Sistemas de Colas con capacidad finita M/M/1/N & M/M/k/N

En las anteriores lecturas analizamos diversos sistemas de colas en los cuales no haba restricciones respecto al nmero mximo de personas que podran estar en el sistema. Sin embargo, existen muchas situaciones en las cuales tenemos restricciones de espacio fsico para albergar a todos los clientes que llegan al sistema.Por ejemplo, cuando un cliente llega a hacer una consignacin a una pequea sucursal junto a su casa, puede suceder que esta sucursal este llena. Entonces, no podr ingresar a la lnea de espera y deber regresar en otra ocasin, o seleccionar otra sucursal para hacer su transaccin.Cuando la capacidad del sistema es limitada e impide el acceso de una entidad nueva al sistema, se dice que el sistema rechaza a esta nueva entidad.A continuacin vamos a analizar el ms sencillo de los sistemas de colas con rechazos: el M/M/1/N. Los siguientes son los supuestos bajos con los cuales opera:Supuestos del modelo M/M/1/N El sistema tiene capacidad limitada, lo cual hace que existan rechazos de algunas entidades. En cualquier instante, slo pueden albergarse a N entidades como mximo. El sistema cuenta con un solo canal (un servidor). Los tiempos de servicio entre un cliente y el siguiente son variables e independientes; sin embargo se puede determinar la tasa promedio de servicios. Los tiempos de servicio ocurren de acuerdo a una distribucin de probabilidad exponencial. Las llegadas son descritas usando una distribucin de probabilidad de Poisson y llegan a partir de una poblacin infinita o lo suficientemente grande para asumirla como infinita. Cada llegada es independiente a la llegada anterior pero el promedio de la tasa de llegadas no presenta cambios a lo largo del tiempo. Es decir, el sistema tiene una tasa promedio de llegadas que se mantiene a travs del tiempo. Las entidades son atendidas sobre una disciplina FIFO. El sistema es estable, es decir, .Si estas condiciones son cumplidas, entonces categorizamos a este problema como M/M/1/N, y aplicamos dicho modelo para determinar las caractersticas de operacin de la cola.Si se determina que es igual al promedio de llegadas en un perodo y que es igual al promedio de entidades atendidas en un perodo, que hay k=1 servidor, y que el sistema tiene capacidad para 1 persona en servicio ms N-1 en la cola (para un total de N personas en el sistema) se pueden obtener a partir de estos parmetros las siguientes caractersticas de operacin del sistema:Caractersticas de operacin para un sistema M/M/1/N () Factor de utilizacin del sistema o probabilidad de ocupacin de la instalacin del servicio.

(Pi)Probabilidad de que hayan i personas o entidades en el sistema.

para i=0,1,,N. (L)Nmero de entidades promedio en el sistema.

() Tasa efectiva de entidades que realmente ingresan al sistema.

(B) Nmero promedio de servidores ocupados. Es equivalente al nmero promedio de entidades en servicio.

Las restantes medidas de desempeo se obtienen con base en las expresiones generales para todo sistema de colas, pero teniendo cuidado en que la tasa de llegadas al sistema que se aplica es la tasa de solo aquellas entidades que efectivamente ingresan al sistema:

Tiempo promedio en el sistema:

Tiempo promedio en cola:, Nmero promedio de clientes en cola:.

Tomemos como ejemplo el caso de un sistema de colas presente en un cajero automtico diseado especialmente para usuarios que llegan en vehculo, y que se conoce como drive thru. Este sistema se dise como una baha a la cual llegan los usuarios en auto, se parquean junto al cajero y simplemente desde la ventanilla del chofer realizan toda la transaccin. Si al llegar a esta baha el cajero est ocupado (si hay un vehculo junto al cajero), el auto que llega espera en la fila. La baha tiene capacidad mxima para albergar 3 autos: 1 en servicio, y 2 parqueados justo detrs en la lnea de espera.Los parmetros del sistema son:

1 clientes/hora, clientes/hora, cajero automtico, espacios en el sistema.Asumiendo que los tiempos entre llegadas y los tiempos de servicio se distribuyen exponencialmente, tenemos que ste sera un sistema M/M/1/N.Las caractersticas de operacin de este sistema seran:Caracterstica de operacinUnidad de medidaValor

Clientes/minuto0.2364

BClientes en servicio0.7092

TsMinutos en servicio3

%0.7092

LClientes en el sistema1.3687

WMinutos en el sistema5.7897

LqClientes en cola0.6595

WqMinutos en cola2.7897

P0%0.2908

P3%0.2120

Ahora, qu pasara si incrementramos en un cajero el funcionamiento de este sistema, sin alterar el nmero de espacios en el sistema? Para comparar ambos sistemas debemos ahora analizar la situacin en la cual k>1 (hay ms de un servidor en operacin).Para este tipo de sistemas, se recomienda utilizar el mdulo de anlisis de colas (Queueing Analysis) disponible en el conjunto de aplicaciones que ofrece la herramienta de cmputo Win-QSB.Sabiendo que ste es un problema M/M/2/3, ingresamos la informacin en el programa, por la opcin FILE; NEW.

Seleccin del tipo de problema de colas en Win-QSB

Ahora ingresamos los parmetros de operacin del sistema:

Parmetros del problema - Cola M/M/2/3Note que este sistema opera con un solo espacio en cola, ya que de los 3 espacios que tiene de capacidad, 2 de ellos son asignados a los servidores. Por esto, en queue capacity debemos indicar que slo hay un espacio en cola.Para mayor informacin sobre cmo utilizar Win-QSB y su mdulo de anlisis de colas, consulte el material multimedia.Para este sistema, se obtuvieron los siguientes resultados, asociados con las probabilidades de tener 0, 1, 2 o 3 clientes en el sistema:

Probabilidades en estado estable ejemplo de una cola M/M/2/3Caractersticas de operacin en un sistema M/M/k/NAhora, para calcular las medidas de desempeo en un sistema M/M/k/N, utilizamos la siguiente expresin:

Tiempo promedio en el sistema:

Tiempo promedio en cola:, Nmero promedio de clientes en cola:.Entonces, en nuestro caso, hay 0 clientes con probabilidad .4021, 1 cliente con probabilidad 0.3618, 2 clientes con probabilidad 0.1628, y 3 clientes con probabilidad 0.0733. Con estos datos tenemos que:Caracterstica de operacinUnidad de medidaValor

Clientes/minuto0.2965

BClientes en servicio0.834

TsMinutos en servicio3

%0.417

LClientes en el sistema0.9073

WMinutos en el sistema3.2636

LqClientes en cola0.0733

WqMinutos en cola0.2636

Note que para este sistema, as como para todos los sistemas con capacidad finita, la principal medida de desempeo a calcular es el nmero de entidades en el sistema, L. Para obtener el valor de L, necesitamos nicamente obtener las probabilidades Pi, y aplicar la expresin:

Las medidas restantes, se pueden obtener a partir de las expresiones caractersticas generales (vistas en la lectura No. 3 de la semana 7).En la ltima lectura veremos cmo utilizar esta informacin para determinar el costo promedio del sistema, y tomar decisiones respecto a la configuracin del sistema.