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7/24/2019 10problemasdeecuacionescuadrticas-140427110015-phpapp01

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ECUACIONES CUADRATICAS, RESOLUCIN DEPROBLEMAS

1.- La suma de dos nmeros es 1 ! "a suma de sus #uadrados es$%. &a""e am'os nmeros

Primero se asigna la variable (a una de las incgnitas del problema.Hay dos incgnitas que son ambos nmeros, como el problema no hace

distincin entre uno y otro, puede asignarse (a cualquiera de los dos,por ejemplo:

( ) Pr*mer nmero

Como la suma de ambos es 1, entonces necesariamente el otro ser!:

1 + ( ) Seundo nmero

Para entenderlo mejor:

"i entre su amigo y usted tienen # 1., y su amigo tiene # $,

%Cu!nto tiene usted&, obviamente, restando el total menos $, es decir

1. ' $ ( # ). "i su amigo tiene # (, la cuenta no cambia, sloque no sabr! el valor sino en *uncin de (, es decir, usted tiene 1. '+ .

a condicin -nal del problema establece que la suma de los cuadrados

de ambos nmeros resulta /, entonces:

( /1 - (0) $%

0sta es la ecuacin a resolver

Para hacerlo, aplicamos algunas tcnicas de "e'ra e"emen2a"y luegoreordenamos para llegar a la *rmula conocida.

2emos que la operacin indicada entre parntesis es el cuadrado de un

binomio. 0s un error muy comn que los estudiantes escriban: 3a ' b4 5(

a5' b5, lo cual es incorrecto. a e+presin correcta es: 3a ' b45( a5'

56a6b 7 b5

8esarrollando la ecuacin se tiene: ( 1+ 313( () $% )( 1 + 3( () $%

9rdenando y agrupando: (+ 3( 4 )

8ividiendo entre 5 toda la ecuacin:


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(+ 1( 1 )

;hora podemos aplicar la *rmula general para resolver la ecuacin de

segundo grado y llegaremos a (1) 5y () 6.

2eamos, si tenemos

a ( 1, b ( '1 c ( 51

os nmeros 'us#ados son 5 ! 6.

.- E" "aro de una sa"a re#2anu"ar es 6 me2ros ma!or 7ue e"an#8o. S* e" an#8o aumen2a 6 m ! e" "aro aumen2a m, e" rease du9"*#a. &a""e e" rea or**na" de "a sa"a.

argo y ancho son di*erentes. 0l problema permite que la variable (seasigne a cualquiera de las dos incgnitas, largo o ancho.

"upongamos que:

( ) an#8o de "a sa"a

0l largo es < metros mayor que el ancho, as= es que:

( 6 ) "aro de "a sa"a.

0l !rea de un rect!ngulo es la multiplicacin de ambos:

( 3 /( 6 0 ) rea de "a sa"a.


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>ngase en cuenta que estos son los datos iniciales.

as condiciones del problema e+plican que el ancho aumenta en TICAS UTILI@ANDO LA ?ROMULA ENERAL

Para resolver la ecuacin cuadr!tica: a+5

7b+7c(, podemos utiliEar la*rmula:

0jemplo:

@esolver la ecuacin:

+5F 1+ 75$ (

"olucin: Primero identi-camos los coe-cientes a, b y c y luego los

reemplaEamos en la *rmula:

a ( 1 b ( D1 y c ( 5$

MTODO DEL CUADRADO COMPLETO

0jemplo:

@esolver la ecuacin: +5F )+ 7 / (

"olucin: Con los trminos +5y F)+ podemos *ormar el cuadrado de

binomio 3+ F


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+ 7 5( /cm

6.-%Cu!nto mide el radio de un c=rculo cuya !rea es 51.)5$&J(


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16 ! 5 Son "os dos nmeros.

$.-8entro de


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coincidentes, hay in-nitos puntos que pertenecen a ambas, lo cual nos

indica que hay in-nitas soluciones del sistema 3todos los puntos de las

rectas4, luego ste ser! #om9a2*'"e *nde2erm*nado.

0l proceso de resolucin de un sistema de ecuaciones mediante

el mtodo gr!-co se resume en las siguientes *ases:

i. "e despeja la incgnita y en ambas ecuaciones.

ii. "e construye, para cada una de las dos *unciones de primer grado

obtenidas, la tabla de valores correspondientes.

iii. "e representan gr!-camente ambas rectas en los ejes

coordenados.

iv. 0n este ltimo paso hay tres posibilidades:

a. "i ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto decorte son los nicos valores de las incgnitas + e y. S*s2ema#om9a2*'"e de2erm*nado.

b. "i ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene in-nitas

soluciones que son las respectivas coordenadas de todos los

puntos de esa recta en la que coinciden ambas. S*s2ema#om9a2*'"e *nde2erm*nado.

c. "i ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene

solucin. S*s2ema *n#om9a2*'"e.

2eamos, por ltima veE, el ejemplo visto en los mtodos anal=ticos para

resolverlo gr!-camente y comprobar que tiene, se use el mtodo que se

use, la misma solucin, recordemos de nuevo el enunciado:

0ntre ;na y "ergio tienen ) euros, pero "ergio tiene el doble de euros

que ;na. %Cu!nto dinero tiene cada uno&

lamemos + al nmero de euros de ;na e y al de "ergio. 2amos a

e+presar las condiciones del problema mediante ecuaciones: "i los dostienen ) euros, esto nos proporciona la ecuacin + 7 y ( ). "i

"ergio tiene el doble de euros que ;na, tendremos que y ( 5+. ;mbas

ecuaciones juntas *orman el siguiente sistema:

( ! ) ;( - ! )

Para resolver el sistema por el mtodo gr!-co despejamos la

incgnita y en ambas ecuaciones y tendremos:


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! ) -( ;! ) (

2amos ahora, para poder representar ambas rectas, a calcular sus tablas

de valores:

! ) -( ; ! ) (

( ! ( !

5 $ 1 5

) 5 $

Con estas tablas de valores para las dos rectas y eligiendo las escalas

apropiadas en los ejes 9G y 9, podemos ya representar gr!-camente:

R(?? td(??S

"i observamos la gr!-ca, vemos claramente que las dos rectas se cortan

en el punto 35, $4, luego la solucin del sistema es + ( 5 e y (

$. Por tanto, la respuesta al problema planteado es que ;na tiene eurosy "ergio tiene 4 euros, es decir, el mismo resultado,evidentemente, que hab=amos obtenido con los tres mtodos anal=ticos.

"i, al representar gr!-camente un sistema, se obtienen las rectas ( )e ! ) (, %cu!l ser! la solucin del mismo&

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