1. Sistemas de Coordenadas y Vectores

7/23/2019 1. Sistemas de Coordenadas y Vectores

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9/16/15 08:46:19 PM Segundo L. Gallardo Zamora 1

UPAO

DEPARTAMENTO ACADMICO DE

CIENCIAS

Docente: Segundo Liardo GallardoZamora !ru"illo#$015

*S'D+D P*'(+D+ +&!)&,* ,

FSICAAVANZADASISTEMAS DE

COORDENADAS VECTORES


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SISTEMA DE COORDENADAS

Sistema Tridimensional.Es el sistema de referencia

constituido por tres rectas numricas mutuamenteperpendiculares.

Plano (X,Y)

Plano (Y,Z)

Plan

o(X,Z)

Figura 1. Sistema

tridimensional (X,Y,Z)

+Y-Yo

-X

+Z

-Z

Por ejemplo, el sistema tridimensional de ejes coordenadoscartesianos (X,Y,Z) de la i!." se o#tiene intersectando tres planosmutuamente perpendiculares.


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Este sistema tridimensional tam#in se puede

representar mediante las tres aristas de unparalelep$pedo rectan!ular con %rtice com&n, talcomo se muestra en las i!.'.

Y-Y

X

-X

Figura 2. Sistema cartesiano tridimensional (X,Y,Z) formado por

las aristas de un paraleleppedo rectangular

Z

-Z


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Para u#icar un punto P(,,*) en el sistema de

coordenadas tridimen-sional de la i!. se!uimos lossi!uientes pasos

Figura 3. Uicaci!n de un punto

en el sistema (X,Y,Z)

Z

Y

X

P(,,*)

P

*

4. Trazamos, por P, un segmento de

recta paralelo y de igual magnitud

a la coordenada z. El etremo !i"

nal de este segmento u#ica al

punto P.

$. %isualizamos mejor la perpendicu"

laridad de las tres coordenadas

mediante planos diagonales.

&. Trazamos las coordenadas (,y,z)

so#re cada uno de los semiejes

seg'n su magnitud y signo.

. Trazamos dos rectas paralelas de

igual magnitud a las coordena"

das (, y). a intersecci*n de es"

tas rectas determinan el punto P+ue es la proyecci*n de P so#re

el plano (X,Y).

. Trazamos la diagonal -P y luego

una paralela por el etremo de z.


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Ejemplo "./#icar el punto P(0,1,2)

Figura ".

X

#X

Z

Y

#Z

#Y o

$ %

& (%,',)

$ '

P

$

Ejemplo './#icar los puntos

3 (,- 1,- 4)5 6(-2, -1, -7)5 8(-0,2,-0)5 9(4,:,2)

Figura .

-"

-'

(3, -', #")

$ 3

os puntos , / y 0 +uedan como

ejercicios para el estudiante

X

#XZ

Y

#Z

#Yo


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ESCALARES Y VECTORES

Ejercicio S8- :"

". 9i#ujar la u#icaci;n de los puntos 3(-0,2,)5 6 (1,4, -0) 5 8(-1,-0,4) 9(0 ,-ue%a desde el ori!en ?asta el punto >ue se >uiere u#icar. Este %ector

tiene como componentes a las coordenadas del punto. Por ejemplo,para el punto @(,,*) se tiene

A + 1 z (1)Esto

si!nifica >ue@ (, , *)

o

Y

X

Z

Figura %@

*

*

* ** El !rBfico >ue resulta es un pol$!o-

no en el espacio como el de la i!.0.

rA , rA , rA *

Se demuestra >ue el m;dulo del%ector posici;n esta definido por

rA '+ '+ *'


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Bn!ulo director >ue

forma con el semieje +Y

C Bn!ulo director >ue formacon el semieje +Z

Bn!ulo director >ue formacon el semieje +X

Dos 2ngulos directores se%isuali*an mejor si tra*a-mos l$neas perpendicula-resdesde el etremo finaldel %ector a cada uno delos semiejes, tal como seilustra en la i!. 1.

X

Y

Z

Figura '.

* @

@

P

S

El %ector posici;n forma con los semiejes positi%os delsistema (X,Y,Z) los Bn!ulos , , C a los >ue se denominanBn!ulos directo-res o direccionales, por>ue definen ladirecci;n del %ector posici;n.


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Das perpendiculares tra*adas definen las componentes

del %ector so#re cada uno de los semiejes a su %e*permiten o#tener tres triBn!ulos rectBn!ulos.

Y

X

Z

Figura +

*

1+-@

S

P

Para %isuali*ar mejor estos triBn!u-los, !iramos la i!. 1 en "ueforma con el semieje +X.

A rcos

(2)


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Entonces, el m;dulo de la componente* A * se puedecalcular usando

(") A rcos

A rcos + rcos 1 rcos ()

8on estos %alores para las componentes, el %ector posici;n tam-#in se puede escri#ir en la forma

* A rcos (3)En el triBn!ulo rectBn!ulo @ tam#in tenemos la perpendicular@ el Bn!ulo director , >ueforma con el semieje +Y.Por similitud con las definiciones anteriores, en el triBn!ulo rectBn-!ulo @ podemos definir el m;dulo de la componente A ,

mediante la epresi;n

Ejemplo . 9efinir !raficar el %ector posici;n del punto 3 (G4, 2,

Gue

Aa A G 4, Aa A 2, * A a*A G m?@, para"

lela al semieje Y positi=o

%z6 $$7 cos &$: 6 -33,9& >m?@, para"

lela al semieje Z positi=oz

"2o

""7o2:o

y

Por lo tanto, la %elocidad es el %ectorA -'00,02 + 2,2 -


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Ejemplo 0.Das componentes de una fuer*a son A

:: J, A-'2: J *A -42: J. Epresar el%ector fuer*a en funci;n de sus compo-nentes calcular su m;dulo direcci;n.Soluci;n En la i!."' di#ujamos lascomponentes con ellas formamos elel %ector fuer*a.

Y

Z

X

-2

3

-42:

Figura 12

A :: -'2: -42:

F A

A 272,


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Ejemplo 1. Mallar la resultante de los si!uientes

%ectores fuer*a e- presados en JeNtons "A 2 G 0G A 6 7 G 4 5

A G < + ' G 2 5 4A G 2 + '

oluci*n,

im#*licamente la resultante de estas !uerzas est2 de!inida por la

epresi*nB

Escri#imos los =ectores en !ilas, de manera tal +ue sus componentes se

muestren en columnas con los =ectores unitarios. si !altara una componente

se deja en #lanco o coloca cero. uego sumamos alge#raicamente por

columnas los coe!icientes de cada =ector unitario.

" + ' + + 4* (-+/ ) $ (-%$ $2) $ (-3-"-$2)

6 "1 '1 1 4

"* / % / 3

= / "

* / + $ 2 /

4*/ $ 2


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En este proceso de sumar los coeficientes de los %ectores unitarios , ,tam#in estamossumando las componentes de cada uno de los %ectoresso#re los semiejes del sistema (X,Y,Z). Por lo tanto, esto si!nifica >ue

El %ector resultante sus respecti%ascomponentes se muestran en la i!.".

su direcci;n esta definida por losBn!ulos directores

A cos-" (G < H ",1 ) "'2,1F

A cos-"( 2 H ",1) 0


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=ector posici;n relati%o entre dos puntos.

Es el %ector >ue u#ica un punto respecto a otro, cuando am#osestBn u#icados con respecto al mismo sistema de coordenadas.

Por ejemplo, en la i!."4, el %ectorposici;n del punto @'(',',*'), respe-to al punto @" (",",*" ), es el %ector

>ue %a desde @"(punto de referenciao punto inicial) ?asta @' (punto >uese >uiere u#icar o punto final).

@'(',',*')

$

'"

1

@"(",",*")

o

X

Z

Y

Figura 1"

Por lo tanto, el %ector posici;n relati%odel punto @'respecto al punto @"es el%ector diferencia

(%)'"* '/"

Esta epresi;n indica >ue de#emos ejecutar la resta de los %ectoresposici;n de los puntos.


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En esta epresi;n %emos >ue las componentes del %ector posici;n

'" se o#tienen restando las coordenadas del punto finalmenos las coordenadas del punto inicial. Es decir >ue

'A ' + ' + *'

/ "A/ "/"/*"

(' /") A (r'") es la componente del %ectorposici;n relati%o paralela al eje X.

(' /") A (r'") es la componente del %ector

posici;nrelati%o paralela al eje Y.(*' /*") A (r'")* es la componente del %ector

posici;nrelati%o paralela al eje Z.

'" A '/"A ('/" )+ ('/") + (*'/*") (')


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El m;dulo del %ector posici;n relati%o es

r'" A ('G ")' + ('G ")' + (*'G *")' (+)

direcci;n

A cos-"O('G ") H r'")5 A cos-"O('G ") H r'")5CA cos-"O(*'G *") H r'") ()

9e i!ual forma, en la i!."2, podemos!raficar definir el %ector posici;n

relati%a del punto @" respecto al punto@'mediante la epresi;n

@'(',',*')

$

"'

1

@"(",",*")

o

X

Z

Y

Figura 1

(1)"'* "/'

"' A "/'A ("/' )+ ("/') + (*"/*')

9e m;dulo

r"' A ("G ')' + ("G ')'+ (*"G *')' (11)

direcci;n

A cos-"O("G ') H r"')5 A cos-"O("G ') H r"')5

CA cos-"O(*"G *') H r"')

(12)


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Ejemplo


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9/16/15 08:46:$4 PM Segundo L. Gallardo Zamora $0


'. a) 9i#ujar definir los %ectores posici;n de cada uno de los puntos de la i!. "1 lue!o sumarlos, #) 9i#u- jar definir el %ector posici;n del

punto 6 respecto al punto 3 c)9i#ujar definir el %ector posici;ndel punto 9 respecto al p&nto 8.(CptaB a) Trazar los =ectores cuyas de!iniciones sonB 6-8 -$ 1 3

Z

Figura 1'

Y

X

3(-0,-2,


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6 -& 1 9 -& , 6 < -9 , 6 9 1 3 -9 A #) di#ujar el =ector cu"ya de!inici*n esB #a= 6

-8 1 &4 - , con #a $,&4, 6 &7,3:, 6 $8,: y 6 &4,


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9/16/15 08:46:$5 PM Segundo L. Gallardo Zamora $$


2. #tener un %ector de ma!nitud "4 >ue ten!a la misma direcci;n >ue el%ector A 0- -. (CptaB 6 & -8 -4 )

Producto escalar o producto punto de dos %ectores.

Co

Figura 1+

9onde

El producto escalar de los %ectores de la i!. "< se definemediante el producto aritmtico de los m;dulos de los %ectores elcoseno del Bn!ulo >ue forman en un ori!en com&n.

* cos C (13)

, es el m;dulo del primer factor

, es el Bn!ulo entre los %ectores con ori!en com&n es tal>ue :F

C

"


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3l!unas aplicaciones.

". 8Blculo del Bn!ulo entre dos %ectores o rectas.

C A cos-"( ) H ( ) (1")>ue permite calcular el 2ngulo entre los =ectores .

'. 8Blculo de la proecci;n orto!onal de un %ector so#re otro.

* (cos C)El factor (cos C) * , define laproyecci*n ortogonal(perpendi-cular) del %ector so#re el %ector como se muestra en la i!."7.

o

Figura 1

Por lo tanto

3 A ( ) H(1)

9e forma similar definimos la proecci;norto!onal del %ector so#re el %ector ,como

6 A ( ) H (1%)

9e la definici;n del producto escalar se o#tiene la epresi;n

En la definici;n del producto escalar podemos a!rupar trminos escri#ir


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Ejemplo 7. Mallar el tra#ajo >ue reali*a la fuer*a A

42: J, al despla-*ar el #lo>ue de la i!.': unadistancia A m.

C A ::

Figura 2

Soluci;n

U A A cos C

Por lo tanto, se!&n la definici;nU A (42:)() cos :F

U A ""07," V

* 3

o

Figura 21

El tra#ajose define como el producto escalar del %ector !uerzapor el%ector desplazamiento.

Para eplicar mejor esta definici;n di#ujamos los %ectores a partir delori!en com&n , tal como se muestra en la i!.'".


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Propiedades fundamentales

". A Propiedad /onmutati=a.'. ( + ) A + Propiedad 0istri#uti=a

. Si A :, sa#iendo >ue : :, entonces los dos%ectores son perpendiculares.

2. Si los %ectores se epresan en funci;n de sus componentes rectan-!ulares

orma can;nicaA 3 + 3 + 3*

A 6 + 6 + 6*

4. A cos :F A ', entonces A , permite calcular el

m;dulo del %ector .

Se demuestra >ue el producto escalar de ellos se calcula mediantela epresi;n

A 36+ 36+ 3*6* (1')


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Ejemplo ":. Si A G 4 + 1 G "" , A G 0 + 7 y A 2 + < 17 . 8alcular a) ,

#) , c) el Bn!ulo entre , d) la componente de so#re , e) ( + ), f) , !) el Bn!ulo entre ( G ) ( + )

Soluci;n. a) Para ejecutar el producto escalar ordenamos los %ectoresen filas columnas en #ase a los %ectores unitarios

A G 4 + 1 G ""A G 0 + : 7

A (G 4)(G 0) + (1)(:)+ (G "")(7) A G12

#) Esta pregunta +ueda como ejercicio para el estudiante.

c) El Bn!ulo entre los %ectores se o#tiene del producto escalar, >ue lue-!o de despejar Co#tenemos la f;rmula

en el denominador tenemos los m;dulos de los %ectores.

CA cos-"( ) H ( )

( ) A G12 (%alor o#tenido en la pre!unta (a)9onde, el numerador es el producto escalar

A "


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Por lo tanto, reempla*ando %alores o#tenemos

CA cos-"

(G12H ("ue la componente 36estB

en sentido opuesto al %ector , tal como se muestra en la i!.''.

as preguntasB e) y !) +uedan como ejercicios para el estudiante.

!) Para simplificar calcular el Bn!ulo entre los %ectores denominamospor A ( G ) A ( + ).


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por lo tanto, el Bn!ulo entre Q,J se o#tiene usando la epresi;n

A cos-"

( )HQJ

( G ) A (G 0 + 4) G 1 + ( 7 + "")

A G ' G 1 + ': A G + < + "ue forman el Bn!ulo en elori!en com&n, es el %ector definido mediante la epresi;n

Figura 23

Co

El %ector producto es perpendicular a

los %ectores , de un sentido i!ual alde a%ance de un tornillo de !iro a laderec?a, cuando es !irado de ?acia talcomo se ilustra en la i!.'.

9onde el aspa entre los %ectores es els$m#olo de esta operaci;n.

/sando el %ector unitario el producto %ectorial tam#in se definemediante la epresi;n

A (1+)

A A 36 sen (1)

Este sentido tam#in estB determina me-diante la re!la del pul!ar de la mano

derec?a al cerrar el $ndice de ?acia .


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9onde 36 sen es el m;dulo del %ector producto es un %ector

unitario paralelo a .3demBs, 3 6son los m;dulos de los %ectores Ces el Bn!ulo >ueam#os forman en el ori!en com&n, tal >ue :o

C

"


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'. 8Blculo de un %ector perpendicular a dos %ectores

coplanarios a la %e*. /n ejemplo de este tipo de %ectores el Tor>ue o Qomento de una fuer*a aplicada a uncuerpo con respecto a un eje de rotaci;n.Ejemplo "". En la i!. '2 se aplica una fuer*a 5

A 2: J so#re la puerta en un punto u#icado auna distancia rA ",2: m de las #isa!ras. Si los%ectores forman un Bn!ulo A 47F, calcular

el momento o tor>ue >ue produce esta fuer*arespecto al eje Z.

Soluci;n.

XY

Z

Eje de

rotaci*n

Figura 2

C

Si los %ectores forman un plano paraleloal plano (X,Y), entonces el momento o tor>uede la fuer*a, respecto al eje de las #isa!ras, se

o#tiene mediante el producto %ectorial de estos %ectores.

A

Este %ector es paralelo al eje Z (eje de las #isa!ras) perpendicular alplano formado por , (plano X,Y).


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En la i!.'0 se ?an di#ujado los %ectores a partir de un ori!en co-m&n

, para %isuali*ar mejor el %ector tor>ue , >ue es perpendicular a los%ectores anteriores

"o

Figura 2%

/sando %alores, el m;dulo del tor>ue omomento es

A r sen C A (2:)(",2:)(sen 47F)A 70,' m.J

8omo el tor>ue es un %ector perpendi-cular al plano (X,Y), su forma %ectoriales

A 70,' m.J

o

Propiedades fundamentales del producto %ectorial

'.- ( + ) A + , propiedad distri#uti=a.".- A - , no es conmutati=o

.- A sen oA


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Si los %ectores se epresan en funci;n de sus componentes rectan-

!ulares en el sistema (X,Y,Z) tendrBn la forma

El producto %ectorial de estos %ectores se o#tiene desarrollando un de-terminante formado con los %ectores unitarios componentes de .

A4 7

4 7

8 7

8 7

8 4

8 4(+)

(-)

(+)

(-)

(+)

(-)

A - 1

947/ 74:

8 4 7

8 4 7

- 987/ 78: + 984/ 48: A

Para desarrollar este determinante aplicamos el mtodo de menorescomplementarios >ue consiste en anular fila columna donde se u#ica

cada %ector unitario a fin de o#tener tres determinantes de menor ran!o.

El signo negativo que antecede al vector unitario se debe, segn la matemtica,

a su osici!n en el determinante "rimera #ila, segunda columna$%

Due!o en cada menormultiplicamos sus elementos en forma dia!onal.

3l producto dia!onal ?acia a#ajo le restamos el dia!onal ?acia arri#a.

A8 +4 +7 , A 8 + 4 + 7

(21)


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@eordenando trminos o#tenemos

947/ 74: +978/ 87: 1 984/ 48: A (22)

oluci*nBPara o#tener el producto %ectorial formamos el determinante lo resol%emos por el mtodo de los menores complementarios.

Ejemplo "'. 9ados los %ectores A 4 + F 0 , AF2 F1 + ' , calcular a), #) el Brea del paralelo!ramo formado por .

3-

%

-' 2*

(-)

(+)

"-

%

- 2-

" 3

- -'$

(-)

(+)

(-)

(+)

" 3 #%

# #' 2

A 9(3)(2) /(/')(/%): / 9(")(2) / (/ )(/ %): $ 9(")(/ ') / (/ )(3):

Simplificando A A/ 3% $ 22 /13

8on m;dulo ;A A (/3%)2$(22)2$(/13)2A 1" "",1

direcci;n 1"",%


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Ejemplo ". Dos puntos 3(4,-0,ue


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En la i!.'7, consideremos los %ectores con %rtice com&n en 3, talcomo se muestra en la i!.44. Por lo tanto

3(4,-0,


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o

Figura 3

El parntesis indica >ue primerode#emos ejecutar el producto%ectorial () lue!o el producto

escalar ()Qediante esta operaci;n o#tene-mos un escalar >ue representa el%olumen del paralelep$pedo for-mado por los %ectores , ,

como aristas con ori!en com&n.

Triple Producto Escalar

El triple producto escalar de los %ectores no coplanarios , de lai!.: es el escalar definido mediante la epresi;n

3l ejecutar primero el producto %ectorial ( ), o#tenemos un %ec-torperpendicular al paralelo!ramo #ase u#icado dentro del paralelep$pedo, talcomo se muestra en la i!. " >ue si!ue.

( ) (23)


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Da #ase del paralelep$pedo esta representado por el producto

%ecto-rial.

( ) A (& 'sen )

3?ora ejecutamos el productoescalar de con el %ector

producto.

( ) A & 'sen

9onde cos

A @, esla altura del paralelep$pedo como

A( (& 'sen

) cos

8uo m;dulo es i!ual al Brea de la #ase del paralelep$pedo

@

& 'sen A

ue puede reordenarse en la forma ( ) A ((cos )(& 'sen )

& 'sen

A ,es el Brea del paralelo!ramo #ase

( ) A @ A =, es el %olumen del paralelep$pedo

Entonces(2")

o

Figura 31


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Si los %ectores se dan en funci;n de sus componentes cartesianas.

El triple producto escalar se o#tiene desarrollando el determinante

formado por las componentes de los %ectores en el si!uiente orden

* 8 $ 4 $ 7

* 8 $ 4 $ 7

* ;8 $ ;4 $ ;7

A =olumen del paralelep$pedo formado por tres%ectores no coplanarios

9esarrollando el determinante por menores complementarios se tiene( ) A (68*G 6*8)3G (68*G 6*8)3+ (68G 68)3* (2%)

( ) A

3 3 3*

6 6 6*

8 8 8*

A = (2)


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;ota.Es importante indicar +ue al de!inir el triple producto escalar de#emos

cuidar +ue el=ectorproducto de dos de ellos sea un =ector +ue al u#icarlo

perpendicular a la #ase +uede dentro del paralelepGpedo. Por+ue de no ser asG,el triple producto puede resultar negati=o. i este es el caso, a'n podemos

considerar el =alor a#soluto del resultado como el =olumen del paralelepGpedo.

Soluci;n

/#icamos los puntos, lue!o tra*a-mos definimos los %ectores posi-ci;n de cada uno de los %rtices,>ue se muestran en la i!.'.

>

&

?

Y

Z

XFigura 32

6 2 + +6 - + 46 ' - + 1

Estos %ectores son aristas del pa-ralelep$pedo de la i!.4


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El %olumen de este paralelep$pedo se o#tiene mediante el triple productoescalar

2 -3 '

3 1

-3 "

@= (x)A

@ * 29(3)() / (")(1):

@ * 2" 9unidades de Aolumen:

3 1

"

2 1

-

3

-(-3) 3

-

3 "

$ '

Para o#tener el %alor de este triple producto formamos un determinan-tecon las componentes de los %ectores, se!&n el orden en >ue semultipli>uen.

@*

(

x

)

(+)

(-)

(+)

(-)

(+)

(-)

$ 39()() / (/3)(1): $ '9()(") / (/3)(3):

9esarrollamos este determinante usando el mtodo de los menorescomplementarios (o cual>uier otro mtodo).

@ *


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e demuestra +ue el triple producto escalar no cam#ia si

permuta"mos los =ectores alrededor delpuntoy el aspaen elsiguiente ordenB

'. 9efinir los %ectores posici;n , ,de los puntos P(G0, 7,G"')5 (G"", G",

1) @ (0, ue forma el %ector OF (?) con el %ector () #) el %olumen del paralelep$pedo formado por los %ectores , , OCptaB a)

6 9,9: y #) % 6 &8 unidades de =olumen

Ejercicio E=-:

". 9efinir los %ectores posici;n, , , de los puntos D (G1, G


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. Mallar el =ector unitario >ue sea perpendicular a 6 2 + + 1 6 -

3 + 0-

4 a la %e*. (CptaB 6 (-? ) 1 (-? ) 1 (? )

4. 8alcular la alturadel paralelep$pedo determinado por los %ectores6 + + , 6 ' + 4 -, 6 + 1 , epresados en metros. (CptaB @7,83 m)

J

2. Dos si!uientes puntos estBn definidos, respecto al sistema (X,Y,Z),mediante las coordenadas (7, -1,-4)5 (':, -"0,"') M ("", 0, -7).a) 9efinir los %ectores posici;n , , de cada uno de los puntos,usando los %ectores unitarios , , , #) calcular el Bn!ulo >ue forma el%ector ( - ) con el %ector ( ? 4 ) c) calcular el %olumen delparalelep$pedo formado por los %ectores , . (CptaB a) 6 7-1 -4 , 6 ': -"0 + "' , 6 && + 0 -7 , #)

6 8,&:, c)

1. Sistemas de Coordenadas y Vectores

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