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UNIDAD IV
SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES,
EN DIFERENCIA FINITA
UNIDAD IV
SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES,
EN DIFERENCIA FINITA
Al finalizar esta unidad el alumno debe lograr
clasificar los distintos métodos para la solución de
las ecuaciones diferenciales, y controles durantes
los procesos.
Al finalizar esta unidad el alumno debe lograr
clasificar los distintos métodos para la solución de
las ecuaciones diferenciales, y controles durantes
los procesos.
OBJETIVO TERMINAL DE UNIDAD
OBJETIVO TERMINAL DE UNIDAD
4.1 Describir el método IMPES, como una de las principales procedimientos en solución de las ecuaciones diferenciales en diferencia finita.
4.1 Describir el método IMPES, como una de las principales procedimientos en solución de las ecuaciones diferenciales en diferencia finita.
4.4 Clasificar los controles durantes los procesos para la solución de las ecuaciones diferenciales en diferencia finita4.4 Clasificar los controles durantes los procesos para la solución de las ecuaciones diferenciales en diferencia finita
OBJETIVOS ESPECÍFICOSOBJETIVOS ESPECÍFICOS
4.3 Enunciar otros métodos para la solución de las ecuaciones diferenciales en diferencia finita.4.3 Enunciar otros métodos para la solución de las ecuaciones diferenciales en diferencia finita.
4.2 Definir el método de solución de los sistemas no lineales y lineales, para la solución de las ecuaciones.4.2 Definir el método de solución de los sistemas no lineales y lineales, para la solución de las ecuaciones.
4.1 Métodos de solución de las ecuaciones diferenciales.4.1 Métodos de solución de las ecuaciones diferenciales.
4.1.1 Método IMPES: implícito en presión, Explicito en saturación.
Este método implica una solución implícita en presión y explicita en saturación.
Consiste en reducir las ecuaciones:
4.1.1 Método IMPES: implícito en presión, Explicito en saturación.
Este método implica una solución implícita en presión y explicita en saturación.
Consiste en reducir las ecuaciones:
PcW,O = Po – PW = PcW,O (SW)PcW,O = Po – PW = PcW,O (SW)
Estas ecuaciones se expresan como una única ecuación con la presión como
única incógnita y sin términos de tipo ΔtS. Esto se logra eliminando ΔtSo, ΔtSw
ΔtSg. De la ecuación anterior.
Estas ecuaciones se expresan como una única ecuación con la presión como
única incógnita y sin términos de tipo ΔtS. Esto se logra eliminando ΔtSo, ΔtSw
ΔtSg. De la ecuación anterior.
(Tox)i+1/2(Tox)i+1/2 [(Po)i+1 - (Po)i ][(Po)i+1 - (Po)i ] - - (Tox)i-1/2(Tox)i-1/2[(Po)i - (Po)i-1 ] +[(Po)i - (Po)i-1 ] +
n+1n+1 n+1n+1 n+1n+1n+1n+1n+1n+1n+1n+1
= = ++ (qo)i(qo)i
n+1n+1
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BBSS
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11
Ec. 4.1Ec. 4.1
Ec. 4.2Ec. 4.2
1. - Existen varias formulaciones para resolver los problemas multifásicos.
- En general se toman como incógnitas primarias: Po, Sw, Sg (para 3 fases)
o Po, Sw para casos petróleo-agua.
- Un método de solución bastante extendido es el método IMPES (IMplit
Pressure, Explicit Saturation): Se resuelve primero implícitamente la presión y
luego explícitamente la saturación.
2. Vamos a suponer, para simplificar, pero sin perder lo esencial de la no
linealidad del problema, que los fluidos y la roca son incompresibles, es
decir, f, Bo, Bw constantes (para problema de dos fases: petróleo-agua).
1. - Existen varias formulaciones para resolver los problemas multifásicos.
- En general se toman como incógnitas primarias: Po, Sw, Sg (para 3 fases)
o Po, Sw para casos petróleo-agua.
- Un método de solución bastante extendido es el método IMPES (IMplit
Pressure, Explicit Saturation): Se resuelve primero implícitamente la presión y
luego explícitamente la saturación.
2. Vamos a suponer, para simplificar, pero sin perder lo esencial de la no
linealidad del problema, que los fluidos y la roca son incompresibles, es
decir, f, Bo, Bw constantes (para problema de dos fases: petróleo-agua).
CONSIDERACIONESCONSIDERACIONES
3. En este caso, las ecuaciones para problemas 1D, que eran, en términos genéricos: 3. En este caso, las ecuaciones para problemas 1D, que eran, en términos genéricos:
(Tox)i+1/2 [(Po)i+1 - (Po)i] - (Tox)i-1/2 [(Po)i - (Po)i-1]
(y similarmente para el agua), quedan ahora:(y similarmente para el agua), quedan ahora:
(Tx)i+1/2 (Mox)i+1/2 [(Po)i+1 - (Po)i ] - (Tx)i-1/2 (Mox)i-1/2 [(Po)i - (Po)i-1 ] +n+1 n+1nn+1n+1n
(Tx)i+1/2 (Mwx)i+1/2 [(Pw)i+1 - (Pw)i ] - (Tx)i-1/2 (Mwx)i-1/2 [(Pw)i - (Pw)i-1 ] +n+1 n+1nn+1n+1n
= + (qo)i
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4. Multiplicando por Bo la ec. del petróleo y por Bw la del agua y sumando, queda:4. Multiplicando por Bo la ec. del petróleo y por Bw la del agua y sumando, queda:
(Tx)i+1/2 (Mox)i+1/2(Tx)i+1/2 (Mox)i+1/2 [(Po)i+1 - (Po)i ][(Po)i+1 - (Po)i ] - - (Tx)i-1/2 (Mox)i-1/2 (Tx)i-1/2 (Mox)i-1/2 [(Po)i - (Po)i-1 ]} +[(Po)i - (Po)i-1 ]} +n+1n+1n+1n+1nnn+1n+1n+1n+1
nnBo{Bo{
(Tx)i+1/2 (Mwx)i+1/2(Tx)i+1/2 (Mwx)i+1/2 [(Pw)i+1 - (Pw)i ][(Pw)i+1 - (Pw)i ] - - (Tx)i-1/2 (Mwx)i-1/2 (Tx)i-1/2 (Mwx)i-1/2 [(Pw)i - (Pw)i-1 ]} +[(Pw)i - (Pw)i-1 ]} +n+1n+1Bw{Bw{
(Boqo + Bwqw)i = 0(Boqo + Bwqw)i = 0nn
Sustituyendo (Pw)i (Po)i - (Pcow)i y haciendo Bo = Bw = 1, por ser fluidos
incompresibles, la ecuación queda:
Sustituyendo (Pw)i (Po)i - (Pcow)i y haciendo Bo = Bw = 1, por ser fluidos
incompresibles, la ecuación queda:
n+1n+1n+1n+1 nn
(Tx)i+1/2 (Mox+Mwx)i+1/2(Tx)i+1/2 (Mox+Mwx)i+1/2 [(Po)i+1 - (Po)i ][(Po)i+1 - (Po)i ] - - (Tx)i-1/2 (Mox+Mwx)i-1/2 (Tx)i-1/2 (Mox+Mwx)i-1/2 [(Po)i - (Po)i-1 ] -[(Po)i - (Po)i-1 ] -n+1n+1 n+1n+1nnn+1n+1n+1n+1nn
(Tx)i+1/2 (Mwx)i+1/2 (Tx)i+1/2 (Mwx)i+1/2 [(Pcow)i - (Pcow)i+1 ] +[(Pcow)i - (Pcow)i+1 ] + (Tx)i-1/2 (Mwx)i-1/2 (Tx)i-1/2 (Mwx)i-1/2 [(Pcow)i-1 - (Pcow)i ] +[(Pcow)i-1 - (Pcow)i ] +nn nnnnnnnnnn
(qo + qw)i = 0(qo + qw)i = 0nn
n+1n+1nnn+1n+1n+1n+1
Conseguir la solución a estas ecuaciones es obtener valores de
Po, Pw, So, Sw, tales que:
Conseguir la solución a estas ecuaciones es obtener valores de
Po, Pw, So, Sw, tales que: n+1n+1 n+1n+1n+1n+1 n+1n+1
(Tox)i+1/2(Tox)i+1/2 [(Po)i+1 - (Po)i ] [(Po)i+1 - (Po)i ] - - (Tox)i-1/2(Tox)i-1/2 [(Po)i - (Po)i-1] +[(Po)i - (Po)i-1] +- -
- - (qo)i(qo)i
n+1n+1 n+1n+1n+1n+1n+1n+1n+1n+1n+1n+1 n+1n+1
= 0= 0
(Twx)i+1/2(Twx)i+1/2 [(Pw)i+1 - (Pw)i ] [(Pw)i+1 - (Pw)i ] - - (Twx)i-1/2(Twx)i-1/2 [(Pw)i - (Pw)i-1] +[(Pw)i - (Pw)i-1] +
- -
- - (qw)i(qw)i
n+1n+1 n+1n+1n+1n+1n+1n+1n+1n+1n+1n+1 n+1n+1
= 0= 0
Es decir, consiste en buscar los ceros de estas funciones. Por ser funciones no lineales, suele aplicarse el método de Newton, o Newton-Raphson.Es decir, consiste en buscar los ceros de estas funciones. Por ser funciones no lineales, suele aplicarse el método de Newton, o Newton-Raphson.
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5. Esta ecuación es lineal y, combinada con las correspondientes a todos los bloques, es un sistema de ecuaciones lineales que puede resolverse por los métodos usuales directos o iterativos.
6. Resuelto el sistema
5. Esta ecuación es lineal y, combinada con las correspondientes a todos los bloques, es un sistema de ecuaciones lineales que puede resolverse por los métodos usuales directos o iterativos.
6. Resuelto el sistema presiones en cada nodopresiones en cada nodo
se sustituyen los valores en la ec.más arriba, donde aparecen So y Sw se sustituyen los valores en la ec.más arriba, donde aparecen So y Sw
se despejan explícitamente las saturac.se despejan explícitamente las saturac.
el problema queda resueltoel problema queda resuelto
7. Puede haber problemas de estabilidad que restringen el tamaño del paso de tiempo (time-step), sobre todo si los cambios en saturación son grandes.
Ventaja del IMPES: menor costo computacional por time-step.
Desventaja del IMPES: limitaciones respecto a la estabilidad
7. Puede haber problemas de estabilidad que restringen el tamaño del paso de tiempo (time-step), sobre todo si los cambios en saturación son grandes.
Ventaja del IMPES: menor costo computacional por time-step.
Desventaja del IMPES: limitaciones respecto a la estabilidad
n+1n+1 n+1n+1
8. Los valores de:
utilizados en los métodos implícito en presión – explicito en saturación, son
pendientes de cuerdas trazadas entre los valores evaluados a los niveles de
tiempos n y n+1. dado que los valores dependen de las presiones y las
saturaciones a nivel n+1, las cuales son desconocidas, es necesario estimarlos
al comienzo de cada intervalo de tiempo y luego evaluarlos después de cada
iteración durante la solución.
8. Los valores de:
utilizados en los métodos implícito en presión – explicito en saturación, son
pendientes de cuerdas trazadas entre los valores evaluados a los niveles de
tiempos n y n+1. dado que los valores dependen de las presiones y las
saturaciones a nivel n+1, las cuales son desconocidas, es necesario estimarlos
al comienzo de cada intervalo de tiempo y luego evaluarlos después de cada
iteración durante la solución.
ggwwOOwwggOO SS,,SS,,))BB//RsRs((,,))BB//((,,))BB//(( ,,))BB//((
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Formulación totalmente explícita:Formulación totalmente explícita:
1. Recordemos que las ecuaciones discretizadas quedan así: 1. Recordemos que las ecuaciones discretizadas quedan así:
(Tox)i+1/2,j(Tox)i+1/2,j [(Po)i+1,j - (Po)i,j - rog(Di+1,j - Di,j)] -[(Po)i+1,j - (Po)i,j - rog(Di+1,j - Di,j)] -
- - (Tox)i-1/2,j(Tox)i-1/2,j[(Po)i,j - (Po)i-1,j - rog(Di,j - Di-1,j)] +[(Po)i,j - (Po)i-1,j - rog(Di,j - Di-1,j)] +
+ + (Toy)i,j+1/2(Toy)i,j+1/2 [(Po)i,j+1 - (Po)i,j - rog(Di,j+1 - Di,j)] -[(Po)i,j+1 - (Po)i,j - rog(Di,j+1 - Di,j)] -
- - (Toy)i,j-1/2(Toy)i,j-1/2[(Po)i,j - (Po)i,j-1 - rog(Di,j - Di,j-1)] +[(Po)i,j - (Po)i,j-1 - rog(Di,j - Di,j-1)] +
Y similares para el agua y para el gas, en 2 dimensionesY similares para el agua y para el gas, en 2 dimensiones
= = ++ (qo)i,j(qo)i,j
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2. Vamos a analizar sólo sistemas bifásicos (agua-petróleo), siempre por encima de la presión de burbujeo.
3. Ya hemos visto cómo calcular los valores en la frontera de los bloques (para K, Kro, m, Bo)
4. En la formulación totalmente explícita la discretización espacial se evalúa en el tiempo n. Por tanto queda:
2. Vamos a analizar sólo sistemas bifásicos (agua-petróleo), siempre por encima de la presión de burbujeo.
3. Ya hemos visto cómo calcular los valores en la frontera de los bloques (para K, Kro, m, Bo)
4. En la formulación totalmente explícita la discretización espacial se evalúa en el tiempo n. Por tanto queda:
(Tox)i+1/2,j(Tox)i+1/2,j [(Po)i+1,j - (Po)i,j][(Po)i+1,j - (Po)i,j] - - (Tox)i-1/2,j(Tox)i-1/2,j[(Po)i,j - (Po)i-1,j] +[(Po)i,j - (Po)i-1,j] +
+ + (Toy)i,j+1/2(Toy)i,j+1/2 [(Po)i,j+1 - (Po)i,j][(Po)i,j+1 - (Po)i,j] - - (Toy)i,j-1/2(Toy)i,j-1/2[(Po)i,j - (Po)i,j-1] +[(Po)i,j - (Po)i,j-1] +
= = ++ (qo)i,j(qo)i,j
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(Twx)i+1/2,j(Twx)i+1/2,j [(Pw)i+1,j - (Pw)i,j][(Pw)i+1,j - (Pw)i,j] - - (Twx)i-1/2,j(Twx)i-1/2,j[(Pw)i,j - (Pw)i-1,j] +[(Pw)i,j - (Pw)i-1,j] +
+ + (Twy)i,j+1/2(Twy)i,j+1/2 [(Pw)i,j+1 - (Pw)i,j][(Pw)i,j+1 - (Pw)i,j] - - (Twy)i,j-1/2(Twy)i,j-1/2[(Pw)i,j - (Pw)i,j-1] +[(Pw)i,j - (Pw)i,j-1] +
= = ++ (qw)i,j(qw)i,j
nn
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Todo en el lado izquierdo de la igualdad es conocidoTodo en el lado izquierdo de la igualdad es conocido
b)b)
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4.2.1 Método de solución no lineal (Newton en una variable).4.2.1 Método de solución no lineal (Newton en una variable).
Sea f(x) una función no lineal.Se quiere hallar x, tal que f(x) = 0Sea f(x) una función no lineal.Se quiere hallar x, tal que f(x) = 0
Por Taylor se tiene que:
0 = f(x1) = f(xo) + f´(xo)(x1-xo) + (1/2!)f´´(xo)(x1-xo)2 + ...
Por Taylor se tiene que:
0 = f(x1) = f(xo) + f´(xo)(x1-xo) + (1/2!)f´´(xo)(x1-xo)2 + ...
Cortando la serie después del segundo término y despejando,queda:Cortando la serie después del segundo término y despejando,queda: x1 x1 x0 - f(x0)/f´(x0) x0 - f(x0)/f´(x0)
lo cual, en forma iterativa, queda como:lo cual, en forma iterativa, queda como:xi+1 xi+1 xi - f(xi)/f´(xi) xi - f(xi)/f´(xi)
4.2 Definir el método de solución de los sistemas no lineales y lineales, para la solución de las ecuaciones.4.2 Definir el método de solución de los sistemas no lineales y lineales, para la solución de las ecuaciones.
Método de Newton en dos variables:Método de Newton en dos variables:
Sean f1(x,y) y f2 (x,y) dos funciones no lineales de dos variables.Se quiere hallar (x,y) tal que
f1(x,y) = 0 f2(x,y) = 0
Sean f1(x,y) y f2 (x,y) dos funciones no lineales de dos variables.Se quiere hallar (x,y) tal que
f1(x,y) = 0 f2(x,y) = 0
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Por Taylor:Por Taylor:
Cortando la serie después del segundo término, queda:Cortando la serie después del segundo término, queda:
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y despejando:y despejando:
Así la fórmula recursiva queda:Así la fórmula recursiva queda:
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Ejemplo:Resolver el sistema:Ejemplo:Resolver el sistema: {{x2 + y2 = 1y = 2xx2 + y2 = 1y = 2x x0=0.5, y0=0.5x0=0.5, y0=0.5
Solución:Solución:
Primera iteración:Primera iteración:
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En general no se haya (F´)-1, sino que deEn general no se haya (F´)-1, sino que de
(Matriz de coeficientes)(Matriz de coeficientes)
construimos el sistemaconstruimos el sistema
siendo el vector de incógnitas:siendo el vector de incógnitas:
de donde luego se despeja:de donde luego se despeja:
para la siguiente iteración.para la siguiente iteración.
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Para n funciones con n incógnitas:Para n funciones con n incógnitas:
En este caso tendremos análogamente un sistema así:En este caso tendremos análogamente un sistema así:
es decir,
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Las funciones fi tienen la siguiente forma, como ya vimos:Las funciones fi tienen la siguiente forma, como ya vimos:
fi = -
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fNX = . . .
.
.
.
para el petróleo (en una dimensión) y otras tantas para el agua y el gas (si hubiera más fases). Si el problema es de más dimensiones hay que añadir términos adicionales a las ecuaciones, para considerar el flujo en todas las direcciones.
para el petróleo (en una dimensión) y otras tantas para el agua y el gas (si hubiera más fases). Si el problema es de más dimensiones hay que añadir términos adicionales a las ecuaciones, para considerar el flujo en todas las direcciones.
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Las funciones fi deben tender a 0 (cero) a medida que k se va incrementando:
Las funciones fi deben tender a 0 (cero) a medida que k se va incrementando:
Las incógnitas, en general, son Po, Sw y Sg.Por tanto en la matriz de coeficientes deben ir las derivadas de fi con respecto a estas variables. Es decir, son de alguna de las formas siguientes:
Las incógnitas, en general, son Po, Sw y Sg.Por tanto en la matriz de coeficientes deben ir las derivadas de fi con respecto a estas variables. Es decir, son de alguna de las formas siguientes:
Estas derivadas se aproximannuméricamente, dado que las fi
no pueden derivarse analíticamente
Estas derivadas se aproximannuméricamente, dado que las fi
no pueden derivarse analíticamente
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El número total de ecuaciones (y de incógnitas) será el producto del número de fases en el sistema por el número de celdasEl número total de ecuaciones (y de incógnitas) será el producto del número de fases en el sistema por el número de celdas
- Para resolver el sistema resultante, que es lineal, se aplican diversas
técnicas que estudiaremos enseguida.
- Además de los esquemas aquí analizados (explícito, IMPES, implícito), hay
toda una gama de esquemas intermedios.
- Existen también los métodos implícitos adaptativos: el simulador
selecciona (de acuerdo con ciertos parámetros dados por el usuario o tomados
por “default”) cuáles celdas toma implícitas y cuáles toma explícitas.
- Para resolver el sistema resultante, que es lineal, se aplican diversas
técnicas que estudiaremos enseguida.
- Además de los esquemas aquí analizados (explícito, IMPES, implícito), hay
toda una gama de esquemas intermedios.
- Existen también los métodos implícitos adaptativos: el simulador
selecciona (de acuerdo con ciertos parámetros dados por el usuario o tomados
por “default”) cuáles celdas toma implícitas y cuáles toma explícitas.
- Al aplicar los esquemas IMPES e implícito, los sistemas que finalmente resultan para avanzar en una iteración de Newton son lineales, de la forma
Ax = b
donde A es la matriz de coeficientes, x es el vector de incógnitas y b es un vector de constantes (valores conocidos que engloban valores de la iteración anterior y valores de frontera).
- Hay dos técnicas o métodos fundamentales para encontrar la solución de tales sistemas:
a. Métodos Directosb. Métodos Iterativos
- Como regla empírica, los métodos directos se usan en problemas sencillos y/o con pocas celdas. En los demás casos se usan los iterativos.
- Al aplicar los esquemas IMPES e implícito, los sistemas que finalmente resultan para avanzar en una iteración de Newton son lineales, de la forma
Ax = b
donde A es la matriz de coeficientes, x es el vector de incógnitas y b es un vector de constantes (valores conocidos que engloban valores de la iteración anterior y valores de frontera).
- Hay dos técnicas o métodos fundamentales para encontrar la solución de tales sistemas:
a. Métodos Directosb. Métodos Iterativos
- Como regla empírica, los métodos directos se usan en problemas sencillos y/o con pocas celdas. En los demás casos se usan los iterativos.
4.2.2 Método lineales, para la solución de las ecuaciones.4.2.2 Método lineales, para la solución de las ecuaciones.
Métodos DirectosMétodos Directos
1. El método de eliminación de Gauss, con diferentes variantes, es el método usual disponible en los simuladores. El método consiste en: 1.a- ir haciendo operaciones secuencialmente con las ecuaciones hasta obtener una matriz triangular,
1. El método de eliminación de Gauss, con diferentes variantes, es el método usual disponible en los simuladores. El método consiste en: 1.a- ir haciendo operaciones secuencialmente con las ecuaciones hasta obtener una matriz triangular,
. . . . . . .
. . . . . . .
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. . . . . . .
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1.b- una vez triangularizada la matriz, la solución se consigue fácil y rápidamente despejando las incógnitas comenzando desde abajo (backward substitution)
1.b- una vez triangularizada la matriz, la solución se consigue fácil y rápidamente despejando las incógnitas comenzando desde abajo (backward substitution)
= =
.
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- En un solo paso se obtiene la solución: directamente !- En un solo paso se obtiene la solución: directamente !
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.
.
.
.
.
.
.
. 1,111 /(...) abx
nnnn abx ,/
2. El método de descomposición LU, que consiste en:2. El método de descomposición LU, que consiste en:
2.a- ir haciendo operaciones secuencialmente con las ecuaciones hasta obtener dos matrices triangulares, una triangular inferior L y otra triangular superior U, tales que A=LU
2.a- ir haciendo operaciones secuencialmente con las ecuaciones hasta obtener dos matrices triangulares, una triangular inferior L y otra triangular superior U, tales que A=LU
==AALL
UU
2.b- entonces el problema Ax = b se transforma en LUx = b2.c- se define y = Ux y se resuelve L(Ux) = b, o sea, Ly = b fácilmente por “forward substitution”2.d- finalmente se resuelve Ux = y por “backward substitution” para obtener x, la solución buscada.
2.b- entonces el problema Ax = b se transforma en LUx = b2.c- se define y = Ux y se resuelve L(Ux) = b, o sea, Ly = b fácilmente por “forward substitution”2.d- finalmente se resuelve Ux = y por “backward substitution” para obtener x, la solución buscada.
Métodos Iterativos:Métodos Iterativos:
- Rapidez: Son más rápidos que los directos para problemas grandes o
complejos.
- Número de iteraciones: Depende de varios factores:
1. Dificultades del problema
2. Método seleccionado
3. Precisión requerida
4. Magnitud del problema
- Valores iniciales: Se requieren para arrancar el proceso iterativo.
En simulación de yacimientos, los valores iniciales son las soluciones de la
iteración no lineal anterior. Para pasar de la iteración n+1,k a la n+1,k+1 (de
Newton) se toman las soluciones de la iteración n+1,k como valores iniciales.
- Rapidez: Son más rápidos que los directos para problemas grandes o
complejos.
- Número de iteraciones: Depende de varios factores:
1. Dificultades del problema
2. Método seleccionado
3. Precisión requerida
4. Magnitud del problema
- Valores iniciales: Se requieren para arrancar el proceso iterativo.
En simulación de yacimientos, los valores iniciales son las soluciones de la
iteración no lineal anterior. Para pasar de la iteración n+1,k a la n+1,k+1 (de
Newton) se toman las soluciones de la iteración n+1,k como valores iniciales.
Método SOR aplicado a simulación de yacimientos:Método SOR aplicado a simulación de yacimientos:
Sea un caso monofásico bidimensional:Sea un caso monofásico bidimensional:
9 10 11 12
1 2 3 4
5 6 7 8
La ecuación genérica puede escribirse así:La ecuación genérica puede escribirse así:
Recordar:
Ei,jPi,j - Di,jPi-1,j - Fi,jPi+1,j - Bi,jPi,j-1 - Hi,jPi,j+1 = bi,j
Pi,j-1 - Pi-1,j + (4+)Pi,j - n+1 n+1n+1
Pi+1,j - Pi,j+1 = n+1
Pi,j n+1 n-
Una vez que se ha resuelto el sistema lineal, sea por métodos directos o
iterativos, se ha avanzado una iteración en el método de Newton (el sistema
no lineal), la cual se llama “outer iteration”.
Luego se procede a la siguiente iteración hasta que se considera que
Newton ha convergido. Con esto se termina un paso de tiempo (“time-step”):
se ha pasado del tiempo n al tiempo n+1.
La simulación continúa así hasta el final.
Pueden presentarse problemas de convergencia, tanto en el sistema lineal
como en el no lineal
Remedios: aumentar iteraciones, restringir tamaño de paso de
tiempo, revisar tolerancias, revisar mallado, etc.
Una vez que se ha resuelto el sistema lineal, sea por métodos directos o
iterativos, se ha avanzado una iteración en el método de Newton (el sistema
no lineal), la cual se llama “outer iteration”.
Luego se procede a la siguiente iteración hasta que se considera que
Newton ha convergido. Con esto se termina un paso de tiempo (“time-step”):
se ha pasado del tiempo n al tiempo n+1.
La simulación continúa así hasta el final.
Pueden presentarse problemas de convergencia, tanto en el sistema lineal
como en el no lineal
Remedios: aumentar iteraciones, restringir tamaño de paso de
tiempo, revisar tolerancias, revisar mallado, etc.
Completación del proceso Completación del proceso
4.3.1 Métodos de solución simultanea:
Este método consiste en reducir las ecuaciones anteriores a tres ecuaciones simultaneas con presión al petróleo, al agua y al gas como incógnitas y sin términos del tipo ΔtS. Esto es, las tres ecuaciones, con presión como incógnitas, se obtienen de las ecuaciones 4.1 y 4.2, eliminando ΔtSo, ΔtSw, ΔtSg.
4.3.2 Otros Métodos de solución para flujo multifasico:
Los métodos implícito en presión – explicito en saturación y de solución simultanea son perfectamente satisfactorios para la solución de la mayoría de los problemas de flujo mulfasico, sin embargo resultan inadecuados en casos de flujo convergente, donde de los fluidos que fluye a través de un bloque es varias veces el volumen poroso de dicho bloque, como lo son en los caso de conificación de agua y/o gas. Estos métodos son:
4.3.1 Métodos de solución simultanea:
Este método consiste en reducir las ecuaciones anteriores a tres ecuaciones simultaneas con presión al petróleo, al agua y al gas como incógnitas y sin términos del tipo ΔtS. Esto es, las tres ecuaciones, con presión como incógnitas, se obtienen de las ecuaciones 4.1 y 4.2, eliminando ΔtSo, ΔtSw, ΔtSg.
4.3.2 Otros Métodos de solución para flujo multifasico:
Los métodos implícito en presión – explicito en saturación y de solución simultanea son perfectamente satisfactorios para la solución de la mayoría de los problemas de flujo mulfasico, sin embargo resultan inadecuados en casos de flujo convergente, donde de los fluidos que fluye a través de un bloque es varias veces el volumen poroso de dicho bloque, como lo son en los caso de conificación de agua y/o gas. Estos métodos son:
4.3 Enunciar otros métodos para la solución de las ecuaciones diferenciales en diferencia finita.4.3 Enunciar otros métodos para la solución de las ecuaciones diferenciales en diferencia finita.
Estos métodos son:
4.3.2.1 Método completamente Implícito de Blair y Weinnaug.
Consiste en evaluar la transmisibilidades y términos dwe producción y/o inyección al nivel de tiempo (n+1), implicitamente, resultando asi un sistema de ecuaciones nom lineales, el cual se resuelve por el método iterativo de Newton Raphson, que se presenta a continuación:
Estos métodos son:
4.3.2.1 Método completamente Implícito de Blair y Weinnaug.
Consiste en evaluar la transmisibilidades y términos dwe producción y/o inyección al nivel de tiempo (n+1), implicitamente, resultando asi un sistema de ecuaciones nom lineales, el cual se resuelve por el método iterativo de Newton Raphson, que se presenta a continuación:
Método de Newton en una variable:Método de Newton en una variable:
Sea f(x) una función no lineal. Se quiere hallar x, tal que f(x) = 0Sea f(x) una función no lineal. Se quiere hallar x, tal que f(x) = 0
Por Taylor se tiene que:
0 = f(x1) = f(xo) + f´(xo)(x1-xo) + (1/2!)f´´(xo)(x1-xo)2 + ...
Por Taylor se tiene que:
0 = f(x1) = f(xo) + f´(xo)(x1-xo) + (1/2!)f´´(xo)(x1-xo)2 + ...
Cortando la serie después del segundo término y despejando,queda:Cortando la serie después del segundo término y despejando,queda:
x1 x1 x0 - f(x0)/f´(x0) x0 - f(x0)/f´(x0) forma iterativa:forma iterativa: xi+1 xi+1 xi - f(xi)/f´(xi) xi - f(xi)/f´(xi)
Las funciones fi tienen la siguiente forma:Las funciones fi tienen la siguiente forma:
fi = fi = --
--
para el petróleo (en una dimensión) y otras tantas para el agua y el gas (si
hubiera más fases). Si el problema es de más dimensiones hay que añadir
términos adicionales a las ecuaciones, para considerar el flujo en todas las
direcciones.
para el petróleo (en una dimensión) y otras tantas para el agua y el gas (si
hubiera más fases). Si el problema es de más dimensiones hay que añadir
términos adicionales a las ecuaciones, para considerar el flujo en todas las
direcciones.
nn
iioo
oo
kk,,nn
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BBSS
BBSS
11
kkaann
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iiookknn
iiookknn
iioxoxkknn
iiookknn
iiookknn
iioxoxqqPPPPTTPPPPTT
,,,,11
11,,11,,11
2211
,,11,,11
11,,11
2211
tt
VV ii
4.2.2.2 Método de solución simultáneas utilizando términos de producción y/o inyección implícitamente.
Este método lo presentó Spivak y Coats, y consiste en tratar los términos de producción y/o inyección de manera tal, que bien podrían denominarse semi-implícita.
4.2.2.3 Método IMPES con términos de producción y/o inyección implícitamente.
Este método es descrito por Mcdonald y Coats, consiste en usar un esquema semi-implícito de producción y/o inyección, como el método anterior, pero aplicado el método implícito en presión-explicito en saturación.
4.2.2.4 Método IMPES con términos de producción y/o inyección y transmisibilidades tratadas implícitas.
Este método es descrito por Mcdonald y Coats, consiste en tratar los términos de producción y/o inyección y las permeabilidades relativas de una manera
4.2.2.2 Método de solución simultáneas utilizando términos de producción y/o inyección implícitamente.
Este método lo presentó Spivak y Coats, y consiste en tratar los términos de producción y/o inyección de manera tal, que bien podrían denominarse semi-implícita.
4.2.2.3 Método IMPES con términos de producción y/o inyección implícitamente.
Este método es descrito por Mcdonald y Coats, consiste en usar un esquema semi-implícito de producción y/o inyección, como el método anterior, pero aplicado el método implícito en presión-explicito en saturación.
4.2.2.4 Método IMPES con términos de producción y/o inyección y transmisibilidades tratadas implícitas.
Este método es descrito por Mcdonald y Coats, consiste en tratar los términos de producción y/o inyección y las permeabilidades relativas de una manera
Continuación….
Semi- implícita.
4.2.2.5 Método de solución simultanea con términos de producción y/o inyección y transmisibilidades tratadas implícitamente.
Este método es descrito por Letkeman y Ridings, consiste en lo mismo que el método anterior, pero aplicado al método de solución simultanea.
4.2.2.6 Método semi-implícito de Molen y Berra.
Consiste en resolver simultáneamente dos ecuaciones con presión y saturación de una de las fases como incógnitas.
4.2.2.7 Método secuencial.
Consiste en escribir las ecuaciones de flujo de tal manera que resultan tres ecuaciones con tres incógnitas, presión al petróleo y saturaciones de agua y gas.
Continuación….
Semi- implícita.
4.2.2.5 Método de solución simultanea con términos de producción y/o inyección y transmisibilidades tratadas implícitamente.
Este método es descrito por Letkeman y Ridings, consiste en lo mismo que el método anterior, pero aplicado al método de solución simultanea.
4.2.2.6 Método semi-implícito de Molen y Berra.
Consiste en resolver simultáneamente dos ecuaciones con presión y saturación de una de las fases como incógnitas.
4.2.2.7 Método secuencial.
Consiste en escribir las ecuaciones de flujo de tal manera que resultan tres ecuaciones con tres incógnitas, presión al petróleo y saturaciones de agua y gas.
4.4 Clasificar los controles durantes los procesos para la solución de las ecuaciones diferenciales en diferencia finita.4.4 Clasificar los controles durantes los procesos para la solución de las ecuaciones diferenciales en diferencia finita.
4.4.1 balance de Materiales.
Las ecuaciones de flujo se derivan sobre la base del principio de
conservación de masa, luego las ecuaciones en diferencia finita deben ser
formuladas de manera tal que sea consistentes con este principio. Es decir
satisfacer la ecuación producción neta acumulada debe ser igual al
contenido inicial de fluidos en sitio menos el contenido presente de
contenidos en sitio.
Donde la producción neta acumulada es la diferencia entre la inyección y la
producción acumulada. Esto se debe cumplir para cualquier tiempo sin
error, sin embargo esto no se satisface debido al error de redondeo
ocasionado por el número finito de ecuaciones.
4.4.1 balance de Materiales.
Las ecuaciones de flujo se derivan sobre la base del principio de
conservación de masa, luego las ecuaciones en diferencia finita deben ser
formuladas de manera tal que sea consistentes con este principio. Es decir
satisfacer la ecuación producción neta acumulada debe ser igual al
contenido inicial de fluidos en sitio menos el contenido presente de
contenidos en sitio.
Donde la producción neta acumulada es la diferencia entre la inyección y la
producción acumulada. Esto se debe cumplir para cualquier tiempo sin
error, sin embargo esto no se satisface debido al error de redondeo
ocasionado por el número finito de ecuaciones.
4.4.2 Errores de truncamiento.
Es el error cometido al reemplazar una ecuación diferencial por una
aproximación ec. diferencia.
La solución exacta ( sin errores de redondeo) de una ecuación en diferencias
difiere de la solución de la ecuación diferencial correspondiente, debido a
este error. Matemáticamente puede expresarse como:
4.4.2 Errores de truncamiento.
Es el error cometido al reemplazar una ecuación diferencial por una
aproximación ec. diferencia.
La solución exacta ( sin errores de redondeo) de una ecuación en diferencias
difiere de la solución de la ecuación diferencial correspondiente, debido a
este error. Matemáticamente puede expresarse como:
e T =e
T =
Solución ecuación en forma finita
Solución ecuación en forma finita
Solución de ecuación en
forma de diferencia finita
Solución de ecuación en
forma de diferencia finita
4.4.3 Convergencias, Estabilidad y Consistencia.
Estos conceptos están relacionados con el proceso de solución de una
ecuación diferencial mediante aproximación numérica en diferencias finitas,
se debe considerar las relaciones existentes entre la solución verdadera de
la ecuación diferencial, la solución exacta de la aproximación numérica y la
solución calculada. Se debe definir en base a esto:
Convergencia: implica que P P cuando Δx y Δt 0
Estabilidad: implica que P P durante el proceso de solución. Esto requiere
que el error introducido ( P – P) en algún punto de la malla a un determinado
nivel de tiempo, disminuya o aumente.
Consistencia: Denominada compatibilidad; se refiere a si la ecuación en
diferencias se reduce o no a la ecuación diferencial cuando Δx y Δt 0.
4.4.3 Convergencias, Estabilidad y Consistencia.
Estos conceptos están relacionados con el proceso de solución de una
ecuación diferencial mediante aproximación numérica en diferencias finitas,
se debe considerar las relaciones existentes entre la solución verdadera de
la ecuación diferencial, la solución exacta de la aproximación numérica y la
solución calculada. Se debe definir en base a esto:
Convergencia: implica que P P cuando Δx y Δt 0
Estabilidad: implica que P P durante el proceso de solución. Esto requiere
que el error introducido ( P – P) en algún punto de la malla a un determinado
nivel de tiempo, disminuya o aumente.
Consistencia: Denominada compatibilidad; se refiere a si la ecuación en
diferencias se reduce o no a la ecuación diferencial cuando Δx y Δt 0.
=
==
4.4.4 Estabilidad de los métodos de solución de las ecuaciones
diferenciales.
Este método solo se aplica a las ecuaciones lineales, aunque tales métodos
pueden ser usados de forma simplificada.
En general, las ecuaciones simultáneas de flujo multifásico contienen dos
fuentes de inestabilidad: inestabilidad condicional (restricción del intervalo de
tiempo), debido al tratamiento explícito del las variables. Inestabilidad
existente es ambos métodos, que es debido a la inestabilidad del esquema
explícito de las transmisibilidades.
4.4.5 Dispersión numérica.
Se trata de estimar la pérdida de exactitud cuando se aproximan las
ecuaciones en derivadas parciales por diferencia finitas. Generalmente
aumenta con el incremento en le tamaño de los bloques (Δx,Δy,Δz).
4.4.4 Estabilidad de los métodos de solución de las ecuaciones
diferenciales.
Este método solo se aplica a las ecuaciones lineales, aunque tales métodos
pueden ser usados de forma simplificada.
En general, las ecuaciones simultáneas de flujo multifásico contienen dos
fuentes de inestabilidad: inestabilidad condicional (restricción del intervalo de
tiempo), debido al tratamiento explícito del las variables. Inestabilidad
existente es ambos métodos, que es debido a la inestabilidad del esquema
explícito de las transmisibilidades.
4.4.5 Dispersión numérica.
Se trata de estimar la pérdida de exactitud cuando se aproximan las
ecuaciones en derivadas parciales por diferencia finitas. Generalmente
aumenta con el incremento en le tamaño de los bloques (Δx,Δy,Δz).
4.4.6 Selección correcta de la formulación
Algunos de los problemas requieren de formulaciones más implícitas que
otras. Por ejemplo, si ocurre una conificación simultánea de agua y gas en
un pozo, entonces ocurrirán cambios rápidos de presiones y saturaciones en
un intervalo de tiempo.
4.4.7 Otras técnicas de aproximación numérica.
La mayoría de los modelos de simulación de yacimientos utilizan la técnica
de diferencia finita para aproximar numéricamente las ecuaciones de flujo;
sin embargo existen otras técnica aplicables a tal fin, tales como el método
de Galerkin y los métodos de variaciones.
4.4.6 Selección correcta de la formulación
Algunos de los problemas requieren de formulaciones más implícitas que
otras. Por ejemplo, si ocurre una conificación simultánea de agua y gas en
un pozo, entonces ocurrirán cambios rápidos de presiones y saturaciones en
un intervalo de tiempo.
4.4.7 Otras técnicas de aproximación numérica.
La mayoría de los modelos de simulación de yacimientos utilizan la técnica
de diferencia finita para aproximar numéricamente las ecuaciones de flujo;
sin embargo existen otras técnica aplicables a tal fin, tales como el método
de Galerkin y los métodos de variaciones.