044 A_sistema Ecuacione Lineales_2012 i

19/04/23 08:47 a. m. Sistema de Ecuaciones Lineales 1

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERU

FACULTAD DE INGENIERIA QUÍMICA

DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE QUÍMICA,

INGENIERÍA Y TECNOLOGÍA

MÉTODOS NUMÉRICOS

CATEDRÁTICO : Ing. WALTER S. FUENTES LOPEZ

SEMESTRE : IV

AÑO ACADEMICO : 2012 I

HUANCAYO – PERU


SISTEMAS DE ECUACIONES SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALESLINEALES


INTRODUCCIONINTRODUCCION

Los Sistemas de Ecuaciones Lineales (SEL) son de gran utilidad en las ramas de la ciencia e ingeniería. La resolución de éstos sistemas, constituido por cualquier numero de ecuaciones, es posible gracias a las computadoras, éstas nos proporcionan la velocidad necesaria y las técnicas de programación para su solución.


Conceptos GeneralesConceptos GeneralesUna matriz es un conjunto de elementos

ordenados en filas y columnas.

Los elementos aij son números reales o complejos, o funciones de una o varias variables.

mnmmm

n

n

n

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

A

321

3333231

2232221

1131211


OPERACIONES CON MATRICES:Suma De Matrices:Dadas dos matrices:

Se llama suma de A y B a otra matriz C:

Donde:

mnij

mnij

bB

aA

mnijcC

njibaC ijijij ....3,2,1,,


Diferencia de Matrices:Dadas las matrices A y B del mismo orden

m*n, la diferencia entre A y B es otra matriz C, del mismo orden tal que :

Producto de un Escalar por una Matriz:Dados las matriz A y un número escalar k,

el producto de k por A se define por:

Cada componente de la matriz A se multiplica por el numero escalar K.

njibaCmnijmnijij ....3,2,1,,

ijij kaakkA


Multiplicación de Matrices:

Si:

El producto de A*B, en este orden, es la matriz C:

Cuyos elementos se obtienen de los elementos A y B siguiendo el desarrollo.

pnij

mpij

bB

aA

mncijC

pjipjiji bababaCij *......** 2211


MATRICES ESPECIALES:

Matriz Diagonal Principal:

Es una matriz cuadrada, el conjunto de elementos en donde i = j forman la diagonal principal.

Ejemplo:

44434241

34333231

24232221

14131211

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

A


Matriz triangular superior:

Matriz triangular inferior:

Matriz diagonal:

500

260

431

A

357

012

004

A

800

060

002

A


Matriz identidad:

Matriz transpuesta:

Matriz simétrica:

Dada:

Si ocurre que: se dice que A es una matriz simétrica.

100

010

001

A

54

21

32

,523

412 tAA

nij KaA

jiaa jiij ,,


Matriz permutadora:

Es una matriz cuyos elementos son ceros y unos y donde hay un uno por cada fila y columna.

1000

0010

0100

0001

A


Matriz Escalonada

“r” filas no nulas

“s” filas nulas

Se dice que una matriz escalonada reducida si cumple las condiciones:

0...00000

......

......

......

0...00000

...10000

...100

...1

z

yfe

xdcba

A


El primer elemento no nulo de cada una de las r filas no nulas es la unidad .

Si existen s filas cuyos elementos son ceros, éstas se encuentran en la parte inferior de la matriz.

En cada una de las r filas no nulas, el número de ceros que preceden a la unidad crece aritméticamente de fila a fila.

Todas las columnas que tiene diferente de cero, de alguna fila tienen ceros en todas las posiciones restantes.Si una matriz cumple las tres primeras propiedades se dice que es una escalonada.


Solución de Sistemas de Ecuaciones LinealesSolución de Sistemas de Ecuaciones LinealesSSELSSEL

Un gran número de problemas prácticos de ingeniería se reduce al problema de resolver un sistema de ecuaciones lineales.

Un sistema de “m” ecuaciones lineales en “n” incógnitas tiene la forma general:

mnmnmm

nn

nn

baaa

baaa

baaa

...

...

...

2211

22222121

11212111


mmmnmmm

n

n

n

b

b

b

b

x

x

x

x

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

3

2

1

3

2

1

321

3333231

2232221

1131211

A * A * X = BX = Bdonde:donde:

A: matriz coeficienteA: matriz coeficienteX: vector incógnitaX: vector incógnitaB: vector de términos independientesB: vector de términos independientes

Con la notación matricial esta se puede escribir como:


Existencia y Unicidad de Soluciones:

Si B = 0, la ecuación anterior es un sistema homogéneo, caso contrario no es homogéneo

A continuación se define la matriz aumentada A’, formado con los elementos de la matriz coeficientes A y los de la matriz B o vector de términos independientes, de la siguiente manera:


BA

b

b

b

b

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

A

mmnmmm

n

n

n

3

2

1

321

3333231

2232221

1131211

'


Sistema de ecuaciones lineales

AX = B

Rango A ≠ Rango A´ Rango A= Rango A´

Inconsistente

Sin solución

Consistente

Rango A = n Rango A < n

Infinitas soluciones Solución única


EJEMPLO:

2x +3y -z = 1

x - y +2z = -b

x -6y + az = -10

Utilizando el método de la matriz aumentada:

10

1

61

211

132

' b

a

A

A


Construyendo la matriz escalonada reducida.

a ± 7 y b ± 3 entonces: p(A)= p(A´) = n = 3, el sistema tiene solución única.

a = 1 , b = 2

93

5/)21(

700

110

211

b

b

b

a

A

3

1

2

600

110

211

A


a = 7 y b ± 3 entonces: p(A)=2 p(A”) = 3; p(E) ± p(E”), el sistema no tiene solución (inconsistente).

a = 7 , b = 5

a =7 y b =3 entonces: p(A)= p(A”) =2 < n, el sistema tiene infinitas soluciones.

0

5/7

3

000

110

211

A

6

5/11

5

000

110

211

A


Métodos de Solución de

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

El análisis matemático de sistemas físico-químicos lineales, frecuentemente resultan en modelos que consisten en un conjunto o sistema de ecuaciones lineales algebraicas. En adición los métodos de solución de sistemas no lineales y ecuaciones diferenciales usan la técnica de linealización de los modelos, requiriendo por lo tanto la solución repetitiva de un conjunto o sistema de ecuaciones lineales o algebraicas.


• El algoritmo de eliminación de Gauss consiste en transformar, mediante las operaciones elementales, un sistema de ecuaciones lineales en otro equivalente que sea triangular. Dado el sistema:

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

2211

22222121

11212111

Método de eliminación de Gauss


• Pretendemos transformarlo en uno del tipo:

• Mediante el proceso llamado Eliminación de incógnitas y después, mediante el proceso de Sustitución hacia atrás, obtener todas las soluciones.

mnmn

nn

nn

bxa

bxaxa

bxaxaxa

000

0 22222

11212111

Método de eliminación de Gauss


SOLUCIÓNLa matriz aumentada del sistema es

4.

3

5

311

642

294

Eliminación de GaussEjemplo:Resuelva por eliminación de Gauss el sistema

4 x1 - 9 x2 + 2 x3 = 5

2 x1 - 4 x2 + 6 x3 = 3

x1 - x2 + 3 x3 = 4

MÉTODOS DIRECTOS DE SOLUCIÓN


Sumar la primera ecuación multiplicada por (-2/4) a la segunda, y la primera ecuación multiplicada por (-1/4) a la tercera, resulta:

75.2.

5.0

5

5.225.10

55.00

294

TRIANGULARIZACIÓN:


Sumando la segunda fila multiplicada por (-1.25/0.5) a la tercera se obtiene la matriz.

que en términos de sistemas de ecuaciones quedaría como:

5.1

5.0

5

1000

55.00

294

4 x1 - 9 x2 + 2 x3 = 5

0.5x2 + 5 x3 = 0.5

- 10 x3 = 1.5


Un proceso de sustitución regresiva produce el resultado buscado. La tercera ecuación da el valor de x3 = -0.15; de la segunda ecuación se obtiene

entonces:

0.5 x2 = 0.5 – 5 x3 = 1.25 y por tanto: x2 = 2.5

Finalmente, al sustituir x2 y x3 en la primera ecuación

resulta:

4 x1 = 5 + 9 x2 – 2 x3 = 27.8,

de modo que: x1 = 6.95.


DESVENTAJAS DEL MÉTODO DE ELIMINACIÓN

DIVISIÓN ENTRE CERO

Una de sus desventajas es que durante el proceso en las fases de eliminación y sustitución es posible que ocurra una división entre cero. Se ha desarrollado una estrategia del pivoteo para evitar parcialmente estos problemas.


La computadora maneja las fracciones en forma decimal con cierto número limitado de cifras decimales, y al manejar fracciones que se transforman a decimales que nunca terminan, se introduce un error en la solución de la computadora. Este se llama error por redondeo. Por esta razón el número de ecuaciones simultáneas que se puede resolver satisfactoriamente con el método de eliminación de Gauss, utilizando de 8 a 10 dígitos significativos en las operaciones aritméticas, se limita generalmente a 15 o 20.

ERRORES DE REDONDEO


4

3

5

310

640

294

ELIMINACIÓN DE JORDAN

Ejemplo: Por eliminación de Jordan, resuelva el sistema

4 x1 - 9 x2 + 2 x3 = 5

2 x1 - 4 x2 + 6 x3 = 3

x1 - x2 + 3 x3 = 4

SOLUCIÓN:

La matriz aumentada del sistema es


75.2

5.0

5

5.225.10

55.00

294

Como en la primera columna el elemento de máximo valor absoluto se encuentra en la primera fila, ningún intercambio es necesario y el primer paso de eliminación produce:


5.0

75.2

5

55.00

5.225.10

294

El elemento de máximo valor absoluto en la parte relevante de la segunda columna (filas 2 y 3) es 1.25; por tanto, la fila 3 debe intercambiarse con la 2.


6.0

75.2

8.24

400

5.225.10

2004

Sumando la segunda multiplicada por (-(-9) / 1.25), a la primera fila y la segunda multiplicada por (-0.5 / 1.25) la tercera, se obtiene el nuevo arreglodonde se han eliminado los elementos de arriba y abajo del pivote (nótese que en este paso el primer pivote no se modifica porque sólo hay ceros debajo de él).


Por último, sumando la tercera multiplicada por (-20/4) a la primera fila y la tercera multiplicada por (-.25/4) a la segunda.que escrita de nuevo como sistema de ecuaciones da

4 x1 = 27.8

1.25 x2 = 3.125

4 x3 = -0.6


15.04

6.0,5.2

25.1125.3

,95.64

8.27321 xxx

De donde el resultado final se obtiene fácilmente

El determinante también puede calcularse

A = (-1)1 (4) (1.25) (4) = -20

donde la potencia 1 indica que sólo hubo un intercambio de filas.


MÉTODO DE THOMAS

Triangularización:Si b1 0,

con

33313

2322212

12111

dxbxa

dxcxbxa

dxcxb

23222 ''' dxcxb

112222211222 /';';/' bdaddccbcabb


Si b’2 0,

con

333 '' dxb

2233322333 '/'';'/' bdaddbcabb


EJEMPLO:Resuelva el sistema

tridiagonal

3 x1 - 2 x2 = 1.0

x1 + 5 x2 - 0.2 x3 = 5.8

4 x2 + 7 x3 = 11.0

por el método de Thomas.


SOLUCIÓN:

En este sistema

Como b1 0 se calculan los componentes de la

nueva segunda filab’2 = b2-a2 c1/b1 = 5 – 1 (-2) / 3 = 5.6666

yd’2 = d2-a2 d1/b1 = 5.8 – 1(1/3) = 5.4666

0.11

8.5

0.1

0

2.0

2

,

4

1

0

,

7

5

3

dycab


Como b’2 0,

se forma la nueva tercera fila

b’3 = b3-a3 c2/b’2 = 7 – 4 (-0.2)/5.6666 = 7.141176

d’3 = d3-a3 d’2/b’2 = 11.0 – 4(5.4666)/5.6666 = 7.1411760

El sistema equivalente resultante es:

3 x1 – 2 x2 = 1.0 5.6666 x2 – 0.2 x3 = 5.4666

7.141176 x3 = 7.141176


Por sustitución regresiva se llega a:

x3 = d’3/b’3 = 7.141176/7.141176 = 1

x2 = (d’2-c2x3)/b’2 = (5.4666-0.2(1)/5.6666 = 1

x1 = (d’1-c1x2)/b’1 = (1.0 –(-2)(1))/3 = 1

Nótese que d’1 = d1 y b’1 = b1


AUL

aaa

aaa

aaa

333231

232221

131211

33

2322

131211

333231

2221

11

00

00

00

MÉTODO DE DOOLITLE

Deseando siempre encontrar un método más directo para la determinación de [A|b], lo podemos realizar analizando la factorización de A en las matrices generales de orden tres L y U dadas a continuación


1) Multiplicando la primera fila de L por las tres columnas de U

131311

121211

111111

al

al

al

2) Multiplicando la segunda fila de L por las tres columnas de U

2323221321

2222221221

211121

a

a

a


3) Multiplicando la tercera fila de L por las tres columnas de U

33333323321331

3222321231

311131

´ a

a

a

Entonces llegando a un sistema de 12 incógnitas

333231222111 ,,,,,


332322131211 ,,,,

Seleccionando las condiciones mediante el método de Doolitte se tiene que:

1332211

1332211 Siguiendo con la factorización tómese


Con estos valores se resuelven los ecuaciones directamente en el orden que estén dadas

1313

1212

1111

a

a

a

De 1)

De 2) y sustituyendo los resultados de (a)

1311

212313212323

1211

212212212222

112111/2121 /

aaa

aa

aaa

aa

aaa

(a)

(b)


De 3) y sustituyendo los resultados de las ecuaciones (a) y (b) se tiene

(c)

1211

2122

1211

3132

22

12313232

1131113131 //

aaa

a

aaa

aa

aaa


1311

2123

1211

2122

1211

3132

11

313333

3,22,313313333

aaa

aa

aa

a

aaa

a

aa

a

a

Estas ecuaciones (a) (b) y (c) convenientemente generalizadas constituyen un método directo para la obtención de L y U

Ojo: Una ventaja importante que presenta sobre la triangularización es de que no se tiene que escribir repetidamente las ecuaciones o arreglos modificados de Ax = b

El método directo para obtener la solución a partir de L y U seria:

Reemplazar A=LU en la Ecuación matricial Ax = b.

LUx=bA partir de la cual se descomponen en dos

productos matriciales triangulares:Lc=b … (1) Ux=c … (2)De la ecuación (2) por sustitución regresiva

se tiene el vector solución.



43

364´3

5294

321

321

321

xxx

xxx

xxx

1332211 De

procedemos al calculo de la primera fila de U

2;9;4 131211

Ejemplo: Resuelva el sistema por el método de Doolitle


Calculando la primera columna de L

25,0;5,0;1 321111

Calculando la segunda fila de U

5)2()5,0(65,0)9()5,0(40 232222

Recordar que U es triangular superior


Calculando la tercera fila de U, entonces por ser triangular superior tenemos

02,31,3

)2()5,06())]9()5.0(4/())9()25.0(1[()2()25,0(33,3

10

Calculando la segunda columna de L

5,2))9()4/2(4/()9()4/1(1(10 322212

Ya que L es triangulas inferior


Entonces las matrices L y U quedarían

1000

55,00

294

;

15,225,0

015,0

001

UL

Donde comprobamos que el producto da A

Resolviendo L c = b donde b vector de términos independiente del sistema original

5,1)5,0(5,2)5(25,04;5,0)5(5,03;5

4

3

5

15.225.0

015,0

0.01

321

3

2

1

ccc

c

c

c


Por ultimo, al resolver el sistema U x = C se tiene la sección del sistema original

5,1

5,0

5

1000

55,00

294

3

2

1

x

x

x

15,0

5,2

95,6

x

95,64/))15,0(2)5,2(95(

;5,25,0/))15,0(55,0(

;15,0

1

2

3

x

x

x


Generalizando las ecuaciones (a) , (b) ,(c)

niijla kj

i

kikijij ,....,1,;

1

1

nil

njilal

ii

j

kikkjij

jjij

,....,2,1;1

,....,1;)(1 1

1

Por convención

0

1

0k


METODO DE CHOLESKY

Una matriz simétrica A cuyas componentes son números reales, es positiva definida si solo si los determinantes de la sub-matrices de A son positivos.

0...,0,0

21

22221

11111

2221

121111

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

aa

aaa


En el caso de tener un sistema AX = b, con A positiva definida, la factorización de A en la forma L U es posible y muy sencilla ya que toma la forma L LT donde L es triangular inferior:

A = LLT

nnnnn llll

lll

ll

l

L

321

333231

2221

11

0

0

00

000


Los cálculos se reducen, ya que ahora basta estimar n(n+1)/2 elementos (los li,j 0), en lugar de los n2

elementos de una factorización nominal (los li,j tales que

i < j y los uij tales que i j). El numero de cálculos es

practicante la mitad.

OBSERVACIONES

· El teorema de Cholesky es además un test para matrices definidas positivas

· Si la matriz es definida positiva, entonces existe la descomposición

· Si no sabemos que A es definida positiva, la construcción de la matriz triangular puede intentarse de todas maneras si resulta bien, sino no sirve Cholesky.


EJEMPLO:

RESOLVER AX = b donde b = (0,6,5)

4 2 -4

A = 2 10 4

-4 4 9

SOLUCION

4 2 -4 X1 0

2 10 4 X2 = 6

-4 4 9 X3 5


RESOLVER: EL SISTEMA TRIANGULAR FACTORIZACION DE A.

2 0 0 Y1 0

1 3 0 Y2 = 6

-2 2 1 Y3 5

RESOLVIENDO EL SISTEMA TENEMOS:

2y1 = 0 y1 = 0

y1 + 3 ½ = 6 6 y2 = 2

-2y1 + 2 ½ + y3 = 5 y3 = 1


Luego:

0

2

1

AL RESOLVER EL SISTEMA LTX = C

2 1 -2 X1 0

0 3 2 X2 = 2

0 0 1 X3 1

X3 = 1

3X2 + 2X3 = 2 X2 = 0

2X1 + X2 – 2X3 = 0 X1 = 1


Luego

1

X = 0

1

4 2 -4 1 0

2 10 4 0 = 6

-4 4 9 1 5


GRACIAS POR SU ATENCIONGRACIAS POR SU ATENCION

044 A_sistema Ecuacione Lineales_2012 i

Documents

Transcript of 044 A_sistema Ecuacione Lineales_2012 i