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TOPOGRAFÍA PARA LAS TROPAS 47

4. COORDENADAS

4.1 SISTEMAS DE COORDENADAS

El concepto de Sistemas de Coordenadas se debe al matemático francés René Descartes (1596-1650), aunque el empleo de tales sistemas, compuestos por dos ejes perpendiculares, era conocido y utilizado por los agrimensores egipcios con mucha anterioridad.

En los estudios que aquí se contemplan se utiliza como referencia el Sistema de Coordenadas Inerciales, es decir, aquellos sistemas donde un objeto se mueve con velocidad rectilínea constante, sin que actúen sobre él fuerzas externas.

A continuación se hace una breve descripción de los Sistemas de Coordenadas.

4.1.1 COORDENADAS RECTANGULARES EN EL PLANO

Este sistema en que un punto puede moverse en todas direcciones, manteniéndose siempre en un plano bidimensional, consta de dos rectas dirigidas “ x’, x e y’, y “, perpendiculares entre sí, llamadas ejes coorde-nadas.

Las rectas x e y, y el punto “o” de intersección de las rectas, “origen”. Las cuatro regiones en que las rectas perpendiculares dividen el plano, se llaman “cuadrantes”, que se numeran de acuerdo a la figura. Las direccio-nes positivas de los ejes x e y son: hacia la derecha del eje x, y arriba del eje y, respectivamente:

La posición de un punto P, en este sistema, está representada por las distancias ortogonales de los ejes al punto, las que se señalan por un par ordenado de números reales (x, y).

Y

I (+,+)

P(x,y) II (-, +)

X’ O X

III IV (-,-) (+,-) Y’

48 TOPOGRAFÍA PARA LAS TROPAS

4.1.2 COORDENADAS POLARES

En el sistema de Coordenadas Polares, un punto cualquiera en el plano se localiza también por un par de números reales. Así, en la figu-ra sea “o” un punto fijo denominado Polo y OA una recta fija denominada Eje Polar.

La posición de un punto P, que-da determinada por su distancia al centro del sistema OP = r y un ángulo AOP = . Los valores r y se conocen como “Coordenadas Polares” de P, donde r es el “radio vector” y el “ángulo polar”. Este ángulo que varía entre 0 y ±2 será “positivo” cuando se desplace a partir de OA, en sentido opuesto a los punteros del reloj, y “negativo” en el mismo sentido de las manecillas del reloj.

Si se hace coincidir el sistema rectangular (x, y) con el polar (r,α), se puede obtener la relación entre ambos sistemas por dos simples ecuacio-nes para cualquier valor de α.

x = r cos α

y = r sen α

4.1.3 COORDENADAS RECTANGULARES EN EL ESPACIO

Considerese tres planos mutuamente perpendiculares que se cortan en un punto común “O”. Las rectas de intersección de estos planos x’ x, y’ y z’ se llaman ejes co-ordenadas, y el punto “O”, origen del sistema de Coordenadas Rec-tangulares.

Los ejes “ x’, x, y’, y, z’, z “ se llaman res-pectivamente ejes x, y, z. Las ocho regiones en que los planos per-pendiculares dividen el espacio se llaman “oc-tantes”.

COORDENADAS


La posición de un punto P en el espacio está dada por sus dis-tancias ortogonales a los planos coordenadas xy, xz, e yz, en que las coordenadas del punto P en el espacio son: OA, OB y OC, llamados x, y, z, respectivamente.

Las coordenadas de un punto, entonces, están formadas por un trío ordenado de números reales (x, y, z), en que O y P son vértices opuestos de un paralelepípedo rectangular, cuyos lados son iguales a las coordena-das (x, y, z) de P.

4.1.4 COORDENADAS ESFÉRICAS

Sea P (x, y, z) un punto cual-quiera de una superficie esférica de centro en el origen “O” y radio vec-tor “r”, la porción de esta superficie comprendida en el primer octante se aprecia en la figura siguiente:

Sea ρ = CP = OP’, luego del triángulo OPC, se tiene:

ρ = r sen ψ

Asimismo, de los triángulos OAP, OBP’ y OPC, se tiene:

x = r sen ψ cos θ

y = r sen ψ sen θ

z = r cos ψ

Con estas ecuaciones se puede localizar cualquier punto P sobre una superficie esférica mediante los valores (r, σ, Θ), conocidas como coorde-nadas esféricas de P.

4.1.5 COORDENADAS CILÍNDRICAS

Las coordenadas cilíndricas son especialmente útiles en los casos en que la superficie límite es una superficie de revolución, como lo es el elip-soide de revolución en el estudio de la geodesia.

o


La figura representa en el primer octante una parte de la superficie de un cilin-dro circular recto, de radio r cuyo eje central es la coor-denada z.

Sea OP’ = r y θ el trián-gulo entre OP’ y el eje x. De estos se desprende que:

x = r cos θ, y = r sen

θ, z = z

Al trío ordenado de números reales (r, θ, z) se les llama Coordenadas Cilíndricas.

4.2 COORDENADAS GEOGRÁFICAS (GENERALIDADES)

4.2.1 LATITUD

El sistema de coordenadas sobre la superficie terrestre es origina-rio de los geógrafos griegos y aún se mantiene.

El problema radica en ubicar inequívocamente un punto, lugar, etc., sobre la Tierra y para ello existen las coordenadas geográficas.

Se puede definir latitud como el ángulo formado entre la normal a la superficie y el plano del Ecuador.

La latitud se obtiene a través de observaciones astronómicas de estrellas, con ayuda de efemérides y determinados cálculos.

Como origen de la latitud se ha adoptado la línea imaginaria lla-mada Ecuador, la cual además, divide a la Tierra en dos hemisferios, el norte y el sur; y también permite la denominación de latitud norte o sur.

En el sistema de medición de ángulos sexagesimales, el círculo posee 360º y la mitad de él 180º; ahora bien, suponiendo la Tierra esférica, se tendrían 180º de latitud de polo a polo. Sin embargo, se ha dividido en cuadrantes y cada uno tiene 90º de latitud norte o sur, partiendo desde el Ecuador como origen con 0º.

En rigor cada grado de latitud debería medir exactamente lo mis-mo, pero debido a la forma un tanto ovalada de la Tierra, se ha compro-bado que un grado de latitud mide cerca de 100,6 km, en el ecuador y 111,7 km en el polo. No obstante esta pequeña diferencia es significa-tiva para los mapas a escala grande.

o

COORDENADAS


Algunos datos tomados de apuntes del U.S. Geodetic Survey propor-cionan las siguientes medidas para un grado de latitud.

LATITUD METROS

0º - 1º 110.567,3 15º - 16º 110.647,5 30º - 31º 110.857,0 45º - 46º 111.140,8 60º - 61º 111.423,1 75º - 76º 111.627,8 89º - 90º 111.699,3

El conjunto de círculos que se generan sobre la superficie terrestre a partir del Ecuador y que conforman las líneas imaginarias que determinan la latitud, se denominan paralelos.

4.2.2 LONGITUD

Anteriormente se definió la posición norte-sur del sistema de coorde-nadas geográficas. La componente transversal, en el sentido este-oeste, es la longitud que está conformada por una serie de círculos denominados meridianos, los que son perpendiculares a los paralelos.

La longitud se define por la distancia angular existente entre dos me-ridianos a lo largo de un paralelo.

Los paralelos son círculos concéntricos que rotan a la misma veloci-dad angular, luego en un día giran 360º y por ende 15º por hora, lo que está definido por los meridianos.

La longitud del Ecuador es casi similar a la del círculo meridiano; sin embargo, a medida que se desplaza hacia los polos los círculos comienzan a tener cada vez un radio menor, luego cada grado de longitud este-oeste comienza a disminuir su valor en cuanto a distancia.

Se puede definir que:

l (λ) = cos ψ (ψ)

donde

l (λ) = medida de un grado de longitud

(ψ) = latitud

l (ψ) = medida del grado de latitud


Luego, la longitud varía con el coseno de la latitud.Algunos valores de la medida de un grado de longitud son aproxima-

damente los de la tabla siguiente:

LATITUD METROS

0º 111.321 15º 107.553 30º 96.448 45º 78.849 60º 55.802 75º 28.903 89º 1.949 90º 0

Al igual que los paralelos, para cálculos aproximados se usa:

1º de longitud = 111,4 km

Como origen de la longitud también existe un meridiano. Esta línea imaginaria fue elegida en 1884 y corresponde al Meridiano del Observato-rio de Greenwich, el que permite definir la longitud este y oeste.

4.2.3 DIRECCIÓN

Por definición, cualquier dirección sobre la superficie terrestre es to-talmente arbitraria, ya que una superficie esférica no tiene bordes, prin-cipio o fin. Así, el norte o sur se puede considerar, al igual que el este u oeste, a partir a cualquier paralelo o meridiano, teniendo presente que éstos son perpendiculares, excepto en los polos.

En cartografía se distinguen tres direcciones, llamadas también nor-te, a saber:

- Geográfica o verdadera

- De cuadrícula o de grilla

- Magnética

Normalmente estas direcciones no son coincidentes en un mapa, sin embargo, esta información esta señalada en él.

La desviación entre la dirección geográfica y la magnética se deno-mina desviación magnética; este valor normalmente se indica en el mapa como asimismo su variación anual.

COORDENADAS


4.2.4 AZIMUT

Anteriormente se definió el azimut, sin embargo, el cálculo de azimut de cuadrícula entre un punto A y B en coordenadas planas rectangulares está dado por:

tg AZ = (EB - EA ) / (NB - NA)

en que:

EA = valor de la coordenada este de A

EB = valor de la coordenada este de B

NA = valor de la coordenada norte de A

NB = valor de la coordenada norte de B

Ahora bien, si el punto “B” está en el cuadrante noreste, el valor del azimut es:

Az = Az de cuadrícula;

si el punto “B” está en el cuadrante sur-este, el valor del azimut es:

Az = 180º - arctg Az;

si el punto “B” está en el cuadrante sur-oeste, el valor del azimut es:

Az = 180º + arctg Az;

si el punto “B” está en el cuadrante noreste, el valor del azimut es:

Az = 360º - arctg Az

4.2.5 ORIENTACIÓN

Como la Tierra es una superficie casi esférica, para orientar los ma-pas que la representan en forma total o parcial se ha adoptado una con-vención.

Esta convención establece que el norte siempre se encuentra orien-tado hacia la parte superior de la hoja, el sur hacia abajo, el este hacia la derecha y el oeste hacia la izquierda.


La forma de orientar los mapas se remonta a los mapamundis de la época medieval, en que en la parte superior se colocaba el paraíso, que se encontraba al norte.

4.2.6 DISTANCIA

La distancia entre dos puntos de una esfera sólo puede medirse a lo largo de grandes círculos.

Teniendo en cuenta que los grandes círculos no son fácilmente men-surables; que además sí se pueden conocer las coordenadas de los pun-tos, y que la longitud de los grados de latitud es de 111 Km en promedio, entonces, el arco de distancia entre dos puntos de coordenadas conocidas, sobre la esfera, puede obtenerse mediante la fórmula:

cos d = (sen A sen B) + (cos A cos B cos P)

donde:

D = arco de distancia entre A y B

A = latitud de A

B = latitud de B

P = grados de longitud entre A y B

Ahora bien: si A y B están a los lados opuestos del Ecuador el pro-ducto de senos será negativo, y si P es mayor que 90º, el producto de los cosenos será negativo, lo que debe resolverse algebraicamente.

La distancia entre dos puntos sobre un sistema de coordenadas rec-tangulares puede calcularse por la fórmula

D = √{(EA - EB)2 + (NA - NB)

2}

donde:

EA y EB son las coordenadas este de los puntos A y B; y

NA y NB son las coordenadas norte de los puntos A y B

4.2.7 FACTOR DE ESCALA

La manera más simple de expresar el concepto de Factor de Escala es suponer la reducción y transformación de la superficie esférica en una plana ejecutada en dos fases:

COORDENADAS


- Una primera etapa sería la reducción de la superficie esférica de la Tierra a una esfera de una escala predeterminada

- La segunda etapa sería la transformación de esta esfera en un plano

Como esta última etapa no puede realizarse en forma sencilla y se producen deformaciones, la escala del mapa sería entonces el valor de ésta en la esfera, que es la escala principal. Sin embargo, la escala real del mapa estará sujeta a variaciones derivadas de los ajustes requeridos y la escala principal sólo se presentará exactamente en el área de contacto de la superficie esférica y de la desarrollable.

Consecuentemente, existirá una relación de escala en aquellas zonas en que no tienen contacto ambas superficies.

Esta relación es el “Factor de Escala”.De la ya mencionada, el factor de escala se puede expresar como la

razón entre la escala real del mapa y la escala principal, denominada tam-bién escala nominal, es decir:

FS = Escala Real / Escala Principal

Esta relación expresa el factor de escala como un radio relacionado con la escala principal como unidad. Un factor de escala de 2,0 significa que la escala real es dos veces mayor que la escala principal, es decir, si la escala real es 1:60.000.000 y la escala principal 1:30.000.000; en caso contrario, si el factor de escala es 0,5 indicaría que la escala real en la unidad de la escala principal.

Las mayores variaciones del factor de escala se presentan en ma-pamundis de escala pequeña. En los mapas de escala grande el factor de escala varía levemente de la unidad; tal es el caso de los mapas a escala grande que emplean la proyección UTM, donde las magnitudes del factor de escala, que están dentro de una zona de 6º de longitud, varían aproxi-madamente de 0,99960 a 1,00158.

4.2.8 COORDENADAS GEOGRÁFICAS

La cartografía actualmente utiliza para la medición de coordenadas el sistema de coordenadas geográficas y el sistema de coordenadas UTM (Universal Transversal de Mercator), para los que se emplean el siste-ma clásico UTM y el sistema GPS (Global Po-sistion System), su diferencia radica en que su origen es distinto.


Uno de los métodos más antiguos para localizar un punto sobre la su-perficie terrestre está basado en el Sistema de Coordenadas Geográficas.

La tierra se representa aproximadamente por una esfera que se cu-bre mediante un sistema de círculos máximos que pasan por los polos terrestres. Estos círculos máximos se denominan Meridianos y a partir de la línea del Ecuador, que también es un círculo máximo, se trazan círculos concéntricos paralelos hacia los polos, los que se denominan Paralelos.

Este sistema de coordenadas geográficas constituyen la Latitud y la Longitud, relacionados con Paralelos y los Meridianos respectivamente.

4.2.8.1 LATITUD

Como definición se establecerá que un Paralelo es un círculo imagi-nario concéntrico, paralelo al Ecuador.

En la figura siguiente se han representado el Ecuador y algunos pa-ralelos del hemisferio norte y del hemisferio sur.

En la figura siguiente se han dibujado paralelos enumerados de 10 en 10 grados. El punto designado con la letra P tendría luego una Latitud de 40° norte.

Todos los valores de latitud al norte del Ecuador se consideran por con-vención positivas. En el Ecuador la latitud es 0° y en el Polo Norte es 90°.

Los valores de las latitudes medidas al sur del Ecuador se consideran negati-vas, en la figura la latitud del punto Q es -20° y la del Polo Sur es -90°.

Normalmente y también por conven-ción, se coloca al final del valor numérico la letra N o S, para señalar que la Latitud es positiva o negativa, es decir, se encuentra al norte o al sur del Ecuador.

4.2.8.2 LONGITUD

Para explicar la longitud se establecerán las siguientes definiciones:

MERIDIANO; es un círculo máximo imaginario de igual magnitud que pasa por los polos y es perpendicular al Ecuador.

En la figura siguiente se muestran algunos meridianos e igualmente el Meridiano de Greenwich.

COORDENADAS


MERIDIANO ORIGEN; se determinó en forma convencional que el meridiano 0° correspon-diera a aquel que pasaba por el Observato-rio Astronómico de Greenwich. Se denomi-na además Meridiano Origen, Meridiano de Greenwich o Meridiano Cero.

Desde este meridiano se miden las longitu-des hacia el este, hasta el antimeridiano de 180° e igualmente hacia el oeste hasta el antimeridiano de 180°.

Este meridiano dimidia a la tierra en dos hemisferios, denominados hemisferio oriental y hemisferio occidental.

La longitud se define como el ángulo medido entre el meridiano de Greenwich y el meridiano del punto del cual se desea cono-cer la Longitud.

La coordenada geográfica es un ángu-lo y se mide en unidades de medida angular, siendo la más utilizada la medida en ángulos sexagesimales.

Partiendo desde el primer meridiano, la longitud se mide tanto hacia el este como al este alrededor del mundo. Los valores de las lon-gitudes que se miden hacia el este se numeran de 0° a 180° y se deno-minan longitud este. Del mismo modo hacia el oeste del Meridiano Cero se numeran de la misma forma y se denominan longitud oeste.

Por convención, debe especificarse en la longitud, con la letra E si la longitud es este y con la letra O (W en inglés) si la Longitud es oeste.

Es necesario tener presente que un grado de latitud en cualquier punto de la Tierra es de aproximadamente 11 Km y en consecuencia un segundo de latitud mide aproximadamente 30 metros. Con relación a la longitud, un grado cubre aproximadamente 111 Km, sin embargo, este valor sólo está presente en el Ecuador, a medida que se acerca a los polos el valor tiende a cero, siendo este valor en los polos. En la cartografía nacional a escala 1:50.000 se señala el valor de un segun-do de latitud y de un segundo de longitud en cada hoja de cartografía regular.

4.2.8.3 DETERMINACIÓN DE LAS COORDENADAS GEOGRÁFICAS DE UN

ACCIDENTE GEOGRÁFICO EN UNA CARTA

En la cartografía nacional se señalan en sus extremos las coordena-das geográficas de las esquinas de la hoja de cartografía.


Algunas cartas expresan el valor de las coordenadas de esquina en grados y minutos sexagesimales, en otras, por razón de ubicación, se ex-presan además los segundos.

Cada cierto trecho en cada uno de los bordes tanto superiores como inferiores de la hoja se señalan los respectivos minutos mediante unos tra-zos pequeños que exceden ambos lados del límite de la hoja y cada cinco minutos (5’) se señala el valor correspondiente.

Para determinar las coordenadas geográficas de un accidente geo-gráfico o un punto en la carta, se procede de la siguiente manera:

LATITUD- Se leen las coordenadas de la esquina nor-este de la carta- Adicionalmente en la información marginal de cada hoja se en-

cuentra indicado el valor en metros que corresponde a un segundo de latitud y a un segundo de longitud respectivamente

- Se identifica el punto- Para determinar la latitud se cuentan los minutos desde el norte

hacia el punto- Debe considerarse contabilizar hasta el minuto anterior al punto

en comento- Se mide con una regla o escalímetro la distancia existente en la

carta desde el minuto anterior al punto en comento- Se reduce de acuerdo a la escala el valor medido anteriormente a

metros- Se divide este valor por la cantidad señalada en la información

marginal, correspondiente al valor de un segundo de latitud, se obtiene de esta manera la cantidad más aproximada de segun-dos

- Se expresa el valor en grados, minutos y segundos sexagesimales de la latitud del punto

LONGITUDPara determinar la longitud del punto se procede de manera similar a

la determinación de la latitud;- Se leen las coordenadas de la esquina nor-este de la carta- Se identifica el punto y para determinar la longitud se cuentan los

minutos desde el oeste hacia el punto- Debe considerarse contabilizar hasta el minuto anterior al punto

en comento- Se mide con una regla o escalímetro la distancia existente en la

carta desde el minuto anterior al punto en comento- Se reduce de acuerdo a la escala el valor medido anteriormente a

metros

COORDENADAS


- Se divide este valor por la cantidad señalada en la información marginal, correspondiente al valor de un segundo de longitud, se obtiene de esta manera la cantidad más aproximada de segundos

- Se expresa el valor en grados, minutos y segundos sexagesimales de la longitud del punto

4.3 COORDENADAS UTM

La mayoría de las cartas tienen además de las coordenadas geográ-ficas las coordenadas de la Cuadrícula Universal Transversal de Mercator. (C.U.T.M.).

Este sistema permite la localización con rapidez y precisión relativa, de cualquier accidente geográfico.

El sistema C.U.T.M. tiene las siguientes ventajas sobre las coordena-das geográficas:

- Cada cuadrícula del sistema C.U.T.M. es del mismo tamaño y for-ma, son cuadrados de las mismas dimensiones

- Permite la medición lineal para la ubicación de accidentes geográ-ficos y puntos determinados

La unidad de medida del sistema C.U.T.M. es el sistema métrico de-cimal, en consecuencia utiliza el kilómetro, el metro, centímetro y milíme-tro. Esto permite utilizar toda clase de reglas y ubicadores de puntos en unidades métricas.

Características del las zonas o husos de la C.U.T.M.Por convención se ha acordado dividir al mundo en 60 zonas, com-

prendidas entre los 84°N y los 80°S.Cada zona o huso de la

C.U.T.M., es idéntica las demás. Cada zona tiene un ancho de 6° y está limitada hacia el este y oes-te por meridianos que son líneas curvas, las que están a 3° del Meridiano Central, representado por una línea recta que pasa por el centro de la zona. El Ecuador se representa por una recta per-pendicular al Meridiano Central.

Para las zonas polares, es decir, de los 84°N al Polo Norte y de los 80°S al Polo Sur se utiliza la proyección Cuadrícula Estereográfica Polar.

Existen en consecuencia 60 husos que cubren toda la Tierra y se complementan con la C.E.P.U.


Cada Huso que comprende 6° se divide en franjas de 8°, (con excepción de la zona X que mide 12°) denominán-dose por letras, de la C a la X (se exceptúan las letras LL, I, Ñ, O). Las letras A y B junto a las letras Z e Y se utilizan para los polos sur y norte, respectivamente.

La intersección del Meridiano Central con el Ecuador permite la generación de un sistema de coordenadas car-tesiano rectangular. La intersección del Meridiano Central y el Ecuador constituyen el origen del sistema carte-siano rectangular. A partir de este origen es posible identificar la posición de un accidente geográfico, señalando la distancia al norte o sur del Ecuador y al este u oeste del Meridiano Central de la respec-tiva zona o huso.

Como todo sistema de coordenadas se debe medir unidades positi-vas y negativas, en este caso positivas hacia el norte y este del Meridiano Central y unidades negativas hacia el sur y oeste. Sin embargo, para este sistema de coordenadas d la C.U.T.M. se diseñó un sistema arbitrario para eliminar los signos negativos.

Este sistema arbitrario permite medir y localizar puntos y accidentes geográficos le-yendo las coordenadas métricas hacia la dere-cha y hacia arriba.

Para ello se ha asignado el valor de 500.000 m al Meridiano Central, de esta forma los valores hacia el este, siempre serán posi-tivos. Para los efectos de medir la latitud, se estableció la convención que el Ecuador mide 0 m hacia el Polo Norte y 10.000.000 m hacia el Polo Sur.

Una cuadrícula UTM es como la que se muestra a continuación:

El territorio chileno comprende varias zonas de la proyección Mercator, tal como se mues-tra en esta figura:

COORDENADAS


4.4 CÁLCULO DE COORDENADAS EN LA CARTA

4.4.1 COORDENADA N (NORTE)

Se leen las coordenadas de la esquina sur-oeste de la carta.Se identifica el punto y para determinar la coordenada N se contabi-

lizan los kilómetros desde el sur hacia el punto.Debe considerarse contabilizar hasta el valor en kilómetros anterior

al punto en comento.Se mide con una regla o escalímetro la distancia existente en la carta

desde el valor en kilómetros anterior al punto en comento.Se reduce de acuerdo a la escala el valor medido anteriormente a metros.Se expresa el valor en kilómetros y metros de la coordenada norte

del punto.

4.4.2 COORDENADA E (ESTE)

Se leen las coordenadas de la esquina sur-oeste de la carta.Se identifica el punto y para determinar la coordenada E se contabi-

lizan los kilómetros desde el oeste hacia el punto.Debe considerarse contabilizar hasta el valor en kilómetros anterior

al punto en comento.Se mide con una regla o escalímetro la distancia existente en la carta

desde el valor en kilómetros anterior al punto en comento.Se reduce de acuerdo a la escala el valor medido anteriormente a

metros.Se expresa el valor en kilómetros y metros de la coordenada norte

del punto.

4.5 UNIDADES DE MEDIDA

La cartografía actualmente utiliza para la medición de coordenadas el sistema de coordenadas geográficas y el sistema de coordenadas UTM (Universal Transversal de Mercator), para los que se emplean el sistema clásico UTM y el sistema GPS (Global Position System), su diferencia radi-ca en que su origen es distinto.

Para medir y/o calcular ángulos y arcos de circunferencia que cons-tituyen elementos que se utilizarán en diversas actividades de terreno, se emplean distintos sistemas o unidades de medidas.

MEDICIÓN DE ARCOS DE CIRCUNFERENCIA Y ÁNGULOSAlgunas de las unidades de medida para medir arcos de circunferen-

cia y ángulos empleadas en cartografía son las siguientes:


- Grados sexagesimales- Grados centesimales- Medición circular o radián - Sistema de milésimas

4.5.1 GRADO SEXAGESIMAL

En este sistema la circunferencia se dimidia en 360 partes iguales que se denominan grados sexagesimales.

A su vez cada grado sexagesimal se divide en 60 minutos sexagesi-males y cada minuto en 60 segundos sexagesimales y cada segundo en centésimas de segundo.

La medición de un arco de circunferencia o ángulo se expresa en gra-dos, minutos, segundos y centésimas de segundos; y su notación es XX° XX’ XX,XX”.

Para la operación con este sistema se hace necesaria muchas veces la conversión de las unidades de minutos y segundos a fracción de grado.

4.5.2 GRADO CENTESIMAL

En este sistema la circunferencia se dimidia en 400 partes iguales que se denominan grados centesimales.

A su vez cada grado centesimal se divide en 100 minutos centesi-males y cada minuto en 100 segundos centesimales y cada segundo en centésimas de segundo.

La medición de un arco de circunferencia o ángulo se expresa en gra-dos, minutos, segundos y centésimas de segundos; y su notación es XXg XX’ XX”.

Para la operación con este sistema se hace necesaria muchas veces la conversión de las unidades de minutos y segundos a fracción de grado y el procedimiento es similar al empleado en la reducción de grados sexa-gesimales.

4.5.3 MEDICIÓN CIRCULAR O RADIÁN

En este sistema se utiliza como unidad para medir el arco de circunferencia el radio con el cual dicha circunferencia ha sido trazada.

Cuando se tiene un arco de circunferencia de igual longitud que el radio con que ella fue trazada, se obtiene una unidad de medida que se denomina radián.

Sea la siguiente figura:

B

or

r

A

COORDENADAS


Donde:

Ao = Bo = AB = rSi AB / r = 1

Entonces AB = 1 rdDonde rd = radián

Luego si:

X = medida en radianes AB = arco de circunferenciar = radio

Se tiene que:

X = AB / r

Luego una circunferencia de 360° = 2� radianes 6,2832 radianes

4.5.4 SISTEMA DE MILÉSIMAS

Este sistema también se denomina Milésima Artillera, pues se generó originalmente para fines militares y se obtiene de dividir en 1000 partes iguales un radian, resultando de esta manera el valor de 6.283,2 para el círculo completo, número poco práctico para los fines perseguidos por su complejidad para efectuar cálculos simples.

La razón de dimidiar el radián tuvo como objeto emplear valores más aproximados entre la unidad de medida de arco que permitiera relacionar el frente a batir con la distancia que separaba al observador y a la unidad de artillería, como también para la producción de instrumentos para estos efectos, sin embargo el radián era demasiado grande para los fines perse-guidos, generándose así la Milésima Artillera.

La razón fundamental de emplear el sistema milesimal radica en que al utilizar otros sistemas (p.ej. grados sexagesimales), el desplazamiento late-ral en un grado a distancias kilométricas genera una variación considerable con relación al objetivo a alcanzar a dichas distancias. (1° ≈ 111,1 km).

Para fines prácticos de utilización de la Milésima Artillera se buscó un número adecuado y práctico, dividiéndose la circunferencia en 6400 partes, valor suficiente para los fines perseguidos y que además de ser aproximadamente equivalente a una milésima de radián no generaba erro-res significativos.

La milésima no tiene subdivisiones y se representa por .


4.5.5 MEDIDAS DE ÁNGULOS

Consecuente con lo anterior se puede definir un ángulo como el arco que intercepta sus lados y empleando las unidades señaladas anterior-mente, se tiene que un ángulo se puede medir en:

• Grados sexagesimales• Grados centesimales • Radianes• Milésimas

En consecuencia el arco de una circunferencia expresada en sus dife-rentes medidas de ángulos es:

360° = 400g = 2� rd = 6400 mSi X = longitud de arco cualquiera, se tiene

X / 360° = X / 400g = X / 2� = X / 6400

De esta manera es factible expresar unidades de arco y ángulos en diferentes unidades de medida y es posible convertir en una u otra unidad, teniendo presente la necesaria reducción en cada caso.

Ejemplo:

Reducir 1 radián a grados sexagesimalesEmpleando la relación

2 � rd ............. 360°1rd .................. X

se tiene que: 1 rd = 360 / 2� = 57,295773° = 57° 17’ 45”

En forma inversa si se desea calcular a cuantos radianes equivale un grado sexagesimal, se tiene:

2 � rd ............... 360°X ........................ 1° Luego 1 rd = 2 � / 360 = 0,01745°

COORDENADAS


Del mismo modo realizando todos los cálculos, se tiene:

1º 1 g 1 rd 1 m

1º - 1,11 g 0,01745 rd 17,777 m

1 g 0,9º - 0,01571 rd 16 m

1 rd 57º,2975 63,66385 g - 1.018,59 m

1 m 0,05625 º 0,0625 g 0,0009817 rd -

Reducción de grados, minutos y segundos sexagesimales a grados y fracción de grados y viceversa.

a° b’ c,d”

Fracción de grado

a° + b’/60 + c,d”/3600

Ejemplo numérico

73° 12’ 13,12” = 73° + 12/60 + 13,12/3600 = 73° + 0,2 + 0,0036444 = 73,2036444º

Inversamente se tiene:

73, 2036444° = 73° + 0,2036444 * 60 = 73° 12,218664’ = 73° 12’ 0,218664 * 60 (**) = 73° 12’ 13,11999”

La diferencia se produce por el uso de una menor cantidad de deci-males.

(**) Previamente ya se ha multiplicado por 60, luego falta multiplicar por 60, resultando 3600.

Reducción de grados, minutos y segundos centesimales a grados y fracción de grados y viceversa:

Ag B’ C,D”


Fracción de grado

Ag + B’/100 + C,D”/10000

Ejemplo numérico:

73g 12’ 13,12” = 73g + 12/100 + 13,12/10000 = 73g + 0,12 + 0,001312 = 73,121312g

Inversamente se tiene:

73,121312g = 73g + 0,121312 * 100 = 73g 12,1312’ = 73g 12’ + 0,1312 * 100 (**) = 73g 12’ 13,12”

(**) Previamente ya se ha multiplicado por 100, luego falta multipli-car por 100, resultando 10000

Cuadro resumen de conversiones

Para Transformar

de a

Grados Sexagesimales

Xc

Grados Centesimales

Xg

Radianes rd

Milésimas m

Grados Sexagesimales

Xg = Xc * 360 400

Xrd = Xc * � 180

m = Xc * 3200 180

Grados Centesimales

Xc = Xg * 400 360

Xrd = Xg * � 200

m = Xg * 3200 200

Radianes Xc = Xrd * 180 �Xg = Xrd * 200

� m = Xrd * 3200

�

Milésimas Xc = Xm * 3200

180Xg = Xm * 3200

200Xrd = Xm * � 3200

Nota: Recordar que para efectuar la conversión, las unidades deben expresarse en la

misma unidad (Ej.:grados y fracciones de grado).

� = Letra griega Pi, valor aproximado 3,1416.

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