Fotocopiable Santillana Matematicas-301

419 MATEMTICAS 3. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L.

Nmeros racionales

CONTENIDOS

NMEROS RACIONALES

Concepto de fraccin. Interpretacin de una fraccin. Fracciones equivalentes. Fraccin irreducible.

Ordenacin y comparacin de fracciones.

Operaciones con fracciones. Suma, resta, multiplicacin y divisin de fracciones.

Concepto y tipos de nmeros decimales.

Fracciones y nmeros decimales. Reglas de conversin.

Nmeros racionales y fracciones.

SUGERENCIAS Y PREGUNTAS SOBRE LAS PRUEBAS Y SU CORRECCIN

PRUEBA INICIAL

La prueba inicial es un resumen de los contenidos deDivisibilidad y Fracciones, de 2. ESO, haciendo hin-capi en aquellos procedimientos ms bsicos: calcu-lar el m.c.d. y el m.c.m. de dos nmeros, averiguar lafraccin que representa una parte de un grfico, repre-sentar grficamente una fraccin y alguna de las ope-raciones bsicas: suma y multiplicacin de fracciones y simplificacin de fracciones.

PRUEBA DE LA UNIDAD

La prueba que se ha diseado contiene todos los conte-nidos procedimentales de la unidad. Las actividades sepueden resolver fcilmente, ya que es una unidad de revisin de conceptos y procedimientos estudiados encursos anteriores. Las ltimas actividades: problemas y clasificacin de nmeros, son las que pueden resultarms complicadas a los alumnos.

1INTRODUCCIN

Esta unidad tiene un carcter procedimental y ya ha sido trabajada en cursos anteriores, sobre todoen el uso de fracciones y nmeros decimales. Por tanto, los contenidos procedimentales de la unidadson conocidos por los alumnos, pero se ha de reforzarel mtodo de trabajo de manipulacin de fracciones,as como tambin se deben ampliar algunos conceptos de transformaciones de fracciones y decimales, e introducir la clasificacin de nmeros y la representacin grfica de nmeros racionales.

A lo largo de la unidad, conviene hacer reflexionar a los alumnos sobre la presencia de las fracciones en distintos contextos: situaciones de compra o consumo, figuras geomtricas, informaciones en medios de comunicacin

CONOCIMIENTOS PREVIOS

Se recomienda comenzar la unidad comprobando y repasando, si es necesario, los conceptos msimportantes sobre divisibilidad y las distintasinterpretaciones de una fraccin: como cociente de dos nmeros, como resultado de una medida y como operador, dejando clara la interpretacin de fracciones positivas y negativas; la diferencia entrelas fracciones propias e impropias; la representacin de fracciones mediante figuras geomtricas y las operaciones con fracciones. Los conocimientosprevios que han de tener los alumnos son:

Criterios de divisibilidad. El m.c.d. y el m.c.m. de dos o ms nmeros.

Interpretacin de un nmero fraccionario.

Representacin de fracciones.

PR

OP

UE

STA

S D

E E

VALU

AC

IN

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EVALUACIN INICIAL

Completa la tabla con S o No.

Descompn los nmeros 132 y 154 en factores primos, y calcula el m.c.d. y m.c.m.

El tangram es un antiguo puzle chino en el que el nmero y la forma de las piezas es invariable. Consta de siete piezas obtenidas por la divisin de un cuadrado.

a) Escribe, para cada una de las siete piezas, la fraccin que supone su rea respecto del rea total del tangram.

b) Qu fraccin del total suponen los tringulos?

c) Si el rea total del tangram es 32 cm2, cul es el rea de cada una de las piezas?

Representa grficamente las siguientes fracciones.

a) b) c)

Calcula esta operacin con fracciones y simplifica el resultado.

5

18

5

6

8

5+ =

5

9

20

3

10

3

8

4

3

2

1

NMEROS RACIONALES1

Nmero 2

Es divisible por?

3 5 7 11 13

12

434

825

30

468

11

132 154

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MATEMTICAS 3. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIN, S. L.

EVALUACIN INICIAL: SOLUCIONES

PR

OP

UE

STA

S D

E E

VALU

AC

IN

Completa la tabla con S o No.

Descompn los nmeros 132 y 154 en factores primos, y calcula el m.c.d. y m.c.m.

El tangram es un antiguo puzle chino en el que el nmero y la forma de las piezas es invariable. Consta de siete piezas obtenidas por la divisin de un cuadrado.

a) Escribe, para cada una de las siete piezas, la fraccin que supone su rea respecto del rea total del tangram.

b) Qu fraccin del total suponen los tringulos?

c) Si el rea total del tangram es 32 cm2, cul es el rea de cada una de las piezas?

Representa grficamente las siguientes fracciones.

a) b) c)

Calcula esta operacin con fracciones y simplifica el resultado.

518

86

5 8 318

2918

+ = + =518

5

6

8

5+ =

5

9

20

3

10

3

8

4

A A A A A A A1 2 2 3 6 2 4 5 7 28 2 4= = = = = = =cm cm cm, ,

A A AT = + = +

= =1 1

18

18

114

34

4 5( )

A A A A A A A1 2 3 6 4 5 714

116

18

= = = = = = =, ,

3

2

1

421

Nmero 2

Es divisible por?

3 5 7 11 13

12 S S No No No No

S No No S No No

No S S No S No

S S S No No No

S S No No No S

No No No No S No

434

825

30

468

11

132

663311

1

22311

154

7711

1

2711

m.c.d. (132, 154) = 2 11 = 22

m.c.m. (132, 154) = 22 3 7 11 = 924F

a) b) c)

1

6 7

5

3 42

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EVALUACIN DE LA UNIDADcontenidos

Escribe una fraccin equivalente a y cuyo denominador sea 80.

De las siguientes fracciones, rodea las que sean equivalentes a .

Encuentra las fracciones irreducibles de estas fracciones: y .

Ordena las siguientes fracciones: , , , .

Completa la suma: .

Opera y simplifica.

a)

b)7

5

5

32

6

27

42

24

5

9

3

4

5

7

15

2

:

6

= 75

23+5

3314

2311

145

74

4

14454

1281 024.

3

515

2

1548

1

6

21

7

21

11

30

15

45

18

55

20

60

23

65

Obtencin de fraccionesequivalentes mediante

amplificacin y simplificacin.

Determinacin de si dos fracciones

son o no equivalentes.

Bsqueda de fraccionesequivalentes a una dada.

Comparacin y ordenacin de fracciones.

Operaciones con fracciones.

Enumerar e identificar elementos ........................................................................................................................ 8

Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. ..............................................................................

Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones ........................................................................... 1, 2, 4, 9

Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes ...........................................................................................................

Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ............................................................................................................ 3, 5, 6, 10, 11

CAPACIDADES PREFERENTES PRUEBAS

NMEROS RACIONALES1826523 _ 0419-0424.qxd 27/4/07 13:41 Pgina 422


Sin realizar ninguna divisin, clasifica estos nmeros en enteros, decimales exactos o decimales peridicos.

Completa la siguiente tabla.

Obtn la fraccin generatriz de los nmeros decimales.

a) 12,05 b) 12,05 c) 12,05

En la fabricacin de sulfato sdico, por cada 142 g del producto final, 32 g son de azufre, 64 g de oxgeno y 46 g de sodio. Expresa mediante una fraccin los gramos de azufre, oxgeno y sodio que son necesarios para fabricar 100 g de sulfato.

De la clase de 3. ESO, las partes son chicos. Qu fraccin representa

el nmero de chicas? Cuntas chicas hay si son 28 alumnos en total?

47

11

10

9

8

7

40

40

7

128

8

35

15

13

128

15

34, , , , ,

7Reconocimiento y clasificacin de nmeros.

Obtencin de la fraccin generatriz de un nmero decimal

exacto o peridico.

Resolucin de problemascon fracciones.

Clasificar y discriminar segn criterios ................................................................................................................... 5, 7, 11

Contrastar operaciones, relaciones, etc. ................................................................................................................. 5

Combinar, componer datos, resumir, etc. ..............................................................................................................

Deducir, formular hiptesis, generalizar, etc. .........................................................................................................


PR

OP

UE

STA

S D

E E

VALU

AC

IN

423

N Z Q I

13

7

23

7,8

8

2

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NMEROS RACIONALES1EVALUACIN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES

Fraccin equivalente.

Fraccin equivalente.

Fracciones irreducibles.

Ordenacin de fracciones.

Comn denominador:

Operacin inversa.

Clculo.

a)

b)

Clasificacin.

Por 100 g de sulfato sdico.

Azufre: Oxgeno:

Sodio:

En el aula. son chicas;37

2837

283 28

7de 12 chicas= = =1 4

77 4

737

= =11

46142 100

2 30071

= =z z .

64142 100

3 20071

= =y y .32142 100

1 60071

= =x x .10

8

7

40

40

7

128

8

35

15D Exacto D Peridico Entero D Pe. . . rridico D Exacto D Peridico

13

128

15

34. .

7

=

= +

75

532

6 8 42 9216

75

532

3302166

75

= =

1.455864

679288

7

5

5

32

6

27

42

24

=

=

= 59

34

10105

59

315 40420

5 2753..

.

.7801 3753 780

275756

= =59

3

4

5

7

15

2

:

6

x = = =75

23

7 3 2 515

1115

=7

5x2

3+5

7

4

14

5

23

11

3

2.695 4.3121.540

3.2201 540 1 540. .

33

14

3.6301.540

74

2311

3314

145

< <


Nmeros reales

CONTENIDOS

NMEROS REALES

1. Nmeros racionales.

Potenciacin de nmeros racionales. Potencias de exponente positivo. Potencias de exponente negativo. Propiedades de las potencias.

Operaciones con potencias.

Potencias de base 10. Notacin cientfica.

Operaciones con nmeros expresados en forma cientfica.

2. Concepto de nmero real.

Nmero con una expresin decimal finita o infinita. Nmeros racionales e irracionales.

Posicin de un punto en una recta numrica.

Aproximacin de nmeros reales expresados en forma decimal: redondeo y truncamiento. Reglas de uso.

Error cometido en las aproximaciones y operaciones con nmeros reales.


PRUEBA INICIAL

La prueba inicial es un resumen de los contenidos dePotencias y raz cuadrada, de 2. ESO, en el que sehace hincapi en los conceptos bsicos de las potencias:clculo y transformaciones directas (actividades 1 y 2) e inversas (actividad 3), as como el clculo con nme-ros en notacin cientfica (actividad 5).

PRUEBA DE LA UNIDAD

La prueba tiene tres partes diferenciadas. La primera par-te (actividades 1 a 6) consta de cuestiones de repaso delas potencias y de manipulacin de nmeros mediantenotacin cientfica, que se pueden trabajar con la calcu-ladora y que sirven para conocer los diferentes tipos decalculadoras. La segunda parte (actividades 7 a 9) es de trabajo con los nmeros reales: aproximaciones y re-presentacin grfica, siendo las dos ltimas actividadesproblemas para realizar con la calculadora.

2INTRODUCCIN

En esta unidad se trabajan los nmeros decimales, su relacin con las fracciones y el uso de potencias. Los contenidos siguen siendo bsicamenteprocedimentales. Al acabar la unidad los alumnos han de saber manipular perfectamente las potencias y la notacin cientfica, que son esenciales en otrasreas de las Matemticas. Uno de los aspectos ms importantes de la unidad es el concepto denmero irracional y la estimacin y aproximacin de nmeros.


Esta unidad est relacionada con los contenidos de Nmeros decimales y Potencias y raz cuadrada.Los conocimientos previos son los relativos a:

Potencias con base entera.

Trabajo con nmeros decimales y en notacincientfica.

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EVALUACIN INICIAL

Escribe la descomposicin factorial de los siguientes nmeros.

a) 810 c) 4.455

b) 31.752 d) 33.275

Indica la base, el exponente y el resultado de las potencias.

Estos datos se refieren a un cubo. Completa la tabla con la calculadora.

Calcula y escribe las ocho primeras potencias de 2.

21 = 2 22 = 4 23 = 8 24 = 16 25 = 32

26 = 27 = 28 =

Observa la cifra de las unidades en los resultados. Cul ser la ltima cifra de la potencia 236?

Un embalse que abastece a una poblacin tiene 250 hm3. Si, por trmino medio, una persona gasta 200 litros de agua diarios, y la poblacin consta de 13.350 habitantes, cuntos das podr abastecer el embalse a la poblacin?

5

4

3

2

1

NMEROS REALES2

Base Exponente Resultado

23

(3)2

1

5

4

3

7

2

Arista 3 5

Volumen 27 729 4.913

rea de una cara 9 64 4.225

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PR

OP

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VALU

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IN

Escribe la descomposicin factorial de los siguientes nmeros.

a) 810 = 2 34 5 c) 4.455 = 34 5 11b) 31.752 = 23 34 72 d) 33.275 = 52 113

Indica la base, el exponente y el resultado de las potencias.

Completa la tabla con la calculadora.

Calcula y escribe las ocho primeras potencias de 2.

21 = 2 22 = 4 23 = 8 24 = 16 25 = 32

26 = 27 = 28 =

Observa la cifra de las unidades en los resultados. Cul ser la ltima cifra de la potencia 236?

Se repite la ltima cifra cada 4 unidades: {2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, }; por tanto, la potencia 236 tendr la misma ltima cifra que 24, es decir, un 6.

Un embalse que abastece a una poblacin tiene 250 hm3. Si, por trmino medio, una persona gasta 200 litros de agua diarios, y la poblacin consta de 13.350 habitantes, cuntos das podr abastecer el embalse a la poblacin?

Dividimos la cantidad total de agua entre la cantidad diaria que gasta cada habitante:

das. Luego dividimos esta cantidad entre el nmero de habitantes

que tiene la poblacin: 1 25 10

13 35094

6,. das.

250 10200

1 25 106

6 = ,

5

25612864

4

3

2

1

427

Arista 3 9 8 5 65 17

Volumen 27 729 512 125 274.625 4.913

rea de una cara 9 81 64 25 4.225 289

Base Exponente Resultado

23 2 3 8

(3)2 3 2 9

1

5

4

15

41

625

3

7

2

37

2949

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Calcula las siguientes potencias.

a) b) ((3)2)2

Expresa como una sola potencia.

Calcula y simplifica la siguiente potencia.

(8 42)3

Escribe en notacin cientfica estos nmeros o expresiones numricas.

a) 1.700.000.000

b) 0,0000000017

c) 0,0025 + 0,0000032 0,00002

Opera mediante la notacin cientfica.

(6,5 107 0,23 109) 5,1 103

Calcula el trmino que falta.

a) 3,2 105 + = 5,7 106

b) 1,5 103 = 2,7 104

Trunca y redondea los siguientes nmeros o expresiones numricas a las milsimas.

a)

b)

c) 0,33

5

19

6

5

7

6

5

4

3

3 91

3272 3

4

2

2

1

5

2

1Clculo de potencias con exponentes negativos.

Aplicacin de las propiedades de las potencias.

Expresin de un nmero en notacin cientfica.

Trabajo con nmeros y potencias en notacin

cientfica.

Determinacin deaproximaciones decimales

de nmeros racionales e irracionales hasta las

dcimas, centsimas

Enumerar e identificar elementos ........................................................................................................................ 1, 4

Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. .............................................................................. 2, 3

Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones ........................................................................... 7


Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ............................................................................................................ 1, 2, 3, 5, 6, 10


NMEROS REALES2826523 _ 0425-0430.qxd 27/4/07 13:45 Pgina 428


Representa el nmero en la recta real de forma exacta.

Representa en la recta real y de forma exacta los intervalos

y . Luego comprueba si los nmeros y

pertenecen o no a los intervalos.

Un glbulo rojo tiene forma de cilindro con un dimetro de unas 7 millonsimasde metro y unas 2 millonsimas de altura. Cul es su volumen?

En una botella de aceite virgen se indica: 0,75 3 %. Entre qu dos valoresestar comprendida la cantidad de aceite que contiene?

11

10

145

5B =

52

174

,A =

3

73

,

9

58Representacin de nmeros e intervalos en la recta real.

Resolucin de problemas con diferentes tipos

de nmeros y aproximaciones.

Clasificar y discriminar segn criterios ................................................................................................................... 8, 9

Contrastar operaciones, relaciones, etc. ................................................................................................................. 7, 11




PR

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NMEROS REALES2EVALUACIN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES

a) = ((5)1)2 = 52 = 25 b) ((3)2)2

Clculo.

Clculo y simplificacin. (8 42)3 = (23 (22)2) 3 = (234)3 = (21)3 = 23

Notacin cientfica.

a) 1.700.000.000 = 1,7 109 b) 0,0000000017 = 1,7 109

c) 0,0025 + 0,0000032 0,00002 = 2,5 103 + 3,2 106 2 105 == (2.500 + 3,2 20) 106 = 2,4832 103

(6,5 107 0,23 109) 5,1 103 = ((6,5 23) 107) 5,1 103 == 16,5 107 5,1 103 = 84,15 104 = 8,415 105

a) 3,2 105 + = 5,7 106 A = 5,7 106 3,2 105 = (5,7 0,32) 106 = 5,38 106

b) 1,5 103 = 2,7 104

Truncamiento y redondeo.

Mediante el teorema de Pitgoras. Tringulo de catetos 2 y 1

Representacin de intervalos.

Glbulo rojo.

Botella. Calculamos el 3% de 0,75 = 0,0225 0,75 0,0225 Intervalo: (0,7275; 0,7725)11

V =

=

72

10 2 1049 24

1062

6 122 6 17 37 7 10+ ( ) , m10

< <

3 5

73

5 352

,


Polinomios

CONTENIDOS

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Monomios. Operaciones.

Polinomios. Valor numrico de un polinomio.

Operaciones con polinomios. Sumas, restas y multiplicaciones.

Divisin de polinomios.

Regla para sacar factor comn en un polinomio.

Igualdades notables. Cuadrado de una suma, de una diferencia y producto de suma por diferencia.

Fracciones algebraicas. Simplificacin de fracciones algebraicas.


PRUEBA INICIAL

La prueba inicial es un resumen de los contenidos deExpresiones algebraicas, de 2. ESO, y se hace hin-capi en la transformacin de expresiones algebraicas,operaciones con monomios y valor numrico de un po-linomio, ya que el resto de conceptos del curso anteriorse vuelven a revisar en este curso y, por tanto, apare-cen en las actividades de la unidad.

PRUEBA DE LA UNIDAD

La prueba que se ha diseado contiene actividades re-lativas a los contenidos que se trabajan en la unidad,sobre todo el clculo con polinomios: sacar factor co-mn, reducir, operaciones con polinomios Convienetrabajar la parte final (actividades 8 a 11): divisin depolinomios y binomios notables, tanto en su aplicacindirecta como inversa.

3INTRODUCCIN

Esta unidad contina el estudio algebraico comenzadoen cursos anteriores. La utilizacin del lenguajealgebraico es fundamental en el proceso de abstraccin matemtico y ser bsico al trabajar con ecuaciones y sistemas de ecuaciones.

Los dos aspectos ms importantes de la unidad son: la divisin de polinomios, que es necesaria para hallarraces de polinomios, y los productos notables. Ser interesante hacer ver a los alumnos que las expresiones algebraicas se utilizan en numerososaspectos de la economa, fsica, qumica, etc., y en diferentes operaciones o ecuaciones.


En el curso anterior se comenz el estudio de las expresiones algebraicas, que es fundamentaltanto en este tema como en los relativos a ecuaciones y sistemas. Conviene revisar estos aspectos.

Operaciones con nmeros desconocidos medianteel lenguaje algebraico.

Clculo de sumas y restas de monomiossemejantes.

Trabajo con igualdades notables.

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EVALUACIN INICIAL

Expresa mediante el lenguaje algebraico.

a) Un mltiplo de 9.

b) El cubo de un nmero.

c) Un nmero impar.

d) Un mltiplo comn de 3 y 4.

Para calcular el espacio que recorre un mvil a una velocidad constante utilizamos la expresin algebraica: e = v t (donde e es el espacio, v la velocidad y t el tiempo). Si llamamos v1 a la velocidad de un caballo, v2 a la velocidad de una moto y v3 a la velocidad de un coche, expresa algebraicamente los siguientes enunciados.

a) La velocidad del coche es cinco veces mayor que la del caballo.

b) La velocidad del caballo es la cuarta parte de la velocidad de la moto.

c) El doble de la velocidad del caballo es la novena parte de la suma de las velocidades del coche y la moto.

d) El doble de la velocidad de la moto es igual a la velocidad del coche.

e) La sexta parte de la velocidad del coche es igual a la del caballo.

Opera con los monomios. P(x) = 3x 2 R(x) = 5x 2 T(x) = 6xQ(x) = 4x S(x) = 7

P(x) + R(x) =

Q(x) T(x) =

P(x) + S(x) =

P(x) T(x) =

Calcula el valor de las expresiones, segn el valor de x.

P(x) = 4x + 3, si x = 3 P(3) =

P(x) = 3x + 3x2, si x = 2 P(2) =

P(x) = (x2 4)2, si x = 2 P(2) =

4

3

2

1

POLINOMIOS3826523 _ 0431-0436.qxd 27/4/07 13:48 Pgina 432



PR

OP

UE

STA

S D

E E

VALU

AC

IN

Expresa mediante el lenguaje algebraico.

a) Un mltiplo de 9 9nb) El cubo de un nmero n3

c) Un nmero impar 2n + 1d) Un mltiplo comn de 3 y 4 12n

Para calcular el espacio que recorre un mvil a una velocidad constante utilizamos la expresin algebraica: e = v t (donde e es el espacio, v la velocidad y t el tiempo). Si llamamos v1 a la velocidad de un caballo, v2 a la velocidad de una moto y v3 a la velocidad de un coche, expresa algebraicamente los siguientes enunciados.

a) La velocidad del coche es cinco veces mayor que la del caballo v3 = 5v1

b) La velocidad del caballo es la cuarta parte de la velocidad de la moto

c) El doble de la velocidad del caballo es la novena parte de la suma de las velocidades del coche y la moto

d) El doble de la velocidad de la moto es igual a la velocidad del coche 2v2 = v3

e) La sexta parte de la velocidad del coche es igual a la del caballo

Opera con los monomios. P(x) = 3x 2 R(x) = 5x 2 T(x) = 6xQ(x) = 4x S(x) = 7

P(x) + R(x) = 2x2

Q(x) T(x) = 10x

P(x) + S(x) = 3x2 + 7

P(x) T(x) = 18x3

Calcula el valor de las expresiones, segn el valor de x.

P(x) = 4x + 3, si x = 3 P(3) = 12 + 3 = 15

P(x) = 3x + 3x2, si x = 2 P(2) = 6 + 12 = 6

P(x) = (x2 4)2, si x = 2 P(2) = ((2)2 4)2 = 02 = 0

4

3

vv3 1

6=

29

12 3v

v v= +

vv

12

4=

2

1

433

826523 _ 0431-0436.qxd 27/4/07 13:49 Pgina 433



Completa la tabla indicando el coeficiente, la parte literal y el grado.

Saca factor comn.

Reduce y ordena el siguiente polinomio.

Determina el grado y el trmino independiente del polinomio anterior. Calcula su valor numrico para x = 3.

Halla el resultado de esta operacin entre polinomios.

(7x2 + 3x 2) (2x2 5x + 8)

Determina el polinomio opuesto del polinomio anterior. 6

5

4

P x x x x x x x( ) = + + +4 3 5 3 7 2 3 42 3 2 33

72

3

4

53 2 3 2 2x yz xyz x y z+

2

1Distincin entre coeficiente,parte literal y grado

de un monomio.

Obtencin de factor comn en expresiones algebraicas.

Reduccin y ordenacin de polinomios.

Determinacin del valornumrico de una expresin.

Clculo de sumas, restas y productos de diferentes

polinomios.



Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones ........................................................................... 2, 3, 6, 7

Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes ........................................................................................................... 8, 10



POLINOMIOS3

Monomio Coeficiente Parte literal Grado

12x3

7ab2

7 5 2 3x y

2

32 3 2m n p

826523 _ 0431-0436.qxd 27/4/07 13:49 Pgina 434


Dados los polinomios:

realiza las siguientes operaciones.

a)

b)

c)

Haz la divisin y escribe el dividendo, divisor, cociente y resto.

Efecta los siguientes productos notables.

a) (x2 4)(x2 + 4)

b) (2x + 3)2

Expresa en forma de producto estos polinomios.

a) x2 + 6x + 9

b) 9y2 + 30y + 25

Opera y simplifica las siguientes fracciones.

a)

b)

c)x x

x

2

2

3

9

x x

x

3 26

3

8

4

2 3

4 2

x y z

xy z

11

10

9

( ) : ( )x x x x x5 4 34 3 5 2 1+ + +

8

P x M x( ) : ( )

Q x M x( ) ( )

P x Q x( ) ( )

M x x( ) = + 4Q x x x( ) = 2 3 13 2P x x x( ) = +4 2 3

7

Divisin de polinomios.

Trabajo con los productos notables.

Determinacinde cuadrados perfectos.

Simplificacin de fraccionesalgebraicas.

Clasificar y discriminar segn criterios ...................................................................................................................

Contrastar operaciones, relaciones, etc. .................................................................................................................


Deducir, formular hiptesis, generalizar, etc. .......................................................................................................... 10


PR

OP

UE

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S D

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VALU

AC

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435

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POLINOMIOS3EVALUACIN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES

Tabla.

Factor comn.

P(x)

Grado: 3. Trmino independiente: 9.Valor numrico:

(7x2 + 3x 2) (2x2 5x + 8) = 14x4 35x3 + 56x2 + 6x3 15x2 + 24x 4x2 + 10x 16 == 14x4 29x3 + 37x2 + 34x 16

Polinomio opuesto.

a) P(x) Q(x)

b) Q(x) M(x)

c) P(x) : M(x)

Productos notables. a) (x2 4)(x2 + 4) = x4 16 b) (2x + 3)2 = 4x2 + 12x + 9

Productos notables. a) x2 + 6x + 9 = (x + 3)2 b) 9y2 + 30y + 25 = (3y + 5)2

Simplificacin de fracciones algebraicas.

a) c)

b) = = x xx

x x2 63

63

( ) ( )x xx

3 26

3

= +

=+

x xx x

xx

( )( )( )

33 3 3

x x

x

2

2

3

9

= 2xyz

8

4

2 3

4 2

x y z

xy z

11

10

9

x 5 + 4x 4 3x 3 + 5x 2

x5 4x4 3x3 + 5x 2

x5 + 3x4 3x3

x5 3x4 3x3 + 5x 2

+ 5x

5x 5

7

x + 1

x4 + 3x3 + 5

8

= + x x xcociente

3 24 16 66

++

2674

resto

x

= + 2 5 12 44 3 2x x x x

= + +x x x x4 3 22 3 2 47

= + +P x x x x x( ) 14 29 37 34 164 3 26

5

P( ) ( ) ( ) ( ) = + + = 3 4 3 5 3 3 9 1473 24

= + + + + = ( ) ( ) ( ) ( )7 3 3 2 4 3 5 4 4 53 3 2 2 3 2x x x x x x x x ++ +x 93

= +

xyz x z z xy7

23

45

2 272

3

4

53 2 3 2 2x yz xyz x y z+ 2

1Monomio Coeficiente Parte literal Grado

12x3 12 x3 3

7ab2 7 ab2 3

7 5 2 3x y 7 5 x2y3 5

2

32 3 2m n p

23

m2n3p2 7

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Ecuaciones de 1.er y 2.o grado

CONTENIDOS

ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO

Concepto de ecuacin.

Elementos del lenguaje: miembros de una ecuacin, trminos, coeficientes, grado, incgnitas y solucin.

Tipos de ecuaciones segn el grado, el nmero de incgnitas y el nmero de soluciones.

Equivalencia de ecuaciones.

Ecuaciones de primer grado. Algoritmo de resolucin.

Ecuaciones de segundo grado. Ecuaciones completas e incompletas. Algoritmo de resolucin.

Resolucin de problemas con ecuaciones.


PRUEBA INICIAL

Las actividades planteadas en la prueba estn dirigidasa comprobar que los alumnos tienen asimilados losconceptos bsicos sobre ecuaciones y su resolucin:mental, por el mtodo de ensayo-error o por mtodosms generales. Se ofrecen tambin un par de activida-des para trabajar con nmeros y con expresiones alge-braicas.

PRUEBA DE LA UNIDAD

La prueba contiene actividades de procedimientos de launidad: ecuaciones de primer grado con y sin parnte-sis, con y sin denominadores, y ecuaciones de segundogrado incompletas y completas. Tambin hay una seriede problemas para resolver con ecuaciones. Es funda-mental plantear correctamente los problemas, ya quese repasan conceptos conocidos por los alumnos tantode cuestiones numricas como geomtricas.

4INTRODUCCIN

Los contenidos de esta unidad son fundamentales en las Matemticas. Las ecuaciones de primer grado y de segundo grado ya se han trabajado en el primerciclo y no deberan presentar dificultades a losalumnos.

La dificultad del tema se presentar al trabajar con expresiones algebraicas y en la resolucin de problemas con ecuaciones. Por ello, serconveniente plantear problemas de la vida cotidiana y prximos a los alumnos.


Se consideran tres aspectos bsicos en el estudio de esta unidad:

Conocimientos previos de la aritmtica de los nmeros reales (Unidades 1 y 2 de 3. ESO).

Conceptos y procedimientos sobre ecuacionesestudiados en el curso anterior.

Conceptos y procedimientos de clculo con expresiones algebraicas trabajados en el curso anterior, as como tambin la Unidad 3 de 3. ESO.

Adems, ser bsico tener capacidad para plantearproblemas mediante ecuaciones y contrastar los resultados con la situacin planteada.

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EVALUACIN INICIAL

Calcula y simplifica.

Opera y simplifica las expresiones algebraicas.

a) x(x + 3) (2x + 1)

b) x(3 x) + 3x2 5(x + 3)

c)

Escribe el coeficiente, parte literal y grado de los monomios.

Identifica la incgnita y resuelve las ecuaciones de forma mental o por el mtodo de ensayo-error.

Encuentra dos nmeros pares consecutivos cuya suma sea 126.

Resuelve las ecuaciones de segundo grado incompletas.

a) 3x2 75 = 0

b) x2 + 4 = 0

6

5

4

3

x x x

2

1

3

2 4

5+

+( )

2

4

5

3

2

1

6

3

4

2

7

1

ECUACIONES DE 1.er Y 2. GRADO4


5xz2 5 xz2 3

8x3y2

17x6

10,7a3b4

Ecuacin Incgnita Solucin Ecuacin Incgnita Solucin

x + 4 = 7y

52=

y 3 = 5 8 z = 6

2x = 8 3z 2 = 10

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PR

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VALU

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IN

Calcula y simplifica.

Opera y simplifica las expresiones algebraicas.

a) x(x + 3) (2x + 1) = x2 + 3x 2x 1 = x2 + x 1

b) x(3 x) + 3x2 5(x + 3) = 3x x2 + 3x2 5x 15 = 2x2 2x 15

c)

Escribe el coeficiente, parte literal y grado de los monomios.

Identifica la incgnita y resuelve las ecuaciones de forma mental o por el mtodo de ensayo-error.

Encuentra dos nmeros pares consecutivos cuya suma sea 126.

Llamamos x y x + 2 a dichos nmeros. Por tanto: x + (x + 2) = 126 2x + 2 = 126

Los nmeros son 62 y 64.

Resuelve las ecuaciones de segundo grado incompletas.

a) 3x2 75 = 0

b) x2 + 4 = 0 x x2 4 4= = No tiene solucin real.

x x xx

2 1

2

753

25 25 55

= = = ==

6

2 1241242

62x x= = =

5

4

3

= 13 5830

x

= + + = + =15x x x 15x x x10 1 12 430

10 10 12 4830

( ) ( )x x x2

1

3

2 4

5+

+( )

2

= = = =45

86

1328

3230

1328

195420

253420

44845

3

2

1

6

3

4

2

7

1

439


5xz2 5 xz2 3

8x3y2 8 x3y2 5

17x6 17 x6 6

10,7a3b4 10,7 a3b4 7

Ecuacin Incgnita Solucin Ecuacin Incgnita Solucin

x + 4 = 7 x 3y

52= y 10

y 3 = 5 y 8 8 z = 6 z 2

2x = 8 x 4 3z 2 = 10 z 4

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Comprueba si estas expresiones son ecuaciones o identidades.

a) 3(x 2) + x = 2(3 x) + 4x 5

b) 2(x 3) + x = 4(x 2) x + 2

Resuelve la siguiente ecuacin de primer grado: 6x 7 = 2x + 5.

Resuelve la ecuacin de primer grado: .

Resuelve la ecuacin de primer grado: 3(2x 5) + 4(7 2x) = 2x 3(2x 8).

Resuelve la ecuacin de segundo grado: 2x2 = 18.

Resuelve la ecuacin de segundo grado: x2 + 5x = 0.

Resuelve la ecuacin de segundo grado: x2 5x + 4 = 0.

Resuelve la ecuacin de segundo grado: x (x + 4) = 3(x 8).8

7

6

5

4

3 57

2 85

xx

x = +3

2

1Distincin de si una igualdades ecuacin o identidad.

Resolucin de ecuacionesde primer grado mediante

diferentes mtodos.

Resolucin de ecuacionesde segundo grado

completas e incompletas.

Enumerar e identificar elementos ........................................................................................................................


Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones ........................................................................... 1, 9

Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes ........................................................................................................... 9

Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ............................................................................................................ 2-13


4 ECUACIONES DE 1.er Y 2. GRADO826523 _ 0437-0442.qxd 27/4/07 13:47 Pgina 440


Halla el valor de b en la ecuacin x 2 + bx 20 = 0, sabiendo que una de sus soluciones es x1 = 4. Calcula el valor del discriminante y la otra solucin.

La suma de tres nmeros impares consecutivos es 135. Determina dichos nmeros.

Por qu nmero hay que dividir 108 para que el resultado sea igual al triple de dicho nmero?

Halla los tres nmeros consecutivos que cumplen que la suma de los cuadradosdel menor y el mayor es igual al cuadrado del nmero intermedio ms 18.

La hipotenusa de un tringulo rectngulo mide 4 cm ms que el cateto menor y 2 cm ms que el cateto mayor. Calcula las longitudes de los tres lados del tringulo.

13

12

11

10

9Determinacindel discriminante de una ecuacin

de segundo grado.

Resolucin de problemas de diferentes tipos,

mediante el planteamiento y la resolucin

de ecuaciones de primer y segundo grado.






PR

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441

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ECUACIONES DE 1.er Y 2. GRADO4EVALUACIN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES

a) 3(x 2) + x = 2(3 x) + 4x 5 4x 6 = 2x + 1. Es una ecuacin.b) 2(x 3) + x = 4(x 2) x + 2 3x 6 = 3x 6. Es una identidad.

6x 7 = 2x + 5 6x 2x = 5 + 7 4x = 12

Ecuacin de primer grado.

Eliminamos denominadores: 15x 25 = 35x (14x + 56)Quitamos parntesis: 15x 35x + 14x = 25 56 6x = 31

Despejamos la x:

Quitamos parntesis: 6x 15 + 28 8x = 2x 6x + 24

Transponemos trminos: 2x = 11 y despejamos la x:

2x2 = 18 . Dos soluciones: y

x2 + 5x = 0 x (x + 5) = 0. Dos soluciones: y

x2 5x + 4 = 0

x(x + 4) = 3(x 8) x2 + x + 24 = 0

No tiene solucin.

Discriminante y soluciones. Si una solucin es 4 42 + b 4 20 = 0 4b = 4 b = 1El discriminante es: = 12 4 1 (20) = 1 + 80 = 81

La otra solucin es:

Nmeros impares. Llamamos x al nmero menor: x + (x + 2) + (x + 4) = 135 3x = 135 6 = 129

Despejamos: x = 43

Nmeros. Llamamos x a dicho nmero:

Tres nmeros.

Tringulo. Llamamos x a la hipotenusa. Los catetos sern x 2 y x 4. x2 = (x 2)2 + (x 4)2 x2 = x2 4x + 4 + x2 8x + 16

x2 12x + 20 = 0 x1 = 10, x2 = 2 (no vlida)Los lados miden 6 cm, 8 cm y 10 cm.

13

x x x yx y

2 1

22 15 0 3 3 4 5

5 5 4 3+ = =

=

,,

x x x x x x x x2 2 2 2 2 22 1 18 4 4 2 1 18+ + = + + + + + = + + +( ) ( ) 12

1083 108 3

1083

36 62 2x

x x x x= = = = = 11

43, 45 y 47

10

x1 = 4x2 = 5

x = 1 812

9

x =

= 1 1 4 1 242 1

1 952

2

8

x1 = 4x2 = 1

x =

= 5 5 4 1 42 1

5 32

2

7

x2 = 5x1 = 06

x2 = 3x1 = 3x = 9x2182

9= =5

x = 5,5

4

x = 316

3 57

2 85

xx

x = +3

x = =124

32

1

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Sistemas de ecuaciones

CONTENIDOS

SISTEMAS DE ECUACIONES

1. Ecuaciones lineales. Representacin grfica de rectas en el plano.

2. Sistemas de ecuaciones lineales.

Resolucin de sistemas. Nmero de soluciones de un sistema de ecuaciones.

Representacin grfica de un sistema de ecuaciones.

Mtodos de resolucin de sistemas de ecuaciones: igualacin, sustitucin y reduccin.

Reglas prcticas para resolver sistemas.

Resolucin de problemas mediante sistemas.


PRUEBA INICIAL

Las actividades planteadas en la prueba estn dirigidasa comprobar que los alumnos tienen asimilados losconceptos bsicos sobre la representacin de puntosen el plano y la resolucin de ecuaciones y sistemaspor los mtodos habituales de resolucin, incluso por elmtodo de ensayo-error.

PRUEBA DE LA UNIDAD

La prueba que se ha diseado contiene actividades re-lativas a la resolucin de sistemas de ecuaciones pordiferentes mtodos y problemas para resolver con sis-temas. No es conveniente presentar sistemas incom-patibles, siendo los problemas planteados sencillos deresolver.

5INTRODUCCIN

Los contenidos de esta unidad son continuacin de la unidad anterior y, por tanto, es fundamental que los alumnos sepan resolver las ecuaciones de primer grado. Tambin es importante la representacin grfica de puntos en el plano, ya que servir para representar las rectas en el plano y resolver de forma grfica los sistemas.

La resolucin de problemas es uno de los fundamentos de las Matemticas pues, al resolvernumerosos problemas reales, es necesario resolversistemas de ecuaciones. Para motivar a los alumnospueden planterseles distintos problemas reales, cuya solucin no sea fcil de intuir, y que necesiten del planteamiento y resolucin de un sistema.

Mediante un trabajo por ensayo-error, primero, y su resolucin mediante sistemas, despus, los alumnos apreciarn la sencillez y utilidad de los sistemas para resolver problemas.


Se pueden considerar bsicos los conceptosestudiados en 2. ESO, Ecuaciones y sistemas, as como tambin la Unidad 4 de 3. ESO,Ecuaciones de 1.er y 2. grado, y todos aquellosaspectos trabajados en cursos anteriores sobre la resolucin de problemas:

Distincin entre lo que se conoce (dato) y lo que se desconoce (incgnita).

Realizacin de diagramas, figuras, esquemas

Clculo con expresiones algebraicas.

Representacin de puntos en el plano.

Resolucin de ecuaciones de primer grado.

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EVALUACIN INICIAL

Escribe las coordenadas de los vrtices del pentgono.

En los ejes de coordenadas de la figura, representa estos puntos.

A(1, 3) B(2, 2) C(3, 4) D(0, 2)

Una forma intuitiva de trabajar las ecuaciones y los sistemas es mediante balanzas. Para ello establecemos un equilibrio entre los dos platillos de una balanza, que representan los miembros de una ecuacin. Si la balanza est en equilibrio, eso significa que ambos miembros son iguales. Observa las figuras y contesta.

a) Escribe la ecuacin determinada por la balanza A. Escribe pares de valores que cumplan dicha ecuacin.Haz lo mismo con la balanza B.

b) Indica si hay algn par de valores coincidentes en A y B.

Encuentra dos nmeros naturales cuya suma es 15 y su producto 56.4

3

2

1

SISTEMAS DE ECUACIONES5

Balanza A Balanza B

Y

5A

B

C

D

E

3

1

1

3

4 22 4 X

Y

5

3

1

1

3

x y 7 x y 2y

4 12 3 5 X

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PR

OP

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E E

VALU

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Escribe las coordenadas de los vrtices del pentgono.

En los ejes de coordenadas de la figura, representa estos puntos.

A(1, 3)B(2, 2)C(3, 4)D(0, 2)

Una forma intuitiva de trabajar las ecuaciones y los sistemas es mediante balanzas. Para ello establecemos un equilibrio entre los dos platillos de una balanza, que representan los miembros de una ecuacin. Si la balanza est en equilibrio, eso significa que ambos miembros son iguales. Observa las figuras y contesta.

a) Escribe la ecuacin determinada por la balanza A. Escribe pares de valores que cumplan dicha ecuacin.Haz lo mismo con la balanza B.

Balanza A x + y = 7 Valores: (0, 7), (1, 8), (1, 6), (2, 5)Balanza B x + y = 2y Valores: (0, 0), (1, 1), (1, 1), (2, 2)

b) Indica si hay algn par de valores coincidentes en A y B.

Valores coincidentes: x = 3,5; y = 3,5

Encuentra dos nmeros naturales cuya suma es 15 y su producto 56.

yy

1

2

78

==

Soluciones: 7 y 8x yy y

y y=

=

+ =15

15 5615 56 02

( )

Sustitucin

x yx y+ = =

1556

4

3

2

1

445

Puntos:A(2, 4) D(2, 0)B(4, 0) E(2, 2)C(1, 1)

Balanza A Balanza B

Y

5A

A

B

B

C

C

D

E

D

3

1

1

3

4 22 4 X

Y

5

3

1

1

3

x y 7 x y 2y

4 12 3 5 X

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Expresa la ecuacin 2(x 3) = 3(y 2) + 6en la forma lineal ax + by = c,y represntala en el plano.

En el sistema de ecuaciones lineales: comprueba

si son solucin los puntos A(0, 5), B(2, 3) y C(3, 2).

Comprueba si los sistemas son equivalentes.

Resuelve el siguiente sistema por el mtodo de sustitucin.

x y

x y

=+ =

2 6

3 6 6

4

2 4 12

5 2 6

x y

x y

=+ =

x y

x y

=+ =

2 6

3 6 6

3

2 3 1253

x yx y+ =+ =

2

1Expresin lineal y representacin grfica de una ecuacin lineal.

Comprobacin de si un parde valores es o no solucin

de un sistema deecuaciones.

Comprobacin de sistemasequivalentes.

Bsqueda de la solucin de un sistema

de dos ecuaciones con dos incgnitas

por los mtodos de sustitucin, igualacin

y reduccin.



Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones. .......................................................................... 1, 2, 3


Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ............................................................................................................ 4, 5, 6, 7, 8, 9


SISTEMAS DE ECUACIONES5Y3

1

2

4

3 11 3 5 X

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Resuelve el sistema por el mtodo de igualacin.

Resuelve el siguiente sistema por el mtodo de reduccin.

Resuelve el sistema por el mtodo que consideres ms adecuado.

La edad de Luis es tres veces la edad de Ana. Dentro de 5 aos, la edad de Luisser solamente el doble de la edad de Ana. Halla las edades de ambos.

Calcula el valor de las bases de los rectngulos, sabiendo que la suma de sus reas es 34 cm2 y que el triple de la base mayor es igual al cudruple de la menor ms 4.

9

8

3 1

6 9 32

9x y

x y

+ = =

7

2 4 3

3 84

x y

x y

+ = =

6

x y

x y

+ = =

3 8

2 53

5

Resolucin de sistemas deecuaciones por los mtodos

ms adecuados.

Resolucin de problemasreales, planteando

y resolviendo sistemas de ecuaciones lineales.



Combinar, componer datos y resumir, etc. .............................................................................................................



PR

OP

UE

STA

S D

E E

VALU

AC

IN

447

3 cm

a b

2 cm

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SISTEMAS DE ECUACIONES5EVALUACIN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES

2(x 3) = 3(y 2) + 6 2x 6 = 3y 6 + 6 2x 3y = 6

Comprobacin. A(0, 5) No, porque 2 0 + 3 5 12.B(2, 3) No, porque 2 2 + 3 3 12.C(3, 2) S, porque 2 3 + 3 2 = 12 y 2 + 3 = 5.

Equivalencia de sistemas. La solucin de los sistemas es la misma: x = 2 e y = 2.Los sistemas son equivalentes.

Problema. Llamamos x e y a las edades actuales de Luis y Ana.

Planteamiento del problema:

Dimensiones de la figura. Llamamos a y b a las bases de los dos rectngulos.

Planteamiento del problema: b a= = =

306

5 8

3a + 2b = 34 3a 4b = 34 3a 6b = 30

3 2 343 4 4

a ba b

+ == +

9

x yx y y y y x

=+ = +

+ = + = =

35 2 5 3 5 2 10 5 15( )

8

x y= =2333

3411

27 9 96 9 32

33 23

32

9

x yx yx y

+ =+ =

=

Reduccin

1. 9

3 1

6 9 32

9x y

x y

+ = =

7

x y= = = 3514

52

12

2 4 312 4 3214 35

3

4

x yx yx y

+ =+ =

=

Reduccin

2. 4

2 4 3

3 84

x y

x y

+ = =

6

x y

xy y

y=

= +

= + 8 3

52

35

216 68 yy y

y x

= +

= =

5

3 1

x y

x y

+ =

=

3 8

2 53

5

x yy y

= ++ + =

= 6 2

3 6 2 6 624

( )12y y x= =2 2

x y

x y

=+ =

2 6

3 6 6

4

3

2

1

Y3

1

2

4

3 11 3 5 X

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Proporcionalidad

CONTENIDOS

PROPORCIONALIDAD

Proporcionalidad directa e inversa.

Regla de tres simple directa e inversa.

Repartos directa e inversamente proporcionales.

Proporcionalidad compuesta.

Problemas con porcentajes. Clculos con porcentajes. Aumentos y disminuciones porcentuales.Porcentajes encadenados.

Inters simple.


PRUEBA INICIAL

La prueba inicial contiene cinco actividades sobre pro-porcionalidad ya estudiadas en cursos anteriores: averi-guar si dos razones forman o no proporcin; calcular elmedio y el cuarto proporcional y resolver ejercicios so-bre porcentajes, as como problemas de la vida cotidia-na sobre el clculo de porcentajes y proporciones.

PRUEBA DE LA UNIDAD

La prueba de la unidad consta de actividades de losconceptos que se tratan en la unidad: tablas de propor-cionalidad directa e inversa, problemas de reglas detres simples y problemas de repartos proporcionalesy reglas de tres compuestas. La ltima actividad es declculo de intereses bancarios, que son aplicacionesde la proporcionalidad directa. Los ejercicios de repar-tos proporcionales y de proporcionalidad inversa y com-puesta (actividades 8 y 9) resultarn complicados paralos alumnos, por lo que habr que tener cuidado en sudesarrollo.

6INTRODUCCIN

El tema de la proporcionalidad numrica es fundamental en las Matemticas. Los conceptos de proporcionalidad directa e inversa suelen ser intuitivos, pero a veces los alumnos no diferencianentre incrementos lineales y proporcionalidad. Numerosas relaciones de la vida cotidiana como, por ejemplo, repartos proporcionales, recetas de cocina, etc., mantienen relaciones deproporcionalidad y podemos encontrar ejemplos de ello en diarios, revistas

A lo largo de la unidad se plantearn algoritmos de clculo aritmtico sencillo, por lo que se tendr que apoyar a los alumnos que tengan ms dificultadesen hacerlo.


Los contenidos de esta unidad han sido trabajados en 1. y 2. ESO, por lo que conviene hacer un repasode aspectos bsicos, como son:

Razn y proporcin. Comprobacin de si dos razones forman o no proporcin.

Clculo del cuarto y medio proporcional de una proporcin.

Elaboracin de tablas de proporcionalidad directa.

Clculo con porcentajes.

PR

OP

UE

STA

S D

E E

VALU

AC

IN

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EVALUACIN INICIAL

Averigua si las razones forman o no una proporcin: y .

Calcula los nmeros que faltan para completar estas proporciones.

a)

b)

c)

Completa las frases.

a) El % de 50 es 15.

b) El 25 % de es 225.

c) El 37 % de 65 es .

En un partido, un jugador ha obtenido los siguientes resultados. Calcula y escribe los porcentajes en cada caso.

a) De 20 intentos de 2 puntos ha encestado 13.

b) De 8 tiros de 3 puntos ha encestado 4.

c) De 11 tiros libres ha encestado 9.

d) De 20 rebotes en su canasta ha cogido 18.

Para hacer limonada para 6 personas, se utilizan estos ingredientes.

Calcula las cantidades que se necesitarn para hacer limonada para 10 y 15 personas.

5

4

3

3

12=

6

8 4=

8

16

2=

2

2390

37

1

6 personas 10 personas 15 personas

Limones (unidades) 12

Agua (cl) 200

Azcar (g) 250

PROPORCIONALIDAD6

Limonada (para 6 personas):

12 limones

2 litros de agua

1/4 kg de azcar

826523 _ 0449-0454.qxd 27/4/07 13:51 Pgina 450



PR

OP

UE

STA

S D

E E

VALU

AC

IN

Averigua si las razones forman o no una proporcin: y .

y no forman proporcin, ya que 3 90 7 23.

Calcula los nmeros que faltan para completar estas proporciones.

a) = c) =

b) =

Completa las frases.

a) Se divide la cantidad entre el total: 30. El % de 50 es 15.

b) Se divide la cantidad entre el porcentaje: 900. El 25 % de es 225.

c) Se multiplica el porcentaje por la cantidad: 37 65 24,05. El 37 % de 65 es .

En un partido, un jugador ha obtenido los siguientes resultados. Calcula y escribe los porcentajes en cada caso.

a) De 20 intentos de 2 puntos ha encestado 13

b) De 8 tiros de 3 puntos ha encestado 4

c) De 11 tiros libres ha encestado 9

d) De 20 rebotes en su canasta ha cogido 18

Para hacer limonada para 6 personas, se utilizan estos ingredientes.

Calcula las cantidades que se necesitarn para hacer limonada para 10 y 15 personas.

5

1820

100 90 = %

911

100 81 8 = , %

48

100 50 = %

1320

100 65 = %

4

24,05 100

900 10022525

30 1001550

3

3

4

6

8

6

12

3

6

2

4

8

16

2

2390

37

2390

37

1

451

Limonada (para 6 personas):

12 limones

2 litros de agua

1/4 kg de azcar

6 personas 10 personas 15 personas

Limones (unidades) 12 20 30

Agua (cl) 200 333,33 500

Azcar (g) 250 416,67 625

826523 _ 0449-0454.qxd 27/4/07 13:51 Pgina 451



Clasifica las siguientes magnitudes en directa o inversamente proporcionales.

a) El permetro de un cuadrado y su rea.

b) El lado de un cuadrado y su permetro.

c) El nmero de fotocopias y su precio.

d) La velocidad y el tiempo que se tarda en recorrer un trayecto.

Completa las tablas para que sean de proporcionalidad directa.

a) b)

Comprueba si las tablas son de proporcionalidad inversa.

a) b)

Calcula las constantes de proporcionalidad de los dos ejercicios anteriores.

Si un grupo de amigos pagan 81 por 6 mens, cunto vale cada men?Cunto hubiesen pagado por 4 mens?

En un refugio de montaa hay comida para alimentar a seis personas durante un mes. Si vienen tres personas ms, para cuntos das tendrn comida?

6

5

4

3

2

1Distincin de si dosmagnitudes son o no

proporcionalesy de qu tipo.

Elaboracin de tablas de proporcionalidad

directa e inversa.

Clculo de la constante de proporcionalidad.

Aplicacin de las reglas de tres para resolverproblemas de la vida

cotidiana.

Enumerar e identificar elementos ........................................................................................................................



Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes ........................................................................................................... 2



PROPORCIONALIDAD6

M 2 3 4

N 5 10

M 2 3 4

N 6 4 3

M 0,5 1,75 3

N 7 42

M 0,5 2 3

N 10 2,25 1,75

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Tres socios deciden ampliar el capital de la empresa en 84.000 ,de forma directamente proporcional al nmero de acciones de cada uno: 100, 200 y 400. Cunto ha de aportar cada socio?

Al cabo de un ao, una empresa ha tenido unas prdidas de 14.000 ,y sus tres socios deciden reponer el dinero de forma inversamente proporcionalal nmero de hijos de cada uno: 1, 2 y 4. Cunto ha de aportar cada socio?

En la construccin de un edificio trabajaron 100 personas en turnos de 8 horas durante 60 das. Cunto habran tardado si los turnos fuesen de 10 horas?

Un artculo cuesta 261 , incluido el 16 % de IVA. Si se hace un 20 % de rebaja sobre el precio sin IVA, cul ser el precio final?

Calcula el inters producido por un capital de 250 en 3 aos al 2,5 % de inters.

11

10

9

8

7Aplicacin de los repartosproporcionales para resolver

problemas de la vidacotidiana.

Aplicacin de las reglas de tres compuestas

para resolver problemas reales.

Resolucin de problemas mediante porcentajes.

Utilizacin de la frmula del inters simple

para calcular intereses,tiempos o capitales

en situaciones reales.






PR

OP

UE

STA

S D

E E

VALU

AC

IN

453

826523 _ 0449-0454.qxd 27/4/07 13:51 Pgina 453


PROPORCIONALIDAD6EVALUACIN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES

a) El permetro de un cuadrado y su rea No son proporcionales.b) El lado de un cuadrado y su permetro Son directamente proporcionales.c) El nmero de fotocopias y su precio Son directamente proporcionales.d) La velocidad y el tiempo que se tarda en recorrer un trayecto Son inversamente proporcionales.

a) b)

La opcin a) s es de proporcionalidad inversa, pero la b) no lo es, ya que 0,5 10 2 2,25 3 1,75.

Constantes. Ejercicio 2:

Ejercicio 3: k = 2 6 = 12

54

ComidaDas. Son magnitudes inversamente proporcionales:

6 personas 30 das9 personas das

Empresa (1). Llamamos A, B y C a las cantidades que han de aportar. Se ha de cumplir que:

A = 100 120 = 12.000 ; B = 200 120 = 24.000 ; C = 400 120 = 48.000

Empresa (2). Llamamos A, B y C a las cantidades que han de aportar. Se ha de cumplir que:

Adems, la suma ha de ser 14.000 :

k = 8.000 A = 8.000 ; B = 4.000 ; C = 2.000

En ambos casos, las magnitudes personasdas y horasdas son inversamente proporcionales.

Porcentajes. Clculo del precio sin IVA: 225 . Por tanto, el precio con la rebaja es: 225 0,80 = 180 .Aadiendo el 16 % de IVA: 180 1,16 = 208,80 es el precio final.

Inters. IC r t= = =100

250 2 5 3100

,18,7511

2611 16,

=10

200100

108

60 60 100 8200 10

24 = =

=x

x das

9

kk k k+ + = =2 4

74

14 000.

A B C k Ak

Bk

Ck = = = = = =1 2 4

1 2 4 ; ;

8

A B C100 200 400

84 000100 200 400

84 000700

= = =+ +

=. . kk = 120

7

x

= = = 6 30 9 1809

x x 20 das

6

= = = 64

81 81 46x

x6 mens 81 4 mens x

5

k ka b= = = =25

0 40 57

,,

0,07142854

3

2

1

M 2 3 4

N 5 7,5 10

M 0,5 1,75 3

N 7 24,5 42

Personas Das Horas

100 60 8

200 x 10

I Iinversa inversa

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Progresiones

CONTENIDOS

PROGRESIONES

Leyes de formacin de sucesiones. Trmino general. Sucesiones recurrentes.

1. Progresiones aritmticas.

Clculo del trmino general.

Suma de n trminos de una progresin aritmtica.

2. Progresiones geomtricas.

Clculo del trmino general de una progresin geomtrica.

Suma de n trminos de una progresin geomtrica. Suma de todos los trminos de una progresin geomtrica con r < 1. Producto de n trminos de una progresin geomtrica.

3. Inters compuesto.


PRUEBA INICIAL

En esta prueba se ofrecen tres actividades de clculocon fracciones, decimales y potencias para comprobarsi los alumnos recuerdan estos conceptos, que han sidoestudiados en unidades anteriores y que se usan en laaplicacin de las diferentes frmulas de la unidad.

PRUEBA DE LA UNIDAD

Esta es una prueba esencialmente procedimental. Secomienza con actividades de sucesiones en general,para resolver despus aspectos concretos de proble-mas de progresiones: clculo de leyes de formacin,trminos generales, sumas de progresiones Y se finaliza la prueba con unos problemas de aplicacinnumrica, geomtrica y de comparacin de interesessimple y compuesto.

7INTRODUCCIN

En esta unidad se estudian las sucesiones y, en particular, las progresiones, que cumplen unas reglas determinadas. Las sucesiones aparecenen diversos campos: medicina, gentica (distribucinde los caracteres sexuales), informtica (utilizacin dealgoritmos recursivos), economa (clculo del interssimple y compuesto), etc.

Uno de los problemas con los que se encuentran los alumnos es el clculo del trmino general de unasucesin; por ello se han de explicar detenidamentelas formas de razonamiento, aunque en lasprogresiones aritmticas y geomtricas la forma deobtencin es ms sencilla que en sucesiones de otrostipos. Tambin se ha de tener cuidado con el clculode las frmulas que aparecen en la unidad: clculo delos trminos generales, sumas de progresiones y producto de n trminos, as como la suma de infinitos trminos, para asegurarse de que los alumnos no las aplican de manera automtica.


Esta unidad se relaciona con las distintas operacionesaritmticas: fracciones, decimales y potencias, que son bsicas en el desarrollo de la unidad. Adems, las cuestiones referidas a las regularidades en aspectos numricos o geomtricos sern esencialespara entender las leyes de formacin de unaprogresin.

Se podrn proponer en la pizarra secuencias de figuras o numricas que sigan alguna regularidad, y pedir a los alumnos que traten de deducir cules sern los siguientes trminos. Es interesante tambinque sean ellos los que creen la secuencia y que sus compaeros adivinen la regla de formacin.Conviene repasar estos aspectos.

Operaciones con fracciones y decimales.

Potenciacin y radicacin de nmeros naturales y enteros.

Estudio de regularidades geomtricas y numricas.

PR

OP

UE

STA

S D

E E

VALU

AC

IN

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EVALUACIN INICIAL

Realiza las operaciones y escribe el resultado en forma decimal.

0,02 =

Completa las siguientes igualdades.

a) 220 103 = 2,2 10 b) 7 102 = 0,7 10 c) 6,4 105 = 107

Calcula y expresa en notacin cientfica.

a)

b) 2,3 104 + 1.000.000 =

c)

d) (2,5 104) (0,2 102) =

Esta serie est formada por cuadrados de 1 cm de lado.

a) Cuntos cuadrados tiene cada figura ms que la figura anterior?

b) Halla el permetro de cada una de las figuras. Podras calcular el permetro de la siguiente figura sin necesidad de dibujarla?

c) Escribe el rea de las figuras. Podras obtener el rea de la siguiente figura? Y podras hallar el rea de la figura 10 sin tener que dibujar las anteriores?

d) Completa la tabla siguiente.

Los paramecios son organismos unicelulares que se reproducen por biparticin. Un bilogo estudia una poblacin de paramecios y observa que en 1 mm2 hay 5.000 paramecios. Si cada 3 horas se duplica la poblacin, completa la tabla de forma exacta para t = 3, 6, 9 y 24 horas, y de formaaproximada para t = 1 y 2 horas. Determina el tiempo que tardar en alcanzarse una poblacin de 100.000 paramecios.

5

4

0 0000045

15 103,

=

3 200 000 000

0 0008

. . .

,=

3

2

5

72 10 2+

4

6+

1

PROGRESIONES7

Figura 1 2 3 4 5 10

N. de cuadrados 1 2 3

Permetro 4 6

rea 1 2

Tiempo (horas) inicio 1 2 3 6 9 24

N. de paramecios 5.000 100.000

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PR

OP

UE

STA

S D

E E

VALU

AC

IN

Realiza las operaciones y escribe el resultado en forma decimal.

0,02 =

Completa las siguientes igualdades.

a) 220 103 = 2,2 10 b) 7 102 = 0,7 10 c) 6,4 105 = 107

Calcula y expresa en notacin cientfica.

a)

b) 2,3 104 + 1.000.000 = 23.000 + 1.000.000 = 1.023.000 = 1,023 106

c)

d) (2,5 104) (0,2 102) = 2,5 104 2 10 3 = 5 101

Esta serie est formada por cuadrados de 1 cm de lado.

a) Cuntos cuadrados tiene cada figura ms que la figura anterior?

Cada figura tiene un cuadrado ms que la figura anterior.b) Halla el permetro de cada una de las figuras. Podras calcular el permetro de la siguiente figura sin necesidad

de dibujarla? Permetros = {4, 6, 8, 10, 12}. La siguiente figura tendr un permetro de 14 cm. c) Escribe el rea de cada una de las figuras. Podras obtener el rea de la siguiente figura?

Y podras hallar el rea de la figura 10 sin tener que dibujar las anteriores?

reas = {1, 2, 3, 4, 5}. La siguiente figura tendr 6 cm2 de rea y la 10. figura 10 cm2.d) Completa la tabla siguiente.

Los paramecios son organismos unicelulares que se reproducen por biparticin. Un bilogo estudia una poblacin de paramecios y observa que en 1 mm2 hay 5.000 paramecios. Si cada 3 horas se duplica la poblacin, completa la tabla de forma exacta para t = 3, 6, 9 y 24 horas, y de formaaproximada para t = 1 y 2 horas. Determina el tiempo que tardar en alcanzarse una poblacin de 100.000 paramecios.

5

4

4 5 101 5 10

3 106

410,

,

=

0 0000045

15 103,

=

3 2 108 10

0 4 10 4 109

413 12, ,

= =

3 200 000 000

0 0008

. . .

,=

3

0,064152

= = = 6812 600

173 150

0 00539682. .

,

46

290

57

2100

8 400 280 9 000 25212 600

+ + = + + =. ..

5

72 10 2+

4

6+

1

457

Figura 1 2 3 4 5 10

N. de cuadrados 1 2 3 4 5 10

Permetro 4 6 8 10 12 22

rea 1 2 3 4 5 10

Tiempo (horas) inicio 1 2 3 6 9 24 13

(aprx.)

N. de paramecios 5.0006.300(aprx.)

7.940(aprx.) 10.000 20.000 40.000 1.280.000 100.000

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Determina el trmino siguiente de cada una de las sucesiones.

a) 2, 5, 8, 11, c) 1, 3, 9, 27,

b) d) 4, 9, 16, 25, 36,

Escribe los cinco primeros trminos de las sucesiones cuyos trminos generales son:

a) 2n +1 b) n2 2 c)

De una progresin aritmtica se conocen a15 = 45 y a32 = 79.Calcula la diferencia de la progresin y la suma de los 32 primeros trminos.

Halla el trmino general de las progresiones geomtricas.

a) 5, 15, 45, 135,

b)

c) 1, 2, 4, 8,

En una progresin geomtrica, a5 = 4 y a9 = 16. Calcula la razn y el trmino 20 de esta progresin.

5

21

2

1

8

1

32, , , ,

4

3

n

n

++

2

2 3

2

1

3

1

7

1

11

1

15, , , ,

1Aplicacin de mtodosdeductivos para calcular

un trmino de una sucesin.

Aplicacin de una frmulapara calcular los trminos deuna sucesin a partir de una

ley de formacin.

Clculo del trmino generalde una progresin aritmtica

y la suma de una cantidadde trminos.

Clculo del trmino generalde una progresin

geomtrica.




Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes ........................................................................................................... 1, 8, 9, 10



PROGRESIONES7826523 _ 0455-0460.qxd 27/4/07 13:54 Pgina 458


Calcula la suma de los 20 trminos de la anterior progresin geomtrica.

Halla el producto de los 10 primeros trminos de una progresin geomtricasabiendo que a1 = 2 y r = 3.

Encuentra 5 mltiplos de 7 que sean consecutivos y cuya suma sea 245.

Dado un cuadrado de 1 m de lado, unimos los puntos medios de sus lados,obteniendo un nuevo cuadrado, en el que volvemos a efectuar la mismaoperacin, y as sucesivamente. Halla la suma de las infinitas reas obtenidas.

Dos amigos invierten 1.000 en dos bancos diferentes. Al primero le dan un 3,5 % de inters simple y al segundo un 3,32 % de inters compuesto.Despus de 5 aos, quin obtendr ms ganancias?

10

9

8

7

6Clculo de la suma de trminos de una

progresin geomtrica.

Resolucin de problemasreales donde aparezcanprogresiones aritmticas

y geomtricas y queimpliquen el uso

de estos conceptos.

Clasificar y discriminar segn criterios ................................................................................................................... 8, 9, 10


Combinar, componer datos, resumir, etc. .............................................................................................................. 1, 3, 4



PR

OP

UE

STA

S D

E E

VALU

AC

IN

459

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PROGRESIONES7EVALUACIN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES

a) 2, 5, 8, 11, 14 c) 1, 3, 9, 27, 81

b) d) 4, 9, 16, 25, 36, 49

a) 2n +1 3, 5, 7, 9, 11, c) b) n2 2 1, 2, 7, 14, 23,

Clculo de la diferencia y la suma de trminos de una progresin aritmtica.

Calculamos el primer trmino:

La suma es:

a) 5, 15, 45, 135, an = 5 3n1 c) 1, 2, 4, 8, an = (2)n1

b) an = 22n+3

Clculo de la razn y un trmino de una progresin geomtrica.

am = an rmn

El trmino 20 es:

Suma de los trminos de una progresin geomtrica.

Calculamos el primer trmino:

La suma es:

Mltiplos de 7. Forman una progresin aritmtica, cuyos trminos sern: 7n, 7(n + 1), 7(n + 2), 7(n + 3) y 7(n + 4)

reas de cuadrados.

Es una progresin geomtrica: , cuya suma es: 1,3.

Inversiones. Inters simple: 1.175

Inters compuesto: C Cr

f

t

= +

= =0

51100

1 000 1 033. , 1.176,226

C CC r t

f = + = + =0100

1 0001 000 3 5 5

100.

. ,10

S =

=1

114

114

116

164

, , , , ...

9

2457 7 28

25 7 14 5 35 70= + +

= + = +

n nn n( ) n = =245

357 49 56 63 70 77{ , , , , }

8

P a a a a r10 1 10 10 1 1 9 10 9 102 2 3= = = ( ) ( ) ( )7

Sa r

r20

120 20 101

11 2 1

2 1

2 1

2 1

1 023=

=

=

=( ) ( ) .

22 1

a a aa

5 14

1524

44

1= = = =

6

a a a20 1 20 19 92 2 2 2 2 2 1 024 2= = = =( .)19

2raa

aa

m

n

m n= = = = = 95

9 5 4 4164

4

5

21

2

1

8

1

32, , , ,

4

Sa a

321 32

232

17 792

= +

=

+

= =32 48 32 1 536.

a a d a1 15 115 1 45 14 2 17= = =( )

2 da am nm n=

=

= =79 45

32 153417

a a m n dm n= + ( )

3

35

47

59

611

713

, , , , , ...n

n

++

2

2 32

( )2

119

14+1

3

1

7

1

11

1

15, , , ,

3

+ 31

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Figuras planas

CONTENIDOS

LUGARES GEOMTRICOS Rectas y puntos notables de un tringulo.

TEOREMA DE PITGORAS Clculo de la altura de un tringulo.

Clculo de la diagonal de un paralelogramo.

REAS DE FIGURAS PLANAS Tringulos, cuadrilteros y polgonos regulares.

Figuras circulares: crculos, sectores, segmentos y coronas circulares.


PRUEBA INICIAL

La prueba consta de actividades referidas a aspectosque han de ser conocidos por los alumnos: operacio-nes con ngulos, propiedades de los tringulos, cons-trucciones y reas de figuras planas, principalmentecomo aplicacin del teorema de Pitgoras.

PRUEBA DE LA UNIDAD

De las tres partes en las que hemos dividido la unidad,se proponen actividades referidas a construcciones:actividades 1, 2 y 3; al teorema de Pitgoras y sus apli-caciones: actividades 4, 5 y 6, siendo las ltimas activi-dades referidas al clculo de reas geomtricas.

8INTRODUCCIN

En esta unidad se repasan y se amplan algunascuestiones ya estudiadas en el primer ciclo de ESO.Bsicamente la unidad est dividida en tres partes:construcciones con regla y comps, el teorema de Pitgoras y sus aplicaciones en el clculo delongitudes de figuras, que ser fundamental en el clculo de reas.

Para facilitar la comprensin de las construcciones es conveniente utilizar programas como, por ejemplo,Cabri-Gomtre. Para el estudio de las dos partesfinales de la unidad, se puede sealar a los alumnos la presencia de las figuras planas en multitud de objetos, construcciones, etc., as como recalcar la importancia de conocer sus propiedades y reas.


La mayora de los contenidos de esta unidad se han trabajado de forma total o parcial en cursosanteriores. Ser conveniente hacer un repaso de conceptos como los siguientes.

Construcciones de tringulos.

Operaciones con ngulos.

Propiedades de los tringulos.

PR

OP

UE

STA

S D

E E

VALU

AC

IN

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EVALUACIN INICIAL

En el tringulo de la figura, traza mediante regla y comps las tres mediatrices.

Calcula la longitud de los ngulos x$, y$, z$.

Observa la figura y demuestra que la suma de los cuatro ngulos del polgono vale 360, basndote en las propiedades de los tringulos.

Calcula el rea de las siguientes figuras.

a)

b)

4

3

2

1

FIGURAS PLANAS8C

A B

C

A B

80 47 16

x$

y$

z$

D

C

O

3 cm

1,75 cm

1,75 cm

A

B

D

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PR

OP

UE

STA

S D

E E

VALU

AC

IN

En el tringulo de la figura, traza mediante regla y comps las tres mediatrices.

Calcula la longitud de los ngulos x$, y$, z$.

Observa la figura y demuestra que la suma de los cuatro ngulos del polgono vale 360, basndote en las propiedades de los tringulos.

Calcula el rea de las siguientes figuras.

a)

b)

4

3

2

1

463

Se trazan las mediatrices de los tres ladosmediante un comps, y el punto de interseccin nos da el circuncentro del tringulo.

En el tringulo ABC:x$ = 180 (80 + 47) == 180 127 = 53

El ngulo z$ es el complementario de B$:z$ = 90 47 = 53

En el tringulo rectngulo BDE:y$ = 90 16 = 74

Los ngulos A$ y C$ abarcan un dimetro, por lo que son ngulos rectos, o sea: A$ + C$ = 180.

Por otra parte, en los tringulos BAD y DCB se cumpleque: B$2 + D$2 = 90 y B$1 + D$1 = 90,siendo la suma de los dos ngulos: B$ + D$ = B$1 + B$2 + D$1 + D$2 = 180.

A = 3 1,75 = 5,25 cm2

A = +

=1 75

12

1 752

4 2722

2,,

, cm

C

A B

C

A B

80 47 16

x$

y$

z$

D

3 cm

1,75 cm

1,75 cm

C

O

A

B$2B$1

D$2D$1

B

D

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Determina el lugar geomtrico de los puntos del plano que equidistan de los dos extremos del segmento de 5 cm de la figura. Explica cmo lo haces y di cmo se denomina este punto.

Dibuja las medianas del tringulo ABC. Cmo se llama su punto de interseccin?

Dibuja un tringulo equiltero de 3 cm de lado y determina la circunferenciainscrita en dicho tringulo.

Completa la tabla siguiente.4

3

2

1Construccin con regla y comps de diferentes

lugares geomtricos.

Trazado de las mediatrices,bisectrices, alturas

y medianas de un tringulo.


Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. .............................................................................. 4

Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos y relaciones ........................................................................... 1, 2, 3




FIGURAS PLANAS8

Hipotenusa Cateto Cateto

3 4

13 5

10 8

5 8

C

A

B

A B

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En un tringulo issceles, los lados iguales miden 4 cm y el lado diferente 7,3 cm.Calcula cunto mide la altura sobre el lado diferente.

Halla el valor de la diagonal del cuadrado de lado 6 cm.

Determina el rea del cuadrado interior de la figura, sabiendo que el rea del cuadrado exterior es 14,67 cm2.

Obtn el rea sombreada de la figura, si el dimetro de la circunferencia mayormide 8 cm.

Calcula cunta pintura de color rojo se necesita para pintar la seal de trfico, si el dimetro de la circunferencia mide 40 cm, las dimensiones del rectngulo son 25 8 cm y sabemos que con 1 kg de pintura se pueden pintar 4 m2de superficie.

9

8

7

6

5Aplicacin del teorema de Pitgoras para el clculode elementos en tringulos

y polgonos.

Clculo del rea de polgonos regulares

o de figuras planas comoaplicacin del teorema

de Pitgoras.

Resolucin de problemas de la vida cotidiana

como aplicacin del teoremade Pitgoras y de las reas

de figuras planas.

Clasificar y discriminar segn criterios ...................................................................................................

Fotocopiable Santillana Matematicas-301

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