1. CONCEPTOS BÁSICOS ASOCIADOS A SEÑALES PERIÓDICAS

En el campo del diseño de circuitos electrónicos y eléctricos, es muy importante manejar de forma adecuada los conceptos básicos asociados a señales periódicas: El concepto de valor promedio y RMS de una señal, los teoremas de representabilidad de señales eléctricas periódicas mediante series de Fourier, el concepto de armónicos, espectro de magnitud y fase y las técnicas para calcular la potencia promedio consumida o generada por un dispositivo. La finalidad de usar y saber interpretar estos conceptos elementales de medición de señales, radica en que brindan elementos muy potentes para analizar y describir el comportamiento y funcionamiento de circuitos tanto en el dominio del tiempo como en el de la frecuencia para el respectivo diseño de máquinas y equipos electrónicos.

1.1 VALOR PROMEDIO DE UNA SEÑAL ELÉCTRICA PERIÓDICA

Sea una señal periódica de voltaje, corriente o potencia con periodo fundamental , continua y diferenciable a tramos. Se define el valor promedio ó “Average” de ,, así:

Donde:

: Recibe el nombre de valor promedio de .: Es el periodo fundamental de la señal.: Tiempo arbitrario de inicio de la medición de la función .

Nótese que el valor promedio de una señal periódica es constante y solo depende de la geometría de la señal, no de su frecuencia.

A continuación se procede a ilustra un ejemplo donde se enseña el cálculo del voltaje promedio en un elemento de un circuito.

Ejemplo.

Se posee el siguiente circuito:

1

Figura No. 1: Circuito del ejemplo 1.

Donde el voltaje de alimentación del circuito está dado por la siguiente expresión pero:

Determinar el voltaje promedio de la resistencia de .

Solución.

El voltaje en la resistencia de en el tiempo, se puede determinar mediante la aplicación de un divisor resistivo así:

Por lo tanto:

El periodo fundamental del voltaje es la longitud total del intervalo donde está definido el voltaje :

Entonces, el voltaje promedio sobre la resistencia de se puede calcular mediante la definición así:

2

Como el voltaje sobre la resistencia de es una función definida a tramos, entonces el valor promedio se puede evaluar así:

O lo que es lo mismo:

Al resolver la integral se llega al siguiente resultado:

En particular, si una señal periódica posee en el periodo un área abajo de la curva cuyo valor es cero, entonces el valor promedio es igual a 0. Por tal motivo el valor promedio de una señal senosoidal pura , o de una función con semiciclos positivos y negativos con áreas iguales pero opuestas en signo siempre serán igual a 0.

Un aspecto interesante a tener en cuenta, es que las lecturas que enseña un voltímetro ó un amperímetro de DC cuado se mide una señal periódica de voltaje o corriente, es nada más ni nada menos que el valor promedio de las señales en cuestión. (Importante!).

1.2 VALOR RAÍZ MEDIO CUADRÁTICO Ó RMS Ó EFICAZ DE UNA SEÑAL ELÉCTRICA PERIÓDICA.

Sea una señal periódica de voltaje ó corriente con periodo fundamental ,

continua y diferenciable a tramos. Se define el valor RMS ó “eficaz” de , , así:

Donde:recibe el nombre de valor RMS de .

es el periodo fundamental de la señal.: Tiempo arbitrario de inicio de la medición de la función .

3

Nótese que el valor RMS de una señal periódica es constante y positivo, y solo depende de la geometría de la señal, no de su frecuencia.

Ejemplo .

Se posee una corriente

Calcular .

Solución.

Por definición, el valor RMS de una corriente periódica se calcula así:

Donde el periodo fundamental de la corriente senosoidal en cuestión es igual a:

Por lo tanto, el valor RMS de la corriente es igual a:

Al resolver la integral se obtiene que:

En particular, el valor RMS de una señal cuya función es senosoidal en el tiempo siempre es de la forma:

Las lecturas enseñadas por un voltímetro o amperímetro TRUE RMS de una señal periódica de voltaje o corriente, son nada más ni nada menos que el valor RMS de la señal si esta no posee componente de DC.

Por último, solo resta recordar a los lectores, que la sumatoria de voltajes en una malla cerrada, o la sumatoria de corrientes en un nodo, solo son iguales a , si los voltajes y / o corrientes son instantáneos; por lo tanto, es necesario de abstenerse de afirmar, que la LVK y LCK se cumplen con corrientes y voltajes promedios y / o RMS. Solamente la sumatoria de voltajes o corrientes promedio o RMS son iguales a 0, si todos los dispositivos pasivos conectados a la fuente poseen la misma impedancia.

4

1.3 CONCEPTO DE POTENCIA PROMEDIO DE UNA SEÑAL ELÉCTRICA PERIÓDICA.

En el tiempo, se puede calcular la potencia activa consumida por una carga pasiva o entregada por una fuente, mediante la siguiente expresión:

(3)

La expresión (3) recibe el nombre de Potencia Instantánea, y sirve para determinar cuanta potencia consume o entrega un dispositivo eléctrico en cualquier instante de tiempo .

La lectura de potencia activa instantánea no es muy útil para describir el comportamiento energético de un circuito, ya que si e cambian de valor en el tiempo la potencia instantánea también lo hará, dificultando enormemente la medición del consumo o generación de energía por unidad de tiempo en un dispositivo o una red.

Por tal fin es preferible trabajar con la potencia promedio consumida por un circuito. La potencia promedio se define como la potencia media activa asociada a un dispositivo medida en un intervalo de tiempo :

(4)

Si e son periódicas y poseen el mismo periodo , entonces la potencia activa promedio asociada a un dispositivo eléctrico ó electrónico es igual a:

(5)

Nótese que la potencia promedio es constante.

La mayoría de equipos eléctricos y electrónicos que venden comercialmente, traen en su placa de datos la potencia promedio consumida por el dispositivo, por ejemplo, un equipo de sonido anuncia a un usuario que la potencia máxima promedio convertida en sonido es igual a , significa que cada segundo el equipo toma una energía eléctrica media activa de y la transforma en sonido.

La potencia promedio activa se puede calcular de forma más ágil en la práctica, sin necesidad de evaluar la integral de potencia media, usando el concepto de valor RMS de e .

1.4 CÁLCULO DE POTENCIAS PROMEDIOS USANDO VALORES RMS.

Si se posee un dispositivo eléctrico, sobre el cual aparece un voltaje y le fluye

una corriente , la magnitud de la potencia aparente promedio asociada al dispositivo se puede calcular así:

5

(6)Donde se define como la magnitud de la potencia aparente.

La potencia aparente promedio se define como la energía total promedio consumida o entregada por un dispositivo eléctrico o electrónico en forma de campos electromagnéticos y en calor o trabajo útil. La potencia activa promedio se diferencia de la aparente, que solo entrega la cantidad de energía eléctrica convertida en calor o en trabajo útil.

Si una fuente de energía solo entrega energía activa a una carga, es decir, la energía eléctrica de la fuente solo se transforma en calor o en trabajo útil, entonces la carga que consume la energía de la fuente es una resistencia; y en dicho caso, la potencia activa promedio sería igual a la aparente y se podría calcular así:

(7)

Donde e son respectivamente el voltaje y la corriente RMS de las señales e periódicas que aparecen sobre el dispositivo eléctrico o electrónico.

En particular, si el dispositivo es una resistencia, entonces la potencia activa promedio consumida por este elemento se puede calcular así:

(8)

1.5 REPRESENTACIÓN DE SEÑALES ELÉCTRICAS PERIÓDICAS USANDO SERIES DE FOURIER

Algunas señales son bastantes difíciles de estudiar e interpretar en el dominio del tiempo, como por ejemplo, la intensidad y la fase de una onda electromagnética y / o acústica, pero en el dominio de la frecuencia, estas señales tan complejas son elementales de estudiar: Las ondas se componen de una serie de “tonos” o “colores característicos” que la diferencian de otras, y que permiten estudiar de forma ágil como interactúa la energía de estas ondas cuando entran en contacto con sistemas físicos a partir del uso del espectro de magnitud y de fase y de algunos teoremas matemáticos. Igual ocurre con las señales eléctricas: Las señales de voltaje y / o corriente desde el punto de vista de la frecuencia, están compuesta por una serie de líneas espectrales o armónicos (colores) que facilitan la interpretación de un sin fin de fenómenos eléctricos, que en el dominio del tiempo serían complejos de describir.

Sea una función periódica con frecuencia fundamental que representa un voltaje o una corriente periódica, donde es una función continua y diferenciable a tramos, entonces se puede representar mediante una serie de Fourier así:

(9) Importante!

Donde:

6

es el valor promedio de . es la amplitud del n – ésimo armónico.

es la frecuencia fundamental de en . es la fase del n – ésimo armónico en .

La amplitud del n – ésimo armónico se calcula así:

(10) y (11)

donde

y (12)

La expresión que rige a la serie de Fourier de una señal periódica se puede reescribir como la sumatoria de dos funciones:

(13)

Donde se define:

Componente de DC: Es el Valor promedio de , y es una función constante. En el tiempo, la componente DC se nota como un desplazamiento de la componente que varía en el tiempo respecto al eje horizontal de tiempo.

Componente de AC: Es una función variante en el tiempo, y está compuesta por la sumatoria de n – funciones senosoidales de la forma:

(14)

Cada función senosoidal que conforma a la Componente de AC de , es de la

forma y reciben el nombre de Armónicos de . Por lo tanto, la componente de AC de una función periódica de voltaje o corriente esta compuesta por la sumatoria de infinitos armónicos. Es elemental verificar que el valor promedio de la componente de AC de es igual a .

Nótese algo interesante:

La frecuencia de cada armónico es un múltiplo entero de la frecuencia fundamental , y en particular, la frecuencia del n – ésimo armónico es igual a

7

, donde (15)

Ejemplo.

Se posee el siguiente circuito:

Figura No.2: Circuito a resolver en el ejemplo 2.

Donde

Determinar, el voltaje en la resistencia de , y representar dicho voltaje bajo la forma de una serie de Fourier.

Solución.

Por divisor de tensión:

Por lo tanto, el voltaje de salida es igual:

Por lo tanto, el voltaje de salida se puede representar mediante una serie de Fourier de la siguiente forma:

8

La frecuencia fundamental de la señal es de .

El voltaje promedio del voltaje de salida se puede calcular así:

Los coeficientes y se calculan así:

Al resolver la integral se obtiene que:

Y el coeficiente es igual a:

Al resolver la integral se llega al siguiente resultado:

La amplitud y la fase del n – ésimo armónico se calculan usando las expresiones mostradas en (11):

, para todo

y

, para todo

Por lo tanto, el voltaje en la resistencia de se puede representar así:

Mediante el análisis de Fourier, se puede resolver circuitos eléctricos con cargas pasivas R – L – C, pero las soluciones obtenidas por esta técnica no son de sencillo análisis (la respuesta es una serie trigonométrica de infinitos términos) y poseen

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imperfecciones introducidas en los puntos donde la función de voltaje o de corriente es discontinua, por efectos del teorema de Dirichlet; por tal motivo se aconseja utilizar la técnica de la transformada de Laplace o de Frecuencia Compleja para resolver ese tipo de circuitos.

1.6 ESPECTRO DE AMPLITUD Y FASE DE UNA SEÑAL ELÉCTRICA PERIÓDICA.

La gráfica de la magnitud de la amplitud del n – ésimo armónico en función de ó de la frecuencia, recibe el nombre de Espectro de Amplitud de la Señal.Esta gráfica ilustra cuales armónicos componen a la señal, o de una forma más simple, que componentes frecuenciales o líneas espectrales posee la señal periódica.

La gráfica de la fase en función de ó de la frecuencia, recibe el nombre de Espectro de Fase de la señal periódica. El espectro de fase ilustra como cambia la fase de cada armónico en función de la frecuencia.

Para el ejercicio anterior, el espectro de amplitud se enseña en la siguiente figura.

Figura No. 3: Espectro de la magnitud del voltaje de salida del circuito del ejemplo 2, enseñando las líneas espectrales que lo componen.

Y el espectro de fase es así:

Figura No. 4: Espectro de fase del voltaje de salida del circuito del ejemplo 2.

10

Nótese que las líneas espectrales asociadas a las frecuencias que son múltiplos pares de la frecuencia fundamental de , son iguales a , lo que significa que la señal no posee componentes frecuenciales de , o lo que es lo mismo, la señal del ejemplo solo está compuesta por armónicos o líneas espectrales impares.

Para el ejemplo 2, el espectro de fase siempre es igual a para cualquier frecuencia, es decir, los armónicos que componen al voltaje de salida del ejemplo siempre poseen una fase de .

El espectro de una señal periódica aporta un elemento de análisis único para la descripción de señales eléctricas, ya que fenómenos complejos estudiados desde el dominio del tiempo en el dominio de la frecuencia son más sencillos de analizar y resolver; como por ejemplo el diseño e implementación de filtros, el estudio de contaminación armónica en amplificadores y en sistemas eléctricos y electrónicos, la resolución de circuitos mediante series de Fourier, el estudio de sistemas de comunicaciones análogas y digitales y la descripción de señales naturales y artificiales para su respectivo procesamiento electrónico (señales biológicas, geológicas, señales de radio entre otras).

Mediante el espectro de magnitud de un voltaje o corriente periódica, se puede calcular el e de dichas señales, y por ende se puede calcular la potencia promedio activa o la aparente consumida o generada por un dispositivo eléctrico.La potencia promedio consumida o generada por un dispositivo sea de forma aparente o activa se puede calcular usando el Teorema de Parseval.

1.7 USO DEL TEOREMA DE PARSEVAL PARA EL CÁLCULO DE POTENCIAS PROMEDIOS Y DE VALORES RMS.

Si se posee una resistencia constante, la cual esta sometida a un voltaje y a una corriente e , cuyo espectro de magnitud es así:

Figura No. 5. Espectro de magnitud cualquiera de una señal eléctrica periódica.

Entonces la potencia promedio total que consume la resistencia , es la sumatoria de la potencia promedio aportada por cada línea espectral de ó de y se puede calcular así:

11

O de forma más compacta:

(16)

Recordemos que la potencia promedio consumida por una resistencia se puede calcular así, según lo enseñado en la expresión (8):

Como las expresiones (8) y (16) son equivalentes, se puede concluir por inspección y comparación que el voltaje RMS y la corriente RMS de una señal periódica se pueden calcular usando las siguientes expresiones:

y (17) IMPORTANTE

O de forma equivalente

y (18)

Si se define:

ó y ó (19)

Donde e son los valores promedios o componentes de DC de los voltajes y

corrientes, e , y e son los valores RMS de las componentes de AC de los voltajes y corrientes e .

Entonces, la expresión que rige al voltaje y /o la corriente RMS se pueden reescribir así:

ó (20) IMPORTANTE

Los multímetros que sirven para medir el voltaje y / o la corriente RMS o TRUE RMS de una señal, calculan el valor eficaz usando solamente la componente de AC (

ó ), y no utilizan para nada el valor de la componente

de DC. Por lo tanto se recomienda para corregir este error, medir el voltaje o la corriente promedio (ajustando el multímetro en la posición DC) y luego ajustar el

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multímetro en AC y medir el voltaje de alterna de la señal (poner sumatoria); por último se evalúa el valor RMS así:

IMPORTANTE (21)

Ejemplo.

Si se posee un voltaje de geometría rectangular, regido por la siguiente expresión:

Este voltaje está aplicado sobre una resistencia .

Calcular el voltaje RMS sobre la resistencia, y la potencia promedio consumida por dicha carga.

Solución.

El voltaje RMS se calcula así:

Evaluar la anterior expresión requiere del cálculo del valor de la serie de potencia infinita, por lo tanto se propone ejecutar un cálculo aproximado del valor RMS del voltaje.

Algunas líneas espectrales del voltaje de salida se enseñan a continuación:

0 (n =0) 3.3331 (n =1) 4.24 2.992 (n =2) 0 03 (n =3) 1.4147 14 (n =4) 0 05 (n =5) 0.8488 0.66 (n =6) 0 07 (n =7) 0.6063 0.42878 (n =8) 0 09 (n =9) 0.4715 0.33

10 (n =10) 0 0

Por lo tanto:

13

Entonces:

Y por lo tanto, la potencia promedio consumida por la resistencia , es igual a:

Algo interesante de anotar, es que no es necesario que la señal sea periódica para calcular su espectro a partir del teorema de Parseval, lo único importante es poseer las líneas espectrales de la señal de voltaje o de corriente para así poder calcular la potencia promedio ó el valor RMS de un voltaje ó de una corriente, en el siguiente ejemplo se ilustra esta situación particular.

Ejemplo.

Se posee una resistencia de sometida a un voltaje igual a

.

Determinar la potencia activa promedio consumida por la resistencia de .

Solución.

El voltaje se puede representar como una sumatoria de dos funciones senosoidales, aplicando la siguiente identidad:

Al aplicar esta identidad sobre , se obtiene el siguiente resultado:

Es elemental verificar que el voltaje no es periódico, ya que la frecuencia

superior , no es múltiplo entero de la frecuencia inferior que compone a la señal, , ni de la frecuencia de .

El espectro de es así:

14

Figura No.6 : Espectro de magnitud del voltaje aplicado sobre la resistencia de

en el ejemplo 4.

Por lo tanto, al aplicar la formula para calcular el voltaje RMS, ,

se obtiene que:

Por lo tanto, la potencia sobre la carga de sería igual a:

Es importante anotar del ejemplo, que a una señal no periódica de voltaje y / o corriente se le puede calcular su valor RMS usando el teorema de Parseval: Solo es necesario contar con el espectro de magnitud del voltaje y / o de la corriente de la señal no periódica para poder calcular su valor RMS.

1.8 BALANCE DE POTENCIA EN UN CIRCUITO ELECTRÓNICO ALIMENTADO CON UNA FUENTE DE DC CONSTANTE.

A continuación se procede a enseñar en la figura No. 7 un circuito electrónico no lineal alimentado con una fuente de DC. Por hipótesis se supondrá que la corriente de la fuente de voltaje de DC, , es periódica de frecuencia .

Figura No. 7: Circuito no lineal alimentado con una fuente de voltaje de DC, .

La fuente de voltaje suministra al circuito electrónico no lineal, una potencia activa promedio igual a:

15

Donde

y .

Por lo tanto la potencia activa promedio consumida por el circuito es igual a:

(22)

La expresión (22) enseña algo interesantísimo: La potencia promedio consumida por el circuito es igual al voltaje de la fuente multiplicada por el valor promedio de la corriente .

Calculemos ahora la potencia aparente promedio consumida por el circuito.

Por definición, la magnitud de la potencia aparente promedio consumida por el circuito es igual a:

Donde la corriente RMS de la fuente de alimentación, se puede calcular a través del teorema de Parseval:

Y el voltaje RMS de la fuente es igual a .

Entonces la magnitud de la potencia aparente promedio de la fuente de alimentación, que es la misma magnitud de la potencia aparente que consume el circuito, está dada por la siguiente expresión:

(23) IMPORTANTE.

Se define el factor de potencia real del circuito electrónico, como el cociente entre la magnitud de la potencia activa promedio que consume el circuito, , y la

magnitud de la potencia aparente promedio que consume el circuito :

(24)

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El factor de potencia real, , difiere de la definición de factor de potencia de circuitos lineales de AC (que recibe el nombre de factor de potencia de desplazamiento), ya que el factor de potencia de desplazamiento sólo es válido para circuitos lineales de AC en régimen de estado estable, mientras que el factor de potencia real es válido para circuitos eléctricos o electrónicos en estado estable donde la corriente de alimentación es senosoidal o no senosoidal; por lo tanto el factor de potencia real es una expresión más general que la del factor de potencia de desplazamiento.

La expresión (23) puede rescribirse de la siguiente forma:

(25)

De la expresión (22), la potencia activa promedio entregada por la fuente es igual a , por lo tanto la expresión (25) se puede reescribir así:

(26)

Si se define:

(Potencia armónica consumida por el circuito): Potencia asociada a los armónicos múltiplos de la frecuencia fundamental (

) de la corriente :

(27)

(potencia reactiva asociada al primer armónico consumida por

el circuito): potencia reactiva asociada a la componente fundamental ( ) de

la corriente :

(28)

Reemplazando las definiciones (27) y (28) en la expresión (26), se obtiene que la potencia aparente entregada por una fuente de voltaje de DC, , a un circuito electrónico no lineal cumple la siguiente ley fundamental:

(29)

O de forma más clara:

(30)IMPORTANTE: LEY DE BALANCE DE POTENCIAS PROMEDIO EN UN CIRCUITO

ELECTRÓNICO ALIMENTADO CON UNA FUENTE DE DC.

17

De la expresión (30) se puede concluir, que la magnitud de la potencia aparente al cuadrado consumida por el circuito, es igual a la suma de las magnitudes al cuadrado de las potencias activa promedio, reactiva promedio y armónica consumidas por el circuito electrónico.

La anterior expresión que rige la potencia aparente de un circuito electrónico, en conjunción con la definición de factor de potencia real, permiten crear el siguiente diagrama fasorial generalizado de potencias promedio en un circuito electrónico enseñado en la figura No. 8:

Figura No. 8: Pirámide de potencia de las potencias promedios consumidas por un

circuito electrónico: Nótese que y

el ángulo entre la potencia aparente promedio de la fuente y la potencia activa promedio es igual a .

Ejemplo.

Se posee el circuito transistorizado presente en la figura Número 8B, alimentado con una fuente de voltaje de DC de e implementado en la herramienta Schematics del Spice.

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Figura No. 8B: Circuito amplificador en emisor común alimentado con una fuente de voltaje de DC de , implementado en la herramienta Schematics del Spice.

El circuito fue simulado usando la herramienta Transient, y se obtuvieron las gráficas del voltaje de la fuente y de la corriente de la fuente en el dominio del tiempo, que son ilustradas en las figuras No. 8C y 8D.

Figura No. 8C: Gráfica de la corriente de la fuente en el tiempo, de la fuente de

Figura No. 8D: Gráfica del voltaje de la fuente de en el domino del tiempo.

Determinemos la magnitud de la potencia aparente promedio que entrega la fuente de DC de al circuito electrónico:

Por definición

Donde es la corriente RMS de la fuente de voltaje de .

Mediante el Spice se puede calcular la magnitud de la potencia aparente promedio de la fuente de :

En la barra principal de la interfase donde aparece las gráficas del voltaje y la corriente de la fuente, hay un ícono que se titula TRACE, y al dar un click izquierdo sobre dicho ícono, se despliega el menú presentado en la figura número 8E.

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Figura No. 8E: Menú de la opción Add Trace.

Al seleccionar la opción Add Trace, se despliega la interfaz enseñada en la figura No. 8F.

La primera columna de la interfaz enseña todos los voltajes y corrientes simulados en el dominio del tiempo del circuito, y la segunda columna ilustra todas las posibles operaciones matemáticas que se pueden ejecutar sobre las señales eléctricas de la primera columna.

Figura No. 8F: Interfaz de la opción Add Trace.

En la parte inferior de la interfaz aparece una barra que tiene como título Trace Expression, en dicho espacio se escribe la operación matemática para calcular la magnitud de la potencia aparente promedio de la fuente de , tal como se ilustra en la figura No. 8G.

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Figura No. 8G: Cálculo de la magnitud de la potencia aparente de la fuente de voltaje de , usando la herramienta Add Trace del Spice.

Al aplicar OK en la interfaz, se ejecuta la operación matemática, cuyo resultado se enseña en la figura 8H.

Figura 8H: Resultado de la magnitud de la potencia aparente entregada por la fuente de al circuito transistorizado.

Por lo tanto, la magnitud de la potencia aparente promedio inyectada por la fuente de es igual a .

Determinemos la potencia activa promedio inyectada por la fuente de al circuito transistorizado.

Por definición la potencia activa promedio de un circuito alimentado con una fuente de DC se calcula como .

Al utilizar de nuevo la herramienta Add Trace y haciendo uso de la operación matemática AVG (Valor promedio de un voltaje o de una corriente), para calcular la corriente promedio de la fuente y luego la potencia activa promedio de la fuente, se obtiene el resultado enseñado en la figura No. 8I.

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Figura No. 8I: Resultado de la magnitud de la potencia aparente entregada por la fuente de al circuito transistorizado.

Entonces la potencia activa promedio inyectada por la fuente de es igual a

.

Determinemos la potencia reactiva y armónica consumida por el circuito, que son las mismas potencias inyectadas por la fuente de .

Por definición

En particular:

Por lo tanto el promedio raíz medio cuadrático de las potencias armónica y reactiva promedio consumidas por el circuito serán igual a:

Por último, el factor de potencia real del circuito es igual a:

El anterior resultado del factor de potencia real indica que las potencias armónicas consumidas por el circuito son pequeñas en comparación a la potencia aparente, o lo que es lo mismo, el de la potencia aparente entregada por la fuente de voltaje se ha convertido en potencia activa promedio (en calor o trabajo útil); y el restante en otros tipos de energía.

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Con los elementos aprendidos a lo largo de este capítulo, ya se poseen las herramientas mínimas necesarias para estudiar el funcionamiento de los amplificadores electrónicos y otros circuitos electrónicos.

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