PRIMERA FASE TRABAJO COLABORATIVO 2

JUAN CARLOS GONZALEZ GOMEZ

CODIGO: 91283147

JOSE JULIAN RUEDA

CODIGO: 91154491

ELIECER RONDON

CODIGO: 91391481

ERWIN YESSID ACOSTA

CODIGO:

Trabajo presentado para el curso

ECUACIONES DIFERENCIALES 100412_42

Tutor

JADIER ESTRADA

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD

FACULTAD DE CIENCIAS AGRICOLAS, PECUARIAS Y DEL MEDIO AMBIENTE

CEAD JOSE ACEVEDO Y GOMEZ- BOGOTA

OCTUBRE 2014

INTRODUCCION

Explicacin del concepto de ecuacin diferencial y como se pueden clasificar de acuerdo al tipo

(ordinaria o parcial), al orden (primer orden, segundo orden y dems) y si la ecuacin diferencial es

lineal o no.

Una ecuacin diferencial es una ecuacin que tiene las derivadas de una o ms variables

dependientes con respecto a una o ms variables independientes. Si tenemos una ecuacin de la

siguiente forma: dy/dx+10y=e^x, se tiene una ecuacin diferencial. Cuando se tienen ecuaciones en

algebra se deba encontrar que el valor de x satisfaca la igualdad y que este valor era un nmero

cualquiera, en el caso de las ecuaciones diferenciales se ve que la solucin no es precisamente un

nmero sino una funcin, es decir, que en una ecuacin diferencial en done hay que encontrar una

funcin que al derivarla y aplicar otras operacin se cumpla la igualdad.

Una ecuacin diferencial tiene distintas clasificaciones, una de las maneras de clasificar una

ecuacin diferencial, es que diga que se trata de una ecuacin diferencial ordinaria (E.C.D.O), esto

quiere decir que se deriva la variable dependiente con respecto a una nica variable independiente,

pero si la ecuacin implica derivadas parciales se est ante una ecuacin diferencial parcial.

Primera actividad

Indique cules de las siguientes ecuaciones son diferenciales lineales homogneas con

coeficientes constantes y cules son diferenciales lineales no homogneas y resulvalas.

Ejercicio 1 a. Aporte Eliecer Rondon

Solucin punto a.

Es una Ecuacin diferencial lineal homognea de segundo orden.

Usamos una ecuacin auxiliar:

Donde m= coeficiente de la derivada de segundo orden =1 =y''.

m=coeficiente de la derivada de primer orden = -10=y'

c= coeficiente de la variable que esta sin derivar=25=y

cuya solucin es de la forma

como es solucin nica c2ex se le agrega una x

Entonces nos queda c2 xex

entonces:

Solucin:

Ejercicio 1b. Aporte Juan Carlos Gonzalez

2

1 2

E.D Lineal con coeficientes constantes de 2 orden

En este caso tambin tiene dos races distintas.

Luego la solucin general es:

1 3x 2

-2x

Ejercicio 1d. Aporte Eliecer Rondon

d.

Solucin punto d.

d. Es una ecuacin diferencial lineal homognea.

y'' - 9y = 0

m - 9 = 0

m = 9

m = 3

y = +

Encontrar la integral particular por comparacin de coeficientes

y = A y' = 0 y'' = 0 y'' - 9y = 54 -9A = 54

A = -6

y = -6

Encontrar la solucin general por combinacin de estas dos partes:

y = y + y

y = + - 6

Solucin: y =

Ejercicio 1e. Aporte Juan Carlos Gonzalez

Primero resolvemos la ecuacin homognea asociada:

Que tiene un polinomio caracterstico

2

1=0 , 2 =-25

As que la solucin a la ecuacin homognea es

c 1 (0) x 2

-25

c 1 2 -25x

Ahora procedemos a encontrar una solucin particular:

Una primera aproximacin a p sera

p

Derivando p una dos veces y remplazando la ecuacin original, se trae: p p p

Sustituyendo en la ecuacin:

Se abstrae los siguientes ecuaciones igualando trminos y semejantes

25

Y as

p

La solucin general es

c p

1 2 -25x

Ejercicio Erwin Yessid Acosta punto 2. Aporte

Demostrar que son soluciones linealmente independientes de la siguiente ecuacin

diferencial:

En el intervalo

Como el Wronskiano de es:

Porque si y si

Se toma para el valor de x toda la recta real.

Por lo tanto las soluciones son linealmente independientes.

Ejercicio punto 3. Aporte Jose Julian Rueda

Resolver la siguiente ecuacin diferencial por el mtodo de variacin de parmetros:

Dados que las races de la ecuacin auxiliar son , la funcin complementaria es mediante , y

|

|

|

|

|

|

Al integrar

Se obtiene

| | | |

Por lo tanto una solucin particular es:

| |

Entonces, la solucin general de la ED es:

| |

Ejercicio punto 4 Aporte Juan Carlos Gonzalez

Por coeficientes indeterminadas

ecuacin auxiliar. 3 2

2

1 2 3 son races: H=[ 1 2 3 ] ecuacin homognea

Anulador

Anulador de De la forma [ ]

[ ]n 1

Anulador de 8 npara una constante:

Es de la forma { } Donde 0=

El anulador total es:

Ahora ponemos la E.C Diferencial dada en trminos de (derivada)

y = = g(x)

Ahora multiplicamos por el anulador

Donde

Se resuelve la homognea que resulta al anular

=0 para hallar p como m p

Para la funcin de (ec. auxiliar)

Luego

Tengo 6 races

1 Races repetidas

[ ](Imaginaria); [ ](imaginaria) Races complejas conjugadas de la forma donde

Ahora

[ ] [ ] =

Para

Solucin ecuacin general (

h p

Sustituyo a y por A, B y C

p p

P

p Reemplazando est en la ec. Dif (inicial)

[ ] [ ]

Agrupamos lo sealado:

Para que se cumpla la igualdad:

1. Coeficiente para senx

2. coeficiente para cosx

3.

Luego sumo miembro a miembro las ecuaciones 1 y 2

Y de la ecuacin 3:

Luego

Ejercicio punto 5 Aporte Juan Carlos Gonzalez

A) El anulador diferencial de

Cuando la forma de la funcin es: el anulador es n

Para nuestro caso: (D-1)2

La solucin es

B) El anulador de un polinomio es el producto de los anuladores de cada uno de los trminos que

componen el polinomio.

Anulador del 1 n Debe cumplirse que

n es el anulador de 1;

El anulador de cumple que

El anulador de ( n Es 3

El anulador de

; { }

El anulador del polinomio es 4 derivada

[ ]4

No es necesario multiplicar a: Ya que con es suficiente para hacer que cero a

Ejercicio punto 6 Aporte Juan Carlos Gonzalez

Para solucionar este usamos el mtodo de cauchy-euler

Se supone que

Funcin 1 derivada 2 derivada

Remplazo en la Ec. Diferencial donde:

[ ] [ ] [ ] Simplificando

Sacamos factor comn:

Nunca es cero, luego

Y (ESTAS SON DOS RAICES COMPLEJAS CONJUGADAS DE LA FORMA )

La solucin de la ec. Diferencial es:

[ ] [ ]

Respuesta

Segunda actividad

Contamos con el aporte de todos los integrantes del grupo el cual se consolido para una nica

presentacin en power point.

Tercera actividad

Aporte Jose Julian Rueda - Eliecer Rondon

CONCLUSIONES

El presente trabajo permito mejorar los conocimientos correspondientes a las ecuaciones

diferenciales de orden superior, en donde tambin se desarrollaron dichas ecuaciones por los

mtodos de variacin de parmetros y coeficientes indeterminados.

BIBLIOGRAFIA

Escuela de Ciencias Bsicas, Tecnologa e Ingeniera, ECBTI 100412-Ecuaciones Diferenciales.

Alvarado Esteban, Ecuaciones Diferenciales Homogneas lineales Con Coeficientes Constantes, Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD, Octubre de 2014. Tomado de:

https://www.youtube.com/watch?v=OgBKGHtl7Bw

Alvarado Esteban, Soluciones Linealmente Independientes Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD, Octubre de 2014. Tomado de:

https://www.youtube.com/watch?v=xmZbJ2hBzjk

Alvarado Esteban, Mtodo de Coeficientes Indeterminados Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD, Octubre de 2014. Tomado de:

https://www.youtube.com/watch?v=BgjqiH3QeZc

Alvarado Esteban, Variacin de Parmetros, Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD, Octubre de 2014. Tomado de: https://www.youtube.com/watch?v=75EyYhJNoYA

Ecuaciones Diferenciales Con Aplicaciones en Maple, Universidad de Antioquia. Tomado de: http://matematicas.udea.edu.co/~jescobar/

Cuartas Roberto, Ecuaciones Diferenciales. Tomado de: http://aula.tareasplus.com/Roberto-Cuartas/ECUACIONES-DIFERENCIALES