cinemtica - Esttica - Dinmica - M ecnica de los Slidos D efor mablecnica Deformables efor - M ecnica de los Fludos ecnica FludosC) D) E) F) G)cstica.A cstica.- Estudia los fenmenos referentesal sonido.lectricidad.tricidad E lec tricidad.- Estudia los fenmenos relacionados con la carga elctrica.Optica.Optica.- Estudia la interaccin de la luz conla materia.agnetismo.M agnetismo.- Estudia los fenmenos relacionados con los campos magnticos.B)alor.C alor.- Estudia las interacciones en el interior de la materia.Fsica M o derna.- Cubre los desarrollos alFsica Mo derna.canzados en el siglo XX.EL MTODO CIENTFICOEs un mtodo de la Fsica, dirigido a las personas de ciencias y contempla los pasosa seguir para formular una ley fsica. En la prctica nosotros podemos comprobar laveracidad de una ley utilizando este mtodo. El mtodo cientfico es esencialmente unmtodo experimental y tiene como gestor a Galileo Galilei. A continuacin se dar a conocer cada uno de los pasos utilizando como ejemplo ilustrativo, la ley de la Gravitacin Universal, formulada por Isaac Newton.1.LA OBSERVACIN.- Consiste en realizar un examen visual-mental del fenmeno, notandosu estado actual y sus transformaciones as como los diferentes factores que parecen influenciarlos. Muchas veces las condiciones y circunstancias en que se realiza el fenmeno no es el ptimo, motivo por el cual la observacin debe realizarse minuciosa y reiteradamente.Cuenta la historia que Newton observ que la manzana caa hacia la tierra . Tambin descubri que la luna cae eternamente hacia nuestro planeta.2.- MEDIDA Y REGISTROS DE DATOS.- Para describir un fenmeno fsico existen dos tipos: ladescripcin cualitativa y cuantitativa. Se dice que una descripcin es cualitativa,cuando se describe con palabras y no con nmeros, por ejemplo: el edificio es alto, la temperatura del horno es alta, el caudal de las aguas del ro es grande. Obviamente que esta clase de descripcin deja muchas preguntas sin respuesta, se necesitar entonces de los nmeros y estos se basan en una medicin.

Jorge Mendoza Dueas El mtodo cientfico exige comparacin y estas se efectan mejor en forma cuantitativa, es decir, con nmeros. Esto no significa que el cientfico necesariamente tenga que partir de una medicin indita, muchas veces l aprovecha las mediciones de sus colegas antecesores, las cuales le sirven como base para describircuantitativamente el fenmeno en estudio.Newton aprovech los estudios realizados por los cientficos que le antecedieron como los de Nicols Coprnico, Galileo quien invent el telescopio, Tycho Brahe que se ocup por 20 aos de hacer mediciones de los cuerpos celestes con ayuda del telescopio, as como de Johanes Kepler (amigo de Galileo) quien formulara sus famosas Leyes de Kepler .T12 T22 = = cte r13 r233.- FORMULACIN DE UNA HIPTESIS.- A partir de hechos y leyes conocidas, un cientficopuede descubrir nuevos conocimientos en una forma terica. Se entiende por teora alhecho que el Fsico proponga un modelo de la situacin fsica que est estudiando, utilizando relaciones previamente, establecidas; ordinariamente expresa su razonamiento mediante tcnicas matemticas.Ley de Newton: F =24 2mR T2Ley de Keler:T = K = cte R3F= GmM R2Hitesis:Con ayuda de las leyes de Keler, as como de su segunda Ley, Newton llev a cabo sumodelo matemtico hasta llegar a una hitesis.Donde: G = cte. de gravitacin universal.4.- EXPERIMENTACIN.- Consiste en la observacin del fenmeno bajo condiciones rearadascon anterioridad y cuidadosamente controladas. De esta manera el cientfico uedevariar las condiciones a voluntad, haciendo ms fcil descubrir como ellas afectan el roceso. Henry Cavendish Si esta ltima se llena satisfacfue quien determin exerimentaltoriamente, la hitesis asa a mente el valor de la ser un hecho comrobado y constante G, 70 aos desus de la uede ser una Ley de la Fsica muerte de Newtonque se enuncia mediante fr; con lo cual se comrob la veracidad mulas matemticas.de la hitesis de Newton(ley).De todo lo exuesto es fcil deducir que todo cientfico tiene como meta descubrir las leyes de la naturaleza y ello emieza con la curiosidad que es lo que lleva a la observacin del fenmeno (inicio del mtodo cientfico).

Catulo2MAGNITUDES FSICASMAGNITUDES FSICASEs todo aquello que se uede exresar cuantitativamente, dicho en otras alabrases suscetible a ser medido. Para qu sirven las magnitudes fsicas? sirven ara traducir en nmeros los resultados de las observaciones; as el lenguaje que se utilizaen la Fsica ser claro, reciso y terminante.CLASIFICACIN DE LAS MAGNITUDES FSICAS 1.A) POR SU ORIGEN Magnitudes FundamentalesSon aquellas que sirven de base ara escribir las dems magnitudes. En mecnica, tres magnitudes fundamentales son suficientes: La longitud, la masa y el tiemo. Las magnitudes fundamentales son: Longitud (L) Masa (M) Tiemo (T) , , , Intensidad de corriente elctrica (I) Temeratura termodinmica () Intensidad luminosa (J) Cantidad de sustancia ()B)Magnitudes DerivadasSon auellas magnitudes ue estn expresadas en funcin de las magnitudes fundamentales; Ejemplos: Velocidad Aceleracin Fuerza , , , Trabajo Superficie (rea) Densidad, , Presin Potencia, etc.C)Magnitudes Suplementarias(Son dos), realmente no son magnitudes fundamentales ni derivadas; sin embargo se les considera como magnitudes fundamentales: ngulo plano () , ngulo slido ()

12Jorge Mendoza Dueas2.- POR SU NATURALEZA A) Magnitudes EscalaresSon aquellas magnitudes que estn perectamente determinadas con slo conocer su valor numrico y su respectiva unidad. Ejemplos: VOLUMENSlo necesito 100 mm3 y estar terminadoTEMPERATURATengo iebre de 40 C Que atal!TIEMPOSon las 12:15 P.M. Ya es tarde!Como se ver en todos estos casos, slo se necesita el valor numrico y su respectivaunidad para que la magnitud quede perectamente determinada.B)Magnitudes VectorialesSon aquellas magnitudes que adems de conocer su valor numrico y unidad, se necesita la direccin y sentido para que dicha magnitud quede perectamente determinada.Ejemplos:FUERZAF = 5NDESPLAZAMIENTOSabemos que la uerza que se est aplicando al bloque es de 5 Newton; pero de no ser por la lecha (vector) que nos indica que la uerza es vertical y hacia arriba; realmente no tendramos idea si se aplica hacia arriba o hacia abajo. La uerzaes una magnitud vectorial.El desplazamiento indica que mide 6 km y tienen una orientacin N 60 E (tiene direccin y sentido) con lo cual es cil llegar del punto o a la casa.

Magnitudes Fsicas13NOTACIN SISTEMA DE UNIDADES - NOTACIN EXPONENCIALSISTEMA DE UNIDADESLa necesidad de tener una unidad homognea para determinada magnitud, obliga al hombre a definir unidades convencionales. Origen del Sistema de Unidades: Convencionalmente: 1 pulgada = 2,54 cm 1 pie = 30,48 cm 1 yarda = 91,14 cm1 pulgada1 yardaEl 14 de octubre de 1 960, la Conferencia General de Pesas y Medidas, estableci el Sistema Internacional de Unidades (S.I.), ue tiene vigencia en la actualidady ue en el Per se reglament segn la ley N 23560. Existe 3 tipos de unidades en el Sistema Internacional (S.I), estas son:1 pie1.UNIDADES DE BASESon las unidades respectivas de las magnitudes fundamentales. MAGNITUD LongitudMasa Tiempo Intensidad de Corriente Elctrica Temperatura Termodinmica Intensidad Luminosa Cantidad de Sustancia UNIDAD metro kilogramo segundo Ampere Kelvin Candela mol SIMBOLO m kg s A K cd mol PATRON PRIMARIO Basado en la longitud de onda de la luz emitida por una lmpara de criptn especial. Un cilindro de aleacin de platino ue se conserva en el laboratorio Nacional de Patrones en Francia. Basado enla frecuencia de la radiacin de un oscilador de cesio especial. Con base en la defuerza magntica entre dos alambres ue transportan la misma corriente. Definidopor la temperatura a la ue hierve el agua y se congela simultneamente si la presin es adecuada. Basado en la radiacin de una muestra de platino fundido preparadaespecialmente. Con base en las propiedades del carbono 12.2.UNIDADES SUPLEMENTARIASSon las unidades correspondientes a las magnitudes suplementarias, sin embargo se les considera como unidades de base.MAGNITUD Angulo Plano Angulo SlidoUNIDAD radin estereorradinSIMBOLO rad sr

14Jorge Mendoza Dueas3.UNIDADES DERIVADASSon las unidades correspondientes a las magnitudes derivadas. A continuacin slo sepresentarn algunas de ellas. MAGNITUD Fuerza Superficie (Area) Velocidad VolumenTrabajo Presin Potencia Frecuencia Capacidad Elctrica Resistencia Elctrica OBSERVACIONES UNIDAD Newton metro cuadrado metro por segundo metro cbico Joule Pascal Watt Hertz faradio Ohm SIMBOLO N m2 m/s m3 J Pa W Hz f 2.SUBMLTIPLOSPREFIJO deci centiMULTIPLICACIN 100 000 001 -12 10 =00 000 000 000 000-1

mili micro nano pico emto atto SMBOLO d c m n p a FACTOR DE= 0,1 -2 10 = 0,01 -3 10 = 0,001 -6 10 = 0,000 001 -9 10 = 0,000,000 000 000 001 -15 10 = 0,000 000 000 000 001 -18 10 = 0,0001

OBSERVACIONES Los smbolos de los mltiplos o submltiplos se escriben en singular. Todos los nombres de los prefijos se escribirn en minscula. Los smbolos de los prefijos para formar los mltiplos se escriben en maysculas, excepto el prefijo de kilo que por convencin ser con la letra k minscula. En el caso de los submltiplos se escriben con minsculas. Al unir un mltiplo o submltiplo con una unidad del S.I. se formaotra nueva unidad. Ejemplo: El smbolo de una unidad no admite punto al final. Cada unidad tiene nombre y smbolo; estos se escriben con letra minscula, a no ser que provenga del nombre de unapersona, en cuyo caso se escribirn con letra mayscula.NOTACIN NOTACIN EXPONENCIALEn la fsica, es muy frecuente usar nmeros muy grandes, pero tambin nmeros muy pequeos; para su simplificacin se hace uso de los mltiplos y submltiplos. Unidad del S.I.Nuevas Unidades m km cm (metro) (kilmetro) (centmetro)1.MLTIPLOSPREFIJO Deca Hecto Kilo Mega Giga Tera Peta Exa SMBOLO D H k M G T P E FACTOR DEMULTIPLICACIN 101 = 10 102 = 100 103 = 1 000 106 = 1 000 000 109 = 1 000 000 0001012 = 1 000 000 000 000 1015 = 1 000 000 000 000 000 1018 = 1 000 000 000 000 000 000 La escritura, al unir mltiplo o submltiplo con una unidad del S.I. es la siguiente: Primero: El nmero (valor de la magnitud). Segundo: El mltiplo o submltiplo (dejando un espacio) Tercero: La unidad del S.I. (sin dejar espacio). Ejemplo: 2010 m =20 km (20 kilmetros) 6 36,410 f = 36,4 f (36,4 microfaradios)3

Magnitudes Fsicas15SIGNIFICATIV TIVAS CIFRAS SIGNIFICATIVASCuando un observador realiza una medicin, nota siempre que el instrumento de medicin posee una graduacin mnima: IlustracinCONCEPTO DE CIFRAS SIGNIFICATIVASLas cifras significativas de un valor medido, estn determinados por todos los dgitos que pueden leerse directamente en la escala del instrumento de medicin ms un dgito estimado. En el ejemplo del libro, la longitud del mismo se puede expresar as:33,5 cm ; 335 mm ; 0,335 m Es notorio que el nmero de cifras significativas en el presente ejemplo es tres. El nmero de cifras significativas en un valor medido,generalmente se determina como sigue:La regla graduada tiene como graduacin mnima el centmetro.lEl dgito distinto de cero que se halle ms a la izquierda es el ms significativo. lEl dgito que se halle ms a la derecha es el menos significativo, incluso si es cero. l El cero que se coloca a la izquierda del punto de una fraccin decimal no essignificativo. 20 ; tiene una cifra significativa. 140 ; tiene dos cifras significativas. 140,0 ; tiene cuatro cifras significativas. 1 400 ; tiene dos cifras significativas. l Todos los dgitos que se hallen entre los dgitos menos y ms significativos son significativos. Ejemplo; determinar el nmero de cifras significativas:Al medir el largo del libro se observa que su medida est entre 33 y 34 cm.Se podr afirmar entonces que el largo del libro mide 33 centmetros ms una fraccin estimada o determinada al ojo as por ejemplo, nosotros po, demos estimar: L = 33,5 cm.4,356 m ; tiene cuatro cifras significativas. 0,23 m ; tiene dos cifras significativas. 0,032 m ; tiene dos cifras significativas 36,471 2 m; tiene seis cifrassignificativas 6,70 m ; tiene tres cifras significativas 321,2 m ; tiene cuatrocifras significativas 2,706 m ; tiene cuatro cifras significativas

16Jorge Mendoza DueasTEST1.Entre las alternativas, una de las unidades no corresponde a las magnitudes fundamentales del sistema internacional: a) b) c) d) e) 2.metro (m) Pascal (Pa) Amperio (A) candela (cd) segundo (s) a) b) c) d) e) 7.50 millas y por 2,05 10 m 420 millas y por 2,1 10 m 5 30 millas y por 2,1 10 m 4 40 millas y por 10 m N.A.4Un estudiante determinado meda 20 pulg de largo cuando naci. Ahora tiene 5 pies, 4pulg y tiene 18 aos de edad. Cuntos centmetros creci, en promedio, por ao? a) b) c)) e) 6,2 cm 5,3 cm 5,4 cm 6,7 cm 4,3 cmQu magnitud est mal asociada a su unidad base en el S.I.? a) b) c) d) e) Cantidad de sustancia kilogramo Tiempo segundo Intensidad de corriente Amperio Masa kilogramo Temperatura termodinmica kelvin8.Cul de las siguientes alternativas tiene mayor nmero de cifras significativas? a) b) c) d) e) 0,254 cm 2 0,002 54 10 cm 3 254 10 cm 3 2,54 10 m Todos tienen el mismonmero3.Cul de las unidades no corresponde a una unidad fundamental en el S.I.? a) b) c) d) e) A Amperio mol mol C Coulomb kg kilogramo m metro9.4.Entre las unidades mencionadas, seala la que pertenece a una unidad base en el S.I. a) b) c) d) e) N Newton Pa Pascal C Coulomb A Amperio g gramoDetermine el nmero de cifras significativas en las siguientes cantidades medidas:(a) 1,007 m, (b) 8,03 cm, (c) 16,722 kg, (d) 22 m a a) b) c) d) e) 4 2 4 1 2 b3 2 3 1 1 c 5 5 5 3 3 d 3 2 2 2 25.Qu relacin no corresponde? 10.a) b) c) d) e) 1 GN = 10 N 12 2 TJ = 210 J 9 1 nHz = 10Hz 9 3 MC = 310 C 12 A 5 pA = 5109Cul de las cantidades siguientes tiene tres cifras significativas? a) b) c) d) e)305 cm 0,050 0 mm 1,000 81 kg 2m N.A.6.Al convertir una seal de camino al sistema mtrico, slo se ha cambiado parcialmente.Se indica que una poblacin est a 60 km de distancia, y la otra a 50 millas de distancia (1 milla = 1,61 km). Cul poblacin est ms distante y en cuntos kilmetros?

Magnitudes Fsicas17RESUELTOS PROBLEMAS RESUELTOSA 1.problemas de aplicacin Efectuar: E = 5 000 00,01 Solucin: E = 5 10 B 1.problemas complementarios Dar la expresin reducida: E = Solucin:2(9 000)3 (0 , 000 81)2 (0 , 000 000 243)2e4je1 10 j

E = 5 10 4 2 = 5 102 E = 500 2.Efectuar: E = 0 , 005 10 4 30 000 000 Solucin: E5 10 3 10 4 3 107E= E=(32 103 )3 (81 10 5 )2 (243 10 9 )2 36 109 38 10 10 310 10 18=36 109 (34 10 5 )2 (35 10 9 )2= 3( 6 + 8 10 ) 10( 9 10 +18 )E = 3( 6 + 8 10) 10( 9 10 +18)E = 34 1017eje jej2.E = 81 1017 Dar el valor simplificado de: R= Solucin:E = 5 10 3 4 + 7 = 5 100 E=5 3.Convertir: 400 320 m a km Solucin: 1 km 400 320 m =400 320 m 1 000 m 400 320 m = 400,320 km 4.km m Convertir: 360 a h s Solucin: kmkm 1 000 m 1h = 360 360 h h 1 km 3 600 s 360 km (360)(1 000) = m/ s h 3 600b25 000g b0, 000 125g b0, 006 25g b0, 05g2 4 5 353b25 000g b0, 000 125g b0, 006 25g b0, 05g e25 10 j e125 10 j R= e625 10 j e5 10j e5 10 j e5 10 j R= e5 10 j e5 10 jR=2 4 3 5 6 5 5 2 2 2 3 3 6 3 4 5 2 2 43

4R=510 1015 59 10 18 58 10 10 54 10 810 + 9 8 4km 36 10 4 = = 10 4 2 m / s 360 h 36 102 360 km = 100 m / s h 3.R = 5bg 10b15 18 + 10 + 8gR = 57 10155.

Cuntos Gm tendrs en 2 230 m? Solucin: 109 m 2 230 m = 2, 23 103 9 Gm 2 230 m = 2, 2 10 6 Gm 2 230 m = 2, 23 103 m 1 GmHallar la altura del nevado Huascarn en hectmetros si expresado en metros mide 6 780 m. Solucin: 6 780 m = 6 780 m 6 780 m = 67 , 80 Hm 1 Hm 102 m

184.Dar el espesor que forman 26 monedas en lo que cada una de ellas tiene un espesor de 2 mm; expresar dicho resultado en nm. Solucin: Q=6 1/ 2Jorge Mendoza Dueas6 1/ 3e5 10 j e2 10 j Q= e5 10 je2 10 j4 6 2 4 43 452 10 3 22 10 2 52 10 4 216 10 12= 214 10b3 2 + 4 + 12gQ = 214 1011 7.Hallar en Em la distancia que existe desde la tierra a una estrella, siendo esta distancia equivalente a 2 aos luz. (1 ao luz = distancia que recorre la luz en un ao de 365 das). Considere que la luz recorre 300 000 km en 1 segundo. Solucin:e = 26 2 mm e = 26 2 mm e = 52 10 3 m1m 1 000 mme = 52 10 3 m 1 nm 10 9 me = 52 10 3 10 +9 nm e = 52 106 nm5.Un cabello humano crece a razn de 1,08 mm por da. Expresar este clculo en Mm / s. Solucin: 1, 08 mm 1, 08 mm = V= 1 da 24 h 1, 08 mm 1m 1h V= 24 h 1 000 mm 3 600 s V= m 24 103 36 10 2 s m s 108 10 2321 321 321 321 321 321 321 321 321d = 2 ao luz 1 ao luz = 300 000 1ao luz = 300 000 km 365 das s4321 4321 4321 4321 4321 4321 4321 4321km 24 h 3 600 s 365 dia s 1 dia 1h1ao luz = 300 000 365 24 3 600 km1ao luz = 3 105 365 24 36 102 km4321 4321 4321 43211ao luz = 946 080 107 km 1 000 m 1 Em 18 1 km 10 mV = 0 ,125 10 7 V = 0 ,125 10 7

1ao luz = 946 080 107 10 3 10 18 Em 1M1ao luz = 946 080 10 8 Emm m s s 10 6 m s Mm sFinalmente: d = 2 946 080 10 8 EmejV = 0 ,125 10 6.13d = 1 892160 10 8 Em d 19 10 3 EmExpresar en potencias de 10. Q= Solucin: 0 , 000 625 3 0 , 000 064b0, 05g b0, 016g6 1/ 2 6 2 2 3 4248.Convertir: 30 m/s a milla/h 1 milla = 1 609, 347 m Solucin: 30 m m 3 600 s 1 milla = 30 s s 1 h 1 609 , 347 me625 10 j e64 10 j Q= e5 10 j e16 10 j1/ 354321 54321 54321 4354321 21 4321 4321 432154321 54321 54321 54321

Magnitudes Fsicasm 30 3 600 milla = s 1 609 , 347 h Solucin:* 1 kg = 2, 2 lb1930m milla 30 = 67 ,108 s h 9.Convertir: 1kwh a Joule (J) ; 1 kw = 1 kilowatt1 000 g = 2, 2 lb1 g = 2, 2 10 3 lb* 1 litro = 1dm3 1 litro 1 = dm3 1 000 1 0001 ml = 10 3 dm3watt =Solucin: 1 kwh = kw h 1 kwh = kw h Newton s*1 lb pulg 1 lb3=1 lb pulg31g 2, 2 10 13lb1 pulg3b0, 254 dmgg dm331 000 w 3 600 s 1 kw 1hpulg3 1 lb pulg 1 lb pulg 1 lb3 3=e2, 2 10 jb0, 254gg dm3 g dm g ml33

3

1 kwh = 36 105 w s Joule 5 1 kwh = 36 10 w s s 1w 1 kwh = 36 105 Joule 10. Cnvertir: lb pulg3= 27 738 ,1= 27 738 ,110 3 dm3 1 mlpulg3 a gramo g mililitro ml= 27 , 738 1FG IJ H K1 litro = 1dm3 ; 1 kg = 2,2 lb ; 1 pulg = 0,254 dm

PROBLEMAS PROPUESTOSA 1.problemas de aplicacin Efectuar: E = 0,0022 000 Rpta. E = 4 2.Efectuar: E = 22500,020,000 00410 Rpta. E = 180 Efectuar: E = 4 000 004 10 4 0 , 003 0 , 000 004 4 65.Expresar el resultado en notacin cientfica.3E= Rpta. 6.E = 10327 000 00040 , 008 1Dar el resultado de efectuar: E= 0 , 003 49 000 0 , 9 0 , 081 8 100 270 0 , 73.b g2Rpta. E = 30,000 03 4.Cul es el resultado de efectuar: E = Rpta. E = 26,35104 2, 635 26 , 35 ? 0 , 000 263 5 7.Rpta.E = 105Qu distancia en Mm recorri un mvil que marcha a 36 km/h en 2 Es? Rpta. 21013

208.En un cm3 de agua se tiene aproximadamente 3 gotas, en 6 m3 Cuntas gotas tendremos? Rpta. 9.18 106 gotas 5.Jorge Mendoza DueasHalla la expresin reducida en: M=b0, 000 008 Jg b128 000 Jg b0, 025 6 Jg b400 Ng423; 1J = Nm s2A cuntos kPa equivalen 25 GN distribuidos en 2 2 5 Mm ? (Pa = N/m ) Rpta. 5 kPa 6.Rpta.M = 2-71011 m/s210.Si 1J = Nm, expresar en pJ el producto de 6 GN por 12 am. Rpta. 72 x 10 pJ3En un cultivo bacterial se observa que se reproducen en progresin geomtrica cada hora, en razn de 2 000 bacterias. Si inicialmente se tuvo 8 bacterias. Cuntas habranen 3 horas? Expresar este resultados en Gbacterias? Rpta. 64 GbacteriasB 1.problemas complementarios Eectuar: E = Rpta. 0 , 000 020 123 25 10 5 146 234-47.Una pelota de 0,064 5 m de dimetro est sobre un bloque que tiene 0,010 9 m de alto. A qu distancia est la parte superior de la pelota por sobre la base del bloque? (Dar su respuesta en metros) Rpta. 7,54102 mE = 3,44108.2.0 , 000 000 000 004 45 000 000 Efectuar: E = 0 , 000 006 30 000 Rpta. E = 0,001Se ha encontrado que en 1 kg de arena se tiene 6,023 1023 granos de arena. Cuntos ng habr en 18,069 1028 granos de arena? Rpta. 31017 ng3.Efectuar:b0, 000 000 004 002g E=45 0008

39.1019 22 0 , 006Una bomba atmica libera 40 GJ de energa. Cuntas bombas se destruyeron si se obtuvo 641036 J de energa? Rpta. 161026 bombasRpta.E = 5,223 x 1010.4.Halla la expresin reducida en (pN) E= Rpta.Un cuerpo tiene una masa de 1 500 Mg y un volumen de 4 500 km3. Hallar su densidad en g/m3. Rpta. g 1 103 3 3 mb6, 4 GNg b0, 000 32 Ng b1600 kNg b12, 8 TNg b8 Ng32 pN

Magnitudes Fsicas21ANLISIS DIMENSIONALEstudia la orma como se relacionan las magnitudes derivadas con las undamentales. Toda unidad sica, est asociada con una dimensin sica. As, el metro es una medida de la dimensin longitud (L), el kilogramo lo es de la masa (M), el segundo pertenece a la dimensin del tiempo (T). Sin embargo, existen otras unidades, como el m/s que es unidad de la velocidad que puede expresarse como la combinacin de las antesmencionadas. Dimensin de longitud Dimensin de velocidad = Dimensin del tiempo As tambin, la aceleracin, la fuerza, la potencia, etc, pueden expresarse en trminos de las dimensiones (L), (M), y/o (T). El anlisis de las Dimensiones en una ecuacin, muchas veces nos muestra la veracidad o la falsedad de nuestro proceso de operacin;esto es fcil de demostrar ya que el signo = de una ecuacin indica que los miembros que los separa deben de tener las mismas dimensiones. Mostraremos como ejemplo: ABC= DEF Es una ecuacin que puede provenir de un desarrollo extenso, una forma de verificar si nuestro proceso operativo es correcto, es analizndolo dimensionalmente,as: (dimensin de longitud) = (dimensin de longitud)2 2Fines del anlisis dimensional1. El anlisis dimensional sirve para expresar las magnitudes derivadas en trminosde las fundamentales. 2. Sirven para comprobar la veracidad de las frmulas fsicas, haciendo uso del principio de homogeneidad dimensional. 3. Sirven para deducir las frmulas a partir de datos experimentales.ECUACIONES DIMENSIONALESSon expresiones matemticas que colocan a las magnitudes derivadas en funcin de lasfundamentales; utilizando para ello las reglas bsicas del algebra, menos las desuma y resta. Estas ecuaciones se diferencian de las algebraicas porque slo operan en las magnitudes. NOTACIN A : Se lee letra A [A] : Se lee ecuacin dimensional deAEjemplos: Hallar la Ecuacin Dimensional de:Velocidad (v)v= e L e v = = t t Tv = LT 1En el presente caso comprobamos que ambos miembros poseen las mismas dimensiones, luego la ecuacin es correcta. En la aplicacin del Mtodo Cientfico, ya sea para laformulacin de una hiptesis, o en la experimentacin tambin es recomendable usar el Anlisis Dimensional.Aceleracin (a)a= v LT 1 v a = = t t Ta = LT 2

22Jorge Mendoza DueasFuerza (F)F = m.a ; siendo a = aceleracin F = m. aPresin (P)P= F MLT2 Fuerza P = = Area A L2F = MLT2P = ML1T 2Trabajo (W)W = F. dDensidad (D)D= M M Masa D = = Volumen V L3W = F. d W = F d = MLT2LW = ML2T 2D = ML3Potencia (P)P= W ML2T 2 W P = = t t TPRINCIPIO DE HOMOGENEIDADSi una expresin es correcta en una frmula, se debe cumplir que todos sus miembrosdeben ser dimensionalmente homogneos. As: E A + B + C = DP = ML2T3Area (A)A = (Longitud)(Longitud) A = L LA = L2V =V =V =V =V Por lo tanto se tendr:E = A = B = C = DVolumen (V)V = (Longitud)(Longitud)(Longitud)V = L3OBSERVACIN Los nmeros, los ngulos, los logaritmos y las unciones trigonomtricas, notienen dimensiones, pero para los eectos del clculo se asume que es la unidad.

Magnitudes Fsicas23TEST1.Siendo a una magnitud fsica, que proposicin o que proposiciones siempre se cumplen: I. [a] + [a] + [a] = [a] II. [a] [a] = [a] III. [a] [a] = 0 a) b) c) 2.I II I y II d) e) III N.A. a) b) c) 7.VVV VVF FFF d) e) FFV VFVRespecto a una frmula o ecuacin dimensional, sealar verdadero o falso: I.Todos lostrminos en el primer y segundo miembro tienen las mismas dimensiones. II. Todoslos nmeros y funciones trigonometricas que figuran como coeficientes tienen las mismas dimensiones, e igual a 1. III. La ecuacin dimensional de los trminos del primer miembro, difieren de las dimensiones del segundo miembro. a) b) c) VVF VVVFVV d) e) VFV FVFCul ser las dimensiones de Q = 3 kg / m. s2 ? a) b) c) ML T 1 2 ML T 2 MLT1 1d) e)M LT M LT13.Qu relacin no es correcta dimensionalmente? a) b) c) [fuerza] = M LT d) [trabajo] =M L T 1 [frecuencia] = T e) [carga elctrica] = I .T 1 [velocidad angular] = T2 2 28.El S.I. considera ................ fundamentales y ........................ concarcter geomtrico. a) b) c) d) e) Tres magnitudes dos auxiliares Siete magnitudes dos auxiliares Seis magnitudes una auxiliar Tres magnitudes una auxiliar N.A.4.Precisar verdadero o falso dimensionalmente: I) II) L+L+ LL=Lx m kg( )En sec (P + 12) P = 1 ( ) x = ML1 ( ) d) e) FVV FFV 9.III) En a a) b) c) 5.VVF FFF VVVQu magnitud no est asociada a sus correctas dimensiones? a) b) c) d) e) Velocidad Fuerza Volumen Densidad Aceleracin LT 2 ML T 3 L 3 ML 2 LT1Qu proposicin o proposiciones son falsas respecto al Anlisis Dimensional? 10.I. Sirve para hallar las dimensiones de los cuerpos. II. Se emplea para verificar frmulas propuestas. III. Se usa para deducir frmulas. a) b) c) I II III d) e) I y IIIII y IIQu unidad va asociada incorrectamente a las dimensiones dadas?a) b) c)

6.Respecto al anlisis dimensional sealar verdadero o falso: I.Pueden existir dos magnitudes fsicas diferentes con igual frmula dimensional. II. Los arcos en la circunferencia son adimensionales. III. Dimensionalmente todos los ngulos y funcionestrigonomtricas representan lo mismo.kg s m m kg 2 s m A skg m2 A s2 MTL1 MLT 2 ILTd) ML2A 1T 2 ML3T 4e)kg m3 s4

24Jorge Mendoza DueasRESUELTOS PROBLEMAS RESUELTOSA 1.problemas de aplicacin Halle la dimensin de K en la siguiente frmula fsica: m v= F Donde; m : masa F : uerza v : velocidad Solucin: t Analizando cada elemento:m =M v = LT 1 F = MLT 2 t Luego tendremos: K = m v F2 23.Hallar la dimensin de y en l siguiente frmul: V = .A + .D Donde; V : volumen: densidd Solucin: t Aplicndo el principio de homogeneidd. V = A = D t Determinndo: V = A=

MgeLT jMLT21=ML2T 2 MLT2L3 = L2 =Lt Determinndo: V = DK =L 2.Hlle l dimensin de S en l siguiente frmul fsic: S= F d m c2 4.L3 = ML3 = M1L+6Donde; F : fuerz m : ms d : distnci v : velocidd Solucin: t Anlizndo cdelemento: F = MLT 2 d =L m =M c = LT1Si l siguiente ecucin es dimensionlmente homogne, determinr l ecucin dimensionl de x e y . Siendo; A : fuerz B : trjo C : densidd Ax + By = C Solucin: t Sil expresin es dimensionlmente homogne, entonces: r Ax + By = C A x = B y = C rA = MLT 2 B = ML2T 2 C = ML3t Luego tendremos: S = F d m c S =12=eMLT jLg = ML T MgeLT j ML T2 12

2 2 2 2t Con lo cul se tiene: A x = C MLT 2 x = ML3 x = ML3 MLT 2 x = L4 T 2

Magnitudes Fsicast B y = C B 1. y = L5T 2 problemas complementarios25ML2T 2 y = ML3y =ML3 ML2T 2

Halle la dimensin de A y B en la siguiente frmula fsica. W v = +F A B Donde; W : trao v : volumen F : fuerza Solucin: t Aplicando el principio de homogeneidad:5.Si la siguiente expresin es dimensionalmente homoz y x gnea: P = q R s Donde; P : presin q : fuerza R : volumen s : longitudHallar: x 3y Solucin: t P = ML1T 2 R = L3 tP = qzR y s xq = MLT 2 s =LLM W OP = LM v OP N A Q NBQW A = F1/ 2= Ft Determinando AP = q R ML T1 2zysx 2 z y= MLTej eL j bLg3xML2T 2 = MLT 2 A t Determinando B v B1/ 2 1/ 2A =LML1T 2 = MzLz T 2zL3 yLxML1T 2 = MzLz 3 y + x T 2z

= F v F2 L3B1/ 2=v1/ 2FM1 = Mz z =1 1 = z 3y + x 1 = 1 3y + xL1 = Lz 3 y + x t Nos piden:B ==eMLT j22x 3y x 3y = 2 2.B = M2LT 4

Halle la dimensin de A B y C en la siguiente fr, mula fsica. 2 E = A.F + B. v + CE : trjo F : fuerz v : velocidd : celercin Solucin: t Aplicndo el principio de homogeneidd: E = AF = Bv 2 = C t Determinndo A : E = A F ML2T 2 = A MLT 2 A =LNOTA Las ecuaciones dimensionales slo afectan a las bases, ms no a los exponentes,pues estos siempre son nmeros y por lo tanto estos exponentes se conservan siempre como tales (nmeros). De lo expuesto, queda claro que la ecuacin dimensional detodo exponente es la unidad.

26t Determinando B : E = B v2Jorge Mendoza Dueas5.Determinar las dimensiones que debe tener Q para que la expresin W sea dimensionalmente homognea. W = 0,5 mcx + Agh + BP Siendo: Q = A x B ; Adems; W : trjo h: ltur m : ms P : potenci c : velocidd A,B : constntes dimensionles g :celercin Solucin: R = (x + t)(x y)(y + z) Donde ; t: tiempo Solucin: t Oservmos por el principio de homogeneidd: x =T y = x = T2 z = y = T22 2 xML2T 2 = B LT 1e j2B =Mt Determinando C : E = C aML2T 2 = C LT 2 C = ML3.Halle la dimensin de R en la siguiente frmula fsica:2 2t Aplicando el principio de homogeneidad: W = m c = A g h = B P t W = A g h ML2T2 = A = LT 2L A =Mxe j2= T4tB P = W B W t = W B = tt Luego tendremos: R = x y z R = T T2 T 4 4. R = T7B =T t W = m cxLa potencia que requiere la hlice de un helicptero viene dada por la siguiente frmula: P = K. R . W . D Donde; W : R : D : K : Calcular x,y,z. Solucin: P = K RxML2T 2 = M LT 1e jxx

yzML2 T 2 = MLx T xx=2velocidad angular (en rad/s) radio de la hlice (en m) densidad del aire (en kg/m3) nmerot Finalmente: Q = AxB1/ 2Q = M2T1/ 2Wy xDz y 3 z6.ML2T 3 = 1 Lb gb g eT j eML j1Suponga que la velocidad de cierto mvil, que se desplaza con movimiento bidimensional, puede determinarse con la frmula emprica: V = aT 3 + b T2 cML2T 3 = Lx T yMzL3zML2T 3 = MzLx 3z T y M1 = Mz z = 1 L2 = Lx3 1Donde: T, es tiempo; a, b, c, son constantes dimensionales. Determine las dimensiones de a, b, y c, para que la frmula sea homognea dimensionalmente. Solucin: Porel principio de homogeneidad:bg x 3= 2 x = 5 y=3T 3 = T y

Magnitudes Fsicast de: t T2 c 327c = T2 Solucin: t a = LT 4 tan = nmeroV = TLT 1 = T 3 t V = b T2Dimensionalmente; para que (n + tan ) se homogne: [n] = [tn ] = 1LT 1 = 7.

T2Con lo cul: n + tn = nmero b = LT [n + tan ] = 1 t Con todo el sistem: Fx

Si l siguiente ecucin es dimensionlmente homogne. Hllr: x 2y = vt x 1 + k y xDyv = n + tn m1 m2 m3x 3 y 1 zzejeMLT j eML j eLT j = 1gMgMgMgMxLx T 2 xMyL3 yLz T z = M32Siendo;

: celercin v : velocidd t : tiempoMx + yLx 3y + z T 2 x z = M3L0 T0r rSolucin: Dimensionlmente se tiene: 1= k 1 = kyx yxMx + y = M3 Lx 3y + z 2 x z x+y=30=L

x 3y + z = 0 2x z = 0rT=T0Resolviendo: z = 9 yx=0 x x xy=xyy9.t Luego tendremos: a = vt 1 + ke j a = vt e1 + k j a = vt b1 + 1g0En la siguiente ecuacin dimensionalmente correcta. Determinar la ecuacin dimensional de x . E = Mvx + Mvx + Mvx + ........ Donde; M : masa ; v : velocidad Solucin:a = 2vt x t Dimensionalmente: a = 2 v tx xLT 2 = 1 LT 1 T LT2b ge jb gE = Mvx + Mvx + Mvx + ........ 1444 24444 4 3E= LT 1T xE = Mvx + E E = Mvx + E2LT 2 = LT x 1 T 2 = T x 1 x 1 = 2 Con lo cual:x = 1 y = 1t Dimensionalmente: E = M v x = E E = E Adems: M v x = E M v x =12 2Nos piden: x 2yx 2y = 1 2(1) x 2y = 1E =18.En la expresin mostrada. Hallar z F D v = (n + tan ) m1 m2 m3 Donde; F : fuerz D :densidd v : velocidd m1, m2,m3 : mss

x y z

MgeLT j x = 1x = 1 MLT 1 x = M1L1T1

2810.Si la siguiente expresin es dimensionalmente homognea. Determinar la ecuacin dimensional de K K = GMbx+yJorge Mendoza DueasResolviendo: x = y = z = t Luego: K = 2 M 3 2gLbz + x gTb y + zg +2Mb6 2xgLb6 2ygTb6 2zgSolucin: t Dimensionalmente:b 6 2 x g L b 6 2 y g T b 6 2z gL Tb x + yg L bz + x g T b y + x g = b 6 2z g TG M De donde: G = M 22 Mb6 2x g L b6 2ygK = 1 MbgFG 6 2F 3 I IJ FG 6 2F 3 I IJ FG 6 2F 3 I IJ H H 2K K H H 2KK H H 2K KK = M3L3 T3b x + y g = M b6 2x g bz + x g = L b6 2yg L b y + x g = T b 6 2z g T x + y = 6 2x z + x = 6 2y y + x = 6 2z

PROBLEMAS PROPUESTOSA 1.problemas de aplicacin Halle la dimensin de H en la siguiente frmula fsica. H= DF Donde; E : trjo ; v : velocidd ; F : fuerz. Rpt. = M1 = L1 4.Hlle l dimensin de A y B en l siguiente frmul: v = At + B x Donde; v : velocidd ; t : tiempo; x : distnci Rpt. A = LT 2 B = T 1 5.Siendo: h medid en m; d, peso especfico.Cul ser l ecucin dimensionl de t pr ue r se mid en m? Rpt. 3.t = MT 2 Hllel dimensin de A y B en l siguiente frmul: V= x2 g + A BDonde; D : densidd A : celercin V : volumen F : fuerz Rpt. 2.[H] = 1L medid de ciert propiedd (t) en un luido se determin por l expresin: h= 2trdDonde; v : velocidd ; x : distnci ; g : celercin Rpt. A = LT B = T 1Hlle l dimensin de y en l siguiente frmul fsic. v2 F + E=

Mgnitudes Fsics6.Hlle l dimensin de A B y C en l siguiente fr, mul fsic:e = A + Bt 2 + Ct 329B 1.prolems complementrios Determinr l dimensin de x si l ecucin es , dimensionlmente correct. xv 2 = WM + t2 ; donde: sen 30Donde; e : distnci (m) ; t : tiempo (s) Rpt. A =L B = LT 2dimensin de G H e I en l siguiente fr, mul fsic: F: celercin ; v : velocidd Rpt. G =M H = MT 1 I = MLT 2resin, clculr x + yS = K x t y K: constnte numric S : espcio : celercin

C = LT 3 7.Hlle l= G + Hv + I Donde; F : fue3.8.En l siguiente expt : tiempo

v : velocidd : celercin M : ms W : trjo Rpt. 2.M2LT2Hllr l ecucin dimensionl de z, si l ecucin mostrd, es dimensionlmente correct: tan =

w + wlog 2g + z g + gsen gx3w : peso ; g : aceleracin Rpta. MLT-2Determinar las dimensiones de a siendo ue l si, guiente ecucin es dimensionlmente correct: G= 4 2L2 L cos T2

gdonde; G : celercin de l grvedd T : tiempo y L : longitud Rpt. L2Rpt. 9.3Si l siguiente expresin es dimensionlmente homogne. Determinr:4.LM OP = ? N Q20 + t + k = : celercin t : tiempo Rpt. 10.T2L frccin mostrd es dimensionlmente correct y homogne: Ax3 + Bx2 + Cx + D A8+ B 6 + C 4 + D y A = L6 T 4 , determinr ls dimensiones de x . Rpt. L14T28/3

+p 5.Si l siguiente ecucin es dimensionlmente homogne, hllr ls dimensiones de .W= W : trjo v : velocidd F : fuerz Rpt. L1/2T1/2 5F log 8F2C 2 x +vSi l siguiente expresin es dimensionlmente homogne; determinr l ecucin dimensionl de C . C= R : longitud y : celercin Rpt. L T3 43Ry 2Nx

eN 2jx26.En l ecucin:P = Kgy dxhzHllr: (x.y.z)

30donde; P: presin g: celercin de l grvedd h: ltur K: constnte numric d: densidd Rpt. 7.1 9.mBL sen 30Jorge Mendoz Duesh : ltur m: ms A , A : res1 2Rpt.x=L y = M1En l expresin:Determinr l dimensin de pr ue l ecucin se homogne. W = + 2c e Donde; W: trjo e : espcio : celercin Rpt. MF IJ = e tn G A + H 2K

C(Ftn 10n12 60 cos 60)Hllr ls dimensiones de A, B y C pr ue se dimensionlmente homogne, donde: : ngulo en rdines L : longitud F : fuerz e : se de los logritmos neperinos m y n : nmeros Rpt. A = dimensionl 1/2 B=L 3/2 3/2 3 C=M L T10.Hllr [x][y]: x = sen + Donde; v : velocidd e : espcio m : ms t : tiempo B: nmero rel Rpt.M2LT 2d gi2vy + emB t8.Hllr ls dimensiones de x e y siendo ue l , iguldd mostrd es dimensionlmente correct.FG 2 x IJ H hK20 , 85 m=xy A1 A2

Mgnitudes Fsics31MEDICIN TEORA DE ERRORESCLASES DE MEDICIN A) Medicin directEs uell en l cul se otiene l medid exct medinte un proceso visul, prtir de un simple comprcin con l unidd ptrn. Ejemplo Ilustrtivo: Mgnitud:Longitud1 metroMEDICINMedicin, es el proceso por el cul se compr un mgnitud determind con l unidd ptrn correspondiente. Todos los ds un person utiliz l ctividd medicin; yse en nuestrs ctividdes personles, como estudinte o como trjdor. Cundo estmos en el colegio, por ejemplo; l tomr l sistenci, estmos midiendol cntidd de lumnos ue llegron clse; en este cso l unidd ptrn ser un lumno . Cundo jugmos ftol, el resultdo finl lo define l diferenci de goles fvor; l unidd ptrn ser un gol En ocsiones cundo nos tommos l tem. pertur,nos referimos siempre respecto un unidd ptrn 1C . Esto signific ue tod medicin uedr perfectmente definid cundo l mgnitud l ue nos referimos terminepor ser cuntificd respecto l unidd ptrn correspondiente. Ahor pr relizr l medicin, generlmente se hce uso de herrmients y/o euipos especiles s como tmin en lgunos csos de los clculos mtemticos. El resultdo de l medicinnos mostrr cuntittivmente el vlor de l mgnitud; y con ello podemos ser opredecir ls consecuencis ue conllevn dicho resultdo. As; si medimos l velocidd de untlet y otenemos como resultdo 1 m/s; sremos entonces ue ste nunc ser cmpen en un competenci de 100 metros plnos; esto signific ue grcis lmedicin (ctividd cuntittiv) podremos ser o predecir los resultdos culittivos. Ejemplo ilustrtivo

Unidd ptrn: 1 metroEn l figur, es fcil entender ue l longitud AB mide 3 veces 1 metro: 3 metros(medicin direct).B)Medicin IndirectEs uell medid ue se otiene medinte ciertos prtos o clculos mtemticos, y ue se hce imposile medirl medinte un proceso visul simple. IlustrcinSe uiere medir el re del rectngulo

Unidd Ptrn (un cudrito)9 veces un cudrito, dicho de otr form: 9 cudritosFrmul: Are = lrgo ncho A = (3 m)(2 m) A = 6 m2Se recurri al uso de una frmula matemtica

32Jorge Mendoza DueasERRORES EN LA MEDICINLa medicin es una actividad que lo ejecuta el hombre provisto o no de un instrumento especializado para dicho efecto. En toda medicin hay que admitir, que por ms calibrado que se encuentre el instrumento a usar, siempre el resultado obtenido estar afectado de cierto error; ahora, en el supuesto de que existiendo un aparatoperfecto cuyos resultados cifrados coincidieran matemticamente con la realidad fsica, nunca llegaramos a dicho valor, debido a la imposibilidad humana de apuntaral punto preciso o de leer exactamente una escala.Al medir la longitud entre dos puntos, en das calurosos, la cinta mtrica se dilatadebido a la fuerte temperatura, luego se cometer un error de medicin.B)InstrumentalesSon aquellos que se presentan debido a la imperfeccin de los instrumentos de medicin.Las agujas de un cronmetros son susceptibles al retraso o adelanto debido al mecanismo del mismo instrumento, luego se cometer un error de medicin.C)PersonalesSon aquellos, ocasionados debido a las limitaciones de los sentidos humanos en las observaciones (vista, tacto, etc.)A)ExactitudEs el grado de aproximacin a la verdad o grado de perfeccin a la que hay que procurar llegar.La vista de una persona puede no permitir observar correctamente las agujas de un reloj, se cometer entonces un error personal en la medida del tiempo.B)PrecisinEs el grado de perfeccin de los instrumentos y/o procedimientos aplicados.CLASES DE ERRORES A) PropiosSon aquellos que provienen del descuido, torpeza o distraccin del observador, estas no entran en el anlisis de la teora de errores.Es posible que el operador lea en la cinta mtrica 15,40 m y al anotar, escriba por descuido L = 154 m; ste es un error propio, tan grave que no se debe consideraren los clculos de Teora de Errores.C)ErrorPodra afirmarse que es la cuantificacin de la incertidumbre de una medicin experimental respecto al resultado ideal.CAUSAS DE ERRORES A) NaturalesSon aquellos errores ocasionados por las variaciones meteorolgicas (lluvia, vient

o, temperatura, humedad, etc).1516L=4 15

Magnitudes Fsicas33L = 0,305 mB)SistemticosSon aquellos que aparecen debido a una imperfeccin de los aparatos utilizados, ascomo tambin a la influencia de agentes externos como: viento, calor, humedad, etc. Estos errores obedecen siempre a una Ley Matemtica o Fsica, por lo cual es posible su correccin.L = 0,306 mCuando medimos el largo de un libro, cada vez que se mida, la lectura ser diferente.L= 0,304 mTEORA DE ERRORESL L BAEs imposible encontrar el verdadero valor del error accidental; si as fuese, podramos entonces calcular el valor exacto de la magnitud en medicin sumando algebraicamente el valor observado. No obstante es posible definir ciertos lmites de error, impuestos por la finalidad u objetivo de la medicin. As pues, queda claro que los errores accidentales tienen un rango establecido, cuyo clculo irn de acuerdo conlos principios y mtodos de la teora matemtica de errores con aplicacin del clculo deprobabilidades. Estableceremos convencionalmente dos casos:Supongamos que se quieree pandea como muestra laser la verdadera, habrte la siguiente frmula:

medir la longitud AB, pero al usar la cinta mtrica, sta sfigura, la lectura que se toma en estas condiciones noque corregir. L = L correccin La correccin se determina mediacorreccin = W2L 24F

Donde: W, L y F son parmetros conocidos.I.CUANDO SE REALIZA UNA SOLA MEDICINNOTA Esta clase de error no se tomar en cuenta en este libro.Hay casos en las que se toma una sola medicin u observacin respecto a un patrn establecido, as por ejemplo: PATRON = 3,141 592 654 g = 9,8 m/s2 tan 37 = 0,753 554 05VALOR APROXIMADO 3,141 6 10 m/s2 0,75C)Accidentales o FortuitosSon aquellos que se resentan debido a causas ajenas a la ericia del observador, y al que no uede alicarse correccin alguna, sin embargo estos errores suelenobedecer a las Leyes de las Probabilidades. Por tal motivo se recomienda tomar varias lecturas de una misma medicin, ues generalmente estas suelen ser diferentes.Es imortante establecer entonces bajo que error se est trabajando.

A)Valor verdadero (A)Es el valor exacto o atrn que se establece en una medicin, en realidad, tal valor exacto

34 no existe, ero se suele establecer de acuerdo al tio de trabajo a realizar;as or ejemlo, el valor verdadero de la constante () se uede considerar como 3,141 6.Jorge Mendoza DueasB)Desviacin (V)Se le llama tambin error aarente de una medicin. Es la diferencia entre la mediay el valor corresondiente a una medicin. Ejemlo: 10,20 V = 10,20 10,20 = 0 10,22 V = 10,20 10,22 = 0,02 10,18 V = 10,20 10,18 = +0,02B)Error Absoluto(EA)Es la diferencia entre el valor verdadero y el aproximado.EA = A ADonde;EA : error absoluto A : valor verdadero A : valor aproximadoC)Desviacin tpica stndar ()Viene a er el promedio de toda la deviacione de la medicione realizada.C)Error Relativo (ER)Llamado tambin error porcentual y no determina egn parmetro etablecido i la equivocacin puede er aceptable o no. = Donde;V2 n12 n 30ER =Donde;EA 100% AER : error relativo E : error aboluto A A : valor verdadero

: deviacin tpica o tndar V : deviacin de cada medicin n : nmero de medicione Pala explicacin de la preente exprein, partiremo diciendo que el nmero mnimo de medicione tendr que er do, de lo contrario no tendra entido hablar de promedio ypor ende de deviacin. Por otro lado no e difcil deducir que el promedio de todala deviacione era:V n2. CUANDO E REALIZA DO O M MEDICIONEGeneralmente cuando e lleva a cabo una medicin, no e conoce el valor verdadero;e por eto que e recomienda tomar varia medicione, no obtante, jam e podrconocer el valor exacto.

A)Media ( X )E el valor que tiende a ituare en el centro del conjunto de dato ordenado egn u magnitud. E la media aritmtica de un conjunto de dato.

in embargo, en la prctica, el reultado de dicha exprein iempre er cero; e porello que e utiliza la uma de lo cuadrado, la cual nunca e anular.D)Error probable de una obervacin (E0 )E aquel intervalo [E0 , + E0], dentro de cuyo lmite puede caer o no el verdadero error accidental con una probabilidad del 50%.E0 = 0, 674 5 X =x1 + x2 + x3 + ... + xn nEjemplo: 10,20 ; 10,22; 10,18X = 10, 20 + 10, 22 + 10,18 3Donde; E0 : error probable de una obervacin : deviacin tpica o tndar.X = 10 , 20

Magnitude Fica35E)Error relativo (ER)E la relacin entre E0 y la media X ; y viene a er el parmetro que califica la calidad del trabajo.F)Error probable de la media (E)Et vito que la media, tambin et ujeto a error. El error probable de la media al50% de probabilidad e puede determinar a:ER = ER = E0 X1E = 0, 674 5Donde;V2 n n1b gF XI GH E JK0Donde; ER : error relativoX : media E0 : error probable de una obervacinE : error probable de la media V : deviacin de cada medicin n : nmero de medicioneG)Valor m probable (V.M.P.)E aquel que e acerca m al verdadero valor pero que no lo e. Comnmente e conidera a la media como el valor m probable de varia medicione.V. M.P. = XEjemplo: upongamo que e deea realizar un trabajo de laboratorio, donde e requiito para obtener la meta deeada un error relativo1 menor que ; i el trabajo de laborato3 000Donde; V.M.P. : valor m probableX : mediario arroj un ER = Tendremo:1 4 0001 1 < 4 000 3 000

Como quiera que el V.M.P. nunca er el valor verdadero, e deduce que exitir un error y que dicho valor exacto etar ubicado dentro del rango de cierto lmite; ete er:V.M.P. E , V.M.P. + EDe donde e deduce que el trabajo realizado e aceptable; de lo contrario habr que volver a empezar.Donde; E : error probable de la media

36Jorge Mendoza DueaTET1.............., e el proceo por el cual e compara una magnitud determinada conla unidad ............ previamente etablecida. a) b) c) d) e) Etimacin se Medicin ptrn Estimcin de comprcin Medicin se Mrccin estelr6.L medi de un grupo de medids de cierto peso es 28,5 g, siendo un de ls medids otenids 27,8 g; l desvicin ser: ) ) c) d) e) +1,3 g 1,3 g 0,7 g +0,7 g +0,9 g2.Selr verddero o flso en ls siguientes proposiciones: I. Exctitud, es el grdo de proximcin l verdd o perfeccin l ue se procur llegr. II. Precisin instrumentl o procedimentl, es el grdo de perfeccin lcnzdo. III. Error,es l cuntificcin de l incertidumre de un medicin experimentl respecto l resultdo idel. ) ) c) VFF VFV FFV d) e) VVV FVF7.En l medicin de l longitud de un terreno, el vlor ms prole otenido: 100,212 0,000 8; esto signific ue: ) ) c) d) e) El vlor rel est comprendido entre100,211 2 y 100,212 8. El vlor ue ms se cerc es 100,22 El vlor ms prole es100,212 8 El vlor menos prole es 100,212 6 N.A.8.L medi de 5 mediciones sido 12,6, si un de ests mediciones fue 12,7, hllr l desvicin prente otenid. ) ) c) d) e) 0,1 0,1 25,3 25,3 N.A.3.Cul de ls lterntivs no puede ser un cus de error en ls mediciones? ) ) c) d) e) Nturles. Instrumentles. Personles. Tempermentles. N.A.9.Cunto pgue por 0,5 Mg, 300 kg, 50 Hg de rroz S/. 2,00 el kilo? ) ) c) d) e)S/. 10 000 S/. 5 000 S/. 1 610 S/. 9 050 N.A.4.

Errores................... provienen del descuido, torpez o distrccin del oservdor, ests no entrn en el nlisis de................ ) ) c) d) e) Sistemticos teor de errores. Propios l teor de errores. Accidentles mtodos cientficos. Fuitos mtodos cientficos. N.A.10.L sum de los cudrdos desviciones de cierto grupo de medids (cinco mediciones) fue 81. Hllr su desvicin tpic o stndr. ) ) c) d) e) 6,5 5,5 3,5 8,5 4,5

5.Cul es l medi o promedio ponderdo de ls mediciones de ciert vrill cuys medids otenids fueron: 12 cm ; 14 cm ; 11 cm ; 13 cm ; 12 cm ) ) c) 12 cm 12,2cm 12,4 cm d) e) 11,8 cm 12,8 cm

Mgnitudes Fsics37RESUELTOS PROBLEMAS RESUELTOSA 1.prolems de pliccin Se h otenido los siguientes vlores l determinr lms de un cuerpo: 2,350 g; 2,352 g; 2,348 g y 2,350 g. Cul es el vlor ms prole? Solucin: V.M.P. = X Clculndo l medi: X X= 2, 350 + 2, 352 + 2, 348 + 2, 350 4 4.Un lumno A mide l longitud de un hilo de 5 m y hll un vlor de 6 m, otro lumno B mide l longitud de un pseo de 500 m y hll un vlor de 501 m. Qu error soluto se cometi en cd cso?, u medid fu ms precis? Solucin: En el cudroostrdo notmos ue mos lumnos cometieron el mismo error soluto: 1 metro por exceso, y l medid ms precis fue l del lumno B, y ue cometi un error reltivo menor. ALUMNO A B 5.ERROR ABSOLUTO 1 m (exceso) 1 m (exceso) ERROR RELATIVO1 100 = 20% 5 1 100 = 0 , 2% 500 t Clculdo el error reltivo ER = EA 100% A 0 ,001 6 100% ER = 3,141 6ER = 0 , 051%X = 2, 350 Luego: V . M. P. = 2, 350 2.Consideremos l longitud de un mes 112,8 cm; l medirl hemos otenido 113,4 cm; hllr el error soluto y el error reltivo. Solucin: t Clculndo el error solutoEA = A' A EA = 113, 4 112, 8EA = + 0 , 6 cm (por exceso) t Clculdo el error reltivo EA 100% A 0, 6 100% ER = 112, 8 ER = ER = 0 , 53% 3.Qu error reltivo, se comete l dr = 3,141 6 elvalor 3,14? Solucin: t Calculando el error absolutoEA = A' ACon cunta cifra decimale debemo tomar el nmero = 3,141 59 ara que su error relativo sea menor del 0,1%? Solucin: ER < 0 ,1% EA 100% < 0 ,1% A EA 100% < 0 ,1% 3,141 59 EA < 0 , 00314 Rta. Dos cifras decimalesVerificando: ER = 3,14 3, 141 59 100% 3,141 59EA = 3,14 3,141 6 EA = 0 , 001 6 (por defecto)Tomando valor aboluto: ER = + 0 , 05% < 0 , 1%

38B 1.problema complementario En la medida de 1 metro, ee 1 mm y en 300 km un error de 300 m. Qu error relativoL = 1 m A = 1 000 mm EA 100% A 1 100% ER = 1 000 ER =0 km A = 300 000 m EA 100% A 300 100% ER = 300 000 ERER = 0 ,1%

ha cometido un error de mayor? olucin: t CuandoER = 0 ,1% t Cuando L = 30=

Jorge Mendoza DueaMEDICIONE 4,556 mm 4,559 mm 4,553 mm 4,561 mm 4,562 mm 4,555 mm 4,557 mm 4,553mm 4,556 mm 4,558 mm X = 4,557 mmERRORE (V) +0,001 0,002 +0,004 0,004 0,005 +0,002 0,000 +0,004 +0,001 0,001V = 0,000V2 0,000 001 0,000 004 0,000 016 0,000 016 0,000 025 0,000 004 0,000 000 0,000 016 0,000 001 0,000 001 V2 = 0,000 084Cmo e debe exprear el reultado final de la medicione? olucin: t Calculando elerror probable de la media (E) E = 0 , 674 5 V2 n n1Rpta. Lo doque pea 200pea 2 kg dequella peada100% ER = 200E = 0 , 000

tienen igual error relativo 2.Qu medida e m precia: La de un qumicomg con una balanza que aprecia el miligramo o la de un tendero quearroz con una balanza que aprecia el gramo? olucin: er m precia acuyo error relativo ea menor. t Con el qumico: ER = EA 100% A 1 mg mg 4.E = 0 , 674 57

b g bg0 , 000 084 10 9

t El valor m probable: V.M.P. = X = 4,557 Luego el reultado final podr er expreado. 4,557 0,000 7 Del concepto de teora de errore, e deduce que hay un 50% deprobabilidade de que el verdadero valor del reultado final et comprendido entre 4,556 3 m y 4,557 7 m. e ha medido la longitud de un terreno, lo dato obtenido en metro on: 1 Medicin : 100,212 2 Medicin : 100,210 3 Medicin : 100,214 e pde: A) Calcular la media. B) Calcular la deviacin tpica o tndar (). olucin:ER = 0 , 5%t Con el tendero 1g 100% ER = 2 000 gER = 0 , 05%Rpta. E m precia la medida del tendero 3.Conideremo la iguiente erie de medicione realizada con un efermetro:A)

on tre medicione n = 3

Magnitude Fica100 , 212 + 100 , 210 + 100 , 214 300 , 636 = 3 3 6.39Con ayuda de un teodolito e midi un ngulo, realizando una obervacin angular en ocaione diferente y por diferente obervadore. Calcular la media. Lo dato de campo on:2X=X = 100 , 212 B) Tabulando MEDIDA 100,212 100,210 100,214 V = X Xi 0 +0,002 0,002 umatoria V2 8 10 6 = = 31 n1 = 0 , 002V0 4106 410 8106 6 = 40 20 10 1 = 40 20 30 2 = 40 20 5031 medid 4 medids 3 medidsClculr l medi. Solucin: n = 1 + 4 + 3 = 8 oservciones =5.En el prolem nterior clculr: A) El error reltivo B) El resultdo finl Solucin: A) ER = E0 X = 1 X E0

1g + 4g + 3g1 238 = 40 20 10 + 4(40 20 30) + 3(40 20 50) 8 = 322 44 40 = 40 24 35 8E0 = 0 , 674 5 = 0 , 674 5 0 , 002E0 = 0 , 001 349bg7.

e ha efectuado la medicin de una ditancia y lo reultado obtenido on: 1 Medicin : 2 Medicin : 3 Medicin : 4 Medicin : 800,213 m 800,220 m 800,603 m 800,218 mER = 1 1 = 100 , 212 74 286 0 , 001 349ER =1 74 286 V2 n n1

e pide: Calcular el error relativo olucin: En primer lugar, i analizamo el valor de cada medicin, repecto a lo dem, er fcil detectar que la tercera medicin tiene un valor muy lejano a la otra medicione, lo cual hace deducir que en el proceo de medicin e debi cometer un error propio (en la 3 medicin), por tal motivono e tomar en cuenta en lo clculo. Luego; 1 Medicin : 2 Medicin : 3 Medicin : 80m 800,220 m 800,218 mB) E = 0 , 674 5b g bgE = 0 , 674 5E = 0 , 000 88 10 6 32El V.M.P. = X = 100,212 Luego el reultado final podr er expreado: 100,212 0,000 8 Eto ignifica que hay un 50% de probabilidade de que el verdadero valor del reultado final et comprendido entre 100,211 2 y 100,212 8. n=3 X=800 , 213 + 800 , 220 + 800 , 218 2 400 , 651 = 3 3X = 800 , 217 m

40t Tabulando MEDIDA 800,213 800,220 800,218 V= X X +0,004 0,003 0,001 umatoria V 2 26 10 6 = 31 n1iJorge Mendoza Dueat Tabulando: V2 1610 910 1106 6 6MEDIDA 100,44 100,46 100,50 100,10V = X Xi 0,065 0,085 0,125 +0,275 valor mayor26106que 0,20 (tolerancia)t = = 0 , 003 6t E0 = 0 , 674 5 = 0 , 674 5 0 , 003 6E0 = 0 , 002 428 2bgObervamo que la deviacin V correpondiente a 100,10 e mayor que el permitido;i analizamo inicialmente el problema, e fcil dare cuenta que 100,10 eta muylejo a lo dem dato, eguramente e cometi algn error propio. Por lo tanto no e tomar en cuenta en lo clculo. t Ahora tendremo: n = 3 X= 100 , 44 + 100 , 46+ 100 , 50 X = 100 , 467 N 3t ER = E0 X=1 X E0t Tabulando: MEDIDA 100,44 100,46 100,50 V = X Xi +0,027 +0,007 0,033 SumatoriaV2 72,910 4,90105 5ER = 1 1 ER = 800 , 217 329 552 0 , 002 428 28.En el problema anterior, determinar el resultado final. Solucin: E = 0 , 674 5E = 0 , 001 4108,90105 186,7105V 2 26 10 6 = 0 , 674 5 23 n n1

b gbgt E0 = 0 , 674 5 = 0 , 674 5 E0 = 0 , 020 608 t ER = V2 n1V.M.P. = X = 800,217 Luego el reultado final podr er expreado: 800,217 0,001 410.9.e ha peado varia vece un aco de papa y lo dato obtenido on: 100,44 N ; 100,46 N ;100,50 N ; 100,10 N Calcular el error relativo, i la tolerancia mxima permitida e 0,20 N. olucin: t n=4 100 , 44 + 100 , 46 + 100 , 50 + 100 ,10 4 X = 100 , 375 N X= ER = F X I = 100, 467 GH E JK 0, 020 6080111 4 875En el problema anterior, exprear el reultado final. olucin: t Calculando el error probable de la media. E = 0 , 674 5E = 0 , 012V2 186 , 7 10 5 = 0 , 674 5 n n1 32b gbgt El valor m probable: V.M.P. = X = 100,467 N Luego el reultado final podr er expreado. 100,467 N 0,012 N

Captulo3VECTOREMAGNITUD VECTORIALE aquella magnitud que aparte de conocer u valor numrico y u unidad repectiva, e neceario conocer tambin la direccin y entido para que a dicha magnitud logre etar perfectamente determinada. Veamo un ejemplo encillo:

i una perona deea diparar una flecha al blanco, ella debe conocer la fuerza(mdulo) mnima que debe aplicar a la flecha para que ta e incrute en el tablero;pero upongamo que a dicha perona depu de conocer la ditancia de ella al blanco, le tapan lo ojo. abr a donde apuntar?, la repueta e no, pue conocer cuanto debe tirar de la cuerda pero no abr hacia donde. Qu falta? le falta la ubicacindel blanco (direccin y entido). Queda demotrado entonce que la fuerza e unamagnitud vectorial, pue a parte del valor y unidad repectiva, e neceita la direccin y entido.VECTORE un egmento de lnea recta orientada que irve para repreentar a la magnitude vectoriale.r A = A ; e lee vector Ar A = A = A ; e lee: Mdulo del vector A

42Jorge Mendoza DueaELEMENTO DE UN VECTOR: A) Punto de aplicacin. Et dado por el origen del vector.D)Vectore igualeon aquello vectore que tienen la mima intenidad, direccin y entido.B)Intenidad, mdulo o magnitud. E elvalor del vector, y generalmente, et dado en ecala. ejm. 5 unidade de longitudequivale a 5 N (i e trate de fuerza).A y B onigualeC) D)

entido. E la orientacin del vector. E) Direccin. Et dada por la lnea de accindel vector o por toda la lnea recta paralela a l.Vector opueto ( A )e llama vector opueto ( A ) de un vector A cuando tienen el mimo mdulo, la mima direccin, pero entido contrario.ALGUNO TIPO DE VECTORE: A) Vectore colinealeon aquello vectore que etn contenido en una mima lnea de accin.A, B y C on colinealeA y A on vectore opueto entre B)Vectore concurrenteon aquello vectore cuya lnea de accin, e cortan en un olo punto.PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN ECALARCuando un vector e multiplica por un ecalar, reulta otro vector en la mima direccin y de mdulo igual a tanta vece el ecalar por el mdulo del vector dado. Ejemplo.A, B y C on concurrenteC)Vectore coplanareon aquello vectore que etn contenido en un mimo plano.4 unidade 2 unidade 8 unidadeA, B y C on coplanare

Vectore43OPERACIONE VECTORIALEADICIN DE VECTOREumar do o m vectore, e repreentarlo por uno lo llamado reultante. Ete vector reultante produce lo mimo efecto que todo junto. Hay que tener en cuenta que la uma vectorial no e lo mimo que la uma aritmticaB)Mtodo del TringuloVlido lo para do vectore concurrente y coplanare. El mtodo e el iguiente. eunen lo do vectore uno a continuacin del otro para luego formar un tringulo, el vector reultante e encontrar en la lnea que forma el tringulo y u punto de aplicacin concidir con el origen del primer vector.R = A+B+C+DR = A+BC)Mtodo del PolgonoVlido lo para do o m vectore concurrente y coplanare. El mtodo e el iguiente. e unen lo do vectore uno a continuacin del otro para luego formar un polgono, el vector reultante e encontrar en la lnea que forma el polgono y u punto de aplicacin coincidir con el origen del primer vector.ADICIN DE VECTORE MTODO GRFICO A) Mtodo del ParalelogramoEte mtodo e vlido lo para do vectore coplanare y concurrente, para hallar lareultante e une a lo vectore por el origen (delizndolo) para luego formarun paralelogramo, el vector reultante e encontrar en una de la diagonale, y u punto de aplicacin coincidir con el origen comn de lo do vectore.R = A+B+CEn el cao de que el origen del primer vector coincida con el extremo del ltimo,el vector reultante e nulo; y al itema e le llama polgono cerrado .R = A+BR = A+B+C+D+E=0

44 OBERVACIONE En la adicin de vectore e cumplen varia propiedade, ta on:Jorge Mendoza DueaB)

uma de Vectore Concurrente y CoplanareEn ete cao el mdulo de la reultante e halla mediante la iguiente frmula.Propiedad ConmutativaA+B=B+AR =A2 + B2 + 2AB co Propiedd AsocitivA+B+C= A+B +C=A+ B+CdidiADICION DE VECTORES MTODO ANALTICO A) Sum de Vectores ColinelesEn este cso l resultnte se determin medinte l sum lgeric de los mdulosde los vectores, teniendo en cuent l siguiente regl de signos. L direccin del vector resultnte se hll medinte l ley de senos.R A B = = sen sen sen CASO PARTICULARSi: = 90 R = A2 + B 2Ejemplo: Determinr l resultnte de los siguientes vectores:Siendo: A = 4 ; B = 3 ; C = 3 ; D = 1 Solucin:R=A+B+C+DRESULTANTE MXIMA Y MNIMA DE DOS VECTORES Resultnte MximDos vectores tendrn un resultnte mxim cundo stos se encuentren en l mism direccin y sentido ( = 0).Teniendo en cuent l regl de signos:R = 4 3 3 + 1 R = 1El signo negativo indica que el vector est dirigido hacia la izquierda.Rmax = A + B

Vectores45D=AB D = A2 + B2 + 2AB cos 180 Resultnte MnimDos vectores tendrn un resultnte mnim cundo stos se encuentren en l mism direccin; pero en sentidos contrrios ( = 180).

gD =A2 + B2 2AB cos Rmn = A BSUSTRACCIN DE VECTORES A) Mtodo del TringuloEn este cso se unen los dos vectores por sus orgenes y luego se unen sus extremos, el vector D ser el vector diferenci.COMPONENTES DE UN VECTORSe denominn componentes de un vector todos uellos vectores ue sumdos porel mtodo del polgono, dn como resultdo un determindo vector. Hy ue tomr en cuent ue un vector puede tener infinits componentes.A+B+C+D=R A ,B ,C yD son componentes del vector RCOMPONENTES RECTANGULARES DE UN VECTORSon uellos vectores componentes de un vector ue formn entre s un ngulo de 90.A = Ax + Ay Ax = A cos Ay = Asen D=ABD=BAB)Mtodo del PrlelogrmoEn este cso se invierte el sentido del vector ue est compdo del signo negtivo; y luego se sigue el mismo procedimiento pr dicin de vectores por el mtodo del prlelogrmo.UNITARIO VECTOR UNITARIOEs un vector cuyo mdulo es l unidd y tiene por misin indicr l direccin y sentido de un determindo vector. A dicho vector se le llm tmin versor.u=A Au = vector unitrio de A

46Jorge Mendoz DuesVERSORES RECTANGULARESSon uellos vectores unitrios ue se encuentrn en los ejes coordendos rectngulres.i i j jSUMA DE VECTORES POR EL MTODO RECTANGULARES DE COMPONENTES RECTANGULARESPr hllr l resultnte por este mtodo, se sigue los siguientes psos: 1.2.3.Sedescomponen los vectores en sus componentes rectngulres. Se hll l resultnte en el eje x e y (Rx , Ry ), por el mtodo de vectores colineles. El mdulo del vector resultnte se hll plicndo el teorem de Pitgors.R = R2 + R 2 x y: : : :Vector unitrio en el eje x (positivo). Vector unitrio en el eje x (negtivo).Vector unitrio en el eje y (positivo). Vector unitrio en el eje y (negtivo).Ejemplo: En el sistem de vectores mostrdo en l figur. Hllr el vector resultnte y su mdulo. Ahor tendremos:A = Ax + Ay A = 30 B = 15C = 10A = Ax i + Ay jEjemplo de pliccin: En el sistem mostrdo en l figur, expresr el vector A entrminos de los vectores unitrios rectngulres, siendo ue su mdulo es de 30 uniddes. Solucin: Por motivos didcticos, trjremos con nmeros.Rx = 15cos 37 30 cos 53 = 15 A = Ax + Ay A = Ax i + Ay jt tFG 4 IJ 30FG 3IJ H 5 K H 5K FG 4 IJ + 15FG 3IJ 10 H 5 K H 5KRx = 6 (hacia la izquierda) Ry = 30sen 53 + 15sen 37 10 = 30Ry = 23 (hacia arriba)FG 3IJ H 5K F 4I A = Asen 53 = 30G J H 5KAx = A cos 53 = 30y Ax = 18 Ay = 24R = 6 i + 23 j ; Ahora: R = 62 + 232R = 23,77A = 18 i + 24 j

Ciencia Vectoresy Tecnologa47La fuerza: un vectorLa fuerza es una magnitud vectorial, por tanto se representa mediante un vector.Ahora; sumar dos o ms vectores no implica necesariamente sumar sus mdulos, ello depender de la posicin en que se encuentren. En el presente caso, los vectores fuerzas son colineales por tal razn habr que aplicar el mtodo de vectores colineales para la determinacin del vector resultante.El vector desplazamientoEl desplazamiento es un vector: Si el objetivo fuese darle a la bola amarilla con la roja, esta ltima tendra que recorrer la distancia d; sin embargo podra elegirse tambin otros caminos convenientes en cuyos casos los vectores formados seran componentes del vector d ( d1 y d2 son componentes del vector d ).El tiempo escalarEl tiempo, es considerado como magnitud escalar, pues slo necesitamos el valor yla unidad respectiva para tener la informacin completa. En realidad la investigacin sobre el tiempo es muy compleja y falta mucho por estudiarlo. Entonces: Tendr direccin y sentido el tiempo?

48Jorge Mendoza Dueas Ciencia y TecnologaLa velocidad un vectorPara que el avin pueda desplazarse desde el punto A hasta el B, el piloto deber conocer las coordenadas de dichos puntos ya sea va radio o va satlite, lo cierto es que la obtencin de dichos datos no es problema. Conocidas las coordenadas de A y B, es fcil determinar el vector desplazamiento por donde deber recorrer el avin ( d).dSi el piloto dirige la velocidad del avin en la direccin del desplazamiento calculado, el viento se encargar de desviarlo.Para evitar que el avin se desve, ser necesario conocer la direccin del viento y mediante el mtodo del paralelogramo determinar la direccin que hay que imprimir al aparato para que su velocidad resultante se dirija en la direccin del desplazamiento deseado.En realidad la direccin del viento puede cambiar, para lo cual el piloto deber estar alerta a ello y cambiar tambin la direccin de la velocidad del avin para as conservar la direccin de la velocidad resultante en la lnea del desplazamiento d . Estemismo principio se utiliza tambin en los barcos para la navegacin martima.

Vectores49TEST1.Dados los vectores mostrados: a =8 b =3 a) b) c) 2.a + b = 11 a b = 11 a 2b =2 d) e) ba =5 a + 4b = 20 6.Respecto a los vectores, sealar verdadero o falso: I.Al multiplicar un escalar positivo por un vector, se obtiene otro vector en el mismo sentido que el primero. II. Al multiplicar un escalar negativo por un vector, se obtiene otro vector en sentido contrario al primero. III. Un vector slo puede ser descompuesto en dos vectores. a) b) c) 7.VFF VVF VVV d) e) FFF FVVDos vectores tienen de mdulos 4 y 8, cul de los valores enteros puede ser resultante de ellos? a) b) c) 3 13 10 d) e) 2 14Respecto a dos vectores sealar la alternativa incorrecta: a) b) c) d) e) La resultante mxima es la suma de sus mdulos. La resultante mnima es la diferencia de sus mdulos. La resultante sigue la direccin del mayor. La mayor resultante se da cuandoestn en el mismo sentido. La menor resultante se da cuando tienen sentidos contrarios.3.Para dos vectores perpendiculares, sealar verdadero o falso. I.Mdulo de su resultante es igual al mdulo de su diferencia. II. El mdulo de la resultante es mayor que el mdulo de la diferencia. III. El mdulo de uno de los vectores es mayor que elde su diferencia. a) b) c) VFF VVV VFV d) e) FFV FVV 8.Para dos vectores ortogonales: a) b) c) d) e) Su resultante es la suma de sus mdulos. Su resultante es la diferencia de sus mdulos. Su resultante es mayor que sudiferencia. El mdulo de su resultante se obtiene por el teorema de Pitgoras. El mdulo de su resultante puede ser la suma de sus mdulos.4.Para dos vectores de igual mdulo que forman un ngulo de 120, marcar verdadero o falso: I. Mdulo de su resultante es igual al de uno de ellos. III. Mdulo de su resultante es el doble de uno de ellos. III. El mdulo de su resultante es cero. a) b) c) VVV VFV VFF d) e) FFV FVF9.Respecto a los vectores mostrados, sealar lo correcto respecto a su resultante. a) b) c) d) e) 10 N 20 N 30 N 0 N.A.5.Dadas las relaciones, cul no corresponde? R = 2C R = 3C 10.R = 10 Na)d)Qu podrs decir de la resultante de los vectores mostrados? a) b) c) d) e) 40 N 120N 80 N 40 3 N 80 3 Nb)e)

| R | = 20c)R = 2C

50Jorge Mendoza DueasRESUELTOS PROBLEMAS RESUELTOSA 1.problemas de aplicacin Se tienen dos fuerzas iguales a 10 N cada una, como muestra la figura, determinar el valor de su resultante. Solucin: R = 102 + 102 + 210 10 cos 60 Solucin: Nos piden: De la figura: (2) en (1) 2.Cul es la resultante enN, de dos fuerzas de 10 N de mdulo cada una, si forman entre s un ngulo de 90? Solucin: R = 102 + 102 R = 10 2 N 5.R=A+B+C A=B+C ......... (1) ......... (2) R=b gb g F 1I 100 + 100 + 2b100gG J H 2KR = 10 3 NR = A + A R = 2A

En la figura, M es punto medio del vector A obte, ner el vector D en funcin de lvectores B y C .3.Encontrar la magnir r tud del vector A + B sabiendo que A = 5 unidades, B = 8 unidades. Solucin:Solucin: t En el tringulo PQR: C=A+B A = C B ........ (1) t En el tringulo MPQ: A +B = D ........ (2) 2 t (1) en (2): CB +B=D 2 D= 1 B+C 2r r Observamos que los vectores A y B son perpendiculares entre si:R=A+B R = A2 + B2 R = 52 + 82 R = 89 R 9 , 4 unidadesej4.En el sistema mostrado, determinar el vector resultante en trminos del vector A .

VectoresB 1.problemas complementarios El mdulo de la resultante de dos vectores perpendiculares es 10 y cuando forman 120 es 2 13 . Hallar el mdulo del mayor de ellos. Solucin: t Primer caso: cuando son perpendiculares A + B = 102 A + B = 100 ........(1)2 2 2 2513.Hallar el mdulo del vector resultante, si: a =6 , b =8Solucin: Podemos observar que: b = d+ e + f a+ c b + a = d + e + f + c ........ (1)t Segundo caso: cuando forman 120 R = A + B + 2 A B cos 1202 2 2Pero piden: R = a + b + c + d + e + f ........ (2) Reemplazando (1) en (2): R= a+b+ b+a =2 a+be2 13 j2= 100 + 2 A B FG 1IJ H 2K13Re j e j=2A B = 48 ........ (2)Ntese que a y b forman 90 R = 2a+ b = 2t Finalmente: de (1) y (2) A =8 2.B =6 4.F GHa +b22I JK R = 2 62 + 10 2R = 20En el paralelogramo, determinar la resultante del sistema, en trminos de los vectores A y B , (m y n son puntos medios).Dos vectores tienen sus mdulos en la relacin de 5 a 6. La resultante de las dos forma 37 con el menor mdulo. Qu ngulo forman los vectores concurrentes? Solucin: En elringulo ABC tan 37 = 6 sen 5 + 6 cos

3 6 sen = 4 5 + 6 cos 3 5 + 6 cos = 4 6 sen Solucin:bg bg15 + 18 cos = 24 sen 8sen 6 co = 5Aprovechando los puntos medios, adicionamos vectores A/2 y B /2.8 6 5 sen co = 10 10 10 cos 37 sen en 37 co = sen 37 = Luego: 1 2bg1 2 R = A + B + C + D ........ (1) 37 = 30 = 67

52Del tringulo (I): C=A+ B ........ (2) 2 Del tringulo (II): D=B+ A ........ (3) 2Jorge Mendoza Dueas(2) y (3)en (1):F GH 5 R = e A + Bj 25.R=A+B+ A+B A + B+ 2 2I F JK GHI JKSolucin:La igura muestra un trapecio, de vrtices A, B, C, D, sabiendo que M e punto mediodel egmento AB, determinar el mdulo de la reultante de lo vectore a y b . BC= 7 ; AD = 13 olucin: No piden: a + b = ? Decomponiendo el vector a : a = p +q ........ (1) Decomponiendo el vector b : b = m + n ........ (2) (1) + (2): a+ b = p + q + n + m0 (de la figura)Decomponiendo a : a = p + q ........ (1) Decomponiendo b : b = m + n ........(2) (1) + (2): a + b = p + m+ q+ na+b=p+m Entonce: a + b = p + m egn lo dato y la figura:p = 10 ; m = 24 ; a + b = 26Luego: a + b = p + m + 2 p m co 262 = 102 + 24 2 + 2 10 24 cos cos = 0 = 902 2 20 (de l figur)

+ = +n Como y n son prlelos: + = + n = 7 + 13 + = 20 6.Ddo eltrpecio MNPQ mostrdo en l figur, determinr el vlor del ngulo pr ue l resultnte de y se de 26 uniddes. R es punto medio de PQ (MQ = 10 u; NP = 24 u). g gFinlmente: 64 + + = 18064 + 90 + = 180 = 267.En el siguiente grfico se muestr un tringulo con dos vectores en su interior, siAB = 2 y BC = 4. Determinr el mdulo del vector resultnte. Adems: AM = MN = NC

VectoresSolucin: Cremos vectores y p provechndo los puntos medios; y le dmos nomre los vectores mostrdos ( A y B)53Solucin: Descomponemos los vectores y oservmos ue el vector MA y NC se nuln.Nos piden: De l figur: A + = 2p A = 2p q B + p = 2q B = 2q p A+B=q+p Con locual: Pero: Lo cual se reduce a : Luego: R2 = p2 + q2 + 2pq cos L2 = L2 + L2 +2 L L cos L2 = 2L2 + 2L2 cos R R=A+BR=p+qR =L ; p =L ; q =Lb gb gEquivalente a: R = 4 2 + 22 + 2 4 2 cos 60 R = 4 + 16 + 8R=2 7cos = 1 = 120 2

g gCon ello l figur correct es:8.Hllr l medid del ngulo pr ue l resultnte de los vectores mostrdos teng mdulo L .9.En l figur se muestr un hexgono regulr, determinr el vector resultnte en trminos del vector C .

54Solucin: Aprovechndo ue el hexgono es regulr, trsldremos los vectores A y E l prte inferior. 10.Expresr el vectorJorge Mendoz Duesx en funcin de los vectores r1 y r2 . G: ricentro M: punto medioSolucin: IlustrndoR=A+B+C+D+E En el tringulo (I): C=B+E Ordenndo R: C= A+D + B+E +C 123 123 En eltringulo (II): C=D+A Anlizndo el tringulo CMA 1 r1 + r2 r +r + 3x = r2 x = r2 12 2 3 2 x= 1 r2 r1 6ej e jCC R = 3CF GHI JKejPROBLEMAS PROPUESTOSA 1.problemas de aplicacin Es posible aplicar a un cuerpo simultneamente una fuerza de 6 kN y otra de 8 kN de modo que produzcan el mismo efecto de una sola fuerza. Determinar la magnitud de dicha fuerza (kN). Rpta. 10 Rpta. 2.Dos fuerzas demdulo F forman un ngulo de 120, determinar su resultante. Rpta. F 3.Si el vector C posee un mdulo de 5 unidades. Hallar el mdulo de la resultante del sistema mostrado.5.Fx = 9 Fy = 6r r r La figura muestra tres vectores A , B y C . El vector rer r r sultante de:B + C A , es el indicado en la figura por:4.En la figura mostrada determinar las compor nentes del vector F (en r r r mdulo),F = d + eRpta. 10 u

VectoresB 1.problemas complementarios55(A)(B)(C)r Hallar el mdulo de P para que la resultante del sistema sea una fuerza horizontal de 280 N.Rpta. P = 56 10 N2.(D) 6.(E)Determinar en la figura que se muestra, el ngulo pr ue l resultnte uede en eleje x . Rpt. = 30k 3Determinr l mgnitud del vector resultnte si cd cudrdo tiene de ldo 10 m.3.Rpt. 10 2 mUn jugdor de ftol est corriendo un velocidd de 3 m/s, hci el norte. Despusde un violent colisin con otro futolist, tiene un velocidd de 4 m/s, hciel este. Cul de los vectores represent el cmio de su velocidd? poru?7.Se el vector A = (4 ; 3). Determinr un vector unitrio en l direccin de A . Rpt. 4$ 3$ i j 5 5Rpt.e Aj8.Si: A = 2 $ ; B = 4 $ 3 $ ; C = 2 $ j j i i Clculr: A + B + C Rpt.379.L mgnitud de l resultnte de dos fuerzs vr desde un vlor mnimo de 3 hst un mximo de 12, medid ue vr el ngulo comprendido entre ls fuerzs. Determinrel vlor de l myor de ls fuerzs. Rpt. 7,54.10.Hllr l resultnte del sistem vectoril (mdulo). Rpt. R =0En el siguiente conjunto de vectores. Cmo deen ser ls componentes del vector D,si l resultnte del sistem de vectores es cero? dems: A = 25; C = 30 y = 217. Rpt. (5; 4)

5.Los vectores A y B formn un ngulo Hllr el n. gulo entre A y B si: A = 3 $ + 4 $= $ + $ i j i j Rpt. 8

566.Hllr el mdulo de l resultnte del sistem mostrdo. 8.Jorge Mendoz DuesSe un vector A = (6 ; 8) en ls coordends xy, determine ls nuevs coordends del vector A en un sistem de coordends xy, que reulta de girar el itema xyanterior un ngulo = 16 en sentido ntihorrio. Qu ocurre con el mdulo? Rpt. 9.A =; 6 ; A = 10

gHllr: p; siendo ue en el prlelogrmo ABCD mostrdo se cumple: AC = 5AE; BC = 3BF y dems: EF = pAD + AB .Rpt. 10 u 7.Clculr l expresin vectoril del vector DE pr ue l resultntede DB , FG y DE (sum) se nulo. Rpt. 2/310.Hllr el mdulo de l resultnte del sistem.Rpt: 45,5 uRpt. 2 $ i

Cptulo4ESTTICAConceptoL esttic es un rm de l mecnic cuyo ojetivo es estudir ls condiciones uedeen de cumplir ls fuerzs ue ctn sore un cuerpo, pr ue ste se encuentreen euilirio.EQUILIBRIOUn cuerpo culuier se encuentr en euilirio cundo crece de todo tipo de celercin ( = 0 ). IlustrcinPoru est en euilirio el cuerpo?. Est en euilirio por ue ls tres fuerzs concurrentes y coplnres se nuln.FUERZAEs un mgnitud ue mide l interccin ue existe entre dos o ms cuerpos. Tod fuerz modific el estdo de reposo o movimiento de un cuerpo, dems de generr deformciones (por mnim ue se) en dicho cuerpo.

58 IlustrcinJorge Mendoz DuesB)Fuerzs de CmpoEs uell fuerz donde no interviene el contcto fsico entre los cuerpos, pero ue ctn trvs del espcio, dicho espcio se le denomin cmpo.IlustrcinTod fuerz modific el estdo de reposo de un cuerpoTod fuerz modific el estdo de movimiento de un cuerpo, dems de deformrlo.CLASIFICACIN DE LAS FUERZAS RESPECTO A SU POSICIN 1.FUERZAS EXTERNASSon uells fuerzs ue se presentn en l superficie de los cuerpos ue interctn. IlustrcinUniddes de Fuerz en el S.I.Newton (N)Otrs Uniddeskilogrmo fuerz (kgf = kg) grmo fuerz (gf = g) lir fuerz ( lf = l )TIPOS DE FUERZAS A) Fuerzs de ContctoSe produce cundo result del contcto fsico entre dos o ms cuerpos. Ilustrcin Relmente hy muchs fuerzs externs ue nos son fmilires: El peso, l reccin, l fuerz de rozmiento, etc.2. FUERZAS INTERNASSon ls ue mntienen junts ls prtculs ue formn un slido rgido. Si el slidorgido est compuesto estructurlmente de vris prtes, ls fuerzs ue mntienen junts ls prtes componentes se definen tmin como fuerzs interns; entre lsfuerzs interns ms conocids tenemos: L tensin y l compresin.

Esttic59A)Tensin (T)Es uell fuerz ue prece en el interior de un cuerpo flexile (cuerd, cle) deido fuerzs externs ue trtn de lrgrlo. Ce mencionr ue nivelde Ingenier l tensin o trccin como tmin se le llm, prece tmin en cuerposrgidos como en lguns columns de un estructur.B)Compresin ( C)Es uell fuerz ue prece en el interior de un slido rgido cundo fuerzs externs trtn de comprimirlo.IlustrcinIlustrcinROZAMIENTOCLASES DE ROZAMIENTO A) Por DeslizmientoCundo un slido se desliz o trt de deslizr sore otro.Cundo dos superficies estn en contcto y se intent mover un de ells respecto l otr, siempre precen fuerzs tngenciles llmds fuerzs de rozmientoue impiden el movimiento, por otr prte, ests fuerzs de rozmiento son limitds y no evitrn el movimiento si se plicn fuerzs suficientemente grndes. IlustrcinB) C)Por RoddurSi un slido rued sore otro slido.Por ViscosiddEn los luidos o gses.CLASES DE ROZAMIENTO POR DESLIZAMIENTO A) Rozmiento EstticoEs l ue se present entre superficies ue se encuentrn en reposo.FUERZA DE ROZAMIENTOEs uell fuerz ue surge entre dos cuerpos cundo uno trt de moverse con respecto l otro, est fuerz siempre es contrri l movimiento o posile movimiento. El vlor de l fuerz de rozmiento esttico vr desde cero hst un vlor mximo, el cul lo duiere cundo el cuerpo en contcto est punto de moverse, perosin conseguirlo (movimiento inminente).

60 Este vlor mximo de l fuerz de rozmiento esttico euivle l fuerz mnim pr inicir el movimiento, el cul puede clculrse medinte l siguiente frmul.Jorge Mendoz DuesLEYES DEL ROZAMIENTO POR DESLIZAMIENTO1 L fuerz de rozmiento es independiente del re de ls superficies en contcto.fs = s NSiendo: fs = fuerz de rozmiento esttico mximo s = coeficiente de rozmiento esttico N = reccin norml2L fuerz de rozmiento es independiente de l velocidd del cuerpo en movimiento, si su velocidd no es muy grnde (entre 0,01 m/s y 20 m/s).B)Rozmiento CinticoEs uell ue se present cundo hy movimiento de un cuerpo respecto l otro.Cundo el cuerpo ps del movimiento inminente l movimiento propimente dicho,el vlor de l fuerz de rozmiento disminuye y permnece csi constnte, si esue l velocidd no es muy grnde. (Entre 0,01 m/s y 20 m/s).3El vlor del coeficiente de rozmiento depende del tipo de mteriles de ls superficies en contcto. El coeficiente de rozmiento cintico (k) siempre es menor ue el esttico (s).40 k s 1s 0,74 0,53 0,94 0,04 0,50 0,70 k 0,57 0,36 0,40 0,04 0,25 0,40SUPERFICIES EN CONTACTOfk = k NAcero sore cero Core sore core Vidrio sore vidrio Tefln sore cero Mdersore mder Piedr sore piedrSiendo: fk = fuerz de rozmiento cintico k = coeficiente de rozmiento cintico N =reccin norml

Esttic61LEYES DE NEWTON 1ERA CONDICIN DE EQUILIBRIOEn este cso supondremos ue los cuiertos y el mntel son completmente lisos,esto pr evitr el rozmiento. L expliccin es l mism ue el ejemplo nterior.Ls leyes de Newton constituyen verdderos pilres de l mecnic, fueron enuncids en l fmos or de Newton Principios Mtemticos de l Filosof Nturl pulicd en 1 686. , Ells son conocids como l 1r, 2d y 3r Ley de Newton, de cuerdo con el orden ue precen en est or citd. En este cptulo, estudimos l1r y 3r ley, ue nos permitirn nlizr el euilirio del cuerpo, esto es el estudio de l esttic; l 2d ley ser estudid en el cptulo: Dinmic .er (Ley 1 er LEY DE NEWTON ( Ley de l ci) Inerci Inerci )Un cuerpo de ms constnte permnece en estdo de reposo o de movimiento con unvelocidd constnte en lne rect, menos ue sore ell cte un fuerz . Ilustrciones: Pr los ejemplos, idelizremos vrios csos:Supondremos ue un cllo no teng porosiddes en su cuerpo, esto pr evitr el rozmiento de los cuerpos. En l figur (izuierd) se oserv un person y un cllo en reposo. En l figur (derech) se oserv ue el cllo se mueve ruscmente hci l izuierd y l person prentemente se mueve hci trs. Enrelidd l person no se v hci trs, sino ms ien ued trs. Por u? inicilmente l person y el cllo estn en reposo, luego el cllo se movi (por efectos ue no estudiremos todv): pero uin movi l person? Ndie o nd, motivo porel cul; se ued en su lugr o en el punto inicil.Consideremos ue un mvil cuy se inferior se lis, s como l suel de los zptos de un person. Inicilmente el micros se mueve con velocidd v; como l person se encuentr dentro del mvil, tmin estr movindose con l velocidd v. De pronto el mvil se detiene; pero l person sigue movindose en lne rect y con velocidd v, hst ue lgo lo deteng. Por u? porue el micros se detuvo por ccin de los frenos; pero uin o u detuvo l person?. Ndie o nd, motivo por el cul lperson seguir movindose.vv vv=0(Ley 3er LEY DE NEWTON (Ley de l AcReccin) cin y l Reccin)Si un cuerpo le plic un fuerz otro (ccin); entonces el otro le plic un fuerz igul y en sentido contrrio l primero (reccin) .

62 OBSERVACIONES L ccin y reccin no se nuln porue no ctn en el mismo cuerpo. L ccin y reccin no necesrimente producen los mismos efectos. NOTA De lo visto hst el momento, se puede firmr ue estmos listos pr poder estudir lscondiciones ue deen cumplir ls fuerzs ue ctn sore un cuerpo pr ue stese encuentre en euilirio. Empezremos con ls fuerzs concurrentes y coplnres.Jorge Mendoz Dues Polgono cerrdoTEOREMA DE LAMYCundo se tienen tres fuerzs concurrentes y coplnres ctundo sore un cuerpoen euilirio, se cumple:1er CONDICIN DE EQUILIBRIOUn cuerpo se encontrr en euilirio cundo l fuerz resultnte ue ct sore l, se igul cero, pr esto, ls fuerzs componentes deen ser necesrimente coplnres y concurrentes . Ilustrcin IlustrcinF F2 F3 1 = = sen sen sen DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE (D.C.L.) A) Condicin AlgericHcer el D.C.L. de un cuerpo es representr grficmente ls fuerzs ue ctn en l.Pr esto se siguen los siguiente psos: 1.2.Se sl l cuerpo, de todo el sistem. Se represent l peso del cuerpo medinte un vector dirigido siempre hc elcentro de l Tierr (W). Si existiesen superficies en contcto, se represent lreccin medinte un vector perpendiculr dichs superficies y empujndo siempre l cuerpo (N R).R = F1 + F2 + F3 + F4 R = 0RR SR T=0 y =0xB)Condicin GrficSe se ue si l resultnte de un sistem de vectores es nul, el polgono ue seform ser cerrdo. Si:F1 + F2 + F3 + F4 = 03.

Esttic 4.Si huiesen cuerds o cles, se represent l tensin medinte un vector ue est siempre jlndo l cuerpo, previo corte imginrio (T). Si existiesenrrs comprimids, se represent l compresin medinte un vector ue est siempre empujndo l cuerpo, previo corte imginrio (C). Si huiese rozmiento se represent l fuerz de roce medinte un vector tngente ls superficies en contcto y oponindose l movimiento o posile movimiento.63TIPOS DE APOYOExisten diversos tipos de poyo, nosotros estudiremos slo dos:5.A)Apoyo fijoEn este cso existen dos recciones perpendiculres entre s.6