04 Mat CCSS 2batx 082-108 · BLOC 2 04 SISTEMES D’INEQUACIONS LINEALS L’encreuament...

BLOC 2

04SISTEMES D’INEQUACIONS LINEALS

L’encreuament d’aquestes dues carreteres, sense revolts visibles, suggereix dues rectes que es

tallen en aquest punt i reparteixen el territori en quatre zones perfectament separades. La

solució d’un sistema d’inequacions lineals amb dues incògnites és una regió del pla limitada

per rectes. Pots imaginar que té l’aspecte d’una d’aquestes zones.

84 BLOC 2. PROGRAMACIÓ LINEAL04

j 4.1 Inequacions de primer grau amb una incògnita

Una inequació és una desigualtat entre expressions algèbriques, amb una o més incògnites, que es verifi ca per a un o diversos valors d’aquestes in-cògnites. També és possible que no hi hagi cap valor de les incògnites que verifi qui la desigualtat.

Els valors que fan que la desigualtat sigui certa són les solucions de la in-equació. Hi ha in equacions que no tenen solució.

Comencem per les inequacions de primer grau amb una incògnita.

Quins són els valors de x que verifi quen cadascuna d’aquestes inequacions?

a) x 1 3 < 2

Si apliquem la primera propietat de les desigualtats i sumem 23 als dos membres de la inequació, obtenim la inequació x < 21, que ens indica els valors de x que són solució. Tots els nombres reals més petits o iguals que 21 verifi quen la desigualtat i constitueixen el conjunt solució.

Ho expressem: S 5 {x [ R Z x < 21} 5 {2`, 21] o també S 5 (2`, 21]

La representació gràfi ca del conjunt solució de la inequació x 1 3 < 2 és la semirecta de la fi gura 4.1. Observa que hi assenyalem el valor 21 per indicar que també és solució de la inequació.

x 1 4b) ———— 2 1 , 2 x 2 5

3

Multipliquem cada membre de la desigualtat per 3 i, per la segona propietat de les des-igualtats, obtenim una nova desigualtat del mateix sentit.

x 1 4 2 3 , 6 x 2 15 � x 1 1 , 6 x 2 15

Tot seguit, apliquem la primera propietat, transposant els termes en x a un dels membres i els termes independents a l’altre:

x 2 6 x , 215 2 1 � 25 x , 216

Multipliquem per 21 els dos membres de l’última desigualtat. La segona propietat ens obliga a canviar-ne el sentit: 16

5 x . 16 � x . —— 5

Per tant: 6 16

S 5 5x [ R Z x . —6 5 1——, 1`2 5 5

La representació gràfi ca del conjunt solució és la de la fi gura 4.2. No hi assenya lem el valor 16—— perquè no és solució de la inequació.

5

1 5 (x 1 1) 2 (x 1 1) xc) — 2 ————— > ————— 2 —

2 3 3 2

Si apliquem les propietats de les desigualtats i fem operacions, obtenim:

211 x > 11 � 11 x < 211 � x < 21

Fig. 4.1

Fig. 4.2

21

16——

5

Quan canviem de signe els mem-bres d’una desigualtat, aquesta canvia de sentit perquè els multi-pliquem per 21.

85SISTEMES D’INEQUACIONS LINEALS 04

Per tant,S 5 {x [ R Z x < 21} 5 {2`, 21]

Observa que en les inequacions dels exemples b) i c) hem multiplicat per 21 els membres de cadascuna de les dues desigualtats abans d’aïllar x. Hem de fer-ho sem pre així quan ens trobem davant d’inequacions del tipus a x , b, a x . b, a x < b i a x > b amb a , 0. En cas de no fer-ho, obtindríem una solució incorrecta. Pots comprovar-ho.

Dues o més inequacions són equivalents si tenen el mateix conjunt solució.

Les inequacions del exemples a) i c) tenen les mateixes solucions, per tant, són equivalents.

Quan apliquem les propietats de les desigualtats en el procés de resolució de les ine qua-cions, el que fem és transformar-les en altres inequacions equivalents fi ns a arri bar a una inequació la resolució de la qual és immediata.

d) 2 x 2 1 > 2 (x 1 1) � 2 x 2 1 > 2 x 1 2 � 21 > 2

El resultat és una desigualtat que no es compleix mai. Això signifi ca que no exis teix cap valor de x que verifi qui la inequació proposada. Per tant, aquesta inequa ció no té solució. S’expressa: S 5 [.

e) 3 x 2 7 , 3 (x 2 2) � 3 x 2 7 , 3 x 2 6 � 27 . 26

Observa que l’última desigualtat que s’ha obtingut és certa, independentment del valor de x. El conjunt solució és, per tant, S 5 R 5 (2`, 1`).

Podem concloure que en la resolució d’inequacions de primer grau amb una incòg nita apli-quem els mateixos procediments que en la resolució d’equacions de primer grau amb una incògnita, amb una única, però important diferència: quan multipli quem per 21 els dos membres d’una desigualtat o, el que és el mateix, quan en canviem el signe, la desigualtat canvia de sentit.

Si a 5 b � 2a 5 2b

Si a , b � 2a . 2b

El conjunt que no té cap element es coneix amb el nom de conjunt buit i es representa mitjançant el símbol [.

ACTIVITATS

1 1> Esbrina si els números 23, 21, —, 2 i 5 són solució

2d’aquestes inequacions:

a) 3 (x 2 2) 1 5 . 2 x b) x 2 3 > 2

6 x 2 5c) ———— < 5 x

3

R: a) 2, 5; b) 5; c) 1/2, 2,5

2> Resol les inequacions següents:

a) 3 (x 2 5) 1 7 . 2 x 2 3

b) 2 (3 x 2 2) < 3 (2 x 1 1)

2 x 2 3 1 x 2 1c) ———— 2 — < ————

5 2 2

4d) ———— . 2

x 1 3

R: a) (5, 1`); b) R; c) [26, 1`); d) (23, 21)

3> Representa a la recta real el conjunt solució de cadas-cuna d’aquestes inequacions:

a) 2 (3 x 2 1) 2 5 (x 2 2) , 3 (x 2 2)

b) 2(3 x 1 2) 2 6 > 2 x 2 9

2 x 1 1 1 2 xc) ———— , x 2————

3 2

x 2 x 2 1 x 2 3d) — 2 ———— > 1 2 ————

2 4 2

R: a) (23, ̀ ); b) (2`, 1/5]; c) (1, 1`); d) [9/2, 1`)

4> Escriu una inequació de primer grau amb una incòg-nita que:

a) No tingui solució.

b) El conjunt solució sigui S 5 R.

Justifica les respostes.


j 4.2 Sistemes d’inequacions de primer grau amb una incògnita

Un sistema d’inequacions està format per dues o més inequacions de primer grau amb una in-cògnita que han de verifi car-se simultàniament. Per resoldre’l, es troben les solucions de ca-dascuna de les inequacions per separat. El conjunt solució del sis tema queda determinat pels valors de x que són, alhora, solució de totes i cadascuna de les inequacions que el formen. Si no hi ha cap valor de x que les verifi qui simultà niament, el sistema és incompatible, és a dir, el conjunt solució és el conjunt buit.

En els exemples següents resoldrem diferents sistemes formats per dues inequacions. El procés és el mateix si el sistema està constituït per més de dues inequacions.

3 x 1 4 < 2 x 1 10a)

rwq 2 x 2 3 . 25

Resolem la primera inequació:

3 x 1 4 < 2 x 1 10 � x < 6 � S1 5 {x [ R Z x < 6} 5 (2`, 6]

Fem el mateix amb la segona:

2 x 2 3 . 25 � x . 21 � S2 5 {x [ R Z x . 21} 5 (21, 1`)

Si considerem els valors de x que són solució de les dues inequacions alhora, tin drem el conjunt solució S del sistema:

S 5 {x [ R Z 21 , x < 6} 5 (21, 6]

En la fi gura 4.3 hem representat els conjunts S1 i S2 en la recta real. Observa que el conjunt solució S del sistema és la part comuna o intersecció de S1 i S2.

3 (x 2 1) 1 2 . 2 (x 2 2)

b)

ruwuq

x 2 2 x 2 3 ———— < ———— 2 4

La solució de la primera inequació és: x . 5 � S1 5 {x [ R Z x . 5} 5 (5, 1`)

I quan resolem la segona obtenim: x < 1 � S2 5 {x [ R Z x < 1} 5 (2`, 1]

No hi ha cap nombre real que sigui, al mateix temps, més gran que 5 i més petit o igual que 1. Així doncs, el sistema és incompatible, S 5 [. Pots comprovar-ho gràfi cament en la fi gura 4.4, on no hi ha coincidència de solucions.

2 (x 2 1) 1 3 , x 1 1

c)

ruwuq

x 2 (x 2 1) x 2 2 — 2 ————— > ———— 3 4 3

La solució de la primera inequació és: x , 0 � S1 5 {x [ R Z x , 0} 5 R2 5 (1`, 0)

7 7 7I la de la segona: x < — � S2 5 5x [ R Z x < —6 5 12`, —2 3 3 3

Els valors de x que pertanyen simultàniament a S1 i S2 són precisament els del con junt S1.

Per tant, el conjunt solució del sistema és S 5 S1 5 R2.

Pots comprovar-ho en el gràfi c de la fi gura 4.5.

Fig. 4.3

Fig. 4.5

21

1 5

6

0

7——

3

Expressem amb R2 el conjunt dels nombres reals negatius.

Fig. 4.4


j 4.3 Equació de la recta

La igualtat 3 x 1 5 y 2 15 5 0 és una equació de primer grau amb dues incògnites. Aquesta equació té un nombre il.limi tat de solucions, cadascuna de les quals està constituïda per dos nombres reals x i y que, si es consideren com a parells ordenats (x, y) i es representen en un sistema de referència cartesià, se situen en la mateixa recta r.

Representar gràfi cament la recta r és senzill: n’hi ha prou amb donar dos valors arbitraris a la incògnita x i determi nar, per a cadascun d’ells, el valor corresponent de l’altra incògnita y:

Si x 5 0 � 5 y 2 15 5 0 � y 5 3, i si x 5 5 � 5 y 5 0 � y 5 0

La recta r passa pels punts P (0, 3) i Q (5, 0) (fi g. 4.6).

Atès que les coordenades (x, y) de qualsevol altre punt R que pertanyi a la recta també verifi -quen l’equació 3 x 1 5 y 2 15 5 0, aquesta igualtat es coneix amb el nom d’equació de la recta r. Més concreta ment, és la forma implícita de l’equació d’aquesta recta.

Si aïllem y de l’equació 3 x 1 5 y 2 15 5 0, obtenim:

35 y 5 23 x 1 15 � y 5 2— x 1 3

5

Aquesta nova equació, equivalent a l’anterior, constitueix la forma explícita de l’equació de la recta r, i coincideix amb l’expressió algèbrica d’una funció afí.

3 x 1 2 > x 1 4d)

rwq 2 2 x < 3 2 2 x

Les solucions de les inequacions són x > 1 i x < 1, respectivament. Així doncs, el conjunt solució és S 5 {1}, ja que x 5 1 és l’únic valor que verifi ca les dues inequa cions alhora.

En representar gràficament una funció polinòmica de primer grau, ja sigui lineal, f (x) 5 m x, o sigui afí, f (x) 5 m x 1 n, s’obté sempre una recta. Recorda que dos punts determinen una recta.

Fig. 4.6

y

r

y

x x

P (0, 3)

R (x, y)

Q (5, 0)0

ACTIVITATS

5> Resol gràficament aquests sistemes d’inequacions:

1 1 x < — x . 2— 2 2a)

ruuwuuq

b)

ruuwuuq

7 x . — x < 25 3

1

3 . x x > —

3c)

rwq

d)

ruuwuuq

x > 21 x . 2

R: a) [; b) [; c) [21, 3]; d) (2, 1`)

6> Escriu, per a cada cas, un sistema de primer grau amb una incògnita la solució del qual sigui:

a) S 5 [ b) S 5 {22}

c) S 5 [3, 1`) d) S 5 (2`, 21)

7> Resol aquests sistemes:

x 1 1 . 0a)

rwq

2 x 2 1 , 3

3 (x 2 1) 1 2 < 2 x 2 3 (1 2 x)b)

rwq 5 x 2 2 . 21

2 x 2 1 ———— < x 1 2 3c)

ruuwuuq

x 1 1 x 2 2 ———— > ———— 2 3

2 (x 1 1) 2 3 > 3 x 2 2 (1 1 x)d)

ruwuq

3 x 2 2 x 2 1 ———— < ———— 3 2

1R: a) (21, 2); b) [1, 1`); c) [27, 1`); d) 321, —4 3


En general, l’expressió A x 1 B y 1 C 5 0, amb A, B i C nombres reals tals que A i B no s’anul-len alhora, correspon a la forma implícita de l’equació d’una recta del pla. Si P (x1, y1) és un punt d’aquesta recta, ha de verifi car-ne l’equació, és a dir, s’ha de com plir la igualtat A x1 1 B y1 1 C 5 0. Les coordenades de qualsevol altre punt Q (x2, y2) del pla que no pertany a la recta (fi g. 4.7) verifi quen A x2 1 B y2 1 C Þ 0.

Si aïllem y de l’equació implícita, obtenim:

A CA x 1 B y 1 C 5 0 � B y 5 2A x 2 C � y 5 2— x 2 —, B Þ 0

B B

A CAnomenant 2— 5 m i 2— 5 n, la igualtat anterior s’escriu y 5 m x 1 n i es coneix amb B Bel nom d’equació explícita de la recta. Evidentment, les coordenades dels punts P i Q citats anteriorment verifi quen, respectivament, y1 5 m x1 1 n i y2 Þ m x2 1 n.

m és el pendent de la recta i en determina la inclinació respecte dels eixos de coorde nades. El seu valor coincideix amb el de la tangent trigonomètrica de l’angle a que forma la recta amb el sentit positiu de l’eix X: m 5 tg a (fi g. 4.9).

n és l’ordenada a l’origen de la recta. Fixa’t que és el valor de y per a x 5 0. Per tant, ens determina el punt d’intersecció de la recta amb l’eix d’ordenades: (0, n) (fi g. 4.9).

En particular, els eixos de coordenades són dues rectes del pla. L’eix X és una recta de pendent m 5 0 i, atès que l’ordenada de tots i cadascun dels seus punts és nul.la, la seva equació és y 5 0 (fi g. 4.10).

L’eix Y és una recta el pendent de la qual, m 5 tg 90°, no és un nombre real. No té, doncs, sentit parlar de l’equació explícita d’aquesta recta. Ara bé, el fet que tots i cadascun dels seus punts tinguin abscissa nul.la ens permet expressar la seva equació en la forma x 5 0 (fi g. 4.10).

Fig. 4.7

y

x

P (x1, y1)

Q (x2, y2)

0

Fig. 4.9

y

y

m 5 tg a(0, n)

x

a

Fig. 4.10

y

x

x 5 0

y 5 0

(a, 0), a [ R

(0, b), b [ R

0

Si 90° , a , 180° i a 1 b 5 180°, la tangent de l’angle a es defineix:

PQtg a 5 2tg b 5 2—— 5

OP P9Q9

5 2——— 5 ... � tg a , 0 O9P9

D’altra banda, tg 0° 5 0 i no exis-teix tg 90°.

Fig. 4.8

y

y

Q

Q9

ab

P9 P 0

Donada la recta 3 x 1 y 2 6 5 0, determina’n:

a) L’equació explícita.

b) El pendent, l’angle que forma amb el sentit positiu de l’eix OX i l’ordenada a l’ori gen.

c) Els punts d’intersecció amb els eixos de coordenades.

d) Representa-la gràfi cament.

Resolució

a) Aïllem y de l’equació implícita: y 5 23 x 1 6.

EXEMPLE 1


j 4.4 Determinació de l’equació de la recta

Quina és l’equació de la recta que conté els punts A (x1, y1) i B (x2, y2)?

En la fi gura 4.12 hem representat la recta r que passa pels punts A i B, les coordenades dels quals coneixem, i un altre punt X (x, y) qualsevol d’aquesta recta.

Observa que els triangles rectangles APB, BRX i AQX són semblants dos a dos. Per tant, els seus costats homòlegs són proporcionals. Si considerem els triangles APB i BRX, podem escriure la propor ció: PB RX y2 2 y1 y 2 y2

—— 5 —— � ———— 5 ———— PA RB x2 2 x1 x 2 x2

Fixa’t que qualsevol de les dues raons d’aquesta proporció coincideix amb la tangent de l’an-gle a, angle que forma la recta amb l’eix OX considerat en sentit positiu. Coneixem les coor-denades dels punts A i B i, per tant, podem trobar el valor numèric de tg a, és a dir, el valor del pendent m de la recta:

y2 2 y1m 5 tg a 5 ————, per a x2 Þ x1 x2 2 x1

En defi nitiva, l’equació de la recta r es pot expressar en la forma:

y 2 y2m 5 ————, o bé, y 2 y2 5 m (x 2 x2) x 2 x2

b) Si comparem l’equació anterior amb l’expressió general y 5 m x 1 n, tenim:

m 5 23 i n 5 6

D’altra banda, sabem que m 5 tg a. Per tant,

tg a 5 23 � a 5 108,43°

c) Atès que l’ordenada a l’origen és n 5 6, la recta talla l’eix d’ordenades en el punt (0, 6). Per determinar el punt d’intersecció amb l’eix d’abscisses, n’hi ha prou amb impo sar la condició y 5 0:

y 5 03 x 1 y 2 6 5 0 �� 3 x 2 6 5 0 � x 5 2

La recta talla l’eix d’abscisses en el punt (2, 0).

d) Ja coneixem dos punts de la recta: (0, 6) i (2, 0). Podem, doncs, representar-la grà fi cament (fi g. 4.11).

ACTIVITATS

8> Quina és l’equació explícita de la recta de pendent 22— i ordenada a l’origen 2? I l’equació implícita? 3

9> Escriu la forma general que tenen les equacions implí-cita i explícita de qualse vol recta que passa per l’ori-gen de coordenades.

10> Quin és el valor del pendent de la recta que és bisec-triu dels quadrants primer i tercer? I el de la recta que és bisectriu dels quadrants segon i quart?

R: m 5 1; m 5 21

11> El punt P (22, b) pertany a la recta que té com a equa-ció 4 x 2 3 y 1 2 5 0. Calcula b.

R: b 5 22

Fig. 4.11

6

0 2 x

y

Fig. 4.12

y

y

y1

x1 x2

y2

x

Xr

RB

PQ

A

0 x

a

a

a

Si m . 0, 0° , a , 90°

Si m , 0, 90° , a , 180°

Si m 5 0, a 5 0°


Si efectuem les operacions corresponents, s’obté una expressió del tipus y 5 m x 1 n, que correspon a la forma explícita de l’equació de la recta.

L’equació de la recta és la mateixa si es consideren els triangles rectangles APB i AQX.

En el cas particular que la recta sigui paral.lela a l’eix de les abscisses tenim que

a 5 0° � m 5 tg 0° 5 0

Si aquesta recta conté el punt S (a, b), la seva equació és:

y 2 b 5 0 (x 2 a) � y 2 b 5 0 � y 5 b

Es pot interpretar de la manera següent: el valor de la coordenada x dels punts d’aquesta recta pot ser qualsevol; en canvi, el de la coordenada y és sempre constant i igual a b.

Si la recta és paral.lela a l’eix de les ordenades, a 5 90° i, per tant, no té cap sentit parlar de pendent de la recta, ja que no existeix tg 90°. No obstant això, si la recta passa pel punt S (a, b), podem comprovar que el valor de la coordenada y dels seus punts pot ser qualsevol; ara bé, el de la coordenada x és constant i igual a a. Assignem a aquesta recta l’equació x 5 a, o la seva equivalent, x 2 a 5 0 (fi g. 4.13).

En la fi gura 4.14 hem representat les rectes que tenen per equacions x 5 0, x 5 3, x 5 22, y 5 0, y 5 4 i y 5 23.

Determina l’equació de la recta que conté els punts A (3, 24) i B (5, 3). Identifi ca’n el pendent i l’ordenada a l’origen. Expressa’n l’equació en forma implícita.

Resolució 3 2 (24) 7El pendent d’aquesta recta és: m 5 ————— 5 —. 5 2 3 2

7 7 35 7 29I la seva equació: y 2 3 5 — (x 2 5) � y 2 3 5 — x 2 —— � y 5 — x 2 ——. 2 2 2 2 2

7 29Es tracta de la recta de pendent m 5 — i ordenada a l’origen n 5 2——. 2 2

Passar de la forma explícita a la implícita és molt senzill. Observa:

7 29y 5 — x 2 —— � 2 y 5 7 x 2 29 � 7 x 2 2 y 2 29 5 0

2 2

EXEMPLE 2

Fig. 4.13

y

x

x 5

a

y 5 b

S (a, b)

0

x

Fig. 4.14

y

x 5 0

y 5 0

y 5 4

y 5 23

0x

5 2

2

x 5

3


j 4.5 Paral.lelisme entre dues rectes

Les rectes r i s de la fi gura 4.16 són paral.leles. Es verifi ca:

a 5 b � tg a 5 tg b � mr 5 ms

Així, podem afi rmar que dues rectes paral.leles tenen el mateix pendent.

Si les equacions explícites de les rectes r i s són, respec tivament,

A x 1 B y 1 C 5 0 i A9x 1 B9y 1 C9 5 0

tenim:

A A9mr 5 2— i ms 5 2——

B B9

EXEMPLE 3

Quina és l’equació de la recta que passa pel punt (24, 5) i forma un angle de 135° amb l’eix OX considerat en sentit positiu?

Resolució

El pendent de la recta és m 5 tg 135° 5 21, i la seva equació, y 5 2x 1 n. Per trobar n, podem procedir com a l’exemple anterior, o bé, imposar la condició que la recta con tingui el punt (24, 5), és a dir, que es compleixi que per a x 5 24, y 5 5:

x 5 24, y 5 5y 5 2x 1 n �� 5 5 2(24) 1 n � 5 5 4 1 n � n 5 1

L’equació de la recta és y 5 2x 1 1, o també, x 1 y 2 1 5 0.

ACTIVITATS

12> Troba l’equació de cadascuna de les rectes següents i expressa-la en forma explícita i en forma implícita:

a) La recta que passa pels punts P (21, 4) i Q (2, 25).

b) La recta de pendent 22 que conté el punt R (1, 23).

c) La recta que passa pel punt S (3, 5) i forma un an-gle de 0° amb l’eix d’abscis ses.

d) La recta que passa per l’origen de coordenades i forma un angle agut a amb l’eix OX considerat en 3sentit positiu tal que sin a 5 —. 5

13> Representa gràficament en un mateix sistema de refe-rència cartesià les rectes:

y 5 x 2 4 y 2 5 5 0

3 x 1 2 y 2 6 5 0 x 5 23

14> Determina l’equació explícita de cadascuna de les rec-tes r, s i t representades a la figura 4.15.

x

Fig. 4.15

y

sr

t

x0

Fig. 4.16

y r

s

x

ba

a ; b

0


En conseqüència,

A A9 A A9 A B2— 5 2—— � — 5 —— � —— 5 ——

B B9 B B9 A9 B9

Com pots veure, la igualtat entre els pendents de dues rec tes paral.leles ens condueix a una proporcionalitat entre els coefi cients de x i de y de les equacions implíci tes respectives.

A BDues rectes r i s són paral.leles si: mr 5 ms � — 5 —. A9 B9

Què passa si aquesta proporcionalitat es fa extensiva als termes independents C i C9?

Es verifi ca:

A B C B C C C9 C C9—— 5 —— 5 —— � —— 5 —— � — 5 —— � — 5 2—— � nr 5 ns A9 B9 C9 B9 C9 B B9 B B9

Es tracta de dues rectes que són paral.leles i que tenen la mateixa ordenada a l’origen, és a dir, tenen en comú el punt d’intersecció amb l’eix d’ordenades. Naturalment, això només té una única interpretació possible: les rectes r i s són coincidents.

A B CDues rectes r i s són coincidents si: — 5 — 5 — � ms 5 ml i ns 5 nr. A9 B9 C9

Fig. 4.17

y rQ

P

a , 90° � tg a . 0

x

a

a

2 40

3

23

29

a) Quina és l’equació de la recta r que conté els punts P (2, 23) i Q (4, 3)?

b) Troba l’equació de la recta s paral.lela a l’anterior que conté el punt R (1, 2).

Resolució 3 2 (23) 6

a) El pendent de la recta r és m 5 —————— 5 — 5 3 (fi g. 4.18) i la seva equació 4 2 2 2explícita, y 5 3 x 1 n. Per determinar n, imposem la condició que la recta passi per un dels dos punts que ens donen:

P (2, 23)y 5 3 x 1 n �� 23 5 3 ? 2 1 n � n 5 29

L’equació explícita de la recta r és y 5 3 x 2 9. Comprova que les coordenades del punt Q també la verifi quen.

Fixa’t que, per obtenir l’equació implícita de la recta r, només ens cal fer la transposi ció de tots els termes de la igualtat anterior en un dels dos membres:

y 5 3 x 2 9 � 3 x 2 y 2 9 5 0

b) La recta s és paral.lela a la recta r. Per tant, té el mateix pendent. La seva equació explícita és y 5 3 x 1 n9. Si sabem que passa pel punt R (1, 2) (fi g. 4.18), s’ha de veri-fi car:

2 5 3 ? 1 1 n9 � n9 5 21

Les coordenades de tots els punts de la recta s verifi quen la igualtat y 5 3 x 2 1, que també podem escriure en la forma 3 x 2 y 2 1 5 0.

EXEMPLE 4

Fig. 4.18

23

210 1 2 4

2

3

x

ys r

Q

R

P


j 4.6 Feix de rectes paral·leles

Donada una recta r, podem dibuixar tantes rectes com vulguem que siguin paral.leles a la recta donada. El conjunt format per una recta i totes les que li són paral.leles, l’ano menem feix de rectes paral.leles (fi g. 4.19).

Naturalment, totes les rectes que pertanyen a un mateix feix de rectes paral.leles tenen el mateix pendent. Per tant, si y 5 m x 1 n és l’equació d’una de les rectes del feix, l’equa-ció d’una altra qualsevol de les rectes d’aquest mateix feix tindrà la forma y 5 m x 1 n9, amb n9 Þ n.

Per exemple, l’equació de la bisectriu del primer i tercer quadrants sabem que és y 5 x, perquè m 5 tg 45° 5 1 i n 5 0. En conse qüència, l’equació de qualsevol recta del pla paral.lela a aquesta bisectriu és de la forma y 5 x 1 n, també y 2 x 5 n, amb n [ R. Per a cada valor de n obtenim una recta d’aquest feix de rectes paral.leles (fi g. 4.20).

Diem que y 5 x 1 n, n [ R, és l’equació del feix de rectes paral.leles de pendent 1.

En general, l’equació del feix de rectes paral.leles de pen dent m conegut és del tipus y 5 m x 1 n, on m i n són dos nombres reals tals que m és fi x i n pot prendre qualsevol valor.

Hem representat algunes de les rectes paral.leles que pertanyen als feixos d’equacions 1y 5 2 x 1 n (fi g. 4.21) i y 5 2— x 1 n (fi g. 4.22). 3

ACTIVITATS

15> Indica el pendent i l’ordenada a l’origen de la recta que conté els punts (22, 5) i (3, 21).

26 13R: m 5 ——; n 5 —— 5 5

16> Troba l’equació de la recta que talla els eixos de coor-denades en els punts (3, 0) i (0, 25).

17> Considera el punt P de coordenades (4, 23). Escriu l’equació de la recta que passa per P i és paral.lela a l’eix d’abscisses i la de la recta que passa per P i és paral.lela a l’eix d’ordenades.

18> Justifica la validesa de l’afirmació següent:

Si una recta és paral.lela a la recta 2 x 1 3 y 2 4 5 0, segur que la seva equació es pot expressar 2 x 1 3 y 1 C 5 0, amb C Þ 24.

Determina l’equació de la recta que passa pel punt (21, 4) i és paral.lela a la recta 2 x 1 3 y 2 4 5 0.

19> Les rectes 5 x 2 4 y 1 1 5 0 i 3 x 1 B y 2 6 5 0 són paral.leles. Troba B.

212R: B 5 —— 5

Cada feix de rectes paral.leles de-termina una direcció.

Fig. 4.19

y

r

x0

Fig. 4.20

y

n 5 2

� y

5 x

2 2

n 5 0

� y

5 x

1 2

n 5 2

3 �

y 5

x 2

3

x0

23

2

45°

Fig. 4.21

y

n 5

2 �

y

5 2

x 1

2

9

9

n 5

— �

y

5 2

x 1

—

2

2

9—2

n 5

0 �

y

5 2

xn

5 2

4 �

y

5 2

x 2

4

0

Fig. 4.22

y

x0

23

5

32— 2

5—2

3

1 3

n 5 2— � y 5 2— x 2—

2

3 2

5

1 5

n 5 — � y 5 2— x 1—

2

3 2

1

n 5 25 � y 5 2— x 2 3

3

1

n 5 5 � y 5 2— x 1 5

3

1

n 5 0 � y 5 2— x

3


ATenint en compte que m 5 2—, B Þ 0, l’equació del feix de rectes paral.leles de pendent m Bconegut també es pot expressar:

A n B 5 ky 5 2— x 1 n � B y 5 2A x 1 n B � A x 1 B y 5 n B �� Ax 1 B y 5 k

B

Aon A, B i k són tres nombres reals tals que el quocient — és constant i igual a 2m i k pot Bprendre qualsevol valor. Per a cada valor de k obtenim una recta del feix.

Cal tenir en compte que el feix de rectes paral.leles a l’eix X té per equació y 5 k, k [ R, i el feix de rectes paral.leles a l’eix Y, x 5 k, k [ R.

En la fi gura 4.23 hem representat algunes de les rectes del feix d’equació 3 x 1 4 y 5 k.

Les equacions 3 x 1 2 y 5 k i 6 x 1 4 y 5 k, k [ R, corresponen al mateix feix de rectes paral.le- 3les, el de pen dent m 5 2—. 2

Fixa-t’hi

Fig. 4.23

y

x021

5

2

k 5 20 � 3 x 1 4 y 5 20

k 5 8 � 3 x 1 4 y 5 8

k 5 0 � 3 x 1 4 y 5 0

k 5 24 � 3 x 1 4 y 5 24

a) Quina és l’equació general de totes les rectes paral.leles a la recta r que conté els punts P (1, 24) i Q (3, 1)? (fi g. 4.24).

b) Quina de les rectes d’aquest feix conté el punt R de coordenades (22, 3)? (fi g. 4.24).

Resolució 5

a) El pendent de la recta r és mr 5 —. Per tant, el feix de rectes paral.leles al qual per tany 2r té per equació: 5

y 5 — x 1 n, n [ R. 2

També podem expressar l’equació d’aquest feix en la forma:

25 x 1 2 y 5 k, k [ R.

b) La recta que ens demanen pertany al feix donat. La seva equació és:

5y 5 — x 1 n, n [ R.

2

O, el que és el mateix: 25 x 1 2 y 5 k, k [ R

A més, sabem que passa pel punt R (22, 3). Per tant:

5 R (22, 3) 5y 5 — x 1 n �� 3 5 — ? (22) 1 n � n 5 8

2 2

5L’equació de la recta que busquem és y 5 — x 1 8. Comprova que s’arriba al mateix resul- 2tat utilitzant l’altra expressió de l’equació del feix.

EXEMPLE 5

Fig. 4.24

24

22 0 1

1

8

3

3

x

yr

Q

R

P


j 4.7 Inequacions de primer grau amb dues incògni tes

Les inequacions de primer grau amb dues incògnites, ano menades també inequacions lineals, són expressions del tipus:

a x 1 b y . c a x 1 b y > c a x 1 b y , c a x 1 b y < c

amb a, b i c nombres reals tals que a Þ 0 o b Þ 0.

Fixa’t que l’equació associada a qualsevol de les inequaci ons anteriors, a x 1 b y 5 c, corres-pon sempre a l’equació d’una recta que anomenem recta associada a la inequació.

Aquest tipus d’inequacions es resol de manera gràfi ca i la recta associada a la inequació és l’element clau per resol dre-les.

Vegem, per exemple, de quina manera podem trobar gràfi ca ment les solucions de les inequa-cions 3 x 1 4 y , 12 i 3 x 1 4 y . 12. Totes dues tenen la mateixa recta associada, la rectad’equació 3 x 1 4 y 5 12. Per representar-la gràfi ca-ment, en tro bem dos punts qualssevol:

x 5 0 � y 5 3 i y 5 0 � x 5 4

La recta divideix el pla en dos semiplans que anome-nem s1 i s2. És per aquest motiu que aquesta recta associada s’ano mena també recta frontera. Natural-ment, les coordenades de tots els punts d’aquesta recta verifi quen la igualtat 3 x 1 4 y 5 12, o la seva equivalent, 3 x 1 4 y 2 12 5 0.

Per tant, les coordenades de tots els punts de cadas-cun dels dos semi plans verifi quen:

3 x 1 4 y 2 12 Þ 0 (fi g. 4.25).

ACTIVITATS

20> Escriu l’equació del feix de rectes paral.leles a la bisec-triu del segon i quart qua drants.

21> Representa, en un mateix sistema de coordenades car-tesianes, tres rectes que pertanyin al feix d’equació 2y 5 2— x 1 n i unes altres tres rectes que siguin del 3feix x 2 2 y 5 k.

22> Les expressions 5 x 2 2 y 5 k i 210 x 1 4 y 5 k, amb k [ R, són les equacions corres ponents a un mateix feix de rectes paral.leles. Per què?

23> Determina l’equació del feix de rectes paral.leles que conté la recta que passa pel punt (22, 1) i pel punt d’intersecció de les rectes d’equacions 2 x 1 y 2 1 5 0 i x 1 2 y 5 22.

24> Determina l’equació del feix de rectes paral.leles al qual pertany la recta deter minada pels punts (2, 24) i (23, 2).

25> De totes les rectes del feix d’equació 2 x 1 5 y 5 k, quina és l’equació de la que conté el punt (5, 6)?

26> Considera el feix de rectes d’equació 3 x 1 y 5 k. Fes un estudi de la posició de les rectes del feix en relació amb la recta 3 x 1 y 5 0 quan augmenta el valor absolut de k. Considera les dues possibilitats: k . 0 i k , 0.

27> Se sap que la recta d’equació A x 1 2 y 2 3 5 0 per- 4tany al feix de rectes d’equació y 5 — x 1 n. Calcula 3el valor de A.

28R: A 5 —— 3

Fig. 4.25

Semiplà s2

3 x 1 4 y Þ 12

Semiplà s1

3 x 1 4 y Þ 12

0

3

4

y

x


Es tracta de veure que, si les coordenades dels punts d’un dels semiplans verifi quen la des-igualtat anterior en un dels dos sentits, les dels punts de l’altre semiplà la verifi quen necessà-riament en l’altre sentit.

Considerem P (x0, y0) un punt de la recta (fi g. 4.26). Es verifi ca:

3 x0 1 4 y0 5 12 � 3 x0 1 4 y0 2 12 5 0

El punt P1 (x0, y0 1 h), h . 0 es troba situat en el semiplà s1 (fi g. 4.26). Les seves coordena-des verifi quen:

3 x0 1 4 (y0 1 h) 2 12 5 3 x0 1 4 y0 1 4 h 2 12 5

5 3 x0 1 4 y0 2 12 1 4 h 5 4 h . 0

El punt P2 (x0, y0 2 h), h . 0, es troba situat en el semiplà s2 (fi g. 4.26). Les seves coorde-nades verifi quen:

3 x0 1 4 (y0 2 h) 2 12 5 3 x0 1 4 y0 2 4 h 2 12 5

5 3 x0 1 4 y0 2 12 2 4 h 5 24 h , 0

En defi nitiva, tenim:

j Punts de la recta: 3 x 1 4 y 2 12 5 0 � 3 x 1 4 y 5 12

j Punts del semiplà s1: 3 x 1 4 y 2 12 . 0 � 3 x 1 4 y . 12

j Punts del semiplà s2: 3 x 1 4 y 2 12 , 0 � 3 x 1 4 y , 12

El que acabem de veure simplifi ca sensiblement la resolució d’inequacions de primer grau amb dues incògnites, perquè ens permet assegurar que, si les coordenades d’un punt qualsevol si-tuat en un dels dos semiplans verifi quen la desigualtat, també la veri fi caran les de tots els altres punts d’aquest semiplà. De la mateixa manera, si les coor denades del punt escollit no verifi quen la desigualtat, tampoc no la verifi caran les de cap altre punt que pertanyi al mateix semiplà i sí que ho faran les dels punts de l’altre semiplà. En qualsevol dels dos casos tindrem identifi cat el semiplà solució, que és el que pretenem.

Fig. 4.26

Semiplà s2

3 x 1 4 y , 12

Semiplà s1

3 x 1 4 y . 12

3 x 1 4 y 5 120

3

4

y

y0 2 h

y0 1 h

y0

x0

P2

P

P1

x

Resol les inequacions:

a) 2 x 2 y , 6

b) 5 x 1 2 y > 10

Resolució

a) Dibuixem primer la recta frontera 2 x 2 y 5 6. Conté els punts (0, 26) i (3, 0) (fi g. 4.27). Fixa’t que ho fem amb traç discontinu per indicar que els seus punts no són solució de la inequació proposada.

Considerem un punt qualsevol que es trobi clarament situat en un dels dos semiplans, per exemple l’origen de coordenades, i mirem si les seves coordenades verifi quen la inequació:

punt (0, 0) � 2 ? 0 2 0 5 0 , 6

La desigualtat és certa i, per tant, el semiplà s1, que conté l’origen de coordenades, és el semiplà solució (fi g. 4.28).

b) La recta frontera 5 x 1 2 y 5 10 passa pels punts (2, 0) i (0, 5) (fi g. 4.29). La dibuixem amb traç continu per indicar que els seus punts són solució de la inequació.

EXEMPLE 6

Fig. 4.27

26

0

Semiplà s1

3

x

y


El punt (0, 0) es troba situat en el semiplà s2. Vegem si les seves coordenades verifi quen la inequació proposada:

punt (0, 0) � 5 ? 0 1 2 ? 0 5 0 i, evidentment, 0 , 10.

La desigualtat no es verifi ca. Això ens indica que el semiplà solució és el que no conté l’origen de coorde nades, és a dir, el semiplà s1.

En defi nitiva, la solució de la inequació 5 x 1 2 y > 10 la formen els punts del semiplà s1 i els de la recta frontera (fi g. 4.30).

Fixa’t que per tal d’indicar que els punts de la recta frontera també formen part de la solució, dibuixem aquesta amb un traç continu.

Fig. 4.28

26

0

Semiplà s1

2 x 2 y , 6

Semiplà s2

3x

y

Fig. 4.29

5

0

Semiplà s1

Semiplà s2

2 x

y

Fig. 4.30

5

0

Semiplà s1

5 x 1 2 y > 10

Semiplà s2

2x

y

ACTIVITATS

28> Identifica tres punts del pla les coordenades dels quals verifiquin la inequació x 2 3 y . 9 i uns altres tres punts les coordenades dels quals no la verifiquin.

29> Resol:

a) x 2 2 y < 8

b) x 1 y . 0

c) 4 x 1 5 y , 20

d) 23 x 1 2 y > 12

e) 5 x 2 y > 10

f) 22 x 2 3 y , 6

30> Representa els punts del pla que verifiquen:

a) x . 0 b) y , 0

c) x < 3 d) y > 22

e) x < 0 f) y . 2

31> Representa gràficament tots els parells de nombres reals positius la suma dels quals sigui més petita que 6.

32> Els gràfics següents (fig. 4.31, 4.32 i 4.33) mostren, acolorides, les solucions de tres inequacions de primer grau amb dues incògnites. Escriu la inequació de la que correspon a cada gràfic.

Fig. 4.31

22

0

5

x

y

Fig. 4.33

4

0 3 x

y

Fig. 4.32

1tg a 5 — 2

0

a

x

y


j 4.8 Sistemes d’inequacions de primer grau amb dues incògnites

Un sistema d’inequacions de primer grau amb dues incògnites està constituït per dues o més inequacions amb dues incògnites que s’han de verifi car simultàniament. Per tant, resoldre un d’aquests sistemes signifi ca trobar les solucions comunes a totes i cadascuna de les inequa-cions que el componen.

En defi nitiva, es tracta d’identifi car la regió del pla que conté els punts les coordena des dels quals són solució de totes i cadascuna de les inequacions del sistema. Aquesta regió s’ano-mena regió solució i s’obté fent la intersecció dels semiplans solució de cadascuna de les in equacions del sistema. Naturalment, si aquests semi plans no tenen cap punt en comú, el sistema no té solució.

Les inequacions que componen aquests sistemes poden ser no estrictes, que admeten també la igualtat (< i >), i estrictes quan no l’admeten (, i .). D’aquesta manera, les rectes, se-mirectes o segments frontera i els seus possibles punts d’intersecció sempre seran solució del sistema en el primer cas i no ho seran en el segon.

En un sistema d’inequacions es poden obtenir diferents tipus de solucions: regió poligonal tancada, regió oberta o no acotada, regió entre rectes paral.leles, fi ns i tot sistemes sense solució, entre altres casos. Ho veurem en els exemples següents:

Representarem amb S la regió so-lució d’un sistema d’inequacions de primer grau amb dues incòg-nites.

x 2 2 y < 6Resol el sistema

rwq x 1 y > 0

Resolució

En primer lloc, resolem per separat cada inequació. En la fi gura 4.34 hem representat el semiplà solució de la primera inequació i en la fi gura 4.35, el de la segona.

Superposant les dues fi gures anteriors obtenim la regió solució S (fi g. 4.36). En aquest cas, es tracta d’una regió oberta, també anomenada no acotada, amb vèrtex en el punt P (2, 22) intersecció de les rectes r: x 2 2 y 5 6 i s: x 1 y 5 0.

Hem determinat les coordenades del punt P resolent el sistema format per les equa cions de les rectes r i s: x 2 2 y 5 6r

wq

� x 5 2, y 5 22 x 1 y 5 0

EXEMPLE 7

Fig. 4.34

0 x 2 2 y < 6 x

r

y

Fig. 4.35

0

x 1 y > 0

s

x

y

Fig. 4.36

S

s

0

rwq

x 2 2 y < 6 x 1 y > 0

x

r

P

y


EXEMPLE 8

2 x 2 3 y < 12

Resol el sistema

ruwuq

x 1 2 y > 4

y < 3

Resolució

Com en l’exemple anterior, obtenim la regió solució S del sistema (fi g. 4.37).

Es tracta d’una regió poligonal tancada, també anomenada acotada, les coordena des dels vèrtexs de la qual s’obtenen a partir de buscar els punts intersecció de les rectes

r: 2 x 2 3 y 5 12, s: x 1 2 y 5 4 i t: y 5 3

que la limiten:

36 4 21r i s � A 1——, 2—2; r i t � B 1——, 32; s i t � C (22, 3)

7 7 2

Fig. 4.37

x

s

A

O

C

S

t B

r

y

ACTIVITATS

33> Resol els sistemes següents i troba, si s’escau, les coor denades dels vèrtexs de les corresponents regions solució:

4 x 1 3 y < 12 2 x 2 y > 4

a)

ruwuq

x > 0 b) rwq

y > 0 22 x 1 y > 0

x 1 y > 3 2 x 1 3 y > 10

2x 2 y < 2 5 x 1 y > 12c)

ruuuwuuuq

x > 0 d)

ruuuwuuuq

x > 0

y > 0 y > 1

34> La regió solució del sistema:

rwq

2 x 1 b y > 1

a x 2 3 y > 6

té un sol vèrtex que es troba situat en el punt (3, 21).

Troba a i b i representa aquesta regió gràficament.

R: a 5 1; b 5 5

35> Escriu els sistemes d’inequacions la regió solució dels quals està representada en verd en els gràfics de les figures 4.38 i 4.39.

Fig. 4.38

x0 3 5

2

22

y

Fig. 4.39

x0 2

1

4

5y


j 4.9 Les regions solució i els feixos de rectes paral.leles

x 1 3 y > 11

Considerem el sistema d’inequacions:

ruwuq

4 x 1 y < 22

3 x 2 2 y > 0

En la fi gura 4.40 hem representat la regió solució S d’aquest sistema. Com pots observar, es tracta d’una regió poligonal tancada els vèrtexs de la qual són els punts: A (2, 3), B (5, 2) i C (4, 6).

3Suposem el feix de rectes paral.leles de pendent m 5 2—. L’equació d’aquest feix és del 2 3tipus: y 5 2— x 1 n, o bé, 3 x 1 2 y 5 k. 2

Per a quins valors de n les rectes d’aquest feix tenen algun punt en comú amb la regió solució del sistema ante rior?

Observa amb atenció la fi gura 4.41. Hi hem representat la regió solució S i la recta r que, es-sent del feix, passa per l’origen de coordenades. Si dibuixem successives rectes paral.leles a la recta r, és a dir, rectes que pertanyen al feix que ens donen, amb ordenada a l’origen n . 0 i cada vegada més grans, ens trobarem que la primera recta del feix que té un punt en comú amb la regió solució és la recta s.

Aquesta recta passa pel punt A (2, 3) i la seva equació és:

3 A (2, 3) 3y 5 2— x 1 ns �� 3 5 2— ? 2 1 ns � ns 5 6

2 2

Seguint el mateix procés, podem veure (fi g. 4.42) que l’última de les rectes del feix que té un punt en comú amb la regió solució S és la recta t. Conté el punt C (4, 6) i la seva equació és:

3 C (4, 6) 3y 5 2— x 1 ns �� 6 5 2— ? 4 1 nt � nt 5 12

2 2

3El que acabem de veure ens permet afi rmar que les rectes del feix de pendent 2— tenen al- 2gun punt en comú amb la regió solució del sistema donat per a qualsevol valor n [ R que verifi qui:

ns < n < nt � 6 < n < 12

3Si expressem el feix de rectes paral.leles de m 5 2— en la forma 3 x 1 2 y 5 k, per a quins 2valors de k es verifi ca la condició anterior?

Naturalment, si coneixem les ordenades a l’origen ns i nt de les rectes s i t i, per tant, les seves equacions, podem saber fàcilment els valors ks i kt que els corresponen.

3Recta s: y 5 2— x 1 6 � 2 y 5 23 x 1 12 � 3 x 1 2 y 5 12 � ks 5 12 2

3Recta t: y 5 2— x 1 12 � 2 y 5 23 x 1 24 � 3 x 1 2 y 5 24 � kt 5 24 2

En conseqüència, les rectes del feix d’equació 3 x 1 2 y 5 k tenen algun punt en comú amb la regió solució S per a valors de k [ R que verifi quen:

12 < k < 24

Fig. 4.40

0

s1

s2 s3y

A

S

C

B

x

Fig. 4.41

0

y

A

S

C

s

r

B

x

Fig. 4.42

0

ynt 5 12

ns 5 6

t

sr

A

S

C

B

x


EXEMPLE 9

3 x 1 4 y > 12

x > 0La regió solució del sistema:

ruuwuuq

3 y > — 2

3és oberta. Els seus vèrtexs es localitzen en els punts A (0, 3) i B 12, —2 (fi g. 4.43). 2

Quines rectes del feix de rectes paral.leles d’equació 5 x 1 2 y 5 k tallen la regió S?

Resolució

Dibuixem la recta r del feix que passa per l’origen de coordenades, és a dir, la recta del feix amb k 5 0. Procedint com en l’exemple anterior, observem que la primera recta del feix que talla la regió S és la recta s que passa per A. Per tant, es verifi ca: A (0, 3)

5 x 1 2 y 5 ks �� 6 5 ks

Per tractar-se d’una regió oberta i tenint en compte que en augmentar k augmenta també l’ordenada a l’origen de la recta corresponent del feix, podem concloure que totes les rectes del feix 5 x 1 2 y 5 k, amb k [ R i k > 6 tallen la regió S donada (fi g. 4.44). En el cas que ens ocupa, com més gran és k, més allunyat de l’origen de coordenades es troba el punt de tall de la recta del feix amb l’eix OY.

ACTIVITATS

36> a) Resol el sistema:

x > 0

y > 0

ruuuwuuuq

2 x 1 3 y < 18

2 x 1 y < 10

x 1 3 y > 3

b) Determina les coordenades dels vèrtexs de la regió solució S d’aquest sis tema.

c) Pertany el punt P (3, 2) a aquesta regió?

R: b) (0, 1); (0, 6); (5, 0); (3, 0); (3, 4)

37> Considera el feix de rectes d’equació x 1 y 5 k. Troba els valors de k per als quals les rectes d’aquest feix tallen la regió S de l’activitat anterior.

R: 1 < k < 7

38> a) Dibuixa la regió del pla les coordenades dels punts de la qual verifiquen el sistema:

x 1 y > 2

ruwuq

x < 2

2x 1 y < 2

b) Troba l’equació de totes les rectes del feix d’equa-ció 3 x 2 y 5 k que tallen la regió anterior per un dels seus vèrtexs.

Fig. 4.43

x0

y

S

A

B

Fig. 4.44

x0

y

SA

B

s, k 5 6

r, k 5 0


j 4.10 Problemes que es reso len mitjançant inequacions

Tot seguit resoldrem alguns problemes mitjançant inequaci ons. Per arribar a la solució aplica-rem els mateixos passos que s’utilitzen en la resolució de problemes mitjançant equacions. A partir de l’enunciat hem de ser capaços de diferenciar si es tracta d’un problema que es pot resoldre mitjançant una equa ció o una inequació. Generalment, es distingeixen amb clare dat, ja que a l’enunciat dels problemes que es resolen amb inequacions apareixen paraules o frases que fan referència a desigualtats de manera inequívoca.

Quins són els nombres el doble dels quals supera la seva meitat en més de quinze unitats?

Resolució

Si representem mitjançant la lletra x un qualsevol d’aquests nombres, s’ha de verifi - xcar la inequació: 2 x 2 — . 15 2

La solució és x . 10. Per tant, tots els nombres que són més grans que deu verifi -quen l’enunciat del problema. Comprovar que la solució és correcta és senzill. Per exem ple, x 5 12 verifi ca la condició perquè 24 2 6 5 18 . 15. En canvi, x 5 8 no la satisfà, perquè 16 2 4 5 12 , 15.

EXEMPLE 10

Una empresa de manufacturació de cafès vol aconseguir un tipus de cafè a partir de la mescla de cafès torrefacte i natural, de manera que el preu d’aquesta mescla sigui inferior a 5,11 €/kg. Els preus del cafè torrefacte i natural són 4,21 i 5,71 €/kg, res pectivament. Per tal que el cafè obtingut a partir de la mescla pugui considerar-se de qualitat superior, cal que contingui un mínim de 350 g de cafè natural per cada quilo gram de mescla. Com podem obtenir 1 kg d’aquesta mescla?

Resolució

Si considerem que prenem x kg de cafè natural i, conseqüentment, (1 2 x) kg de cafè torrefacte, s’han de complir simultà niament les inequacions següents:

rwq

5,71 x 1 4,21 (1 2 x) , 5,11

x > 0,35

Es tracta d’un sistema de dues inequacions amb una incògnita. La solució de la pri-mera inequació és x , 0,6 i la segona ja ens indica que x > 0,35. Per tant, els possibles valors de x han de complir: 0,35 < x , 0,6.

Si expressem el resultat en grams: 350 < x , 600.

Un cop hem establert les possibles quantitats de cafè natural, les de torrefacte que-den perfectament determinades.

Per exemple, si prenem 400 g de cafè natural, els haurem de mesclar amb 600 g de torrefacte i obtindrem 1 kg de mescla el preu del qual serà de:

5,71 ? 0,4 1 4,21 ? 0,6 5 4,81 €

EXEMPLE 11


EXEMPLE 12

Els alumnes de segon de batxillerat s’han posat en contacte amb dues agències de viatges per organitzar una excursió d’un dia. L’agència Y cobra un preu fi x de 72,12 € més 0,24 € per quilòmetre. A l’agència Z, la quantitat fi xa és de 96,12 € i el preu per quilòmetre, 0,18 €. Quants quilòmetres han de fer a l’excursió per tal que els surti més a compte l’agència Y?

Resolució

Agència Quilòmetres Pagament fi x

Pagament quilòmetres Preu fi nal

Y x 72,12 0,24 x 72,12 1 0,24 x

Z x 96,12 0,18 x 96,12 1 0,18 x

Per a una excursió de x km, l’agència Y cobraria 72,12 1 0,24 x € i l’agència Z cobra-ria 96,12 1 0,18 x €. Per tal que la proposta de la primera agència sigui més avantat josa econòmicament, s’ha de verifi car que:

72,12 1 0,24 x , 96,12 1 0,18 x � x , 400

Si el trajecte de l’excursió no arriba als 400 km, resulta més econòmica l’agència Y; si supera els 400 km, el cost seria inferior si contractessin l’agència Z; per a una excur sió de 400 km les dues agències cobrarien el mateix.

EXEMPLE 13

En una papereria hi ha un màxim de 7 000 unitats, entre llapis i bolígrafs. Els llapis van en capses de deu unitats i els bolígrafs, en capses de cinc. Expressa gràfi cament quantes capses de cada tipus hi pot haver en el magatzem.

Resolució

Representem per x el nombre de capses de llapis i per y el de capses de bolígrafs. Per les condicions que estableix l’enunciat del problema, s’ha de verifi car que 10 x 1 5 y < 7 000. A més, x i y només poden prendre valors naturals o zero. Es tracta, per tant, de resoldre el sistema:

ruwuq

10 x 1 5 y < 7 000

x > 0

y > 0

La regió solució del sistema és la representada en la fi gura 4.45.

Tots els punts determinats per un parell de nombres naturals o zero que són solució del sistema també són solució del problema.

Fig. 4.45

x0 700

1 400

y

r


39> En l’exemple 11:

a) Podem prendre 700 g de cafè natural per fer la mescla?

b) I 550 g de cafè torrefacte? En aquest cas, amb quants grams de cafè natu-ral hauríem de mesclar-lo?

c) Quin és el preu d’un quilogram de la mescla si prenem la mínima quantitat possible de cafè natural?

d) I si prenem la màxima quantitat possible de cafè natural?

R: b) 450 g; c) 4,74 €/kg; d) 5,11 €/kg

40> En l’exemple 13:

a) És possible que en magatzem hi hagi 710 capses de llapis?

b) I 100 capses de bolígrafs? En aquest cas, quin és el nombre màxim de cap-ses de llapis que hi pot haver en magatzem?

c) Hi pot haver 500 capses de cada tipus?

d) Estableix una solució possible del problema i troba el total de llapis i bolí-grafs que hi hauria en aquest cas en magatzem.

R: d) 500 capses bolígrafs; 400 capses llapis; 6 500 unitats

ACTIVITATS


Punt fi nal

La convexitat de les regions solució

Recorda que una regió del pla, sigui oberta o tancada, s’ano mena convexa quan dos qualssevol dels seus punts P i Q es poden unir mitjançant un segment els punts del qual perta nyen tots a la regió. En cas que no sigui així, la regió s’ano mena còncava (fi g. 4.46).

Si et fi xes en les diferents regions solució que hem obtin gut en el desenvolupament d’aquesta unitat i en les que has dibuixat en resoldre’n els exercicis, t’adonaràs que totes són convexes.

Per quin motiu la regió solució d’un sistema d’ine-quacions de primer grau amb dues incògnites és sempre convexa?

Suposem que la regió solució d’un d’aquests siste-mes és còncava i tancada, com la de la fi gura 4.47.

Vegem que aquesta suposició, en cas de ser certa, ens conduiria a conclusions contradictòries i, per tant, podem deduir que no és factible.

En efecte, si et fi xes en els punts P i Q de la regió i, per exem ple, en la recta r que conté els punts B i C, pots observar que el punt P pertany a un dels semiplans en què la recta r divideix el pla i, en canvi, el punt Q pertany a l’altre semiplà. Evidentment, això no és possible perquè la regió solució del sistema l’obtenim fent la intersecció de tots els semi plans que veri fi quen cadascuna de les inequacions que el componen i ja hem vist que, si les coordenades dels punts d’un semiplà ve-rifi quen la desigualtat en un sentit, les de l’altre semiplà la verifi quen en sentit contrari.

Podem fer el mateix raonament per a una regió que supo séssim còncava i oberta. En defi nitiva, doncs, estem en condicions d’afi rmar que les regions solució d’un sistema d’inequacions de primer grau amb dues incògnites són sempre convexes.

P

Q

P

Q

Regió tancada convexa Regió oberta convexa

P

Q

P

Q

Regió tancada còncava Regió oberta còncava

Fig. 4.46

Fig. 4.47

y D

P

C

B

QA

0 x

r


1> Resol les inequacions següents:

2 (x 1 1) x 2 1 x x 2 1a) ————— 2 ———— > — 1 ————

3 4 2 3

10b) ———— , 0

3 x 2 6

c) 3 x 1 2 (y 2 1) < y 2 (x 2 2)

3 x 2 1 2 x 1 5d) ———— . ————

3 2

R: a) (2`, 3]; b) (2`, 2); c) [

2> Troba la solució de cadascun dels sistemes d’ine qua-cions següents:

2 x 2 3 ———— < 3 x 1 8 2 x 2 3 y > 2 4a)

ruuwuuq

b)

ruuwuuq

x 2 2 1 x y ———— . x 2 — — 2 — > 0 3 4 2 3

x > y 3 x 2 1 > 0

c)

ruwuq

3 x 2 y < 4

d)

ruuwuuq

2 y > 3

3 x 1 4 y < 9 2 x 2 3 y > 1

x 1 y > 2

3> Determina els valors de x que verifiquen

24 < 3 x 1 2 , 11

Observa que, en realitat, es tracta de resoldre el sis-tema for mat per les inequacions 3 x 1 2 > 24 i 3 x 1 2 , 11.

4> Determina el pendent i l’ordenada a l’origen de cadas-cuna de les rectes següents. Després dibuixa totes les rectes en els mateixos eixos de coordenades.

a) La recta r que conté els punts P (1, 25) i Q (5, 22).

b) La recta s que forma un angle de 135° amb el sen-tit positiu de l’eix X i passa pel punt P (23, 2).

c) La recta t d’equació 6 x 1 5 y 2 15 5 0.

d) La recta u que és paral.lela a l’eix X i passa pel punt P (1, 22).

5> Troba l’equació de la recta que és paral.lela a la recta 2 x 2 5 y 5 7 i que passa pel punt (2, 3).

6> Troba l’equació de la recta que és paral.lela a la recta 2 x 2 5 y 5 3 i que passa pel punt d’intersecció de les rectes 2x 1 y 5 0 i 3 x 2 7 y 1 4 5 0.

7> a) Escriu l’equació general del feix de rectes paral.le-les a la recta que passa pels punts (6, 22) i (3, 4).

b) Troba l’equació de la recta que passa pel punt (21, 5) i pertany al feix de l’apartat anterior.

8> De totes les rectes del feix d’equació 6 x 2 5 y 5 k, quina és l’equació de la que passa pel punt d’intersec-ció de les rectes y 5 2 x 2 1 i 3 x 1 y 5 9?

9> Resol les inequacions següents com a regions del pla:

a) x 2 2 y 2 4 . 0 b) 4 x 2 2 y < 9

c) y > 23 x 1 5 d) x < 2y 1 3

10> Els gràfics següents (fig. 4.48 i 4.49) mostren les solu-cions de dues inequacions de primer grau amb dues incògnites. Escriu la desigualtat que veri fiquen les co-ordenades dels punts que pertanyen a cada semiplà solució.

11> Resol els sistemes següents:

7 x 1 2 y < 14 2 x 2 3 y < 12

a)

ruwuq

x > 1 b) rwq

y > 2 y 2 4 x < 8

2x 1 y < 2

3 x 1 5 y < 15

c)

ruuwuuq

2 x 1 y < 22 d) y 2 x < 0

5 x 1 6 y < 30

ruwuq x 1 1 > 0

x > 0

Activitats fi nals

Fig. 4.48

0

Q (1, 5)

P (3, 1)

x

y

P (3, 2)

Fig. 4.49

0 x

y


12> a) Troba les equacions de les rectes r, s i t de la figu-ra 4.50.

b) Escriu el sistema d’inequacions que té per solu ció la regió del pla indicada en aquesta figura.

13> Escriu les inequacions que componen el sistema la re-gió solució del qual pots veure en la figura 4.51.

4 x 1 5 y > 30

5 x 1 4 y < 4014> a) Resol el sistema:

ruuwuuq

x > 1

y > 2

b) Considera el feix de rectes paral.leles d’equació 5 x 1 y 5 k. Per a quins valors de k les rectes d’aquest feix tenen algun punt en comú amb la re-gió solució del sistema de l’apartat anterior?

15> a) Escriu les inequacions que verifiquen alhora les coordenades dels punts del triangle de vèrtexs A (2, 3), B (5, 6) i C (3, 9).

b) Determina quines són les equacions de les rectes del feix 2x 1 y 5 k que passen pels vèrtexs del triangle.

c) Justifica el motiu pel qual en l’apartat anterior no-més has trobat dues rectes diferents quan el trian-gle en té tres, de vèrtexs.

16> Dos nombres compleixen les condicions següents: la suma del doble del primer més el triple del segon dóna un nombre positiu i la seva suma és més gran que 1. Troba tots els valors que poden tenir aquests nom-bres.

17> Per participar en un concurs de matemàtiques s’han de contestar totes les preguntes d’un qüestionari de 25, i obtenir un mínim de 50 punts. La prova es pun-tua de la manera següent: cada resposta encertada suma 5 punts i cada resposta errònia en resta 2. Quin és el nombre mínim de preguntes que s’han de con-testar correctament per tal d’aconseguir la puntuació mínima exigida? Si un participant té 14 respostes correctes, assoleix aquest mínim? Quina és la mà xima puntuació possible?

18> La diferència entre l’edat d’una mare i la del seu fill és de 22 anys. Estableix en quin període de les seves vides l’edat de la mare excedeix en més de 6 anys el doble de l’edat del fill.

19> Un adolescent necessita prendre setmanalment un mí-nim de 32 unitats de vitamina A i un màxim de 20 uni-tats de vitamina C. Per terme mitjà, un tomàquet conté 5 unitats de vitamina C i 2 de vitamina A, i una pasta-naga 2 unitats de vitamina C i 4 de vita mina A. Quants tomàquets i quantes pastanagues és aconsellable que prengui a la setmana?

20> Dos nombres verifiquen que el doble del primer menys el triple del segon és més gran que el triple del primer més el doble del segon. Troba tres parells de nombres racionals que compleixin aquesta condi ció.

21> Els alumnes de vídeo i els d’informàtica disposen d’un ajut econòmic de 54,10 € per a la compra de mate-rial auxiliar. Els primers necessiten cintes i els segons, caixes de disquets. El preu d’una cinta de vídeo és de 4,51 € i el d’una caixa de disquets, de 5,41 €. Es tracta d’esbrinar quantes cintes i quantes caixes po-den adquirir amb els diners que tenen a la seva dis-posició.

a) Representa gràficament totes les solucions possi-bles i tria’n tres, procurant que siguin el màxim d’equitatives.

b) Es poden comprar 7 cintes i 7 caixes? I 5 cintes i 5 caixes? En aquest últim cas, calcula l’import de la compra.

Fig. 4.50

0

(1, 2)(3, 1)

(2, 4)

r s

x

yt

Fig. 4.51

0

D (21, 4)

A (2, 1)

B (7, 3)

C (8, 7)

x

y


Avaluació

1> Escriu l’equació de les tres rectes del pla que limiten la regió acolorida del dibuix i les tres desigualtats que determinen aquesta regió.

2> Siguin r i s les dues rectes del pla:

x 1 1 y 1 2r: 2 x 2 y 2 3 5 0 s: ———— 5 ————

4 2

Calcula l’equació de la recta que passa pel punt d’intersecció de r i s i que és paral.lela a la recta d’equació: 3 x 1 5 y 2 1 5 0.

3> (Curs 2003-2004) Decideix si el polígon de vèrtexs consecutius A (0, 0), B (5, 2), C (7, 1), D (7, 6) i E (0, 6) és la regió factible d’un problema de pro-gramació lineal. Justifica la resposta.

4> (Curs 2004-2005) En una empresa es fabriquen dos tipus de peces que anome-narem A i B. Per fabricar una peça tipus A es necessiten 2 kg d’un metall i per fer-ne una de tipus B, 4 kg del mateix metall. L’empresa disposa com a màxim de 100 kg de metall i no pot fabricar més de 40 peces de tipus A ni més de 20 peces de tipus B.

a) Dóna un sistema d’inequacions que representi les restriccions en la fabrica-ció que té l’empresa.

b) Determina gràficament els punts del pla que verifiquen aquest sistema.

c) D’entre les solucions obtingudes, quins són els possibles valors de peces de cada tipus (han de ser enters) si es volen exhaurir els 100 kg de metall? Explica detalladament què fas per trobar-los.

Fig. 4.52

1

1

(3, 0)

(2, 2)

(4, 0) x

y

04 Mat CCSS 2batx 082-108 · BLOC 2 04 SISTEMES D’INEQUACIONS LINEALS L’encreuament...

Documents

Transcript of 04 Mat CCSS 2batx 082-108 · BLOC 2 04 SISTEMES D’INEQUACIONS LINEALS L’encreuament...