1-¦ Apunte Estatica grafica

UTN Río Grande Apuntes de Estática Grafica Ing. Aníbal Vallejo

OPERACIONES FUNDAMENTALES DE LA ESTÁTICA GRAFICAEstática

La estudiamos mediante enunciados que describen validas nociones tales como “Es la parte de la mecánica que estudia los cuerpos en equilibrio”.

Para el estudio de este tema es importante detenernos a analizar lo que suceden con las fuerzas y los sistemas de fuerzas que actúan sobre los sólidos rígidos. Describiremos conceptos claves que se mantendrán inalterables durante el estudio de estática.

Fuerza:En el lenguaje cotidiano, una fuerza es un empujo, un tiron.

El concepto de Fuerza nos da una descripción cualitativa de la interacción entre dos cuerpos, o de un cuerpo y su entorno.Esta claro que a una fuerza la podemos representar por un vector de modo que le podemos asignar modulo, dirección y sentido.

Representación grafica de la fuerza

En algunos casos es necesario determinar también el punto de aplicación.Los efectos que provoca una fuerza sobre un sólido rígido se lo pueden agrupar

en tres grupos( Fig –1-):1)Desplazamiento del cuerpo.2)cambio de velocidad del sólido, si este ya esta en movimiento.3)giro o rotación; si el mismo se encuentra vinculado en un punto

Transformación de sistemas de fuerzas:

Transformar un sistema de fuerza quiere decir sustituirlo por otro sistema que produzca el mismo efecto cinematico que el primero, se dice entonces que estos dos sistemas son estáticamente equivalentes.

La experiencia asegura que las cuatro operaciones siguientes permiten pasar de un sistema de fuerzas, a otro, estáticamente equivalente.

1° Operación: Traslación de una fuerza.No se altera el esfuerzo cinemático producido por una fuerza aplicada en un

punto de un sólido rígido, trasladando su punto de aplicación a otro punto cualquiera de su recta de acción.

Por ejemplo una barra supuesta rígida y sometida a la acción de una fuerza P aplicada en A, es indiferente suponerla aplicada en A1, siempre que este punto pertenezca a la línea de acción de P. (fig –2-)

Modulo

Dirección

Sentido

Fig –1-

A

B

P

A

PA1

Fig –2-


La operación deja de ser valida, al suponer que la barra es deformable por la presencia de la fuerza P; pues si esta actúa en A la barra se deforma en toda su longitud, mientras que aplica en A1 solo experimenta deformación, el trozo de barra comprendido entre A1 y B.

En la estática de los cuerpos rígidos, que estamos considerando, será pues indiferente la posición del punto de aplicación de cada fuerza pudiendo prescindirse de el y por lo tanto las fuerzas quedan identificadas conociendo tres parámetros:

Recta de acción.(dirección) Sentido. Intensidad.

2° Operación: Sustitución de dos fuerzas por una.No se altera el efecto cinemático de dos fuerzas concurrentes al sustituirlas por

una sola, según la diagonal del paralelogramo construido con ellas.Esta operación se conoce también con el nombre de principio del paralelogramo.Sean las fuerzas P1 y P2 actuando en las rectas de acción S1 y S2 sobre la chapa

C. En virtud de la primera operación, podemos aplicar las dos fuerzas al punto A, intersección de S1 Y S2.

Elegido un punto O del plano del dibujo, se traza a partir del origen O un vector representativo de la fuerza P1 según la escala de fuerza adoptada; y también por otro vector que representa la fuerza P2.

Completando el paralelogramo como indica la figura (fig –3c-), el vector representado por la diagonal OC, en el sentido de la flecha, apreciada su magnitud según la escala de fuerzas, representa la fuerza única R que sustituye a las dos fuerzas P1, P2.

La línea de acción de R es la paralela a OC pasante por el punto A del esquema posicional fig.-3 a-)

Como ya se a dicho, la experiencia comprueba que los sistemas de fuerzas a) y c) son estáticamente equivalentes. La figura c) se denomina paralelogramo de las fuerzas.

En la practica la construcción del paralelogramo se limita al trazado de uno solo de los dos triángulos que aparecen en la (fig -3d-).Así resulta el diagrama de la (fig. -3d-), denominado polígono vectorial de las fuerzas P1 y P2, o brevemente vectorial.

El punto O es el origen del vectorial; C su extremo; la fuerza R se denomina resultante de las fuerzas P1, P2; estas son las componentes de R12 según las direcciones S1 y S2.

El Polígono vectorial de la figura 3d) se denomina vectorial abierto porque los sentidos de las componentes se dirigen al extremo C del vector de la resultante R12.

La operación descripta se denomina composición de fuerzas o determinación de la resultante y es aplicable a toda clase de cuerpos: sólidos rígidos o deformables.

En resumen: el vectorial trazado, según la escala de fuerza, a partir de cualquier punto O del plano, sirve para obtener: la dirección S de la resultante R , su intensidad (segmento OC) y su sentido que se dirige del origen O hacia el extremo C. Para ubicar la resultante R12 en su verdadera posición es necesario acudir al esquema posicional, trazando por A una paralela a OC que fija la recta de acción de R, siendo su sentido el del vector OC.

La operación inversa de la composición se denomina descomposición de fuerzas o determinación de componentes y su enunciado es el siguiente:Una fuerza es estáticamente equivalente a otras dos fuerzas según direcciones previamente fijadas.

20°

50°

P1

P2 C

R12

P’1

P’2 R’12

R12

R2R1

ESQUEMA POSICIONALPARALELOGRAMO POLÍGONO VECTORIAL

oOc C

Fig –3-

a) d)c)b)S1

S2

c

AA


Sean: P la fuerza; 1 y 2 las direcciones fijadas a las dos fuerzas estaticamente equivalentes de la P (fig. –4a-). trazado por O (fig.-4b-), el vector OB representativo de la fuerza P, según escala de fuerzas, por el extremo B la recta BC paralela a una de las direcciones fijadas, digamos a la 1, y por el origen O una paralela a la otra dirección 2, se obtiene el triángulo OBC. Orientando los segmentos OC y CB como indica la (fig.-4c-), resulta un polígono vectorial abierto análogo al de la fig. d.

Los vectores P1 y P2 señalan el sentido y la magnitud, esta apreciada en la correspondiente escala de fuerza, de las dos fuerzas a la P, que estarán aplicadas en un punto A de la recta de acción de P, que estarán aplicadas en un punto A de la recta de acción de P. Los sistemas c) son pues estáticamente equivalentes.

En consecuencia: No se altera el efecto cinematico de una fuerza al sustituirlo

por dos fuerzas de direcciones arbitrarias, pero concurrentes con la líneas de acción de aquella.

3° Operación: introducción o supresión de fuerzas.Supuesto que en el sistema de fuerzas de la (fig-5a-), las fuerzas P1 y P3 son

iguales y opuestas, la 2° operación de la estática asegura que su resultante es nula; luego podrán suprimirse. Los sistemas a) y b) de la fig-5-. son pues estáticamente equivalentes.

Inversamente, si en el sistema de la fig -5b-) se introducen dos fuerzas iguales y opuestas actuando en una misma recta de acción, el nuevo sistema sigue siendo equivalente al primero.Se denomina bifuerza al conjunto de dos fuerzas de igual intensidad y sentidos opuestos actuando en una misma recta de acción.

En consecuencia: No se altera el efecto cinematico de las fuerzas existentes en un sólido rígido, introduciendo o suprimiendo bifuerzas.

Se constata experimentalmente que esta operación solo puede aplicarse a los cuerpos rígidos. Pierde su validez en los cuerpos deformables, por ejemplo en un elástico, en la goma, etc.

4° Operación: Desplazamiento paralelo de una fuerza.Sea una fuerza P actuando en cualquier dirección, por ejemplo según la vertical

por A (fig. –6a-). Si su recta de acción se desplaza paralelamente a si misma hasta el punto B del cuerpo C, el sistema obtenido (fig. -6b-) no es equivalente al a). Pero

P1

P2P3

P4

P4

P2

A A

a) b)

Fig -5-

1

2

2

1

A

P

P

P2

P1A

P P1

P2

Fig –4-

a) b) c)

O

B

C


procedamos en la siguiente forma: manteniendo la fuerza P en su posición dada, apliquemos en el punto B una bifuerza (fig. -6c-), el sistema resultante, por la 3° operación, es equivalente al a).

El nuevo sistema de fuerza fig.c) esta constituido por una fuerza P, en B, dirigida hacia abajo y por una cupla (fuerza P en A y P en B, esta hacia arriba) de momento M= -p.a (fig. d) que es equivalente al a).

Por consiguiente: No se altera el efecto cinematico de una fuerza P, desplazándola paralelamente a su línea de acción, a la distancia a), siempre que se agregue una culpa de momento P.a.

Las cuatro operaciones establecidas permiten pasar, por aplicaciones sucesivas, de un sistema de fuerzas a otro sistema estáticamente equivalentes, vale decir de igual efecto cinematico que el primero. El problema primordial de la estática consiste en la aplicación metódica de aquellas operaciones elementales, hasta obtener un sistema de fuerzas, conforme a los propósitos que se tenga en vista.

COMPOSICION GRAFICA DE FUERZAS.Los dos problemas fundamentales de la estática son los siguientes:

1) Composición o reducción de fuerzas ( determinación de la resultante).2) Descomposición de fuerzas ( determinación de componentes).El procedimiento para resolver los problemas enunciados, consiste en aplicar las operaciones elementales estudiadas anteriormente.

Composición de fuerzas Concurrentes.La fig. –7a-) es el esquema posicional de un sistema de fuerza concurrentes en

M, que vamos a componer.

Ordenadas previamente las fuerzas, por ejemplo, a partir de las dirección vertical descendente, se numeran sucesivamente en el sentido de la flecha curvilínea: P1; P2; P3

( este ordenamiento puede ser cualquiera).

Elegida una escala de fuerza, se dibuja el vectorial de las fuerzas dadas: a partir de un origen O, cualquiera fig. a), un vector OA representativo de la fuerza P 1; por el extremo A de P1 un vector AB representativo de P2; por el extremo B de P2 un vector BC

a) b)

A

P P

B

A A B B

P

P

P P Pa

-M

Fig –6-

c)d)

Fig. –7-

P1

P3

P2

P4 P1 P1

P2P2

P3 P3

P4 P4

R RR1

R2

D

A

B

C

O

A

D

B

C

O

a) b)

c)


representativo de P3; y por C un vector CD representativo de P4. El punto final D se llama extremo del vectorial.

Uniendo su origen O con su extremo D, el segmento dirigido de O hacia D determina, según la escala de fuerza, la intensidad de la resultante R; la recta OD su dirección y la flecha (hacia D) su sentido.

En cuanto a su linea de acción debe pasar por M y ser paralela a la recta OD.La construcción efectuada se explica en la fig. -7b-): R1 es la resultante parcial de las fuerzas P1 y P2; obtenida según la segunda operación elemental de la estática. Luego el sistema dado de fuerzas (fig. –17a-) resulta estaticamente equivalente al de la fig. -7b-).A su vez la fuerza R2 fig -7b-) es resultante de R1 ( que sustituye a la P1 y P2 ) y la fuerza P3. Luego reemplaza a R1 y P3; y el sistema de la fig.-7b-) es equivalente estáticamente de la (fig.-7c-).

Por ultimo, siempre según la segunda operación fundamental, las fuerzas R2 y P4

pueden sustituirse por la resultante R, con lo cual el sistema inicial (fig.-8a-) es equivalente al de la (fig. -8d-).

En la practica no se dibujan las resultantes parciales, bastando trazar el vectorial de la (fig. -8c-).

Las fuerzas P1, .........,P4 son las componentes de la fuerza R. Recorriendo el vectorial a partir de su origen, siguiendo el sentido de sus componentes se alcanza el punto D, extremo del vectorial, no siendo posible proseguir hacia el

origen O porque el sentido de la fuerza R lo impide: es pues un vectorial abierto.De acuerdo con ello podrá decirse:

Si un sistema de fuerzas concurrentes origina un vectorial abierto, el sistema admite resultante;O sea existe una traslación del cuerpo según la dirección y el sentido de aquella resultante.

COMPOSICION DE FUERZAS NO CONCURRENTES.

Sea el sistema de fuerzas no concurrentes P1 P2 P3 fig.a). Construido fig. b) el vectorial OABC de las fuerzas dadas y descompuesta la fuerza P1 en dos direcciones arbitrarias OO1 y O1 A fig. b) se obtiene las componentes F1 y F2 cuyas magnitudes se miden en la escala de fuerza.

Tracemos por un punto A cualquiera, del plano de posición de las fuerzas dadas, la paralela 1 a la dirección OO1 que numeramos 1; por A1, en la fig.a) la paralela A1 A2 a la dirección AO1, que numeramos 2; prolongándola hasta el punto A2 de intersección con la linea de acción de la fuerza P2 fig. a).

La fuerza P1 puede reemplazarse por las F1 y F2; y el sistema dado, que nuevamente lo dibujamos en fig a), ha quedado reducido al de la fig. b), equivalente estaticamente, al primero.

P1 P2

P3

A

A2

A3A1

1

2 3

4

L

R

a)

P3

P1

P2 O1

C

B

A

O

F4

F3’

F2’

F2

F1

F3

I

II

III

IV

R

b)

Fig. –9-

P1

P2

P4

P3

P4

R1P3

R2

P4

R

Fig -8-

a) b) c) d)


Procedamos en igual forma con la fuerza P2: la descomponemos fig -9b-) en las direcciones II y III, obteniendo dos componentes F’2 y F’3 según el sentido indicado en la misma fig. Volviendo al esquema posicional (fig –9a-) se traza por A2 la paralela 3 a la III de (fig. -9b-), hasta interceptar en A3 la siguiente fuerza P3 del sistema dado.

Las fuerzas F’2 y F’3, que sustituyen a P2, transforman nuevamente el sistema de (fig. -10b-) en otro equivalente, según (fig. -10c-).Por ultimo la fuerza P3 (fig. -9b-) también puede descomponerse en las fuerzas F’3 y F4. Trazando en consecuencia, por A3 del plano posicional (fig.-9a-) la paralela 4 a la IV de (fig.-9b-), podrá sustituirse la fuerza P3 por las F’3 y F4, resultando el sistema de (fig.-10d-) equivalente al de (fig. -10c-).

Observando en la (fig. -10d-) que las fuerzas F2 y F’2 constituyen una bifuerza, puesto que su intensidad común es la del segmento AO1 fig. b) medido en la escala de fuerzas, y como también forman bifuerzas las F3 y F’3 por igual razón, el sistema de fuerzas de la (fig.-10d-) es equivalente al de la (fig. e), constituido por dos únicas fuerzas F1 y F4, que a su vez se compone en la fuerza única R (fig. -9b-) pasante por A (fig. -10f-).R es la resultante del sistema dado de fuerzas.

En el conjunto de operaciones efectuadas para determinar R, se presentan tres polígonos:1) polígono vectorial: es el OABCO;2) polígono polar: es el constituido por los radios polares I, II,III,IV fig.b). O1 es el polo, elegido libremente. Los radios polares se numeran a partir del radio polar que une el polo O1 con el origen O del vectorial y siguiendo el orden de presentación de las fuerzas del vectorial, que es arbitrario como se dijo;3) polígono funicular: es el formado (fig. –9a-) por las paralelas 1, 2, 3, 4 a los respectivos radios polares: I, II, III y IV; se llaman lados del funicular: 1 es su primer lado; 4 es el ultimo lado.

La determinación de la resultante R de un sistema de fuerza no concurrentes, en la practica, se simplifica procediendo en la forma siguiente:Una vez trazado el vectorial de todas las fuerzas dadas, se elige un polo O1 del plano, que se une a los vértices O, A, B, C del vectorial.

CUNDICIONES GRAFICAS DE EQUILIBRIO

Hemos visto en que el efecto cinemático de las fuerzas se manifiesta por una

P1

P2P3

F2F1 F2’ F3

F3’

F4

A1 A2

A3

P3

F2F1 F2’ F3

A2A1

A3

P2

P3F2

F1

A1

A2

F1

F4

A1A3

A

R

A

a)

e)d)

c)b)

f)

Fig. –10-


traslación o por una rotación y que es propósito de la Estática contrarrestar aquellos desplazamientos para obtener el equilibrio estático del sistema

Este último problema se denomina: Equilibrio de un sistema de fuerzas.

Equilibrio de un sistema ,de fuerzas. Consideremos un sistema cualquiera de fuerzas, por ejemplo el de la (fig. -11a-), concurrente en A y su correspondiente vectorial Fig 23b. La resultante R sustituye a las fuerzas dadas señalando el sentido de la traslación que impulsa a la chapa c.

Si una fuerza R se sustituye por otra fuerza E de igual intensidad y de sentido contrario, quedara anulado el efecto cinematico de R , puesto que ambas forman una bifuerza. El sistema de fuerzas P1 , P2, P3 , E carece de resultante, y al el sólido al cual se aplica se mantendrá en reposo de traslación, eso es en equilibrio de traslación.

La fuerza E se denomina equilibrante del sistema P1 , P2, P3 (fig. 11- c) Se observa que es un vectorial cerrado.

En cambio el vectorial de la (figura -11b-) correspondiente al sistema P1 , P2, P3

, R es abierto.Nótese en un vectorial cerrado Cualquier fuerza que lo forma es equilibrante de

las restantes; pues ella cierra el vectorial.

Interpretación Cinemática de los polígonos vectoriales y funiculares

Vamos a demostrar que la traslación, la rotación o el reposo de un sólido sometido a fuerzas conocidas, puede interpretarse gráficamente mediante los polígonos funiculares y vectoriales.

Funicular abierto

Vectorial abierto

TRASLACIÓN

(Hay resultante)

Fig –12-

Fig. –11-


a) Sea un sistema de fuerzas no concurrentes (fig.-12-) P1, P2, Pa y sus correspondientes polígonos vectorial, polar y funicular, La presencia de una resultante R indica que la chapa e está sometida a una traslación. El vectorial se presenta abierto y el funicular ofrece la característica que su primer y último lado son concurrentes en A. Un funicular en tales condiciones lo llamaremos funicular abierto.

En consecuencia podrá decirse:

Si un sistema de fuerzas admite resultante (traslación) sus correspondientes polígonos vectorial y funicular son abiertos.

Tratándose de un conjunto de fuerzas concurrentes, es suficiente la existencia de un vectorial abierto.

La conclusión enunciada puede expresarse a la inversa..

Si los polígonos vectorial y funicular son abiertos, el sistema de fuerzas correspondientes tiene resultante (traslación).

b) Sea un sistema de fuerzas no concurrentes Pl, P2, P3, P4 (fig. 13). Su vectorial, suponemos, puede ser recorrido a partir del origen O (o de cualquier otro vértice A, B, C) siguiendo el sentido indicado por sus flechas hasta volver al punto de partida: es un vectorial cerrado.

Vale decir, cualquier fuerza de sistema es equilibrante de los demás.

En consecuencia el sistema dado de fuerzas no admite resultante (ausencia de traslación).

El polígono polar se caracteriza por tener superpuestos el primero y el último radios polares que lo forman: 1 y 5 de la figura. En cambio el polígono funicular se presenta con sus lados extremos, 1 y 5, paralelos, Denominaremos un funicular en estas condiciones funicular cerrado (en un punto impropio o sea en el infinito) o también funicular de lados extremos paralelos.

Como cada uno de estos lados extremos es sostén de una fuerza: F1 en el lado 1 y F1 en el lado extremo 5, estas fuerzas son iguales y opuestas, pues ambas están medidas por el segmento OP del polar, el sistema es equivalente a una cupla (rotación) .

Por consiguiente:

Si un sistema de fuerzas se reduce a una cupla (rotación) el correspondiente polígono vectorial es cerrado y el funicular tiene sus lados extremos paralelos.

La inversa siempre se verifica; es decir: si el funicular es de lados extremos paralelos y el vectorial cerrado, el sistema de fuerzas correspondiente se reduce a una cupla (rotación).

P3P4

F1

3 4 5

Rotación

(Hay cupla)Vectorial cerrado

Funicular de lados

extremos paralelos

F1

F1

Fig –13-


c) Por ultimo, consideremos el sistema de la figura –14- cuyo vectorial, suponemos sea el OABCO, resulta cerrado. Construido el funicular correspondiente se observa que el primer lado 1 y el ultimo loado 5, están superpuestos. Un funicular en estas condiciones se dice funicular cerrado

Por tanto el lado 1-5 del funicular es sostén de dos fuerzas F1 y F5 iguales y opuestas, según indica el segmento OO1 del polar; y la cupla que aparecía en (fig.-14) se reduce, en el caso actual, a una bifuerza.

El sistema dado de fuerzas, no admite pues resultante (no hay traslación) ni cupla (no hay rotación): está en equilibrio.

En conclusión: Si un sistema de fuerzas carece de resultante y de cupla (reposo) los

correspondientes polígonos vectorial y funicular son ambos cerrados.

De lo dicho en a), b) Y c) se deduce que un polígono vectorial traduce gráficamente la existencia de traslación debido a la presencia de una resultante; en cambio el polígono funicular señala, con la presencia de una cupla, un movimiento de rotación.

Condiciones gráficas de equilibrio. - Interesa conocer las condiciones a cumplir por un sistema de fuerzas conocido, para que el sólido sometido a ellas permanezca en reposo. Se denominan condiciones gráficas de equilibrio por cuanto hacen referencia a los polígonos vectorial y funicular. Son éstas:

Füerzas concurrentes. - Una sola condición es suficiente. Un sistema concurrente de fuerzas está en equilibrio cuando su vectorial es

cerrado. Fuerzas no concurrentes.- dos condiciones son necesarias.Un sistema de fuerzas no concurrente esta en equilibrio cuando sus

polígonos vectorial y funicular son ambos cerrados.

MOMENTO DE FUERZAS. CUPLAS

Momento estático de una fuerza. – Se denomina momento estático o de primer orden, o lineal, o simplemente momento de fuerza respecto de un punto C, el producto de la intensidad de la fuerza (kg, tn, Nw, etc.) por la distancia a (m, cm,in, etc.) del punto a la línea de acción de P (fig. -15-).

“C” se llama centro de momentos o polo; “a”, brazo de palanca de la fuerza. La unidad de medida del momento estático es: kiogramo-metro o kilográmetro (kgm); toneladametro o tonelámetro (tm); etc.

Si S es una chapa empernada en C, el efecto cinemático de P, respecto de C, es una rotación de la chapa; en sentido positivo si gira según las agujas del reloj (fig. -15b-), negativo en sentido opuesto (fig. –15a-). '

Funicular cerrado

Vectorial cerrado

Fig –14

EQUILIBRIO

(resultante y cupla

nula)


Todo momento estático está pues afectado de un signo que se antepone al valor de aquél; así, se escribirá: 4)

Trazada por C (fig. –15a-) la paralela S a la línea de acción b de la fuerza P, resulta que el momento de ésta no varía si C se desplaza a cualquier otro punto de la recta S; ésta, a veces, se denomina eje de momentos. De tal modo queda definido el momento de una fuerza P respecto de un eje S paralelo a su línea de acción.

El momento estático que es igual a cero cuando a = O, vale decir, cuando el polo C pertenece a la línea de acción de la fuerza, es una magnitud estática homogénea con un trabajo. En cambio, éste es una magnitud dinámica.

El momento estático es el producto de dos segmentos: uno representativo de la fuerza y el otro del brazo de palanca. Si uno de ellos se mide en la escala de fuerzas el otro habrá que apreciarlo en la escala lineal .

Determinación grafica del Momento estático

Si se tiene una fuerza P que ejerce un momento con respecto a un punto C de una chapa cualquiera (fig-16-) al momento se lo puede representar gráficamente por el doble área ( Fig –17-) del triangulo de base P

y de altura a o por el doble del área del triangulo de base AC y de altura h es decir:

M = 2.P.a = 2.AC .h

Determinación grafica de momento estático de un sistema fuerzas

Sean P la fuerza y c el centro de momento (fig-18-) . construidos el vectorial y el funicular de P y trazada por C la paralela S a la dirección de p se obtienen los triángulos semejantes rayados en la figura.

Si h es la distancia de O1 a la dirección de P, distancia llamada distancia polar o base de reducción se tiene:

CP

Fig.-16-

C

ah90º

A

B

P

Fig –17-

M = + 300 kgm

M' = - 4 tm.

Fig –15-

a C

2

S

1

A

PD

B

hP

O

O1

I

II

Fig-18-

y


El segmento BD que denominaremos en adelante para varias fuerzas no concurrentes (Fig-19-) trazados el vectorial y funicular del sistema dado y por el centro de momento C una paralela S a la resultante R, la ordenada “y” es el segmento BD

interceptado por el primero y ultimo lado 1 y 4, sobre dicha paralela. Como los triángulos rayados en la figura son también semejantes resulta la igualdad (P.a = h.y), sustituyendo P por R.

Podemos afirmar:El momento de cualquier sistema de fuerzas respecto a un punto de un

plano “C” es el producto de la distancia polar “h” por la ordenada “y”.

Teorema de Varignon

Consideremos un sistema cualquiera de fuerzas cuya resultante suponemos”R” respecto a un centro o polo “c” como vemos en la figura 20, se cumple:

El momento de la resultante de un sistema cualquiera de fuerzas coplanares respecto a un punto del plano “c”; es igual a la suma algebraica de los momentos producidos por cada una de las fuerzas del sistema respecto al mismo punto “c”.

R = Momentos de las Fi

O1

I

II

III

IV

P1

P2

P3

O

R

P2P1 P3

R

1 2

3

4

A

B

C

D

y

S

aFig. 19

F1F2 F3

R C

dR

d1

d2

d3

Fig. 20


R . dR = F1 . d1 + F2 . d2 + … + Fn . dn

R . dR = Fi . di

Reacciones Vinculares

Cada elemento estructural , que forma parte de un todo (viga, armadura etc) debe satisfacer ciertas condiciones:

a) cada elemento tiene que estar en equilibrio estático, es decir en reposo para lo cual es necesario vincular aquellos elementos con un sistema considerado fijo (sistema inercial referencial)

b) El equilibrio debe ser estable, vínculos prácticos.c) No debe sufrir tensiones que excedan los limites admisibles de trabajo, .

Agrupamos a los distintos vínculos en Tres grupos.

Vinculo de segundo grado (dos grados de libertad): Tiene dos grados de libertad y al sacarlo (para la resolución del problema) se ponen e evidencia una sola reacción.

Vinculo de primer grado (un grado de libertad): Tiene un solo grado de libertad (rotación) y al poner en evidencia me quedan dos reacciones (componentes en “x” e “y” de la fuerza resultante en el punto de la articulación).

Empotramiento(ningún grado de libertad)No tiene ningún grado de libertad y al evidenciarlo me quedan dos fuerzas

componentes y un momento .

Comúnmente estos apoyos se los conoce con el nombre de apoyo fijo (el de primer grado), apoyo móvil (el de segundo grado) y empotramiento.

Determinación de las reacciones Para determinar las reacciones de una viga o una chapa, debemos aplicar las

condiciones de equilibrios aprendidas anteriormente, analítica o gráficamente..Se denomina sistema isostatico cuando la viga o estructura etc cuando las ecuaciones de equilibrio de la

A

RA

A

RA

A

A

RAx

A

RAy

RAx

RAy

ARAx

A

RAy

MA

Fig. –21-

Fig. –23-

Fig. –22-

P

a b


estática permiten determinar los tres elementos de cada reacción, recta de acción intensidad y sentido.El procedimiento grafico para determinar reacciones consiste en la construcción de un vectorial cerrado , si las fuerzas concurren a un punto, si las rectas no son concurrentes es preciso construir ambos polígonos y que sean cerrados.

Entonces tenemos:

Diagrama del cuerpo libre:Analiticamente se pueden determinar las reacciones mediante la aplicación de las ecuaciones que garantiza el equilibrio estatico;

Σ Fx =0 Σ Fy =0 Σ Mo =0

Para determinar las reacciones de forma grafica, nos valemos del diagrama de cuerpo libre y trazamos los polígonos vectoriales y funiculares según vemos en el grafico de la fig-26-.

El sentido para arriba de las reacciones para equilibrar la carga P . Gráficamente las reacciones se obtienen dibujando un vectorial con origen O, de la fuerza P y un polar de polo O1; de lo cual resulta un funicular de lados 1 y 2 interceptados estos con las verticales que pasan por A y B quedan determinados los puntos A0 y B0 cuya unión constituye la línea de cierre 3 del funicular. Una paralela III por O1 ubica el punto C sobre el vectorial. Los vectores AC y CO medidos en escalas de fuerzas indican las intensidades de las reacciones RA y RB.

Obsérvese que el vectorial cerrado OACO corresponde un funicular cerrado 1234 también cerrado; condición grafica de equilibrio.

Analizamos el siguiente caso:

Para determinar las reacciones del caso presentado en la figura –27- donde tenemos una viga simplemente apoyada en la que actúa una carga estática puntual oblicua a la viga, con un Angulo “α”, y el apoyo móvil (segundo grado grado) tiene un Angulo de inclinación con respecto a la horizontal de valor “β”.

Fig. –24-

Fig. –25-

P

a b

A BC

RBRA

Fig. –26-

I

II

III

RB

RA PC

01

02

I’

III’II’

P

a b

A BD

RBRA

12

3

I’ III’

II’Ao

Bo

Bo

O

A4

IV

P

a b

α

β


Al igual que el caso anterior, realizamos el D.C.L. (diagrama de cuerpo libre).

D. C. L.

La reacción en B es perpendicular a la superficie de rodadura del

apoyo. En el Apoyo fijo (primer grado) A debemos encontrar las dos direcciones para componer RA.Si prolongamos la dirección de RB

hasta cortar la dirección de la carga “P”, determinamos el punto C (fig –29-); que al unir con una recta con el punto “A” , será la dirección que garantiza el equilibrio a la viga y contiene a RA ( las tres fuerzas en equilibrio son concurrentes).

Conocidas las rectas de acción de RA y RB , será suficiente para descomponer P en estas direcciones, y una vez

cerrado el vectorial, se obtiene en el (según la escala de fuerzas)

como advertimos en la fig –29-.

Fig. –27-

P

a b

α

β Fig. –28-A BD

RAyRAx

RB

P

a b

α

β Fig. –29-A BD

RAyRAx

RB

C

RA

RA

RB Pdiagrama vectorial

1-¦ Apunte Estatica grafica

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