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MINISTERIO DE AGRICULTURA Y ALIMENTACION DIRECCION GENERAL DE

AGUAS Y SUELOS

Proyecto Ampliación de Frontera Agrícola con utilización de aguas subterráneas

SUB PROYECTO 06 CASMA-INFORME PARCIAL Modelo Matemático

1981

1.0. INTRODUCCION

1.1 Generalidades

1.2 Modelización Matemática del Sistema Hidrogeológico.

2.0. DESCRIPCION DEL MODELO MATEMATICO

2.1 Presentación del modelo.

2.2 Organización lógica del cálculo.

APENDICE VI

MODELO MATEMATICO DEL ACUIFERO DEL VALLE DE CASMA

LISTA DE LAMINAS

LAMINA 1 MODELO MATEMATICO BIDIMENSIONAL EN

REGIMEN PERMANENTE.

LAMINA 2 PROGRAMA-CASMA, DESCRIPCION

LAMINA 3 ORGANIZACIÓN LOGICA DE CALCULO

LAMINA 4 DEFINICION DE VARIABLES.

LAMINA 5 GEOMETRIA DEL ACUIFERO

LAMINA 6 CARTA DE PIEZOMETRÍA

LAMINA 7 CARTA DE TRANSMISIVIDADES PUNTUALES

LAMINA 8 CAUDALES EXPLOTADOS

LAMINA 9 RESULTADOS DEL CALCULO

LAMINA 10 ORDINOGRAMA DE OPERACIONES DE SIMULACION

A P E N D I C E V I

MODE LO MA TEMÁ T I CO D E L A CU I F ERO D E L V A L L E D E C A SMA

1.0 INTRODUCCION

1.1 Generalidades

Los modelos o simuladores de escurrimientos constituyen actualmente las

técnicas modernas que han venido a enriquecer los útiles de cálculo de los

hidrólogos, desde que la colectividad humana toma conciencia que el agua no es

una riqueza celestial distribuida a prodigalidad por la naturaleza sino que es una

riqueza agotable, y que conviene en el futuro de evaluarla, preservarla en calidad

y cantidad.

La Hidrogeología tiene por objetivo prever el comportamiento de los

recursos en agua puestos en explotación. Pero en la época que las explotaciones

eran débiles nos cálculos y dispersas, unos cálculos simples bastaban, después de la

exploración del conjunto geológico acuífero, para organizar una explotación.

A pequeña escala, en realidad unas hipótesis simples desembocan sobre

unos cálculos manuales simples; bastando ello, en efecto, para prever el

comportamiento de un elemento de la napa. Pero desde el instante donde se

debe prever a largo término, es necesario prever a larga distancia, no

solamente a la horizontal, sino también a la vertical: este es el conjunto de los

blocks porosos acuíferos heterogéneos interconectados que debe ser tomado en

consideración. Regionalmente, la noción de impermeable se convierte muy débil e

ínfima localmente. Los intercambios entre acuíferos separados por una arcilla

arenosa se convierten importantes sobre 1 millar de m2. Además agua de río y

agua subterránea no son disociables.

Desde luego una nueva repartición de trabajo se impone: el hombre

puede concebir unas estructuras complejas, pero no puede ir más allá

razonablemente y efectuar millares de multiplicaciones, todas diferentes. Un

computador tipo IBM en 360-440 efectúa 50,000 multiplicaciones por minuto en

8 cifras significativas.

El Hidrogeólogo moderno concibe la estructura de los acuíferos reales, define el

mecanismo de circulación del agua. La máquina de simulación hidráulica se encarga de

realizar los cálculos y presentarlos, el hidrogeólogo extrae las conclusiones.

Así extraña paradoja, el hidrogeologo es llevado a prospectar el agua

donde falta y a eliminarla donde se encuentra en exceso. Esta complejidad de

exigencias humanas, necesita de los estudios que resuelven estas dificultades

tan crecientes que han extrañado mutaciones importantes en la hidrogeología,

que ha pasado de su cuadro tradicional naturalista a la investigación de útiles

de cálculo nuevos, susceptibles de responder a las necesidades cuantitativas de

la colectividad.

Y este primer trabajo relacionado con la agricultura deberá permitir en el

futuro su mayor utilización en las definiciones de las disponibilidades de aguas

subterráneas en los distintos acuíferos existentes en nuestra Costa Peruana.

1.2. Modelización Matemática del Sistema Hidrogeológico.

A nivel conceptual, el modelo fundamental de la hidrogeología es

constituída por la ecuación de las derivadas parciales de segundo orden, del tipo

de la difusión, que describe matemáticamente el movimiento de un fluido en una

matriz porosa saturada.

Es decir, que contamos con ecuaciones diferenciales que ligan la carga

hidráulica variable dependiente en un punto dado (x, y, z) del espacio, en un

cierto instante con dichas variables independientes, mediante una serie de

características hidrodinámicas del acuífero (transmisividades, coeficiente de

almacenamientos, compresibiildad, etc.), y del agua (peso específico, viscosidad,

compresibilidad) son las llamadas ecuaciones de la difusividad.

Esta ecuación (ecuación de difusividad), admite unas soluciones

determinadas por el camino del análisis matemático, mediante unas hipótesis

muy restrictivas tales como la homogeneidad y la isotropía de las características

hidrodinámicas del acuífero, la simetría del escurrimiento, unos dominios

definidos admitiendo unas geometrías y unas condiciones iniciales a los

límitesles muy simplificados. Las ecuaciones de DUPUIT (régimen permanente)

y de THIEIS (régimen transitorio), utilizados en hidráulicas de pozos, que

relacionan el caudal extraído en un pozo a la pérdida de carga drenada en el

medio poroso en su cercanía son los más conocidos de estas soluciones

analíticas.

La investigación de soluciones presentando con mayor precisión la

configuración real del medio físico estudiado, claramente cuando se trata de

entidades hidrogeológicas como la estudiada de escala regional, implica el

recurso de unas técnicas de cálculo aproximado, llamando a un modelo o

simulador que se definirá como una herramienta capaz de reproducir el

comportamiento de un acuífero en el que se desea estudiar su mecanismo y

seguir su evolución. Es decir, un modelo matemático es la traducción dentro del

lenguaje matemático de todo eso que se conoce del sistema, tanto en lo que

concierne a su geometría como a las leyes que rigen su comportamiento.

13.2.1. Fundamentos Teóricos

a) Definiciones

Previamente al inicio del estudio del modelo matemático del acuífero

aluvial cuaternario en régimen permanente, analizaremos el principio de este

modelo sobre un ejemplo simple :

Tomando la ecuación de difusividad relativo a los medios porosos (1).

En régimen permanente ella se escribe :

a (T ah + a) + a (T ah) = q (1) ax ax ay ay ay

q = caudal por unidad de superficie.

A cada punto de un plano horizontal es asociado un potencial h que se

considera como la cota de la superficie piezométrica del escurrimiento en

ese punto (z = h).

El análisis matemático muestra que si en todos los puntos de los límites

del dominio se conoce h, ah/ax, la ecuación a las derivadas parciales admite

una solución y una sola.

Sin embargo, en general no es posible de calcular h (x,y) por solución

analítica (directa) de la ecuación de difusividad. Reemplazar la ecuación (1) por

un conjunto de ecuaciones es discretizar el problema, que consiste buscar

unos valores aproximados de h en un cierto número de puntos del dominio

con la ayuda de un conjunto de ecuaciones. Las ecuaciones son las que se

llaman las ecuaciones a las 'diferencias finitas'.

b) Significación hidrogeológica de la Ecuación a las diferencias finitas.

Los desarrollos detallados sobre los modelos numéricos de aguas

subterráneas figuran en mucha bibliografía.

Las expresiones a las diferencias finitas, corresponden a unos esquemas

de discretizaci6n del espacio a cinco puntos (escurrimiento bidimensional), de

la ecuación del escurrimiento son recapitulados en la lámina No. 1. Estas

ecuaciones a las diferencias, establecidas por las simetrías de escurrimiento

significan una traducción discreta de la conservación de flujos transitando,

explotadas o almacenadas sobre una malla del dominio real discretizado.

Ellas son establecidas por el camino puramente físico (se explicita el

balance de los flujos), o matemático para unos desarrollos en serie de Taylor

sobre unas mallas rectangulares que engendren unos errores de troncatura

o(∆x2) + At)

Las ecuaciones, construidas sobre los N = NL x NC o N= NL x NC x NP

(NL= Número de líneas; NC = número de columnas; NP = número de

planos), mallas de campo discretización implícita) en sistema de N

ecuaciones a N incógnitas que se escribe bajo la forma matricial:

(1) A H D

N, N N,1 N,1

de condiciones a los límites:

(2) H (XL, YL, t) = HL (SL, YL, t) ah (SL, YL, t) = QL (XL, YL, t)

an

(3) y inicial H (x, y, o) = HO (x, y)

Y unas condiciones singulares en el campo (1), (2) y (3), constituye el modelo matemático, las formas discretizadas de la ecuación del movimiento, unas condiciones a los límites e iniciales y unas singularidades de campo son accesibles a la resolución numérica.

c) Tratamiento de condiciones a los límites.

Existen dos tipos de condiciones a los límites sobre las fronteras:

- Condición de DIRICHLET : en este caso el potencial de los nudos situados sobre este límite es conocido, es decir que :

H (I , J) = HO (I , J)

2.0 DESCRIPCION DEL MODELO MATEMATICO - CASMA

2.1 Presentación del Modelo (Ver Cuadro 6-2)

El Modelo CASMA es el programa de modelo matemático bidimensional

en régimen permanente. Este programa ha sido escrito para

permitir la resolución del programa por el procedimiento de "Surrelaxación

por puntos".

El dominio del estudio es discretizada por un mallaje rectangular uniforme de 500 x 500 m. 0 1734 millas.

El esquema de discretización adoptado es del tipo CRANK-NICOLSON

(implícito)

El cálculo ha sido efectuado sobre Computadora IBM-370 en lenguaje de

programación FORTRAN IV del Centro de Cálculo de la Empresa

PETROPERU.

2.2 Organización Lógica del Cálculo.

La organización lógica del cálculo de este modelo matemático en régimen

permanente es presentado en la lámina No. 3 comprendiendo:

. * Un modulo en entrada: lectura de datos fijos y variables (Geometría,

hidrodinámica, caudales, piezometría y valores de control), necesarios

para el control de resultados.

. * Un modulo de cálculo: transformaciones preliminares, resolución de

sistemas lineales.

. * Un modulo de salida: impresión de datos y de los resultados de los

potenciales calculados.

Para la significación de los diversos argumentos utilizados en el cálculo, se

deberá apreciar los cometarios consignados en la

L A M I N A No. 2

PROGRAMA CASMA

DESCRIPCION

Este programa constituye el modelo matemático de simulación de escurrimiento

del sistema acuífero de Casma al norte del litoral peruano.

El régimen de escurrimietno es:

− Bi-Dimensional horizontal

− Permanente

− Monofásico

− Lineal

Las características del modelo son:

− Mallaje: Rectángulas Uniforme

− Transmisividades: direcciones este y Sur.

− Esquema de discretización: implícito puro.

− Técnica de cálculo: en implícito surrelaxación sucesiva por puntos, con cálculo

del coeficiente S.O.R. por el algoritmo de CARRE modificado.

− Entradas: cartas perforadas, formatos numéricos fijos

convencionales.

− Salidas: impresión en papel.

− Lenguaje de programación: Fortran IV.

− Computador utilizado: I.B.M.

− Sistema de explotación.

L A M I N A Nº 4

PROGRAMA CASMA

DEFINICION DE VARIABLES

I = Indice de Línea

J = Indice de columna

NL = Número de Líneas

NC = Número de Columnas

Dx, Dy = Dimensiones

KFIELD = Indice de Características geométricas

JD (I) = Indice de Inicio de una Línea

JF (I) = Indice del Fin de una Línea

ID (J) = Indice del inicio de una Columna

IF (J) = Indice del Fin de una Columna

IPUITD = Coordenadas de los Pozos

JPUITD = Coordenadas de los Pozos

IRiV,JRiW= Coordenadas de un Punto de un Río

NPRiV = Nuevo Total de Puntos en el Río.

NRiV = Número de Ríos

PZRiV = Permeabilidad de relación río-napa

RIVNOM = Nombre del río

AQNOM = Nombre del Acuífero

HO (I,J) = Valor Inicial de la Piezometría

H (I,J) = Valor Calculado de la Piezometría.

T (I,J) = Valor Puntual de la Transmisividad ( 10-3 m2/ s)

TE (I,J) = Valor Direccional Este de la Transmisividad

TS (I,J) = Valor Direccional Sur de la Transmisividad

Q (I,J) = Caudal Explotado neto sobre una Malla

QPUiTP = Caudal Bombeado en los Pozos

RO—NITER-ERROR = Parámetros de la Surrelaxaci6n

BLANC, ASTER, ZERO, PPUiT, RRiV,CCONT = Símbolos alfa numéricos de representación del dominio.

2.3 Investigación del Estado permanente

Previamente a toda simulación: de hipótesis de explotación futura, el modelo debe ser calibrado sobre un estado permanente observado. Esta fase de identificación consiste en ajustar, aproximadamente, en la medida de las informaciones disponibles los niveles calculados sobre el modelo en aquellos observados en el terreno.

Los datos de base de la simulación, y en nuestro caso, los parámetros que

intervendrán en el cálculo son :

- Geometría del acuífero (lámina 5)

- Carta Piezométrica observada en octubre de 1981 (Lamina 6)

- Carta inicial de Transmisividades Puntuales (Lamina 7)

- Caudales: régimen permanente inicial (Lamina 8)

Unas condiciones a nivel fijo han sido impuestos a todo lo largo de la línea de

costa.

La sensibilidad de la calibración puede ser medida en el documentos de la

lámina No 9.

Conviene señalar que la calibración es relativamente satisfactoria a la fecha

de las piezometrías, teniendo en cuenta que ningún límite se han impuesto

niveles, sino más bien, se ha discretizado los 14 casos existentes.

Al estado actual de las observaciones disponibles, excluye toda calibración

rigurosa del modelo. No es dable hacer un ajuste afinado de la totalidad del

escurrimiento.

La estrategia de utilización del modelo en fase de calibración en régimen

estacionario, es ilustrado en el ordinograma de Organización de Operaciones

de Simulación en la Lámina No. 10.

PROGRAMA MODELO MATEMÁTICO CASMA

1, , ,

REGIMEN PERMANENTE