04 Geometría 3° I Bim Arcangel 2016

8/17/2019 04 Geometría 3° I Bim Arcangel 2016

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11 5 11 5 “M arcando la difercia en valores... hoy y siempre”

.

3°Sec - I Bim.

1 Segmentos

SEGMENTO DE RECTA Es aquella porción de la línea rectaque t iene un punto de inicio y un puntofinal.

PUNTO MEDIO DEUN SEGMENTO

Es aquel punto medio del segmentoque equidista de los extremos del

segmento.

A CB

b b

AB: segmento ABAB = 10u

Notación

S i AM = MB ⇒ “M” es puntomedio de AB.

A

10u

B

Resolución

1. En una recta se ubican los puntosA, B, C y D, tal que AC = 12 yBD = 15. Calcula AD si BC = 4.

A B C D

1512

4

x

C D = BD- BC CD = 15 - 4

C D = 11

x = AD = AC + CD = 12 + 11

x = 23

A B C D

10aa a

x

E4a

2. Los puntos A, B, C, D y E sonconsecutivos y colineales. B y Cson puntos medios de BD y AC.Ca lcular AE si DE = 2(AC) y

CE = 10 u.Resolución

Del gráfico: CE = 5a = 10 a = 2

x = AE = 7a x = 14

Del dato:BD - 4(AB) = 20u

(x + 4a) - 4(a - x) = 20u x + 4a - 4a + 4x = 20u 5x = 20u

x = 4u

A B C D

a 4a

x

3. En una recta se ubican los puntosconsecutivos A, B y D. En BD seubica C, tal que 4(AC) = CD.Calcula BC si BD - 4(AB)= 20u.

Resolución

A B M C

b a a

Reemplazando en la ecuación:

Desarrollando los productosnotables:

Q = 2

Resolución

4. E n u n a r e c t a s e u b i c a nconsecutivamente los puntos A,B, M y C, siendo M punto mediode BC. Calcula el valor de:

(AM) 2 + (AC )2

(AM) 2 + (BM)2Q =

(b) 2 + (b + 2a)2

(a + b)2 + (a)2Q =

b2 + b2 + 4ab + 4a2

a2 + 2ab + b2Q =

4a2 + 4ab + 2b2

2a2 + 2ab + b2Q =

2(2a 2 + 2ab + b2)(2a 2 + 2ab + b2)Q =

5. S i A, B y C son tres puntoscolineales y consecutivos, AB =2x - 9 y BC = 11. Calcula x máx.y xmín si AB < BC.

A B C

2x - 9 11

Sabemos que: 0 < AB < BC

0 < AB AB < BC0 < 2x - 9 2x - 9 < 119 < 2x 2x < 204,5 < x x < 10xmín= 5 xmáx= 9

Resolución




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Geometría

11 6 “M arcando la difercia en valores... hoy y siempre”

Ejercicios Propuest os

11) En una recta se ubican los puntosconsecutivos A, B, C y D, talque 4(AB) - BD - 2(CD) = 4,AB = 3 y AC = 4. Calcula lalongitud del segmento que unelos puntos medios de AB y AD.

a) 7/6 b) 7/2 c) 5/3d) 8/7 e) 1/2

8) Sobre una recta se ubican lospuntos consecutivos A, B, C, Dy E, ta l que AE - BC = 12. Hallala longitud del segmento que unelos puntos medios de AC y BE.

a) 8 b) 10 c) 11d) 4 e) 6

13) En una recta se ubican los puntosconsecutivos A, B, C, D y E, talque (AD)(BE) = 80. Ca lculaAD - BE si AC + BC + C D +CE = 18.

a) 4 b) 2 c) 1d) 5 e) 6

15) S e t i e n e n l o s pu n t o sconsecutivos A, B, C, y D, tal

que 2 AB = 3 BC = 4 CD yAB = 18. Calcula BD.

a) 36 b) 15 c) 24d) 32 e) 21

17) En una recta se ubican los puntosconsecutivos A, B, C, D y E,de modo que AB = 5(BD ) yCE = 6(CD). Si AB - DE = 50,calcula BC/2.

a) 5 b) 8 c) 10d) 25 e) 12

19) Dados los puntos colineales yconsecutivos A, B y C, se tieneque AB = 3 m y AC = 15 m.Sea “M” punto medio de BC,calcula AM.

a) 6 m b) 7 m c) 8 md) 9 m e) 10 m

23) Sean los puntos colineales yconsecutivos A, B, C y D. SiAD + CD = 30u y AC = 10u,calcula AD.

a) 20u b) 25u c) 15ud) 10u e) 12,5u

3) En una recta se ubican los puntosP, Q, R, S y T, de modo que Q yS son puntos medios de PS y RT,respectivamente.Si PR - ST = 14, calcula QR.

a) 7 b) 4 c) 8d) 9 e) 6

4) En una recta se ubican los puntosconsecutivos M, N, P y Q, demodo que a(NP) = b(PQ);NQ = a y MQ = b (a ≠ b).Calcula NP en función dea y b.

a) b) c)

d) e) a . b

a + ba - b

a - ba + b

a . ba + b

a - ba . b

5) En una recta se ubican los puntosconsecutivos P, Q, R, S y T, t alque PR = RT; PQ + RS = 12 yST - QR = 4. Halla PQ.

a) 6 b) 9 c) 8d) 4 e) 3

34) En una recta se ubican los puntosconsecutivos A, B y D. En BD seubica C, ta l que 4(AC) = CD.Calcula BC siBD - 4(AB) = 20u.

a) 2u b) 5u c) 6ud) 4u e) 8u

25) Sobre una recta se consideran lospuntos consecutivos A, B, C y D,tales que AC = 5x, BD = 7x,AD = 36 y BC = 12. Calcula“x”.

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

27) En una recta se ubican los puntosconsecutivos M, O, A y B, siendo

MA + 4(OA)-

2(MB) = 5,OA = 6 y OB = 7. Calcula MO.

a) 9 b) 11 c) 13d) 15 e) 19

29) En una recta se toman los puntosconsecutivos A, B y C, de modoque AB = 12 y BC = 20. Seubican los puntos medios “M”,“N” y “T” de AB, BC y AC,respectivamente. Halla TB.

a) 1 b) 1,5 c) 2d) 2,5 e) 3

33) Los puntos A, B, C, D y E sonconsecutivos y colineales. B y Cson puntos medios de AC y BD.Calcula AE si DE = 2(AC) yCE = 10u.

a) 10u b) 12u c) 14ud) 16u e) 18u




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3°Sec - I Bim.

Resolución: Resoluc ión:

Resoluc ión: Resoluc ión:

A ho ra resuelve t ú

9) Sobre una recta se ubican lospuntos consecutivos A, B, Cy D, tal que AB - B C = 3 yAD + CD = 15. Calcula BD.

a) 1 b) 2 c) 3d) 5 e) 6

10) En una recta se ubican los puntosconsecutivos A, B, C, y D, t al queAB = 12 y BD = 15. Calcula ADsi BC = 4.

a) 15 b) 12 c) 27d) 25 e) 23

12) En una recta se ubican los puntosconsecutivos A, B, C y D, tal queAB = 7 y AC = 12.Además 2(BD) - C D = 13.Calcula AD.

a) 15 b) 12 c) 19d) 19/2 e) 8

14) En una recta se ubican los puntosconsecutivos A, B, C, D y E, talque (AC)(CE) = 14. CalculaAC - CE si AB + BE = 9.

a) 5 b) 4 c) 3d) 2 e) 1




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Geometría


Reforc emo s en casa

1) S e t i e n e c u a t r o p u n t o scolineales A, B, C y D, t ales queC es punto medio del segmentoAD y AB = 2 BC. Halla BC siAD = 12.

a) 1 b) 6 c) 3d) 2 e) 4

2) En una recta se ubican los puntosA, B, C, D y E, de modo que By D son puntos medios de AD yCE, respectivamente.Si AC - DE = 8, calcula BC.

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10

20) En una recta se ubican los puntosconsecutivos A, B, C y D, ta lesque AD = 30 cm, BD = 18 cm yAC = 22 cm. Calcula BC.

a) 8 cm b) 9 cm c) 10 cmd) 11 cm e) 7 cm

21) En una recta se consideran lospuntos consecutivos P, Q y R,donde PQ = 12u. Se ubican lospuntos medios “M” y “N” de PRy RQ, respectivamente. C alculaMN.

a) 3u b) 4u c) 5ud) 6u e) 8u

24) En una recta se toman los puntosconsecutivos A, B, C, D y E, talesque “B” es punto medio de ACy “D” es punto medio de BE.

Calcula AD si AE = 9 BC = 45.

a) 10 b) 15 c) 20d) 25 e) 30

26) En una recta se toman los puntosconsecutivos A, B, C y D, donde3 AB + AD = 4 y CD = 3 BC.Calcula AC.

a) 0,5 b) 1 c) 2d) 1,5 e) 2,5

28) A , B , C y D son pun tosconsecutivos de una recta,donde AB = 3(BC) = 5(CD) yAD = 69. Calcula AB.

a) 28 b) 39 c) 40d) 45 e) 15

22) En una recta se consideran lospuntos consecutivos A, B yC, de modo que AC = 24u yBC = 2(AB). Calcula AB.

a) 4u b) 3u c) 5ud) 6u e) 8u

16) S e t i e n e n l o s pu n t o sconsecutivos A, B, C y D, talque 3 AB = 4 BD = 5 BC yAB = 20. Calcular AD.

a) 20 b) 35 c) 25d) 40 e) 30

18) En una recta se tiene los puntosconsecutivos M, A, O y B, talesque MA = 12u y AB = 16u.Calcula MO si “O” es punto

medio de AB.

a) 17u b) 18u c) 19ud) 29u e) 21u

31) Da do los puntos colinea les A,B, C, D y E, tal que AB = x - 2,B C = x - 5, C D = y - 3,DE = y- 2 y AC = CE. Calculax - y.

a) 5 b) 3 c) 4d) 2 e) 1

32) En una recta están ubicados lospuntos A, B, C, D y E, de modoque BC = 1 m, CD = 2 m,DE = 3 m y AD = a. CalculaAE - AC.

a) 1 m b) 2 m c) 3 md) 4 m e) 5 m




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3°Sec - I Bim.

2 Ángulos

Definición Es aq uella figura que resulta deunir dos rayos cuyo origen común se

denomina vértice.

O A

B

Lados : OB y OA Vértice : O

m AOB =

NOTACIÓN

AOB : ángulo AOBm AOB : medida del á ngulo

AOB.

BISECTRIZ

Es aquel rayo que biseca a un ángulo.

O

B

M

A

“ Todo ángulo en la geometríaplana es positivo y menor o iguala una vuelta”. 0º 360 º

Recuerda

ClasificaciónA) DE ACUERDO A SU MEDIDA

Agudo

O

B

A

0º < < 90 º

Obtuso

B

O A

90 º < < 180 º

Recto

= 90 º

B

AO

Llano

B AO

= 180 º

De una vuelta

O A

B

= 360 º

A O D

B C

m AOD = 180 º = + +

+ + + + = 180º

B) DE ACUERDO A SUS LADOS

Complementarios

+ = 90 º C = 90 º -

O

C

B

A




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3°Sec - I Bim.

Ejercicio s Propu est os

2) Calcula si SSC = 13º .

a) 103 º b) 77 º c) 167 º d) 27 º e) 17 º

x230º

5) Calcula x.

a) 140 º b) 120 º c) 160 º d) 170 º e) 100 º

8) Calcula el mayor de dos ángulossuplementarios sabiendo que el

mayor es el triple del menor. a) 15 º b) 130 º c) 160 º d) 145 º e) 135 º

746 224 veces

3) Calcula si SSS...S = 123º.

a) 33 º b) 57 º c) 213 º d) 123 º e) 53 º

9) Dado los ángulos consecutivosAOB, BOC y COD y se trazanlas biectrices OX y OY de AOBy COD, respectivamente. Hallam XOY si m AOC = 81 º ym BOD = 99º .

a) 99 º b) 100 º c) 78 º d) 90 º e) 81 º

12) Calcula el complemento de unángulo si dicho ángulo es igualal suplemento de 160 º .

a) 20 º b) 40 º c) 60 º d) 65 º e) 70 º

15) Ca lcula x si OP es bisectriz del∢ AOB.

a) 97 º b) 113 º c) 70 º d) 117 º e) 133 º

CB

P

A O

27º

43º

x

16) Calcula la medida de un á ngulo,sabiendo que éste es igual a unoctavo de su suplemento.

a) 20 º b) 22 º c) 25 º d) 30 º e) 106 º

18) En la figura, AC es una recta,m AOD= 160 º y m BOD = 170º.

Calcula m BOD.

a) 30 º b) 70 º c) 120 º d) 150 º e) 160 º

A

B

O

C

D

A X B

C

Y

D

O

22) Si m AOC = 100 º ym BOD = 90º, calcula m XOY.

a) 80 º b) 85 º c) 90 º d) 95 º e) 105 º

O

AB

C

D

21) En el gráfico, OC es bisectrizdel AOD, m AOB = 20 º ym BOD = 60º . C alcula

m BOC.

a) 10 º b) 70 º c) 25 º d) 30 º e) 40 º

34) La suma del suplemento y com-plemento de dos ángulos que sediferencian en 40 º es 140 º . Elmenor ángulo es:

a) 5 º b) 15 º c) 25 º d) 35 º e) 45 º

35) De la figura mostrada, calcula“x”.

a) 140 º b) 130 º c) 150 º d) 100 º e) 120 º

x

30 º

36) En la figura calcula “x” simº+ nº = 160º

a) 95 º b) 105 º c) 90 º d) 100 º e) 120 º

x

mn




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Geometría





17) La diferencia entre el suplementoy el complemento de es igual a 6 . Calcula “ ”.

a) 2 º b) 6 º c) 9 º d) 10 º e) 15 º

14) Ca lcula x si OP es bisectriz del AOB.

a) 35 º b) 40 º c) 75 º

d) 105 º e) 125 º

40 º

xCB

P

A O35 º

27) Del gráfico mostrado, calcula x.

a) 45 º b) 40 º c) 15 º

d) 30 º e) 36 º

2

x

38) La suma del suplemento del complementode un ángulo y el complemento del t ripledel mismo es igual a 130 º . Calcula lamedida de dicho ángulo.

a) 25 º b) 30 º c) 60 º d) 65 º e) 55 º




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3°Sec - I Bim.


1) Calcula si SC = 120 º .

a) 10 º b) 60 º c) 30 º d) 45 º e) 210 º

28 º5x+ 2º

6) Calcula x.

a) 10 º b) 12 º c) 13 º d) 14 º e) 18 º

7) Calcula el menor de dos ánguloscomplementarios sabiendo queel mayor es el doble del menor.

a) 30 º b) 15 º c) 45 º d) 35 º e) 60 º

10) Halla la medida del ánguloque forman las bisectricesde dos ángulos adyacentessuplementarios.

a) 60 º b) 45 º c) 90 º d) 50 º e) 120 º4) Calcula si CCCC...C = 44º.

a) 136 º b) 44 º c) 134 º d) 64 º e) 46 º

327 467 veces

13) Calcula el suplemento delcomplemento de 70 º .

a) 40 º b) 10 º c) 20 º d) 120 º e) 160 º

11) Se t iene los ángulos consecutivosAOB, BOC y COD, ta l quem AOD = 160 º y m BOC = 100º.Halla la medida del ángulo for-mado por las bisectrices de AOCy BOD.

a) 30 º b) 45 º c) 20 º

d) 60 º e) 36 º

23) Se tien e los án gulos consecu-tivos AOB, BOC y COD deta l manera que m AOC +m B O D = 148 º y OA OD .Halla m BOC .

a) 74 º b) 68 º c) 54 º d) 58 º e) 46 º

A

B

C

D

20) En el gráfico OC es la bisectrizdel BOD, m AOB = 20 º ym AO D = 80 º . Ca lcu lam AOC.

a) 30 º b) 50 º c) 60 º d) 80 º e) 70 º

19) Se tienen los ángulos consecutivosAOB, BOC y COD, ademásm AOB + m COD = 70 º .Calcular m XOY, si OX esbisectriz del AOC y OY esbisect riz del m BOD.

a) 25 b) 45 c) 60 d) 35 e) 55

33) Encuentra la mitad de la t erceraparte del complemento delsuplemento de un ángulo quemide 102 º .

a) 1 º b) 2 º c) 3 º d) 4 º e) 84 º

39) Calcula si = 26º .

a) 13 º b) 26 º c) 39 º d) 12 º e) 28 º

32




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Geometría


3 Ángulosentrerectasparalelas

Definición Son aquellas rectas que no tienenpuntos en común.

L2

L1

Si L1 L2 = { } L1 //L 2

ÁNGULOS ENTREPARALELAS

=

=

+ = 180 º

1. ÁNGULOS ALTERNOS

1.1 Internos

1.2 Externos

2. ÁNGULOS CONJ UGADOS

2.1 Internos

+ = 180 º

=

PROPIEDADES

Si L1 // L 2

L1

L2

x

y

z

x + y + z = +

2.2 Externos

3. ÁNGULOSCORRESPONDIENTES

Demostr ación

Obs. : a + b = y

= x + by = b + a

= a + z + + y = x + z + 2(a + b)

+ + y = x + z + 2(y) + + y = x + z + 2y + = x + y + z

Si L1 // L 2

x

y

L1

L2

x + y =

Demostr ación

= x + y

L1

L2

x

y ba

z

xb

az

x

x

y

y

L1

L2




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Geometría


Ejercicio s Propuest os

P

Q

3x+ 40º

2) Calcula x ( P //Q ).

a) 5° b) 10° c) 20°d) 25° e) 30°

60 º+ x

3) Calcula x (L 1 //L 2).

a) 9 º b) 12 º c) 10 ºd) 11 º e) 13 º

2

L1

L2

4) Calcula si L1 //L 2.

a) 30 º b) 5 º c) 25 ºd) 15 º e) 10 º

6) Calcula (L 1 // L 2 // L 3) .

a) 40 º b) 50 º c) 60 ºd) 70 º e) 80 º

L1

L2

6

4

7) Calcula (L1 //L 2).

a) 72 º b) 82 º c) 74 ºd) 84 º e) 92 º

P Q

m

n

150 º

8) Calcula si m //n y P //Q.

a) 89 º b) 102 º c) 120 ºd) 100 º e) 130 º

12) Calcula “x” si L1 //L 2.

a) 16°b) 32°c) 24°d) 18°e) 20°

L1

L2

3x

x

40º

20º24º

+ 70º

+ 80º

L1

L2

L3

50º

70 º

30º

36º 20º

x

L1 L2

15) Calcula si m //n.

a) 70° b) 80° c) 90°d) 60° e) 30°

m

n

20 º

120 º

16) En la figura, calcula x siL1 //L 2.

a) 105 º b) 125 º c) 95 ºd) 135 º e) 115 º

x

2 0 º

x

L2

L1

17) Calcula x si L1 //L 2.

a) 10 º b) 26 º c) 36 ºd) 30 º e) 18 º

4x

x7

L1

L2

22) Calcula si L1 //L 2.

a) 0,5b) 0,3c) 2d) 1e) 1,5

xy

L3

L1

x y

L2

L1240 º

230 º24) Calcula (L1 //L 2)

a) 60 º b) 70 º c) 80 ºd) 90 º e) 100 º




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3°Sec - I Bim.

A

B

C

6

160 º

140 º

30) En el gráfico, L 1 //L 2. Ca lcula .

a) 10 º b) 15 º c) 20 ºd) 5 º e) 25 º

31) Si L1 //L 2, calcula x.

a) 36 º b) 18 º c) 42 ºd) 9 º e) 28 º

L1

L2

2xx

4x

3x


a) 18 º b) 24 º c) 15 ºd) 30 º e) 16 º

L1

L2

2x 5x


a) 100 º b) 150 º c) 110 ºd) 120 º e) 105 º

L2

L120º

2 0 º

3 0 º

x

36) Si L1 //L 2 y + = 66º , calculael valor de y.

a) 133 º b) 114 º c) 166 ºd) 111 º e) 100 º

L1

L2y

L1

L24

4A

N

M B

C

x

37) En la figura mostrada, L 1 //L 2,AM = MB y AN = NC. Calcula

el valor de x.

a) 95 º b) 85 º c) 75 ºd) 65 º e) 45 º




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Geometría





28) Calcula x a //b.

a) 60 º b) 40 º c) 20 ºd) 80 º e) 100 º

a

b

+ x

100 º

L1

L250 º

70º

x

25) Si L1 //L 2 calcula x.

a) 10 º b) 100 º c) 120 ºd) 130 º e) 140 º

13) Calcula “x”, si L1 //L 2.

a) 16°b) 32°c) 24°d) 18°e) 20°

L2

L140º

10º

40º

x

x

x

36º100 º

xa

b

20) Calcula x si a //b.

a) 66 º b) 116 º c) 86 ºd) 96 º e) 80 º




16/31


3°Sec - I Bim.


1) Calcula ( m // n ).

a) 10° b) 20° c) 40°d) 70° e) 15°

m

n

2

100 º+ 2

5) Calcula (L1 //L 2).

a) 40 º b) 50 º c) 60 ºd) 70 º e) 80 º

9) Calcula “x” (L1 //L 2).

a) 54 º b) 36 º c) 64 ºd) 72 º e) 108 º

L2

L1

2

3 x

11) Calcula “x” si L1 //L 2.

a) 50° b) 100° c) 110°d) 55° e) 65°

L1

L2

110 º x

10) Determina “ x” ( a //b ).

a) 60° b) 80° c) 100°d) 120° e) 140°

20º

80ºa

bx

L1

L2

40º

40 º+

14) Calcula “x”, si L1 //L 2.

a) 10°b) 20°c) 35°d) 40°e) 80° L2

L13x

100 º+ x

18) En la figura mostrada, calculael valor de x si + = 25º yL1 //L 2.

a) 100 º b) 105 º c) 120 º

d) 135º e) 175

º

L1

L23

x

3

19) Calcula x (L 1 //L 2).

a) 10 º b) 20 º c) 40 ºd) 60 º e) 80 º

L1

L23x

x80 º

21) Calcula “x” si L1 //L

2 //L

3.

a) 50 º b) 30 º c) 60 ºd) 80 º e) 70 º

L1

L3

L2

60º

70º

x

L1

L2

2k+ 5º

6k+ 15 ºx

26) Si L1 //L 2 calcula x.

a) 15 º b) 25 º c) 60 ºd) 35 º e) 45 º

23) Calcula (L1 //L 2)

a) 20 º b) 30 º c) 40 ºd) 50 º e) 60 º

L1L2

220 º260 º


a) 60 º b) 45 º c) 90 ºd) 36 º e) 18 º

x

L1

L2




17/31

Geometría


4 Triángulos

Definición Un triángulo es la figura formadapor tres segmentos llamados lados.

x

y

z C

B

A

c a

b

1. ELEMENTOSVértices : A, B y CLados : AB, BC y ACMedida de internos : , ,los ángulos externos : x, y, zPerímetro (2P) 2P = a + b + c

ABC : Se lee triángulo ABC.

ClasificaciónA. POR SUS LADOS

Equilátero

60º

P

Q

R60 º 60º

Notación

Isósceles

A

B

C

Escaleno

S U

T

O b s e r v a c i ó n

La base de un triángulo sedenomina al lado del triángulosobre el cual se asienta.

A C

B

Rectángulo( = 90º)

B. POR SUS ÁNGULOS

T E

U

O btusángulo(90 º < < 180 º)

P K

J

Acutángulo(0 º < , , < 90 º )

1) La suma de las medidas de losángulos int ernos es 180 º .

y

x

zA

B

C

+ + = 180 º

x + y + z = 360 º

TeoremasFundamentales




18/31


3°Sec - I Bim.

2) La medida de un ángulo exterior esigual a la suma de las medidas de losángulos internos no adyacentes a él.

A N

M

x

3) En un triángulo, cualquier ladoes mayor que la diferencia de losotros dos y menor que la suma de

los mismos.

B

A C

c a

b

Si a b cb - c < a < b + c

a - c < b < a + c

a - b < c < b + a4) En todo triángulo, a mayor lado

se opone mayor ángulo, además amenor lado se opone menor ángulo.

Q

P R

rp

Si > p > r

m

n

+ = m + n

Teoremas Adicionales

= x + y + z

y

x z

y

m

x

n

x + y = m + n

x

x + 180 º = +

x

yn

m

x + y = m + n

Demostración

1.

x = + +

+ + = x

x

2.

x + y = a + b

x + y = a + b

3.

m = a + n + = b

m + n + = a + b + m + n = a + b

a + b = m + n

nba

b m

1. Calcula x

Resolución:

Del gráfico:50º + 10º + 180º - x = 90º

x = 150 º

x50º

50ºx

xa

y

bx




19/31

Geometría


Ejercicio s Propuest os

xaa

b b

100 º

120 º

3) Calcula “x”.

a) 100 ºb) 80 º

c) 160 ºd) 120 ºe) 135 º

B

A

C

D

x

2x

60º

72º

4) Calcula “x”.

a) 20 ºb) 24 ºc) 36 ºd) 72 ºe) 64 º

6) Determina “x” .

a) 20 º b) 100 º c) 120 ºd) 110 º e) 130 º

130 º

170 º 140 ºx

8) Calcula la suma de los valorespares que puede tomar MN.

a) 12 b) 22 c) 1 8d) 14 e) 20

P

M

3 11

N

5) Calcula “x”.

a) 9b) 6c) 3d) 2e)

x

2

5

9

12) Según el gráfico, calcula m ADC si AE = ED,

m ACD = 40 º y el triánguloABC es equilátero.

a) 40 º b) 80 º c) 20 ºd) 50 º e) 30 º

DB

A C40º

x E

13) Según el gráfico AB = BD yCD = CE. Calcula x.

a) 40 º b) 10 º c) 20 º

d) 30 º e) 50 º

40º

20ºx

EB

A CD

B

A CF

E

D

x

14) Calcula m ABC si: AF = FC = D E = D F = EF

a) 30 º b) 40 º c) 60 ºd) 50 º e) 80 º

xy

z

16) Calcula x + y + z.

a) 60 º b) 120 º c) 180 ºd) 90 º e) 360 º

18) Calcula “x”.

a) 108 ºb) 72 ºc) 36 º d) 20 ºe) 10 º

x

2

2 x

27) Calcula x si es un número entero.

a) 4 º b) 2,5 º c) 6 ºd) 5 º e) 3 º

m

x

n

28) Calcula x si m + n = 130 º .

a) 30 º b) 20 º c) 25 ºd) 15 º e) 35 º

Q

P

R S

60º

80º

140 º

29) Si PQ = QR, calcula m∢

QSR.

a) 30 º b) 40 º c) 20 ºd) 10 º e) 60 º




20/31


3°Sec - I Bim.




50º

10 º

x


a) 120 º b) 150 º c) 100 º

d) 110 º e) 130 º

60 º

45 º

3x

2x10) Calcula “x”.

a) 21 ºb) 41 ºc) 31 º d) 13 ºe) 17 º

B

AF

C

D

E

x

15) Calcula m ACF si BC = CD y - = 50º .

a) 40 º b) 50 º c) 20 ºd) 25 º e) 70 º

yz

40º

22) Calcula x.

a) 100 º b) 180 º c) 200 ºd) 260 º e) 360 º




21/31

Geometría



1) Determina el valor del ángulo“x”.

a) 10 º b) 5 º c) 15 º d) 20 º e) 30 º

40 º

2x+ 10ºx

2 x

2x x

2) Calcula “x”.

a) 20 º b) 15 º c) 18 º d) 12 º e) 10 º

9) Calcula la suma de valores paresque puede tomar PQ.

a) 22 b) 32 c) 72d) 42 e) 52

R

P

413

Q

50 º

x

30º

60º

7) Calcula “x”.

a) 100 º b) 90 º c) 120 ºd) 80 º e) 110 º

x

x

x

33) Calcula x.

a) 30 º b) 72 º c) 54 ºd) 36 º e) 18 º

a

b

x

2x

140 º

32) Calcula x si a //b.

a) 40 º b) 30 º c) 20 ºd) 70 º e) 50 º

2 2

120 º

x

A

B C

34) Calcula x.

a) 100 º b) 150 º c) 160 ºd) 170 º e) 175 º

A

B

CD

50º20º

x

20) En el triángulo ABC, AB = BD.Calcula x.

a) 20 º b) 30 º c) 50 ºd) 60 º e) 70 º

B

A C

72

26) Calcula la suma de los valorespares que puede tomar AC.

a) 6 º b) 8 º c) 7 ºd) 14 º e) 21 º

x 2x

2x2 x

2 x


a) 60 º b) 20 º c) 30 º d) 10 º e) 15 º

70º

w

21) Calcula + + w.

a) 70 º b) 100 º c) 110 º

d) 140º e) 130

º

24) Calcula el máximo valor enteroque puede tomar el tercer ladode un triángulo, sabiendo quedos de sus lados son 5 y 9.

a) 13 º b) 14 º c) 11 ºd) 6 º e) 5 º




22/31


3°Sec - I Bim.

5 LíneasNotables

Es aq uel segmento de recta queparte de un vértice y cae en un puntocualquiera del lado opuesto.

Ceviana

B

E A D C

Es aquel segmento que parte de unvértice y cae en el punto medio del ladoopuesto.

Mediana

A

B

CM

BM : mediana

Es aquel segmento que parte de unvértice y cae de forma perpendicularsobre el lado opuesto.

Altura

TRIÁNGULO ACUTÁNGULO

A

B

CH

BH : a ltura

BD : ceviana interiorBE : ceviana exterior

TRIÁNGULO OBTUSÁNGULO

A

B

HC

TRIÁNGULO RECTÁNGULO

A C

B

H

Es aquella línea recta que cae deforma perpendicular en el punto mediodel lado de un t riángulo.

Mediatriz

A

B

CP

L1

L : mediat riz

Es aq uel segmento de recta quebiseca al ángulo interior o exterior deun t riángulo.

Bisectriz

BH : a ltura

BH: altura

BD : Bisectriz interior

A DC

B

BD : Bisectriz exterior

PropiedadesFundamentales

x

x = 90 º + 2

A

B

CD




23/31

Geometría


x

x

x = 2

ADICIONALES

x = a + b2

x = 90 º - 2

x = a + b2

a

xb

b

x

a

x = b- a2

x = b- a2

a

b

x

b

x a

A.

Demostr aciones

i) + = x + 2 - b ii) a + 2 - b = 2

i) - = x - bii) a - b = 2( - )

Luego: a - b = 2(x - b) a - b = 2x - 2b

= xa + b2

a

x b

2

B.

i) x = + + b ii) a = 2 + 2 + b

x - b = +a - b = 2( + )

Luego: a - b = 2(x - b) a - b = 2x - 2b a + b = 2x

x = a + b2

ax

b

b

1. Ha lla el valor de x en la figura quese muestra.

αα

9x

αα

9x

Del gráfico: 9x = 2(4x+ 10 º) 9x = 8x+ 20º x= 20º

Resolución




24/31


3°Sec - I Bim.


Encuentra "x" si = 50º BF esbisectriz.

a) 60 ºb) 85 ºc) 80 º d) 70 ºe) 65 º

Si BH es altura, calcula "x".

a) 10 ºb) 15 ºc) 20 º d) 25 ºe) 35 º

1)

2

55ºx

A

B

CH

3)

x A

B

CD

En un triángulo PQR, se trazanlas medianas QM y PN . C alcula:

a) 1,5 b) 2,5 c) 6d) 2 e) 3

Ca lcula "x" si AF es bisectrizinterior

a) 90 ºb) 100 ºc) 110 ºd) 120 ºe) 130 º

En un triángulo rectángulo ABC ,m B = 90º, la mediatriz de la hi-potenusa AC interseca a BC en Q.Siendo M el punto medio de ACy m MQC = 54 º, halla m BAC.

a) 36 º b) 54 º c) 27 º

d) 33 º e) 45 º

Halla x en la figura.

a) 95 º b) 100 º c) 75 º

d) 115 º e) 105 º

Halla x en la gura.

a) 30 º b) 50 º c) 10 º

d) 40 º e) 20 º

Ha llar el valor de x, en la figuraque se muestra.

a) 10 º b) 30 º c) 40 º

d) 20 º e) 60 º

En la figura, calcula el valor de x.

a) 80 º b) 40 º c) 10 º

d) 20 º

e) 50º

En el triángulo ABC, se traza lamediana AM y en el triánguloABM se traza la mediana AN. SiBC = 8, calcula MN.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6

6)

12)

x

4x

9x4 x + 1 0 º

13)

20º 40ºx

14)

80º

130 º

x

11)

16)

18)

21)

PRMR

QNNR

80º

40º

x

A C

B

F

+

En el triángulo ABC , la bisectrizexterior del ángulo "C " es paralelaal lado AB, luego el triánguloABC es:

a) Obtusángulob) Rectánguloc) Isóscelesd) Escaleno

e) Rectángulo

22)

Calcula "x".

a) 30 º b) 75 º c) 90 ºd) 45 º e) 60 º

24)

x

2x

B

A C

En un triángulo equilátero ABC setraza la ceviana BR (“R” en AC),de modo que:

2 m ABR = 3 m RBC. Hallam BRA.

a) 76 º b) 82 º c) 84 ºd) 74 º e) 86 º

27)

Calcula "x"

a) 120 º b) 100 º c) 80 ºd) 140 º e) 130 º

34)

x40º 100 º

A C

B

En un triángulo ABC, se trazanla a ltura BH y la bisectriz interiorBF. Luego se trazan la s bisectri-ces de los ángulos BHF y BFCintersecándose en el punto E. Sim BAF es mayor que m BCAen 40 º , determina la medida delángulo HEF.

a) 5 º b) 10 º c) 15 ºd) 20 º e) 30 º

28)

29) Hallar x en:

a) 137 º b) 157 º c) 107 ºd) 147 º e) 127 º

x

66º

29)




25/31

Geometría





En la figura, AB = BC. Calcula "x".

a) 65 º b) 63 º c) 45 ºd) 66 º e) 40 º

23)

70ºx

A M C

F

B Calcula "x".

a) 7b) 14c) 3,5d) 10e) 8

35)

7

x2

A

B

C

Ca lcula "x" si BF es bisectrizinterior

a) 15 ºb) 20 ºc) 30 ºd) 40 ºe) 10 º

En la figura, calcula .

a) 80 º b) 60 º c) 40 º

d) 50 º e) 70 º

15)

3x 2 x -

5 º

35º35º

19)

80º110º

A C

B

F

x




26/31


3°Sec - I Bim.


Calcula " x", si BD es bisectriz delángulo ABC

a) 100 ºb) 105 ºc) 110 ºd) 115 ºe) 120 º

Si BM es mediana del triánguloABC, calcula "x".

a) 3b) 4c) 5d) 6e) 7

2) En la figura, calcula "x" si BH esaltura y BF es bisectriz.

a) 15 ºb) 20 ºc) 25 º d) 30 ºe) 35 º

x

30º

A

B

CH D

4)

x+ 1 16-2xA

B

C

5)

75º 45ºxA D C

B

Halla x en la figura.

a) 20 º b) 10 º c) 50 ºd) 30 º e) 40 º

Ha llar el valor de x en:

a) 60 º b) 75 º c) 90 ºd) 105 º e) 120 º

En la figura, halla x.

a) 130 º b) 120 º c) 150 ºd) 110 º e) 90 º

En un triángulo ABC se traza laaltura BH, tal que la m ABH = 25 º.Si m c = 55º, calcula m ABC .

a) 45 º b) 50 º c) 55 ºd) 60 º e) 65 º

7)

8)

80º

x

9)

60º

x

10)

60º x

Calcula "x".

a) 20 º b) 30 º c) 35 ºd) 45 º e) 25 º

Calcula "x".

a) 10 º b) 5 º c) 20 ºd) 40 º e) 30 º

En un triángulo ABC se trazanlas bisectrices interiores de losángulos A y B que se intersecan enP. Si m APB = 2 m C, hallam C.

a) 50 º b) 30 º c) 10 ºd) 20 º e) 40 º

30)

31)

10º

x

32)

x

x40º

Calcula "x".

a) 10 º b) 20 º c) 15 º

d) 18º

e) 5 º

36) 37)

6x15x

A

B

C

En un triángulo ABC se trazan laaltura BH y la mediana BM, talque AH = 3 y HM = 4. CalculaAC.

a) 10 b) 12 c) 15d) 14 e) 13




27/31

Geometría


6 TriángulosRectángulosNotables

EL TRIÁNGULORECTÁNGULO

BC

c

A

a

b

Elementos: Cat etos: a y b Hipotenusa: c

c2 = a 2 + b 2

En todo trián gulo rectángulo se

cumple el Teorema de Pitágoras.

TRIÁNGULOSRECTÁNGULOS

NOTABLES

Son aquellos triángulos rectángulosque guardan una relación entre susángulos y sus lados.

TRIÁNGULOS EXACTOS

2k

1k

k 3

60°

30°

TRIÁNGULOS APROXIMADOS

4k

3k

5k37°

53°

1kk 5

2k53° /2

1k

3k37° /2

k 10

Demostr ación

4k

1n

n 5

53° /28k

2n

3k

1n

9k

3n

n 10

37° /2

⇒ 2 = 37° ⇒ = 37°2

4k

3k 5k

5k37°

1k

1k

k 2

45°

45°

⇒ 2 = 53° ⇒ = 53°2

4k

3k

5k

5k53°




28/31


3°Sec - I Bim.


13) Calcula “x” si AD = DC.

B

A C

40

53°

a) 8 b) 10 c) 12d) 16 e) 24

E

D

x


x

3

4

5

a) 4 2 b) 3 3 c) 5 2d) 6 3 e) 4 6

CA22°15°

B

D

19) En la figura, AB = 9. Halla BD.

a) 10 b) 12 c) 15d) 16 e) 20

a) 5 2 b) 3 2 c) 2 d) 4 2 e) 5 3

52

CA30°

B

H

N

45°

20) En la figura AC = 20, halla BH.


53°

135°135°x 4

2 2

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

a) 36 b) 37 c) 23 d) 40 e) 29

3Ф /2

Ф

513

CA

B24) Calcula AC.

a) 7 b) 21 c) 5 2 d) 2 e) 17

2 2 2

55x


a) 4 b) 8 c) 4 2 d) 4 3 e) 8 3

60°

4

4

xA

B

D

C

34) De la figura, calcula “x”.

1) Calcula “x”.

a) 6 b) 6 2 c) 8d) 8 2 e) 10 2

x 10

45º 37º

45 º 120º

4x

2) Calcula “x”.

a) 4 6 b) 4 2 c) 4 3 d) 12 e) 2 6

10) En la figura, calcula “x”.

a) 16 b) 18 c) 24d) 32 e) 36

B

CA8°

20 2

45°x

B

CA

6 2

15°30°x


a) 6 b) 6 2 c) 12

d) 16 e) 18

15) En la figura, calcula “x” siBE = EC.

C

B

45º 30º

8 2

A

xE

D

37º

a) 8 b) 10 c) 12d) 16 e) 20




29/31

Geometría



Resoluc ión: Resolución:


A C

B

x

60º 45º

12 3


a) 9 3 b) 9 2 c) 18d) 18 2 e) 18 3

14) En la figura, calcula “x” siAD = D C.

a) 10b) 12c) 14d) 16e) 18

A

CB

8

60°

D 37°

x

a) 6 2 b) 2 c) 2 2 d) 2 7 e) 7

2 2 2

44x



10x

53°

a) 70 b) 71 c) 72 d) 73 e) 75




30/31


3°Sec - I Bim.


3) Calcula “x”.

a) 20 2 b) 5 2 c) 12d) 16 2 e) 12 2

x 20

45º 37º


30ºCA

B

D

60º

x

4

a) 4 3 b) 4 2 c) 8 d) 8 2 e) 8 3

A C

B

x

53º 30º

60


a) 92 b) 96 c) 98d) 104 e) 106

B

CA

12 2

x


a) 20 b) 24 c) 25d) 26 e) 30

8° 37°


x

3

4

2

a) 21 b) 22 c) 23

d) 2 6 e) 5

A

CB45°

18) En la f igura , hal la AE s iEC = 5.

1 5

°

a) 9 2 b) 6 2 c) 9 3 d) 6 e) 4 2

E


10x

37°

a) 10 b) 2 13 c) 13 d) 15 e) 7

A C

B

D

H

60°

45°

a) 3 b) 3 3 c) 2 3

d) 4 e) 4 3

28) Si BD = 6, calcula:BH + CD

A

B

D

C

H

1 5 °

45°

32) De la figura, BH = 3. CalcularBC .

a) 2 2 b) 2 3 c) 2 d) 4 e) 3 3

45°

2

2

x

33) De la figura, calcula “x”.

a) 2+ 2 b) 1+ 2 2 c) 1+ 2d) 2+ 3 e) 2+ 2 2




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Geometría

04 Geometría 3° I Bim Arcangel 2016

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