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419� MATEMÁTICAS 3.° ESO � MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �

Números racionales

CONTENIDOS

NÚMEROS RACIONALES

• Concepto de fracción. Interpretación de una fracción. Fracciones equivalentes. Fracción irreducible.

• Ordenación y comparación de fracciones.

• Operaciones con fracciones. Suma, resta, multiplicación y división de fracciones.

• Concepto y tipos de números decimales.

• Fracciones y números decimales. Reglas de conversión.

• Números racionales y fracciones.

SUGERENCIAS Y PREGUNTAS SOBRE LAS PRUEBAS Y SU CORRECCIÓN

PRUEBA INICIAL

La prueba inicial es un resumen de los contenidos de«Divisibilidad» y «Fracciones», de 2.º ESO, haciendo hin-capié en aquellos procedimientos más básicos: calcu-lar el m.c.d. y el m.c.m. de dos números, averiguar lafracción que representa una parte de un gráfico, repre-sentar gráficamente una fracción y alguna de las ope-raciones básicas: suma y multiplicación de fracciones y simplificación de fracciones.

PRUEBA DE LA UNIDAD

La prueba que se ha diseñado contiene todos los conte-nidos procedimentales de la unidad. Las actividades sepueden resolver fácilmente, ya que es una unidad de revisión de conceptos y procedimientos estudiados encursos anteriores. Las últimas actividades: problemas y clasificación de números, son las que pueden resultarmás complicadas a los alumnos.

1INTRODUCCIÓN

Esta unidad tiene un carácter procedimental y ya ha sido trabajada en cursos anteriores, sobre todoen el uso de fracciones y números decimales. Por tanto, los contenidos procedimentales de la unidadson conocidos por los alumnos, pero se ha de reforzarel método de trabajo de manipulación de fracciones,así como también se deben ampliar algunos conceptos de transformaciones de fracciones y decimales, e introducir la clasificación de números y la representación gráfica de números racionales.

A lo largo de la unidad, conviene hacer reflexionar a los alumnos sobre la presencia de las fracciones en distintos contextos: situaciones de compra o consumo, figuras geométricas, informaciones en medios de comunicación…

CONOCIMIENTOS PREVIOS

Se recomienda comenzar la unidad comprobando y repasando, si es necesario, los conceptos másimportantes sobre divisibilidad y las distintasinterpretaciones de una fracción: como cociente de dos números, como resultado de una medida y como operador, dejando clara la interpretación de fracciones positivas y negativas; la diferencia entrelas fracciones propias e impropias; la representación de fracciones mediante figuras geométricas y las operaciones con fracciones. Los conocimientosprevios que han de tener los alumnos son:

• Criterios de divisibilidad. El m.c.d. y el m.c.m. de dos o más números.

• Interpretación de un número fraccionario.

• Representación de fracciones.

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OP

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S D

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VALU

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420 � MATEMÁTICAS 3.° ESO � MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �

EVALUACIÓN INICIAL

Completa la tabla con Sí o No.

Descompón los números 132 y 154 en factores primos, y calcula el m.c.d. y m.c.m.

El tangram es un antiguo puzle chino en el que el número y la forma de las piezas es invariable. Consta de siete piezas obtenidas por la división de un cuadrado.

a) Escribe, para cada una de las siete piezas, la fracción que supone su área respecto del área total del tangram.

b) ¿Qué fracción del total suponen los triángulos?

c) Si el área total del tangram es 32 cm2, ¿cuál es el área de cada una de las piezas?

Representa gráficamente las siguientes fracciones.

a) b) c)

Calcula esta operación con fracciones y simplifica el resultado.

5

18

5

6

8

5+ ⋅ =

5

9

20

3

10

3

8

4

3

2

1

NÚMEROS RACIONALES1

Número 2

¿Es divisible por?

3 5 7 11 13

12

434

825

30

468

11

132 154

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� MATEMÁTICAS 3.° ESO � MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �

EVALUACIÓN INICIAL: SOLUCIONES

PR

OP

UE

STA

S D

E E

VALU

AC

IÓN

Completa la tabla con Sí o No.

Descompón los números 132 y 154 en factores primos, y calcula el m.c.d. y m.c.m.

El tangram es un antiguo puzle chino en el que el número y la forma de las piezas es invariable. Consta de siete piezas obtenidas por la división de un cuadrado.

a) Escribe, para cada una de las siete piezas, la fracción que supone su área respecto del área total del tangram.

b) ¿Qué fracción del total suponen los triángulos?

c) Si el área total del tangram es 32 cm2, ¿cuál es el área de cada una de las piezas?

Representa gráficamente las siguientes fracciones.

a) b) c)

Calcula esta operación con fracciones y simplifica el resultado.

518

86

5 8 318

2918

+ = + =⋅5

18

5

6

8

5+ ⋅ =

5

9

20

3

10

3

8

4

A A A A A A A1 22

3 62

4 5 728 2 4= = = = = = =cm cm cm, ,

A A AT = − + = − +⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = − =1 1

18

18

114

34

4 5( )

A A A A A A A1 2 3 6 4 5 714

116

18

= = = = = = =, ,

3

2

1

421

Número 2

¿Es divisible por?

3 5 7 11 13

12 Sí Sí No No No No

Sí No No Sí No No

No Sí Sí No Sí No

Sí Sí Sí No No No

Sí Sí No No No Sí

No No No No Sí No

434

825

30

468

11

132

663311

1

22311

154

7711

1

2711

m.c.d. (132, 154) = 2 ⋅ 11 = 22

m.c.m. (132, 154) = 22 ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ 11 = 924F

a) b) c)

1

6 7

5

3 42

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EVALUACIÓN DE LA UNIDADcontenidos

Escribe una fracción equivalente a y cuyo denominador sea 80.

De las siguientes fracciones, rodea las que sean equivalentes a .

Encuentra las fracciones irreducibles de estas fracciones: y .

Ordena las siguientes fracciones: , , , .

Completa la suma: .

Opera y simplifica.

a)

b)7

5

5

32

6

27

42

24⋅ − −

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

5

9

3

4

5

7

15

2⋅ −

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥:

6

= 75

23+5

3314

2311

145

74

4

14454

1281 024.

3

515

2

1548

1

6

21

7

21

11

30

15

45

18

55

20

60

23

65

Obtención de fraccionesequivalentes mediante

amplificación y simplificación.

Determinación de si dos fracciones

son o no equivalentes.

Búsqueda de fraccionesequivalentes a una dada.

Comparación y ordenación de fracciones.

Operaciones con fracciones.

• Enumerar e identificar elementos ........................................................................................................................ 8

• Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. ..............................................................................

• Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones ........................................................................... 1, 2, 4, 9

• Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes ...........................................................................................................

• Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ............................................................................................................ 3, 5, 6, 10, 11

CAPACIDADES PREFERENTES PRUEBAS

NÚMEROS RACIONALES1826523 _ 0419-0424.qxd 27/4/07 13:41 Página 422


Sin realizar ninguna división, clasifica estos números en enteros, decimales exactos o decimales periódicos.

Completa la siguiente tabla.

Obtén la fracción generatriz de los números decimales.

a) 12,05 b) 12,05� c) 12,05�

En la fabricación de sulfato sódico, por cada 142 g del producto final, 32 g son de azufre, 64 g de oxígeno y 46 g de sodio. Expresa mediante una fracción los gramos de azufre, oxígeno y sodio que son necesarios para fabricar 100 g de sulfato.

De la clase de 3.º ESO, las partes son chicos. ¿Qué fracción representa

el número de chicas? ¿Cuántas chicas hay si son 28 alumnos en total?

47

11

10

9

8

7

40

40

7

128

8

35

15

13

128

15

34, , , , ,

7Reconocimiento y clasificación de números.

Obtención de la fracción generatriz de un número decimal

exacto o periódico.

Resolución de problemascon fracciones.

• Clasificar y discriminar según criterios ................................................................................................................... 5, 7, 11

• Contrastar operaciones, relaciones, etc. ................................................................................................................. 5

• Combinar, componer datos, resumir, etc. ..............................................................................................................

• Deducir, formular hipótesis, generalizar, etc. .........................................................................................................


PR

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423

N Z Q I

−13

7

23

−7,8�

8

2

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NÚMEROS RACIONALES1EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES

Fracción equivalente.

Fracción equivalente.

Fracciones irreducibles.

Ordenación de fracciones.

Común denominador:

Operación inversa.

Cálculo.

a)

b)

Clasificación.

Por 100 g de sulfato sódico.

Azufre: Oxígeno:

Sodio:

En el aula. son chicas;37

2837

283 28

7de 12 chicas= ⋅ = ⋅ =1

47

7 47

37

− = − =11

46142 100

2 30071

= =zz→ .

64142 100

3 20071

= =yy→ .32

142 1001 600

71= =x

x→ .

10

8

7

40

40

7

128

8

35

15D Exacto D Periódico Entero D Pe. . . rriódico D Exacto D Periódico

13

128

15

34. .

7

= ⋅ − ⋅ − ⋅⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = ⋅ +7

5532

6 8 42 9216

75

532

3302166

75

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = ⋅ =1.455

864679288

7

5

5

32

6

27

42

24⋅ − −

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

= ⋅ −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = ⋅ − = ⋅5

934

10105

59

315 40420

5 2753..

.

.7801 3753 780

275756

= =5

9

3

4

5

7

15

2⋅ −

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥:

6

→ x = − = ⋅ − ⋅ =75

23

7 3 2 515

1115

=7

5x2

3+5

7

4

14

5

23

11

3→ → →2.695 4.3121.540

3.2201 540 1 540. .

33

14→ 3.630

1.540

74

2311

3314

145

< < <4

144

54= ⋅

⋅=2 3

2 383

4 2

3

128

1.024= = =2

212

18

7

10 33

2

1548 80

15 8048

251548

2580

= = = =xx→ →⋅

1

N Z Q I

−13

7

23

−7,8�

8

2

6

21

7

21

11

30

15

45

18

55

20

60

23

65

a) 12,05 =

b) 12,05� =

c) 12,05� = 1 205 1299

. − = 1.19399

1 205 12090

. − = =1.08590

21718

1 205100

24120

. =9

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Números reales

CONTENIDOS

NÚMEROS REALES

1. Números racionales.

• Potenciación de números racionales. Potencias de exponente positivo. Potencias de exponente negativo. Propiedades de las potencias.

• Operaciones con potencias.

• Potencias de base 10. Notación científica.

• Operaciones con números expresados en forma científica.

2. Concepto de número real.

• Número con una expresión decimal finita o infinita. Números racionales e irracionales.

• Posición de un punto en una recta numérica.

• Aproximación de números reales expresados en forma decimal: redondeo y truncamiento. Reglas de uso.

• Error cometido en las aproximaciones y operaciones con números reales.


PRUEBA INICIAL

La prueba inicial es un resumen de los contenidos de«Potencias y raíz cuadrada», de 2.º ESO, en el que sehace hincapié en los conceptos básicos de las potencias:cálculo y transformaciones directas (actividades 1 y 2) e inversas (actividad 3), así como el cálculo con núme-ros en notación científica (actividad 5).

PRUEBA DE LA UNIDAD

La prueba tiene tres partes diferenciadas. La primera par-te (actividades 1 a 6) consta de cuestiones de repaso delas potencias y de manipulación de números mediantenotación científica, que se pueden trabajar con la calcu-ladora y que sirven para conocer los diferentes tipos decalculadoras. La segunda parte (actividades 7 a 9) es de trabajo con los números reales: aproximaciones y re-presentación gráfica, siendo las dos últimas actividadesproblemas para realizar con la calculadora.

2INTRODUCCIÓN

En esta unidad se trabajan los números decimales, su relación con las fracciones y el uso de potencias. Los contenidos siguen siendo básicamenteprocedimentales. Al acabar la unidad los alumnos han de saber manipular perfectamente las potencias y la notación científica, que son esenciales en otrasáreas de las Matemáticas. Uno de los aspectos más importantes de la unidad es el concepto denúmero irracional y la estimación y aproximación de números.


Esta unidad está relacionada con los contenidos de «Números decimales» y «Potencias y raíz cuadrada».Los conocimientos previos son los relativos a:

• Potencias con base entera.

• Trabajo con números decimales y en notacióncientífica.

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EVALUACIÓN INICIAL

Escribe la descomposición factorial de los siguientes números.

a) 810 c) 4.455

b) 31.752 d) 33.275

Indica la base, el exponente y el resultado de las potencias.

Estos datos se refieren a un cubo. Completa la tabla con la calculadora.

Calcula y escribe las ocho primeras potencias de 2.

21 = 2 22 = 4 23 = 8 24 = 16 25 = 32

26 = 27 = 28 =

Observa la cifra de las unidades en los resultados. ¿Cuál será la última cifra de la potencia 236?

Un embalse que abastece a una población tiene 250 hm3. Si, por término medio, una persona gasta 200 litros de agua diarios, y la población consta de 13.350 habitantes, ¿cuántos días podrá abastecer el embalse a la población?

5

4

3

2

1

NÚMEROS REALES2

Base Exponente Resultado

23

(−3)2

1

5

4⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

3

7

2

Arista 3 5

Volumen 27 729 4.913

Área de una cara 9 64 4.225

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PR

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Escribe la descomposición factorial de los siguientes números.

a) 810 = 2 ⋅ 34 ⋅ 5 c) 4.455 = 34 ⋅ 5 ⋅ 11b) 31.752 = 23 ⋅ 34 ⋅ 72 d) 33.275 = 52 ⋅ 113

Indica la base, el exponente y el resultado de las potencias.

Completa la tabla con la calculadora.

Calcula y escribe las ocho primeras potencias de 2.

21 = 2 22 = 4 23 = 8 24 = 16 25 = 32

26 = 27 = 28 =

Observa la cifra de las unidades en los resultados. ¿Cuál será la última cifra de la potencia 236?

Se repite la última cifra cada 4 unidades: {2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, …}; por tanto, la potencia 236 tendrá la misma última cifra que 24, es decir, un 6.

Un embalse que abastece a una población tiene 250 hm3. Si, por término medio, una persona gasta 200 litros de agua diarios, y la población consta de 13.350 habitantes, ¿cuántos días podrá abastecer el embalse a la población?

Dividimos la cantidad total de agua entre la cantidad diaria que gasta cada habitante:

días. Luego dividimos esta cantidad entre el número de habitantes

que tiene la población: 1 25 10

13 35094

6,.⋅ ≈ días.

250 10200

1 25 106

6⋅ = ⋅,

5

25612864

4

3

2

1

427

Arista 3 9 8 5 65 17

Volumen 27 729 512 125 274.625 4.913

Área de una cara 9 81 64 25 4.225 289

Base Exponente Resultado

23 2 3 8

(−3)2 −3 2 9

1

5

4⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

15

41

625

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

3

7

2

− 37

2949

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Calcula las siguientes potencias.

a) b) ((−3)2)−2

Expresa como una sola potencia.

Calcula y simplifica la siguiente potencia.

(8 ⋅ 4−2)3

Escribe en notación científica estos números o expresiones numéricas.

a) 1.700.000.000

b) 0,0000000017

c) 0,0025 + 0,0000032 − 0,00002

Opera mediante la notación científica.

(6,5 ⋅ 107 − 0,23 ⋅ 109) ⋅ 5,1 ⋅ 10−3

Calcula el término que falta.

a) 3,2 ⋅ 105 + = 5,7 ⋅ 106

b) 1,5 ⋅ 10−3 ⋅ = 2,7 ⋅ 104

Trunca y redondea los siguientes números o expresiones numéricas a las milésimas.

a)

b)

c) − 0,3�3

5

19

6

5

7

6

5

4

3

3 91

3272 3

4

2⋅ ⋅⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅

−

−

2

1

5

2⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−

1Cálculo de potencias con exponentes negativos.

Aplicación de las propiedades de las potencias.

Expresión de un número en notación científica.

Trabajo con números y potencias en notación

científica.

Determinación deaproximaciones decimales

de números racionales e irracionales hasta las

décimas, centésimas…

• Enumerar e identificar elementos ........................................................................................................................ 1, 4

• Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. .............................................................................. 2, 3

• Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones ........................................................................... 7


• Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ............................................................................................................ 1, 2, 3, 5, 6, 10


NÚMEROS REALES2826523 _ 0425-0430.qxd 27/4/07 13:45 Página 428


Representa el número en la recta real de forma exacta.

Representa en la recta real y de forma exacta los intervalos

y . Luego comprueba si los números y

pertenecen o no a los intervalos.

Un glóbulo rojo tiene forma de cilindro con un diámetro de unas 7 millonésimasde metro y unas 2 millonésimas de altura. ¿Cuál es su volumen?

En una botella de aceite virgen se indica: 0,75 ¬ ± 3 %. ¿Entre qué dos valoresestará comprendida la cantidad de aceite que contiene?

11

10

−145

5B =⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

52

174

,A = −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎤

⎦⎥⎥3

73

,

9

58Representación de números e intervalos en la recta real.

Resolución de problemas con diferentes tipos

de números y aproximaciones.

• Clasificar y discriminar según criterios ................................................................................................................... 8, 9

• Contrastar operaciones, relaciones, etc. ................................................................................................................. 7, 11




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NÚMEROS REALES2EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES

a) = ((5)−1)−2 = 52 = 25 b) ((−3)2)−2

Cálculo.

Cálculo y simplificación. (8 ⋅ 4−2)3 = (23 ⋅ (22)−2) 3 = (23−4)3 = (2−1)3 = 2−3

Notación científica.

a) 1.700.000.000 = 1,7 ⋅ 109 b) 0,0000000017 = 1,7 ⋅ 10−9

c) 0,0025 + 0,0000032 − 0,00002 = 2,5 ⋅ 10−3 + 3,2 ⋅ 10−6 − 2 ⋅ 10−5 == (2.500 + 3,2 − 20) ⋅ 10−6 = 2,4832 ⋅ 10−3

(6,5 ⋅ 107 − 0,23 ⋅ 109) ⋅ 5,1 ⋅ 10−3 = ((6,5 − 23) ⋅ 107) ⋅ 5,1 ⋅ 10−3 == −16,5 ⋅ 107 ⋅ 5,1 ⋅ 10−3 = −84,15 ⋅ 104 = 8,415 ⋅ 105

a) 3,2 ⋅ 105 + = 5,7 ⋅ 106 → A = 5,7 ⋅ 106 − 3,2 ⋅ 105 = (5,7 − 0,32) ⋅ 106 = 5,38 ⋅ 106

b) 1,5 ⋅ 10−3 ⋅ = 2,7 ⋅ 104 →

Truncamiento y redondeo.

Mediante el teorema de Pitágoras. → Triángulo de catetos 2 y 1

Representación de intervalos.

Glóbulo rojo.

Botella. Calculamos el 3% de 0,75 = 0,0225 → 0,75 ± 0,0225 → Intervalo: (0,7275; 0,7725)11

V = ⋅ ⋅⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅− − −π π7

210 2 10

49 24

106

2

6 122 6 17 37 7 10+ − −≈ ⋅( ) , m10

− < < ∈ −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟3 5

73

5 352

→ ,− <− ≤ − ∈ −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎤

⎦⎥⎥3

145

73

145

352

→ ,

9

5 2 1 5 2 12 2 2 2= + = +→8

7

B = ⋅⋅

= ⋅−

2 7 101 5 10

1 8 104

37,

,,B

A6

5

4

3

= ⋅ ⋅ ⋅ = =− − − + + −3 3 3 3 3 32 2 3 1 4 3 2 2 6 4 6 6( ) ( ) ( )3 91

3272 3

4

2⋅ ⋅⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅

−

−2

= = = =− −( )3 313

181

2 2 44

1

5

2⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−

1

Redondeo a las milésimas

Truncamiento a las milésimas

5 2 23606= , … 2,236 2,236

196

3 1666= , … 3,167 3,166

0,267 0,2660,3� = − = =35

13

415

0 2666, …35−

0 1 2 3 4

1

5

0−3 −2 −1 1 2 3 4 57

3

17

4

5−

14

5

5

2

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Polinomios

CONTENIDOS

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

• Monomios. Operaciones.

• Polinomios. Valor numérico de un polinomio.

• Operaciones con polinomios. Sumas, restas y multiplicaciones.

• División de polinomios.

• Regla para sacar factor común en un polinomio.

• Igualdades notables. Cuadrado de una suma, de una diferencia y producto de suma por diferencia.

• Fracciones algebraicas. Simplificación de fracciones algebraicas.


PRUEBA INICIAL

La prueba inicial es un resumen de los contenidos de«Expresiones algebraicas», de 2.º ESO, y se hace hin-capié en la transformación de expresiones algebraicas,operaciones con monomios y valor numérico de un po-linomio, ya que el resto de conceptos del curso anteriorse vuelven a revisar en este curso y, por tanto, apare-cen en las actividades de la unidad.

PRUEBA DE LA UNIDAD

La prueba que se ha diseñado contiene actividades re-lativas a los contenidos que se trabajan en la unidad,sobre todo el cálculo con polinomios: sacar factor co-mún, reducir, operaciones con polinomios… Convienetrabajar la parte final (actividades 8 a 11): división depolinomios y binomios notables, tanto en su aplicacióndirecta como inversa.

3INTRODUCCIÓN

Esta unidad continúa el estudio algebraico comenzadoen cursos anteriores. La utilización del lenguajealgebraico es fundamental en el proceso de abstracción matemático y será básico al trabajar con ecuaciones y sistemas de ecuaciones.

Los dos aspectos más importantes de la unidad son: la división de polinomios, que es necesaria para hallarraíces de polinomios, y los productos notables. Será interesante hacer ver a los alumnos que las expresiones algebraicas se utilizan en numerososaspectos de la economía, física, química, etc., y en diferentes operaciones o ecuaciones.


En el curso anterior se comenzó el estudio de las expresiones algebraicas, que es fundamentaltanto en este tema como en los relativos a ecuaciones y sistemas. Conviene revisar estos aspectos.

• Operaciones con números desconocidos medianteel lenguaje algebraico.

• Cálculo de sumas y restas de monomiossemejantes.

• Trabajo con igualdades notables.

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EVALUACIÓN INICIAL

Expresa mediante el lenguaje algebraico.

a) Un múltiplo de 9.

b) El cubo de un número.

c) Un número impar.

d) Un múltiplo común de 3 y 4.

Para calcular el espacio que recorre un móvil a una velocidad constante utilizamos la expresión algebraica: e = v ⋅ t (donde e es el espacio, v la velocidad y t el tiempo). Si llamamos v1 a la velocidad de un caballo, v2 a la velocidad de una moto y v3 a la velocidad de un coche, expresa algebraicamente los siguientes enunciados.

a) La velocidad del coche es cinco veces mayor que la del caballo.

b) La velocidad del caballo es la cuarta parte de la velocidad de la moto.

c) El doble de la velocidad del caballo es la novena parte de la suma de las velocidades del coche y la moto.

d) El doble de la velocidad de la moto es igual a la velocidad del coche.

e) La sexta parte de la velocidad del coche es igual a la del caballo.

Opera con los monomios. P(x) = −3x 2 R(x) = 5x 2 T(x) = −6xQ(x) = 4x S(x) = 7

P(x) + R(x) =

Q(x) − T(x) =

P(x) + S(x) =

P(x) ⋅ T(x) =

Calcula el valor de las expresiones, según el valor de x.

P(x) = 4x + 3, si x = 3 ⎯⎯→ P(3) =

P(x) = −3x + 3x2, si x = 2 → P(2) =

P(x) = (x2 − 4)2, si x = −2 → P(−2) =

4

3

2

1

POLINOMIOS3826523 _ 0431-0436.qxd 27/4/07 13:48 Página 432



PR

OP

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STA

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VALU

AC

IÓN

Expresa mediante el lenguaje algebraico.

a) Un múltiplo de 9 → 9nb) El cubo de un número → n3

c) Un número impar → 2n + 1d) Un múltiplo común de 3 y 4 → 12n

Para calcular el espacio que recorre un móvil a una velocidad constante utilizamos la expresión algebraica: e = v ⋅ t (donde e es el espacio, v la velocidad y t el tiempo). Si llamamos v1 a la velocidad de un caballo, v2 a la velocidad de una moto y v3 a la velocidad de un coche, expresa algebraicamente los siguientes enunciados.

a) La velocidad del coche es cinco veces mayor que la del caballo → v3 = 5v1

b) La velocidad del caballo es la cuarta parte de la velocidad de la moto →

c) El doble de la velocidad del caballo es la novena parte de la suma de las velocidades del coche y la moto →

d) El doble de la velocidad de la moto es igual a la velocidad del coche → 2v2 = v3

e) La sexta parte de la velocidad del coche es igual a la del caballo →

Opera con los monomios. P(x) = −3x 2 R(x) = 5x 2 T(x) = −6xQ(x) = 4x S(x) = 7

P(x) + R(x) = 2x2

Q(x) − T(x) = 10x

P(x) + S(x) = −3x2 + 7

P(x) ⋅ T(x) = 18x3

Calcula el valor de las expresiones, según el valor de x.

P(x) = 4x + 3, si x = 3 ⎯⎯→ P(3) = 12 + 3 = 15

P(x) = −3x + 3x2, si x = 2 → P(2) = −6 + 12 = 6

P(x) = (x2 − 4)2, si x = −2 → P(−2) = ((−2)2 − 4)2 = 02 = 0

4

3

vv3

16=

29

12 3v

v v= +

vv

12

4=

2

1

433

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Completa la tabla indicando el coeficiente, la parte literal y el grado.

Saca factor común.

Reduce y ordena el siguiente polinomio.

Determina el grado y el término independiente del polinomio anterior. Calcula su valor numérico para x = −3.

Halla el resultado de esta operación entre polinomios.

(7x2 + 3x − 2) ⋅ (2x2 − 5x + 8)

Determina el polinomio opuesto del polinomio anterior. 6

5

4

P x x x x x x x( ) = − + − + − − +4 3 5 3 7 2 3 42 3 2 3

3

72

3

4

53 2 3 2 2x yz xyz x y z+ −

2

1Distinción entre coeficiente,parte literal y grado

de un monomio.

Obtención de factor común en expresiones algebraicas.

Reducción y ordenación de polinomios.

Determinación del valornumérico de una expresión.

Cálculo de sumas, restas y productos de diferentes

polinomios.




• Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes ........................................................................................................... 8, 10



POLINOMIOS3

Monomio Coeficiente Parte literal Grado

12x3

−7ab2

7 5 2 3x y

2

32 3 2m n p

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Dados los polinomios:

realiza las siguientes operaciones.

a)

b)

c)

Haz la división y escribe el dividendo, divisor, cociente y resto.

Efectúa los siguientes productos notables.

a) (x2 − 4)(x2 + 4)

b) (2x + 3)2

Expresa en forma de producto estos polinomios.

a) x2 + 6x + 9

b) 9y2 + 30y + 25

Opera y simplifica las siguientes fracciones.

a)

b)

c)x x

x

2

2

3

9

−−

x x

x

3 26

3

−

8

4

2 3

4 2

x y z

xy z

11

10

9

( ) : ( )x x x x x5 4 34 3 5 2 1+ − + − +

8

P x M x( ) : ( )

Q x M x( ) ( )⋅

P x Q x( ) ( )−

M x x( ) = + 4Q x x x( ) = − −2 3 13 2P x x x( ) = − +4 2 3

7

División de polinomios.

Trabajo con los productos notables.

Determinaciónde cuadrados perfectos.

Simplificación de fraccionesalgebraicas.

• Clasificar y discriminar según criterios ...................................................................................................................

• Contrastar operaciones, relaciones, etc. .................................................................................................................


• Deducir, formular hipótesis, generalizar, etc. .......................................................................................................... 10


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POLINOMIOS3EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES

Tabla.

Factor común.

P(x)

Grado: 3. Término independiente: 9.Valor numérico:

(7x2 + 3x − 2) ⋅ (2x2 − 5x + 8) = 14x4 − 35x3 + 56x2 + 6x3 − 15x2 + 24x − 4x2 + 10x − 16 == 14x4 − 29x3 + 37x2 + 34x − 16

Polinomio opuesto.

a) P(x) − Q(x)

b) Q(x) ⋅ M(x)

c) P(x) : M(x)

Productos notables. a) (x2 − 4)(x2 + 4) = x4 − 16 b) (2x + 3)2 = 4x2 + 12x + 9

Productos notables. a) x2 + 6x + 9 = (x + 3)2 b) 9y2 + 30y + 25 = (3y + 5)2

Simplificación de fracciones algebraicas.

a) c)

b) = − = −x xx

x x2 63

63

( ) ( )x x

x

3 26

3

−

= −− +

=+

x xx x

xx

( )( )( )

33 3 3

x x

x

2

2

3

9

−−

= 2xyz

8

4

2 3

4 2

x y z

xy z

11

10

9

−x 5 + 4x 4 − 3x 3 + 5x − 2

−x5 − 4x4 − 3x3 + 5x − 2

−x5 + 3x4 − 3x3

−x5 − 3x4 − 3x3 + 5x − 2

+ 5x

− 5x − 5

− 7

x + 1

x4 + 3x3 + 5

8

= − + −x x xcociente

3 24 16 66� ��

�

++

2674

resto

x

= + − − −2 5 12 44 3 2x x x x

= − + − +x x x x4 3 22 3 2 47

− = − + − − +P x x x x x( ) 14 29 37 34 164 3 26

5

P( ) ( ) ( ) ( )− = ⋅ − − ⋅ − + − + = −3 4 3 5 3 3 9 1473 2

4

= − + − − + − + + = −( ) ( ) ( ) ( )7 3 3 2 4 3 5 4 4 53 3 2 2 3 2x x x x x x x x ++ +x 93

= + −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟xyz x z z xy7

23

45

2 272

3

4

53 2 3 2 2x yz xyz x y z+ −2

1Monomio Coeficiente Parte literal Grado

12x3 12 x3 3

−7ab2 −7 ab2 3

7 5 2 3x y 7 5 x2y3 5

2

32 3 2m n p

23

m2n3p2 7

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Ecuaciones de 1.er y 2.o grado

CONTENIDOS

ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO

• Concepto de ecuación.

• Elementos del lenguaje: miembros de una ecuación, términos, coeficientes, grado, incógnitas y solución.

• Tipos de ecuaciones según el grado, el número de incógnitas y el número de soluciones.

• Equivalencia de ecuaciones.

• Ecuaciones de primer grado. Algoritmo de resolución.

• Ecuaciones de segundo grado. Ecuaciones completas e incompletas. Algoritmo de resolución.

• Resolución de problemas con ecuaciones.


PRUEBA INICIAL

Las actividades planteadas en la prueba están dirigidasa comprobar que los alumnos tienen asimilados losconceptos básicos sobre ecuaciones y su resolución:mental, por el método de ensayo-error o por métodosmás generales. Se ofrecen también un par de activida-des para trabajar con números y con expresiones alge-braicas.

PRUEBA DE LA UNIDAD

La prueba contiene actividades de procedimientos de launidad: ecuaciones de primer grado con y sin parénte-sis, con y sin denominadores, y ecuaciones de segundogrado incompletas y completas. También hay una seriede problemas para resolver con ecuaciones. Es funda-mental plantear correctamente los problemas, ya quese repasan conceptos conocidos por los alumnos tantode cuestiones numéricas como geométricas.

4INTRODUCCIÓN

Los contenidos de esta unidad son fundamentales en las Matemáticas. Las ecuaciones de primer grado y de segundo grado ya se han trabajado en el primerciclo y no deberían presentar dificultades a losalumnos.

La dificultad del tema se presentará al trabajar con expresiones algebraicas y en la resolución de problemas con ecuaciones. Por ello, seráconveniente plantear problemas de la vida cotidiana y próximos a los alumnos.


Se consideran tres aspectos básicos en el estudio de esta unidad:

• Conocimientos previos de la aritmética de los números reales (Unidades 1 y 2 de 3.º ESO).

• Conceptos y procedimientos sobre ecuacionesestudiados en el curso anterior.

• Conceptos y procedimientos de cálculo con expresiones algebraicas trabajados en el curso anterior, así como también la Unidad 3 de 3.º ESO.

Además, será básico tener capacidad para plantearproblemas mediante ecuaciones y contrastar los resultados con la situación planteada.

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EVALUACIÓN INICIAL

Calcula y simplifica.

Opera y simplifica las expresiones algebraicas.

a) x(x + 3) − (2x + 1)

b) x(3 − x) + 3x2 − 5(x + 3)

c)

Escribe el coeficiente, parte literal y grado de los monomios.

Identifica la incógnita y resuelve las ecuaciones de forma mental o por el método de ensayo-error.

Encuentra dos números pares consecutivos cuya suma sea 126.

Resuelve las ecuaciones de segundo grado incompletas.

a) 3x2 − 75 = 0

b) x2 + 4 = 0

6

5

4

3

x x x

2

1

3

2 4

5+

−−

+( )

2

4

5

3

2

1

6

3

4

2

7⋅ −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ − −

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

1

ECUACIONES DE 1.er Y 2.º GRADO4


−5xz2 −5 xz2 3

8x3y2

17x6

−10,7a3b4

Ecuación Incógnita Solución Ecuación Incógnita Solución

x + 4 = 7y

52=

y − 3 = 5 8 − z = 6

2x = 8 3z − 2 = 10

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PR

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Calcula y simplifica.

Opera y simplifica las expresiones algebraicas.

a) x(x + 3) − (2x + 1) = x2 + 3x − 2x − 1 = x2 + x − 1

b) x(3 − x) + 3x2 − 5(x + 3) = 3x − x2 + 3x2 − 5x − 15 = 2x2 − 2x − 15

c)

Escribe el coeficiente, parte literal y grado de los monomios.

Identifica la incógnita y resuelve las ecuaciones de forma mental o por el método de ensayo-error.

Encuentra dos números pares consecutivos cuya suma sea 126.

Llamamos x y x + 2 a dichos números.

Por tanto: x + (x + 2) = 126 → 2x + 2 = 126 →

→

Los números son 62 y 64.

Resuelve las ecuaciones de segundo grado incompletas.

a) 3x2 − 75 = 0 →

b) x2 + 4 = 0 → x x2 4 4= − = ± −→ → No tiene solución real.

x x xx

2 1

2

753

25 25 55

= = = ± == −

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

→ →

6

2 1241242

62x x= = =→

5

4

3

= −13 5830

x

= + − − + = + − − − =15x x x 15x x x10 1 12 430

10 10 12 4830

( ) ( )x x x

2

1

3

2 4

5+

−−

+( )

2

= ⋅ − = − = − =45

86

1328

3230

1328

195420

253420

4484

5

3

2

1

6

3

4

2

7⋅ −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ − −

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

1

439


−5xz2 −5 xz2 3

8x3y2 8 x3y2 5

17x6 17 x6 6

−10,7a3b4 −10,7 a3b4 7

Ecuación Incógnita Solución Ecuación Incógnita Solución

x + 4 = 7 x 3 y

52= y 10

y − 3 = 5 y 8 8 − z = 6 z 2

2x = 8 x 4 3z − 2 = 10 z 4

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Comprueba si estas expresiones son ecuaciones o identidades.

a) 3(x − 2) + x = 2(3 − x) + 4x − 5

b) 2(x − 3) + x = 4(x − 2) − x + 2

Resuelve la siguiente ecuación de primer grado: 6x − 7 = 2x + 5.

Resuelve la ecuación de primer grado: .

Resuelve la ecuación de primer grado: 3(2x − 5) + 4(7 − 2x) = 2x − 3(2x − 8).

Resuelve la ecuación de segundo grado: 2x2 = 18.

Resuelve la ecuación de segundo grado: x2 + 5x = 0.

Resuelve la ecuación de segundo grado: x2 − 5x + 4 = 0.

Resuelve la ecuación de segundo grado: x (x + 4) = 3(x − 8).8

7

6

5

4

3 57

2 85

xx

x− = − +3

2

1Distinción de si una igualdades ecuación o identidad.

Resolución de ecuacionesde primer grado mediante

diferentes métodos.

Resolución de ecuacionesde segundo grado

completas e incompletas.

• Enumerar e identificar elementos ........................................................................................................................


• Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones ........................................................................... 1, 9

• Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes ........................................................................................................... 9

• Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ............................................................................................................ 2-13


4 ECUACIONES DE 1.er Y 2.º GRADO

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Halla el valor de b en la ecuación x 2 + bx − 20 = 0, sabiendo que una de sus soluciones es x1 = 4. Calcula el valor del discriminante y la otra solución.

La suma de tres números impares consecutivos es 135. Determina dichos números.

¿Por qué número hay que dividir 108 para que el resultado sea igual al triple de dicho número?

Halla los tres números consecutivos que cumplen que la suma de los cuadradosdel menor y el mayor es igual al cuadrado del número intermedio más 18.

La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 4 cm más que el cateto menor y 2 cm más que el cateto mayor. Calcula las longitudes de los tres lados del triángulo.

13

12

11

10

9Determinacióndel discriminante de una ecuación

de segundo grado.

Resolución de problemas de diferentes tipos,

mediante el planteamiento y la resolución

de ecuaciones de primer y segundo grado.






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ECUACIONES DE 1.er Y 2.º GRADO4EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES

a) 3(x − 2) + x = 2(3 − x) + 4x − 5 → 4x − 6 = 2x + 1. Es una ecuación.b) 2(x − 3) + x = 4(x − 2) − x + 2 ⎯→ 3x − 6 = 3x − 6. Es una identidad.

6x − 7 = 2x + 5 → 6x − 2x = 5 + 7 → 4x = 12 →

Ecuación de primer grado.

Eliminamos denominadores: 15x − 25 = 35x − (14x + 56)Quitamos paréntesis: 15x − 35x + 14x = 25 − 56 → −6x = −31

Despejamos la x:

Quitamos paréntesis: 6x − 15 + 28 − 8x = 2x − 6x + 24

Transponemos términos: 2x = 11 y despejamos la x:

2x2 = 18 → → . Dos soluciones: y

x2 + 5x = 0 → x (x + 5) = 0. Dos soluciones: y

x2 − 5x + 4 = 0 →

x(x + 4) = 3(x − 8) → x2 + x + 24 = 0

→ No tiene solución.

Discriminante y soluciones. Si una solución es 4 → 42 + b ⋅ 4 − 20 = 0 → 4b = 4 → b = 1El discriminante es: ∆= 12 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−20) = 1 + 80 = 81

La otra solución es:

Números impares. Llamamos x al número menor: x + (x + 2) + (x + 4) = 135 → 3x = 135 − 6 = 129

Despejamos: x = 43 →

Números. Llamamos x a dicho número:

Tres números.

Triángulo. Llamamos x a la hipotenusa. Los catetos serán x −2 y x −4. x2 = (x −2)2 + (x −4)2 → x2 = x2 −4x + 4 + x2 −8x + 16 →

→ x2 −12x + 20 = 0 → x1 = 10, x2 = 2 (no válida)Los lados miden 6 cm, 8 cm y 10 cm.

13

→ → →→

x x x yx y

2 1

22 15 0 3 3 4 5

5 5 4 3+ − = =

= − − − −⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

,,

x x x x x x x x2 2 2 2 2 22 1 18 4 4 2 1 18+ + = + + + + + = + + +( ) ( ) → →12

1083 108 3

1083

36 62 2

xx x x x= = = = = ±→ → →11

43, 45 y 47

10

x1 = 4x2 = −5

x = − ±1 812

9

x = − ± − ⋅ ⋅⋅

= − ± −1 1 4 1 242 1

1 952

2

8

x1 = 4x2 = 1

x = ± − ⋅ ⋅⋅

= ±5 5 4 1 42 1

5 32

2

7

x2 = −5x1 = 06

x2 = −3x1 = 3x = ± 9x2 182

9= =5

x = 5,5

4

x = 316

3 57

2 85

xx

x− = − +3

x = =124

32

1

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Sistemas de ecuaciones

CONTENIDOS

SISTEMAS DE ECUACIONES

1. Ecuaciones lineales. Representación gráfica de rectas en el plano.

2. Sistemas de ecuaciones lineales.

• Resolución de sistemas. Número de soluciones de un sistema de ecuaciones.

• Representación gráfica de un sistema de ecuaciones.

• Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones: igualación, sustitución y reducción.

• Reglas prácticas para resolver sistemas.

• Resolución de problemas mediante sistemas.


PRUEBA INICIAL

Las actividades planteadas en la prueba están dirigidasa comprobar que los alumnos tienen asimilados losconceptos básicos sobre la representación de puntosen el plano y la resolución de ecuaciones y sistemaspor los métodos habituales de resolución, incluso por elmétodo de ensayo-error.

PRUEBA DE LA UNIDAD

La prueba que se ha diseñado contiene actividades re-lativas a la resolución de sistemas de ecuaciones pordiferentes métodos y problemas para resolver con sis-temas. No es conveniente presentar sistemas incom-patibles, siendo los problemas planteados sencillos deresolver.

5INTRODUCCIÓN

Los contenidos de esta unidad son continuación de la unidad anterior y, por tanto, es fundamental que los alumnos sepan resolver las ecuaciones de primer grado. También es importante la representación gráfica de puntos en el plano, ya que servirá para representar las rectas en el plano y resolver de forma gráfica los sistemas.

La resolución de problemas es uno de los fundamentos de las Matemáticas pues, al resolvernumerosos problemas reales, es necesario resolversistemas de ecuaciones. Para motivar a los alumnospueden planteárseles distintos problemas reales, cuya solución no sea fácil de intuir, y que necesiten del planteamiento y resolución de un sistema.

Mediante un trabajo por ensayo-error, primero, y su resolución mediante sistemas, después, los alumnos apreciarán la sencillez y utilidad de los sistemas para resolver problemas.


Se pueden considerar básicos los conceptosestudiados en 2.º ESO, «Ecuaciones y sistemas», así como también la Unidad 4 de 3.º ESO,«Ecuaciones de 1.er y 2.º grado», y todos aquellosaspectos trabajados en cursos anteriores sobre la resolución de problemas:

• Distinción entre lo que se conoce (dato) y lo que se desconoce (incógnita).

• Realización de diagramas, figuras, esquemas…

• Cálculo con expresiones algebraicas.

• Representación de puntos en el plano.

• Resolución de ecuaciones de primer grado.

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EVALUACIÓN INICIAL

Escribe las coordenadas de los vértices del pentágono.

En los ejes de coordenadas de la figura, representa estos puntos.

A(−1, 3) B(2, −2) C(3, 4) D(0, 2)

Una forma intuitiva de trabajar las ecuaciones y los sistemas es mediante balanzas. Para ello establecemos un equilibrio entre los dos platillos de una balanza, que representan los miembros de una ecuación. Si la balanza está en equilibrio, eso significa que ambos miembros son iguales. Observa las figuras y contesta.

a) Escribe la ecuación determinada por la balanza A. Escribe pares de valores que cumplan dicha ecuación.Haz lo mismo con la balanza B.

b) Indica si hay algún par de valores coincidentes en A y B.

Encuentra dos números naturales cuya suma es 15 y su producto 56.4

3

2

1

SISTEMAS DE ECUACIONES5

Balanza A Balanza B

Y

5A

B

C

D

E

3

1

−1

−3

−4 2−2 4 X

Y

5

3

1

−1

−3

x y 7 x y 2y

−4 1−2 3 5 X

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PR

OP

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E E

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Escribe las coordenadas de los vértices del pentágono.

En los ejes de coordenadas de la figura, representa estos puntos.

A(−1, 3)B(2, −2)C(3, 4)D(0, 2)

Una forma intuitiva de trabajar las ecuaciones y los sistemas es mediante balanzas. Para ello establecemos un equilibrio entre los dos platillos de una balanza, que representan los miembros de una ecuación. Si la balanza está en equilibrio, eso significa que ambos miembros son iguales. Observa las figuras y contesta.

a) Escribe la ecuación determinada por la balanza A. Escribe pares de valores que cumplan dicha ecuación.Haz lo mismo con la balanza B.

Balanza A → x + y = 7 Valores: (0, 7), (−1, 8), (1, 6), (2, 5)…Balanza B → x + y = 2y Valores: (0, 0), (−1, −1), (1, 1), (2, 2)…

b) Indica si hay algún par de valores coincidentes en A y B.

Valores coincidentes: x = 3,5; y = 3,5

Encuentra dos números naturales cuya suma es 15 y su producto 56.

yy

1

2

78

==

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

→ Soluciones: 7 y 8x yy y

y y= −

− ⋅ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

− + =15

15 5615 56 02

( )→ →Sustitución⎯⎯⎯⎯→

x yx y+ =⋅ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

1556

4

3

2

1

445

Puntos:A(2, 4) D(−2, 0)B(4, 0) E(−2, 2)C(1, −1)

Balanza A Balanza B

Y

5A

A

B

B

C

C

D

E

D

3

1

−1

−3

−4 2−2 4 X

Y

5

3

1

−1

−3

x y 7 x y 2y

−4 1−2 3 5 X

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Expresa la ecuación 2(x −3) = 3(y − 2) + 6en la forma lineal ax + by = c,y represéntala en el plano.

En el sistema de ecuaciones lineales: comprueba

si son solución los puntos A(0, 5), B(2, 3) y C(3, 2).

Comprueba si los sistemas son equivalentes.

Resuelve el siguiente sistema por el método de sustitución.

x y

x y

− =+ = −

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

2 6

3 6 6

4

2 4 12

5 2 6

x y

x y

− =+ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

x y

x y

− =+ = −

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

2 6

3 6 6

3

2 3 1253

x yx y+ =+ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

2

1Expresión lineal y representación gráfica de una ecuación lineal.

Comprobación de si un parde valores es o no solución

de un sistema deecuaciones.

Comprobación de sistemasequivalentes.

Búsqueda de la solución de un sistema

de dos ecuaciones con dos incógnitas

por los métodos de sustitución, igualación

y reducción.



• Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones. .......................................................................... 1, 2, 3




SISTEMAS DE ECUACIONES5Y3

1

−2

−4

−3 1−1 3 5 X

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Resuelve el sistema por el método de igualación.

Resuelve el siguiente sistema por el método de reducción.

Resuelve el sistema por el método que consideres más adecuado.

La edad de Luis es tres veces la edad de Ana. Dentro de 5 años, la edad de Luisserá solamente el doble de la edad de Ana. Halla las edades de ambos.

Calcula el valor de las bases de los rectángulos, sabiendo que la suma de sus áreas es 34 cm2 y que el triple de la base mayor es igual al cuádruple de la menor más 4.

9

8

3 1

6 9 32

9x y

x y

+ =− = −

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

7

2 4 3

3 84

x y

x y

+ =− =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

6

x y

x y

+ = −− =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

3 8

2 53

5

Resolución de sistemas deecuaciones por los métodos

más adecuados.

Resolución de problemasreales, planteando

y resolviendo sistemas de ecuaciones lineales.



• Combinar, componer datos y resumir, etc. .............................................................................................................



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3 cm

a b

2 cm

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SISTEMAS DE ECUACIONES5EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES

2(x − 3) = 3(y − 2) + 6 → 2x − 6 = 3y − 6 + 6 → 2x − 3y = 6

Comprobación. A(0, 5) → No, porque 2 ⋅ 0 + 3 ⋅ 5 � 12.B(2, 3) → No, porque 2 ⋅ 2 + 3 ⋅ 3 � 12.C(3, 2) → Sí, porque 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 2 = 12 y 2 + 3 = 5.

Equivalencia de sistemas. La solución de los sistemas es la misma: x = 2 e y = −2.Los sistemas son equivalentes.

⎯→

→

Problema. Llamamos x e y a las edades actuales de Luis y Ana.

Planteamiento del problema:

Dimensiones de la figura. Llamamos a y b a las bases de los dos rectángulos.

Planteamiento del problema: →→ b a= = =30

65 8→

− 3a + 2b = 34

− 3a − 4b = 34

− 3a − 6b = 30

3 2 343 4 4

a ba b

+ == +

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

9

x yx y y y y x

=+ = +

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪ + = + = =

35 2 5 3 5 2 10 5 15( ) → → →

8

x y= − =2333

3411

→27 9 9

6 9 3233 23

32

9

x yx yx y

+ =+ − = −

= −

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

−

−

Reducción⎯⎯⎯⎯⎯→1.ª ⋅ 9

3 1

6 9 32

9x y

x y

+ =− = −

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

7

x y= = = −3514

52

12

→2 4 3

12 4 3214 35

3

4

x yx yx y

+ =+ − =

=

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪−

Reducción⎯⎯⎯⎯⎯⎯→2.ª ⋅ 4

2 4 3

3 84

x y

x y

+ =− =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

6

→

→→ →

x y

xy y

y= − −

= +

⎫

⎬⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

− − = + − −8 3

52

35

216 68 yy y

y x

= +

= − =

5

3 1

→

→ →

x y

x y

+ = −

− =

⎫

⎬⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

3 8

2 53

5

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→→

→x y

y y= +

+ + = −

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

= −6 2

3 6 2 6 624

( )12y →→ →y x= − =2 2

x y

x y

− =+ = −

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

2 6

3 6 6

4

3

2

1

Y3

1

−2

−4

−3 1−1 3 5 X

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Proporcionalidad

CONTENIDOS

PROPORCIONALIDAD

• Proporcionalidad directa e inversa.

• Regla de tres simple directa e inversa.

• Repartos directa e inversamente proporcionales.

• Proporcionalidad compuesta.

• Problemas con porcentajes. Cálculos con porcentajes. Aumentos y disminuciones porcentuales.Porcentajes encadenados.

• Interés simple.


PRUEBA INICIAL

La prueba inicial contiene cinco actividades sobre pro-porcionalidad ya estudiadas en cursos anteriores: averi-guar si dos razones forman o no proporción; calcular elmedio y el cuarto proporcional y resolver ejercicios so-bre porcentajes, así como problemas de la vida cotidia-na sobre el cálculo de porcentajes y proporciones.

PRUEBA DE LA UNIDAD

La prueba de la unidad consta de actividades de losconceptos que se tratan en la unidad: tablas de propor-cionalidad directa e inversa, problemas de reglas detres simples y problemas de repartos proporcionalesy reglas de tres compuestas. La última actividad es decálculo de intereses bancarios, que son aplicacionesde la proporcionalidad directa. Los ejercicios de repar-tos proporcionales y de proporcionalidad inversa y com-puesta (actividades 8 y 9) resultarán complicados paralos alumnos, por lo que habrá que tener cuidado en sudesarrollo.

6INTRODUCCIÓN

El tema de la proporcionalidad numérica es fundamental en las Matemáticas. Los conceptos de proporcionalidad directa e inversa suelen ser intuitivos, pero a veces los alumnos no diferencianentre incrementos lineales y proporcionalidad. Numerosas relaciones de la vida cotidiana como, por ejemplo, repartos proporcionales, recetas de cocina, etc., mantienen relaciones deproporcionalidad y podemos encontrar ejemplos de ello en diarios, revistas…

A lo largo de la unidad se plantearán algoritmos de cálculo aritmético sencillo, por lo que se tendrá que apoyar a los alumnos que tengan más dificultadesen hacerlo.


Los contenidos de esta unidad han sido trabajados en 1.º y 2.º ESO, por lo que conviene hacer un repasode aspectos básicos, como son:

• Razón y proporción. Comprobación de si dos razones forman o no proporción.

• Cálculo del cuarto y medio proporcional de una proporción.

• Elaboración de tablas de proporcionalidad directa.

• Cálculo con porcentajes.

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EVALUACIÓN INICIAL

Averigua si las razones forman o no una proporción: y .

Calcula los números que faltan para completar estas proporciones.

a)

b)

c)

Completa las frases.

a) El % de 50 es 15.

b) El 25 % de es 225.

c) El 37 % de 65 es .

En un partido, un jugador ha obtenido los siguientes resultados. Calcula y escribe los porcentajes en cada caso.

a) De 20 intentos de 2 puntos ha encestado 13.

b) De 8 tiros de 3 puntos ha encestado 4.

c) De 11 tiros libres ha encestado 9.

d) De 20 rebotes en su canasta ha cogido 18.

Para hacer limonada para 6 personas, se utilizan estos ingredientes.

Calcula las cantidades que se necesitarán para hacer limonada para 10 y 15 personas.

5

4

3

3

12=

6

8 4=

8

16

2=

2

2390

37

1

6 personas 10 personas 15 personas

Limones (unidades) 12

Agua (cl) 200

Azúcar (g) 250

PROPORCIONALIDAD6

Limonada (para 6 personas):

12 limones

2 litros de agua

1/4 kg de azúcar

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Averigua si las razones forman o no una proporción: y .

y no forman proporción, ya que 3 ⋅ 90 � 7 ⋅ 23.

Calcula los números que faltan para completar estas proporciones.

a) = c) =

b) =

Completa las frases.

a) Se divide la cantidad entre el total: 30. El % de 50 es 15.

b) Se divide la cantidad entre el porcentaje: 900. El 25 % de es 225.

c) Se multiplica el porcentaje por la cantidad: 37 ⋅ 65 24,05. El 37 % de 65 es .

En un partido, un jugador ha obtenido los siguientes resultados. Calcula y escribe los porcentajes en cada caso.

a) De 20 intentos de 2 puntos ha encestado 13 →

b) De 8 tiros de 3 puntos ha encestado 4 →

c) De 11 tiros libres ha encestado 9 →

d) De 20 rebotes en su canasta ha cogido 18 →

Para hacer limonada para 6 personas, se utilizan estos ingredientes.

Calcula las cantidades que se necesitarán para hacer limonada para 10 y 15 personas.

5

1820

100 90⋅ = %

911

100 81 8⋅ = , %

48

100 50⋅ = %

1320

100 65⋅ = %

4

24,05⋅ 100⎯⎯⎯⎯→

900⋅ 100⎯⎯⎯⎯⎯⎯→22525

30⋅ 100⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→1550

3

3

4

6

8

6

12

3

6

2

4

8

16

2

2390

37

2390

37

1

451

Limonada (para 6 personas):

12 limones

2 litros de agua

1/4 kg de azúcar

6 personas 10 personas 15 personas

Limones (unidades) 12 20 30

Agua (cl) 200 333,33 500

Azúcar (g) 250 416,67 625

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Clasifica las siguientes magnitudes en directa o inversamente proporcionales.

a) El perímetro de un cuadrado y su área.

b) El lado de un cuadrado y su perímetro.

c) El número de fotocopias y su precio.

d) La velocidad y el tiempo que se tarda en recorrer un trayecto.

Completa las tablas para que sean de proporcionalidad directa.

a) b)

Comprueba si las tablas son de proporcionalidad inversa.

a) b)

Calcula las constantes de proporcionalidad de los dos ejercicios anteriores.

Si un grupo de amigos pagan 81 € por 6 menús, ¿cuánto vale cada menú?¿Cuánto hubiesen pagado por 4 menús?

En un refugio de montaña hay comida para alimentar a seis personas durante un mes. Si vienen tres personas más, ¿para cuántos días tendrán comida?

6

5

4

3

2

1Distinción de si dosmagnitudes son o no

proporcionalesy de qué tipo.

Elaboración de tablas de proporcionalidad

directa e inversa.

Cálculo de la constante de proporcionalidad.

Aplicación de las reglas de tres para resolverproblemas de la vida

cotidiana.







PROPORCIONALIDAD6

M 2 3 4

N 5 10

M 2 3 4

N 6 4 3

M 0,5 1,75 3

N 7 42

M 0,5 2 3

N 10 2,25 1,75

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Tres socios deciden ampliar el capital de la empresa en 84.000 €,de forma directamente proporcional al número de acciones de cada uno: 100, 200 y 400. ¿Cuánto ha de aportar cada socio?

Al cabo de un año, una empresa ha tenido unas pérdidas de 14.000 €,y sus tres socios deciden reponer el dinero de forma inversamente proporcionalal número de hijos de cada uno: 1, 2 y 4. ¿Cuánto ha de aportar cada socio?

En la construcción de un edificio trabajaron 100 personas en turnos de 8 horas durante 60 días. ¿Cuánto habrían tardado si los turnos fuesen de 10 horas?

Un artículo cuesta 261 €, incluido el 16 % de IVA. Si se hace un 20 % de rebaja sobre el precio sin IVA, ¿cuál será el precio final?

Calcula el interés producido por un capital de 250 € en 3 años al 2,5 % de interés.

11

10

9

8

7Aplicación de los repartosproporcionales para resolver

problemas de la vidacotidiana.

Aplicación de las reglas de tres compuestas

para resolver problemas reales.

Resolución de problemas mediante porcentajes.

Utilización de la fórmula del interés simple

para calcular intereses,tiempos o capitales

en situaciones reales.






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PROPORCIONALIDAD6EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES

a) El perímetro de un cuadrado y su área → No son proporcionales.b) El lado de un cuadrado y su perímetro → Son directamente proporcionales.c) El número de fotocopias y su precio ⎯⎯→ Son directamente proporcionales.d) La velocidad y el tiempo que se tarda en recorrer un trayecto → Son inversamente proporcionales.

a) b)

La opción a) sí es de proporcionalidad inversa, pero la b) no lo es, ya que 0,5 ⋅ 10 � 2 ⋅ 2,25 � 3 ⋅ 1,75.

Constantes. Ejercicio 2:

Ejercicio 3: k = 2 ⋅ 6 = 12

54 €

Comida–Días. Son magnitudes inversamente proporcionales:

6 personas → 30 días9 personas → días

Empresa (1). Llamamos A, B y C a las cantidades que han de aportar. Se ha de cumplir que:

→

→ A = 100 ⋅ 120 = 12.000 €; B = 200 ⋅ 120 = 24.000 €; C = 400 ⋅ 120 = 48.000 €

Empresa (2). Llamamos A, B y C a las cantidades que han de aportar. Se ha de cumplir que:

Además, la suma ha de ser 14.000 €:

→ k = 8.000 → A = 8.000 €; B = 4.000 €; C = 2.000 €

En ambos casos, las magnitudes personas–días y horas–días son inversamente proporcionales.

Porcentajes. Cálculo del precio sin IVA: 225 €. Por tanto, el precio con la rebaja es: 225 ⋅ 0,80 = 180 €.

Añadiendo el 16 % de IVA: 180 ⋅ 1,16 = 208,80 € es el precio final.

Interés. €IC r t= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =100

250 2 5 3100

,18,7511

2611 16,

=10

200100

108

60 60 100 8200 10

24⋅ = = ⋅ ⋅⋅

=x

x→ días

9

kk k k+ + = =2 4

74

14 000.

A B C k Ak

Bk

Ck⋅ = ⋅ = ⋅ = = = =1 2 4

1 2 4→ ; ;

8

A B C100 200 400

84 000100 200 400

84 000700

= = =+ +

=. .→ kk = 120

7

x

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

⋅ = ⋅ = =→ →6 30 9180

9x x 20 días

6

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

= = ⋅ =→ →64

81 81 46x

x6 menús → 81 €

4 menús → x €

5

k ka b= = = =25

0 40 57

,,

0,0714285�4

3

2

1

M 2 3 4

N 5 7,5 10

M 0,5 1,75 3

N 7 24,5 42

Personas Días Horas

100 60 8

200 x 10

I Iinversa inversa

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Progresiones

CONTENIDOS

PROGRESIONES

• Leyes de formación de sucesiones. Término general. Sucesiones recurrentes.

1. Progresiones aritméticas.

• Cálculo del término general.

• Suma de n términos de una progresión aritmética.

2. Progresiones geométricas.

• Cálculo del término general de una progresión geométrica.

• Suma de n términos de una progresión geométrica.

• Suma de todos los términos de una progresión geométrica con ⏐r⏐ < 1.

• Producto de n términos de una progresión geométrica.

3. Interés compuesto.


PRUEBA INICIAL

En esta prueba se ofrecen tres actividades de cálculocon fracciones, decimales y potencias para comprobarsi los alumnos recuerdan estos conceptos, que han sidoestudiados en unidades anteriores y que se usan en laaplicación de las diferentes fórmulas de la unidad.

PRUEBA DE LA UNIDAD

Esta es una prueba esencialmente procedimental. Secomienza con actividades de sucesiones en general,para resolver después aspectos concretos de proble-mas de progresiones: cálculo de leyes de formación,términos generales, sumas de progresiones… Y se finaliza la prueba con unos problemas de aplicaciónnumérica, geométrica y de comparación de interesessimple y compuesto.

7INTRODUCCIÓN

En esta unidad se estudian las sucesiones y, en particular, las progresiones, que cumplen unas reglas determinadas. Las sucesiones aparecenen diversos campos: medicina, genética (distribuciónde los caracteres sexuales), informática (utilización dealgoritmos recursivos), economía (cálculo del interéssimple y compuesto), etc.

Uno de los problemas con los que se encuentran los alumnos es el cálculo del término general de unasucesión; por ello se han de explicar detenidamentelas formas de razonamiento, aunque en lasprogresiones aritméticas y geométricas la forma deobtención es más sencilla que en sucesiones de otrostipos. También se ha de tener cuidado con el cálculode las fórmulas que aparecen en la unidad: cálculo delos términos generales, sumas de progresiones y producto de n términos, así como la suma de infinitos términos, para asegurarse de que los alumnos no las aplican de manera automática.


Esta unidad se relaciona con las distintas operacionesaritméticas: fracciones, decimales y potencias, que son básicas en el desarrollo de la unidad. Además, las cuestiones referidas a las regularidades en aspectos numéricos o geométricos serán esencialespara entender las leyes de formación de unaprogresión.

Se podrán proponer en la pizarra secuencias de figuras o numéricas que sigan alguna regularidad, y pedir a los alumnos que traten de deducir cuáles serán los siguientes términos. Es interesante tambiénque sean ellos los que creen la secuencia y que sus compañeros adivinen la regla de formación.Conviene repasar estos aspectos.

• Operaciones con fracciones y decimales.

• Potenciación y radicación de números naturales y enteros.

• Estudio de regularidades geométricas y numéricas.

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EVALUACIÓN INICIAL

Realiza las operaciones y escribe el resultado en forma decimal.

0,02� − =

Completa las siguientes igualdades.

a) 220 ⋅ 103 = 2,2 ⋅ 10 b) 7 ⋅ 10−2 = 0,7 ⋅ 10 c) 6,4 ⋅ 105 = ⋅ 107

Calcula y expresa en notación científica.

a)

b) 2,3 ⋅ 104 + 1.000.000 =

c)

d) (2,5 ⋅ 104) ⋅ (0,2 ⋅ 10−2) =

Esta serie está formada por cuadrados de 1 cm de lado.

a) ¿Cuántos cuadrados tiene cada figura más que la figura anterior?

b) Halla el perímetro de cada una de las figuras. ¿Podrías calcular el perímetro de la siguiente figura sin necesidad de dibujarla?

c) Escribe el área de las figuras. ¿Podrías obtener el área de la siguiente figura? ¿Y podrías hallar el área de la figura 10 sin tener que dibujar las anteriores?

d) Completa la tabla siguiente.

Los paramecios son organismos unicelulares que se reproducen por bipartición. Un biólogo estudia una población de paramecios y observa que en 1 mm2 hay 5.000 paramecios. Si cada 3 horas se duplica la población, completa la tabla de forma exacta para t = 3, 6, 9 y 24 horas, y de formaaproximada para t = 1 y 2 horas. Determina el tiempo que tardará en alcanzarse una población de 100.000 paramecios.

5

4

0 0000045

15 103

,

⋅=

3 200 000 000

0 0008

. . .

,=

3

2

5

72 10 2+ ⋅ −4

6+

1

PROGRESIONES7

Figura 1 2 3 4 5 … 10

N.° de cuadrados 1 2 3

Perímetro 4 6

Área 1 2

Tiempo (horas) inicio 1 2 3 6 9 … 24 …

N.° de paramecios 5.000 100.000

826523 _ 0455-0460.qxd 27/4/07 13:54 Página 456



PR

OP

UE

STA

S D

E E

VALU

AC

IÓN

Realiza las operaciones y escribe el resultado en forma decimal.

0,02� − =

Completa las siguientes igualdades.

a) 220 ⋅ 103 = 2,2 ⋅ 10 b) 7 ⋅ 10−2 = 0,7 ⋅ 10 c) 6,4 ⋅ 105 = ⋅ 107

Calcula y expresa en notación científica.

a)

b) 2,3 ⋅ 104 + 1.000.000 = 23.000 + 1.000.000 = 1.023.000 = 1,023 ⋅ 106

c)

d) (2,5 ⋅ 104) ⋅ (0,2 ⋅ 10−2) = 2,5 ⋅ 104 ⋅ 2 ⋅ 10 −3 = 5 ⋅ 101

Esta serie está formada por cuadrados de 1 cm de lado.

a) ¿Cuántos cuadrados tiene cada figura más que la figura anterior?

Cada figura tiene un cuadrado más que la figura anterior.b) Halla el perímetro de cada una de las figuras. ¿Podrías calcular el perímetro de la siguiente figura sin necesidad

de dibujarla? Perímetros = {4, 6, 8, 10, 12}. La siguiente figura tendrá un perímetro de 14 cm. c) Escribe el área de cada una de las figuras. ¿Podrías obtener el área de la siguiente figura?

¿Y podrías hallar el área de la figura 10 sin tener que dibujar las anteriores?

Áreas = {1, 2, 3, 4, 5}. La siguiente figura tendrá 6 cm2 de área y la 10.ª figura 10 cm2.d) Completa la tabla siguiente.

Los paramecios son organismos unicelulares que se reproducen por bipartición. Un biólogo estudia una población de paramecios y observa que en 1 mm2 hay 5.000 paramecios. Si cada 3 horas se duplica la población, completa la tabla de forma exacta para t = 3, 6, 9 y 24 horas, y de formaaproximada para t = 1 y 2 horas. Determina el tiempo que tardará en alcanzarse una población de 100.000 paramecios.

5

4

4 5 101 5 10

3 106

410,

,⋅⋅

= ⋅−

−0 0000045

15 103

,

⋅=

3 2 108 10

0 4 10 4 109

413 12,

,⋅

⋅= ⋅ = ⋅

−

3 200 000 000

0 0008

. . .

,=

3

0,064−15

2

= − = − = −6812 600

173 150

0 00539682. .

, �

46

290

57

2100

8 400 280 9 000 25212 600

+ − + = + − + =. ..

5

72 10 2+ ⋅ −4

6+

1

457

Figura 1 2 3 4 5 … 10

N.° de cuadrados 1 2 3 4 5 … 10

Perímetro 4 6 8 10 12 … 22

Área 1 2 3 4 5 … 10

Tiempo (horas) inicio 1 2 3 6 9 … 24 …13

(apróx.)

N.° de paramecios 5.0006.300(apróx.)

7.940(apróx.) 10.000 20.000 40.000 … 1.280.000 … 100.000

826523 _ 0455-0460.qxd 27/4/07 13:54 Página 457



Determina el término siguiente de cada una de las sucesiones.

a) 2, 5, 8, 11, … c) 1, 3, 9, 27, …

b) d) 4, 9, 16, 25, 36, …

Escribe los cinco primeros términos de las sucesiones cuyos términos generales son:

a) 2n +1 b) n2 − 2 c)

De una progresión aritmética se conocen a15 = 45 y a32 = 79.Calcula la diferencia de la progresión y la suma de los 32 primeros términos.

Halla el término general de las progresiones geométricas.

a) 5, 15, 45, 135, …

b)

c) 1, −2, 4, −8, …

En una progresión geométrica, a5 = 4 y a9 = 16. Calcula la razón y el término 20 de esta progresión.

5

21

2

1

8

1

32, , , , …

4

3

n

n

++

2

2 3

2

1

3

1

7

1

11

1

15, , , , …

1Aplicación de métodosdeductivos para calcular

un término de una sucesión.

Aplicación de una fórmulapara calcular los términos deuna sucesión a partir de una

ley de formación.

Cálculo del término generalde una progresión aritmética

y la suma de una cantidadde términos.

Cálculo del término generalde una progresión

geométrica.




• Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes ........................................................................................................... 1, 8, 9, 10



PROGRESIONES7826523 _ 0455-0460.qxd 27/4/07 13:54 Página 458


Calcula la suma de los 20 términos de la anterior progresión geométrica.

Halla el producto de los 10 primeros términos de una progresión geométricasabiendo que a1 = 2 y r = 3.

Encuentra 5 múltiplos de 7 que sean consecutivos y cuya suma sea 245.

Dado un cuadrado de 1 m de lado, unimos los puntos medios de sus lados,obteniendo un nuevo cuadrado, en el que volvemos a efectuar la mismaoperación, y así sucesivamente. Halla la suma de las infinitas áreas obtenidas.

Dos amigos invierten 1.000 € en dos bancos diferentes. Al primero le dan un 3,5 % de interés simple y al segundo un 3,32 % de interés compuesto.Después de 5 años, ¿quién obtendrá más ganancias?

10

9

8

7

6Cálculo de la suma de términos de una

progresión geométrica.

Resolución de problemasreales donde aparezcanprogresiones aritméticas

y geométricas y queimpliquen el uso

de estos conceptos.

• Clasificar y discriminar según criterios ................................................................................................................... 8, 9, 10


• Combinar, componer datos, resumir, etc. .............................................................................................................. 1, 3, 4



PR

OP

UE

STA

S D

E E

VALU

AC

IÓN

459

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PROGRESIONES7EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES

a) 2, 5, 8, 11, … 14 c) 1, 3, 9, 27, … 81

b) d) 4, 9, 16, 25, 36, … 49

a) 2n +1 → 3, 5, 7, 9, 11, … c) →b) n2 − 2 → −1, 2, 7, 14, 23, …

Cálculo de la diferencia y la suma de términos de una progresión aritmética.

Calculamos el primer término:

La suma es:

a) 5, 15, 45, 135, … → an = 5 ⋅ 3n−1 c) 1, −2, 4, −8, … → an = (−2)n−1

b) → an = 2−2n+3

Cálculo de la razón y un término de una progresión geométrica.

am = an ⋅ rm−n →

El término 20 es:

Suma de los términos de una progresión geométrica.

Calculamos el primer término:

La suma es:

Múltiplos de 7. Forman una progresión aritmética, cuyos términos serán: 7n, 7(n + 1), 7(n + 2), 7(n + 3) y 7(n + 4)

Áreas de cuadrados.

Es una progresión geométrica: , cuya suma es: 1,3�.

Inversiones. Interés simple: 1.175 €

Interés compuesto: €C Cr

f

t

= +⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = ⋅ =0

51100

1 000 1 033. , 1.176,226

C CC r t

f = + ⋅ ⋅ = + ⋅ ⋅ =0100

1 0001 000 3 5 5

100.

. ,10

S� =−

=1

114

114

116

164

, , , , ...⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

9

2457 7 28

25 7 14 5 35 70= + +⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ = + ⋅ = +n n

n n( ) →→ →n = =24535

7 49 56 63 70 77{ , , , , }

8

P a a a a r10 1 1010

1 19 10 9 102 2 3= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅( ) ( ) ( )7

Sa r

r20

120 20 101

11 2 1

2 1

2 1

2 1

1 023= −−

= −

−= −

−=( ) ( ) .

22 1−

a a aa

5 14

152

444

1= ⋅ = = =→

6

a a a20 1 2019 92 2 2 2 2 2 1 024 2= ⋅ = = ⋅ =( .)19 →

2raa

aa

m

n

m n= = = = =− − 9

5

9 5 4 4164

4

5

21

2

1

8

1

32, , , , …

4

Sa a

321 32

232

17 792

= +⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ = +⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅⋅ = ⋅ =32 48 32 1 536.

a a d a1 15 115 1 45 14 2 17= − − ⋅ = − ⋅ =( ) →

2→ da am nm n= −

−= −

−= =79 45

32 153417

a a m n dm n= + − ⋅( )

3

35

47

59

611

713

, , , , , ...n

n

++

2

2 32

( )2

⎯⎯⎯→119

⎯⎯⎯→

14+1

3

1

7

1

11

1

15, , , , …

⋅ 3⎯⎯⎯→+ 3⎯⎯⎯→1

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Figuras planas

CONTENIDOS

LUGARES GEOMÉTRICOS• Rectas y puntos notables de un triángulo.

TEOREMA DE PITÁGORAS• Cálculo de la altura de un triángulo.

• Cálculo de la diagonal de un paralelogramo.

ÁREAS DE FIGURAS PLANAS• Triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares.

• Figuras circulares: círculos, sectores, segmentos y coronas circulares.


PRUEBA INICIAL

La prueba consta de actividades referidas a aspectosque han de ser conocidos por los alumnos: operacio-nes con ángulos, propiedades de los triángulos, cons-trucciones y áreas de figuras planas, principalmentecomo aplicación del teorema de Pitágoras.

PRUEBA DE LA UNIDAD

De las tres partes en las que hemos dividido la unidad,se proponen actividades referidas a construcciones:actividades 1, 2 y 3; al teorema de Pitágoras y sus apli-caciones: actividades 4, 5 y 6, siendo las últimas activi-dades referidas al cálculo de áreas geométricas.

8INTRODUCCIÓN

En esta unidad se repasan y se amplían algunascuestiones ya estudiadas en el primer ciclo de ESO.Básicamente la unidad está dividida en tres partes:construcciones con regla y compás, el teorema de Pitágoras y sus aplicaciones en el cálculo delongitudes de figuras, que será fundamental en el cálculo de áreas.

Para facilitar la comprensión de las construcciones es conveniente utilizar programas como, por ejemplo,Cabri-Géomètre. Para el estudio de las dos partesfinales de la unidad, se puede señalar a los alumnos la presencia de las figuras planas en multitud de objetos, construcciones, etc., así como recalcar la importancia de conocer sus propiedades y áreas.


La mayoría de los contenidos de esta unidad se han trabajado de forma total o parcial en cursosanteriores. Será conveniente hacer un repaso de conceptos como los siguientes.

• Construcciones de triángulos.

• Operaciones con ángulos.

• Propiedades de los triángulos.

PR

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STA

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VALU

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IÓN

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EVALUACIÓN INICIAL

En el triángulo de la figura, traza mediante regla y compás las tres mediatrices.

Calcula la longitud de los ángulos x$, y$, z$.

Observa la figura y demuestra que la suma de los cuatro ángulos del polígono vale 360°, basándote en las propiedades de los triángulos.

Calcula el área de las siguientes figuras.

a)

b)

4

3

2

1

FIGURAS PLANAS8C

A B

C

A B

80° 47° 16°

x$

y$

z$

D

C

O

3 cm

1,75 cm

1,75 cm

A

B

D

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PR

OP

UE

STA

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E E

VALU

AC

IÓN

En el triángulo de la figura, traza mediante regla y compás las tres mediatrices.

Calcula la longitud de los ángulos x$, y$, z$.

Observa la figura y demuestra que la suma de los cuatro ángulos del polígono vale 360°, basándote en las propiedades de los triángulos.

Calcula el área de las siguientes figuras.

a)

b)

4

3

2

1

463

Se trazan las mediatrices de los tres ladosmediante un compás, y el punto de intersección nos da el circuncentro del triángulo.

En el triángulo ABC:x$ = 180° − (80° + 47°) == 180° − 127° = 53°

El ángulo z$ es el complementario de B$:z$ = 90° − 47° = 53°

En el triángulo rectángulo BDE:y$ = 90° − 16° = 74°

Los ángulos A$ y C$ abarcan un diámetro, por lo que son ángulos rectos, o sea: A$ + C$ = 180°.

Por otra parte, en los triángulos BAD y DCB se cumpleque: B$2 + D$2 = 90° y B$1 + D$1 = 90°,siendo la suma de los dos ángulos: B$ + D$ = B$1 + B$2 + D$1 + D$2 = 180°.

A = 3 ⋅ 1,75 = 5,25 cm2

A = + ⋅⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =1 75

12

1 752

4 272

2

2,,

,π cm

C

A B

C

A B

80° 47° 16°

x$

y$

z$

D

3 cm

1,75 cm

1,75 cm

C

O

A

B$2

B$1

D$2

D$1

B

D

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Determina el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los dos extremos del segmento de 5 cm de la figura. Explica cómo lo haces y di cómo se denomina este punto.

Dibuja las medianas del triángulo ABC. ¿Cómo se llama su punto de intersección?

Dibuja un triángulo equilátero de 3 cm de lado y determina la circunferenciainscrita en dicho triángulo.

Completa la tabla siguiente.4

3

2

1Construcción con regla y compás de diferentes

lugares geométricos.

Trazado de las mediatrices,bisectrices, alturas

y medianas de un triángulo.


• Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. .............................................................................. 4

• Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones ........................................................................... 1, 2, 3




FIGURAS PLANAS8

Hipotenusa Cateto Cateto

3 4

13 5

10 8

5 8

C

A

B

A B

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En un triángulo isósceles, los lados iguales miden 4 cm y el lado diferente 7,3 cm.Calcula cuánto mide la altura sobre el lado diferente.

Halla el valor de la diagonal del cuadrado de lado 6 cm.

Determina el área del cuadrado interior de la figura, sabiendo que el área del cuadrado exterior es 14,67 cm2.

Obtén el área sombreada de la figura, si el diámetro de la circunferencia mayormide 8 cm.

Calcula cuánta pintura de color rojo se necesita para pintar la señal de tráfico, si el diámetro de la circunferencia mide 40 cm, las dimensiones del rectángulo son 25 ×8 cm y sabemos que con 1 kg de pintura se pueden pintar 4 m2

de superficie.

9

8

7

6

5Aplicación del teorema de Pitágoras para el cálculode elementos en triángulos

y polígonos.

Cálculo del área de polígonos regulares

o de figuras planas comoaplicación del teorema

de Pitágoras.

Resolución de problemas de la vida cotidiana

como aplicación del teoremade Pitágoras y de las áreas

de figuras planas.

• Clasificar y discriminar según criterios ................................................................................................................... 4





PR

OP

UE

STA

S D

E E

VALU

AC

IÓN

465

2,94 cm

A1

A2

A3

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FIGURAS PLANAS8EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES

Lugar geométrico.

Se dibujan dos arcos de igual radio, y con centro los extremos del segmento. Uniendo los puntos de corte obtenemos la mediatriz.

Medianas de un triángulo.

Mediante un proceso como el anterior buscamos los puntos medios de los lados del triángulo: M, N y P. Después, unimos los vértices con los puntos medios de los lados opuestos.

Puntos notables de un triángulo.

Dibujamos el triángulo equilátero y, después, las bisectrices de dos de los vértices. El punto de corte de las dos bisectrices será el centro de la circunferencia inscrita.

Tabla.4

3

2

1 Aplicación del teorema de Pitágoras.

Aplicación del teorema de Pitágoras.

Llamamos x al valor de la diagonal:

Área. Calculamos el lado del cuadrado mayor:

Lx = 3,83 − 2,94 = 0,89 cm

l2 = 2,942 + 0,892

A = l2 = 2,942 + 0,892 = 9,4357 cm2

Área de la figura.

El área total será:

A = A1 + A2 + A3 = 4π

Pintura.A = π ⋅ 202 − (25 ⋅ 8) = 1.056 cm2

Planteamos una regla de tres:4 ⋅ 104 cm2 ⎯→ 1.000 g 1.056,6 cm2 → g

Por tanto, se necesitan x = 26,415 g de pintura.

x⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

9

232

12

π π π+ + =

A321

21

12

= ⋅ =π π

A22 21

22

12

132

= ⋅ − ⋅ =π π π

A12 21

44

12

2 2= ⋅ − ⋅ =π π π

8

= =14 67 3 83, , cm

7

x = + = ≈6 6 72 8 492 2 , cm

6

h AD= = −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =4

7 32

1 642

2,

, cm

5

Hipotenusa Cateto Cateto

5 3 4

13 5 12

10 8 6

89 5 8

C

A

A

B

B

N M

P

D C

h4 cm 4 cm

7,3 cm

A

B

A1

A2

A3

2,94 cm

Baricentro G

x

L

l

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Cuerpos geométricos

CONTENIDOS

CUERPOS GEOMÉTRICOS

1. Poliedros.

• Tipos de poliedros. Poliedros regulares.

• Prismas. Área de un prisma.

• Pirámides. Área de una pirámide.

2. Cuerpos redondos.

• Cilindro.

• Cono.

• Esfera.

3. Volúmenes de cuerpos geométricos.

• Principio de Cavalieri.

• Volumen del prisma y el cilindro.

• Volumen de la pirámide y el cono.

• Volumen de la esfera.

4. La esfera terrestre.


PRUEBA INICIAL

La prueba contiene una serie de actividades de repasode aspectos básicos de la Geometría tridimensional: pla-nos, rectas y puntos; es decir, caras, aristas y vértices enpoliedros (actividades 1 y 2), clasificación de un prisma,fórmula de Euler (actividad 3), dibujo de un cono y teo-rema de Pitágoras (actividad 4) y operaciones con ángu-los (actividad 5).

PRUEBA DE LA UNIDAD

Las tres primeras actividades son de identificación ydesarrollo de cuerpos geométricos. El resto son ejerci-cios o problemas relacionados con el cálculo de áreas y volúmenes, así como con el teorema de Pitágoras.

9INTRODUCCIÓN

Los contenidos de esta unidad son, en parte,conceptuales, de conocimiento de los poliedros y sus tipos, o el concepto de volumen de un cuerpogeométrico, pero mayoritariamente se trata decontenidos procedimentales: cálculo de áreas y volúmenes de los cuerpos geométricos.

La primera parte de la unidad son cuestiones yaconocidas por los alumnos relativas a la identificación,caracterización y desarrollo de cuerpos geométricos.Conviene señalar también que el desarrollo y construcción de los cuerpos geométricos les proporcionará una importante visión espacial.

La segunda parte de la unidad contiene fórmulas quelos alumnos deben conocer y aplicar perfectamente,utilizando más la reflexión y la deducción que la memorización.


Salvo el estudio de la esfera terrestre, todos los contenidos de la unidad han estado tratados en 2.º ESO. Será conveniente repasar alguno de los conceptos estudiados, aunque se vuelvan a revisar a lo largo de la unidad. Estos contenidos se pueden resumir en:

• Reconocimiento de las diferentes posiciones de puntos, rectas y planos en el espacio.

• Diferenciación de los elementos principales, tipos y partes de un poliedro.

• Operaciones con ángulos y tiempos.

• Teorema de Pitágoras.

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EVALUACIÓN INICIAL

Observa el prisma de la figura y contesta.

a) ¿Qué tipo de polígono es la base?

b) ¿Qué polígonos forman las caras laterales?

c) ¿Cuál es el vértice opuesto a A'?

d) ¿Cuál es la arista opuesta a BC?

e) ¿Y la cara opuesta a BB'C'C?

Esta figura es un poliedro. Contesta a las siguientes preguntas.

a) ¿Cuántas caras tiene y de qué tipo son?

b) ¿Cuántas clases de ángulos hay? Señala un ejemplo de cada uno de ellos.

c) ¿Cuántas caras coinciden en el ángulo poliedro D$?

Sabiendo que un prisma tiene 8 caras, resuelve.

a) ¿Cuál será su base?

b) ¿Cuántos vértices tendrá?

c) Aplica la fórmula de Euler y calcula su número de aristas.

d) Dibuja el prisma y comprueba los cálculos realizados.

Dibuja un cono y señala el vértice, la generatriz y la altura. Si la base tiene un radio de 3 cm y la generatriz mide 5 cm, ¿cuánto mide la altura?

Dado el ángulo: 37° 35' 12", halla su complementario, su ángulo doble y mitad.5

4

3

2

1

CUERPOS GEOMÉTRICOS9C'

A B

CD

A' B'

D'

E'

AB

C

D

E

A'B'

C'

D'

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PR

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IÓN

Observa el prisma de la figura y contesta.

a) ¿Qué tipo de polígono es la base? Es un rectángulo.b) ¿Qué polígonos forman las caras laterales? Son romboides.c) ¿Cuál es el vértice opuesto a A'? Cd) ¿Cuál es la arista opuesta a BC? A'D'e) ¿Y la cara opuesta a BB'C'C? AA'D'D

Esta figura es un poliedro. Contesta a las siguientes preguntas.

a) ¿Cuántas caras tiene y de qué tipo son?

Hay 7 caras, 2 son pentágonos y 5 rectángulos.b) ¿Cuántas clases de ángulos hay?

Señala un ejemplo de cada uno de ellos.

Hay ángulos rectos (A'E'E) y de 108° (CBA).c) ¿Cuántas caras coinciden en el ángulo poliedro D$?

Coinciden 3 caras: 2 rectángulos (DD'E'E y DCC'E)y 1 pentágono (DEABC).

Sabiendo que un prisma tiene 8 caras, resuelve.

a) ¿Cuál será su base?

Como es un prisma, tiene dos bases y el resto son caras laterales, 8 − 2 = 6. El prisma es hexagonal, es decir, la base es un hexágono.

b) ¿Cuántos vértices tendrá?

Tendrá 6 vértices en la cara superior y otros 6 vértices en la inferior; es decir, 12 vértices.

c) Aplica la fórmula de Euler y calcula su número de aristas.

C + V = A + 2 → A = C + V − 2 = 8 + 12 − 2 = 18d) Dibuja el prisma y comprueba los cálculos realizados.

Dibuja un cono y señala el vértice, la generatriz y la altura. Si la base tiene un radio de 3 cm y la generatriz mide 5 cm, ¿cuánto mide la altura?

Aplicamos el teorema de Pitágoras:

Dado el ángulo: 37° 35' 12", halla su complementario, su ángulo doble y mitad.

37 35 12

90 37 35 12

°

Complementario: ° °

' "

' "

→

− ==⋅ =

52 24 482 37 35 12 75 10 24

°Doble: ° °

' "' " ' "

MMitad: ° °12

37 35 12 18 47 36⋅ =

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪ ' " ' "⎪⎪⎪⎪

5

g h r h g r2 2 2 2 2 2 25 3= + = − = − =→ 4 cm

4

3

2

1

469

C'

A B

CD

A' B'

D'

E'

AB

C

D

E

A'B'

C'

D'

Vvértice

ggeneratrizh

altura

r

826523 _ 0467-0472.qxd 27/4/07 13:57 Página 469



¿Qué poliedros regulares puedes formar usando cuadrados como caras?¿Cuántas caras coinciden en cada vértice? ¿Y si usas pentágonos?

Cuenta el número de caras, aristas y vértices de los dos poliedros de la figura.Clasifica los poliedros y comprueba que se cumple la relación de Euler.

Dibuja una pirámide hexagonal y un prisma pentagonal. Averigua cuántas caras,vértices y aristas tiene cada uno de ellos. Dibuja sus desarrollos planos.

Calcula el área del prisma de la figura.

La pirámide de Keops es de base cuadrada y mide 233 m de lado y 148 m de altura. Calcula el área lateral y total de esta pirámide.

5

4

3

2

1Reconocimiento y distinción de los poliedros, sus tipos

y comprobación de sus propiedades

y si cumplen o no la fórmula de Euler.

Diferenciación de los prismas y pirámides,

sus elementos y tipos.

Cálculo del área de pirámides, prismas

y cuerpos redondos.

• Enumerar e identificar elementos ........................................................................................................................ 1, 2, 3


• Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones ...........................................................................




CUERPOS GEOMÉTRICOS9

a) b)

a = 5 cm

b = 4 cm

c = 3 cm

826523 _ 0467-0472.qxd 27/4/07 13:57 Página 470


Calcula el área de las dos figuras.

Halla el volumen comprendido entre el cubo y la esfera de la figura.

Calcula el volumen de una taza que tiene forma de semiesfera de 10 cm de diámetro.

Un local tiene las siguientes dimensiones: 4 m de ancho, 3,5 m de largo y 3 m de altura. ¿Se podrá introducir en él un poste de 6,5 m de largo?

Las coordenadas de Barcelona son: 41° 24' N 2° 9' E. Calcula las coordenadas de sus antípodas.

10

9

8

7

6

Cálculo de volúmenes de prismas, pirámides,

y cuerpos redondos, y manejo de los mismospara plantear y resolverproblemas del entorno.

Localización de un punto en la Tierra mediante

sus coordenadasgeográficas.


• Contrastar operaciones, relaciones, etc. ................................................................................................................. 2




PR

OP

UE

STA

S D

E E

VALU

AC

IÓN

471

a) b)

r = 5 cm

3 cm

6 cm

1,5 cm

13 cm

GG

826523 _ 0467-0472.qxd 27/4/07 13:57 Página 471


CUERPOS GEOMÉTRICOS9EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES

Poliedros.

Con cuadrados ⎯→ El cubo. Coinciden 3 caras en cada vértice.

Con pentágonos → El dodecaedro. Coinciden 3 caras en cada vértice.

Fórmula de Euler.

Tronco de pirámide ⎯⎯→ C = 6, V = 8 y A = 12. Se cumple la fórmula de Euler.

Antiprisma rectangular → C = 10, V = 8 y A = 16. Se cumple la fórmula de Euler.

Desarrollos planos.

Área del prisma. A = 2(ab + ac + bc) = 2 ⋅ (5 ⋅ 4 + 5 ⋅ 3 + 4 ⋅ 3) = 2 ⋅ 47 = 94 cm2

Pirámide de Keops. Primero calculamos la apotema:

. Área total: AT = AB + AL = 2332 + 87.771,7 = 142.060,7 m2.

Área.

a) Calculamos la altura:AT = 2 ⋅ AB + AL = 2 ⋅ π ⋅ 52 + 2 ⋅ π ⋅ 5 ⋅ 8,3 = 157,08 + 260,75 = 417,83 cm2

b) A = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ 3 ⋅ 1,5 = 28,274 cm2

Volumen.

Volumen.

Problema del local. Aplicamos el teorema de Pitágoras en el espacio. La longitud de la diagonal del ortoedro

será: . Por tanto, no se podrá introducir el poste.

Coordenadas en la esfera. Las coordenadas de las antípodas de Barcelona son 41° 24' S 2° 9' O.10

L = + + = =4 3 5 3 37 252 2 2, , 6,11 m

9

V V rsemiesfera esfera= = ⋅ ⋅ = ⋅ =12

12

43

23

53 3π π 261,88 cm38

V V VC E= − = − ⋅ = − =643

3 216 113 093 3π , 102,91 cm37

h = − = ≈13 10 692 2 8,3 cm

6

A mL = ⋅ ⋅ =4233 188 35

287 771 7 2,

. ,

a = + = =148 116 5 35 476 252 2, . , 188,35 m

5

4

3

2

1

Caras Vértices Aristas

Pirámide 7 7 12

Prisma 7 10 15

826523 _ 0467-0472.qxd 27/4/07 13:57 Página 472


Movimientos y semejanzas

CONTENIDOS

TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS

1. Vectores.

• Coordenadas y módulo de un vector.

2. Movimientos en el plano.

• Traslaciones.

• Giros.

• Simetrías.

– Simetrías respecto de un punto.

– Simetrías respecto de una recta.

• Homotecias y semejanzas. Polígonos semejantes.

3. Teorema de Tales.

4. Escalas.


PRUEBA INICIAL

La prueba consiste en una serie de actividades que seconsideran importantes para el desarrollo de la unidad:el teorema de Pitágoras y el sistema de coordenadas enel plano y cálculo de coordenadas de puntos (para elcálculo vectorial); y un repaso de los movimientos delplano y su visualización y propiedades (tipos de movi-mientos, ejes de simetrías).

PRUEBA DE LA UNIDAD

De las actividades que se proponen en la unidad desta-can las que están referidas al cálculo con vectores (ac-tividades 1 y 2); cuestiones de movimientos desde unpunto de vista algebraico y gráfico (actividades 3, 4 y 5)y actividades sobre semejanzas: construcción de figurasy cálculo con figuras semejantes. Habrá que explicar alos alumnos que las constantes de proporcionalidadgeométricas entre áreas no son iguales que las lineales,así como el trabajo con escalas.

10INTRODUCCIÓN

Esta unidad continúa y amplía el estudio de las figuras y movimientos estudiados en 2.º ESO. En el cursoanterior se hacía hincapié en los temas deconstrucción, y en este curso se comienza el cálculocon vectores que se continuará en el curso siguiente,si bien las construcciones son esenciales paracontrastar los resultados algebraicos con los gráficos.Convendrá realizar con los alumnos actividades de tipográfico para comprobar si han asimilado bien los conceptos.

Se ha de poner énfasis en la diferencia entremovimientos y semejanzas: los primeros conservan la longitud y los segundos no. Este punto dará lugar al estudio de la proporcionalidad geométrica, aspectoscomo las semejanzas, teorema de Tales, escalas, etc.


De los contenidos de la unidad, el estudio de vectoreses nuevo para los alumnos y se seguirá estudiando en 4.º ESO. Los demás contenidos ya se han visto encursos anteriores, pero desde un punto de vista no vectorial. Por eso será importante repasar alguno de estos conceptos de la Unidad 8 de 2.º ESO, así como el teorema de Pitágoras y el sistema de coordenadas:

• Teorema de Pitágoras.

• Sistema de coordenadas. Coordenadas de un punto.

• Traslaciones, giros y simetrías. Propiedades.

PR

OP

UE

STA

S D

E E

VALU

AC

IÓN

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EVALUACIÓN INICIAL

Calcula el valor del cateto desconocido del triángulo rectángulo.

Obtén las coordenadas de los puntos P, Q, R y S de la figura.

Observa la figura y completa la tabla.

Dibuja los ejes de simetría de las figuras.4

3

2

1

MOVIMIENTOS Y SEMEJANZAS10

Figurainicial

Figuratransformada

Tipo de movimiento

A B

B E

C D

D E

20 cm

17 cm

a) b) c)

C

b

A B

P

Q

R S

Y

X1

1

A B

E

D C

826523 _ 0473-0478.qxd 27/4/07 13:57 Página 474



PR

OP

UE

STA

S D

E E

VALU

AC

IÓN

Calcula el valor del cateto desconocido del triángulo rectángulo.

Obtén las coordenadas de los puntos P, Q, R y S de la figura.

Observa la figura y completa la tabla.

Dibuja los ejes de simetría de las figuras.4

3

2

1

475

Figurainicial

Figuratransformada

Tipo de movimiento

A B Traslación

B E Traslación

C D Simetría

D E Giro

Aplicamos el teorema de Pitágoras:

b = − = − = ≈20 17 400 1112 2 289 10,54 cm

Las coordenadas de los puntos son:

P(3, 2) Q(−2, 1) R(−1, −3) S(3, −2)

a) b) c)

20 cm

17 cm

C

b

A B

P

Q

R S

Y

X1

1

A B

E

D C

826523 _ 0473-0478.qxd 27/4/07 13:57 Página 475



Escribe las coordenadas del vector de la figura y calcula su módulo.

Completa la siguiente tabla.

Un triángulo F tiene por vértices los puntos: A(−3, 0), B(−1, 4) y C(2, 5). Halla el triángulo transformado F' mediante el vector v�(2, −3).

Halla el triángulo F", transformado del triángulo F, mediante un giro de 90º respecto del origen de coordenadas.

4

3

2

1Distinción de los elementos de un vector y cálculo

de los componentes y el módulo de un vector

a partir de dos puntos,y viceversa.

Obtención de la figuratransformada de una dada

mediante la aplicación de traslaciones, giros

o simetrías.


• Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. .............................................................................. 2

• Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones ........................................................................... 1, 3, 6




MOVIMIENTOS Y SEMEJANZAS10

Punto Vector traslación Punto trasladado

A(2, 3) v�(2, −3) A'( , )

B( , ) v�(5, −1) B'(−1, 0)

C(−2, 4) v�( , ) C'(−3, −2)

B

A

Y

X1

1

826523 _ 0473-0478.qxd 27/4/07 13:57 Página 476


Obtén la figura simétrica del pentágono respecto del eje de ordenadas y respecto del origen. Escribe las coordenadas de cada vértice de la figura y de sus transformados.

Determina la figura homotética de la figura ABCDE respecto del punto Oy con k = 0,6.

En el triángulo ABC de la figura se traza una recta paralela al lado AB que cortaa los otros lados en los puntos D y E. Halla la longitud del segmento CB�.

La longitud de un objeto en la realidad es 4,5 m. ¿Cuál será su longitud en una maqueta a escala 1:500?

8

7

6

5

Determinación de la figurahomotética de una dada,

conocidos el centro y la razón de la homotecia.

Resolución de problemas de semejanza de figuras

o triángulos como aplicacióndel teorema de Tales.

Trabajo con escalasnuméricas o gráficas

en planos, mapas o maquetas.






PR

OP

UE

STA

S D

E E

VALU

AC

IÓN

477

B

C

DE

A

Y

X

CD

E

B

O

A

A

D

C5 cm2,4 cm

2,1 cm

B

E

826523 _ 0473-0478.qxd 27/4/07 13:57 Página 477


MOVIMIENTOS Y SEMEJANZAS10EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES

Coordenadas y módulo de un vector.

A(−2, 1), B(3, 2) → AB�(5, 1) ⏐AB�⏐

Tabla. B( , ) v�( , ) A'( , )

Traslación. Los vértices del triángulo transformado F' son:

A(−3, 0) A'(−1, −3)

B(−1, 4) B'(1, 1)

C(2, 5) C'(4, 2)

Figuras semejantes.

Vértices de la figura F:A(2, 0); B(4, 1); C(5, 2);D(4, 3); E(1, 3)

Vértices de la figura F':A'(−2, 0); B'(−4, 1); C'(−5, 2);D'(−4, 3); E'(−1, 3)

Vértices de la figura F":A"(−2, 0); B"(−4, −1); C"(−5, −2);D"(−4, −3); E"(−1, −3)

Figuras homotéticas. Con la regla se trazan las rectas AO, BO…Después, en cada una de ellas se miden los segmentos OA, OB…y se calcula el 60 % (k = 0,6),que nos da los puntos: A', B', C'…

Aplicación del teorema de Tales.

Escalas. L = = =4 5500

,0,009 m 9 mm8

CECA

CDCB

CDCD

CD CB= =+

= =→ → →2,42,1

1,94 cm 4,045

ccm

7

6

5

v�(2, −3)⎯⎯⎯⎯⎯→

v�(2, −3)⎯⎯⎯⎯→

v�(2, −3)⎯⎯⎯⎯→

3

04−6−11−62

= + = ≈5 1 262 2 5,1

1

B

C

DE

A

Y

X

CD

E

B

O

A

C'D'

E'

B'

A'

F

B'

C'

D' E'

A'

F'

B"

C"

D" E"

A"

F"

BC

A

X

F

B'C'

A'

F'

Y

v�B

C

A

X

F

B'

C'

A'

F'

Y

Vértices. Los vértices del triángulo transformado F" son:

A(−3, 0) A'(0, −3)

B(−1, 4) B'(−4, −1)

C(2, 5) C'(−5, 2)giro 90°⎯⎯⎯⎯→

giro 90°⎯⎯⎯⎯→

giro 90°⎯⎯⎯⎯→

4

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Funciones

CONTENIDOS

FUNCIONES

1. Formas de expresar una función.

• Enunciados.

• Expresiones algebraicas.

• Tablas de valores.

• Gráficas.

2. Características de una función.

• Continuidad y discontinuidad.

• Dominio y recorrido.

• Puntos de corte con los ejes.

• Crecimiento y decrecimiento.

• Máximos y mínimos.

• Simetrías.


PRUEBA INICIAL

Esta prueba contiene actividades que repasan aspectosimportantes de la unidad: representación gráfica de pun-tos en el plano, estudio de relaciones de forma algebrai-ca y gráfica, interpretación y lectura de gráficas y estudiode una tabla de proporcionalidad.

PRUEBA DE LA UNIDAD

En la prueba se ha realizado una selección de los con-ceptos más importantes de la unidad: trabajo con fun-ciones expresadas de diferentes formas y, en el casode funciones expresadas mediante expresiones alge-braicas: dominio y recorrido, extremos, continuidad, si-metrías y crecimiento y decrecimiento.

11INTRODUCCIÓN

Esta unidad continúa el estudio de funciones iniciadoen 2.º ESO e introduce la representación gráfica de funciones. En algunos casos se trata de hacer una aproximación intuitiva a partir de las gráficascomo, por ejemplo, el crecimiento y decrecimiento,máximos y mínimos, continuidad, pero en otros casosse aplican conocimientos como el cálculo de puntosde corte, simetrías, etc.

En este nivel interesa también que queden claras las diferentes formas de expresar una función y cómo pasar de unas a otras. Los aspectos más importantes de las funciones de proporcionalidady las funciones lineales se estudiarán con másdetenimiento en la Unidad 12.


Conviene repasar algunos conceptos estudiados en cursos anteriores y que resultan importantes en el desarrollo de la unidad: las coordenadas del plano y las magnitudes directa e inversamenteproporcionales, así como una revisión de lasexpresiones algebraicas trabajadas en la Unidad 3 de este curso.

• Representación de puntos en un sistema de referencia. Lectura de funciones.

• Determinación de magnitudes directa e inversamente proporcionales.

• Trabajo con expresiones algebraicas.

PR

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UE

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EVALUACIÓN INICIAL

Observa los puntos de la gráfica siguiente.

a) Escribe sus coordenadas.

b) Calcula y dibuja el punto simétrico de Arespecto del eje de ordenadas.

c) Halla el simétrico del punto B respectodel eje de abscisas.

d) Calcula y dibuja el punto simétrico de Crespecto del origen.

Dados los conjuntos M = {12, 14, 15, 16, 18} y N = {5, 6, 7, 9, 11}, y teniendo en cuenta que un elementode A está relacionado con otro de B, si ambos tienen algún divisor común distinto de la unidad:

a) Escribe los pares de valores que forman esta relación.

b) Represéntalos mediante un sistema de coordenadas.

En una estación meteorológica se registran las diferentes temperaturas mínimas diarias a lo largo del mes de febrero.

a) ¿Cuántos días se han registradotemperaturas por debajo de 0 °C?

b) ¿Qué día se registró la temperaturamáxima? ¿Y la mínima?

c) Escribe un tramo en el que la temperatura sea creciente.

En la tabla están relacionados el peso (en kg) de manzanas y su precio (en €). Determina los valores que faltan.

Escribe la expresión que relaciona el precio y la cantidad de manzanas que se adquiere.

4

3

2

1

FUNCIONES11

Manzanas (kg) 1 2 4 …

Precio (€) 1,30 6 9

D

A

E

C B

4

2

−2

−3 −1 1 3

12 14 16 18 20

9

8

7

6

5

10

8

6

4

2

0

−2

−4

−6

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27

X

X

Y

Y

Tem

pera

tura

(°C

)

Días del mes

826523 _ 0479-0484.qxd 27/4/07 14:00 Página 480



PR

OP

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S D

E E

VALU

AC

IÓN

Observa los puntos de la gráfica siguiente.

a) Escribe sus coordenadas. A(3, 2) B(1, −3) C(−4, −2)D(−2, 4) E(−3, 0)

b) Calcula y dibuja el punto simétrico de Arespecto del eje de ordenadas → A'(−3, 2)

c) Calcula el simétrico del punto B respectodel eje de abscisas → B'(1, 3)

d) Calcula y dibuja el punto simétrico de Crespecto del origen → C'(4, 2)

Dados los conjuntos M = {12, 14, 15, 16, 18} y N = {5, 6, 7, 9, 11}, y teniendo en cuenta que un elementode A está relacionado con otro de B, si ambos tienen algún divisor común distinto de la unidad:

a) Escribe los pares de valores que forman esta relación.

(12, 6), (12, 9), (14, 6), (14, 7), (15, 5), (15, 6), (15, 9), (16, 6), (18, 6), (18, 9)

b) Represéntalos mediante un sistema de coordenadas.

En una estación meteorológica se registran las diferentes temperaturas mínimas diarias a lo largo del mes de febrero.

a) ¿Cuántos días se han registradotemperaturas por debajo de 0 °C? 3 días.

b) ¿Qué día se registró la temperaturamáxima? ¿Y la mínima? Máxima: 10 °C en el día 27 y mínima: −4 °C en el día 2.

c) Escribe un tramo en el que la temperatura sea creciente. Por ejemplo, [10, 13].

En la tabla están relacionados el peso (en kg) de manzanas y su precio (en €). Determina los valores que faltan.

Escribe la expresión que relaciona el precio y la cantidad de manzanas que se adquiere. y = 1,3 ⋅ x, donde x es el peso de las manzanas (en kg) e y es el precio (en €).

4

3

2

1

481

Manzanas (kg) 1 2 4,615 4 6,92 …

Precio (€) 1,30 2,60 6 5,20 9 …

D

A

E

C B

4

2

−2

−3 −1 1 3

12 14 16 18 20

9

8

7

6

5

10

8

6

4

2

0

−2

−4

−6

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27

X

X

Y

Y

Tem

pera

tura

(°C

)

Días del mes

826523 _ 0479-0484.qxd 27/4/07 14:00 Página 481



Determina si son o no funciones estas relaciones.

a) El perímetro de un cuadrado y su área.

b) El número de obreros y el tiempo que tardan en terminar un trabajo.

c) La velocidad y el espacio que recorre un coche en dos horas.

d) La edad de una persona y su altura.

Se vacía una piscina de dimensiones 8 × 3,5 × 1,5 m, mediante un grifo que expulsa 50 litros de agua por minuto.

a) Realiza una tabla donde se exprese la cantidad de agua que queda (en metros cúbicos) y el tiempo de expulsión de agua entre t = 0 y t = 120(en minutos) de 20 en 20.

b) Determina la fórmula o expresión algebraica que relaciona ambas magnitudes en ese intervalo de tiempo.

c) Representa gráficamente la función.

En la función que asocia a cada número su doble más 3 veces su inverso:

a) Halla su fórmula o expresión algebraica.

b) Calcula f (4) y f (−4).

c) Determina el dominio de la función.

d) ¿Es una función continua o discontinua?

3

2

1Distinción de una relaciónfuncional, y reconocimiento

de las variables independientey dependiente.

Representación gráfica de relaciones funcionales

extraídas de la vidacotidiana.

Expresión de una funciónmediante tablas, gráficas

y enunciados,y transformaciónde unas a otras.





• Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ............................................................................................................ 2, 3, 4, 6


FUNCIONES11826523 _ 0479-0484.qxd 27/4/07 14:00 Página 482


Considera la relación que asocia a cada número real el doble de su cuadrado.¿Es una función esta relación? ¿Cuál es su dominio? ¿Y su recorrido? Obtén su expresión algebraica.

Calcula el dominio y el recorrido de la función cuya gráfica es la siguiente.

Dada la función y = x 2 − x − 6, halla los puntos de corte con los ejes de coordenadas.

Observa la gráfica e indica sus intervalos de crecimiento y los máximos y mínimos.

Escribe las principales características de estas funciones.

a) y = x2 + 2 b) yx

x=

+ 2

8

7

6

5

4Determinación del dominio y recorrido de una función,

dada la gráfica de la función.

Cálculo de los puntos de corte de una función

con los ejes.

Reconocimiento de los intervalos de crecimiento

de una función y sus máximos y mínimos

a partir de su gráfica.

• Clasificar y discriminar según criterios ................................................................................................................... 1, 3, 6, 8



• Deducir, formular hipótesis, generalizar, etc. ......................................................................................................... 3


PR

OP

UE

STA

S D

E E

VALU

AC

IÓN

483

6

4

2

−1 2 4 6 8−2

Y

X

X

4

2

−2

−4

2 4 6−2 −4 −6

Y

826523 _ 0479-0484.qxd 27/4/07 14:00 Página 483


FUNCIONES11EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES

Funciones. Son funciones a), b) y c).

a) c) Espacio = velocidad ⋅ 2

b) Es una función, pero no se puede escribir. d) No es una función.

a) Tabla.Litros de agua en la piscina → 8 ⋅ 3,5 ⋅ 1,5 = 42 m3

b) Expresión algebraica. c)

Volumen = 42 − 0,5 ⋅ tiempo → .

a) Expresión algebraica.

b) Imágenes.

c) Dominio: Todos los números reales menos el cero.d) Continuidad: No es continua en x = 0.

Relación. Es una función cuyo dominio son todos los números reales, y el recorrido, los números reales positivos. Su expresión algebraica es y = 2x2.

Dominio y recorrido de una función.Dom (f) = (−�, −1] ∪ [0, 3) ∪ [3, +�) Im ( f) = [−1, +�)

• Con el eje OX: .

• Con el eje OY: f(0) = 0 2 − 0 − 6 = −6 → Hay un punto: R(0, −6).

Función. Es creciente en (−�, −2) ∪ (−2, 0) ∪ (4, +�) y decreciente en (0, 2) ∪ (2, 4).

Tiene un máximo en el punto y un mínimo en Q(4, −1).

a) Dominio: �. Es continua. Corta al eje OY en P(0, 2) y no corta al eje de abscisas. Es decreciente en el intervalo (−�, 0) y creciente en el intervalo (0, +�). En el punto P(0, 2) tiene un mínimo. Es simétrica respecto del eje OY.

b) Dominio: � − {−2}. Es discontinua en el punto x = −2. Corta al eje OY en y no corta al eje

de abscisas. Es decreciente en el intervalo (−�, −2) y creciente en el intervalo (−2, +�).No tiene máximos ni mínimos y no presenta simetrías.

P' 012

,⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

8

P 012

,⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

7

x xxx

2 6 02

3− − =

= −=

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

→ → Hay dos puntoos: yP Q( , ) ( , )−2 0 3 06

5

4

f( )− = − − = −4 8

34

354

f( )4 834

354

= + =

y f x xx

= = +( ) 23

3

y x= −4212

2

A =⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

perímetro4

2

1

Tiempo (min) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

Volumen (m3) 42 41,5 41 40,5 40 39,5 39 38,5 38 37,5 37 36,5 36

41

39

37

35

10 30 50 70 90 110

Y

XVo

lum

en r

esta

nte

Tiempo (min)

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Funciones lineales y afines

CONTENIDOS

FUNCIÓN LINEAL Y FUNCIÓN AFÍN

• Ecuaciones y gráficas asociadas a las funciones lineales y afines.

• Ecuación de la recta que pasa por dos puntos.

• Rectas secantes y paralelas.

• Rectas paralelas al eje de abscisas.

• Aplicaciones.


PRUEBA INICIAL

Esta prueba contiene tres actividades sobre relacionesde proporcionalidad, la forma de expresarlas, la repre-sentación gráfica de esas relaciones, tablas de propor-cionalidad, etc.

PRUEBA DE LA UNIDAD

Las tres primeras actividades son de repaso de las rela-ciones de proporcionalidad, las tablas y sus expresio-nes algebraicas, así como las representaciones gráficasde las funciones de proporcionalidad y afines. Las si-guientes actividades hacen referencia a un inicio de laGeometría afín: ecuaciones de la recta, obtención deuna recta que pasa por dos puntos, cálculo de la pen-diente de una recta y su relación con el crecimiento y larepresentación de diferentes rectas en unos ejes decoordenadas, y la obtención de sus puntos de corte.Las dos últimas actividades son de aplicación de loscontenidos estudiados en problemas geométricos o deotros tipos.

12INTRODUCCIÓN

Esta unidad es una continuación de la anterior, en la que se trabajaban las funciones y sus características, y también de la unidad deproporcionalidad. Es importante hacer hincapié en la relación entre la expresión algebraica y la representación gráfica, tanto de las funciones de proporcionalidad como de las funciones lineales, y en el paso de la expresión algebraica a la gráfica, y viceversa.

También será conveniente trabajar con las ecuacionesde las rectas, sus propiedades y representación, asícomo destacar el papel de la pendiente y su relacióncon el crecimiento y las rectas paralelas a los ejes,sobre todo cuando no es una función. Convendrádedicar alguna actividad a cuestiones de aplicación de este tipo de funciones.


Esta unidad es una continuidad de la unidad anterior, en la que se estudian los conceptos y las características globales de las funciones, y de la unidad de proporcionalidad, por lo que será conveniente repasar:

• Expresión de relaciones geométricas o aritméticasutilizando el lenguaje algebraico.

• Estudio analítico y gráfico de la proporcionalidaddirecta.

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EVALUACIÓN INICIAL

Una tienda vende moqueta en rollos de 3 m de ancho a 12 €/m. Completa la tabla que representa analítica y gráficamente la relación.

Expresa algebraicamente las relaciones.

a) El perímetro de un cuadrado en función de su lado.

b) La longitud de una circunferencia y su diámetro.

c) El perímetro de un rectángulo cuya base es doble que la altura.

Un grupo de amigos alquila un autobús para realizar un viaje. El coste es de 75 € fijos y 50 céntimos por cada kilómetro recorrido. Completa la tabla para 10, 20, 30, …, hasta 150 km, de 10 en 10.

Expresa gráficamente la función.

Responde a las siguientes cuestiones.

a) ¿Qué variables están representadas?

b) ¿Cuál es la variable independiente? ¿Y la dependiente?

c) ¿Es una función?

d) ¿Puedes unir los puntos del gráfico? ¿Por qué?

e) ¿Cómo es la función, creciente o decreciente?

f) Escribe la fórmula que relaciona los kilómetros recorridos con el importe pagado.

3

2

1

FUNCIONES LINEALES Y AFINES12

Longitud (m) 1 4 10

Precio (€) 12 30 60 200

Espacio (km) 0 10 20 30 40

Precio (€)

150

130

110

90

70

50

30

10

10 30 50 70 90 110 130 150

Y

X

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PR

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IÓN

Una tienda vende moqueta en rollos de 3 m de ancho a 12 €/m. Completa la tabla que representa analítica y gráficamente la relación.

Expresión algebraica: y = 12 ⋅ x.

Expresa algebraicamente las relaciones.

a) El perímetro de un cuadrado en función de su lado → Perímetro = 4 ⋅ lado → y = 4xb) La longitud de una circunferencia y su diámetro ⎯⎯→ Longitud = π ⋅ diámetro → y = π ⋅ xc) El perímetro de un rectángulo cuya base es doble que la altura.

Perímetro = 2 ⋅ altura + 2 ⋅ (2 ⋅ altura) → y = 6x

Un grupo de amigos alquila un autobús para realizar un viaje. El coste es de 75 € fijos y 50 céntimos por cada kilómetro recorrido. Completa la tabla para 10, 20, 30, …, hasta 150 km, de 10 en 10.

Expresa gráficamente la función.

Responde a las siguientes cuestiones.

a) ¿Qué variables están representadas? → Eje X: espacio (km) y eje Y: precio (€).b) ¿Cuál es la variable independiente? ⎯→ El espacio. ¿Y la dependiente? → El precio.c) ¿Es una función? → Sí, es una función.d) ¿Puedes unir los puntos del gráfico? ¿Por qué? → Sí, porque la variable independiente es continua

y puede tomar cualquier valor.e) ¿Cómo es la función, creciente o decreciente? ⎯→ Es creciente.f) Escribe la fórmula que relaciona los kilómetros recorridos con el importe pagado → y = 75 + 0,5 ⋅ x

3

2

1

487

Longitud (m) 1 2,5 4 5 10 16,67

Precio (€) 12 30 48 60 120 200

Espacio (km) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150

Precio (€) 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145 150

90

70

50

30

10

1 3 5 7

Y

X

150

130

110

90

70

50

30

10

10 30 50 70 90 110 130 150

Y

X

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El precio de 1 kg de melocotones es 2,50 €.

a) Completa la tabla.

b) Escribe la función que relaciona el peso de la fruta y el precio.

Clasifica las siguientes funciones en crecientes y decrecientes sin representarlas. Explica cómo lo haces.

a) y = −2x − 3 c) y = 2x − 3

b) y = −2x + 3 d) y = 2x + 3

Representa las funciones anteriores en unos mismos ejes de coordenadas.

Determina la expresión algebraica de la función que pasa por los puntos A(3, 2)y B(5, −2). ¿Pasa la recta por el punto C(2, 5)?

4

3

2

1Reconocimiento de las funciones afines

y lineales, determinando su expresión algebraica.

Representación defunciones lineales y afines,

determinando la relaciónentre el signo de

la pendiente y el crecimiento de una recta.

Obtención de la ecuación de la recta que pasa

por dos puntos.





• Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ............................................................................................................ 1, 3


FUNCIONES LINEALES Y AFINES12

Peso (kg) 1 3,7 5,2

Precio (€) 4,80 11 20

1 2 3 4−2 X

3

1

−2

Y

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Determina gráfica y analíticamente la posición relativa de la recta r :y = −2x −3, y la recta s : y = 3x + 4.

Obtén las expresiones algebraicas de estas rectas.

Dibuja el triángulo de vértices los puntos A(2, 0), B(−1, 2) y C(1, −2),y halla las ecuaciones de las tres rectas que forman los lados y sus pendientes.

Dos amigos hacen una carrera. Juan le deja 100 m de ventaja a su amigo Luis.Además, Juan corre a una velocidad de 9 m/s y Luis lo hace a 7 m/s. Escribe la expresión algebraica de los espacios recorridos por los dos amigos. ¿Cuánto tiempo tardará Juan en alcanzar a Luis? ¿Qué espacio habrán recorridoambos en ese instante? Representa gráficamente las funciones.

8

7

6

5Determinación de si dos rectas son paralelas

o secantes.

Reconocimiento y estudio de funciones en situaciones

geométricas o de la vidacotidiana.



• Combinar, componer datos, resumir, etc. .............................................................................................................. 3, 4, 5, 7



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489

1 2−2 X

3

1

1

Y

1

r

s

−2 X

2

−2

Y

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Peso (kg) 1 1,92 3,7 4,4 5,2 8

Precio (€) 2,50 4,80 9,25 11 13 20


FUNCIONES LINEALES Y AFINES12EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES

Tabla: a) b) Función: y = 2,5 ⋅ x

a) y = −2x − 3 → m = −2 → Función decreciente c) y = 2x − 3 → m = 2 → Función crecienteb) y = −2x + 3 → m = −2 → Función decreciente d) y = 2x + 3 → m = 2 → Función creciente

Representación gráfica.

Calculamos la pendiente: . Como pasa por el punto A(3, 2):

r: y = −2x + n 2 = (−2) ⋅ 3 + n → n = 8. Por tanto, r: = −2x + 8.

El punto C(2, 5) no pertenece a la recta porque 5 � 2 ⋅ 2 + 8.

Las rectas son secantes. Hallamos algebraicamente el punto de corte:

Expresiones algebraicas de dos rectas.

r → La variable y siempre vale 3 → y = 3 s → Pasa por (−3, 0) y (0, 2) →

Triángulo. Las rectas son rAB:

rAC: y = 2x −4 rBC: y = −2x

Las pendientes son mAB: , mAC: 2 y mBC = −2.− 23

y x= − +23

43

7

y x= +23

2

6

y x

y xx x x

x= − −= +

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

− − = + − == −

−2 3

3 42 3 3 4 5 7

7

→ → → 55

375

415

y = −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ + = −

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

− −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟→ P

75

15

,

5

A(3, 2) ∈ r⎯⎯⎯⎯⎯→

m = − −−

= − = −2 25 3

42

24

3

2

1

2 4−2 X

3

1

−1

Y

1 A

B

C

−2 X

2

−2

Y

10 30 50 70

Dis

tanc

ia (

m)

X

500

300

100

Tiempo (s)

Y

a) c)

d) b)

La carrera.

Juan → y = 9x Luis → y = 7x + 100Juan tarda en alcanzarlo 50 segundos. Han recorrido 450 metros en ese instante.

8

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Estadística

CONTENIDOS

ESTADÍSTICA

• Conceptos básicos. Población y muestra. Variables estadísticas. Tipos.

• Frecuencias. Tablas de frecuencias. Tipos.

• Gráficos estadísticos. Diagrama de barras. Histograma. Diagrama de sectores.

• Parámetros estadísticos.

– Medidas de centralización. Media aritmética, mediana y moda.

– Medidas de dispersión. Rango, desviación media, varianza, desviación típica y coeficiente de variación.


PRUEBA INICIAL

La prueba consta de tres actividades referidas a la dis-tinción de una variable cualitativa y cuantitativa; elabo-ración de una tabla a partir de una serie de datos, inter-pretación de una gráfica estadística y cálculo de lamedia aritmética. Estas actividades tendrían que resul-tar fáciles para los alumnos, ya que son una revisión deconceptos estudiados en cursos anteriores.

PRUEBA DE LA UNIDAD

La primera actividad se refiere a la distinción entre va-riables discretas y continuas, población y muestra ycómo realizar una muestra proporcional a una determi-nada población. En las actividades 2 y 3 se trabaja conlas tablas de frecuencias y las representaciones gráfi-cas de un conjunto de datos agrupados en intervalos.Las dos últimas actividades trabajan el cálculo de los diferentes parámetros de centralización y dispersión, y en la actividad 5 se manejan también intervalos parael cálculo del intervalo mediano.

13INTRODUCCIÓN

En esta unidad se completa el estudio comenzado en cursos anteriores sobre Estadística. Además de los conceptos trabajados: gráficos, medidas decentralización y de dispersión, se estudian las frecuencias acumuladas, las variables continuas,los histogramas y polígonos de frecuencias, así como los parámetros de dispersión.

Los aspectos donde los alumnos suelen tener mayores dificultades son la distinción entre población y muestra, y cómo seleccionar una muestra, el cálculo de frecuencias y la determinación de la representación gráfica más adecuada; por ello será conveniente insistir en aquellos aspectos en los que se aprecien mayores problemas. El cálculo de los parámetros es relativamente fácil,pero los alumnos tienden a equivocarse cuando se trabaja con datos agrupados en intervalos.


Los aspectos que se tendrían que trabajar de formaprevia al estudio de la unidad son los relativos a la Estadística de 2.º ESO, sobre todo los que hacenreferencia a conceptos básicos:

• Distinción entre variables cualitativas y cuantitativas.

• Elaboración de un recuento de datos y realizaciónde una tabla de frecuencias.

• Cálculo de la media aritmética de una población o muestra.

• Lectura e interpretación de un gráfico estadístico.

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EVALUACIÓN INICIAL

Consideramos la población de los alumnos de 3.o ESO de una ciudad. Determina qué variables son cualitativas y cuantitativas.

a) La talla de camisa.

b) El lugar de nacimiento.

c) La fecha de nacimiento.

d) El número de hermanos.

e) El color del pelo.

f) La profesión de la madre.

g) La nacionalidad.

h) El deporte que practican.

i) La capacidad pulmonar.

Al preguntar a 30 personas de una localidad sobre el número de periódicos que habían comprado en la última semana, se obtuvieron estos resultados.

3 5 0 4 2 1 1 4 2 0 3 0 3 1 7 2 2 0 6 1 7 2 0 3 0 3 6 5 2 3

A partir de estos datos, completa la tabla y calcula la media de periódicos adquiridos.

La gráfica muestra la potencia eléctrica instalada en España (en GW) desde el año 1940 hasta finales del siglo XX. Teniendo en cuenta la gráfica, contesta a las siguientes cuestiones.

a) ¿Podemos considerar a España como un granproductor de energía nuclear de Europa?

b) ¿En España ha habido más potenciahidráulica o térmica?

c) ¿En qué año se superó el nivel de una potencia total de 30 GW?

d) ¿Qué proporción de energía nuclear hubo a finales de 2007 respecto de la total?

3

2

1

ESTADÍSTICA13

N.o deperiódicos

RecuentoFrecuencia

absolutaFrecuencia

relativa

0 ////// 6

1

2

3

4

5

6

7

1995 1997 1999 2001 2003 2005 2007

Total

Térmica

Hidráulica

Nuclear

GW

X

45

35

25

15

5

Años

Y

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Consideramos la población de los alumnos de 3.o ESO de una ciudad. Determina qué variables son cualitativas y cuantitativas.a) La talla de camisa ⎯⎯⎯→ Variable cuantitativa.b) El lugar de nacimiento ⎯⎯→ Variable cualitativa.c) La fecha de nacimiento ⎯→ Variable cuantitativa.d) El número de hermanos ⎯→ Variable cuantitativa.e) El color del pelo ⎯⎯⎯⎯→ Variable cualitativa.f) La profesión de la madre → Variable cualitativa.g) La nacionalidad ⎯⎯⎯⎯→ Variable cualitativa.h) El deporte que practican ⎯→ Variable cualitativa.i) La capacidad pulmonar ⎯→ Variable cuantitativa.

Al preguntar a 30 personas de una localidad sobre el número de periódicos que habían comprado en la última semana, se obtuvieron estos resultados.

3 5 0 4 2 1 1 4 2 0 3 0 3 1 7 2 2 0 6 1 7 2 0 3 0 3 6 5 2 3

A partir de estos datos, completa la tabla y calcula la media de periódicos adquiridos.

La gráfica muestra la potencia eléctrica instalada en España (en GW) desde el año 1940 hasta finales del siglo XX. Teniendo en cuenta la gráfica, contesta a las siguientes cuestiones.

a) ¿Podemos considerar a España como un granproductor de energía nuclear de Europa?

No, ya que no tenemos datos del resto de países.

b) ¿En España ha habido más potencia hidráulica o térmica?

A partir de 2002 la potencia térmica es mayor.

c) ¿En qué año se superó el nivel de una potenciatotal de 30 GW? En 2003.

d) ¿Qué proporción de energía nuclear hubo a finales de 2007 respecto de la total?

La energía nuclear es aproximadamente partes del total, por lo que es el .845

100⋅ = 17,78%845

3

Media: x = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (6 0 4 1 6 2 6 3 2 4 2 5)) ( ) ( )+ ⋅ + ⋅ = =2 6 2 730

7830

2,6

2

1

493

N.o deperiódicos

RecuentoFrecuencia

absolutaFrecuencia

relativa

0 ////// 6 6/30 = 0,2

1 //// 4 4/30 = 0,133

2 ////// 6 6/30 = 0,2

3 ////// 6 6/30 = 0,2

4 // 2 2/30 = 0,067

5 // 2 2/30 = 0,067

6 // 2 2/30 = 0,067

7 // 2 2/30 = 0,067

1995 1997 1999 2001 2003 2005 2007

Total

Térmica

Hidráulica

Nuclear

GW

X

45

35

25

15

5

Años

Y

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Clasifica las variables estadísticas referidas a un municipio en discretas y continuas.

a) Número de hijos de las familias.

b) Peso de los alumnos de ESO.

c) Velocidad media de los coches que pasan por una calle.

d) Número de ordenadores que hay en cada vivienda.

Consideramos la siguiente tabla relativa a las alturas de los alumnos de ESO de un centro escolar.

a) Completa la tabla y calcula las marcas de clase de cada intervalo.

b) Dibuja el histograma de frecuencias acumuladas y su polígono de frecuencias.

2

1Clasificación de las variables de una población o muestra

en cualitativas o cuantitativas, y estas últimas en discretas

o continuas.

Cálculo de las frecuenciasabsolutas, relativas

y acumuladas de un conjunto

de datos estadísticos.

Representación gráfica de un conjunto de datos

estadísticos.



• Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones ........................................................................... 2, 3


• Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ............................................................................................................ 2, 3, 4, 5


ESTADÍSTICA13

Estatura(en cm)

Marcade clase

Númerode alumnos

fi Fi

[140, 150) 12

[150, 160) 36

[160, 170) 47

[170, 180) 65

[180, 190) 25

[190, 200) 4

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Anotamos las marcas de coches que pasan por el semáforo de una calle. Dibuja un diagrama de sectores correspondiente a estos datos.

Calcula la media, el intervalo mediano y la moda de los datos de la actividad 2.

Dados estos datos, calcula las medidas de centralización y dispersión.5

4

3

Cálculo de la media,mediana y moda de

un conjunto de datos.

Cálculo de las medidas de centralización

y dispersión de un conjuntode datos.

• Clasificar y discriminar según criterios ................................................................................................................... 1





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495

Marcas N.o de coches

Seat 11

Renault 10

Peugeot 14

Audi 7

Opel 5

Ford 9

Mercedes 4

xi fi fi ⋅ xi ⏐xi − x-⏐ fi⏐xi − x-⏐ xi2 fi ⋅ xi

2

1 4

2 3

3 6

4 3

5 8

6 4

7 7

Total

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a) Variable discreta. b) Variable continua. c) Variable continua. d) Variable discreta.

Como hay 60 coches, a cada coche le corresponderá:

Por tanto: Seat ⎯⎯→ 11 ⋅ 6 = 66° Opel ⎯⎯⎯→ 5 ⋅ 6 = 30°Renault ⎯→ 10 ⋅ 6 = 60° Ford ⎯⎯⎯→ 9 ⋅ 6 = 54°Peugeot → 14 ⋅ 6 = 84° Mercedes → 4 ⋅ 6 = 24°Audi ⎯⎯→ 7 ⋅ 6 = 42°

Media aritmética:

Moda: Mo = 175

Intervalo mediano: Como son 189 datos, la posición central será: ,dato que está en el intervalo (160, 170].

5

( )189 12

95+ =

x = =31 885189.

168,74

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

=→ x 6°60 → 360°1 → x

3

2

1

Estatura(en cm)

Marcade clase

Númerode alumnos

fi Fi

(140, 150] 145 12 12/189 12

(150, 160] 155 36 36/189 48

(160, 170] 165 47 47/189 95

(170, 180] 175 65 65/189 160

(180, 190] 185 25 25/189 185

(190, 200] 195 4 4/189 189

xi fi fi ⋅ xi ⏐xi − x-⏐ fi⏐xi − x-⏐ xi2 fi ⋅ xi

2

1 4 4 3,37 13,48 1 4

2 3 6 2,37 7,11 4 12

3 6 18 1,37 8,22 9 54

4 3 12 0,37 1,11 16 48

5 8 40 0,63 5,04 25 200

6 4 24 1,63 6,52 36 144

7 7 49 2,63 18,41 49 343

Total 35 153 59,89 805


ESTADÍSTICA13EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES

Medidas de centralización:

x = = = 4,37

Me = 4 Mo = 7Rango = 7 − 1 = 6

DM = = = 1,71

V = = = 23

σ = =V 4,8

80523

∑ fixi2

∑ fi

59 8935,∑ fi⏐xi − x⏐

∑ fi

15335

∑ fixi

∑ fi

CONTINÚA EN SOBRANTE

140 150 160 170 180 190 200

X

20018016014012010080604020

Y

MercedesSeat

Renault

Peugeot

Audi

Opel

Ford

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Probabilidad

CONTENIDOS

PROBABILIDAD

• Experimentos deterministas y aleatorios. Sucesos.

– Espacio muestral.

– Tipos de sucesos.

• Operaciones con sucesos. Propiedades.

• Concepto de probabilidad.

• Regla de Laplace.

• Frecuencia y probabilidad.

• Propiedades de la probabilidad.


PRUEBA INICIAL

Las dos primeras actividades sirven para determinar silos alumnos tienen claro el concepto de experimentoaleatorio, y si saben aplicar los conceptos intuitivos sobreel azar: seguro, más o menos probable o imposible… Latercera actividad trabaja la aplicación de técnicascomo, por ejemplo, los diagramas de árbol, y la últimaactividad sirve para comprobar si los alumnos recuer-dan la regla de Laplace. Todas las actividades son sen-cillas y no deberían ofrecer dificultades a los alumnos.

PRUEBA DE LA UNIDAD

Las tres cuestiones iniciales de la prueba trabajan elcálculo de los sucesos posibles de un experimentoaleatorio y, por tanto, la determinación del espaciomuestral asociado a un experimento, utilizando los dia-gramas de árbol. Las siguientes actividades son de apli-cación directa de la regla de Laplace y de la ley de losgrandes números, y las últimas actividades serviránpara comprobar si los alumnos saben aplicar las reglasde la probabilidad en ejercicios y problemas.

14INTRODUCCIÓN

La probabilidad se utiliza actualmente en numerosasdisciplinas, unida a veces a la Estadística en aspectosde predicción de fenómenos. Por ello es convenientetrabajar los conceptos de la unidad mediante sucesosde la vida cotidiana o realizar los ejercicios de formapráctica: extracción de bolas de una bolsa, de cartasde una baraja, lanzamiento de dados o monedas, etc.

Las dificultades de la unidad son conceptuales, pues los cálculos en los procedimientos son sencillos.


Los conceptos previos que se han de revisar antes de comenzar el estudio de la unidad son los correspondientes a cursos anteriores.

• Distinción entre experimentos aleatorios y deterministas.

• Concepto intuitivo de probabilidad.

• Aplicación de la regla de Laplace.

PR

OP

UE

STA

S D

E E

VALU

AC

IÓN

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EVALUACIÓN INICIAL

Clasifica los experimentos en aleatorios y deterministas.

a) Sacamos una bola varias veces de una bolsa que contiene 5 bolas negras y 6 verdes, y anotamos el color.

b) Lanzamos al aire un dado con las caras numeradas, y anotamos cada vez el número que sale.

c) Dejamos caer una moneda desde distintas alturas, y medimos el tiempo que tarda en llegar al suelo.

d) Multiplicamos varias veces con la calculadora los números 3.433 y 4.343, y anotamos el resultado.

En una bolsa hay 5 dados rojos y 2 blancos numerados del 1 al 6 y sacamos uno, lo lanzamos al aire y anotamos el resultado. Razona si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.

a) Es imposible que salga un número impar mayor que 3.

b) Es seguro que el dado tendrá color blanco.

c) Es más probable que salga un dado rojo que blanco.

d) Es menos probable que salga un 3 que un 5.

En una bolsa tenemos 2 bolas blancas, 3 verdes y 4 negras y extraemos 2 bolas.

a) Obtén los posibles resultados utilizando un diagrama de árbol.

b) ¿Cuántas bolas tendríamos que sacar como mínimo para obtener 2 bolas del mismo color?

c) ¿Y cuántas tendríamos que sacar para que fuesen 2 bolas negras?

d) ¿Y para que sean 2 verdes?

Respecto del lanzamiento de una perindola con las caras numeradas del 1 al 5, como la de la figura,calcula las probabilidades de los siguientes sucesos.

a) A = {Sacar un número par}

b) B = {Sacar un número primo}

c) C = {Sacar un número par y menor que 4}

4

3

2

1

PROBABILIDAD14

4

5

1

2

3

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PR

OP

UE

STA

S D

E E

VALU

AC

IÓN

Clasifica los experimentos en aleatorios y deterministas.

a) Sacamos una bola varias veces de una bolsa que contiene 5 bolas negras y 6 verdes, y anotamos el color → Experimento aleatorio.

b) Lanzamos al aire un dado con las caras numeradas, y anotamos cada vez el número que sale → Experimento aleatorio.

c) Dejamos caer una moneda desde distintas alturas, y medimos el tiempo que tarda en llegar al suelo → Experimento determinista.

d) Multiplicamos varias veces con la calculadora los números 3.433 y 4.343, y anotamos el resultado → Experimento determinista.

En una bolsa hay 5 dados rojos y 2 blancos numerados del 1 al 6 y sacamos uno, lo lanzamos al aire y anotamos el resultado. Razona si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.

a) Es imposible que salga un número impar mayor que 3 → Falso, ya que puede salir un 5 tanto si el dado es blanco como si es rojo.

b) Es seguro que el dado tendrá color blanco → Falso, pues puede salir también rojo.

c) Es más probable que salga un dado rojo que blanco → Verdadero, ya que hay más dados de color rojo que blanco.

d) Es menos probable que salga un 3 que un 5 → Falso, pues hay la misma cantidad de números 3 que de números 5.

En una bolsa tenemos 2 bolas blancas, 3 verdes y 4 negras y extraemos 2 bolas.

a) Obtén los posibles resultados utilizando un diagrama de árbol.

b) ¿Cuántas bolas tendríamos que sacar como mínimo para obtener 2 bolas del mismo color? Tendríamos que sacar 4 bolas, ya que 3 podrían ser de diferente color y la siguiente sería de uno de los colores anteriores.

c) ¿Y cuántas tendríamos que sacar para que fuesen 2 bolas negras? Tendríamos que sacar 7 bolas, pues podrían salir 2 bolas blancas, seguidas de 3 verdes y, después, las dos siguientes serían negras.

d) ¿Y para que sean 2 verdes? Sacaríamos 8, ya que podrían ser 2 bolas blancas, seguidas de 4 negras y las dos siguientes serían verdes.

Respecto del lanzamiento de una perindola con las caras numeradas del 1 al 5, como la de la figura,calcula las probabilidades de los siguientes sucesos.

a) A = {Sacar un número par}

b) B = {Sacar un número primo}

c) C = {Sacar un número par y menor que 4}

C P C= ={ } ( )215

→

B P B= ={ , } ( )3 525

→

A P A= ={ , } ( )2 425

→

4

3

2

1

499

BVN

BVN

BVN

B

V

N

4

5

1

2

3

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Lanza al aire una moneda y un dado. Luego haz un diagrama de árbol con los posibles resultados, y escribe el espacio muestral asociado a dichoexperimento.

Elabora un diagrama de árbol que incluya todos los números de tres cifras que se pueden formar con 2 y 4.

En el lanzamiento de un dado dodecaédrico, con las caras numeradas del 1 al 12, consideramos los sucesos: A = {Sacar un número par}; B = {Sacar un número primo mayor que 3} y C = {Sacar un número cuadrado}.Calcula.

a) A ∩ Bb) A� ∪ (B ∩ C)

c) Ae∪eC

d) �Ce∪eA

Extraemos una carta de una baraja española de 40 cartas. Describe, en cada caso, el tipo de suceso y calcula las probabilidades de estos sucesos,aplicando la regla de Laplace.

a) Sacar el as de espadas.

b) Sacar una figura o un número menor que 8.

c) Sacar oros.

d) Sacar copas o bastos.

e) Sacar una carta que no sea figura.

f) Sacar una carta que sea múltiplo de 16.

4

3

2

1Obtención del espaciomuestral de un experimento

aleatorio.

Realización de uniones e intersecciones

de sucesos.

Cálculo de la probabilidad de distintos sucesos

aplicando la regla de Laplace.

• Enumerar e identificar elementos ........................................................................................................................ 1, 2, 3






PROBABILIDAD14826523 _ 0497-0504.qxd 27/4/07 14:10 Página 500


En una bolsa tenemos 1.000 bolas de color blanco, verde y negro. Repetimos 200 veces el experimento de extraer una bola, anotar el color y devolverla a la bolsa. Los resultados son:

a) Calcula las frecuencias de cada color.

b) ¿Qué cantidad de bolas hay de cada color?

Se saca una ficha de dominó y se anotan los resultados. Dados los siguientessucesos: A = {La suma de los puntos de la ficha sea 6} y B = {Ficha doble},calcula la probabilidad de los sucesos.

a) A ∪ B

b) A,∩,B

c) B�

De una clase de 30 alumnos de 3.o ESO, 21 de ellos han aprobado Ciencias Naturales, 15 han aprobado Ciencias Sociales y 12 han aprobado las dos asignaturas. Si escogemos un alumno al azar:

a) ¿Qué probabilidad existe de que haya aprobado Ciencias Sociales, pero no Ciencias Naturales?

b) ¿Y de que haya aprobado Ciencias Naturales, pero no Ciencias Sociales?

Se hace una encuesta en una ciudad y se comprueba que el 25 % de los habitantes lee el periódico A, un 43 % lee el periódico By un 8 % lee ambos periódicos. Si escogemos una persona al azar, ¿qué probabilidad hay de que no lea ninguno de los periódicos?

8

7

6

5Aplicación de las propiedades

de las frecuencias relativasen experimentos aleatorios.

Determinación de laprobabilidad de la unión de

dos sucesos compatibles o incompatibles.






PR

OP

UE

STA

S D

E E

VALU

AC

IÓN

501

Bolas Blancas Verdes Negras

fi 115 69 16

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PROBABILIDAD14EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES

Diagrama de árbol y espacio muestral. Diagrama de árbol.

E = {(c, 1), (c, 2), (c, 3), (c, 4), (c, 5), (c, 6), E = {222, 224, 242, 244, 422, 424, 442, 444}(+, 1), (+, 2), (+, 3), (+, 4), (+, 5), (+, 6)}

Lanzamiento de un dado. A = {2, 4, 6, 8, 10, 12}, B = {5, 7, 11}, C = {1, 4, 9}

a) A ∩ B = �

b) A� ∪ (B ∩ C) = {1, 3, 5, 7, 9, 11} ∪ � = A�

c) Ae∪eC = {3, 5, 7, 11}

d) �Ce∪eA = {2,,3,,5,,6,,7,,8,,10,,11,,12},∪,{2,,4,,6,,8,,10,,12} = {1, 9}

Extracción de una carta de una baraja.

a) b) P(B) = 1 c) d) e) f) P(F) = 0

Bolas de colores.

a)

b) La cantidad aproximada de bolas será: Blancas: 0,575 ⋅ 1.000 = 575 Verdes: 0,345 ⋅ 1.000 = 345 Negras: 0,08 ⋅ 1.000 = 80

Fichas de dominó. Son 28 fichas. E = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), …, (0, 6), (1, 1), (1, 2), …, (6, 6)}A = {(0, 6), (1, 5), (2, 4), (3, 3)} B = {(0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}

a) P(A ∪ B) = b) P(A,∩,B) = c) P(B�) =

Alumnos.

a)

b)

Lectura de periódicos. P(A) = 0,25, P(B) = 0,43 y P(C) = 0,08

P(A,∪,B) = 1 − P(A ∪ B) = 1 − [P(A) + P(B) − P(A ∩ B] = 1 − (0,25 + 0,43 − 0,08) = 1 − 0,6 = 0,4

8

P NAT SOC P NAT P NAT SOC( ) ( ) ( ) ,− = − ∩ = − =2130

1230

0 3

P SOC NAT P SOC P SOC NAT( ) ( ) ( ) ,− = − ∩ = − =1530

1230

0 1

7

2128

34

=1 11

282728

− ∩ = − =P A B( )1028

514

=

6

f B f V f N( ) , ( ) , ( )= = = = =115200

0 57569200

0 34516200

== 0 08,

5

P E( ) = 2840

P D( ) = 2040

P C( ) = 1040

P A( ) = 140

4

3

21

123456

123456

24

24

24

24

2

4

2

4

2

4

c

+

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Queda prohibida, salvo excepción prevista en la ley, cualquier forma de reproduc-ción, distribución, comunicación pública y transformación de esta obra sin contarcon la autorización de los titulares de la propiedad intelectual. La infracción de losderechos mencionados puede ser constitutiva de delito contra la propiedad inte-lectual (artículos 270 y siguientes del Código Penal).

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