1.-Presentacion Opti I
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Investigación Operativa I Ing. John Zamora Córdova
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investigacion de operaciones
Transcript of 1.-Presentacion Opti I
Investigación Operativa I
Ing. John Zamora Córdova
El problema
Cada vez es más difícil asignar los recursos o actividades de la forma más eficaz
Los recursos son escasos
Los sistemas son cada vez más complejos
¿Qué es la investigación operativa?
Definición (Lawrence y Pasternak, 2008)Un enfoque científico para la toma de decisiones ejecutivas, que consiste en:– El arte de modelar situaciones complejas,– La ciencia de desarrollar técnicas de solución para resolver
dichos modelos y– La capacidad de comunicar efectivamente los resultados.
Objetivo de la Investigación operativa:Estudiar la asignación óptima de recursos escasos a determinada actividad.Evaluar el rendimiento de un sistema con objeto de mejorarlo.
Investigación operativa (I.O.)• Es la aplicación del método científico para
asignar los recursos o actividades de forma eficaz, en la gestión y organización de sistemas complejos
• Su objetivo es ayudar a la toma de decisiones• Requiere un enfoque interdisciplinario
Investigación Operativa
Realidad AbstracciónModelo
Análisis
ResultadosDecisionesInterpretación
Intuición
BASE FILOSOFICAEl reduccionismo ha sido el enfoque que más
accionó en la especialización progresiva que ha sufrido la ciencia hasta hoy, con él, se ganó profundidad en los conocimientos pero no, amplitud. “ por observar el árbol se perdió de vista el bosque”.
En tanto, la visión general de sistemas persigue un enfoque fenomenológico, integrador, que permite ver el conjunto, comprender el todo, “entender el bosque”, para luego comprender las partes que lo constituyen
DIAGNOSTICO
Planeación de la
Producción
Distribución Asignación de recursos limitados
Inventarios Programación de Actividades
Pronósticos de
Demanda
Medio Ambiente
Análisis de Líneas de
Espera
Analisis de Sistemas de Producción
Que el área de sistemas lo proporcione
Información Cuantitativa y Cualitativa del Sistema bajo estudio
Seleccionar el Modelo
Modelos Deterministicos Modelos Estocásticos
Programación Lineal
Soluciones
Reales
Programación Lineal Entera
Soluciones Entereas
Programación Lineal por
metas
Soluciones en orden de prioridad
Programación Dinámica
Soluciones en Etapas continuas
Optimización de Redes
Soluciones
orientadas a la distribución
óptima
Control de Inventarios
Soluciones por
etapas (n+1)
Pronósticos
Comportamiento futuro sistema
basado en datos históricos
Teoría de Colas
Determinación de tiempos de
espera y longitud de la cola promedio
Simulación de Sistemas
Estimación de las medidas de desempeño del
sistema modelado
HERRAMIENTAS DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
TIPOS DE PROBLEMAS
Mapa conceptual del área de INVESTIGACION DE OPERACIONES (IO) Alumnos capaces de definir un problema
Historia de la I.O.• Se aplica por primera vez en 1780• Antecedentes:
– Matemáticas: modelos lineales (Farkas, Minkowski) (s.XIX)– Estadística: fenómenos de espera (Erlang, Markov) (años 20)– Economía: Quesnay (x.XVIII), Walras (s.XIX), Von Neumann
(años 20)
• El origen de la I.O. moderna se sitúa en la 2ª Guerra Mundial para resolver problemas de organización militar:- Despliegue de radares, manejo de operaciones de bombardeo, colocación ce minas,…
Historia de la I.O.• Al terminar la guerra, sigue el desarrollo en la
industria, debido a:– competitividad industrial– progreso teórico
• RAND (Dantzig)• Princeton (Gomory, Kuhn, Tucker)• Carnegie Institute of Technology (Charnes, Cooper)
– gran desarrollo de los ordenadores:* aumento de la capacidad de
almacenamiento de datos * Incremento de la velocidad de resolución de los problemas.
Actualidad de la I.O.• Sigue habiendo un gran desarrollo, en muchos
sectores, con grandes avances sobre todo en el campo de la Inteligencia Artificial
• Más información:– Sociedad Española de Estadística e Inv. Op. (SEIO)
• www.cica.es/aliens/seio– Association of European O.R. Societies (EURO)
• www.ulb.ac.be/euro/euro_welcome.html– Institute for O.R. and the Management Sci. (INFORMS)
• www.informs.org– International Federation of O.R. Societies (IFORS)
• www.ifors.org
El método de la I.O.• Definición del problema• Formulación del problema y construcción del
modelo• Resolución• Verificación, validación, refinamiento• Interpretación y análisis de resultados• Implantación y uso extensivo
A lo largo de todo el proceso debe haber una interacciónconstante entre el analista y el cliente
El modelado• Es una ciencia
– análisis de relaciones– aplicación de algoritmos de solución
• Y a la vez un arte– visión de la realidad– estilo, elegancia, simplicidad– uso creativo de las herramientas– experiencia
Definición del problema• Consiste en identificar los elementos de
decisión– objetivos (uno o varios, optimizar o satisfacer)– alternativas– limitaciones del sistema
• Hay que recoger información relevante (los datos pueden ser un grave problema)
• Es la etapa fundamental para que las decisiones sean útiles
Formulación del problema• Modelo: representación simplificada de la
realidad, que facilita su comprensión y el estudio de su comportamiento
• Debe mantener un equilibrio entre sencillez y capacidad de representación
• Modelo matemático: modelo expresado en términos matemáticos– hace más claras la estructura y relaciones– facilita el uso de técnicas matemáticas y
ordenadores– a veces no es aplicable
Construcción del modelo• Traducción del problema a términos
matemáticos– objetivos: función objetivo– alternativas: variables de decisión– limitaciones del sistema: restricciones
• Pero a veces las relaciones matemáticas son demasiado complejas– heurísticos– simulación
Modelado matemático
• Paso 1.- Identificar las variables de decisión¿Sobre qué tengo control?¿Qué es lo que hay que decidir?¿Cuál sería una respuesta válida en este caso?
• Paso 2.- Identificar la función objetivo¿Qué pretendemos conseguir?Si yo fuese el jefe de la empresa, ¿qué me interesaría
más?• Paso 3.- Identificar las restricciones o factores que limitan la
decisiónRecursos disponibles (trabajadores, máquinas, material)
Fechas límiteRestricciones por la naturaleza de las variables (no
negatividad, enteras, binarias)Restricciones por la naturaleza del problema
• Paso 4.- Traducción de los elementos básicos a un modelo matemático.
Resolución del modelo• Paso 1.- Elegir la técnica de resolución adecuada
– Técnicas existentes, modificación, creación o heurísticos.• Paso 2.- Generar las soluciones del modelo
– Programas de ordenador, hojas de cálculo.• Paso 3.- Comprobar/validar los resultados
– Probar la solución en el entorno real• Paso 4.- Si los resultados son inaceptables, revisar el
modelo matemático– Estudiar hipótesis, comprobar exactitud de datos, relajar o
endurecer aproximaciones, revisar restricciones• Paso 5.- Realizar análisis de sensibilidad
– Analizar adaptaciones en la solución propuesta frente a posibles cambios
Fases de un estudio
FORMULACIÓN DEL
PROBLEMA
CONSTRUCCIÓN DEL
MODELO
NECESIDAD DE
REORGANIZACIÓN
MODELO DEL SISTEMA
REAL
SISTEMA DE INTERÉS
OBTENCIÓN DE DATOS
TOMA DE DECISIONES IMPLEMENTACIÓN Y
CONTROL
SOLUCIÓN DEL MODELO
INTERPRETACIÓN DE
RESULTADOS E IMPLICACIONES
VALIDACIÓN DEL MODELO ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD
Es un Arte que mejora con la práctica…
¡ PRACTIQUEMOS!
CONJUNTO CONVEXOSea S R⊂ n , S se denomina Conjunto Convexo
S vu, S, uv
u1 v2
S1
convexo conjuntoun es no S S ,S u para que vemos
1
211 11 1
vuv
HIPERPLANO
bxcxcxcRxxxH nnn
n .../ ... , , 221121
Matricialmente, el hiperplano H se define como:
bCXRxH n /
nn xcxcxcb ...2211
c1 c2 c3 ... Cn x1
x2
x3
xn
SEMIESPACIOS
io Cerrado Semiespac ó io Abierto Semiespac ó Para
bCXenteMatricialm
bxcxcxcRxxxS nnn
n
/Rx S
.../,...,n
221121
NOTAUN CONJUNTO ES CERRADO CUANDO
CONTIENE A SU FRONTERA
Propiedades de los conjuntos convexos
A y B R⊂ n , A y B son conjuntos convexos
A ∩ B es un conjunto Convexo
A U B no necesariamente es un conjunto convexo
Vertice o Punto extremo
Se denomina vertice o punto extremo, al punto que resulta de la interseccion de 2 o más hiperplanos
Ejemplo
v1
V2-
v3 v4-v5
v6
-v7
v8
Puntos extremos v1, v3, v4, v6, v8Puntos de frontera v1, v2,......v8
Introducción a la Programación Lineal
Guía general para la formulación de modelos
Identificación de los elementos básicos. Expresar en palabras:
• Datos del problema– Factores que no son susceptibles de cambio
• Variables de decisión– Variables sobre las que se tiene control
• Restricciones– Causas por las que la decisión está limitada
• Función objetivo– Medida del rendimiento que se quiere optimizar
Traducción de los elementos básicos a expresiones matemáticas
Cada muñeco:• Produce un beneficio neto de 3 €.• Requiere 2 horas de trabajo de acabado.• Requiere 1 hora de trabajo de carpinteria.
Cada tren:• Produce un beneficio neto de 2 €.• Requiere 1 hora de trabajo de acabado.• Requiere 1 hora trabajo de carpinteria.
Ejemplo: Gepetto SA, manufactura muñecos y trenes de madera.
Cada semana Gepetto puede disponer de:• Todo el material que necesite.• Solamente 100 horas de acabado.• Solamente 80 horas de carpinteria.También:• La demanda de trenes puede ser cualquiera (sin límite).• La demanda de muñecos es como mucho 40.
Gepetto quiere maximizar sus beneficios.¿Cuántos muñecos y cuántos trenes debe fabricar?
Variables de Decisión
x = nº de muñecos producidos a la
semana
y = nº de trenes producidos a la
semana
Función Objetivo. En cualquier PPL, la decisión a tomar es como maximizar
(normalmente el beneficio) o minimizar (el coste) de alguna función de las
variables de decisión. Esta función a maximizar o
minimizar se llama función objetivo.
Max z = 3x + 2y
El objetivo de Gepetto es elegir valores de x e y para
maximizar 3x + 2y. Usaremos la variable z para denotar el
valor de la función objetivo. La función objetivo de Gepetto es:
Este problema es un ejemplo típico de un problema de programación lineal (PPL).
RestriccionesSon desigualdades que limitan los posibles valores de las variables de decisión.En este problema las restricciones vienen dadas por la disponibilidad de horas de acabado y carpintería y por la demanda de muñecosTambién suele haber restricciones de signo o no negatividad:
x ≥ 0y ≥ 0
Restricción 1: no más de 100 horas de tiempo de acabado pueden ser usadas.
Restricción 2: no más de 80 horas de tiempo de carpintería pueden ser usadas.
Restricción 3: limitación de demanda, no deben fabricarse más de 40 muñecos.
Estas tres restricciones pueden expresarse matemáticamente por las siguientes desigualdades:
Restricción 1: 2 x + y ≤ 100
Restricción 2: x + y ≤ 80
Restricción 3: x ≤ 40
Cuando x e y crecen, la función objetivo de Gepetto también crece. Pero no puede crecer indefinidamente porque, para Gepetto, los valores de x e y están limitados por las siguientes tres restricciones:
Restricciones
Además, tenemos las restricciones de signo: x ≥ 0 e y ≥ 0
x ≥ 0 (restricción de signo)
y ≥ 0 (restricción de signo)
Muñeco Tren
Beneficio 3 2
Acabado 2 1 ≤ 100
Carpintería 1 1 ≤ 80
Demanda ≤ 40
Formulación matemática del PPL
Max z = 3x + 2y (func. objetivo)
2 x + y ≤ 100 (acabado)
x + y ≤ 80 (carpinteria)
x ≤ 40 (demanda muñecos)
Variables de Decisión x = nº de muñecos producidos a la semana y = nº de trenes producidos a la semana
Max z = 3x + 2y (función objetivo)
Sujeto a (s.a:)2 x + y ≤ 100 (restricción de acabado)
x + y ≤ 80 (restricción de carpintería)
x ≤ 40 (restricción de demanda de muñecos)
x ≥ 0 (restricción de signo)
y ≥ 0 (restricción de signo)
Para el problema de Gepetto, combinando las restricciones de signo x ≥ 0 e y ≥ 0 con la función objetivo y las restricciones, tenemos el siguiente modelo de optimización:
Formulación matemática del PPL
Región factible
x = 40 e y = 20 está en la región factible porque satisfacen todas las restricciones de Gepetto.
Sin embargo, x = 15, y = 70 no está en la región factible porque este punto no satisface la restricción de carpintería
[15 + 70 > 80].
Restricciones de Gepetto2x + y ≤ 100 (restricción finalizado) x + y ≤ 80 (restricción carpintería) x ≤ 40 (restricción demanda)
x ≥ 0 (restricción signo) y ≥ 0 (restricción signo)
La región factible de un PPL es el conjunto de todos los puntos que satisfacen todas las restricciones. Es la región del plano delimitada por el sistema de desigualdades que forman las restricciones.
Solución óptima
La mayoría de PPL tienen solamente una solución óptima. Sin embargo, algunos PPL no tienen solución óptima, y otros PPL tienen un número infinito de soluciones. Más adelante veremos que la solución del PPL de Gepetto es x = 20 e y = 60. Esta solución da un valor de la función objetivo de: z = 3x + 2y = 3·20 + 2·60 = 180 €
Cuando decimos que x = 20 e y = 60 es la solución óptima, estamos diciendo que, en ningún punto en la región factible, la función objetivo tiene un valor (beneficio) superior a 180.
Para un problema de maximización, una solución óptima es un punto en la región factible en el cual la función objetivo tiene un valor máximo. Para un problema de minimización, una solución óptima es un punto en la región factible en el cual la función
objetivo tiene un valor mínimo.
Se puede demostrar que la solución óptima de un PPL está siempre en la frontera de la región factible, en un vértice (si la solución es única) o en un segmento entre dos vértices contiguos (si hay infinitas soluciones)
Representación Gráfica de las restricciones
2x + y = 100
Cualquier PPL con sólo dos variables puede resolverse gráficamente. Por ejemplo, para representar gráfica mente la 1° restricción, 2x + y ≤ 100 :Dibujamos la recta 2x + y = 100
20
20 40 60 80
40
60
80
100
Y
X
Elegimos el semiplano que cumple la desigualdad: el punto (0, 0) la cumple (2·0 + 0 ≤ 100),así que tomamos el semiplano que lo contiene.
Dibujar la región factible
Puesto que el PPL de Gepetto tiene dos variables, se puede resolver gráficamente. La región factible es el
conjunto de todos los puntos que satisfacen las restricciones:
2 x + y ≤ 100 (restricción de acabado)
x + y ≤ 80 (restricción de carpintería)
x ≤ 40 (restricción de demanda
x ≥ 0 (restricción de signo)
y ≥ 0 (restricción de signo)Vamos a dibujar la región factible que satisface estas
restricciones.
Y
X
20
20 40 60 80
40
60
80
100 2x + y = 100Restricciones2 x + y ≤ 100 x + y ≤ 80 x ≤ 40 x ≥ 0 y ≥ 0
Dibujar la región factible
Teniendo en cuenta las restricciones de signo (x ≥ 0, y ≥ 0), nos queda:
Y
X
20
20 40 60 80
40
60
80
100
x + y = 80
Restricciones2 x + y ≤ 100 x + y ≤ 80 x ≤ 40 x ≥ 0 y ≥ 0
Dibujar la región factible
Y
X
20
20 40 60 80
40
60
80
100
x = 40Restricciones2 x + y ≤ 100 x + y ≤ 80 x ≤ 40 x ≥ 0 y ≥ 0
Dibujar la región factible
Y
X
20
20 40 60 80
40
60
80
100 2x + y = 100
x + y = 80
x = 40
La intersección de todos estos semiplanos (restricciones) nos da la región factible
Dibujar la región factible
RegiónFactible
Y
X
20
20 40 60 80
40
60
80
1002x + y = 100
x + y = 80
x = 40
RegiónFactible
La región factible (al estar limitada por rectas) es un polígo no. En esta caso, el polígono ABCDE.
AB
C
D
E
Como la solución óptima está en alguno de los vérti ces (A, B, C, D o E) de la región factible, calculamos esos vértices.
Vértices de la región factibleRestricciones2 x + y ≤ 100 x + y ≤ 80 x ≤ 40 x ≥ 0 y ≥ 0
RegiónFactible
E(0, 80)
(20, 60)
C(40, 20)
B(40, 0)A(0, 0)
Vértices de la región factibleLos vértices de la región
factible son intersecciones de dos rectas. El punto D es la intersección de las rectas
2x + y = 100x + y = 80
La solución del sistema x = 20, y = 60 nos da el punto D.
20
20 40 60 80
40
60
80
100
Y
X
D
B es solución dex = 40y = 0
2x + y = 100
x = 40
x + y = 80
C es solución dex = 40
2x + y = 100E es solución de
x + y = 80x = 0
Y
X
20
20 40 60 80
40
60
80
100
RegiónFactible
(0, 80)
(20, 60)
(40, 20)
(40, 0)
(0, 0)
Max z = 3x + 2y
z = 0 z = 100z = 180
Para hallar la solución óptima, dibujamos las rectas en las cuales los puntos tienen el mismo valor de z.La figura muestra estas lineas paraz = 0, z = 100, y z = 180
Resolución gráfica
RegiónFactible
(0, 80)
(20, 60)
(40, 20)
(40, 0)
(0, 0)
Max z = 3x + 2y
z = 0 z = 100z = 180
La última recta de z que interseca (toca) la región factible indica la solución óptima para el PPL. Para el problema de Gepetto, esto ocurre en el punto D (x = 20, y = 60, z = 180).
20
20 40 60 80
40
60
80
100
Y
X
Resolución gráfica
RegiónFactible
(0, 80)
(20, 60)
(40, 20)
(40, 0)
(0, 0)
Max z = 3x + 2y
También podemos encontrar la solución óptima calculando el valor de z en los vértices de la región factible.
Vértice z = 3x + 2y(0, 0) z = 3·0+2·0 = 0
(40, 0) z = 3·40+2·0 = 120(40, 20) z = 3·40+2·20 = 160(20, 60) z = 3·20+2·60 = 180(0, 80) z = 3·0+2·80 = 160 20
20 40 60 80
40
60
80
100
Y
XLa solución óptima es:
x = 20 muñecosy = 60 trenes
z = 180 € de beneficio
Resolución analítica
Hemos identificado la región factible para el problema de Gepetto y buscado la
solución óptima, la cual era el punto en la región factible con el mayor valor posible
de z.
Recuerda que:
• La región factible en cualquier PPL está limitada por segmentos (es un
polígono, acotado o no).
• La región factible de cualquier PPL tiene solamente un número finito de
vértices.
• Cualquier PPL que tenga solución óptima tiene un vértice que es óptimo.
Un problema de minimizaciónDorian Auto fabrica y vende coches y furgonetas. La empresa quiere emprender una campaña publicitaria en TV y tiene que decidir comprar los tiempos de anuncios en dos tipos de programas: del corazón y fútbol.
• Cada anuncio del programa del corazón es visto por 6 millones de mujeres y 2 millones de hombres.
• Cada partido de fútbol es visto por 3 millones de mujeres y 8 millones de hombres.
• Un anuncio en el programa de corazón cuesta 50.000 € y un anuncio del fútbol cuesta 100.000 €.
• Dorian Auto quisiera que los anuncios sean vistos por lo menos 30 millones de mujeres y 24 millones de hombres.
Dorian Auto quiere saber cuántos anuncios debe contratar en cada tipo de programa para que el coste de la campaña publicitaria sea mínimo.
• Cada anuncio del programa del corazón es visto por 6 millones de mujeres y 2 millones de hombres.
• Cada partido de fútbol es visto por 3 millones de mujeres y 8 millones de hombres.
• Un anuncio en el programa de corazón cuesta 50.000 € y un anuncio del fútbol cuesta 100.000 €.
• Dorian Auto quisiera que los anuncios sean vistos por por lo menos 30 millones de mujeres y 24 millones de hombres.
Dorian Auto quiere saber cuántos anuncios debe contratar en cada tipo de programa para que el coste de la campaña publicitaria sea mínimo.
Corazón(x)
Fútbol(y)
mujeres 6 3 6x + 3y ≥ 30
hombres 2 8 2x + 8y ≥ 24
Coste1.000€
50 100 50x +100y
Formulación del problema:
Variables de decisión: x = nº de anuncios en programa de corazóny = nº de anuncios en fútbol
Min z = 50x + 100y (función objetivo en 1.000 €)
s.a: 6x + 3y ≥ 30 (mujeres)
2x + 8y ≥ 24 (hombres)
x, y ≥ 0 (no negatividad)
Formulación del problema:
X
Y
2 4 6 8 10 12 14
14
12
10
8
6
4
2
Min z = 50 x + 100y
s.a. 6x + 3y ≥ 30
2x + 8y ≥ 24
x, y ≥ 0
6x + 3y = 30
2x + 8y = 24
Dibujamos la región factible.
X
Y
2 4 6 8 10 12 14
14
12
10
8
6
4
2
La región factibleno está acotada
RegiónFactible
Calculamos los vértices de la región factible:
A
B
C
El vértice A es solución del sistema
6x + 3y = 30 x = 0
Por tanto, A(0, 10)
El vértice B es solución de6x + 3y = 302x + 8y = 24
Por tanto, B(4, 2)
El vértice C es solución de2x + 8y = 24
y = 0Por tanto, C(12, 0)
RegiónFactible
Resolvemos por el método analítico
A(0, 10)
B(4, 2)
C(12, 0)
X
Y
2 4 6 8 10 12 14
14
12
10
8
6
4
2
Vértice z = 50x + 100y
A(0, 10)z = 50·0 + 100·10 = = 0+10000 = 10 000
B(4, 2)z = 50·4 + 100·2 = = 200+200 = 400
C(12, 0)z = 50·12 + 100·0 = = 6000+0 = 6 000
El coste mínimo se obtiene en B.
Solución:x = 4 anuncios en pr. corazón
y = 2 anuncios en futbolCoste z = 400 (mil €)
Evaluamos la función objetivo z en los vértices.
RegiónFactible
Resolvemos por el método gráfico
A(0, 10)
B(4, 2)
C(12, 0) X
Y
2 4 6 8 10 12 14
14
12
10
8
6
4
2
El coste mínimo se
obtiene en el punto B.
Solución:x = 4 anuncios en prog.
de corazóny = 2 anuncios en futbol
Coste z = 400 (mil €)
Min z = 50 x + 100y
s.a. 6x + 3y ≥ 30
2x + 8y ≥ 24
x, y ≥ 0
Z = 600
Z = 400
Número de Soluciones de un PPL
• Algunos PPL tienen un número infinito de soluciones óptimas (alternativas o múltiples soluciones óptimas).
• Algunos PPL no tienen soluciones factibles (no tienen región factible).
• Algunos PPL son no acotados: Existen puntos en la región factible con valores de z arbitrariamente grandes (en un problema de maximización).
Los dos ejemplos anteriores, Gepetto y Dorian Auto, tienen, cada uno, una única solución óptima.No en todos los PPL ocurre esto. Se pueden dar también las siguientes posibilidades:
Veamos un ejemplo de cada caso.
Número infinito de soluciones óptimas
max z = 3x + 2y
s.a:
Cualquier punto (solución) situado en el segmento AB
puede ser una solución óptima de z =120.
Consideremos el siguiente problema:
3x + 2y ≤ 120x + y ≤ 50x , y ≥ 0
10
10 20 30 40
20
30
40
50
50
60
Y
X
z = 60
z = 100
z = 120
A
B
C
RegiónFactible
Sin soluciones factibles
s.a:
max z = 3x1 + 2x2
No existe región factible
Consideremos el siguiente problema:
3x + 2y ≤ 120 x + y ≤ 50 x ≥ 30 y ≥ 30 x , y ≥ 0
10
10 20 30 40
20
30
40
50
50
60
Y
X
No existeRegión Factible
y ≥ 30
x ≥ 30
x + y ≤ 50
3x + 2y ≤ 120
PPL no acotadomax z = 2x – y
s.a: x – y ≤ 1
2x + y ≥ 6
x, y ≥ 0
La región factible es no acotada. Se muestran en el gráfico las rectas de nivel para z = 4 y z = 6. Pero podemos desplazar las rectas de nivel hacia la derecha indefinidamente sin abandonar la región factible. Por tanto, el valor de z puede crecer indefinidamente.
1
1 2 3 4
2
3
4
5
5
6
Y
X
z = 4
z = 6
Región Factible
