11 Mov Circular Unif Variado

(11) MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEmente variado (m.c.u.v.) Gua de FSICA (DERUM)

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Resumen Terico 11

Movimiento Circular

Uniformemente Variado

(M.C.U.V.)

DEFINICION

Es aquel movimiento en el cual el mvil describe una trayectoria circular

con aceleracin angular constante, es decir que la velocidad angular

experimenta variaciones iguales en tiempos iguales y desplazamientos

angulares diferentes.

En la grafica podemos ver que el mvil se desplaza con M.C.U.V. ya que

experimenta un cambio de velocidad angular uniforme, aumentando su

velocidad en 2 rad/s cada segundo, debido a su aceleracin angular ( =

2 rad/s2).

En el movimiento circular uniformemente variado se presentan las

siguientes magnitudes vectoriales de los conceptos bsicos mencionados

anteriormente.

ACELERACIN ANGULAR (): En el M.C.U.V. la aceleracin angular es constante.

ACELERACIN CENTRPETA (aC): Es una aceleracin que se

presenta en todo movimiento circular, esta aceleracin hace que el mvil

describa una trayectoria circular.

ACELERACIN TANGENCIAL (a): En el M.C.U.V. se tiene una

aceleracin tangencial debido a la aceleracin angular.

=

ACELERACIN TOTAL (aT): En el M.C.U.V. el mvil presenta una

aceleracin total, esta aceleracin se obtiene por teorema de Pitgoras

mediante la suma de los vectores aceleracin centrpeta y aceleracin

tangencial.

= 2 + 2 ( . . . . )

VELOCIDAD ANGULAR () : En el M.C.U.V. la velocidad angular no es constante, debido a que existe una aceleracin angular.

VELOCIDAD TANGENCIAL (V): En el M.C.U.V. la velocidad

tangencial no es constante en modulo debido a la aceleracin tangencial,

en direccin y sentido debido a la aceleracin centrpeta.

Gua de FSICA (DERUM) (11) MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEmente variado (M.C.U.V.)

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TRANSMISION DE MOVIMIENTO ENTRE POLEAS EN EL

M.C.U.V.

POLEAS CONCNTRICAS:

Son aquellas poleas que estn unidas y giran sobre un mismo eje de

rotacin.

En este tipo de sistemas se cumple:

POLEAS UNIDAS TANGENCIALMENTE:

Son aquellas poleas que estn unidas por un punto comn.


POLEAS CONECTADAS POR UNA CORREA:

Son aquellas poleas que estn conectadas por correas inextensibles.


Nota: Las anteriores desigualdades () solo son validas siempre y cuando

los radios de las poleas sean diferentes.

A = B

A = B

aA aB

VA VB

SA SB A = B

aA = aB

VA = VB

A B

A B

SA = SB A B

VA = VB

aA = aB

A B

A B

SA = SB A B


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FORMULARIO PARA EL M.C.U.v.

Ya que el M.C.U.V. es un movimiento uniformemente variado que describe

una trayectoria circular, se utilizan las mismas formulas del (M.R.U.V.).

En donde se toma:

a =

V =

x =

= 0 + . . ()

= + 0

2 . . ()

2 = 0

2 + 2 . . ()

= 0 +1

2 2 . ()

Nota: Estas ecuaciones son validos para movimientos acelerados, en caso

de que el movimiento sea desacelerado debemos cambiar el signo (+) por

el signo () de las ecuaciones A C y D.

Relaciones entre magnitudes Tangenciales y angulares.

=

=

=

Como podr ver si multiplicamos las magnitudes angulares por el radio

obtenemos magnitudes tangenciales.

Para la aceleracin centrpeta.

= 2 =

2

Para la aceleracin total.

= 2 + 2

En donde:

0 = Velocidad angular inicial (rad/s).

f = Velocidad angular final (rad/s).

= aceleracin angular (rad/s2).

a = aceleracin tangencial (m/s2).

V = Velocidad tangencial (m/s).

= Desplazamiento angular. (rad).

t = Tiempo (s).

S = Desplazamiento lineal o arco (m)

aC = Aceleracin centrpeta (m/s2).

aT = Aceleracin total (m/s2).


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PROBLEMAS RESUELTOS MOVIMIENTO CIRCULAR

Uniformemente variado PROBLEMA 1 | En el instante inicial t0=0, el

avin A pasa por el punto P con una

velocidad angular constante de 6 rad/s,

mientras que el avin B inicia su movimiento

desde el reposo en el mismo punto P con una

aceleracin angular de 2 rad/s2. Si los

aviones se mueven en el mismo sentido,

calcular el tiempo de encuentro.

SOLUCION: Nos piden hallar el tiempo de encuentro.

Realizando un listado de datos y analizando la grafica tenemos:

DATOS:

A = 6 rad/s constante

0B = 0 rad/s

B = 2 rad/s2

Nota que en la grafica el avin A alcanza al avin B despus de dar una

vuelta debido a su velocidad.

Planteamiento de ecuaciones:

Viendo que el avin A se mueve con velocidad constante en una

trayectoria circular, tenemos:

= (1)

Viendo que el avin B se mueve con M.C.U.V, se tiene:

= 0 +1

2

2

Considerando que el avin B inicia su movimiento del reposo (0B = 0

rad/s), la ecuacin queda:

=1

2

2 (2)

Obteniendo una ecuacin adicional del grafico, tenemos:

= 2 . (3)

Resolucin de las ecuaciones:

Remplazando las ecuaciones 1 y 2 en 3, se tiene:

1

2

2 = 2

Multiplicando ambos miembros por 2 y ordenando.

2 2 = 4

2 2 + 4 = 0 ( )

Remplazando datos.

2 2 2(6) + 4 = 0

2 2 12 + 4 = 0 ( )


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Utilizando la frmula para la resolucin de ecuaciones cuadrticas,

tenemos:

=(12) (12)2 4(2)(4)

2(2)

=12 6,59

4

1 = 1,35 2 = 4,65

El primer tiempo de encuentro entre los dos aviones es en 1,35 s y el otro

en 4,65 s.

1 = 1,35 ___________________________.

PROBLEMA 2 | El mecanismo de la figura parte del

reposo, y se compone de un cilindro de RA= 0,6

m radio que tiene enrollado un cable, unido

a el existe una rueda dentada de RB= 0,4 m

de radio que esta arrastrada por un pin

de RC= 0,1 m de radio. Si la aceleracin

angular adquirida por el pin es C= 4 rad/s2, en un

intervalo de 2 s Cul es la distancia recorrida por el peso W?

SOLUCION: Nos piden hallar la altura que desciende el peso W.


DATOS:

RA = 0,6 m

RB = 0,4 m

RC = 0,1 m

C = 4 rad/s2

t = 2 s


De acuerdo a la relacin que existe entre la aceleracin angular y

tangencial, para las ruedas tenemos:

Para A: = . (1)

Para B: = . (2)

Para C: = . (3)

Tomando en cuenta la transmisin de movimiento entre poleas tenemos:

Las ruedas C y B estn unidas tangencialmente, por lo tanto:

= . . (4)

Las ruedas B y A estn unidas concntricamente, por lo tanto:

= . . (5)

Para el peso, viendo que se mueve con un movimiento vertical acelerado

debido a la aceleracin tangencial que adquiere de la rueda A, se tiene:

= 0 +1

2

2

Ya que el mecanismo parte del reposo (V0A= 0m/s), la ecuacin queda:

=1

2

2 . . (6)


Remplazando las ecuaciones 2 y 3 en 4, tenemos:

=

Remplazando la ecuacin 5 en esta, se tiene:


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=

Despejando A.

=

Remplazando esta ecuacin en 1, tenemos:

=

Remplazando esta ecuacin en 6, se tiene:

=

2

2

Remplazando datos:

= 4 (0,1)(0,6)(2)2

2(0,4)

= 1,2 _________________________________.

Altura que recorre el peso W en 2s.

PROBLEMA 3 | Determine el tiempo en el

cual los objetos E y F se cruzan, si el

objeto E inicia su movimiento a partir

del reposo y con una aceleracin de 0,5

m/s2. Los radios de los discos son: RA = 80

cm RB = 90 cm RC= 110 cm y RD= 120 cm.

SOLUCION: Nos piden hallar el tiempo en que los objetos estarn en el

mismo nivel.


DATOS:

aA = 0,5 m/s2

RA = 80 cm RB = 90 cm RC= 110 cm RD= 120 cm H = 2 m A = Bloque E.

B = Bloque F.


De acuerdo a la relacin que existe entre la aceleracin angular y


Para A: = . (1)

Para C: = . (2)

No se toma en cuenta a la rueda B y D, ya que nos aumentamos

incgnitas.


Las ruedas A y C estn unidas concntricamente, por lo tanto:

= . . (3)

Las ruedas C y B estn unidas tangencialmente, por lo tanto:

= . . (4)


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Para los bloques, viendo que se mueve con un movimiento vertical

acelerado debido a la aceleracin tangencial que adquieren de las

ruedas, se tiene:

= 0 +1

2

2

= 0 +1

2

2

Ya que el mecanismo parte del reposo (V0A= 0m/s) (V0B= 0m/s), las

ecuaciones quedan:

= 1

2

2 (5)

= 1

2

2 (6)

Obteniendo la ecuacin adicional del grafico, tenemos:

= + . . . (7)


Remplazando la ecuacin 2 en 4, tenemos:

=


=

Despejando A de la ecuacin 1 y remplazando en esta, tenemos:

= . ()

Remplazando las ecuaciones 5 y 6 en 7, tenemos:

=1

2

2 +1

2

2

Multiplicando ambos miembros por 2.

2 = 2 +

2

Fatorizando y despejando t.

2 = ( + ) 2

= 2

+

Remplazando la ecuacin A en esta, se tiene:

= 2

+

Remplazando datos.

= 2(2)

0,5 +0,50,8

(1,1)

= 1,84 _______________________________.

PROBLEMA 4 | El siguiente sistema

parte del reposo. Si el bloque G

tarda en tocar el suelo en 2 s.

calcular el nmero de vueltas

realizado por el disco E en ese

tiempo.

Si RF=2RE=4RC=2RB=4RA=40 cm RD= 25 cm y h= 2 m


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SOLUCION: Nos piden hallar el nmero de vueltas que realiza el disco E

en 2s.

Realizando un listado de datos

y analizando la grafica

tenemos:

DATOS:

RF =2RE=4RC=2RB=4RA=40 cm RD= 25 cm h = 2 m t = 2 s

La resolucin de este problema se lo realizara utilizando la transmisin

de movimiento en base a los desplazamientos angulares y tangenciales.


De acuerdo a la relacin que existe entre el desplazamiento angular y


Para C: = . (1)

Para D: = . (2)

Para F: = . (3)

No se toma en cuenta a la rueda A, B y E, ya que nos aumentamos

incgnitas.

Viendo que la altura que recorre el bloque en 2 s ser igual al arco del

disco A, tenemos:

= . . (4)


Los discos A y C estn conectados mediante una correa, por lo tanto:

= (5) Los discos C y D estn unidas concntricamente, por lo tanto:

= (6)

Los discos D y F estn unidas tangencialmente, por lo tanto:

= (7)

Los discos E y F estn unidas concntricamente, por lo tanto:

= (8) Resolucin de las ecuaciones:

Despejando F de la ecuacin 3 y remplazando en 8, tenemos:

=


=

Remplazando la ecuacin 2 en esta, tenemos:

=


=

Despejando C de la ecuacin 1 y remplazando en esta, tenemos:

=


A=bloque G


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=


=

Ordenando

=

Remplazando datos

= 2(0,25)

0,1(0,4)

= 12,5

Recordando que (1vuelta = 2 rad), realizando conversiones tenemos:

12,5 1

2 = 1,99

= 2 _________________________.

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