09 1 CAP II Marco Teorico.pdf

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Capitulo II

Marco Terico

2.1 INTRODUCCIN

En este capitulo se dan a conocer todos los conceptos, mtodos, investigaciones,

ensayos y otros, que sern necesarios para el anlisis a realizar que en base a lo

mencionado se podrn lograr las hiptesis planteadas.

Juliaca el lugar de estudio requiere de una evaluacin y estudio. Ver las

caractersticas que presenta, cuan vulnerable es. Ver como se encuentra con lo

establecido por la Norma sismorresistente Peruana (RNE E-030).

En principio la investigacin es realizada en concreto armado, con el sistema

aporticado, por lo que se requiere del estudio del concreto armado en su anlisis y

diseo. Todo esto por las fuerzas que intervienen sobre estas estructuras como la

presencia de sismo, lo cual hace necesario el estudio de la sismologa, los que

generan desplazamientos haciendo as su incursin en el rango inelstico (no-

lineal) y estos anlisis realizarlos por mtodos matriciales que nos ayudan a realizar

estos clculos.

En este capitulo se concluye con el estudio del anlisis por desempeo, su

procedimiento, metodologa, evaluacin, verificacin y lo establecido por las

propuestas para el Diseo por Desempeo (ATC, FEMA, VISION y la propuesta para

la norma E-030). Para luego pasar a la aplicacin en la ciudad de Juliaca.

Captulo II Marco Terico 8

__________________________________________________________________________________________________________ U.A.N.C.V. C.A.P.I.C. Marco Eddy Quiroz Coaquira

2.2 CARACTERSTICAS FISIOGRFICAS DE LA REGIN

2.2.1 Datos Generales

La ciudad de Juliaca est localizada, en la regin del sur peruano, ubicada

bsicamente en la parte central de la meseta del Kollao en la cordillera del sur

entre las cadenas Oriental y Occidental de los andes meridionales o andes del sur a

3825 metros sobre el nivel del mar en la zona central, 3854 (m.s.n.m.) en la zona

del aeropuerto, 3828 (m.s.n.m.) en el puente Maravillas , 4139 (m.s.n.m.) en la cima

del cerro Monos, de acuerdo a la clasificacin regional del Dr. Javier Pulgar Vidal, la

ciudad de Juliaca se encuentra en la zona de Tierras Altas o regin SUNI.

De acuerdo al Instituto Nacional de Estadstica e Informtica (INEI), la ciudad de

Juliaca se encuentra entre las siguientes coordenadas geogrficas.

15 29 24 de latitud Sur; y 70 08 00 de Longitud Oeste

Figura 2.2.1 Localizacin de la ciudad de Juliaca.

En lo respecto a la presin atmosfrica en promedio en la ciudad de Juliaca es

de 644.5 milibares (mb). La presin Atmosfrica varia de estacin a estacin as

como en el curso del da.



Figura 2.2.2 Panorama de la ciudad de Juliaca - Per.

2.2.2 Descripcin Geolgica

El entorno de la ciudad de Juliaca, presenta dos relieves uno plano y otro saliente, la

mayor parte de la superficie esta constituido por extensas llanuras, con ligeras

ondulaciones; estos suelos estas formados por depsitos aluviales y lacustre. Las

fuerzas erosivas de la naturaleza dieron la actual configuracin a los cerros, los

mismos que, en la generalidad de casos; se caracterizan por tener colinas con cimas

casi redondeadas.

Figura 2.2.3 Panorama Geolgico de la ciudad de Juliaca.



2.2.3 Amenaza Ssmica

Es la probabilidad de ocurrencia de un suceso potencialmente desastroso durante

cierto periodo de tiempo en un lugar determinado.

2.2.3.1 Tectnica y sismicidad

Emplazamiento tectnico.

El Per est localizado dentro de una de las zonas ssmicas ms activas de la tierra

denominada Anillo Circunpacfico. Su emplazamiento tectnico es complejo, debido

a que en su territorio convergen las placas tectnicas: la placa de Nazca, la placa

Sudamericana (ver Figura 2.2.4). Estas placas interactan creando esfuerzos de

compresin, traccin y corte dentro de la regin, los cuales generan acumulacin de

energa. Las zonas ms activas, ssmicamente hablando, estn localizadas en la

regin andina del pas, la cual est compuesta de tres cordilleras: occidental, oriental

y central; de stas la ms antigua es la central y la ms reciente es la oriental,

conformando un ambiente morfolgico complejo que, en la actualidad sigue siendo

motivo de investigacin.

Figura 2.2.4 Emplazamiento tectonico.



Sismos que se deben de tomar en cuenta

09 de Abril de 1928.- Movimiento ssmico de grado VII en la escala de Mercalli

Modificada, a las 12:30 horas, destruy Ayapata, y Tatua Ollachea, Departamento

de Puno; saldo cinco muertos. 27 de Abril de 1928.- 15.30 horas Epicentros: Ayapata (PUNO) Se produjo una

fuerte rplica del sismo anterior, que afecto la regin montaosa de Esquilaya. En

Macusani se sinti fuerte y en la Paz-Bolivia dbil. El Observatorio de San Calixto

registr desde, el 9 de abril unas 200 rplicas provenientes de esa regin.

26 de Febrero de 1952.- Movimiento ssmico de magnitud 7,5 en la escala de

Richter a las 06:31 horas afect Coasa y Macusani en Puno.

5 de Abril de 1966.- (Tras un largo silencio ssmico) terremoto en Cusco a las 15:15

horas, deja 27 muertos, 125 heridos, 2 mil damnificados. Magnitud de 5.8 grados

Richter.

14 de Febrero de 1970.- 06:18 horas fuerte sismo en Panao, provincia de Pachitea,

departamento de Hunuco, 10 muertos y un nmero no precisado de casas

destruidas.

31 de Mayo de 1970.- 15.23 horas terremoto de magnitud 7.8 y gran aluvin en el

Callejn de Huaylas: 67 mil muertos, 150 mil heridos.

5 de Mayo de 1971.- En la localidad de Sihuas, Ancash, a las 12 horas 48 minutos.

Violento sismo. Cinco muertos y treinta heridos.

14 de Octubre de 1971.- Sismo intenso a las 05:34 horas en Aymaraes,

departamento de Apurmac. Cuatro muertos y 15 heridos. El 40% de las viviendas

daadas y 10% destruidas.

23 de Julio de 1988.- 14:30 horas terremoto de 6.2 grados en la escala de Richter.

Afect Maca, Lare y otras localidades del Valle del Colca en Arequipa: 12 muertos.

70 heridos, 800 damnificados, 323 viviendas derrumbadas, 5 locales pblicos

destruidos.

4 de Octubre de 1995.- Un temblor de 4 grados sacudi las localidades cuzqueas

de Pillpinto, Acos, Sangarar y Pomacanchi. En Pillpinto la mayora de las viviendas

fueron severamente afectadas.

31 de Octubre de 1999.- Se produce un violento movimiento ssmico en el distrito

de Chuschi Cangallo departamento de Ayacucho. Magnitud de 4 escala de Ritcher

caus graves daos en las viviendas que en su totalidad son de material rstico.

Provocando 26 heridos (6 graves evacuados al hospital de Huamanga, 14 heridos



leves se atendieron en puesto de socorro), gran nmero de viviendas afectadas que

requieren reparacin y 355 viviendas destruidas.

08 de Agosto de 2003.- Se registraron 02 movimientos ssmicos de regular

intensidad en el distrito de Capacmarca, provincia de Chumbivilcas, departamento

del Cusco, que causaron daos en diversos lugares de los departamentos del Cusco

y Apurmac, dejando un total de 1,112 personas damnificadas, 4,793 personas

afectadas, 1,173 viviendas afectadas, 250 viviendas destruidas.

Estos sismos ocurrieron en la sierra y los tres primeros en el departamento de Puno,

donde predomina una aceleracin del suelo de 0.30g.16

2.2.4 Demanda Ssmica

Para representar la demanda ssmica en la ciudad de Juliaca, se utilizan: Los

espectros de diseo de la Norma Peruana (E-030).

2.2.4.1 Espectros elsticos de diseo de la Norma Peruana E-030

Los espectros elsticos de la norma peruana estn establecidos a partir de los

parmetros de Suelo y del factor de amplificacin ssmica (C), con los que se podr

obtener los espectros elsticos normalizados para cada tipo de suelo.24

Espectro Elstico de acuerdo al Suelo

0.00

0.501.00

1.50

2.00

2.503.00

3.50

4.00

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00

Periodo (seg)

SC

Figura 2.2.5 Espectro Elstico de la Norma E-030.



Los parmetros de sitio como, la zonificacion, condiciones locales, factor de

amplificacin ssmica, micro zonificacin ssmica (Estudios se sitio), coeficiente de

importancia. Son datos requeridos en el anlisis de la demanda ssmica, los que se

encuentran en la Norma Peruana E-030. 24

2.2.5 Peligro Ssmico

El Peligro Ssmico depende bsicamente del panorama sismo tectnico de la ciudad

de Juliaca, en este caso como lugar de estudio, as como tambin de sus

caractersticas del suelo y la topografa local.21

Estudio de peligro ssmico para el departamento de Puno.

En el Departamento de Puno se realizo un estudio realizado por el Ing. Guillermo

Bustamante Vsquez. Prediciendo probabilsticamente las posibles aceleraciones

mximas que podran ocurrir en el departamento en estudio, considerando los datos

de sismos pasados y las caractersticas tectnicas asociadas a la actividad ssmica,

trabajo con el catlogo ssmico del Instituto Geofsico del Per (IGP) actualizado

hasta el ao 2001. Esta revisin y actualizacin del catlogo incluye la depuracin

de sismos cuyas intensidades son menores a IV, por ser un sismo leve. En ese

estudio se determino los siguientes parmetros sismolgicos: 21

FUENTES COORDENADAS GEOGRFICAS

-81.17 -9.00 -79.27 -7.90 FUENTE 1

-77.00 -14.80 -75.84 -13.87

-77.00 -14.80 -75.84 -13.87 FUENTE 2

-74.16 -17.87 -73.00 -16.53

-74.16 -17.87 -73.00 -16.53

-71.85 -19.87 -69.21 -19.00 FUENTE 3

-71.85 -22.00 -69.21 -22.00

-75.84 -13.87 -74.76 -13.13 FUENTE 4

-73.00 -16.53 -71.41 -14.67

FUENTE 5 -73.00 -16.53 -71.41 -14.67



-69.71 -18.67 -68.12 -16.13

-74.76 -13.13 -72.48 -11.40 FUENTE 6

-68.12 -16.13 -67.76 -13.80

Tabla 2.2.1 Coordenadas geogrficas de las Fuentes de subduccin superficiales y de las fuentes continentales.

FUENTES COORDENADAS GEOGRFICAS

-79.80 -8.13 -77.17 -6.53 FUENTE 7

-76.38 -14.30 -73.86 -12.46

-76.38 -14.30 -73.86 -12.46 FUENTE 8

-73.28 -16.87 -71.21 -14.40

-73.28 -16.87 -71.21 -14.40

-70.86 -18.80 -68.93 -15.73 FUENTE 9

-70.38 -22.00 -67.98 -22.00

Tabla 2.2.2 Coordenadas geogrficas de las Fuentes de subduccin intermedias y profundas.

El anlisis de Peligro Ssmico lo realizo aplicando la metodologa desarrollada por A.

Cornell en 1968 en trminos probabilsticas, metodologa que fue modificada e

implementada en el programa de cmputo de RISK por Mc Guirre (1976). Esta

metodologa integra informacin sismo tectnico, parmetros sismolgicos, y leyes

de atenuacin regionales para diferentes mecanismos de ruptura. El resultado es

una curva de peligro ssmico, donde se relaciona la aceleracin y la probabilidad

anual de excedencia.

FUENTE Mmn Mmx TASA BETA PROFUNDIDAD (KM)

F1 4 8.0 8.56 3.14 30

F2 4 8.2 5.58 3.62 40

F3 4 8.2 5.33 3.25 50

F4 4 7.0 0.52 5.59 65

F5 4 7.5 1.21 5.56 55

F6 4 7.1 0.81 6.96 50

F7 4 7.2 4.08 5.13 100

F8 4 7.5 5.43 5.79 110

F9 4 7.0 22.12 5.85 90

Tabla 2.2.3 Parmetros sismolgicos de las fuentes sismogenicas.



El catlogo ssmico que utiliz en el presente trabajo, est formado por los sismos

comprendidos entre 1963 y 2001. La concentracin de valores ms altos de

aceleracin ocurre especficamente en las provincias de Puno, Ilave, San Romn y

Lampa y va disminuyendo a medida que avanza al norte del departamento es decir

en las provincias de Carabaya y Sandia. Estos valores se deben considerarse al

nivel del suelo firme, donde no se considera la influencia de las condiciones locales,

ni los efectos de interaccin suelo - estructura. 21

Calculo de Peligro Ssmico de la ciudad de Juliaca.

El calculo del peligro ssmico de la ciudad de Juliaca realizado por el Ing. Guido

Rodrguez Molina, realizo el calculo mediante la utilizacin del programa de

computo RISK, desarrollado por Mc Guirre (1976), con datos de atenuacin de

[Casaverde y Vargas (1980)]27, y los de recurrencia ssmica de Castillo CISMID

(1982), con los que obtuvo riesgos anuales de aceleracin, calculado mediante la

teutnica probabilstica de modelar las fuentes sismogenicas como reas.

El anlisis lo realizo en dos partes, una para las fuentes de Subduccin o otra

para las fuentes continentales, para periodos de retorno de 30, 50, 100, 200, 475, y

1000 aos. Presentando los siguientes resultados.

Periodo de Retorno Aceleraciones

(Aos) cm/seg2 G

30 174.70 0.18

50 196.33 0.20

100 230.09 0.23

200 268.43 0.27

475 323.56 0.33

1000 379.62 0.39

Tabla 2.2.4 Aceleraciones mximas esperadas.

Sismo de operacin : 0.27g

Sismo extremo : 0.33g



Figura 2.2.6 Mapa de isoaceleraciones para el departamento de Puno.



2.3 CONCEPTOS BSICOS

2.3.1 El Concreto Armado

El conocimiento actual del concreto armado adquirido por la acumulacin de 150

aos de experiencia de emprendedores osados y de los trabajos de investigadores

meticulosos, abarca la totalidad del medio cientfico y tcnico, del material a la obra,

lo que se entiende como un buen dominio del cambio en la escala de lo

microscpico a lo macroscpico. Tambin se puede decir que el cambio de linear a

no linear fue realizado el clculo elasto-plstico as como los teoremas del anlisis

lmite tiene su lugar dentro de los reglamentos de clculo en vigor.1

La curva Esfuerzo-Deformacin, se obtiene de este ensayo, en el cual se

relaciona la fuerza de compresin por unidad de rea versus el comportamiento por

unidad de longitud. 1

140

280

420

560

700

840

00.001 0.002 0.003 0.004

Deformacin del acero (cm/cm)

Esfu

erzo

en

com

pres

in

(kg/

cm2)

Figura 2.3.1 Curva Esfuerzo-Deformacin del Concreto.

La curva que se presenta corresponde a un ensayo de corta duracin del orden

de unos cuantos minutos.



Se puede observar que el concreto no es un material elstico, sin embargo se

puede considerar una porcin recta hasta aproximadamente el 40% de la carga

mxima. Adems el colapso se produce comnmente a una carga menor que la

mxima.

En el ensayo de probetas de concreto simple, la carga mxima se alcanza a una

deformacin unitaria del orden de 0.002. El colapso de la probeta que corresponde

al extremo de la rama descendente se presenta en ensayos de corta duracin a

deformaciones que varan entre 0.003 y 0.007, segn las condiciones del

espcimen y de la maquina de ensayo.

2.3.1.1 Anlisis y Diseo

I Mtodos de Diseo

En el diseo de concreto estructural, los elementos deben disearse para que

tengan una resistencia adecuada, de acuerdo con las disposiciones de nuestro

reglamento; utilizando los factores de carga y los factores de reduccin de

resistencia .

El diseo por estado de limite trata de lograr, que las caractersticas accin-

respuesta de un efecto estructural o de una estructura este dentro de limites

aceptables. Segn este mtodo, una estructura o un elemento estructural deja de

ser til cuando alcanza un estado de lmite, en el que deja de realizar la funcin

para el cual fue diseada.

Se propone que la estructura se disee con referencia a varios estados de lmite.

Los estados de lmite ms importantes son: Resistencia bajo carga mxima,

deflexiones y ancho de grietas bajo cargas de servicio. En consecuencia la teora de

la resistencia mxima, se enfoca para el dimencionamiento de las secciones,

utilizando la teora elstica solamente para asegurar el comportamiento bajo cargas

de servicios.2



Factores de Carga (U)

Los factores de carga tienen el propsito de dar seguridad adecuada contra un

aumento en las cargas deservicio mas all de las especificaciones en el diseo,

para que sean sumamente improbable la falla.

RNE, Titulo III, Estructuras, E-060.25

a)- Para combinaciones de carga muerta y carga viva

U=1.5*CV+1.8*CM (2.3.1) U=1.65 *(CV+L) (2.3.2)

b)- para combinaciones de carga muerta, carga viva y carga de nieve

U=1.25*(D+LS) (2.3.3) U=0.9*D1.25*S (2.3.4)

Donde D es el valor de carga muerta, L el valor de carga viva y S el valor de

carga de nieve.

ACI-318-05 (como referencia).28

a)- Para combinaciones de carga muerta y carga viva

U=1.2*D+1.6*L (2.3.5)

b)- para combinaciones de carga muerta, carga viva y carga accidental

U=1.2*D+1.0*L+1.6*W (2.3.6) U=1.2*D+1.0*L+1.0*E (2.3.7)

Donde W es el valor de la carga de viento y E el de la carga de sismo.

Cuando la carga viva sea favorable, se deber revisar las combinaciones de

carga muerta y carga accidental con los siguientes factores de carga:

U=0.9*D+1.6*W (2.3.8) U=0.9*D+1.0*E (2.3.9)

Factores de Reduccin de Capacidad ()

Los factores de reduccin de capacidad , toman en cuenta las inexactitudes en

los clculos y fluctuaciones en la resistencia del material, en la mano de obra y

en las dimensiones. En las vigas se considera el ms alto valor de debido a

que estn diseadas, para fallar por flexin de manera dctil con fluencia del

acero en traccin. En las columnas tienen el valor mas bajo de , puesto que



pueden fallar en modo frgil cuando la resistencia del concreto es el factor crtico,

adicionalmente la falla de una columna puede significar el desplome de toda la

estructura y es difcil realizar la reparacin.2

La norma peruana como la americana dan los mismos valores y son los

siguientes:

Para flexin sin o con carga axial =0.90

Para cortante sin o con torsin (aligerados) =0.85

Para aplastamiento en el concreto (zapatas) =0.70

Para cortante =0.75

Para flexocompresion (columna zunchada) =0.70

(Columna estribada) =0.65.25

2.3.1.2 Resistencia y Funcionamiento

I. Generalidades

Las estructuras y los elementos estructurales deben ser diseados para que

tengan en cualquier seccin una resistencia de diseo al menos igual a la

resistencia requerida, calculada esta ltima para las cargas y fuerzas

mayoradas en las condiciones establecidas en el reglamento .

Resistencia de diseo Resistencia requerida

(Resistencia nominal) U

En el procedimiento de diseo por resistencia, el margen de seguridad se

proporciona multiplicando la carga de servicio por un factor de carga, y la

resistencia nominal por un factor de reduccin de resistencia.

II. Resistencia requerida

La resistencia requerida U se expresa en trminos de cargas mayoradas o de

las fuerzas y momentos internos correspondientes. Las cargas mayoradas,

son las cargas especificadas en el reglamento nacional de edificaciones



multiplicadas por los factores de carga apropiados. El factor asignado a cada

carga est influenciado por el grado de precisin, con el cual normalmente se

puede calcular la carga y por las variaciones esperadas para dicha carga

durante la vida de la estructura. Por esta razn, a las cargas muertas que se

determinan con mayor precisin y son menos variables, se les asigna un

factor de carga ms bajo que a las cargas vivas. Los factores de carga

tambin toman en cuenta variabilidades inherentes al anlisis estructural

empleado al calcular los momentos y cortantes.

III. Resistencia de diseo

La resistencia de diseo proporcionada por un elemento, sus conexiones con

otros elementos, as como sus secciones transversales, en trminos de

flexin, carga axial, cortante y torsin, deben tomarse como la resistencia

nominal calculada de acuerdo con los requisitos y suposiciones de este

reglamento, multiplicada por los factores de reduccin de resistencia.

Los propsitos del factor de reduccin de resistencia son:

Tomar en consideracin la probabilidad de la existencia de elementos

con una menor resistencia, debida a variacin en la resistencia de los

materiales y las dimensiones.

Tomar en consideracin las inexactitudes de las ecuaciones de

diseo.

Reflejar el grado de ductilidad y la confiabilidad requerida para el

elemento bajo los efectos de la carga bajo consideracin.

Reflejar la importancia del elemento en la estructura.

IV. Resistencia de diseo para el refuerzo

Para el refuerzo se toma el acero, el que posee propiedades mecnicas

como la dureza, resistencia a la traccin, un lmite elstico, forjabilidad,

tenacidad, resistencia al impacto, etc. Todo este anlisis para determinar sus

propiedades se traza la curva de esfuerzo deformacin correspondiente,

indicando sus diferentes caractersticas.2



fy (kg/cm2) fs (kg/cm2)

Grado 40 2800 4900

Grado 60 4200 6300

Grado 75 5300 7000

Tabla 2.3.1 Caractersticas de los aceros grado 40, 60 y 75.

Barra N pulg mm

Peso

(kg/m)

rea

(cm2)

Permetro

(cm)

2 1/4 635 0248 032 199

3 3/8 953 0559 071 299

4 1/2 1270 0993 127 399

5 5/8 1588 1552 198 499

6 3/4 1905 2235 285 598

8 1 2541 3973 507 799

10 1 1/4 3175 6507 792 997

11 1 3/8 3493 7511 958 1097

12 1 1/2 3810 8938 1140 1197

Tabla 2.3.2 Caractersticas del acero de refuerzo.

280

560

840

00.001 0.002 0.003 0.004

Deformacin del acero (cm/cm)

Esfu

erzo

en

com

pres

in

(kg/

cm2)

0.005

Grado 75

Grado 60

Grado 40

Figura 2.3.2 Curva esfuerzo deformacin del acero.



2.3.2. Sismologa

2.3.2.1 Introduccin

Es la ciencia que estudia los terremotos. Implica la observacin de las vibraciones

naturales del terreno y de las seales ssmicas generadas de forma artificial, con

muchas ramificaciones tericas y prcticas. Como rama de la geofsica, la

sismologa ha aportado contribuciones esenciales a la comprensin de la tectnica

de placas, la estructura del interior de la Tierra. Entonces se puede decir que la

sismologa estudia el mecanismo por el cual se producen y propagan las ondas

ssmicas, y la prediccin del fenmeno ssmico.

La investigacin sismolgica bsica se concentra en la mejor comprensin del

origen y propagacin de los terremotos y de la estructura interna de la Tierra. Segn

la teora elstica del rebote, la tensin acumulada durante muchos aos se libera de

manera brusca en forma de vibraciones ssmicas intensas por movimientos de las

fallas.

2.3.2.2 Sismos

Los sismos son sbitas liberaciones de la energa que se acumula bajo la corteza

terrestre como consecuencia de las fuertes tensiones y presiones que ocurren en

su interior y que se manifiestan en forma de vibraciones, desplazamientos y

movimientos diversos de la superficie del terreno sobre el cual habitamos y

construimos.

Los sismos pueden dar como consecuencia grandes desastres, especialmente

donde no se han tomado medidas preventivas relacionadas con la resistencia

ssmica de la edificaciones.

2.3.2.3 Riesgo Ssmico

El riesgo ssmico se define como la probabilidad de experimentar prdidas

econmicas o sociales como consecuencia de la ocurrencia de un sismo. Por lo



tanto si no hay sismos en la regin el riesgo de perder algo desde ese punto de vista

no existe. Similarmente si la vulnerabilidad, o sea la probabilidad de dao para una

intensidad determinada es alta, el riesgo aumenta. Como muestra la ecuacin

siguiente, se expresa como el producto del peligro ssmico por la vulnerabilidad

ssmica por el costo o valor que le asignemos a lo que podamos perder.17

RIESGO SSMICO = PELIGRO SSMICO x VULNERABILIDAD x COSTO (VALOR)

2.3.3 Anlisis estructural por el Mtodo de Elemento Finito

El mtodo del elemento finito (MEF) nace como solucin al planteamiento de

diversos problemas de la ingeniera y es utilsimo dentro del campo de la

Ingeniera Civil, cada da mas exigente, especialmente, en la obtencin precisa de

resultados en el anlisis de comportamiento de las estructuras continuas y en la

optimizacin de su diseo, (esta precisin no es tan importante para nuestro caso

por que trabajamos con factores de carga). Este mtodo del elemento finito ha

llegado ha ser una herramienta poderosa en la solucin numrica de un amplio

rango de problemas de la ingeniera.5

La idea general del MEF es la conversin de un medio continuo (infinitos grados

de libertad) en un medio discreto formado por un conjunto de pequeos elementos

interconectados por una serie de puntos llamados nodos (grados de libertad

conocidos).

El problema del MEF es lo discreto y lo continuo, lo discreto cuando el numero

de elementos usados es finito, mientras lo continuo cuando la sub-divisin es

continua y el problema solo se puede estudiar usando elementos infinitesimales.

Discretizacin.- Responde por parte del ingeniero, a una intuicin por la que,

partiendo de una divisin de la estructura real en partes mas o menos grandes

(conectadas entre si por los nodos) que, a la vez pueden ser subdivididas en otras

mas pequeas (tambin conectadas entre si por los nuevos nodos y los anteriores

nodos) estas en otras, y as sucesivamente, hasta que el limite teniendo el tamao

de estos elementos a cero, el comportamiento de tal modelo de estructura fuera el



de la estructura real. Pero, en la realidad, al llegar a tal lmite puede no ser necesario

en orden a determinar cuantitativamente tal comportamiento, ya que una

aproximacin suficiente a dicho limite puede resolver satisfactoriamente las

necesidades de exactitud de dichos problemas (pero no seria necesario). 8

En cualquier sistema a analizar podemos distinguir entre:

1. Dominio.- Espacio geomtrico donde se va analizar el sistema. 2. Condiciones de frontera.- Variables conocidas y que condicionan el cambio

del sistema: desplazamientos en la frontera, condiciones de cargas en la

superficie, temperatura, etc. Estas condiciones deben satisfacerse sobre la

frontera de la superficie, donde se aplican las tracciones. En esta descripcin,

las cargas puntuales deben tratarse como cargas distribuidas sobre reas

pequeas pero finitas.

3. Incgnitas.- Son las variables del sistema que deseamos conocer despus

de que las condiciones de frontera han actuado sobre el sistema:

desplazamientos, tenciones, temperatura, tenciones, etc.

2.3.3.1 Enfoques para el anlisis del MEF. Energa potencial

La energa potencial total de un cuerpo elstico se define como la suma de

la energa de deformacin unitaria total (U) y el potencial de trabajo:

= U+WP (2.3.10)

Para materiales elsticos lineales, la energa de deformacin unitaria por

unidad de volumen en el cuerpo es .5.0 Ts Para los cuerpos lineales

elsticos la energa de deformacin unitaria total U esta dada por:

dVUV

T = s21

(2.3.11)

El potencial de trabajo WP esta dado por:

---= iTiS

T

V

T PuTdSufdVuWP (2.3.12)

El potencial total para el cuerpo elstico general es:



---=P iTiS

T

V

T

V

T PuTdSufdVudVs21

(2.3.13)

Aqu consideraremos sistemas conservativos, donde el potencial de trabajo es

independiente de la trayectoria. En otras palabras, si el sistema se desplaza

desde una configuracin dada se trae de regreso al estado inicial, las fuerzas

efectan un trabajo nulo, independiente de la trayectoria. Entonces, el

principio de la energa potencial se enuncia como sigue.

Principio de la energa potencial mnima

Para sistemas conservativos, de todos los campos de desplazamientos

cinematicamente admisibles, aquellos que corresponden a condiciones de

equilibrio extremizan la energa potencial total. Si la condicin extrema es un

mnimo, el estado de equilibrio es estable.

Mtodo de Rayleigh-Ritz

En medios continuos, se puede usarse la energa potencial total en la

ecuacin 2.3.13 para encontrar una solucin aproximada. El mtodo de

Rayleigh-Ritz implica la construccin de un campo de desplazamiento

supuesto, digamos:

F= ),,( zyxau ii ali 1= F= ),,( zyxav jj amlj 1+= (2.3.14)

F= ),,( zyxaw kk lmnanmk

>>+= 1

Las funciones usualmente son polinomios. Los desplazamientos u, v y w

deben ser cinematicamente admisibles. Es decir u, v y w deben satisfacer

condiciones de frontera especificas. Introduciendo relaciones esfuerzo-

deformacin unitaria y deformacin unitaria-desplazamiento, y sustituyendo la

ecuacin 2.3.14 en la ecuacin 2.3.13, resulta.

),...,( 21 raaaP=P (2.3.15)

Donde r= numero de incgnitas independientes. Ahora, el extremo con

respecto a )1(1 aria = da el conjunto de r ecuaciones.



0=P

ia ri ...2,1= (2.3.16)

Mtodo de Galerkin

El mtodo de Galerkin usa el conjunto de ecuaciones gobernantes en el

desarrollo de una forma integral. Usualmente se presenta como uno de los

mtodos de residuos pesados (o ponderados). Para nuestro anlisis,

consideremos una representacin general de una ecuacin gobernante sobre

una regin V.

Enunciado del mtodo:

Se escoge las funciones base iG Se determinan los coeficientes iQ en

ii

n

iGQu

=1

tales que:

=-V

dVPuL 0)(f (2.3.17)

Para toda ==n

i iiG

1ff donde los coeficientes if son arbitrarios, excepto por el

requisito de que f debe satisfacer condiciones de frontera homogneas

(cero). La solucin de las ecuaciones resultantes para iQ da entonces la

solucin aproximada u .

2.3.3.2 Elementos unidimensionales

Para este tipo de elementos se usan los enfoques de la energa potencial y las

relaciones, esfuerzo-deformacin unitaria y deformacin, unitaria-desplazamiento

para desarrollar el MEF para un problema unidimensional. El procedimiento bsico

es el mismo para problemas bidimensionales y tridimensionales que se estudiara

mas adelante.



Construccin del modelo del MEF

1

2

3

4

5

Figura 2.3.3 Construccin del modelo del MEF.

Figura 2.3.4 Modelamiento con elemento finito de una barra.



Nmeros globales

Elementos Nodos

Nmeros globales

Nmeros locales

Figura 2.3.5 Conectividad de los elementos.

Los conceptos de grado de libertad, desplazamientos nodales, cargas nodales y

conectividad de los elementos, son clave en el MEF y deben entenderse con toda

claridad.

El enfoque de energa potencial

De la expresin de energa potencial:

---=Pi

iiL

T

L

T

L

T PuTdxufAdxuAdxs21

(2.3.18)

Despus de que el continuo ha sido discretizado en elementos finitos, la expresin

variara. Donde tambin se considera la carga puntual que es aplicada en los nodos

la que se escribe como sigue.

---=Pe

ee i

iiTT

ee PQTdxufAdxuU (2.3.19)

Donde = AdxU Te s21

es la energa de deformacin unitaria del

elemento.

Matriz de rigidez del elemento



Despus de haber considerado el trmino de energa potencial y sustituyendo los

valores del esfuerzo y la deformacin unitaria se tiene la siguiente expresin:

= qdxABEBqU TTe ]***[21

(2.3.20)

En este modelo del elemento finito en la ecuacin 2.3.20, el rea de la seccin

transversal del elemento e, denotada por Ae, es constante. Adems, B es una matriz

constante. La transformacin de x a como se ve a continuacin.

( ) 12 112

---

= xxxx

x (2.3.21)

Todo esto a partir de las coordenadas y funciones de forma que es analizada en un

elemento de con 2 nodos. Esta definido en un sistema de coordenadas natural o

intrnseco.

La que nos da la siguiente expresin.

xdxxdx2

12 -= (2.3.22)

o

xddx e2l

= (2.3.23)

donde 11 - x y el es la longitud del elemento, 12 xxe -=l .

La energa de deformacin unitaria eU del elemento se escribe como hora como

qdBBEAqU TeceT

e

= -

1

1221

xl

(2.3.24)

donde eE es el modulo de elasticidad del elemento e. Notado que - =1

12xd , y

sustituyendo el valor de B dado por la ecuacin de la matriz b de (1x2), llamada

matriz de deformacin unitaria-desplazamiento del elemento con la que

obtendremos.

de la matriz de deformacin unitaria-desplazamiento



[ ]11112

--

=xx

E (2.3.25)

se tendr la siguiente ecuacin:

[ ]qEAqUe

ceeT

e 11111

21

2 -

-

=l

l (2.3.26)

lo que nos lleva a

qEA

qUe

eeTe

-

-=

1111

21

l (2.3.27)

La ecuacin anterior queda de la siguiente forma:

qKqU eTe 21

= (2.3.28)

Donde la matriz de eK de rigidez del elemento esta dada por:

-

-=

1111

e

eee AEKl

(2.3.29)

Como se ver aqu la expresin es similar a la energa de deformacin unitaria, que

se da en la ecuacin 2.3.29, con la ecuacin de deformacin unitaria en un resorte

simple, la cual esta dada por 221 kQU e = . Observe tambin que eK es linealmente

proporcional al producto de ee AE e inversamente proporcional a la longitud el .

Tambin se puede expresar en trminos de fuerza

Fuerza del cuerpo del elemento

=11

2fA

f eeel

(2.3.30)

El vector de fuerza de traccin eT del elemento esta dado por:

=11

2ee TT

l (2.3.31)

Despus de haber concluido el clculo de las matrices del elemento, la energa

potencial total se puede escribir como:

FQKQQ TT -=P21

(2.3.32)



Donde K es la matriz de rigidez global, F es el vector de carga global y Q es el vector

de desplazamiento global, K es una matriz de (5x5) y Q y F son cada uno vectores

de (5x1). K se obtiene usando la informacin de la conectividad del elemento, los

elementos de cada Ke se colocan en las posiciones apropiadas de la matriz k y los

elementos que se traslapan, se suman. El vector F se ensambla de manera similar.

2.3.3.3 Vigas y marcos

Para el anlisis de las vigas y columnas se realiza por el MEF. Las vigas son

miembros esbeltos que se usan para soportar cargas transversales. Los miembros

horizontales largos usados en edificios y puentes, y las flechas apoyadas en

cojinetes, son algunos ejemplos de vigas. Alas estructuras complejas con miembros

rgidamente conectadas se les llama marcos.

Las vigas con secciones transversales que son simtricos respecto a plano de

carga sern consideradas es esta seccin. En la figura 2.3.6 se muestra una viga

horizontal comn. La figura 2.3.7, muestra la seccin transversal y la distribucin

del esfuerzo por flexin. Para deflexiones pequeas, recordamos la teora elemental

de vigas la siguiente ecuacin:

yIM

-=s (2.3.33)

Es

= (2.3.34)

EIM

dxvd

=22

(2.3.35)

Donde es el esfuerzo normal, es la deformacin unitaria normal, M es el

momento flexionante en la seccin respecto al eje neutro (el eje z pasa por el

centroide).



Figura 2.3.6 Carga de la Viga y deformacin el eje neutro.

Eje neutro

Centroide

dA

Figura 2.3.7 Seccin transversal de la viga y distribucin del esfuerzo..

Mtodo de la energa potencial

La energa de deformacin unitaria Du en un elemento de longitud dx es:

= A dAdxdU s21 dxdAy

EIM

A

= 22

2

21

Notando que A dAy2 es el momento de inercia I, tenemos:

dxEIMdU

2

21

= (2.3.36)

Cuando se usa la ecuacin 2.3.36, entonces la energa de deformacin unitaria total

en la viga esta dada por:



=

Ldx

dxvdEIU

0

2

2

2

21

(2.3.37)

La energa potencial de la viga entonces:

---

=P

kkk

mmm

LLvMvPpvdxdx

dxvdEI '

21

00

2

2

2

(2.3.38)

donde p es la carga distribuida por unidad de longitud, Pm es la carga puntual m, MK

es el momento del par aplicado en el punto k, vm es la deflexin en el punto m y uk

es la pendiente en el punto k.

Marcos planos

Aqu se considera estructura planas con miembros conectados rgidamente. Esos

miembros sern similares a las vigas, excepto que se tendrn presentes carga

axiales. Los elementos tambin tendrn diferentes orientaciones. La figura 2.3.8

muestra el elemento de un marco. En cada nodo se tiene dos desplazamientos y

una deformacin rotacional. El vector de desplazamiento nodal esta dado por:

[ ]Tqqqqqqq 654321 ,,,,,= (2.3.39)

Figura 2.3.8 Elemento de Marco.



Tambin se define un sistema de coordenadas local o del cuerpo x, y tal que x

este orientada a lo largo de 1-2, con cosenos directores l , m (donde l =cos , m=

sen ). Estos se evalan usando las relaciones dadas para el elemento armadura,

mostrado en la figura 2.3.9. El vector desplazamiento modal esta dado por:

l

g

Figura 2.3.9 Cosenos directores.

[ ]Tqqqqqqq 654321 ',',',',',''= (2.3.40) Reconociendo que 33' qq = y 66' qq = , que son rotaciones con respecto a cuerpo,

obtenindola transformacin local-global

Lqq =' (2.3.41)

Donde

1000000000000000010000000000

l

l

l

l

mm

mm

L

-

-

= (2.3.42)

Ahora observamos que 532 ',',' qqq y 6'q son como grados de libertad de vigas,

mientras que 1'q y 4'q son similares a los desplazamientos de un elemento barra.



Combinando las dos rigideces y situndolas en las posiciones apropiadas,

obtenemos la rigidez del elemento de marco como :

eeee

eeee

ee

eeee

eeee

ee

e

EIEIEIEI

EIEIEIEI

EAEA

EIEIEIEI

EIEIEIEI

EAEA

K

llll

llll

ll

llll

llll

ll

460260

61206120

0000

460460

61206120

0000

'

22

2323

22

2323

-

---

-

-

-

-

= (2.3.43)

del el anlisis de armaduras, se puede plantear que la energa de deformacin del

elemento esta dada por:

LqKLqqKqU eTTeTe '21'''

21

== (2.3.44)

de la ecuacin 2.3.44 se reconoce que la matriz de rigidez del elemento en

coordenadas globales es:

LKLK eTe '= (2.3.45) Si existe una carga distribuida sobre un miembro, como se muestra en la figura

2.3.10 tenemos

''' fLqfq TTT = (2.3.46)

l

ll

l

Figura 2.3.10 Carga distribuida sobre un elemento de marco.



Donde T

eeee ppppf

=

12,

2,0,

12,

2,0'

22 llll (2.3.47)

Las cargas nodales debido a la carga distribuida p estn dadas por:

'' fLf T= (2.3.48) Los valores de f se agregan a vector de carga global. Ntese que aqu p es positivo

en la direccin y.

Las cargas puntuales y pares simplemente se agregan al vector de carga global. Al

agrupar las rigideces y cargas, obtenemos el sistema de ecuaciones.

FKQ = (2.3.49)

Donde las condiciones de frontera se consideran aplicando los trminos de

penalizacin en las formulaciones de energa o de galerkin.

2.3.3.4 Marcos tridimensionales

Los marco tridimensionales, tambin llamados marco espaciales, suelen

encontrarse en el anlisis de edificios de mltiples niveles. En la figura 2.3.11 se

muestra un marco tridimensional tpico. Cada nodo tiene 6 grados de libertad (gdl)

(en vez de solo 3 en el caso de marcos planos). La numeracin de los gdl se

muestra en la figura 2.3.11: para el nodo J, los gdl 6J-5, 6J-4 y 6J-3, representan los

gdl trasnacionales en x, y y z, Los vectores desplazamientos de los elementos en los

sistemas coordenadas locales u globales se denotan por q y p, respectivamente.

Esos vectores son de dimensiones (12x1), como se muestra en la figura 2.3.12.

La orientacin del sistema coordenado x-y-z local se establece usando tres

puntos. Los puntos 1 y 2 son los extremos del elemento; el eje x esta a lo largo de la

lnea del punto 1 al punto 2, como en el caso de los marcos bidimensionales. El

punto 3 es cualquier punto de referencia que no este a lo largo de la lnea que une

los puntos 1 y 2. Eje y se encontrara en el plano definido por los puntos 1, 2 y 3.

Esto se muestra en la figura 2.3.12. El eje z queda entonces automticamente

definido por el echo de que x-y-z forma un sistema derecho. Ntese que y-z son

los ejes principales de la seccin transversal, con 'xI e 'zI los momentos de inercia



principales. Las propiedades transversales son especificadas por cuatro parmetros:

rea A, momentos de inercia 'yI , 'zI y J. El producto GJ es la rigidez torcional, donde

g es el modulo cortante. Para secciones transversales circulares o tubulares, J es el

momento polar de inercia. Para otras formas de seccin transversal, como una

seccin I, la rigidez torcional esta dada en los textos de resistencia de materiales.

gdl en el nodo J

Figura 2.3.11 Numeracin de los grados de libertad en un

marco tridimensional.

La matriz de rigidez K de (12x12) de un elemento en el sistema coordenado local se

obtiene por medio de una generalizacin directa de la ecuacin 2.3.43:



''''

''''

''''

''''

''''

''''

''''

''''

0000000000000000000000000000000000

000000000000000000

0000000000000000000000000000000000

000000000000000000

'

zzzz

yyyy

yyyy

zzzz

zzzz

yyyy

yyyy

zzzz

cbdbcbdb

TSTSbcba

babaASAS

dbcbdbcb

TSTSbaba

babaASAS

K

--

--

----

--

----

--

= (2.3.50)

Vista desde el extremo

Plano formado por 1,2,3

Punto de referencia

[ ]T

nodoelennestrasalacio




qqqqqqqqqqqqq4434421434214342143421

2

121110

2

987

1

654

1

321 ',',',',',',',',',',',''=

a lo largo de x, y, z

[ ] == Tqqqqq 12321 ,...,,, vector de desplazamiento en el sistema global (x, y, z)

Figura 2.3.12 Elemento tridimensional de marco en sistemas de coordenadas local y global.



Donde ,el

EAAS = =el longitud del elemento, ,el

GJTS = ,12 3''e

zz l

EIa =

,6 2''e

zz l

EIb = ,4 ''e

zz l

EIc = ,2 1''e

zz l

EId = ,12 3''e

zy l

EIa = etc. La matriz de

transformacin global-local esta dada por

Lqq =' (2.3.51) La matriz de transformacin L de (12x12) esta definida con base en una matriz

(3x3) como :

ll

ll

000000000000

=L (2.3.52)

es una matriz de cosenos directores

333

222

111

nmlnmlnml

=l (2.3.53)

Aqu, 111 , nyml son los cosenos de los ngulos entre ejes x y los ejes globales x,

y y z, respectivamente. De igual forma, 222 , nyml son los cosenos de los ngulos

entre el eje y y los ejes x, y y z, mientras que 333 , nyml estn asociados con el

eje z. Esos cosenos directores y por consiguiente la matriz se obtiene de las

coordenadas de los puntos 2 y 3, como sigue. Tenemos:

elxxl 121

-=

elyym 121

-=

elzz

n 121-

=

( ) ( ) ( )212212212 zzyyxxle -+-+-= Sea ahora [ ]Tx nmlV 111' = el vector unitario a lo largo del eje . Sea tambin

---=

13

12

13

12

13

1213 l

zzl

yyl

xxV

Donde 13l = distancia entre los puntos 1y 3. El vector unitario a lo largo del eje esta

ahora dado por:



[ ]Tx nmlV 333' =13'

13'

VVVV

x

x

=

El producto cruz de dos vectores cualesquiera u y v esta dado por el determinante

yxyx

zxzx

zzzy

zyx

zyx

uvvuuvvuuvvu

vvvuuukji

vu---

==

Por ultimo, los cosenos directores para el eje y son

[ ] ''111' xzTy VVnmlV == La matriz de rigidez del elemento en coordenadas globales es

LkLk T '= Donde k ha sido definida en la ecuacin 2.3.104.

Si una carga distribuida con componentes 'yw 'zw (unidades de fuerza/longitud

unitaria) se aplica al elemento, entonces las cargas concentradas equivalentes en

los extremos del miembro son:

--=

12,

12,0

2,

2,0,

12,

12,0,

2,

2,0'

2''

2''''

2''

2'''' eyezezeyeyezezey lwlwlwlwlwlwlwlwf (2.3.54)

Esas cargas se transfieren a componentes globales por medio de 'fLf T= . Despus de imponer las condiciones de frontera y resolver las ecuaciones del

sistema FKQ = , podemos calcular las fuerzas de extremo en el miembro de

''' qkR = + reacciones de los extremos fijos (2.3.55) Donde las reacciones de los extremos fijos son las negativas del vector f y estn

solo asociados con aquellos elementos que tienen cargas distribuidas actuando

sobre ellos. Las fuerzas del extremo del miembro proporcionan los momentos

flexionantes y las fuerzas cortantes a partir de los cuales se determinan los

esfuerzos en la viga.

2.3.4 Anlisis No Lineal

2.3.4.1 Introduccin y metodologa



Hasta ahora hemos analizado estructuras con un comportamiento lineal, es decir

donde se cumple que entre causas y efectos existe una relacin lineal. Para el

cumplimiento de estas premisas deban verificarse que el material es elstico lineal

(material hookeano) y los desplazamientos de la estructura son pequeos. Cuando

no se cumple algunas de estas premisas el comportamiento de la estructura es NO

LINEAL. 4

La no-linealidad se puede deber solamente a que el material no es lineal y

estamos en el caso de NO-LINEALIDAD FISICA.

Si en cambio la no-linealidad se debe a que los desplazamientos en la estructura

no son pequeos estamos en el caso de NO-LINEALIDAD GEOMETRICA.

Para analizar todos estos temas estableceremos dos hiptesis dentro de las

cuales desarrollaremos una teora que nos permitir abordar problemas sumamente

complejos.

Hiptesis:

1. Material elstico

2. Los desplazamientos no son pequeos y no deben despreciarse en el anlisis

del equilibrio.

Con respecto a esta ltima hiptesis cabe realizar algunas consideraciones respecto

a la magnitud de los desplazamientos. Estos pueden tomar distintos valores para los

cuales se puede hacer distintas aproximaciones que permiten arribar a soluciones

matemticas sencillas, sin perder por ello la precisin en los resultados.

Si se analiza el conjunto de deformaciones y desplazamientos, se puede hacer

las siguientes consideraciones:

Caso 1. Las deformaciones especficas y los desplazamientos son pequeos.



Este es el caso del anlisis de estructuras lineales donde los

desplazamientos son pequeos y el equilibrio se analiza sin tenerlos en

cuenta.

Caso 2. Las deformaciones especficas no son pequeas y los

desplazamientos son pequeos.

En este es el caso del anlisis de estructuras en rgimen anelstico

(clculo plstico), donde en ciertas zonas de la estructura se alcanza

deformaciones muy importantes que se traducen en la formacin de

articulaciones plsticas, a pesar de las cuales los desplazamientos de la

estructura se mantienen pequeos y el equilibrio puede seguir siendo

analizando sin tenerlos en cuenta. Esta es una no-linealidad fsica.

Caso 3. Las deformaciones especficas son pequeas y los desplazamientos no son pequeos.

En este caso de un comportamiento no lineal de estructura debido a la no

linealidad geomtrica.

Caso 4. Las deformaciones especficas y los desplazamientos no son

pequeos.

En este caso corresponde a un comportamiento no-lineal geomtrico y

fsico.

En lo sigue nos limitaremos al anlisis de los puntos 3 y 4, ya que el 1 y 2, ya

fueron tratados en el anlisis de las estructuras en rgimen lineal y en clculo

plstico.

El anlisis de la no-linealidad geomtrica se le suele subdividir de acuerdo a la forma

de cuantificar el valor del radio de curvatura .

( ) 2/32'1''1

yy

r +==c (2.3.56)



2

2

''1dx

yddxdy

r====

qc (2.3.57)

En la ecuacin 2.3.56 se utiliza la expresin exacta de la curvatura y se denominada

teora de barras de grandes deformaciones.

Para nuestro anlisis se utilizara la ecuacin 2.3.57 de la curvatura, que a pesar

de ser aproximada, la teora desarrollada con ella arriba a resultados muy

aceptables a travs de formulaciones matemticas muy sencillas.

Para empezar analizaremos un simple caso, a modo de ejemplo, de una barra

sometida a una carga transversal q constante y una fuerza axial P en sus extremos.

Figura 2.3.13 Equilibrio a X distancia del apoyo fijo.

Si en el estudio del equilibrio tenemos en cuenta los desplazamientos de la barra, el

valor del momento flector a una distancia x vale:

( ) MtPyqxRxPyxM +=++=2

2

(2.3.58)

Siendo Mt el momento flector de las cargas transversales, o sean aquellas

generadas por R y q.

La ecuacin diferencial de la elstica cuya expresin es:

( )xMJyE -=''. (2.3.59) Reemplazando la ecuacin 2.3.57 en la ecuacin 2.3.58.

MtyPJyE --= .''. EJMty

EJPy -=+''



EJMtyky -=+ .'' 2 EJ

Pk =

Esta es una ecuacin diferencial lineal de segundo orden no homogneo con

coeficientes constantes, cuya solucin es:

21 yyy += (2.3.60) siendo:

y1: Solucin de la ecuacin homognea, es decir de la ecuacin diferencial igualada

a cero.

0 y . k "y 12

1 =+ (2.3.61)

La solucin de esta ecuacin diferencial es del tipo:

.cos(kx)C .sen(kx)C y 211 += (2.3.62)

Esta solucin tiene la particularidad de ser independiente de las cargas

transversales y depende nicamente de las propiedades de la barra y del esfuerzo

axial P. Este aspecto es sumamente importante para temas que trataremos mas

adelante. A travs de las condiciones de borde podemos obtener el valor de las

constantes C1 y C2.

y2: Solucin particular de la ecuacin diferencial que depende del trmino

independiente, es decir en este caso de la funcin Mt/EJ.

=

EJMtf y 2 (2.3.63)

Esta expresin muestra que la solucin es independiente de la carga axial P y

dependen solo de las cargas transversales. La solucin y2 es una funcin lineal de

las cargas, no as y1 que es del tipo no lineal. Osea la respuesta y es del tipo lineal

con respecto a las cargas transversales y no lineal con respecto a P.

Como conclusin que podemos decir que si tenemos varias cargas transversales,

las solucin de y1 es nica e independiente de las mismas, a esta habr que

sumarle las soluciones particulares que dependen de cada carga transversal.

............ y y y y y 2c2b2a1 ++++= (2.3.64)

Continuemos analizando el caso de una viga simplemente apoyada y verificaremos

lo anteriormente enunciado.



La ecuacin diferencial que gobierna el equilibrio, como vimos anteriormente:

y" + k . y = - Mt/EJ (2.3.65)

la solucin de esta ecuacin diferencial es:

21 yyy +=

( ) ( )kxCkxsenCy cos211 += (2.3.66)

( )

-+= 2

22

2 xLxkkxsen

qy (2.3.67)

Las condiciones de borde son las siguientes:

x = 0 y = 0 M = 0

x = L y = 0 M = 0

reemplazando estas condiciones en la anterior ecuacin obtenemos la solucin final.

( )

++

= ) x-(Lx

2k cos(kx)-1

kLsensen(kx) . cos(kL)-1-

)k (EJq y 2

2

4 (2.3.68)

y a su vez si aplicamos la ecuacin M = y" EJ podemos obtener la funcin momento

flector.

+

= 1 - cos(kx)

sen(kL)sen(kx) . cos(kL)-1

kq M

2 (2.3.69)

en la parte central de la viga, cuando x = L/2 el descenso vertical y el momento

flector mximo valen:

( )

+

+

=22

4 8L k

2kLcos-1

kLsen2

kLsen . cos(kL)-1-

k EJq mx.y (2.3.70)

=

2kLcos

2kLcos-1

kq mx. M 2 (2.3.71)

Con estos valores podemos realizar grficos entre las causas q y P, y obtener la

respuesta de la estructura analizada. Primero dejaremos fijo P y haremos variar q y

obtenemos los siguientes grficos:



Figura 2.3.14 Variacin de q con respecto de P fijo.

En estos grficos podemos observar que existe una relacin lineal entre causa (q) y

efecto (u y M) para distintos valores fijos de P. Esta es una conclusin sumamente

importante porque significa que si el esfuerzo axial se mantiene constate podremos

utilizar el Principio de Superposicin y todos el andamiaje matemtico desarrollado

para las estructuras lineales, como ser los mtodos de resolucin de estructuras

indeterminadas (mtodo de las fuerzas y mtodo de las deformaciones). Esta

conclusin permite desarrollar mtodos para la resolucin de estructuras donde sea

necesario este tipo de anlisis, aun en los casos en que no se cumple que el

esfuerzo axial se mantenga constante. 15

Si ahora mantenemos constante q y variamos P, tenemos los siguientes grficos.

Figura 2.3.15 Variacin de p con respecto de q fijo

En estos en cambio no existe linealidad entre causa P y los efectos u y M para

distintos valores de q constantes. La relacin es no-lineal, muy acentuada e incluso

indeterminada para valores de q = 0 cuyos valores tienen una gran significacin

como veremos mas adelante.



A continuacin estudiaremos una forma de aplicar el mtodo de las deformaciones

que nos permitir resolver estructuras que por sus caractersticas es necesario este

tipo de anlisis.

Para este fin primero analizaremos la barra aislada, o sea estudiaremos la matriz

rigidez, de la misma manera que lo hicimos en la teora lineal.

Matriz rigidez de barra de segundo orden

Para simplificar sobre la barra no acta otras cargas que los esfuerzos en sus

extremos y para este anlisis seguiremos el mismo camino utilizado anteriormente,

es decir analizaremos el equilibrio de la barra en su estado deformado. 10

Figura 2.3.16 Matriz de rigidez de la barra de segundo orden.

x1t Q - M M = ( )

EJQM

yky x-

-=+ 12'' EJP k 2 =

Por razones de equilibrio se cumple

l

) vP M (M Q r21 ++=

=+

l x vP -

l xM -

l x)- (l M - y k y" r212

La solucin es:

21 yyy +=

l xv

l) EJ(k x)M2- x)-(l (M1 - cos(kx) C2 sen(kx) C1 y r++= (2.3.72)

A travs de las condiciones de borde se pueden determinar el valor de todas las

constantes C1, C2, M1 y M2



Condiciones de borde:

x = 0 y = v1 y'= q1

x = l y = v2 y'= q2 Los valores de las constantes dan :

E

)-( )B + A( - B + = 1221 L

JL

vvqqA M1 (2.3.73)

E

)-( )B + A( - + = 1221 L

JL

vvAqq B M2 (2.3.74)

Para el esfuerzo de corte podemos tener las siguientes expresiones:

l

) vr P M (M Q 21 ++= (2.3.75)

( )

E

- )B + A( 2 - ) + += 21 l

Jl

vrDqq ).( B A ( Q (2.3.76)

Los coeficientes A B D se denominan coeficientes de Pandeo o de Estabilidad y las

expresiones que las definen sus valores son:

( ) ( )

( ) ( )( )eeeeeee

senos

--

=cos-12

csen A (2.3.77)

( )( )

( )( )eeeeeee-

-=

cos-2 B sen (2.3.78)

( )

( ) ( )eeeeecos

C-

=sen

sen (2.3.79)

EJPL=e (2.3.80)

Todas estas frmulas corresponden para un esfuerzo de compresin, en el caso de

que este sea de traccin.



iEJPL

=e (-1) i siendo = ( ) 22i ee -=

( ) ( )ee Ch= icos ( ) ( )ee iShen = is ( ) ( )ee iThtg = i

Para este caso los coeficientes de estabilidad valen:

( ) ( )( )( )( ) ( )eee

eeeeSh

Chh--

-=

1Ch2S A (2.3.81)

( )( )

( )( ) ( )eeeeeeeShh

Sh--

-=

1C2 B (2.3.82)

( )

( ) ( )eeeeeShCh

Sh-

= C (2.3.83)

EJPL=e

El valor de estos coeficientes se pueden observar en el grfico adjunto. En el

podemos realizar las siguientes observaciones:

a) Para volares de = 0, los coeficientes de estabilidad coinciden los valores

utilizados en la teora lineal

A = 4 B = 2

C = 3 D = 12



Figura 2.3.17 Curvas No Lineales.

b) Los coeficientes de estabilidad se anulan para determinados valores de , los

cuales tienen una significacin muy importante como veremos ms adelante.

Si el valor de estos coeficientes solo dependen del valor de P y por lo tanto son

independientes de los desplazamientos que los generan. O sea que los esfuerzos

que se originan en los extremos de las barras son funciones lineales de los

desplazamientos; si mantiene constante el esfuerzo axial P. La linealidad cambia

para cada valor distinto de P. Si incorporamos el valor de P a las constantes

geomtricas y elsticas de la barras podramos decir que la relacin entre causa y

efecto es lineal. Este procedimiento nos da una poderosa arma para resolver

problemas no lineales mediante los mtodos lineales que han sido sumamente

desarrollados.

Finalmente la matriz rigidez de barra de segundo orden es la siguiente:

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 2

2

2

1

1

1

3232

2323

3232

2323

2

2

2

1

1

1

//0//0//20//20

00/00///0//0

//20//2000/00/

q

q

vu

vu

LAEJLEJBALBEJLEJBALEJBALEJDBALEJBALEJDBA

LEFLEFLBEJLEJBALAEJLEJBA

LEJBALEJDBALEJBALEJDBALEFLEF

mpypxmpypx

+-++--++--+-

-+-+

+-+-+-+-

=

(2.3.84)



2.3.4.2 Material No lineal

Analizaremos el caso en que el material deja de ser lineal y tenemos uno de tipo no

lineal, cuya relacin - es del tipo:

Figura 2.3.18 Propiedad del Material No Lineal.

En estas estructuras donde se cumple KU=0, las barras solo estn sometidas a

esfuerzos axiales de valor constante en toda su extensin. El valor de estos

esfuerzos determinar, si las barras se encuentran en la zona elstica o inelstica

del material. Por otra parte la ecuacin diferencial de la elstica y = M/EJ, a partir de

la cual se determinaron los coeficientes de estabilidad, establece una relacin entre

los esfuerzos y los desplazamientos a travs de propiedades mecnicas EJ, y estas

deben representar la situacin en que se encuentra la barra, osea que se debe

utilizar el valor del modulo de elasticidad tangente ET que le corresponde a su nivel

de tensin a que esta sometida. Para tener en cuenta esto ltimo debemos utilizar

el ET cuando determinamos los coeficientes de estabilidad. En la determinacin de

Pcr, se deber incluir un nuevo paso a los ya enumerado anteriormente.

1. Adoptar un valor para las cargas.

2. Determinar el valor de los esfuerzos axiales.

3. Determinar el valor de

4. Determinar el valor del ET en funcin de .

5. Determinar los coeficientes de estabilidad.

6. Plantear la matriz K.

7. Evaluar el valor DK.

8. Si el mismo es nulo la carga que lo produjo es Pcr.

9. Si no se cumple (7), incrementar las cargas en forma proporcional.

10. Volver a (2).



De esta manera y para este caso particular de problemas (KU=0) podemos tener en

cuenta el comportamiento anelstico del material en el anlisis de la estabilidad.

Este comportamiento provoca una disminucin general de la capacidad de la

estructura para soportar cargas y por lo tanto un descenso de la carga crtica de

Pandeo.

P

Figura 2.3.19 Material Lineal y No Lineal.

Estructuras Reales 1. Material lineal

Las estructuras reales tienen un sistema de ecuaciones de equilibrio del tipo:

K U = P (2.3.85)

Estas estructuras se las denominan Sistemas imperfectos, a diferencia de las

anteriores.

En estas estructuras a medida que crecen los esfuerzos axiales se modifica la

rigidez general de la misma, ablandndose las barras sometidas a compresin y

endurecindose a traccin. A los efectos de fijar ideas continuemos estudiando

el sistema con dos desplazamientos.

K11 U1 + K12 U2 = P1 (2.3.86) K21 U1 + K22 U2 = P2 (2.3.87)

Este sistema de dos rectas que se cortan en un lugar y permiten determinar los

valores U1 U2 solucin del sistema de ecuaciones.

En los sistemas lineales donde las cargas que crecen proporcionales, las

soluciones se alinean sobre una recta que pasa por el origen.



Figura 2.3.20 Sistema Lineal con cargas que crecen

proporcionalmente.

Aqu las rigideces kij son independientes de las cargas y por lo tanto las rectas

que representan el equilibrio nodal de una direccin, se trasladan en forma

paralela de acuerdo con los trminos independientes provenientes de las cargas.

Figura 2.3.21 Sistema No Lineal con cargas que crecen.

En los sistemas no-lineales la recta donde se interceptan las soluciones se

transforman en curva y las rigideces kij que dependen de las cargas P cambian y

se trasladan modificando sus pendientes.

Si la estructura y las cargas tienen la posibilidad de alcanzar el estado equilibrio

indiferente, las dos rectas deben coincidir y el sistema se hace indeterminado, en

el siguiente grfico podemos sintetizar los distintos comportamientos.



Figura 2.3.22 Comportamiento con estado de equilibrio diferente.

La indeterminacin se manifiesta en la tendencia hacia la asntota KU=0. Esta

asntota corresponde a la determinada con los esfuerzos axiales finales. Esto

ltimo se debe q

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