1. Programación lineal

1. Programación lineal.

2o CCSS.

Cuaderno de ejercicios MATEMÁTICAS JRM

Nombre y apellidos …………………………………………………………………………………………......

PROGRAMACIÓN LINEAL. Página 2

RESUMEN DE OBJETIVOS

1. Inecuaciones lineales de dos variables. Semiplanos.

OBJETIVO 1: Representar semiplanos, determinados por la

correspondiente inecuación lineal de dos variables.

2. Sistemas de inecuaciones lineales con dos variables. Regiones.

OBJETIVO 2: Representar regiones del plano, determinadas por el

correspondiente sistema de inecuaciones lineales de dos variables.

3. Problemas de programación lineal. Máximo de una función lineal.

OBJETIVO 3: Resolver problemas de programación lineal en los que se

trate de hallar el máximo de una función lineal de dos variables.

4. Problemas de programación lineal. Mínimo de una función lineal.

OBJETIVO 4: Resolver problemas de programación lineal en los que se

trate de hallar el mínimo de una función lineal de dos variables.

5. Resolución de problemas de PAU.

OBJETIVO 5: Resolver problemas de programación lineal de PAU


1. Inecuaciones lineales con dos variables. Semiplanos.

Ejercicio 1.1. Resuelve las siguientes inecuaciones lineales con dos variables, representando el semiplano de soluciones.

1. � � � � 2

2. � � 2� � 1

3. � � � 0

4. � � 2�


Ejercicio 2. Resuelve las siguientes inecuaciones lineales con dos variables, representando el semiplano de soluciones.

1. � � 2

2. � 2

3. � 0

4. � � 3

5. � 0



1. � 23 � � 2

2. � � ��2 � 4

3. �4 � �3 � 1

4. �3 � �2 1



1. 40� � 30� 1200

2. 20� � 15� � 300

3. � �2

4. 3� � 6� � 1800


2. Sistemas de inecuaciones lineales con dos variables. Regiones.

Ejercicio 2.1. Representa la solución de cada sistema de inecuaciones con fronteras horizontales y verticales.

1) �� 0� � 2�

2) �� 0� 0�

3) �� 1� � 3�

4) �� 1� � 1�

5) � � 0� �1� � 1 �

6) �� 2� 1� � 4�

7) �� 2� � 2� �2� � 2 �

8) �1 � � � 41 � �� 5 �


Ejercicio 2.2. Representa la solución de cada sistema de inecuaciones con alguna frontera oblicua.

1.

� � 1� 1� � � � 5�

2.

� � � 4� 1�� 1�

3.

� � 01 � � � 42� � � � 6�

4.

�� 2�� 0� � 3 �



1.

�� 5� � � � 1� 1 �

2.

� � � 2�� 2� � � � 6�

3.

� 0 � � � 40 � � � 3� � ��2 � 4�

4.

�� 0� 0� � � � 1� � ��2 � 3�



1. � 0 � � � 40 � �3� � 2 2��

2.

� 0 � � � 6� 02� � 3� � 182� � 6 3� �

3.

� � � 4� 1� � 2�� 2� � 10�

4.

� � � 4� 1� � 2�� 2� � 10�



1.

� 0 � �0 � � � 4� � 2� � 22� � 3� � 18�

2.

� � � 4�6� �3� � � � 112� � � � 13�

3.

� 0 � �� 0� � � 3�

4.

� � 2� 1� � � 5�


3. Problemas de programación lineal. Máximo de una función lineal.

Ejercicio 3.1. a) Representa la región definida por las siguientes inecuaciones y calcula sus vértices: � 0; � 0; �� 2� � 6; � � � � 6; � � 5

b) Calcule el máximo de la función ��, � ! "� � � � # en la región anterior e indique dónde se alcanza.

Solución.

Solución: El máximo se alcanza en el punto (5, 1) y es F(5, 1)=12.


Ejercicio 3.2. En una confitería se dispone de 24 kg de polvorones y 15 kg de mantecados, que se desean envasar en

dos tipos de cajas del modo siguiente:

• Caja tipo 1: 200g de polvorones y 100g de mantecados. Precio 4€

• Caja tipo 2: 200g de polvorones y 300g de mantecados. Precio 6€

a) Representa la región factible y calcula sus vértices

b) ¿Cuántas cajas de cada tipo se tendrán que preparar y vender para obtener el máximo beneficio?

c) ¿Cuál es el importe de la venta para ese beneficio máximo?

Solución.

Solución: El beneficio máximo, de 510 €, se alcanza con 105 cajas de tipo 1 y 15 de tipo 2.


Ejercicio 3.3. En una tienda de artículos deportivos se pueden comprar, entre otros productos, raquetas de

bádminton y raquetas de tenis, que dejan beneficios respectivos de 20€ y 25€.

Por motivos de estrategias comerciales, se decide vender al día, como máximo, 6 raquetas de bádminton y 5 de tenis,

considerando además que el número total de raquetas vendidas no supere las 7 unidades.

a) Representa la región factible y calcula sus vértices.

b) Determina el punto de máximo beneficio y el valor de ese máximo.

Solución.

Solución: El beneficio máximo, de 165 €, se obtiene vendiendo 2 raquetas de bádminton y 5 de tenis


Ejercicio 3.4. En una factoría se desean producir al menos 4 unidades del producto B. Cada unidad del producto B ocupa 1 m3 de

espacio de almacenamiento, lo mismo que cada unidad del producto A. Tan solo se dispone de un almacén con capacidad de 20m3.

Juan se encarga de una fase de la producción y Pedro se encarga de la otra. Cada unidad de A requiere 4 horas de trabajo de Juan y

2 horas de trabajo de Pedro. Cada unidad de B requiere 1 hora de trabajo de Juan y 3 horas de trabajo de Pedro. Juan debe

trabajar al menos 32 horas y Pedro al menos 36 horas. Cada unidad del producto A deja un beneficio de 25€ y cada unidad del

producto B deja un beneficio de 20€.

a) Representa la región factible y calcula sus vértices.

b) Determina el punto de máximo beneficio y el valor de ese máximo.

Solución.

Solución: El beneficio máximo, de 480 €, se obtiene con 16 unidades de tipo A y 4 unidades de tipo B.


Ejercicio 3.5. Los alumnos de un instituto disponen de 300 camisetas, 40 lápices y 600 bolígrafos para financiarse un

viaje. Tienen la intención de vender dos tipos de lotes: el lote A consta de 1 camiseta, 3 lápices y 2 bolígrafos y cuesta 9

€. El lote B consta de 1 camiseta, 2 lápices y 4 bolígrafos y cuesta 11 €.

a) Determina la región factible y sus vértices.

b) Calcula cuántos lotes de cada tipo han de vender para obtener el beneficio máximo y a cuánto asciende.

Solución.

Solución: El beneficio máximo, de 1825 €, se obtiene con 50 lotes de tipo A y 125 lotes de tipo B.


Ejercicio 3.6. En una quesería se producen dos tipos de queso de leche de oveja: fresco y curado. La elaboración de

un queso curado requiere 6 litros de leche de oveja y la de un queso fresco 3 litros. La ganancia por la venta de un

queso fresco es 10 euros y por la de uno curado es 30 euros. Se sabe que la quesería dispone diariamente de 1800

litros de leche de oveja y su capacidad de producción es de 500 quesos diarios. Debido a la demanda, la producción de

queso fresco debe ser al menos el doble que la de queso curado. Utiliza técnicas de programación lineal para encontrar

la producción de quesos que hace máxima la ganancia diaria total de la fábrica por la venta de quesos, así como dicha

ganancia máxima.

Solución.

Solución: El beneficio máximo, de 1825 €, se obtiene con 50 lotes de tipo A y 125 lotes de tipo B.


Ejercicio 3.7. Una empresa de transportes debe organizar el traslado de dos productos A y B entre dos ciudades

utilizando camionetas y furgones. Cada camioneta permite transportar 5 unidades de A y 4 de B, mientras que en cada

furgón se puede transportar 2 unidades de A y 1 de B. La empresa no puede transportar más unidades de las que

pueda vender en la ciudad de destino y en la ciudad de destino puede vender como máximo 90 unidades de A y 60 de

B. El envío de una camioneta le reporta a la empresa un beneficio de 1600 euros, mientras que el envío de un furgón le

reporta un beneficio de 600 euros. Usando técnicas de programación lineal, ¿cuántas camionetas y furgones deben

usar para maximizar el beneficio en estos transportes? ¿A cuánto asciende dicho beneficio óptimo?

Solución.

Solución:


Ejercicio 3.8. Un alfarero dispone semanalmente de 150 kg de arcilla de tipo A y de 22 kg de arcilla de tipo B para la

fabricación de ánforas y jarrones. La producción de un ánfora requiere 3 kg de arcilla de tipo A y 1 kg de tipo B, pero la

de un jarrón necesita 6 kg de arcilla de tipo A y 500 gramos de arcilla de tipo B. Por limitaciones de espacio para el

almacén, como máximo puede fabricar 26 vasijas (entre ánforas y jarrones). El precio de venta de un ánfora es 20

euros y el de un jarrón es 30 euros. Utiliza técnicas de programación lineal para hallar el número de ánforas y de

jarrones que debe fabricar el alfarero para que su recaudación sea máxima. ¿Cuál es esa recaudación máxima?

Solución.

Solución:


Ejercicio 3.9. Un fabricante de plásticos pretende fabricar nuevos productos plásticos mezclando dos compuestos químicos A y

B. Cada litro de producto plástico 1 lleva 2/5 partes del compuesto A y 3/5 partes del compuesto B, mientras que el producto

plástico 2 lleva una mitad del compuesto A y la otra mitad del compuesto B. Se disponen de 100 litros del compuesto A y 120 litros

del compuesto B. Sabemos que al menos necesitamos fabricar 50 litros del producto 1 y que el beneficio obtenido por un litro de

producto plástico 1 es de 10 euros, mientras que por un litro del producto plástico 2 el beneficio es de 12 euros. Utilizando

técnicas de programación lineal, representa la región factible y calcula el número óptimo de litros que se debe producir de cada

producto plástico para conseguir el mayor beneficio posible. ¿Cuál es ese beneficio máximo?

Solución.

Solución:


Ejercicio 3.10. Como cada año, al inicio del curso académico, una tienda de material escolar prepara una oferta de 600

cuadernos, 500 carpetas y 400 bolígrafos para los alumnos de un IES, empaquetando el material de dos formas distintas. El primer

paquete contiene 2 cuadernos, 1 carpeta y 2 bolígrafos, mientras que el segundo contiene 3 cuadernos, 1 carpeta y 1 bolígrafo. El

primer paquete se vende al precio de 6.50 euros, mientras que el segundo se vende a 7 euros. Usando técnicas de programación

lineal, ¿cuántos paquetes de cada tipo han de realizar para obtener la máxima recaudación? ¿A cuánto asciende dicha

recaudación?

Solución.

Solución:


4. Problemas de programación lineal. Mínimo de una función lineal.

Ejercicio 4.1. Una ONG organiza un convoy de ayuda humanitaria con un máximo de 27 camiones, para llevar agua

potable y medicinas a una zona devastada por unas inundaciones. Para el agua potable debe dedicar un mínimo de 12

camiones y para medicinas debe dedicar un número de camiones mayor o igual que la mitad del número de camiones

dedicados a llevar agua. Enviar un camión con agua potable tiene un coste de 9000 euros, mientras que el coste para

un camión de medicinas es de 6000 euros. Calcula, utilizando técnicas de programación lineal, cómo debe organizarse

el convoy para que su coste sea mínimo ¿Cuánto es el coste de la solución óptima?

Solución.

Solución:


Ejercicio 4.2. El club “Amigos del Románico” quiere organizar un viaje visitando el románico de Castilla y León para

sus 200 socios. Acude para ello a una agencia de viajes que dispone de 4 microbuses de 25 plazas y 5 autobuses de 50

plazas, pero sólo dispone de 6 conductores. El alquiler de un autobús es de 160 euros por día, mientras que el alquiler

de un microbús es de 70 euros por día. Con esas condiciones, ¿cómo deben organizar el viaje para que el coste del

viaje sea mínimo?

Solución.

Solución:


Ejercicio 4.3. Una compañía química diseña dos posibles tipos de cámaras de reacción que incluirán en una planta para

producir dos tipos de polímeros P1 y P2 Una planta debe tener una capacidad de producción de, por lo menos, 100 unidades de $% y, por lo menos, 420 unidades de $& cada día. Cada cámara de tipo A cuesta 600000 euros y es capaz de producir 10 unidades de $% y 20 unidades de $& por día; una cámara de tipo B tiene un diseño más económico, cuesta 300000 euros, y es capaz de producir 4 unidades de $% y 30 unidades de $& por día. Debido al proceso de diseño, es necesario tener por lo menos 4 cámaras de cada tipo en una planta. ¿Cuántas cámaras de cada tipo deben incluirse para minimizar el gasto satisfaciendo el programa de producción requerido? Formula el sistema de inecuaciones asociado al problema. Representa la región factible y calcula sus vértices. Solución.

Solución:


Ejercicio 4.4. Un librero compra libros de dos editoriales. La editorial A ofrece un paquete de 5 novelas de ciencia

ficción y 5 históricas por 60 €, y la editorial B ofrece un paquete de 5 novelas de ciencia ficción y 10 históricas por 180€. El librero quiere comprar un mínimo de 2500 novelas de ciencia ficción y un mínimo de 3500 novelas históricas. Además, por motivos personales, el librero ha prometido a la editorial B que al menos el 25% del número total de paquetes que comprará serán de B. a) ¿Cuántos paquetes tiene que comprar el librero de cada editorial para minimizar el coste, satisfacer los mínimos y cumplir la promesa? (2 puntos) b) ¿Cuánto le costarán en total las novelas? (0,5 puntos)

Solución.

Solución:


Ejercicio 4.5. Una refinería utiliza dos tipos de petróleo, A y B, que compra a un precio de 350 euros y 400 euros por tonelada, respectivamente. Por cada tonelada de petróleo de tipo A que refina, obtiene 0,10 toneladas de gasolina y 0,35 toneladas de fuel-oil. Por cada tonelada de petróleo de tipo B que refina, obtiene 0,05 toneladas de gasolina y 0,55 toneladas de fuel-oil. Para cubrir sus necesidades necesita obtener al menos 10 toneladas de gasolina y al menos 50 toneladas de fuel-oil. Por cuestiones de capacidad, no puede comprar más de 100 toneladas de cada tipo de petróleo. ¿Cuántas toneladas de petróleo de cada tipo debe comprar la refinería para cubrir sus necesidades a mínimo coste? Determinar dicho coste mínimo.

Solución.

Solución:


Ejercicio 4.6. Un atleta debe tomar por lo menos 4 unidades de vitamina A, 6 unidades de vitamina B y 23 de vitamina

C cada día. Existen en el mercado dos productos, P1 y P2, que en cada bote contienen las siguientes unidades de esas

vitaminas:

Si el precio de un bote del producto P1 es de 100 euros y el de un bote del producto P2 es de 160 euros, averiguar:

a) ¿Cómo deben mezclarse ambos productos para obtener la dieta deseada con el mínimo precio?

b) ¿Qué cantidad tomará de cada vitamina si decide gastar lo menos posible?

Solución.

Solución:


Ejercicio 4.7. Una hamburguesería necesita diariamente un mínimo de 180 kilogramos de carne de cerdo y 120

kilogramos de carne de ternera. Hay dos mataderos A y B que pueden suministrarle la carne requerida pero ha de ser en lotes. El lote del matadero A contiene 6 kilogramos de carne de cerdo y 2 kilogramos de carne de ternera, siendo su coste 25 euros y el lote del matadero B contiene 4 kilogramos de carne de cerdo y 3 kilogramos de carne de ternera, siendo su coste 35 euros. Determinar, justificando la respuesta: a) El número de lotes que debe adquirir la hamburguesería en cada matadero con objeto de garantizar sus necesidades diarias con el mínimo coste. b) El valor de dicho coste diario mínimo.

Solución.

Solución:


Ejercicio 4.8. Un proyecto de jardinería puede llevarse a cabo por dos grupos diferentes de una misma empresa: G1 y

G2. Se trata de ajardinar tres zonas: A, B y C. En la siguiente tabla se recoge el número de unidades que puede ajardinar cada grupo en cada zona durante una semana:

Se necesita ajardinar un mínimo de 40 unidades en la zona A, 50 unidades en la zona B y 49 unidades en la zona C, estimándose el coste semanal en 3300 euros para el grupo G1 y en 4000 euros para el grupo G2. ¿Cuántas semanas deberá trabajar cada grupo para finalizar el proyecto con el mínimo coste? Expresar la función objetivo y las restricciones del problema. Representar gráficamente la región factible y calcular sus vértices.

Solución.

Solución:


Ejercicio 4.9. En un almacén de electrodomésticos hay neveras y lavadoras, pudiéndose almacenar hasta un total de

180 unidades. Para atender adecuadamente la demanda de los clientes, deben existir al menos 30 lavadoras y el número de nevaras debe ser, al menos, igual al número de lavadoras más 20. Si el costo de cada nevera es de 450 euros y de cada lavadora es de 375 euros: a) Formular el correspondiente problema. b) Representar la región factible. c) ¿Cuántas unidades de cada electrodoméstico se han de almacenar minimizando los costos totales?

Solución.

Solución:


Ejercicio 4.10. Un distribuidor de aceite de oliva compra la materia prima a dos almazaras, A y B. Las almazaras A y B

venden el aceite a 2 000 y 3000 euros por tonelada, respectivamente. Cada almazara le vende un mínimo de 2 toneladas y un máximo de 7 y para atender a su demanda, el distribuidor debe comprar en total un mínimo de 6 toneladas. El distribuidor debe comprar como máximo a la almazara A, el doble de aceite que a la almazara B. ¿Qué cantidad de aceite debe comprar el distribuidor a cada una de las almazaras para obtener el mínimo coste? Determínese dicho coste mínimo.

Solución.

Solución:


5. Recopilación de problemas de la PAU.

Ejercicio 5.1. (ANDALUCÍA 2010)

a) (1,5 puntos) Represente gráficamente y determine los vértices de la región definida por las siguientes restricciones:

2� � � � 6 ; 4� � � � 10 ; �� 3 ; � 0 ; � 0

b) (1 punto) Calcule el máximo de la función '��, � ! 4� � 2� � 3 en el recinto anterior e indique dónde se alcanza.

Solución.


Ejercicio 5.2. (MADRID 2009)

Una empresa de instalaciones dispone de 195 kg de cobre, 20 kg de titanio y 14 kg de aluminio. Para fabricar 100 metros de cable de tipo A se necesitan 10 kg de cobre, 2 kg de titanio y 1 kg de aluminio. Para fabricar 100 metros de cable de tipo B se necesitan 15 kg de cobre, 1 kg de titanio y 1 kg de aluminio. El beneficio que obtiene la empresa por cada 100 metros de cable de tipo A fabricados es igual a 1500 euros, y por cada 100 metros de cable de tipo B es igual a 1000 euros. Calcúlense los metros de cable de cada tipo que han de fabricarse para maximizar el beneficio y determínese dicho beneficio máximo.

Solución.


Ejercicio 5.3. (ANDALUCÍA 2009)

a) (1,5 puntos) Dibuje el recinto definido por las siguientes restricciones: � � � 2 ; � � � � 0 ; � � 4 ; � 0 b) (1 punto) Determine el máximo y el mínimo de la función (��, � ! � � � en el recinto anterior y los puntos donde se alcanzan.

c) (0,5 puntos) ¿Pertenece el punto )%* , +*, al recinto anterior? Justifique la respuesta.

Solución.


Ejercicio 5.4. (CANTABRIA 2009)

Maximizar la función 5� � 3� con las siguientes restricciones:

�� 3� 42� � � � 40 � � � 20 � � � 3 � Solución.


Ejercicio 5.5. (CASTILLA LA MANCHA 2009)

Una confitería realiza una oferta a sus clientes a través de dos tipos de lotes A y B. El lote A lleva 3 tabletas de turrón y 5 cajas de bombones. El lote B está compuesto por 5 tabletas de turrón y 3 cajas de bombones. Por cuestiones de estrategia comercial, el número de lotes B debe ser menor que el número de lotes del tipo A incrementado en 4. El número de tabletas de turrón disponibles en el almacén para esta oferta es 52, y el de cajas de bombones, 60. La venta de un lote del tipo A reporta una ganancia de 6,5 euros, y uno del tipo B, 8,5 euros.

1) Dibuja la región factible. 2) Determina el número de lotes de cada tipo que debe vender para que la ganancia sea lo mayor posible. 3) Calcula esa ganancia máxima.

Solución.


Ejercicio 5.6. (CASTILLA Y LEÓN 2009)

Un fabricante de plásticos pretende fabricar nuevos productos mezclando dos componentes químicos A y B. Cada litro de producto plástico 1 lleva 2/5 partes del compuesto A y 3/5 partes del compuesto B, mientras que el producto plástico 2 lleva una mitad del compuesto A y la otra mitad del compuesto B. Se disponen de 100 litros del compuesto A y 120 litros del compuesto B. Sabemos que al menos necesitamos fabricar 50 litros del producto 1 y que el beneficio obtenido por un litro del producto plástico 1 es de 10 euros, mientras que por un litro del producto plástico 2 el beneficio es de 12 euros. Utilizando técnicas de programación lineal, representa la región factible y calcula el número de litros que se debe producir de cada producto plástico para conseguir el mayor beneficio posible. ¿Cuál es ese beneficio máximo?

Solución.


Ejercicio 5.7. (CATALUÑA 2009)

Considera el sistema de inecuaciones siguiente:

� � 0� 02� � 5� � 103� � 4� � 12�

a) (1 punto) Dibuja la región de soluciones del sistema. b) (1 punto) Determina el máximo de la función '��, � ! � � 3� sometida a las restricciones anteriores.

Solución.


Ejercicio 5.8. (CATALUÑA 2009)

La figura siguiente representa la región de soluciones de un sistema de inecuaciones lineales:

a) (1 punto) Halla el sistema de inecuaciones que determina esta región.

b) (1 punto) Determina el valor máximo de la función (��, � ! � � � � 1 en esta región, y di en qué puntos

se alcanza este máximo.

c) (1 punto) Halla el valor de - para que la función .��, � ! -� � 2� � 3 alcance el máximo en el segmento

de extremos (4, 2) y (5, 0).

d) (1 punto) Determina los valores de - para los cuales la función .��, � ! -� � 2� � 3 alcanza el máximo

solo en el punto (4, 2).

Solución.


Ejercicio 5.9. (COMUNIDAD VALENCIANA 2009)

Un frutero quiere liquidar 500 kg de naranjas, 400 kg de manzanas y 230 kg de peras. Para ello, prepara dos bolsas de fruta de oferta: la bolsa A consta de 1 kg de naranjas y 2 kg de manzanas y la bolsa B consta de 2 kg de naranjas, 1 kg de manzanas y 1 kg de peras. Por cada bolsa del tipo A obtiene un beneficio de 2,5 euros, y 3 euros, por cada una del tipo B. Suponiendo que vende todas las bolsas, ¿cuántas bolsas de cada tipo debe preparar para maximizar sus ganancias? ¿Cuál es el beneficio máximo?

Solución.


Ejercicio 5.10. (EXTREMADURA 2009)

Una empresa de ocio y tiempo libre organiza cada verano dos tipos de actividades (de playa y de montaña). Para cada actividad de playa necesita 1 monitor y 3 acompañantes y para cada actividad de montaña necesita 2 monitores y 2 acompañantes. El beneficio obtenido por cada actividad de playa es de 800 euros y por cada actividad de montaña es de 900 euros. Si solo dispone de 50 monitores y 90 acompañantes y como máximo puede organizar 20 actividades de montaña, determinar justificando la respuesta: a) El número de actividades de cada tipo que debe organizar dicha empresa con objeto de obtener unos beneficios máximos. b) El valor de dichos beneficios máximos.

Solución.


Ejercicio 5.11. (ISLAS CANARIAS 2009)

En una pastelería se preparan dos tipos de roscones. Para cada unidad del primero se necesitan 5 huevos y 1,5 kilos de harina y para cada unidad del segundo son necesarios 8 huevos y 4 kilos de harina. Hay que fabricar al menos 16 unidades del tipo A. Los del tipo A se venden a 10 € y los del tipo B a 14 €. Se dispone de 400 huevos y 160 kilos de harina y se quiere determinar el número de roscones de cada tipo que se han de producir para maximizar los ingresos. a) Plantear el problema y representar la región factible. b) ¿Cuál es la producción que maximiza los ingresos? c) Con la producción que maximiza los ingresos, ¿se gasta toda la harina?

1. Programación lineal

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