INGENIERIA QUIMICA APLICADA II (TRANSFERENCIA DE CALOR)

Dr Edgar Ayala Herrera

CAPITULO 1

TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONDUCCIOacuteN

La transmisioacuten de calor por conduccioacuten puede realizarse en cualquiera de los tres estados de la materia soacutelido liacutequido y gaseoso Para explicar el mecanismo fiacutesico de la conduccioacuten pensemos en un gas en el que existe un gradiente de temperaturas y no hay movimiento global El gas ocupa todo el espacio entre las dos superficies como se muestra en la figura 1 Asociamos la temperatura del gas en cualquier punto con la energiacutea que poseen sus moleacuteculas en las proximidades de dicho punto Cuando las moleacuteculas vecinas chocan ocurre una transferencia de energiacutea desde las moleacuteculas maacutes energeacuteticas a las menos energeacuteticas En presencia de un gradiente de temperaturas la transferencia de calor por conduccioacuten debe ocurrir en el sentido de la temperatura decreciente esto es en la direccioacuten positiva del eje de las x

Figura 1 Asociacioacuten de la transferencia de calor por conduccioacuten con la difusioacuten de energiacutea debida a la actividad molecular

En los liacutequidos la situacioacuten es muy similar que en los gases aunque las moleacuteculas estaacuten menos espaciadas y las interacciones son maacutes fuertes y frecuentes En los soacutelidos la conduccioacuten se produce por cesioacuten de energiacutea entre partiacuteculas contiguas (vibraciones reticulares) En un soacutelido no conductor la transferencia de energiacutea ocurre solamente por estas vibraciones reticulares en cambio en los soacutelidos conductores se debe tambieacuten al movimiento de traslacioacuten de los electrones libres La conduccioacuten en un medio material goza pues de un soporte que son sus propias moleacuteculas y se puede decir que macroscoacutepicamente no involucra transporte de materia

TRANSMISIOacuteN DE CALOR POR CONDUCCIOacuteN EN REacuteGIMEN ESTACIONARIO Y FLUJO UNIDIRECCIONAL LEY DE FOURIER

La conduccioacuten es el uacutenico mecanismo de transmisioacuten del calor posible en los medios soacutelidos opacos Cuando en estos cuerpos existe un gradiente de temperatura en la direccioacuten x el calor se transmite de la regioacuten de mayor temperatura a la de menor temperatura siendo el

calor transmitido por conduccioacuten k Q proporcional al gradiente de temperatura dT dx y a la superficie A a traveacutes de la cual se transfiere esto es

Q prop A dT dx

en donde T es la temperatura y x la direccioacuten del flujo de calor (no el sentido)El flujo real de calor depende de la conductividad teacutermica k que es una propiedad fiacutesica del cuerpo por lo que la ecuacioacuten anterior se puede expresar en la formaQ = -k A dT dx ec 1

en la que si la superficie A de intercambio teacutermico se expresa en m2 la temperatura en Kelvin(degK ) la distancia x en metros y la transmisioacuten del calor en W las unidades de k seraacuten W mdegK La ecuacioacuten 1 se conoce como Ley de Fourier

Figura 2 Convenio de signos para la transmisioacuten del calor por conduccioacuten

El signo menos (-) es consecuencia del Segundo Principio de la Termodinaacutemica seguacuten el cual el calor debe fluir hacia la zona de temperatura maacutes baja (figura 2) El gradiente de temperaturas es negativo si la temperatura disminuye para valores crecientes de x por lo que si el calor transferido en la direccioacuten positiva debe ser una magnitud positiva en el segundo miembro de la ecuacioacuten anterior hay que introducir un signo negativo

PARED PLANA

Una aplicacioacuten inmediata de la ley de Fourier corresponde al caso de la transmisioacuten del calor a traveacutes de una pared plana figura 3 Cuando las superficies de la pared se encuentran a temperaturas diferentes el calor fluye soacutelo en direccioacuten perpendicular a las superficies Si la conductividad teacutermica es uniforme la integracioacuten de (1) proporciona

Figura 3 Muro plano

en la que L es el espesor de la pared T1 es la temperatura de la superficie de la izquierdax = 0 y T2 es la temperatura de la superficie de la derecha x = L

ANALOGIacuteA ELEacuteCTRICA DE LA CONDUCCIOacuteN

La analogiacutea entre el flujo de calor y la electricidad permite ampliar el problema de la transmisioacuten de calor por conduccioacuten a sistemas maacutes complejos utilizando conceptos desarrollados en la teoriacutea de circuitos eleacutectricos Si la transmisioacuten de calor se considera anaacuteloga al flujo de electricidad la expresioacuten (L k A) equivale a una resistencia y la diferencia de temperaturas a una diferencia de potencial por lo que la ecuacioacuten anterior se puede escribir en forma semejante a la ley de Ohm

La inversa de la resistencia teacutermica es la conductividad teacutermica (k L) W m2K o conductancia teacutermica unitaria del flujo de calor por conduccioacuten

PAREDES PLANAS EN SERIESi el calor se propaga a traveacutes de varias paredes en buen contacto teacutermico capas muacuteltiples el anaacutelisis del flujo de calor en estado estacionario a traveacutes de todas las secciones tiene que ser elmismo Sin embargo y tal como se indica en la figura 4 en un sistema de tres capas los gradientes de temperatura en eacutestas son distintos El calor transmitido se puede expresar para cada seccioacuten y como es el mismo para todas las secciones se puede poner

Figura 4 Pared compuesta

en la que T1 y n T +1 son la temperatura superficial de la capa 1 y la temperatura superficial de la capa n respectivamente

PAREDES EN PARALELO

Las ecuaciones anteriores se pueden utilizar en la resolucioacuten de problemas maacutes complejos en los que la conduccioacuten tiene lugar en paredes dispuestas en paralelo

Figura 5 Transmisioacuten de calor a traveacutes de una pared con dos secciones en paralelo

La figura 5 muestra un bloque formado por dos materiales de aacutereas 1 A y 2 A en paralelo En este caso hay que tener en cuenta que para una determinada diferencia de temperaturas a traveacutes del bloque cada capa del conjunto se puede analizar por separado teniendo presentes las condiciones impuestas para el flujo unidimensional a traveacutes de cada una de las dos secciones Si la diferencia de temperaturas entre los materiales en contacto es pequentildea el flujo de calor paralelo a las capas dominaraacute sobre cualquier otro flujo normal a eacutestas por lo que el problema se puede tratar como unidireccional sin peacuterdida importante de exactitud Como el calor fluye a traveacutes de los dos materiales seguacuten trayectorias separadas el flujo total de calor k Q seraacute la suma de los dos flujos

en la que el aacuterea total de transmisioacuten del calor es la suma de las dos aacutereas individuales y la inversa de la resistencia total es igual a la suma de las inversas de todas las resistencias individuales

PAREDES COMPUESTAS

Una aplicacioacuten maacutes compleja del enfoque del circuito teacutermico seriacutea la indicada en la figura 6 en la cual el calor se transfiere a traveacutes de una estructura formada por una resistencia teacutermica en serie otra en paralelo y una tercera en serie

Figura 6 Circuito teacutermico en serie-paralelo-serie

Para este sistema el flujo teacutermico por unidad de superficie es

en la que n es el nuacutemero de capas en serie i R es la resistencia teacutermica de la capa i y global ΔT es la diferencia de temperaturas entre las dos superficies exteriores El anaacutelisis del circuito precedente supone flujo unidimensional Si las resistencias B R y C R son muy diferentes los efectos bidimensionales pueden ser importantes

SISTEMAS RADIALES

Los sistemas ciliacutendricos y esfeacutericos a menudo experimentan gradientes de temperatura soacutelo en la direccioacuten radial y por consiguiente se tratan como unidireccionales Ademaacutes bajo condiciones de estado estacionario sin generacioacuten de calor estos sistemas sepueden analizar usando la expresioacuten de la Ley de Fourier en las coordenadas adecuadas

Paredes ciliacutendricas

Considere el cilindro hueco de la figura 7 cuyas superficie externa e interna se exponen a fluidos de diferente temperaturas Para condiciones de estado estacionario sin generacioacuten interna de calor la ley de Fourier en coordenadas ciliacutendricas se expresa como

Siendo r Q una constante en la direccioacuten radial Si consideramos tambieacuten la forma del aacuterea de transferencia para esta geometriacutea nos queda

donde A = 2π rL es el aacuterea normal a la direccioacuten de transferencia de calor Escribiendo la ecuacioacuten anterior en teacutermino de integrales con las condiciones de frontera(r1)1 s 1 T r = T y (r2) 2 s 2 T r = T obtenemos

Si considerando k = constante y resolvemos nos queda

Tambieacuten es posible obtener la distribucioacuten de temperaturas en la direccioacuten radial en el cilindro esto es

En el caso de la pared ciliacutendrica la distribucioacuten de temperaturas ya no es lineal sino logariacutetmica De este resultado es evidente que la resistencia teacutermica para la conduccioacuten radial es de la forma

Figura 7 Cilindro hueco con condiciones convectivas en la superficie

Paredes esfeacutericas Considere la esfera hueca de la figura 8 Para el estado estacionario y condiciones unidimensionales Q r es constante y la forma apropiada para la ley de Fourier es

donde es el aacuterea normal a la direccioacuten de transferencia de calor luego la ecuacioacuten anterior se puede expresar en forma integral como

Resolviendo bajo la suposicioacuten que la conductividad teacutermica es constante obtenemos

y la distribucioacuten de temperaturas en la esfera vendraacute dada por

CONDUCTIVIDAD TEacuteRMICA

La conductividad teacutermica k es una propiedad de los materiales que excepto en el caso de los gases a bajas temperaturas no es posible predecir analiacuteticamente La informacioacuten disponible estaacute basada en medidas experimentalesEn general la conductividad teacutermica de un material variacutea con la temperatura pero en muchas situaciones praacutecticas si el sistema tiene una temperatura media se puede considerar con un valor medio constante lo que proporciona resultados bastante satisfactoriosEn la Tabla 1 se relacionan los valores tiacutepicos de la conductividad teacutermica de algunos metales soacutelidos no metaacutelicos liacutequidos y gases que nos dan una idea del orden de magnitud con que se presenta en la praacutectica mientras que en las figura 9 se presenta una graacutefica de conductividades teacutermicas entre 0 y 450 WmK para metales y aleaciones (buenos conductores teacutermicos)

En la figura 10 se muestra que el rango de conductividades teacutermicas para algunos gases y liacutequidos es entre 0 y 08 W mK observaacutendose la gran diferencia existente entre sus coeficientes de conductividad k

En los materiales conductores el mecanismo de la transmisioacuten de calor por conduccioacuten estaacute asociado a las vibraciones de la estructura reticular y al movimiento de los electrones libres (metales y aleaciones) al igual que en los conductores eleacutectricos por lo que materiales buenos conductores de la electricidad son tambieacuten en general buenos conductores del calor (cobre plata aluminio etc)

Los aislantes teacutermicos (vidrio plaacutesticos etc) que requieren de una estructura porosa y un gas atrapado en la misma son tambieacuten buenos aislantes eleacutectricos En estos materiales la transferencia de calor puede tener lugar de diversas formas

a) Conduccioacuten a traveacutes de la estructura soacutelida porosa o fibrosab) Conduccioacuten yo conveccioacuten a traveacutes del aire atrapado en los espacios vaciacuteosc) Radiacioacuten entre porciones de la estructura soacutelida lo cual es especialmente importante a temperaturas elevadas o en recintos vaciacuteos

Se han desarrollado materiales superaislantes para aplicaciones criogeacutenicas que constan de varias capas de materiales altamente reflectantes separados por espacios vaciacuteos que minimizan la conduccioacuten y la conveccioacuten alcanzaacutendose conductividades teacutermicas del orden de 002 W mK

En muchos materiales el valor de k no es constante sino que variacutea con la temperatura y con la composicioacuten quiacutemica de los mismos Cuando soacutelo depende de la temperatura se puede poner el valor de k en la forma

siendo k0 el valor de la conductividad a la temperatura de referencia y β una constante(Coeficiente de dilatacioacuten) En tal caso la integracioacuten de la ecuacioacuten de Fourier proporciona

en la que k m es el valor de k a la temperatura

COEFICIENTES DE CONDUCTIVIDAD TEacuteRMICA PARA LAS ALEACIONES

En la figura 9 se muestra el comportamiento de la conductividad teacutermica de algunos metales y aleaciones (cobre aluminio acero al carbono acero inoxidable 18-8 etc) con la temperaturaLa conductividad teacutermica de las aleaciones en general y de los aceros en particular se puede determinar mediante la relacioacuten

en la que 0 k es la conductividad teacutermica del metal base y 1 2 n ξ ξ 1048610ξ son unos factores de correccioacuten de dicha conductividad propios de cada metal que la caracterizan La conductividad teacutermica del hierro puro viene representada en la figura 11 mientras que los factores caracteriacutesticos de los metales adicionales que entran en la composicioacuten de un acero aleado ξ1ξ2 1048610ξn en la figura 12

CONDUCTIVIDAD TEacuteRMICA DE LIacuteQUIDOS-

En la figura 10 se indica la conductividad teacutermica de algunos liacutequidos en funcioacuten de la temperatura observaacutendose que la conductividad teacutermica de los liacutequidos decrece a medida que aumenta su temperatura excepto en el caso del agua pero el cambio es tan pequentildeo que en la mayor parte de las situaciones praacutecticas la conductividad teacutermica se puede suponer constante para ciertos intervalos de temperatura asimismo en los liacutequidos no hay una dependencia apreciable con la presioacuten debido a que eacutestos son praacutecticamente incompresibles

Para la determinacioacuten de la difusividad teacutermica en liacutequidos se propone la foacutermula

en la que M es la masa molecular y ρ la densidad del liacutequido

Como la ecuacioacuten no es homogeacutenea conviene precisar las unidades en que se deben expresar las magnitudes que en ella figuran k en Kcal (mhoraordmC) ρ en (kg dm3 ) y cp en (Kcal kgordm C)

Para definir la variacioacuten de la conductividad teacutermica k en funcioacuten de la temperatura Riedel propone la ecuacioacuten

siendo T r la temperatura reducida igual a T rT K la conductividad a la temperatura T r = T con T r en K k K la conductividad a la temperatura criacutetica T K en K

En el caso en que se desconozca la conductividad k K la ecuacioacuten anterior se puede emplear para determinar la conductividad a una temperatura para la que no existen resultados de medida en estas circunstancias el valor de k K se calcula para unas ciertas condiciones en las que se conozca T K con ayuda de la citada ecuacioacuten Si no se conoce T K se pueden determinar los valores de k K y de T K efectuando dos medidas de k a temperaturas suficientemente espaciadas una de otra Esta ecuacioacuten se puede utilizar para temperaturas reducidas del orden de 09 aproximadamente

La conductividad de los liacutequidos variacutea con la temperatura En las proximidades del punto criacutetico disminuye maacutes raacutepidamente ya que la conductividad del vapor es siempre maacutes baja Si se conocen la conductividad del vapor saturado seco k y la temperatura criacutetica del liacutequido

T K en K la conductividad del liacutequido a la temperatura de saturacioacuten se puede deducir con ayuda de la Tabla 2 de la siguiente relacioacuten

CONDUCTIVIDAD TEacuteRMICA DE GASES Y VAPORES-

En la figura 10 y a tiacutetulo de ejemplo se muestran algunas conductividades teacutermicas de gases y vapores observaacutendose su variacioacuten con la temperatura La conductividad teacutermica de los gases crece con la presioacuten pero este aumento a presiones normales es tan pequentildeo que se puede despreciar Sin embargo en las proximidades del punto criacutetico y para presiones o muy bajas o muy altas la variacioacuten de la conductividad teacutermica en funcioacuten de la presioacuten no se puede despreciar La conductividad teacutermica de los gases se incrementa con la raiacutez cuadrada de la temperatura absoluta Los gases presentan conductividades teacutermicas muy bajas tanto maacutes cuanto maacutes elevado es su peso molecular Por analogiacutea con el proceso de la transmisioacuten del calor y sobre la base de la teoriacutea molecular se propone la siguiente relacioacuten (Sutherland) entre la conductividad y la viscosidad dinaacutemica de un gas de la forma

en la que C es una constante con dimensiones de temperatura y ε un coeficiente numeacuterico que depende del nuacutemero n de aacutetomos contenidos en la moleacutecula de la forma

En la Tabla 3 se indican los valores de C y 0 η para diversos gases industriales

RESISTENCIA DE CONTACTO

Cuando superficies a distintas temperaturas se ponen en contacto aparece una resistencia teacutermica en la interface de los soacutelidos que se conoce como resistencia de contacto y que

se desarrolla cuando los dos materiales no ajustan exactamente por lo que entre ambos puede quedar atrapada una delgada capa de fluido Una vista ampliada del contacto entre las dos superficies mostrariacutea que los soacutelidos se tocan soacutelo en picos superficiales mientras que los huecos estariacutean ocupados por un fluido o el vaciacuteo La resistencia de la interface depende de

bull La rugosidad superficialbull La presioacuten que mantiene en contacto las dos superficiesbull Del fluido de la interfacebull De su temperatura

En la interface el mecanismo de la transmisioacuten del calor y su determinacioacuten es complejo la conduccioacuten del calor tiene lugar a traveacutes de los puntos de contacto del soacutelido en forma tridimensional por cuanto el calor se transmite por las aacutereas de contacto a traveacutes del fluido de la interface por conveccioacuten y entre las superficies por radiacioacuten Si el calor a traveacutes de las superficies soacutelidas en contacto es Q la diferencia de temperaturas a traveacutes del fluido que separa los dos soacutelidos es ΔTi y la resistencia de contacto R i se puede expresar en funcioacuten de una conductancia interfacial h i W m 2K se tiene

Cuando las dos superficies estaacuten en contacto teacutermico perfecto la diferencia de temperaturas a traveacutes de la interface es nula por lo que su resistencia teacutermica es cero Un contacto teacutermico imperfecto tiene lugar cuando existe una diferencia de temperaturas en la interface La resistencia por contacto depende de la presioacuten con que se mantiene el contacto y muestra un descenso notable cuando se alcanza el liacutemite elaacutestico de alguno de los materialesEn los soacutelidos mecaacutenicamente unidos no se suele considerar la resistencia de la interface a pesar de que siempre estaacute presente Sin embargo hay que conocer la existencia de la resistencia de la interface y la diferencia de temperaturas resultante a traveacutes de la misma En superficies rugosas y bajas presiones de unioacuten la caiacuteda de temperatura a traveacutes de la interface puede ser importante incluso dominante y hay que tenerla en cuenta La problemaacutetica de la resistencia de la interface es compleja y no existe ninguna teoriacutea o base de datos empiacutericos que la describa exactamente para situaciones de intereacutes industrial

CONDUCCIOacuteN DE CALOR EN ESTADO TRANSITORIO Y EN MULTIDIRECCIONAL

Para resolver problemas maacutes generales de transferencia de calor por conduccioacuten esto es cuando existe el estado transitorio o el flujo de calor no es unidireccional es necesario resolver la ecuacioacuten general del calor cuya forma maacutes general es

normalmente denominado capacidad teacutermica volumeacutetrica mide la capacidad de un material para almacenar energiacutea teacutermica El cociente entre la conductividad teacutermica y la capacidad teacutermica se lo denomina difusividad teacutermica α que constituye una importante propiedad que tiene unidades de (m 2 s) Mide la capacidad de un material para conducir energiacutea teacutermica en relacioacuten con su capacidad para almacenar energiacutea Materiales con α grande responderaacuten raacutepidamente a cambios en su medio teacutermico mientras que materiales con α pequentildeos tardan maacutes en alcanzar una nueva condicioacuten de equilibrio

calor transmitido por conduccioacuten k Q proporcional al gradiente de temperatura dT dx y a la superficie A a traveacutes de la cual se transfiere esto es

Q prop A dT dx

en donde T es la temperatura y x la direccioacuten del flujo de calor (no el sentido)El flujo real de calor depende de la conductividad teacutermica k que es una propiedad fiacutesica del cuerpo por lo que la ecuacioacuten anterior se puede expresar en la formaQ = -k A dT dx ec 1

en la que si la superficie A de intercambio teacutermico se expresa en m2 la temperatura en Kelvin(degK ) la distancia x en metros y la transmisioacuten del calor en W las unidades de k seraacuten W mdegK La ecuacioacuten 1 se conoce como Ley de Fourier

Figura 2 Convenio de signos para la transmisioacuten del calor por conduccioacuten

El signo menos (-) es consecuencia del Segundo Principio de la Termodinaacutemica seguacuten el cual el calor debe fluir hacia la zona de temperatura maacutes baja (figura 2) El gradiente de temperaturas es negativo si la temperatura disminuye para valores crecientes de x por lo que si el calor transferido en la direccioacuten positiva debe ser una magnitud positiva en el segundo miembro de la ecuacioacuten anterior hay que introducir un signo negativo

PARED PLANA

Una aplicacioacuten inmediata de la ley de Fourier corresponde al caso de la transmisioacuten del calor a traveacutes de una pared plana figura 3 Cuando las superficies de la pared se encuentran a temperaturas diferentes el calor fluye soacutelo en direccioacuten perpendicular a las superficies Si la conductividad teacutermica es uniforme la integracioacuten de (1) proporciona

Figura 3 Muro plano

en la que L es el espesor de la pared T1 es la temperatura de la superficie de la izquierdax = 0 y T2 es la temperatura de la superficie de la derecha x = L

ANALOGIacuteA ELEacuteCTRICA DE LA CONDUCCIOacuteN

La analogiacutea entre el flujo de calor y la electricidad permite ampliar el problema de la transmisioacuten de calor por conduccioacuten a sistemas maacutes complejos utilizando conceptos desarrollados en la teoriacutea de circuitos eleacutectricos Si la transmisioacuten de calor se considera anaacuteloga al flujo de electricidad la expresioacuten (L k A) equivale a una resistencia y la diferencia de temperaturas a una diferencia de potencial por lo que la ecuacioacuten anterior se puede escribir en forma semejante a la ley de Ohm

La inversa de la resistencia teacutermica es la conductividad teacutermica (k L) W m2K o conductancia teacutermica unitaria del flujo de calor por conduccioacuten

PAREDES PLANAS EN SERIESi el calor se propaga a traveacutes de varias paredes en buen contacto teacutermico capas muacuteltiples el anaacutelisis del flujo de calor en estado estacionario a traveacutes de todas las secciones tiene que ser elmismo Sin embargo y tal como se indica en la figura 4 en un sistema de tres capas los gradientes de temperatura en eacutestas son distintos El calor transmitido se puede expresar para cada seccioacuten y como es el mismo para todas las secciones se puede poner

Figura 4 Pared compuesta

en la que T1 y n T +1 son la temperatura superficial de la capa 1 y la temperatura superficial de la capa n respectivamente

PAREDES EN PARALELO

Las ecuaciones anteriores se pueden utilizar en la resolucioacuten de problemas maacutes complejos en los que la conduccioacuten tiene lugar en paredes dispuestas en paralelo

Figura 5 Transmisioacuten de calor a traveacutes de una pared con dos secciones en paralelo

La figura 5 muestra un bloque formado por dos materiales de aacutereas 1 A y 2 A en paralelo En este caso hay que tener en cuenta que para una determinada diferencia de temperaturas a traveacutes del bloque cada capa del conjunto se puede analizar por separado teniendo presentes las condiciones impuestas para el flujo unidimensional a traveacutes de cada una de las dos secciones Si la diferencia de temperaturas entre los materiales en contacto es pequentildea el flujo de calor paralelo a las capas dominaraacute sobre cualquier otro flujo normal a eacutestas por lo que el problema se puede tratar como unidireccional sin peacuterdida importante de exactitud Como el calor fluye a traveacutes de los dos materiales seguacuten trayectorias separadas el flujo total de calor k Q seraacute la suma de los dos flujos

en la que el aacuterea total de transmisioacuten del calor es la suma de las dos aacutereas individuales y la inversa de la resistencia total es igual a la suma de las inversas de todas las resistencias individuales

PAREDES COMPUESTAS

Una aplicacioacuten maacutes compleja del enfoque del circuito teacutermico seriacutea la indicada en la figura 6 en la cual el calor se transfiere a traveacutes de una estructura formada por una resistencia teacutermica en serie otra en paralelo y una tercera en serie

Figura 6 Circuito teacutermico en serie-paralelo-serie

Para este sistema el flujo teacutermico por unidad de superficie es

en la que n es el nuacutemero de capas en serie i R es la resistencia teacutermica de la capa i y global ΔT es la diferencia de temperaturas entre las dos superficies exteriores El anaacutelisis del circuito precedente supone flujo unidimensional Si las resistencias B R y C R son muy diferentes los efectos bidimensionales pueden ser importantes

SISTEMAS RADIALES

Los sistemas ciliacutendricos y esfeacutericos a menudo experimentan gradientes de temperatura soacutelo en la direccioacuten radial y por consiguiente se tratan como unidireccionales Ademaacutes bajo condiciones de estado estacionario sin generacioacuten de calor estos sistemas sepueden analizar usando la expresioacuten de la Ley de Fourier en las coordenadas adecuadas

Paredes ciliacutendricas

Considere el cilindro hueco de la figura 7 cuyas superficie externa e interna se exponen a fluidos de diferente temperaturas Para condiciones de estado estacionario sin generacioacuten interna de calor la ley de Fourier en coordenadas ciliacutendricas se expresa como

Siendo r Q una constante en la direccioacuten radial Si consideramos tambieacuten la forma del aacuterea de transferencia para esta geometriacutea nos queda

donde A = 2π rL es el aacuterea normal a la direccioacuten de transferencia de calor Escribiendo la ecuacioacuten anterior en teacutermino de integrales con las condiciones de frontera(r1)1 s 1 T r = T y (r2) 2 s 2 T r = T obtenemos

Si considerando k = constante y resolvemos nos queda

Tambieacuten es posible obtener la distribucioacuten de temperaturas en la direccioacuten radial en el cilindro esto es

En el caso de la pared ciliacutendrica la distribucioacuten de temperaturas ya no es lineal sino logariacutetmica De este resultado es evidente que la resistencia teacutermica para la conduccioacuten radial es de la forma

Figura 7 Cilindro hueco con condiciones convectivas en la superficie

Paredes esfeacutericas Considere la esfera hueca de la figura 8 Para el estado estacionario y condiciones unidimensionales Q r es constante y la forma apropiada para la ley de Fourier es

donde es el aacuterea normal a la direccioacuten de transferencia de calor luego la ecuacioacuten anterior se puede expresar en forma integral como

Resolviendo bajo la suposicioacuten que la conductividad teacutermica es constante obtenemos

y la distribucioacuten de temperaturas en la esfera vendraacute dada por

CONDUCTIVIDAD TEacuteRMICA

La conductividad teacutermica k es una propiedad de los materiales que excepto en el caso de los gases a bajas temperaturas no es posible predecir analiacuteticamente La informacioacuten disponible estaacute basada en medidas experimentalesEn general la conductividad teacutermica de un material variacutea con la temperatura pero en muchas situaciones praacutecticas si el sistema tiene una temperatura media se puede considerar con un valor medio constante lo que proporciona resultados bastante satisfactoriosEn la Tabla 1 se relacionan los valores tiacutepicos de la conductividad teacutermica de algunos metales soacutelidos no metaacutelicos liacutequidos y gases que nos dan una idea del orden de magnitud con que se presenta en la praacutectica mientras que en las figura 9 se presenta una graacutefica de conductividades teacutermicas entre 0 y 450 WmK para metales y aleaciones (buenos conductores teacutermicos)

En la figura 10 se muestra que el rango de conductividades teacutermicas para algunos gases y liacutequidos es entre 0 y 08 W mK observaacutendose la gran diferencia existente entre sus coeficientes de conductividad k

En los materiales conductores el mecanismo de la transmisioacuten de calor por conduccioacuten estaacute asociado a las vibraciones de la estructura reticular y al movimiento de los electrones libres (metales y aleaciones) al igual que en los conductores eleacutectricos por lo que materiales buenos conductores de la electricidad son tambieacuten en general buenos conductores del calor (cobre plata aluminio etc)

Los aislantes teacutermicos (vidrio plaacutesticos etc) que requieren de una estructura porosa y un gas atrapado en la misma son tambieacuten buenos aislantes eleacutectricos En estos materiales la transferencia de calor puede tener lugar de diversas formas

a) Conduccioacuten a traveacutes de la estructura soacutelida porosa o fibrosab) Conduccioacuten yo conveccioacuten a traveacutes del aire atrapado en los espacios vaciacuteosc) Radiacioacuten entre porciones de la estructura soacutelida lo cual es especialmente importante a temperaturas elevadas o en recintos vaciacuteos

Se han desarrollado materiales superaislantes para aplicaciones criogeacutenicas que constan de varias capas de materiales altamente reflectantes separados por espacios vaciacuteos que minimizan la conduccioacuten y la conveccioacuten alcanzaacutendose conductividades teacutermicas del orden de 002 W mK

En muchos materiales el valor de k no es constante sino que variacutea con la temperatura y con la composicioacuten quiacutemica de los mismos Cuando soacutelo depende de la temperatura se puede poner el valor de k en la forma

siendo k0 el valor de la conductividad a la temperatura de referencia y β una constante(Coeficiente de dilatacioacuten) En tal caso la integracioacuten de la ecuacioacuten de Fourier proporciona

en la que k m es el valor de k a la temperatura

COEFICIENTES DE CONDUCTIVIDAD TEacuteRMICA PARA LAS ALEACIONES

En la figura 9 se muestra el comportamiento de la conductividad teacutermica de algunos metales y aleaciones (cobre aluminio acero al carbono acero inoxidable 18-8 etc) con la temperaturaLa conductividad teacutermica de las aleaciones en general y de los aceros en particular se puede determinar mediante la relacioacuten

en la que 0 k es la conductividad teacutermica del metal base y 1 2 n ξ ξ 1048610ξ son unos factores de correccioacuten de dicha conductividad propios de cada metal que la caracterizan La conductividad teacutermica del hierro puro viene representada en la figura 11 mientras que los factores caracteriacutesticos de los metales adicionales que entran en la composicioacuten de un acero aleado ξ1ξ2 1048610ξn en la figura 12

CONDUCTIVIDAD TEacuteRMICA DE LIacuteQUIDOS-

En la figura 10 se indica la conductividad teacutermica de algunos liacutequidos en funcioacuten de la temperatura observaacutendose que la conductividad teacutermica de los liacutequidos decrece a medida que aumenta su temperatura excepto en el caso del agua pero el cambio es tan pequentildeo que en la mayor parte de las situaciones praacutecticas la conductividad teacutermica se puede suponer constante para ciertos intervalos de temperatura asimismo en los liacutequidos no hay una dependencia apreciable con la presioacuten debido a que eacutestos son praacutecticamente incompresibles

Para la determinacioacuten de la difusividad teacutermica en liacutequidos se propone la foacutermula

en la que M es la masa molecular y ρ la densidad del liacutequido

Como la ecuacioacuten no es homogeacutenea conviene precisar las unidades en que se deben expresar las magnitudes que en ella figuran k en Kcal (mhoraordmC) ρ en (kg dm3 ) y cp en (Kcal kgordm C)

Para definir la variacioacuten de la conductividad teacutermica k en funcioacuten de la temperatura Riedel propone la ecuacioacuten

siendo T r la temperatura reducida igual a T rT K la conductividad a la temperatura T r = T con T r en K k K la conductividad a la temperatura criacutetica T K en K

En el caso en que se desconozca la conductividad k K la ecuacioacuten anterior se puede emplear para determinar la conductividad a una temperatura para la que no existen resultados de medida en estas circunstancias el valor de k K se calcula para unas ciertas condiciones en las que se conozca T K con ayuda de la citada ecuacioacuten Si no se conoce T K se pueden determinar los valores de k K y de T K efectuando dos medidas de k a temperaturas suficientemente espaciadas una de otra Esta ecuacioacuten se puede utilizar para temperaturas reducidas del orden de 09 aproximadamente

La conductividad de los liacutequidos variacutea con la temperatura En las proximidades del punto criacutetico disminuye maacutes raacutepidamente ya que la conductividad del vapor es siempre maacutes baja Si se conocen la conductividad del vapor saturado seco k y la temperatura criacutetica del liacutequido

T K en K la conductividad del liacutequido a la temperatura de saturacioacuten se puede deducir con ayuda de la Tabla 2 de la siguiente relacioacuten

CONDUCTIVIDAD TEacuteRMICA DE GASES Y VAPORES-

En la figura 10 y a tiacutetulo de ejemplo se muestran algunas conductividades teacutermicas de gases y vapores observaacutendose su variacioacuten con la temperatura La conductividad teacutermica de los gases crece con la presioacuten pero este aumento a presiones normales es tan pequentildeo que se puede despreciar Sin embargo en las proximidades del punto criacutetico y para presiones o muy bajas o muy altas la variacioacuten de la conductividad teacutermica en funcioacuten de la presioacuten no se puede despreciar La conductividad teacutermica de los gases se incrementa con la raiacutez cuadrada de la temperatura absoluta Los gases presentan conductividades teacutermicas muy bajas tanto maacutes cuanto maacutes elevado es su peso molecular Por analogiacutea con el proceso de la transmisioacuten del calor y sobre la base de la teoriacutea molecular se propone la siguiente relacioacuten (Sutherland) entre la conductividad y la viscosidad dinaacutemica de un gas de la forma

en la que C es una constante con dimensiones de temperatura y ε un coeficiente numeacuterico que depende del nuacutemero n de aacutetomos contenidos en la moleacutecula de la forma

En la Tabla 3 se indican los valores de C y 0 η para diversos gases industriales

RESISTENCIA DE CONTACTO

Cuando superficies a distintas temperaturas se ponen en contacto aparece una resistencia teacutermica en la interface de los soacutelidos que se conoce como resistencia de contacto y que

se desarrolla cuando los dos materiales no ajustan exactamente por lo que entre ambos puede quedar atrapada una delgada capa de fluido Una vista ampliada del contacto entre las dos superficies mostrariacutea que los soacutelidos se tocan soacutelo en picos superficiales mientras que los huecos estariacutean ocupados por un fluido o el vaciacuteo La resistencia de la interface depende de

bull La rugosidad superficialbull La presioacuten que mantiene en contacto las dos superficiesbull Del fluido de la interfacebull De su temperatura

En la interface el mecanismo de la transmisioacuten del calor y su determinacioacuten es complejo la conduccioacuten del calor tiene lugar a traveacutes de los puntos de contacto del soacutelido en forma tridimensional por cuanto el calor se transmite por las aacutereas de contacto a traveacutes del fluido de la interface por conveccioacuten y entre las superficies por radiacioacuten Si el calor a traveacutes de las superficies soacutelidas en contacto es Q la diferencia de temperaturas a traveacutes del fluido que separa los dos soacutelidos es ΔTi y la resistencia de contacto R i se puede expresar en funcioacuten de una conductancia interfacial h i W m 2K se tiene

Cuando las dos superficies estaacuten en contacto teacutermico perfecto la diferencia de temperaturas a traveacutes de la interface es nula por lo que su resistencia teacutermica es cero Un contacto teacutermico imperfecto tiene lugar cuando existe una diferencia de temperaturas en la interface La resistencia por contacto depende de la presioacuten con que se mantiene el contacto y muestra un descenso notable cuando se alcanza el liacutemite elaacutestico de alguno de los materialesEn los soacutelidos mecaacutenicamente unidos no se suele considerar la resistencia de la interface a pesar de que siempre estaacute presente Sin embargo hay que conocer la existencia de la resistencia de la interface y la diferencia de temperaturas resultante a traveacutes de la misma En superficies rugosas y bajas presiones de unioacuten la caiacuteda de temperatura a traveacutes de la interface puede ser importante incluso dominante y hay que tenerla en cuenta La problemaacutetica de la resistencia de la interface es compleja y no existe ninguna teoriacutea o base de datos empiacutericos que la describa exactamente para situaciones de intereacutes industrial

CONDUCCIOacuteN DE CALOR EN ESTADO TRANSITORIO Y EN MULTIDIRECCIONAL

Para resolver problemas maacutes generales de transferencia de calor por conduccioacuten esto es cuando existe el estado transitorio o el flujo de calor no es unidireccional es necesario resolver la ecuacioacuten general del calor cuya forma maacutes general es

normalmente denominado capacidad teacutermica volumeacutetrica mide la capacidad de un material para almacenar energiacutea teacutermica El cociente entre la conductividad teacutermica y la capacidad teacutermica se lo denomina difusividad teacutermica α que constituye una importante propiedad que tiene unidades de (m 2 s) Mide la capacidad de un material para conducir energiacutea teacutermica en relacioacuten con su capacidad para almacenar energiacutea Materiales con α grande responderaacuten raacutepidamente a cambios en su medio teacutermico mientras que materiales con α pequentildeos tardan maacutes en alcanzar una nueva condicioacuten de equilibrio

Figura 3 Muro plano

en la que L es el espesor de la pared T1 es la temperatura de la superficie de la izquierdax = 0 y T2 es la temperatura de la superficie de la derecha x = L

ANALOGIacuteA ELEacuteCTRICA DE LA CONDUCCIOacuteN

La analogiacutea entre el flujo de calor y la electricidad permite ampliar el problema de la transmisioacuten de calor por conduccioacuten a sistemas maacutes complejos utilizando conceptos desarrollados en la teoriacutea de circuitos eleacutectricos Si la transmisioacuten de calor se considera anaacuteloga al flujo de electricidad la expresioacuten (L k A) equivale a una resistencia y la diferencia de temperaturas a una diferencia de potencial por lo que la ecuacioacuten anterior se puede escribir en forma semejante a la ley de Ohm

La inversa de la resistencia teacutermica es la conductividad teacutermica (k L) W m2K o conductancia teacutermica unitaria del flujo de calor por conduccioacuten

PAREDES PLANAS EN SERIESi el calor se propaga a traveacutes de varias paredes en buen contacto teacutermico capas muacuteltiples el anaacutelisis del flujo de calor en estado estacionario a traveacutes de todas las secciones tiene que ser elmismo Sin embargo y tal como se indica en la figura 4 en un sistema de tres capas los gradientes de temperatura en eacutestas son distintos El calor transmitido se puede expresar para cada seccioacuten y como es el mismo para todas las secciones se puede poner

Figura 4 Pared compuesta

en la que T1 y n T +1 son la temperatura superficial de la capa 1 y la temperatura superficial de la capa n respectivamente

PAREDES EN PARALELO

Las ecuaciones anteriores se pueden utilizar en la resolucioacuten de problemas maacutes complejos en los que la conduccioacuten tiene lugar en paredes dispuestas en paralelo

Figura 5 Transmisioacuten de calor a traveacutes de una pared con dos secciones en paralelo

La figura 5 muestra un bloque formado por dos materiales de aacutereas 1 A y 2 A en paralelo En este caso hay que tener en cuenta que para una determinada diferencia de temperaturas a traveacutes del bloque cada capa del conjunto se puede analizar por separado teniendo presentes las condiciones impuestas para el flujo unidimensional a traveacutes de cada una de las dos secciones Si la diferencia de temperaturas entre los materiales en contacto es pequentildea el flujo de calor paralelo a las capas dominaraacute sobre cualquier otro flujo normal a eacutestas por lo que el problema se puede tratar como unidireccional sin peacuterdida importante de exactitud Como el calor fluye a traveacutes de los dos materiales seguacuten trayectorias separadas el flujo total de calor k Q seraacute la suma de los dos flujos

en la que el aacuterea total de transmisioacuten del calor es la suma de las dos aacutereas individuales y la inversa de la resistencia total es igual a la suma de las inversas de todas las resistencias individuales

PAREDES COMPUESTAS

Una aplicacioacuten maacutes compleja del enfoque del circuito teacutermico seriacutea la indicada en la figura 6 en la cual el calor se transfiere a traveacutes de una estructura formada por una resistencia teacutermica en serie otra en paralelo y una tercera en serie

Figura 6 Circuito teacutermico en serie-paralelo-serie

Para este sistema el flujo teacutermico por unidad de superficie es

en la que n es el nuacutemero de capas en serie i R es la resistencia teacutermica de la capa i y global ΔT es la diferencia de temperaturas entre las dos superficies exteriores El anaacutelisis del circuito precedente supone flujo unidimensional Si las resistencias B R y C R son muy diferentes los efectos bidimensionales pueden ser importantes

SISTEMAS RADIALES

Los sistemas ciliacutendricos y esfeacutericos a menudo experimentan gradientes de temperatura soacutelo en la direccioacuten radial y por consiguiente se tratan como unidireccionales Ademaacutes bajo condiciones de estado estacionario sin generacioacuten de calor estos sistemas sepueden analizar usando la expresioacuten de la Ley de Fourier en las coordenadas adecuadas

Paredes ciliacutendricas

Considere el cilindro hueco de la figura 7 cuyas superficie externa e interna se exponen a fluidos de diferente temperaturas Para condiciones de estado estacionario sin generacioacuten interna de calor la ley de Fourier en coordenadas ciliacutendricas se expresa como

Siendo r Q una constante en la direccioacuten radial Si consideramos tambieacuten la forma del aacuterea de transferencia para esta geometriacutea nos queda

donde A = 2π rL es el aacuterea normal a la direccioacuten de transferencia de calor Escribiendo la ecuacioacuten anterior en teacutermino de integrales con las condiciones de frontera(r1)1 s 1 T r = T y (r2) 2 s 2 T r = T obtenemos

Si considerando k = constante y resolvemos nos queda

Tambieacuten es posible obtener la distribucioacuten de temperaturas en la direccioacuten radial en el cilindro esto es

En el caso de la pared ciliacutendrica la distribucioacuten de temperaturas ya no es lineal sino logariacutetmica De este resultado es evidente que la resistencia teacutermica para la conduccioacuten radial es de la forma

Figura 7 Cilindro hueco con condiciones convectivas en la superficie

Paredes esfeacutericas Considere la esfera hueca de la figura 8 Para el estado estacionario y condiciones unidimensionales Q r es constante y la forma apropiada para la ley de Fourier es

donde es el aacuterea normal a la direccioacuten de transferencia de calor luego la ecuacioacuten anterior se puede expresar en forma integral como

Resolviendo bajo la suposicioacuten que la conductividad teacutermica es constante obtenemos

y la distribucioacuten de temperaturas en la esfera vendraacute dada por

CONDUCTIVIDAD TEacuteRMICA

La conductividad teacutermica k es una propiedad de los materiales que excepto en el caso de los gases a bajas temperaturas no es posible predecir analiacuteticamente La informacioacuten disponible estaacute basada en medidas experimentalesEn general la conductividad teacutermica de un material variacutea con la temperatura pero en muchas situaciones praacutecticas si el sistema tiene una temperatura media se puede considerar con un valor medio constante lo que proporciona resultados bastante satisfactoriosEn la Tabla 1 se relacionan los valores tiacutepicos de la conductividad teacutermica de algunos metales soacutelidos no metaacutelicos liacutequidos y gases que nos dan una idea del orden de magnitud con que se presenta en la praacutectica mientras que en las figura 9 se presenta una graacutefica de conductividades teacutermicas entre 0 y 450 WmK para metales y aleaciones (buenos conductores teacutermicos)

En la figura 10 se muestra que el rango de conductividades teacutermicas para algunos gases y liacutequidos es entre 0 y 08 W mK observaacutendose la gran diferencia existente entre sus coeficientes de conductividad k

En los materiales conductores el mecanismo de la transmisioacuten de calor por conduccioacuten estaacute asociado a las vibraciones de la estructura reticular y al movimiento de los electrones libres (metales y aleaciones) al igual que en los conductores eleacutectricos por lo que materiales buenos conductores de la electricidad son tambieacuten en general buenos conductores del calor (cobre plata aluminio etc)

Los aislantes teacutermicos (vidrio plaacutesticos etc) que requieren de una estructura porosa y un gas atrapado en la misma son tambieacuten buenos aislantes eleacutectricos En estos materiales la transferencia de calor puede tener lugar de diversas formas

a) Conduccioacuten a traveacutes de la estructura soacutelida porosa o fibrosab) Conduccioacuten yo conveccioacuten a traveacutes del aire atrapado en los espacios vaciacuteosc) Radiacioacuten entre porciones de la estructura soacutelida lo cual es especialmente importante a temperaturas elevadas o en recintos vaciacuteos

Se han desarrollado materiales superaislantes para aplicaciones criogeacutenicas que constan de varias capas de materiales altamente reflectantes separados por espacios vaciacuteos que minimizan la conduccioacuten y la conveccioacuten alcanzaacutendose conductividades teacutermicas del orden de 002 W mK

En muchos materiales el valor de k no es constante sino que variacutea con la temperatura y con la composicioacuten quiacutemica de los mismos Cuando soacutelo depende de la temperatura se puede poner el valor de k en la forma

siendo k0 el valor de la conductividad a la temperatura de referencia y β una constante(Coeficiente de dilatacioacuten) En tal caso la integracioacuten de la ecuacioacuten de Fourier proporciona

en la que k m es el valor de k a la temperatura

COEFICIENTES DE CONDUCTIVIDAD TEacuteRMICA PARA LAS ALEACIONES

En la figura 9 se muestra el comportamiento de la conductividad teacutermica de algunos metales y aleaciones (cobre aluminio acero al carbono acero inoxidable 18-8 etc) con la temperaturaLa conductividad teacutermica de las aleaciones en general y de los aceros en particular se puede determinar mediante la relacioacuten

en la que 0 k es la conductividad teacutermica del metal base y 1 2 n ξ ξ 1048610ξ son unos factores de correccioacuten de dicha conductividad propios de cada metal que la caracterizan La conductividad teacutermica del hierro puro viene representada en la figura 11 mientras que los factores caracteriacutesticos de los metales adicionales que entran en la composicioacuten de un acero aleado ξ1ξ2 1048610ξn en la figura 12

CONDUCTIVIDAD TEacuteRMICA DE LIacuteQUIDOS-

En la figura 10 se indica la conductividad teacutermica de algunos liacutequidos en funcioacuten de la temperatura observaacutendose que la conductividad teacutermica de los liacutequidos decrece a medida que aumenta su temperatura excepto en el caso del agua pero el cambio es tan pequentildeo que en la mayor parte de las situaciones praacutecticas la conductividad teacutermica se puede suponer constante para ciertos intervalos de temperatura asimismo en los liacutequidos no hay una dependencia apreciable con la presioacuten debido a que eacutestos son praacutecticamente incompresibles

Para la determinacioacuten de la difusividad teacutermica en liacutequidos se propone la foacutermula

en la que M es la masa molecular y ρ la densidad del liacutequido

Como la ecuacioacuten no es homogeacutenea conviene precisar las unidades en que se deben expresar las magnitudes que en ella figuran k en Kcal (mhoraordmC) ρ en (kg dm3 ) y cp en (Kcal kgordm C)

Para definir la variacioacuten de la conductividad teacutermica k en funcioacuten de la temperatura Riedel propone la ecuacioacuten

siendo T r la temperatura reducida igual a T rT K la conductividad a la temperatura T r = T con T r en K k K la conductividad a la temperatura criacutetica T K en K

En el caso en que se desconozca la conductividad k K la ecuacioacuten anterior se puede emplear para determinar la conductividad a una temperatura para la que no existen resultados de medida en estas circunstancias el valor de k K se calcula para unas ciertas condiciones en las que se conozca T K con ayuda de la citada ecuacioacuten Si no se conoce T K se pueden determinar los valores de k K y de T K efectuando dos medidas de k a temperaturas suficientemente espaciadas una de otra Esta ecuacioacuten se puede utilizar para temperaturas reducidas del orden de 09 aproximadamente

La conductividad de los liacutequidos variacutea con la temperatura En las proximidades del punto criacutetico disminuye maacutes raacutepidamente ya que la conductividad del vapor es siempre maacutes baja Si se conocen la conductividad del vapor saturado seco k y la temperatura criacutetica del liacutequido

T K en K la conductividad del liacutequido a la temperatura de saturacioacuten se puede deducir con ayuda de la Tabla 2 de la siguiente relacioacuten

CONDUCTIVIDAD TEacuteRMICA DE GASES Y VAPORES-

En la figura 10 y a tiacutetulo de ejemplo se muestran algunas conductividades teacutermicas de gases y vapores observaacutendose su variacioacuten con la temperatura La conductividad teacutermica de los gases crece con la presioacuten pero este aumento a presiones normales es tan pequentildeo que se puede despreciar Sin embargo en las proximidades del punto criacutetico y para presiones o muy bajas o muy altas la variacioacuten de la conductividad teacutermica en funcioacuten de la presioacuten no se puede despreciar La conductividad teacutermica de los gases se incrementa con la raiacutez cuadrada de la temperatura absoluta Los gases presentan conductividades teacutermicas muy bajas tanto maacutes cuanto maacutes elevado es su peso molecular Por analogiacutea con el proceso de la transmisioacuten del calor y sobre la base de la teoriacutea molecular se propone la siguiente relacioacuten (Sutherland) entre la conductividad y la viscosidad dinaacutemica de un gas de la forma

en la que C es una constante con dimensiones de temperatura y ε un coeficiente numeacuterico que depende del nuacutemero n de aacutetomos contenidos en la moleacutecula de la forma

En la Tabla 3 se indican los valores de C y 0 η para diversos gases industriales

RESISTENCIA DE CONTACTO

Cuando superficies a distintas temperaturas se ponen en contacto aparece una resistencia teacutermica en la interface de los soacutelidos que se conoce como resistencia de contacto y que

se desarrolla cuando los dos materiales no ajustan exactamente por lo que entre ambos puede quedar atrapada una delgada capa de fluido Una vista ampliada del contacto entre las dos superficies mostrariacutea que los soacutelidos se tocan soacutelo en picos superficiales mientras que los huecos estariacutean ocupados por un fluido o el vaciacuteo La resistencia de la interface depende de

bull La rugosidad superficialbull La presioacuten que mantiene en contacto las dos superficiesbull Del fluido de la interfacebull De su temperatura

En la interface el mecanismo de la transmisioacuten del calor y su determinacioacuten es complejo la conduccioacuten del calor tiene lugar a traveacutes de los puntos de contacto del soacutelido en forma tridimensional por cuanto el calor se transmite por las aacutereas de contacto a traveacutes del fluido de la interface por conveccioacuten y entre las superficies por radiacioacuten Si el calor a traveacutes de las superficies soacutelidas en contacto es Q la diferencia de temperaturas a traveacutes del fluido que separa los dos soacutelidos es ΔTi y la resistencia de contacto R i se puede expresar en funcioacuten de una conductancia interfacial h i W m 2K se tiene

Cuando las dos superficies estaacuten en contacto teacutermico perfecto la diferencia de temperaturas a traveacutes de la interface es nula por lo que su resistencia teacutermica es cero Un contacto teacutermico imperfecto tiene lugar cuando existe una diferencia de temperaturas en la interface La resistencia por contacto depende de la presioacuten con que se mantiene el contacto y muestra un descenso notable cuando se alcanza el liacutemite elaacutestico de alguno de los materialesEn los soacutelidos mecaacutenicamente unidos no se suele considerar la resistencia de la interface a pesar de que siempre estaacute presente Sin embargo hay que conocer la existencia de la resistencia de la interface y la diferencia de temperaturas resultante a traveacutes de la misma En superficies rugosas y bajas presiones de unioacuten la caiacuteda de temperatura a traveacutes de la interface puede ser importante incluso dominante y hay que tenerla en cuenta La problemaacutetica de la resistencia de la interface es compleja y no existe ninguna teoriacutea o base de datos empiacutericos que la describa exactamente para situaciones de intereacutes industrial

CONDUCCIOacuteN DE CALOR EN ESTADO TRANSITORIO Y EN MULTIDIRECCIONAL

Para resolver problemas maacutes generales de transferencia de calor por conduccioacuten esto es cuando existe el estado transitorio o el flujo de calor no es unidireccional es necesario resolver la ecuacioacuten general del calor cuya forma maacutes general es

normalmente denominado capacidad teacutermica volumeacutetrica mide la capacidad de un material para almacenar energiacutea teacutermica El cociente entre la conductividad teacutermica y la capacidad teacutermica se lo denomina difusividad teacutermica α que constituye una importante propiedad que tiene unidades de (m 2 s) Mide la capacidad de un material para conducir energiacutea teacutermica en relacioacuten con su capacidad para almacenar energiacutea Materiales con α grande responderaacuten raacutepidamente a cambios en su medio teacutermico mientras que materiales con α pequentildeos tardan maacutes en alcanzar una nueva condicioacuten de equilibrio

Figura 4 Pared compuesta

en la que T1 y n T +1 son la temperatura superficial de la capa 1 y la temperatura superficial de la capa n respectivamente

PAREDES EN PARALELO

Las ecuaciones anteriores se pueden utilizar en la resolucioacuten de problemas maacutes complejos en los que la conduccioacuten tiene lugar en paredes dispuestas en paralelo

Figura 5 Transmisioacuten de calor a traveacutes de una pared con dos secciones en paralelo

La figura 5 muestra un bloque formado por dos materiales de aacutereas 1 A y 2 A en paralelo En este caso hay que tener en cuenta que para una determinada diferencia de temperaturas a traveacutes del bloque cada capa del conjunto se puede analizar por separado teniendo presentes las condiciones impuestas para el flujo unidimensional a traveacutes de cada una de las dos secciones Si la diferencia de temperaturas entre los materiales en contacto es pequentildea el flujo de calor paralelo a las capas dominaraacute sobre cualquier otro flujo normal a eacutestas por lo que el problema se puede tratar como unidireccional sin peacuterdida importante de exactitud Como el calor fluye a traveacutes de los dos materiales seguacuten trayectorias separadas el flujo total de calor k Q seraacute la suma de los dos flujos

en la que el aacuterea total de transmisioacuten del calor es la suma de las dos aacutereas individuales y la inversa de la resistencia total es igual a la suma de las inversas de todas las resistencias individuales

PAREDES COMPUESTAS

Una aplicacioacuten maacutes compleja del enfoque del circuito teacutermico seriacutea la indicada en la figura 6 en la cual el calor se transfiere a traveacutes de una estructura formada por una resistencia teacutermica en serie otra en paralelo y una tercera en serie

Figura 6 Circuito teacutermico en serie-paralelo-serie

Para este sistema el flujo teacutermico por unidad de superficie es

en la que n es el nuacutemero de capas en serie i R es la resistencia teacutermica de la capa i y global ΔT es la diferencia de temperaturas entre las dos superficies exteriores El anaacutelisis del circuito precedente supone flujo unidimensional Si las resistencias B R y C R son muy diferentes los efectos bidimensionales pueden ser importantes

SISTEMAS RADIALES

Los sistemas ciliacutendricos y esfeacutericos a menudo experimentan gradientes de temperatura soacutelo en la direccioacuten radial y por consiguiente se tratan como unidireccionales Ademaacutes bajo condiciones de estado estacionario sin generacioacuten de calor estos sistemas sepueden analizar usando la expresioacuten de la Ley de Fourier en las coordenadas adecuadas

Paredes ciliacutendricas

Considere el cilindro hueco de la figura 7 cuyas superficie externa e interna se exponen a fluidos de diferente temperaturas Para condiciones de estado estacionario sin generacioacuten interna de calor la ley de Fourier en coordenadas ciliacutendricas se expresa como

Siendo r Q una constante en la direccioacuten radial Si consideramos tambieacuten la forma del aacuterea de transferencia para esta geometriacutea nos queda

donde A = 2π rL es el aacuterea normal a la direccioacuten de transferencia de calor Escribiendo la ecuacioacuten anterior en teacutermino de integrales con las condiciones de frontera(r1)1 s 1 T r = T y (r2) 2 s 2 T r = T obtenemos

Si considerando k = constante y resolvemos nos queda

Tambieacuten es posible obtener la distribucioacuten de temperaturas en la direccioacuten radial en el cilindro esto es

En el caso de la pared ciliacutendrica la distribucioacuten de temperaturas ya no es lineal sino logariacutetmica De este resultado es evidente que la resistencia teacutermica para la conduccioacuten radial es de la forma

Figura 7 Cilindro hueco con condiciones convectivas en la superficie

Paredes esfeacutericas Considere la esfera hueca de la figura 8 Para el estado estacionario y condiciones unidimensionales Q r es constante y la forma apropiada para la ley de Fourier es

donde es el aacuterea normal a la direccioacuten de transferencia de calor luego la ecuacioacuten anterior se puede expresar en forma integral como

Resolviendo bajo la suposicioacuten que la conductividad teacutermica es constante obtenemos

y la distribucioacuten de temperaturas en la esfera vendraacute dada por

CONDUCTIVIDAD TEacuteRMICA

La conductividad teacutermica k es una propiedad de los materiales que excepto en el caso de los gases a bajas temperaturas no es posible predecir analiacuteticamente La informacioacuten disponible estaacute basada en medidas experimentalesEn general la conductividad teacutermica de un material variacutea con la temperatura pero en muchas situaciones praacutecticas si el sistema tiene una temperatura media se puede considerar con un valor medio constante lo que proporciona resultados bastante satisfactoriosEn la Tabla 1 se relacionan los valores tiacutepicos de la conductividad teacutermica de algunos metales soacutelidos no metaacutelicos liacutequidos y gases que nos dan una idea del orden de magnitud con que se presenta en la praacutectica mientras que en las figura 9 se presenta una graacutefica de conductividades teacutermicas entre 0 y 450 WmK para metales y aleaciones (buenos conductores teacutermicos)

En la figura 10 se muestra que el rango de conductividades teacutermicas para algunos gases y liacutequidos es entre 0 y 08 W mK observaacutendose la gran diferencia existente entre sus coeficientes de conductividad k

En los materiales conductores el mecanismo de la transmisioacuten de calor por conduccioacuten estaacute asociado a las vibraciones de la estructura reticular y al movimiento de los electrones libres (metales y aleaciones) al igual que en los conductores eleacutectricos por lo que materiales buenos conductores de la electricidad son tambieacuten en general buenos conductores del calor (cobre plata aluminio etc)

Los aislantes teacutermicos (vidrio plaacutesticos etc) que requieren de una estructura porosa y un gas atrapado en la misma son tambieacuten buenos aislantes eleacutectricos En estos materiales la transferencia de calor puede tener lugar de diversas formas

a) Conduccioacuten a traveacutes de la estructura soacutelida porosa o fibrosab) Conduccioacuten yo conveccioacuten a traveacutes del aire atrapado en los espacios vaciacuteosc) Radiacioacuten entre porciones de la estructura soacutelida lo cual es especialmente importante a temperaturas elevadas o en recintos vaciacuteos

Se han desarrollado materiales superaislantes para aplicaciones criogeacutenicas que constan de varias capas de materiales altamente reflectantes separados por espacios vaciacuteos que minimizan la conduccioacuten y la conveccioacuten alcanzaacutendose conductividades teacutermicas del orden de 002 W mK

En muchos materiales el valor de k no es constante sino que variacutea con la temperatura y con la composicioacuten quiacutemica de los mismos Cuando soacutelo depende de la temperatura se puede poner el valor de k en la forma

siendo k0 el valor de la conductividad a la temperatura de referencia y β una constante(Coeficiente de dilatacioacuten) En tal caso la integracioacuten de la ecuacioacuten de Fourier proporciona

en la que k m es el valor de k a la temperatura

COEFICIENTES DE CONDUCTIVIDAD TEacuteRMICA PARA LAS ALEACIONES

En la figura 9 se muestra el comportamiento de la conductividad teacutermica de algunos metales y aleaciones (cobre aluminio acero al carbono acero inoxidable 18-8 etc) con la temperaturaLa conductividad teacutermica de las aleaciones en general y de los aceros en particular se puede determinar mediante la relacioacuten

en la que 0 k es la conductividad teacutermica del metal base y 1 2 n ξ ξ 1048610ξ son unos factores de correccioacuten de dicha conductividad propios de cada metal que la caracterizan La conductividad teacutermica del hierro puro viene representada en la figura 11 mientras que los factores caracteriacutesticos de los metales adicionales que entran en la composicioacuten de un acero aleado ξ1ξ2 1048610ξn en la figura 12

CONDUCTIVIDAD TEacuteRMICA DE LIacuteQUIDOS-

En la figura 10 se indica la conductividad teacutermica de algunos liacutequidos en funcioacuten de la temperatura observaacutendose que la conductividad teacutermica de los liacutequidos decrece a medida que aumenta su temperatura excepto en el caso del agua pero el cambio es tan pequentildeo que en la mayor parte de las situaciones praacutecticas la conductividad teacutermica se puede suponer constante para ciertos intervalos de temperatura asimismo en los liacutequidos no hay una dependencia apreciable con la presioacuten debido a que eacutestos son praacutecticamente incompresibles

Para la determinacioacuten de la difusividad teacutermica en liacutequidos se propone la foacutermula

en la que M es la masa molecular y ρ la densidad del liacutequido

Como la ecuacioacuten no es homogeacutenea conviene precisar las unidades en que se deben expresar las magnitudes que en ella figuran k en Kcal (mhoraordmC) ρ en (kg dm3 ) y cp en (Kcal kgordm C)

Para definir la variacioacuten de la conductividad teacutermica k en funcioacuten de la temperatura Riedel propone la ecuacioacuten

siendo T r la temperatura reducida igual a T rT K la conductividad a la temperatura T r = T con T r en K k K la conductividad a la temperatura criacutetica T K en K

En el caso en que se desconozca la conductividad k K la ecuacioacuten anterior se puede emplear para determinar la conductividad a una temperatura para la que no existen resultados de medida en estas circunstancias el valor de k K se calcula para unas ciertas condiciones en las que se conozca T K con ayuda de la citada ecuacioacuten Si no se conoce T K se pueden determinar los valores de k K y de T K efectuando dos medidas de k a temperaturas suficientemente espaciadas una de otra Esta ecuacioacuten se puede utilizar para temperaturas reducidas del orden de 09 aproximadamente

La conductividad de los liacutequidos variacutea con la temperatura En las proximidades del punto criacutetico disminuye maacutes raacutepidamente ya que la conductividad del vapor es siempre maacutes baja Si se conocen la conductividad del vapor saturado seco k y la temperatura criacutetica del liacutequido

T K en K la conductividad del liacutequido a la temperatura de saturacioacuten se puede deducir con ayuda de la Tabla 2 de la siguiente relacioacuten

CONDUCTIVIDAD TEacuteRMICA DE GASES Y VAPORES-

En la figura 10 y a tiacutetulo de ejemplo se muestran algunas conductividades teacutermicas de gases y vapores observaacutendose su variacioacuten con la temperatura La conductividad teacutermica de los gases crece con la presioacuten pero este aumento a presiones normales es tan pequentildeo que se puede despreciar Sin embargo en las proximidades del punto criacutetico y para presiones o muy bajas o muy altas la variacioacuten de la conductividad teacutermica en funcioacuten de la presioacuten no se puede despreciar La conductividad teacutermica de los gases se incrementa con la raiacutez cuadrada de la temperatura absoluta Los gases presentan conductividades teacutermicas muy bajas tanto maacutes cuanto maacutes elevado es su peso molecular Por analogiacutea con el proceso de la transmisioacuten del calor y sobre la base de la teoriacutea molecular se propone la siguiente relacioacuten (Sutherland) entre la conductividad y la viscosidad dinaacutemica de un gas de la forma

en la que C es una constante con dimensiones de temperatura y ε un coeficiente numeacuterico que depende del nuacutemero n de aacutetomos contenidos en la moleacutecula de la forma

En la Tabla 3 se indican los valores de C y 0 η para diversos gases industriales

RESISTENCIA DE CONTACTO

Cuando superficies a distintas temperaturas se ponen en contacto aparece una resistencia teacutermica en la interface de los soacutelidos que se conoce como resistencia de contacto y que

se desarrolla cuando los dos materiales no ajustan exactamente por lo que entre ambos puede quedar atrapada una delgada capa de fluido Una vista ampliada del contacto entre las dos superficies mostrariacutea que los soacutelidos se tocan soacutelo en picos superficiales mientras que los huecos estariacutean ocupados por un fluido o el vaciacuteo La resistencia de la interface depende de

bull La rugosidad superficialbull La presioacuten que mantiene en contacto las dos superficiesbull Del fluido de la interfacebull De su temperatura

En la interface el mecanismo de la transmisioacuten del calor y su determinacioacuten es complejo la conduccioacuten del calor tiene lugar a traveacutes de los puntos de contacto del soacutelido en forma tridimensional por cuanto el calor se transmite por las aacutereas de contacto a traveacutes del fluido de la interface por conveccioacuten y entre las superficies por radiacioacuten Si el calor a traveacutes de las superficies soacutelidas en contacto es Q la diferencia de temperaturas a traveacutes del fluido que separa los dos soacutelidos es ΔTi y la resistencia de contacto R i se puede expresar en funcioacuten de una conductancia interfacial h i W m 2K se tiene

Cuando las dos superficies estaacuten en contacto teacutermico perfecto la diferencia de temperaturas a traveacutes de la interface es nula por lo que su resistencia teacutermica es cero Un contacto teacutermico imperfecto tiene lugar cuando existe una diferencia de temperaturas en la interface La resistencia por contacto depende de la presioacuten con que se mantiene el contacto y muestra un descenso notable cuando se alcanza el liacutemite elaacutestico de alguno de los materialesEn los soacutelidos mecaacutenicamente unidos no se suele considerar la resistencia de la interface a pesar de que siempre estaacute presente Sin embargo hay que conocer la existencia de la resistencia de la interface y la diferencia de temperaturas resultante a traveacutes de la misma En superficies rugosas y bajas presiones de unioacuten la caiacuteda de temperatura a traveacutes de la interface puede ser importante incluso dominante y hay que tenerla en cuenta La problemaacutetica de la resistencia de la interface es compleja y no existe ninguna teoriacutea o base de datos empiacutericos que la describa exactamente para situaciones de intereacutes industrial

CONDUCCIOacuteN DE CALOR EN ESTADO TRANSITORIO Y EN MULTIDIRECCIONAL

Para resolver problemas maacutes generales de transferencia de calor por conduccioacuten esto es cuando existe el estado transitorio o el flujo de calor no es unidireccional es necesario resolver la ecuacioacuten general del calor cuya forma maacutes general es

normalmente denominado capacidad teacutermica volumeacutetrica mide la capacidad de un material para almacenar energiacutea teacutermica El cociente entre la conductividad teacutermica y la capacidad teacutermica se lo denomina difusividad teacutermica α que constituye una importante propiedad que tiene unidades de (m 2 s) Mide la capacidad de un material para conducir energiacutea teacutermica en relacioacuten con su capacidad para almacenar energiacutea Materiales con α grande responderaacuten raacutepidamente a cambios en su medio teacutermico mientras que materiales con α pequentildeos tardan maacutes en alcanzar una nueva condicioacuten de equilibrio

Figura 5 Transmisioacuten de calor a traveacutes de una pared con dos secciones en paralelo

La figura 5 muestra un bloque formado por dos materiales de aacutereas 1 A y 2 A en paralelo En este caso hay que tener en cuenta que para una determinada diferencia de temperaturas a traveacutes del bloque cada capa del conjunto se puede analizar por separado teniendo presentes las condiciones impuestas para el flujo unidimensional a traveacutes de cada una de las dos secciones Si la diferencia de temperaturas entre los materiales en contacto es pequentildea el flujo de calor paralelo a las capas dominaraacute sobre cualquier otro flujo normal a eacutestas por lo que el problema se puede tratar como unidireccional sin peacuterdida importante de exactitud Como el calor fluye a traveacutes de los dos materiales seguacuten trayectorias separadas el flujo total de calor k Q seraacute la suma de los dos flujos

en la que el aacuterea total de transmisioacuten del calor es la suma de las dos aacutereas individuales y la inversa de la resistencia total es igual a la suma de las inversas de todas las resistencias individuales

PAREDES COMPUESTAS

Una aplicacioacuten maacutes compleja del enfoque del circuito teacutermico seriacutea la indicada en la figura 6 en la cual el calor se transfiere a traveacutes de una estructura formada por una resistencia teacutermica en serie otra en paralelo y una tercera en serie

Figura 6 Circuito teacutermico en serie-paralelo-serie

Para este sistema el flujo teacutermico por unidad de superficie es

en la que n es el nuacutemero de capas en serie i R es la resistencia teacutermica de la capa i y global ΔT es la diferencia de temperaturas entre las dos superficies exteriores El anaacutelisis del circuito precedente supone flujo unidimensional Si las resistencias B R y C R son muy diferentes los efectos bidimensionales pueden ser importantes

SISTEMAS RADIALES

Los sistemas ciliacutendricos y esfeacutericos a menudo experimentan gradientes de temperatura soacutelo en la direccioacuten radial y por consiguiente se tratan como unidireccionales Ademaacutes bajo condiciones de estado estacionario sin generacioacuten de calor estos sistemas sepueden analizar usando la expresioacuten de la Ley de Fourier en las coordenadas adecuadas

Paredes ciliacutendricas

Considere el cilindro hueco de la figura 7 cuyas superficie externa e interna se exponen a fluidos de diferente temperaturas Para condiciones de estado estacionario sin generacioacuten interna de calor la ley de Fourier en coordenadas ciliacutendricas se expresa como

Siendo r Q una constante en la direccioacuten radial Si consideramos tambieacuten la forma del aacuterea de transferencia para esta geometriacutea nos queda

donde A = 2π rL es el aacuterea normal a la direccioacuten de transferencia de calor Escribiendo la ecuacioacuten anterior en teacutermino de integrales con las condiciones de frontera(r1)1 s 1 T r = T y (r2) 2 s 2 T r = T obtenemos

Si considerando k = constante y resolvemos nos queda

Tambieacuten es posible obtener la distribucioacuten de temperaturas en la direccioacuten radial en el cilindro esto es

En el caso de la pared ciliacutendrica la distribucioacuten de temperaturas ya no es lineal sino logariacutetmica De este resultado es evidente que la resistencia teacutermica para la conduccioacuten radial es de la forma

Figura 7 Cilindro hueco con condiciones convectivas en la superficie

Paredes esfeacutericas Considere la esfera hueca de la figura 8 Para el estado estacionario y condiciones unidimensionales Q r es constante y la forma apropiada para la ley de Fourier es

donde es el aacuterea normal a la direccioacuten de transferencia de calor luego la ecuacioacuten anterior se puede expresar en forma integral como

Resolviendo bajo la suposicioacuten que la conductividad teacutermica es constante obtenemos

y la distribucioacuten de temperaturas en la esfera vendraacute dada por

CONDUCTIVIDAD TEacuteRMICA

La conductividad teacutermica k es una propiedad de los materiales que excepto en el caso de los gases a bajas temperaturas no es posible predecir analiacuteticamente La informacioacuten disponible estaacute basada en medidas experimentalesEn general la conductividad teacutermica de un material variacutea con la temperatura pero en muchas situaciones praacutecticas si el sistema tiene una temperatura media se puede considerar con un valor medio constante lo que proporciona resultados bastante satisfactoriosEn la Tabla 1 se relacionan los valores tiacutepicos de la conductividad teacutermica de algunos metales soacutelidos no metaacutelicos liacutequidos y gases que nos dan una idea del orden de magnitud con que se presenta en la praacutectica mientras que en las figura 9 se presenta una graacutefica de conductividades teacutermicas entre 0 y 450 WmK para metales y aleaciones (buenos conductores teacutermicos)

En la figura 10 se muestra que el rango de conductividades teacutermicas para algunos gases y liacutequidos es entre 0 y 08 W mK observaacutendose la gran diferencia existente entre sus coeficientes de conductividad k

En los materiales conductores el mecanismo de la transmisioacuten de calor por conduccioacuten estaacute asociado a las vibraciones de la estructura reticular y al movimiento de los electrones libres (metales y aleaciones) al igual que en los conductores eleacutectricos por lo que materiales buenos conductores de la electricidad son tambieacuten en general buenos conductores del calor (cobre plata aluminio etc)

Los aislantes teacutermicos (vidrio plaacutesticos etc) que requieren de una estructura porosa y un gas atrapado en la misma son tambieacuten buenos aislantes eleacutectricos En estos materiales la transferencia de calor puede tener lugar de diversas formas

a) Conduccioacuten a traveacutes de la estructura soacutelida porosa o fibrosab) Conduccioacuten yo conveccioacuten a traveacutes del aire atrapado en los espacios vaciacuteosc) Radiacioacuten entre porciones de la estructura soacutelida lo cual es especialmente importante a temperaturas elevadas o en recintos vaciacuteos

Se han desarrollado materiales superaislantes para aplicaciones criogeacutenicas que constan de varias capas de materiales altamente reflectantes separados por espacios vaciacuteos que minimizan la conduccioacuten y la conveccioacuten alcanzaacutendose conductividades teacutermicas del orden de 002 W mK

En muchos materiales el valor de k no es constante sino que variacutea con la temperatura y con la composicioacuten quiacutemica de los mismos Cuando soacutelo depende de la temperatura se puede poner el valor de k en la forma

siendo k0 el valor de la conductividad a la temperatura de referencia y β una constante(Coeficiente de dilatacioacuten) En tal caso la integracioacuten de la ecuacioacuten de Fourier proporciona

en la que k m es el valor de k a la temperatura

COEFICIENTES DE CONDUCTIVIDAD TEacuteRMICA PARA LAS ALEACIONES

En la figura 9 se muestra el comportamiento de la conductividad teacutermica de algunos metales y aleaciones (cobre aluminio acero al carbono acero inoxidable 18-8 etc) con la temperaturaLa conductividad teacutermica de las aleaciones en general y de los aceros en particular se puede determinar mediante la relacioacuten

en la que 0 k es la conductividad teacutermica del metal base y 1 2 n ξ ξ 1048610ξ son unos factores de correccioacuten de dicha conductividad propios de cada metal que la caracterizan La conductividad teacutermica del hierro puro viene representada en la figura 11 mientras que los factores caracteriacutesticos de los metales adicionales que entran en la composicioacuten de un acero aleado ξ1ξ2 1048610ξn en la figura 12

CONDUCTIVIDAD TEacuteRMICA DE LIacuteQUIDOS-

En la figura 10 se indica la conductividad teacutermica de algunos liacutequidos en funcioacuten de la temperatura observaacutendose que la conductividad teacutermica de los liacutequidos decrece a medida que aumenta su temperatura excepto en el caso del agua pero el cambio es tan pequentildeo que en la mayor parte de las situaciones praacutecticas la conductividad teacutermica se puede suponer constante para ciertos intervalos de temperatura asimismo en los liacutequidos no hay una dependencia apreciable con la presioacuten debido a que eacutestos son praacutecticamente incompresibles

Para la determinacioacuten de la difusividad teacutermica en liacutequidos se propone la foacutermula

en la que M es la masa molecular y ρ la densidad del liacutequido

Como la ecuacioacuten no es homogeacutenea conviene precisar las unidades en que se deben expresar las magnitudes que en ella figuran k en Kcal (mhoraordmC) ρ en (kg dm3 ) y cp en (Kcal kgordm C)

Para definir la variacioacuten de la conductividad teacutermica k en funcioacuten de la temperatura Riedel propone la ecuacioacuten

siendo T r la temperatura reducida igual a T rT K la conductividad a la temperatura T r = T con T r en K k K la conductividad a la temperatura criacutetica T K en K

En el caso en que se desconozca la conductividad k K la ecuacioacuten anterior se puede emplear para determinar la conductividad a una temperatura para la que no existen resultados de medida en estas circunstancias el valor de k K se calcula para unas ciertas condiciones en las que se conozca T K con ayuda de la citada ecuacioacuten Si no se conoce T K se pueden determinar los valores de k K y de T K efectuando dos medidas de k a temperaturas suficientemente espaciadas una de otra Esta ecuacioacuten se puede utilizar para temperaturas reducidas del orden de 09 aproximadamente

La conductividad de los liacutequidos variacutea con la temperatura En las proximidades del punto criacutetico disminuye maacutes raacutepidamente ya que la conductividad del vapor es siempre maacutes baja Si se conocen la conductividad del vapor saturado seco k y la temperatura criacutetica del liacutequido

T K en K la conductividad del liacutequido a la temperatura de saturacioacuten se puede deducir con ayuda de la Tabla 2 de la siguiente relacioacuten

CONDUCTIVIDAD TEacuteRMICA DE GASES Y VAPORES-

En la figura 10 y a tiacutetulo de ejemplo se muestran algunas conductividades teacutermicas de gases y vapores observaacutendose su variacioacuten con la temperatura La conductividad teacutermica de los gases crece con la presioacuten pero este aumento a presiones normales es tan pequentildeo que se puede despreciar Sin embargo en las proximidades del punto criacutetico y para presiones o muy bajas o muy altas la variacioacuten de la conductividad teacutermica en funcioacuten de la presioacuten no se puede despreciar La conductividad teacutermica de los gases se incrementa con la raiacutez cuadrada de la temperatura absoluta Los gases presentan conductividades teacutermicas muy bajas tanto maacutes cuanto maacutes elevado es su peso molecular Por analogiacutea con el proceso de la transmisioacuten del calor y sobre la base de la teoriacutea molecular se propone la siguiente relacioacuten (Sutherland) entre la conductividad y la viscosidad dinaacutemica de un gas de la forma

en la que C es una constante con dimensiones de temperatura y ε un coeficiente numeacuterico que depende del nuacutemero n de aacutetomos contenidos en la moleacutecula de la forma

En la Tabla 3 se indican los valores de C y 0 η para diversos gases industriales

RESISTENCIA DE CONTACTO

Cuando superficies a distintas temperaturas se ponen en contacto aparece una resistencia teacutermica en la interface de los soacutelidos que se conoce como resistencia de contacto y que

se desarrolla cuando los dos materiales no ajustan exactamente por lo que entre ambos puede quedar atrapada una delgada capa de fluido Una vista ampliada del contacto entre las dos superficies mostrariacutea que los soacutelidos se tocan soacutelo en picos superficiales mientras que los huecos estariacutean ocupados por un fluido o el vaciacuteo La resistencia de la interface depende de

bull La rugosidad superficialbull La presioacuten que mantiene en contacto las dos superficiesbull Del fluido de la interfacebull De su temperatura

En la interface el mecanismo de la transmisioacuten del calor y su determinacioacuten es complejo la conduccioacuten del calor tiene lugar a traveacutes de los puntos de contacto del soacutelido en forma tridimensional por cuanto el calor se transmite por las aacutereas de contacto a traveacutes del fluido de la interface por conveccioacuten y entre las superficies por radiacioacuten Si el calor a traveacutes de las superficies soacutelidas en contacto es Q la diferencia de temperaturas a traveacutes del fluido que separa los dos soacutelidos es ΔTi y la resistencia de contacto R i se puede expresar en funcioacuten de una conductancia interfacial h i W m 2K se tiene

Cuando las dos superficies estaacuten en contacto teacutermico perfecto la diferencia de temperaturas a traveacutes de la interface es nula por lo que su resistencia teacutermica es cero Un contacto teacutermico imperfecto tiene lugar cuando existe una diferencia de temperaturas en la interface La resistencia por contacto depende de la presioacuten con que se mantiene el contacto y muestra un descenso notable cuando se alcanza el liacutemite elaacutestico de alguno de los materialesEn los soacutelidos mecaacutenicamente unidos no se suele considerar la resistencia de la interface a pesar de que siempre estaacute presente Sin embargo hay que conocer la existencia de la resistencia de la interface y la diferencia de temperaturas resultante a traveacutes de la misma En superficies rugosas y bajas presiones de unioacuten la caiacuteda de temperatura a traveacutes de la interface puede ser importante incluso dominante y hay que tenerla en cuenta La problemaacutetica de la resistencia de la interface es compleja y no existe ninguna teoriacutea o base de datos empiacutericos que la describa exactamente para situaciones de intereacutes industrial

CONDUCCIOacuteN DE CALOR EN ESTADO TRANSITORIO Y EN MULTIDIRECCIONAL

Para resolver problemas maacutes generales de transferencia de calor por conduccioacuten esto es cuando existe el estado transitorio o el flujo de calor no es unidireccional es necesario resolver la ecuacioacuten general del calor cuya forma maacutes general es

normalmente denominado capacidad teacutermica volumeacutetrica mide la capacidad de un material para almacenar energiacutea teacutermica El cociente entre la conductividad teacutermica y la capacidad teacutermica se lo denomina difusividad teacutermica α que constituye una importante propiedad que tiene unidades de (m 2 s) Mide la capacidad de un material para conducir energiacutea teacutermica en relacioacuten con su capacidad para almacenar energiacutea Materiales con α grande responderaacuten raacutepidamente a cambios en su medio teacutermico mientras que materiales con α pequentildeos tardan maacutes en alcanzar una nueva condicioacuten de equilibrio

Figura 6 Circuito teacutermico en serie-paralelo-serie

Para este sistema el flujo teacutermico por unidad de superficie es

en la que n es el nuacutemero de capas en serie i R es la resistencia teacutermica de la capa i y global ΔT es la diferencia de temperaturas entre las dos superficies exteriores El anaacutelisis del circuito precedente supone flujo unidimensional Si las resistencias B R y C R son muy diferentes los efectos bidimensionales pueden ser importantes

SISTEMAS RADIALES

Los sistemas ciliacutendricos y esfeacutericos a menudo experimentan gradientes de temperatura soacutelo en la direccioacuten radial y por consiguiente se tratan como unidireccionales Ademaacutes bajo condiciones de estado estacionario sin generacioacuten de calor estos sistemas sepueden analizar usando la expresioacuten de la Ley de Fourier en las coordenadas adecuadas

Paredes ciliacutendricas

Considere el cilindro hueco de la figura 7 cuyas superficie externa e interna se exponen a fluidos de diferente temperaturas Para condiciones de estado estacionario sin generacioacuten interna de calor la ley de Fourier en coordenadas ciliacutendricas se expresa como

Siendo r Q una constante en la direccioacuten radial Si consideramos tambieacuten la forma del aacuterea de transferencia para esta geometriacutea nos queda

donde A = 2π rL es el aacuterea normal a la direccioacuten de transferencia de calor Escribiendo la ecuacioacuten anterior en teacutermino de integrales con las condiciones de frontera(r1)1 s 1 T r = T y (r2) 2 s 2 T r = T obtenemos

Si considerando k = constante y resolvemos nos queda

Tambieacuten es posible obtener la distribucioacuten de temperaturas en la direccioacuten radial en el cilindro esto es

En el caso de la pared ciliacutendrica la distribucioacuten de temperaturas ya no es lineal sino logariacutetmica De este resultado es evidente que la resistencia teacutermica para la conduccioacuten radial es de la forma

Figura 7 Cilindro hueco con condiciones convectivas en la superficie

Paredes esfeacutericas Considere la esfera hueca de la figura 8 Para el estado estacionario y condiciones unidimensionales Q r es constante y la forma apropiada para la ley de Fourier es

donde es el aacuterea normal a la direccioacuten de transferencia de calor luego la ecuacioacuten anterior se puede expresar en forma integral como

Resolviendo bajo la suposicioacuten que la conductividad teacutermica es constante obtenemos

y la distribucioacuten de temperaturas en la esfera vendraacute dada por

CONDUCTIVIDAD TEacuteRMICA

La conductividad teacutermica k es una propiedad de los materiales que excepto en el caso de los gases a bajas temperaturas no es posible predecir analiacuteticamente La informacioacuten disponible estaacute basada en medidas experimentalesEn general la conductividad teacutermica de un material variacutea con la temperatura pero en muchas situaciones praacutecticas si el sistema tiene una temperatura media se puede considerar con un valor medio constante lo que proporciona resultados bastante satisfactoriosEn la Tabla 1 se relacionan los valores tiacutepicos de la conductividad teacutermica de algunos metales soacutelidos no metaacutelicos liacutequidos y gases que nos dan una idea del orden de magnitud con que se presenta en la praacutectica mientras que en las figura 9 se presenta una graacutefica de conductividades teacutermicas entre 0 y 450 WmK para metales y aleaciones (buenos conductores teacutermicos)

En la figura 10 se muestra que el rango de conductividades teacutermicas para algunos gases y liacutequidos es entre 0 y 08 W mK observaacutendose la gran diferencia existente entre sus coeficientes de conductividad k

En los materiales conductores el mecanismo de la transmisioacuten de calor por conduccioacuten estaacute asociado a las vibraciones de la estructura reticular y al movimiento de los electrones libres (metales y aleaciones) al igual que en los conductores eleacutectricos por lo que materiales buenos conductores de la electricidad son tambieacuten en general buenos conductores del calor (cobre plata aluminio etc)

Los aislantes teacutermicos (vidrio plaacutesticos etc) que requieren de una estructura porosa y un gas atrapado en la misma son tambieacuten buenos aislantes eleacutectricos En estos materiales la transferencia de calor puede tener lugar de diversas formas

a) Conduccioacuten a traveacutes de la estructura soacutelida porosa o fibrosab) Conduccioacuten yo conveccioacuten a traveacutes del aire atrapado en los espacios vaciacuteosc) Radiacioacuten entre porciones de la estructura soacutelida lo cual es especialmente importante a temperaturas elevadas o en recintos vaciacuteos

Se han desarrollado materiales superaislantes para aplicaciones criogeacutenicas que constan de varias capas de materiales altamente reflectantes separados por espacios vaciacuteos que minimizan la conduccioacuten y la conveccioacuten alcanzaacutendose conductividades teacutermicas del orden de 002 W mK

En muchos materiales el valor de k no es constante sino que variacutea con la temperatura y con la composicioacuten quiacutemica de los mismos Cuando soacutelo depende de la temperatura se puede poner el valor de k en la forma

siendo k0 el valor de la conductividad a la temperatura de referencia y β una constante(Coeficiente de dilatacioacuten) En tal caso la integracioacuten de la ecuacioacuten de Fourier proporciona

en la que k m es el valor de k a la temperatura

COEFICIENTES DE CONDUCTIVIDAD TEacuteRMICA PARA LAS ALEACIONES

En la figura 9 se muestra el comportamiento de la conductividad teacutermica de algunos metales y aleaciones (cobre aluminio acero al carbono acero inoxidable 18-8 etc) con la temperaturaLa conductividad teacutermica de las aleaciones en general y de los aceros en particular se puede determinar mediante la relacioacuten

en la que 0 k es la conductividad teacutermica del metal base y 1 2 n ξ ξ 1048610ξ son unos factores de correccioacuten de dicha conductividad propios de cada metal que la caracterizan La conductividad teacutermica del hierro puro viene representada en la figura 11 mientras que los factores caracteriacutesticos de los metales adicionales que entran en la composicioacuten de un acero aleado ξ1ξ2 1048610ξn en la figura 12

CONDUCTIVIDAD TEacuteRMICA DE LIacuteQUIDOS-

En la figura 10 se indica la conductividad teacutermica de algunos liacutequidos en funcioacuten de la temperatura observaacutendose que la conductividad teacutermica de los liacutequidos decrece a medida que aumenta su temperatura excepto en el caso del agua pero el cambio es tan pequentildeo que en la mayor parte de las situaciones praacutecticas la conductividad teacutermica se puede suponer constante para ciertos intervalos de temperatura asimismo en los liacutequidos no hay una dependencia apreciable con la presioacuten debido a que eacutestos son praacutecticamente incompresibles

Para la determinacioacuten de la difusividad teacutermica en liacutequidos se propone la foacutermula

en la que M es la masa molecular y ρ la densidad del liacutequido

Como la ecuacioacuten no es homogeacutenea conviene precisar las unidades en que se deben expresar las magnitudes que en ella figuran k en Kcal (mhoraordmC) ρ en (kg dm3 ) y cp en (Kcal kgordm C)

Para definir la variacioacuten de la conductividad teacutermica k en funcioacuten de la temperatura Riedel propone la ecuacioacuten

siendo T r la temperatura reducida igual a T rT K la conductividad a la temperatura T r = T con T r en K k K la conductividad a la temperatura criacutetica T K en K

En el caso en que se desconozca la conductividad k K la ecuacioacuten anterior se puede emplear para determinar la conductividad a una temperatura para la que no existen resultados de medida en estas circunstancias el valor de k K se calcula para unas ciertas condiciones en las que se conozca T K con ayuda de la citada ecuacioacuten Si no se conoce T K se pueden determinar los valores de k K y de T K efectuando dos medidas de k a temperaturas suficientemente espaciadas una de otra Esta ecuacioacuten se puede utilizar para temperaturas reducidas del orden de 09 aproximadamente

La conductividad de los liacutequidos variacutea con la temperatura En las proximidades del punto criacutetico disminuye maacutes raacutepidamente ya que la conductividad del vapor es siempre maacutes baja Si se conocen la conductividad del vapor saturado seco k y la temperatura criacutetica del liacutequido

T K en K la conductividad del liacutequido a la temperatura de saturacioacuten se puede deducir con ayuda de la Tabla 2 de la siguiente relacioacuten

CONDUCTIVIDAD TEacuteRMICA DE GASES Y VAPORES-

En la figura 10 y a tiacutetulo de ejemplo se muestran algunas conductividades teacutermicas de gases y vapores observaacutendose su variacioacuten con la temperatura La conductividad teacutermica de los gases crece con la presioacuten pero este aumento a presiones normales es tan pequentildeo que se puede despreciar Sin embargo en las proximidades del punto criacutetico y para presiones o muy bajas o muy altas la variacioacuten de la conductividad teacutermica en funcioacuten de la presioacuten no se puede despreciar La conductividad teacutermica de los gases se incrementa con la raiacutez cuadrada de la temperatura absoluta Los gases presentan conductividades teacutermicas muy bajas tanto maacutes cuanto maacutes elevado es su peso molecular Por analogiacutea con el proceso de la transmisioacuten del calor y sobre la base de la teoriacutea molecular se propone la siguiente relacioacuten (Sutherland) entre la conductividad y la viscosidad dinaacutemica de un gas de la forma

en la que C es una constante con dimensiones de temperatura y ε un coeficiente numeacuterico que depende del nuacutemero n de aacutetomos contenidos en la moleacutecula de la forma

En la Tabla 3 se indican los valores de C y 0 η para diversos gases industriales

RESISTENCIA DE CONTACTO

Cuando superficies a distintas temperaturas se ponen en contacto aparece una resistencia teacutermica en la interface de los soacutelidos que se conoce como resistencia de contacto y que

se desarrolla cuando los dos materiales no ajustan exactamente por lo que entre ambos puede quedar atrapada una delgada capa de fluido Una vista ampliada del contacto entre las dos superficies mostrariacutea que los soacutelidos se tocan soacutelo en picos superficiales mientras que los huecos estariacutean ocupados por un fluido o el vaciacuteo La resistencia de la interface depende de

bull La rugosidad superficialbull La presioacuten que mantiene en contacto las dos superficiesbull Del fluido de la interfacebull De su temperatura

En la interface el mecanismo de la transmisioacuten del calor y su determinacioacuten es complejo la conduccioacuten del calor tiene lugar a traveacutes de los puntos de contacto del soacutelido en forma tridimensional por cuanto el calor se transmite por las aacutereas de contacto a traveacutes del fluido de la interface por conveccioacuten y entre las superficies por radiacioacuten Si el calor a traveacutes de las superficies soacutelidas en contacto es Q la diferencia de temperaturas a traveacutes del fluido que separa los dos soacutelidos es ΔTi y la resistencia de contacto R i se puede expresar en funcioacuten de una conductancia interfacial h i W m 2K se tiene

Cuando las dos superficies estaacuten en contacto teacutermico perfecto la diferencia de temperaturas a traveacutes de la interface es nula por lo que su resistencia teacutermica es cero Un contacto teacutermico imperfecto tiene lugar cuando existe una diferencia de temperaturas en la interface La resistencia por contacto depende de la presioacuten con que se mantiene el contacto y muestra un descenso notable cuando se alcanza el liacutemite elaacutestico de alguno de los materialesEn los soacutelidos mecaacutenicamente unidos no se suele considerar la resistencia de la interface a pesar de que siempre estaacute presente Sin embargo hay que conocer la existencia de la resistencia de la interface y la diferencia de temperaturas resultante a traveacutes de la misma En superficies rugosas y bajas presiones de unioacuten la caiacuteda de temperatura a traveacutes de la interface puede ser importante incluso dominante y hay que tenerla en cuenta La problemaacutetica de la resistencia de la interface es compleja y no existe ninguna teoriacutea o base de datos empiacutericos que la describa exactamente para situaciones de intereacutes industrial

CONDUCCIOacuteN DE CALOR EN ESTADO TRANSITORIO Y EN MULTIDIRECCIONAL

Para resolver problemas maacutes generales de transferencia de calor por conduccioacuten esto es cuando existe el estado transitorio o el flujo de calor no es unidireccional es necesario resolver la ecuacioacuten general del calor cuya forma maacutes general es

normalmente denominado capacidad teacutermica volumeacutetrica mide la capacidad de un material para almacenar energiacutea teacutermica El cociente entre la conductividad teacutermica y la capacidad teacutermica se lo denomina difusividad teacutermica α que constituye una importante propiedad que tiene unidades de (m 2 s) Mide la capacidad de un material para conducir energiacutea teacutermica en relacioacuten con su capacidad para almacenar energiacutea Materiales con α grande responderaacuten raacutepidamente a cambios en su medio teacutermico mientras que materiales con α pequentildeos tardan maacutes en alcanzar una nueva condicioacuten de equilibrio

Siendo r Q una constante en la direccioacuten radial Si consideramos tambieacuten la forma del aacuterea de transferencia para esta geometriacutea nos queda

donde A = 2π rL es el aacuterea normal a la direccioacuten de transferencia de calor Escribiendo la ecuacioacuten anterior en teacutermino de integrales con las condiciones de frontera(r1)1 s 1 T r = T y (r2) 2 s 2 T r = T obtenemos

Si considerando k = constante y resolvemos nos queda

Tambieacuten es posible obtener la distribucioacuten de temperaturas en la direccioacuten radial en el cilindro esto es

En el caso de la pared ciliacutendrica la distribucioacuten de temperaturas ya no es lineal sino logariacutetmica De este resultado es evidente que la resistencia teacutermica para la conduccioacuten radial es de la forma

Figura 7 Cilindro hueco con condiciones convectivas en la superficie

Paredes esfeacutericas Considere la esfera hueca de la figura 8 Para el estado estacionario y condiciones unidimensionales Q r es constante y la forma apropiada para la ley de Fourier es

donde es el aacuterea normal a la direccioacuten de transferencia de calor luego la ecuacioacuten anterior se puede expresar en forma integral como

Resolviendo bajo la suposicioacuten que la conductividad teacutermica es constante obtenemos

y la distribucioacuten de temperaturas en la esfera vendraacute dada por

CONDUCTIVIDAD TEacuteRMICA

La conductividad teacutermica k es una propiedad de los materiales que excepto en el caso de los gases a bajas temperaturas no es posible predecir analiacuteticamente La informacioacuten disponible estaacute basada en medidas experimentalesEn general la conductividad teacutermica de un material variacutea con la temperatura pero en muchas situaciones praacutecticas si el sistema tiene una temperatura media se puede considerar con un valor medio constante lo que proporciona resultados bastante satisfactoriosEn la Tabla 1 se relacionan los valores tiacutepicos de la conductividad teacutermica de algunos metales soacutelidos no metaacutelicos liacutequidos y gases que nos dan una idea del orden de magnitud con que se presenta en la praacutectica mientras que en las figura 9 se presenta una graacutefica de conductividades teacutermicas entre 0 y 450 WmK para metales y aleaciones (buenos conductores teacutermicos)

En la figura 10 se muestra que el rango de conductividades teacutermicas para algunos gases y liacutequidos es entre 0 y 08 W mK observaacutendose la gran diferencia existente entre sus coeficientes de conductividad k

En los materiales conductores el mecanismo de la transmisioacuten de calor por conduccioacuten estaacute asociado a las vibraciones de la estructura reticular y al movimiento de los electrones libres (metales y aleaciones) al igual que en los conductores eleacutectricos por lo que materiales buenos conductores de la electricidad son tambieacuten en general buenos conductores del calor (cobre plata aluminio etc)

Los aislantes teacutermicos (vidrio plaacutesticos etc) que requieren de una estructura porosa y un gas atrapado en la misma son tambieacuten buenos aislantes eleacutectricos En estos materiales la transferencia de calor puede tener lugar de diversas formas

a) Conduccioacuten a traveacutes de la estructura soacutelida porosa o fibrosab) Conduccioacuten yo conveccioacuten a traveacutes del aire atrapado en los espacios vaciacuteosc) Radiacioacuten entre porciones de la estructura soacutelida lo cual es especialmente importante a temperaturas elevadas o en recintos vaciacuteos

Se han desarrollado materiales superaislantes para aplicaciones criogeacutenicas que constan de varias capas de materiales altamente reflectantes separados por espacios vaciacuteos que minimizan la conduccioacuten y la conveccioacuten alcanzaacutendose conductividades teacutermicas del orden de 002 W mK

En muchos materiales el valor de k no es constante sino que variacutea con la temperatura y con la composicioacuten quiacutemica de los mismos Cuando soacutelo depende de la temperatura se puede poner el valor de k en la forma

siendo k0 el valor de la conductividad a la temperatura de referencia y β una constante(Coeficiente de dilatacioacuten) En tal caso la integracioacuten de la ecuacioacuten de Fourier proporciona

en la que k m es el valor de k a la temperatura

COEFICIENTES DE CONDUCTIVIDAD TEacuteRMICA PARA LAS ALEACIONES

En la figura 9 se muestra el comportamiento de la conductividad teacutermica de algunos metales y aleaciones (cobre aluminio acero al carbono acero inoxidable 18-8 etc) con la temperaturaLa conductividad teacutermica de las aleaciones en general y de los aceros en particular se puede determinar mediante la relacioacuten

en la que 0 k es la conductividad teacutermica del metal base y 1 2 n ξ ξ 1048610ξ son unos factores de correccioacuten de dicha conductividad propios de cada metal que la caracterizan La conductividad teacutermica del hierro puro viene representada en la figura 11 mientras que los factores caracteriacutesticos de los metales adicionales que entran en la composicioacuten de un acero aleado ξ1ξ2 1048610ξn en la figura 12

CONDUCTIVIDAD TEacuteRMICA DE LIacuteQUIDOS-

En la figura 10 se indica la conductividad teacutermica de algunos liacutequidos en funcioacuten de la temperatura observaacutendose que la conductividad teacutermica de los liacutequidos decrece a medida que aumenta su temperatura excepto en el caso del agua pero el cambio es tan pequentildeo que en la mayor parte de las situaciones praacutecticas la conductividad teacutermica se puede suponer constante para ciertos intervalos de temperatura asimismo en los liacutequidos no hay una dependencia apreciable con la presioacuten debido a que eacutestos son praacutecticamente incompresibles

Para la determinacioacuten de la difusividad teacutermica en liacutequidos se propone la foacutermula

en la que M es la masa molecular y ρ la densidad del liacutequido

Como la ecuacioacuten no es homogeacutenea conviene precisar las unidades en que se deben expresar las magnitudes que en ella figuran k en Kcal (mhoraordmC) ρ en (kg dm3 ) y cp en (Kcal kgordm C)

Para definir la variacioacuten de la conductividad teacutermica k en funcioacuten de la temperatura Riedel propone la ecuacioacuten

siendo T r la temperatura reducida igual a T rT K la conductividad a la temperatura T r = T con T r en K k K la conductividad a la temperatura criacutetica T K en K

En el caso en que se desconozca la conductividad k K la ecuacioacuten anterior se puede emplear para determinar la conductividad a una temperatura para la que no existen resultados de medida en estas circunstancias el valor de k K se calcula para unas ciertas condiciones en las que se conozca T K con ayuda de la citada ecuacioacuten Si no se conoce T K se pueden determinar los valores de k K y de T K efectuando dos medidas de k a temperaturas suficientemente espaciadas una de otra Esta ecuacioacuten se puede utilizar para temperaturas reducidas del orden de 09 aproximadamente

La conductividad de los liacutequidos variacutea con la temperatura En las proximidades del punto criacutetico disminuye maacutes raacutepidamente ya que la conductividad del vapor es siempre maacutes baja Si se conocen la conductividad del vapor saturado seco k y la temperatura criacutetica del liacutequido

T K en K la conductividad del liacutequido a la temperatura de saturacioacuten se puede deducir con ayuda de la Tabla 2 de la siguiente relacioacuten

CONDUCTIVIDAD TEacuteRMICA DE GASES Y VAPORES-

En la figura 10 y a tiacutetulo de ejemplo se muestran algunas conductividades teacutermicas de gases y vapores observaacutendose su variacioacuten con la temperatura La conductividad teacutermica de los gases crece con la presioacuten pero este aumento a presiones normales es tan pequentildeo que se puede despreciar Sin embargo en las proximidades del punto criacutetico y para presiones o muy bajas o muy altas la variacioacuten de la conductividad teacutermica en funcioacuten de la presioacuten no se puede despreciar La conductividad teacutermica de los gases se incrementa con la raiacutez cuadrada de la temperatura absoluta Los gases presentan conductividades teacutermicas muy bajas tanto maacutes cuanto maacutes elevado es su peso molecular Por analogiacutea con el proceso de la transmisioacuten del calor y sobre la base de la teoriacutea molecular se propone la siguiente relacioacuten (Sutherland) entre la conductividad y la viscosidad dinaacutemica de un gas de la forma

en la que C es una constante con dimensiones de temperatura y ε un coeficiente numeacuterico que depende del nuacutemero n de aacutetomos contenidos en la moleacutecula de la forma

En la Tabla 3 se indican los valores de C y 0 η para diversos gases industriales

RESISTENCIA DE CONTACTO

Cuando superficies a distintas temperaturas se ponen en contacto aparece una resistencia teacutermica en la interface de los soacutelidos que se conoce como resistencia de contacto y que

se desarrolla cuando los dos materiales no ajustan exactamente por lo que entre ambos puede quedar atrapada una delgada capa de fluido Una vista ampliada del contacto entre las dos superficies mostrariacutea que los soacutelidos se tocan soacutelo en picos superficiales mientras que los huecos estariacutean ocupados por un fluido o el vaciacuteo La resistencia de la interface depende de

bull La rugosidad superficialbull La presioacuten que mantiene en contacto las dos superficiesbull Del fluido de la interfacebull De su temperatura

En la interface el mecanismo de la transmisioacuten del calor y su determinacioacuten es complejo la conduccioacuten del calor tiene lugar a traveacutes de los puntos de contacto del soacutelido en forma tridimensional por cuanto el calor se transmite por las aacutereas de contacto a traveacutes del fluido de la interface por conveccioacuten y entre las superficies por radiacioacuten Si el calor a traveacutes de las superficies soacutelidas en contacto es Q la diferencia de temperaturas a traveacutes del fluido que separa los dos soacutelidos es ΔTi y la resistencia de contacto R i se puede expresar en funcioacuten de una conductancia interfacial h i W m 2K se tiene

Cuando las dos superficies estaacuten en contacto teacutermico perfecto la diferencia de temperaturas a traveacutes de la interface es nula por lo que su resistencia teacutermica es cero Un contacto teacutermico imperfecto tiene lugar cuando existe una diferencia de temperaturas en la interface La resistencia por contacto depende de la presioacuten con que se mantiene el contacto y muestra un descenso notable cuando se alcanza el liacutemite elaacutestico de alguno de los materialesEn los soacutelidos mecaacutenicamente unidos no se suele considerar la resistencia de la interface a pesar de que siempre estaacute presente Sin embargo hay que conocer la existencia de la resistencia de la interface y la diferencia de temperaturas resultante a traveacutes de la misma En superficies rugosas y bajas presiones de unioacuten la caiacuteda de temperatura a traveacutes de la interface puede ser importante incluso dominante y hay que tenerla en cuenta La problemaacutetica de la resistencia de la interface es compleja y no existe ninguna teoriacutea o base de datos empiacutericos que la describa exactamente para situaciones de intereacutes industrial

CONDUCCIOacuteN DE CALOR EN ESTADO TRANSITORIO Y EN MULTIDIRECCIONAL

Para resolver problemas maacutes generales de transferencia de calor por conduccioacuten esto es cuando existe el estado transitorio o el flujo de calor no es unidireccional es necesario resolver la ecuacioacuten general del calor cuya forma maacutes general es

normalmente denominado capacidad teacutermica volumeacutetrica mide la capacidad de un material para almacenar energiacutea teacutermica El cociente entre la conductividad teacutermica y la capacidad teacutermica se lo denomina difusividad teacutermica α que constituye una importante propiedad que tiene unidades de (m 2 s) Mide la capacidad de un material para conducir energiacutea teacutermica en relacioacuten con su capacidad para almacenar energiacutea Materiales con α grande responderaacuten raacutepidamente a cambios en su medio teacutermico mientras que materiales con α pequentildeos tardan maacutes en alcanzar una nueva condicioacuten de equilibrio

Paredes esfeacutericas Considere la esfera hueca de la figura 8 Para el estado estacionario y condiciones unidimensionales Q r es constante y la forma apropiada para la ley de Fourier es

donde es el aacuterea normal a la direccioacuten de transferencia de calor luego la ecuacioacuten anterior se puede expresar en forma integral como

Resolviendo bajo la suposicioacuten que la conductividad teacutermica es constante obtenemos

y la distribucioacuten de temperaturas en la esfera vendraacute dada por

CONDUCTIVIDAD TEacuteRMICA

La conductividad teacutermica k es una propiedad de los materiales que excepto en el caso de los gases a bajas temperaturas no es posible predecir analiacuteticamente La informacioacuten disponible estaacute basada en medidas experimentalesEn general la conductividad teacutermica de un material variacutea con la temperatura pero en muchas situaciones praacutecticas si el sistema tiene una temperatura media se puede considerar con un valor medio constante lo que proporciona resultados bastante satisfactoriosEn la Tabla 1 se relacionan los valores tiacutepicos de la conductividad teacutermica de algunos metales soacutelidos no metaacutelicos liacutequidos y gases que nos dan una idea del orden de magnitud con que se presenta en la praacutectica mientras que en las figura 9 se presenta una graacutefica de conductividades teacutermicas entre 0 y 450 WmK para metales y aleaciones (buenos conductores teacutermicos)

En la figura 10 se muestra que el rango de conductividades teacutermicas para algunos gases y liacutequidos es entre 0 y 08 W mK observaacutendose la gran diferencia existente entre sus coeficientes de conductividad k

En los materiales conductores el mecanismo de la transmisioacuten de calor por conduccioacuten estaacute asociado a las vibraciones de la estructura reticular y al movimiento de los electrones libres (metales y aleaciones) al igual que en los conductores eleacutectricos por lo que materiales buenos conductores de la electricidad son tambieacuten en general buenos conductores del calor (cobre plata aluminio etc)

Los aislantes teacutermicos (vidrio plaacutesticos etc) que requieren de una estructura porosa y un gas atrapado en la misma son tambieacuten buenos aislantes eleacutectricos En estos materiales la transferencia de calor puede tener lugar de diversas formas

a) Conduccioacuten a traveacutes de la estructura soacutelida porosa o fibrosab) Conduccioacuten yo conveccioacuten a traveacutes del aire atrapado en los espacios vaciacuteosc) Radiacioacuten entre porciones de la estructura soacutelida lo cual es especialmente importante a temperaturas elevadas o en recintos vaciacuteos

Se han desarrollado materiales superaislantes para aplicaciones criogeacutenicas que constan de varias capas de materiales altamente reflectantes separados por espacios vaciacuteos que minimizan la conduccioacuten y la conveccioacuten alcanzaacutendose conductividades teacutermicas del orden de 002 W mK

En muchos materiales el valor de k no es constante sino que variacutea con la temperatura y con la composicioacuten quiacutemica de los mismos Cuando soacutelo depende de la temperatura se puede poner el valor de k en la forma

siendo k0 el valor de la conductividad a la temperatura de referencia y β una constante(Coeficiente de dilatacioacuten) En tal caso la integracioacuten de la ecuacioacuten de Fourier proporciona

en la que k m es el valor de k a la temperatura

COEFICIENTES DE CONDUCTIVIDAD TEacuteRMICA PARA LAS ALEACIONES

En la figura 9 se muestra el comportamiento de la conductividad teacutermica de algunos metales y aleaciones (cobre aluminio acero al carbono acero inoxidable 18-8 etc) con la temperaturaLa conductividad teacutermica de las aleaciones en general y de los aceros en particular se puede determinar mediante la relacioacuten

en la que 0 k es la conductividad teacutermica del metal base y 1 2 n ξ ξ 1048610ξ son unos factores de correccioacuten de dicha conductividad propios de cada metal que la caracterizan La conductividad teacutermica del hierro puro viene representada en la figura 11 mientras que los factores caracteriacutesticos de los metales adicionales que entran en la composicioacuten de un acero aleado ξ1ξ2 1048610ξn en la figura 12

CONDUCTIVIDAD TEacuteRMICA DE LIacuteQUIDOS-

En la figura 10 se indica la conductividad teacutermica de algunos liacutequidos en funcioacuten de la temperatura observaacutendose que la conductividad teacutermica de los liacutequidos decrece a medida que aumenta su temperatura excepto en el caso del agua pero el cambio es tan pequentildeo que en la mayor parte de las situaciones praacutecticas la conductividad teacutermica se puede suponer constante para ciertos intervalos de temperatura asimismo en los liacutequidos no hay una dependencia apreciable con la presioacuten debido a que eacutestos son praacutecticamente incompresibles

Para la determinacioacuten de la difusividad teacutermica en liacutequidos se propone la foacutermula

en la que M es la masa molecular y ρ la densidad del liacutequido

Como la ecuacioacuten no es homogeacutenea conviene precisar las unidades en que se deben expresar las magnitudes que en ella figuran k en Kcal (mhoraordmC) ρ en (kg dm3 ) y cp en (Kcal kgordm C)

Para definir la variacioacuten de la conductividad teacutermica k en funcioacuten de la temperatura Riedel propone la ecuacioacuten

siendo T r la temperatura reducida igual a T rT K la conductividad a la temperatura T r = T con T r en K k K la conductividad a la temperatura criacutetica T K en K

En el caso en que se desconozca la conductividad k K la ecuacioacuten anterior se puede emplear para determinar la conductividad a una temperatura para la que no existen resultados de medida en estas circunstancias el valor de k K se calcula para unas ciertas condiciones en las que se conozca T K con ayuda de la citada ecuacioacuten Si no se conoce T K se pueden determinar los valores de k K y de T K efectuando dos medidas de k a temperaturas suficientemente espaciadas una de otra Esta ecuacioacuten se puede utilizar para temperaturas reducidas del orden de 09 aproximadamente

La conductividad de los liacutequidos variacutea con la temperatura En las proximidades del punto criacutetico disminuye maacutes raacutepidamente ya que la conductividad del vapor es siempre maacutes baja Si se conocen la conductividad del vapor saturado seco k y la temperatura criacutetica del liacutequido

T K en K la conductividad del liacutequido a la temperatura de saturacioacuten se puede deducir con ayuda de la Tabla 2 de la siguiente relacioacuten

CONDUCTIVIDAD TEacuteRMICA DE GASES Y VAPORES-

En la figura 10 y a tiacutetulo de ejemplo se muestran algunas conductividades teacutermicas de gases y vapores observaacutendose su variacioacuten con la temperatura La conductividad teacutermica de los gases crece con la presioacuten pero este aumento a presiones normales es tan pequentildeo que se puede despreciar Sin embargo en las proximidades del punto criacutetico y para presiones o muy bajas o muy altas la variacioacuten de la conductividad teacutermica en funcioacuten de la presioacuten no se puede despreciar La conductividad teacutermica de los gases se incrementa con la raiacutez cuadrada de la temperatura absoluta Los gases presentan conductividades teacutermicas muy bajas tanto maacutes cuanto maacutes elevado es su peso molecular Por analogiacutea con el proceso de la transmisioacuten del calor y sobre la base de la teoriacutea molecular se propone la siguiente relacioacuten (Sutherland) entre la conductividad y la viscosidad dinaacutemica de un gas de la forma

en la que C es una constante con dimensiones de temperatura y ε un coeficiente numeacuterico que depende del nuacutemero n de aacutetomos contenidos en la moleacutecula de la forma

En la Tabla 3 se indican los valores de C y 0 η para diversos gases industriales

RESISTENCIA DE CONTACTO

Cuando superficies a distintas temperaturas se ponen en contacto aparece una resistencia teacutermica en la interface de los soacutelidos que se conoce como resistencia de contacto y que

se desarrolla cuando los dos materiales no ajustan exactamente por lo que entre ambos puede quedar atrapada una delgada capa de fluido Una vista ampliada del contacto entre las dos superficies mostrariacutea que los soacutelidos se tocan soacutelo en picos superficiales mientras que los huecos estariacutean ocupados por un fluido o el vaciacuteo La resistencia de la interface depende de

bull La rugosidad superficialbull La presioacuten que mantiene en contacto las dos superficiesbull Del fluido de la interfacebull De su temperatura

En la interface el mecanismo de la transmisioacuten del calor y su determinacioacuten es complejo la conduccioacuten del calor tiene lugar a traveacutes de los puntos de contacto del soacutelido en forma tridimensional por cuanto el calor se transmite por las aacutereas de contacto a traveacutes del fluido de la interface por conveccioacuten y entre las superficies por radiacioacuten Si el calor a traveacutes de las superficies soacutelidas en contacto es Q la diferencia de temperaturas a traveacutes del fluido que separa los dos soacutelidos es ΔTi y la resistencia de contacto R i se puede expresar en funcioacuten de una conductancia interfacial h i W m 2K se tiene

Cuando las dos superficies estaacuten en contacto teacutermico perfecto la diferencia de temperaturas a traveacutes de la interface es nula por lo que su resistencia teacutermica es cero Un contacto teacutermico imperfecto tiene lugar cuando existe una diferencia de temperaturas en la interface La resistencia por contacto depende de la presioacuten con que se mantiene el contacto y muestra un descenso notable cuando se alcanza el liacutemite elaacutestico de alguno de los materialesEn los soacutelidos mecaacutenicamente unidos no se suele considerar la resistencia de la interface a pesar de que siempre estaacute presente Sin embargo hay que conocer la existencia de la resistencia de la interface y la diferencia de temperaturas resultante a traveacutes de la misma En superficies rugosas y bajas presiones de unioacuten la caiacuteda de temperatura a traveacutes de la interface puede ser importante incluso dominante y hay que tenerla en cuenta La problemaacutetica de la resistencia de la interface es compleja y no existe ninguna teoriacutea o base de datos empiacutericos que la describa exactamente para situaciones de intereacutes industrial

CONDUCCIOacuteN DE CALOR EN ESTADO TRANSITORIO Y EN MULTIDIRECCIONAL

Para resolver problemas maacutes generales de transferencia de calor por conduccioacuten esto es cuando existe el estado transitorio o el flujo de calor no es unidireccional es necesario resolver la ecuacioacuten general del calor cuya forma maacutes general es

normalmente denominado capacidad teacutermica volumeacutetrica mide la capacidad de un material para almacenar energiacutea teacutermica El cociente entre la conductividad teacutermica y la capacidad teacutermica se lo denomina difusividad teacutermica α que constituye una importante propiedad que tiene unidades de (m 2 s) Mide la capacidad de un material para conducir energiacutea teacutermica en relacioacuten con su capacidad para almacenar energiacutea Materiales con α grande responderaacuten raacutepidamente a cambios en su medio teacutermico mientras que materiales con α pequentildeos tardan maacutes en alcanzar una nueva condicioacuten de equilibrio

La conductividad teacutermica k es una propiedad de los materiales que excepto en el caso de los gases a bajas temperaturas no es posible predecir analiacuteticamente La informacioacuten disponible estaacute basada en medidas experimentalesEn general la conductividad teacutermica de un material variacutea con la temperatura pero en muchas situaciones praacutecticas si el sistema tiene una temperatura media se puede considerar con un valor medio constante lo que proporciona resultados bastante satisfactoriosEn la Tabla 1 se relacionan los valores tiacutepicos de la conductividad teacutermica de algunos metales soacutelidos no metaacutelicos liacutequidos y gases que nos dan una idea del orden de magnitud con que se presenta en la praacutectica mientras que en las figura 9 se presenta una graacutefica de conductividades teacutermicas entre 0 y 450 WmK para metales y aleaciones (buenos conductores teacutermicos)

En la figura 10 se muestra que el rango de conductividades teacutermicas para algunos gases y liacutequidos es entre 0 y 08 W mK observaacutendose la gran diferencia existente entre sus coeficientes de conductividad k

En los materiales conductores el mecanismo de la transmisioacuten de calor por conduccioacuten estaacute asociado a las vibraciones de la estructura reticular y al movimiento de los electrones libres (metales y aleaciones) al igual que en los conductores eleacutectricos por lo que materiales buenos conductores de la electricidad son tambieacuten en general buenos conductores del calor (cobre plata aluminio etc)

Los aislantes teacutermicos (vidrio plaacutesticos etc) que requieren de una estructura porosa y un gas atrapado en la misma son tambieacuten buenos aislantes eleacutectricos En estos materiales la transferencia de calor puede tener lugar de diversas formas

a) Conduccioacuten a traveacutes de la estructura soacutelida porosa o fibrosab) Conduccioacuten yo conveccioacuten a traveacutes del aire atrapado en los espacios vaciacuteosc) Radiacioacuten entre porciones de la estructura soacutelida lo cual es especialmente importante a temperaturas elevadas o en recintos vaciacuteos

Se han desarrollado materiales superaislantes para aplicaciones criogeacutenicas que constan de varias capas de materiales altamente reflectantes separados por espacios vaciacuteos que minimizan la conduccioacuten y la conveccioacuten alcanzaacutendose conductividades teacutermicas del orden de 002 W mK

En muchos materiales el valor de k no es constante sino que variacutea con la temperatura y con la composicioacuten quiacutemica de los mismos Cuando soacutelo depende de la temperatura se puede poner el valor de k en la forma

siendo k0 el valor de la conductividad a la temperatura de referencia y β una constante(Coeficiente de dilatacioacuten) En tal caso la integracioacuten de la ecuacioacuten de Fourier proporciona

en la que k m es el valor de k a la temperatura

COEFICIENTES DE CONDUCTIVIDAD TEacuteRMICA PARA LAS ALEACIONES

En la figura 9 se muestra el comportamiento de la conductividad teacutermica de algunos metales y aleaciones (cobre aluminio acero al carbono acero inoxidable 18-8 etc) con la temperaturaLa conductividad teacutermica de las aleaciones en general y de los aceros en particular se puede determinar mediante la relacioacuten

en la que 0 k es la conductividad teacutermica del metal base y 1 2 n ξ ξ 1048610ξ son unos factores de correccioacuten de dicha conductividad propios de cada metal que la caracterizan La conductividad teacutermica del hierro puro viene representada en la figura 11 mientras que los factores caracteriacutesticos de los metales adicionales que entran en la composicioacuten de un acero aleado ξ1ξ2 1048610ξn en la figura 12

CONDUCTIVIDAD TEacuteRMICA DE LIacuteQUIDOS-

En la figura 10 se indica la conductividad teacutermica de algunos liacutequidos en funcioacuten de la temperatura observaacutendose que la conductividad teacutermica de los liacutequidos decrece a medida que aumenta su temperatura excepto en el caso del agua pero el cambio es tan pequentildeo que en la mayor parte de las situaciones praacutecticas la conductividad teacutermica se puede suponer constante para ciertos intervalos de temperatura asimismo en los liacutequidos no hay una dependencia apreciable con la presioacuten debido a que eacutestos son praacutecticamente incompresibles

Para la determinacioacuten de la difusividad teacutermica en liacutequidos se propone la foacutermula

en la que M es la masa molecular y ρ la densidad del liacutequido

Como la ecuacioacuten no es homogeacutenea conviene precisar las unidades en que se deben expresar las magnitudes que en ella figuran k en Kcal (mhoraordmC) ρ en (kg dm3 ) y cp en (Kcal kgordm C)

Para definir la variacioacuten de la conductividad teacutermica k en funcioacuten de la temperatura Riedel propone la ecuacioacuten

siendo T r la temperatura reducida igual a T rT K la conductividad a la temperatura T r = T con T r en K k K la conductividad a la temperatura criacutetica T K en K

En el caso en que se desconozca la conductividad k K la ecuacioacuten anterior se puede emplear para determinar la conductividad a una temperatura para la que no existen resultados de medida en estas circunstancias el valor de k K se calcula para unas ciertas condiciones en las que se conozca T K con ayuda de la citada ecuacioacuten Si no se conoce T K se pueden determinar los valores de k K y de T K efectuando dos medidas de k a temperaturas suficientemente espaciadas una de otra Esta ecuacioacuten se puede utilizar para temperaturas reducidas del orden de 09 aproximadamente

La conductividad de los liacutequidos variacutea con la temperatura En las proximidades del punto criacutetico disminuye maacutes raacutepidamente ya que la conductividad del vapor es siempre maacutes baja Si se conocen la conductividad del vapor saturado seco k y la temperatura criacutetica del liacutequido

T K en K la conductividad del liacutequido a la temperatura de saturacioacuten se puede deducir con ayuda de la Tabla 2 de la siguiente relacioacuten

CONDUCTIVIDAD TEacuteRMICA DE GASES Y VAPORES-

En la figura 10 y a tiacutetulo de ejemplo se muestran algunas conductividades teacutermicas de gases y vapores observaacutendose su variacioacuten con la temperatura La conductividad teacutermica de los gases crece con la presioacuten pero este aumento a presiones normales es tan pequentildeo que se puede despreciar Sin embargo en las proximidades del punto criacutetico y para presiones o muy bajas o muy altas la variacioacuten de la conductividad teacutermica en funcioacuten de la presioacuten no se puede despreciar La conductividad teacutermica de los gases se incrementa con la raiacutez cuadrada de la temperatura absoluta Los gases presentan conductividades teacutermicas muy bajas tanto maacutes cuanto maacutes elevado es su peso molecular Por analogiacutea con el proceso de la transmisioacuten del calor y sobre la base de la teoriacutea molecular se propone la siguiente relacioacuten (Sutherland) entre la conductividad y la viscosidad dinaacutemica de un gas de la forma

en la que C es una constante con dimensiones de temperatura y ε un coeficiente numeacuterico que depende del nuacutemero n de aacutetomos contenidos en la moleacutecula de la forma

En la Tabla 3 se indican los valores de C y 0 η para diversos gases industriales

RESISTENCIA DE CONTACTO

Cuando superficies a distintas temperaturas se ponen en contacto aparece una resistencia teacutermica en la interface de los soacutelidos que se conoce como resistencia de contacto y que

se desarrolla cuando los dos materiales no ajustan exactamente por lo que entre ambos puede quedar atrapada una delgada capa de fluido Una vista ampliada del contacto entre las dos superficies mostrariacutea que los soacutelidos se tocan soacutelo en picos superficiales mientras que los huecos estariacutean ocupados por un fluido o el vaciacuteo La resistencia de la interface depende de

bull La rugosidad superficialbull La presioacuten que mantiene en contacto las dos superficiesbull Del fluido de la interfacebull De su temperatura

En la interface el mecanismo de la transmisioacuten del calor y su determinacioacuten es complejo la conduccioacuten del calor tiene lugar a traveacutes de los puntos de contacto del soacutelido en forma tridimensional por cuanto el calor se transmite por las aacutereas de contacto a traveacutes del fluido de la interface por conveccioacuten y entre las superficies por radiacioacuten Si el calor a traveacutes de las superficies soacutelidas en contacto es Q la diferencia de temperaturas a traveacutes del fluido que separa los dos soacutelidos es ΔTi y la resistencia de contacto R i se puede expresar en funcioacuten de una conductancia interfacial h i W m 2K se tiene

Cuando las dos superficies estaacuten en contacto teacutermico perfecto la diferencia de temperaturas a traveacutes de la interface es nula por lo que su resistencia teacutermica es cero Un contacto teacutermico imperfecto tiene lugar cuando existe una diferencia de temperaturas en la interface La resistencia por contacto depende de la presioacuten con que se mantiene el contacto y muestra un descenso notable cuando se alcanza el liacutemite elaacutestico de alguno de los materialesEn los soacutelidos mecaacutenicamente unidos no se suele considerar la resistencia de la interface a pesar de que siempre estaacute presente Sin embargo hay que conocer la existencia de la resistencia de la interface y la diferencia de temperaturas resultante a traveacutes de la misma En superficies rugosas y bajas presiones de unioacuten la caiacuteda de temperatura a traveacutes de la interface puede ser importante incluso dominante y hay que tenerla en cuenta La problemaacutetica de la resistencia de la interface es compleja y no existe ninguna teoriacutea o base de datos empiacutericos que la describa exactamente para situaciones de intereacutes industrial

CONDUCCIOacuteN DE CALOR EN ESTADO TRANSITORIO Y EN MULTIDIRECCIONAL

Para resolver problemas maacutes generales de transferencia de calor por conduccioacuten esto es cuando existe el estado transitorio o el flujo de calor no es unidireccional es necesario resolver la ecuacioacuten general del calor cuya forma maacutes general es

normalmente denominado capacidad teacutermica volumeacutetrica mide la capacidad de un material para almacenar energiacutea teacutermica El cociente entre la conductividad teacutermica y la capacidad teacutermica se lo denomina difusividad teacutermica α que constituye una importante propiedad que tiene unidades de (m 2 s) Mide la capacidad de un material para conducir energiacutea teacutermica en relacioacuten con su capacidad para almacenar energiacutea Materiales con α grande responderaacuten raacutepidamente a cambios en su medio teacutermico mientras que materiales con α pequentildeos tardan maacutes en alcanzar una nueva condicioacuten de equilibrio

a) Conduccioacuten a traveacutes de la estructura soacutelida porosa o fibrosab) Conduccioacuten yo conveccioacuten a traveacutes del aire atrapado en los espacios vaciacuteosc) Radiacioacuten entre porciones de la estructura soacutelida lo cual es especialmente importante a temperaturas elevadas o en recintos vaciacuteos

Se han desarrollado materiales superaislantes para aplicaciones criogeacutenicas que constan de varias capas de materiales altamente reflectantes separados por espacios vaciacuteos que minimizan la conduccioacuten y la conveccioacuten alcanzaacutendose conductividades teacutermicas del orden de 002 W mK

En muchos materiales el valor de k no es constante sino que variacutea con la temperatura y con la composicioacuten quiacutemica de los mismos Cuando soacutelo depende de la temperatura se puede poner el valor de k en la forma

siendo k0 el valor de la conductividad a la temperatura de referencia y β una constante(Coeficiente de dilatacioacuten) En tal caso la integracioacuten de la ecuacioacuten de Fourier proporciona

en la que k m es el valor de k a la temperatura

COEFICIENTES DE CONDUCTIVIDAD TEacuteRMICA PARA LAS ALEACIONES

En la figura 9 se muestra el comportamiento de la conductividad teacutermica de algunos metales y aleaciones (cobre aluminio acero al carbono acero inoxidable 18-8 etc) con la temperaturaLa conductividad teacutermica de las aleaciones en general y de los aceros en particular se puede determinar mediante la relacioacuten

en la que 0 k es la conductividad teacutermica del metal base y 1 2 n ξ ξ 1048610ξ son unos factores de correccioacuten de dicha conductividad propios de cada metal que la caracterizan La conductividad teacutermica del hierro puro viene representada en la figura 11 mientras que los factores caracteriacutesticos de los metales adicionales que entran en la composicioacuten de un acero aleado ξ1ξ2 1048610ξn en la figura 12

CONDUCTIVIDAD TEacuteRMICA DE LIacuteQUIDOS-

En la figura 10 se indica la conductividad teacutermica de algunos liacutequidos en funcioacuten de la temperatura observaacutendose que la conductividad teacutermica de los liacutequidos decrece a medida que aumenta su temperatura excepto en el caso del agua pero el cambio es tan pequentildeo que en la mayor parte de las situaciones praacutecticas la conductividad teacutermica se puede suponer constante para ciertos intervalos de temperatura asimismo en los liacutequidos no hay una dependencia apreciable con la presioacuten debido a que eacutestos son praacutecticamente incompresibles

Para la determinacioacuten de la difusividad teacutermica en liacutequidos se propone la foacutermula

en la que M es la masa molecular y ρ la densidad del liacutequido

Como la ecuacioacuten no es homogeacutenea conviene precisar las unidades en que se deben expresar las magnitudes que en ella figuran k en Kcal (mhoraordmC) ρ en (kg dm3 ) y cp en (Kcal kgordm C)

Para definir la variacioacuten de la conductividad teacutermica k en funcioacuten de la temperatura Riedel propone la ecuacioacuten

siendo T r la temperatura reducida igual a T rT K la conductividad a la temperatura T r = T con T r en K k K la conductividad a la temperatura criacutetica T K en K

En el caso en que se desconozca la conductividad k K la ecuacioacuten anterior se puede emplear para determinar la conductividad a una temperatura para la que no existen resultados de medida en estas circunstancias el valor de k K se calcula para unas ciertas condiciones en las que se conozca T K con ayuda de la citada ecuacioacuten Si no se conoce T K se pueden determinar los valores de k K y de T K efectuando dos medidas de k a temperaturas suficientemente espaciadas una de otra Esta ecuacioacuten se puede utilizar para temperaturas reducidas del orden de 09 aproximadamente

La conductividad de los liacutequidos variacutea con la temperatura En las proximidades del punto criacutetico disminuye maacutes raacutepidamente ya que la conductividad del vapor es siempre maacutes baja Si se conocen la conductividad del vapor saturado seco k y la temperatura criacutetica del liacutequido

T K en K la conductividad del liacutequido a la temperatura de saturacioacuten se puede deducir con ayuda de la Tabla 2 de la siguiente relacioacuten

CONDUCTIVIDAD TEacuteRMICA DE GASES Y VAPORES-

En la figura 10 y a tiacutetulo de ejemplo se muestran algunas conductividades teacutermicas de gases y vapores observaacutendose su variacioacuten con la temperatura La conductividad teacutermica de los gases crece con la presioacuten pero este aumento a presiones normales es tan pequentildeo que se puede despreciar Sin embargo en las proximidades del punto criacutetico y para presiones o muy bajas o muy altas la variacioacuten de la conductividad teacutermica en funcioacuten de la presioacuten no se puede despreciar La conductividad teacutermica de los gases se incrementa con la raiacutez cuadrada de la temperatura absoluta Los gases presentan conductividades teacutermicas muy bajas tanto maacutes cuanto maacutes elevado es su peso molecular Por analogiacutea con el proceso de la transmisioacuten del calor y sobre la base de la teoriacutea molecular se propone la siguiente relacioacuten (Sutherland) entre la conductividad y la viscosidad dinaacutemica de un gas de la forma

en la que C es una constante con dimensiones de temperatura y ε un coeficiente numeacuterico que depende del nuacutemero n de aacutetomos contenidos en la moleacutecula de la forma

En la Tabla 3 se indican los valores de C y 0 η para diversos gases industriales

RESISTENCIA DE CONTACTO

Cuando superficies a distintas temperaturas se ponen en contacto aparece una resistencia teacutermica en la interface de los soacutelidos que se conoce como resistencia de contacto y que

se desarrolla cuando los dos materiales no ajustan exactamente por lo que entre ambos puede quedar atrapada una delgada capa de fluido Una vista ampliada del contacto entre las dos superficies mostrariacutea que los soacutelidos se tocan soacutelo en picos superficiales mientras que los huecos estariacutean ocupados por un fluido o el vaciacuteo La resistencia de la interface depende de

bull La rugosidad superficialbull La presioacuten que mantiene en contacto las dos superficiesbull Del fluido de la interfacebull De su temperatura

En la interface el mecanismo de la transmisioacuten del calor y su determinacioacuten es complejo la conduccioacuten del calor tiene lugar a traveacutes de los puntos de contacto del soacutelido en forma tridimensional por cuanto el calor se transmite por las aacutereas de contacto a traveacutes del fluido de la interface por conveccioacuten y entre las superficies por radiacioacuten Si el calor a traveacutes de las superficies soacutelidas en contacto es Q la diferencia de temperaturas a traveacutes del fluido que separa los dos soacutelidos es ΔTi y la resistencia de contacto R i se puede expresar en funcioacuten de una conductancia interfacial h i W m 2K se tiene

Cuando las dos superficies estaacuten en contacto teacutermico perfecto la diferencia de temperaturas a traveacutes de la interface es nula por lo que su resistencia teacutermica es cero Un contacto teacutermico imperfecto tiene lugar cuando existe una diferencia de temperaturas en la interface La resistencia por contacto depende de la presioacuten con que se mantiene el contacto y muestra un descenso notable cuando se alcanza el liacutemite elaacutestico de alguno de los materialesEn los soacutelidos mecaacutenicamente unidos no se suele considerar la resistencia de la interface a pesar de que siempre estaacute presente Sin embargo hay que conocer la existencia de la resistencia de la interface y la diferencia de temperaturas resultante a traveacutes de la misma En superficies rugosas y bajas presiones de unioacuten la caiacuteda de temperatura a traveacutes de la interface puede ser importante incluso dominante y hay que tenerla en cuenta La problemaacutetica de la resistencia de la interface es compleja y no existe ninguna teoriacutea o base de datos empiacutericos que la describa exactamente para situaciones de intereacutes industrial

CONDUCCIOacuteN DE CALOR EN ESTADO TRANSITORIO Y EN MULTIDIRECCIONAL

Para resolver problemas maacutes generales de transferencia de calor por conduccioacuten esto es cuando existe el estado transitorio o el flujo de calor no es unidireccional es necesario resolver la ecuacioacuten general del calor cuya forma maacutes general es

normalmente denominado capacidad teacutermica volumeacutetrica mide la capacidad de un material para almacenar energiacutea teacutermica El cociente entre la conductividad teacutermica y la capacidad teacutermica se lo denomina difusividad teacutermica α que constituye una importante propiedad que tiene unidades de (m 2 s) Mide la capacidad de un material para conducir energiacutea teacutermica en relacioacuten con su capacidad para almacenar energiacutea Materiales con α grande responderaacuten raacutepidamente a cambios en su medio teacutermico mientras que materiales con α pequentildeos tardan maacutes en alcanzar una nueva condicioacuten de equilibrio

CONDUCTIVIDAD TEacuteRMICA DE LIacuteQUIDOS-

En la figura 10 se indica la conductividad teacutermica de algunos liacutequidos en funcioacuten de la temperatura observaacutendose que la conductividad teacutermica de los liacutequidos decrece a medida que aumenta su temperatura excepto en el caso del agua pero el cambio es tan pequentildeo que en la mayor parte de las situaciones praacutecticas la conductividad teacutermica se puede suponer constante para ciertos intervalos de temperatura asimismo en los liacutequidos no hay una dependencia apreciable con la presioacuten debido a que eacutestos son praacutecticamente incompresibles

Para la determinacioacuten de la difusividad teacutermica en liacutequidos se propone la foacutermula

en la que M es la masa molecular y ρ la densidad del liacutequido

Como la ecuacioacuten no es homogeacutenea conviene precisar las unidades en que se deben expresar las magnitudes que en ella figuran k en Kcal (mhoraordmC) ρ en (kg dm3 ) y cp en (Kcal kgordm C)

Para definir la variacioacuten de la conductividad teacutermica k en funcioacuten de la temperatura Riedel propone la ecuacioacuten

siendo T r la temperatura reducida igual a T rT K la conductividad a la temperatura T r = T con T r en K k K la conductividad a la temperatura criacutetica T K en K

En el caso en que se desconozca la conductividad k K la ecuacioacuten anterior se puede emplear para determinar la conductividad a una temperatura para la que no existen resultados de medida en estas circunstancias el valor de k K se calcula para unas ciertas condiciones en las que se conozca T K con ayuda de la citada ecuacioacuten Si no se conoce T K se pueden determinar los valores de k K y de T K efectuando dos medidas de k a temperaturas suficientemente espaciadas una de otra Esta ecuacioacuten se puede utilizar para temperaturas reducidas del orden de 09 aproximadamente

La conductividad de los liacutequidos variacutea con la temperatura En las proximidades del punto criacutetico disminuye maacutes raacutepidamente ya que la conductividad del vapor es siempre maacutes baja Si se conocen la conductividad del vapor saturado seco k y la temperatura criacutetica del liacutequido

T K en K la conductividad del liacutequido a la temperatura de saturacioacuten se puede deducir con ayuda de la Tabla 2 de la siguiente relacioacuten

CONDUCTIVIDAD TEacuteRMICA DE GASES Y VAPORES-

En la figura 10 y a tiacutetulo de ejemplo se muestran algunas conductividades teacutermicas de gases y vapores observaacutendose su variacioacuten con la temperatura La conductividad teacutermica de los gases crece con la presioacuten pero este aumento a presiones normales es tan pequentildeo que se puede despreciar Sin embargo en las proximidades del punto criacutetico y para presiones o muy bajas o muy altas la variacioacuten de la conductividad teacutermica en funcioacuten de la presioacuten no se puede despreciar La conductividad teacutermica de los gases se incrementa con la raiacutez cuadrada de la temperatura absoluta Los gases presentan conductividades teacutermicas muy bajas tanto maacutes cuanto maacutes elevado es su peso molecular Por analogiacutea con el proceso de la transmisioacuten del calor y sobre la base de la teoriacutea molecular se propone la siguiente relacioacuten (Sutherland) entre la conductividad y la viscosidad dinaacutemica de un gas de la forma

en la que C es una constante con dimensiones de temperatura y ε un coeficiente numeacuterico que depende del nuacutemero n de aacutetomos contenidos en la moleacutecula de la forma

En la Tabla 3 se indican los valores de C y 0 η para diversos gases industriales

RESISTENCIA DE CONTACTO

Cuando superficies a distintas temperaturas se ponen en contacto aparece una resistencia teacutermica en la interface de los soacutelidos que se conoce como resistencia de contacto y que

se desarrolla cuando los dos materiales no ajustan exactamente por lo que entre ambos puede quedar atrapada una delgada capa de fluido Una vista ampliada del contacto entre las dos superficies mostrariacutea que los soacutelidos se tocan soacutelo en picos superficiales mientras que los huecos estariacutean ocupados por un fluido o el vaciacuteo La resistencia de la interface depende de

bull La rugosidad superficialbull La presioacuten que mantiene en contacto las dos superficiesbull Del fluido de la interfacebull De su temperatura

En la interface el mecanismo de la transmisioacuten del calor y su determinacioacuten es complejo la conduccioacuten del calor tiene lugar a traveacutes de los puntos de contacto del soacutelido en forma tridimensional por cuanto el calor se transmite por las aacutereas de contacto a traveacutes del fluido de la interface por conveccioacuten y entre las superficies por radiacioacuten Si el calor a traveacutes de las superficies soacutelidas en contacto es Q la diferencia de temperaturas a traveacutes del fluido que separa los dos soacutelidos es ΔTi y la resistencia de contacto R i se puede expresar en funcioacuten de una conductancia interfacial h i W m 2K se tiene

Cuando las dos superficies estaacuten en contacto teacutermico perfecto la diferencia de temperaturas a traveacutes de la interface es nula por lo que su resistencia teacutermica es cero Un contacto teacutermico imperfecto tiene lugar cuando existe una diferencia de temperaturas en la interface La resistencia por contacto depende de la presioacuten con que se mantiene el contacto y muestra un descenso notable cuando se alcanza el liacutemite elaacutestico de alguno de los materialesEn los soacutelidos mecaacutenicamente unidos no se suele considerar la resistencia de la interface a pesar de que siempre estaacute presente Sin embargo hay que conocer la existencia de la resistencia de la interface y la diferencia de temperaturas resultante a traveacutes de la misma En superficies rugosas y bajas presiones de unioacuten la caiacuteda de temperatura a traveacutes de la interface puede ser importante incluso dominante y hay que tenerla en cuenta La problemaacutetica de la resistencia de la interface es compleja y no existe ninguna teoriacutea o base de datos empiacutericos que la describa exactamente para situaciones de intereacutes industrial

CONDUCCIOacuteN DE CALOR EN ESTADO TRANSITORIO Y EN MULTIDIRECCIONAL

Para resolver problemas maacutes generales de transferencia de calor por conduccioacuten esto es cuando existe el estado transitorio o el flujo de calor no es unidireccional es necesario resolver la ecuacioacuten general del calor cuya forma maacutes general es

normalmente denominado capacidad teacutermica volumeacutetrica mide la capacidad de un material para almacenar energiacutea teacutermica El cociente entre la conductividad teacutermica y la capacidad teacutermica se lo denomina difusividad teacutermica α que constituye una importante propiedad que tiene unidades de (m 2 s) Mide la capacidad de un material para conducir energiacutea teacutermica en relacioacuten con su capacidad para almacenar energiacutea Materiales con α grande responderaacuten raacutepidamente a cambios en su medio teacutermico mientras que materiales con α pequentildeos tardan maacutes en alcanzar una nueva condicioacuten de equilibrio

T K en K la conductividad del liacutequido a la temperatura de saturacioacuten se puede deducir con ayuda de la Tabla 2 de la siguiente relacioacuten

CONDUCTIVIDAD TEacuteRMICA DE GASES Y VAPORES-

En la figura 10 y a tiacutetulo de ejemplo se muestran algunas conductividades teacutermicas de gases y vapores observaacutendose su variacioacuten con la temperatura La conductividad teacutermica de los gases crece con la presioacuten pero este aumento a presiones normales es tan pequentildeo que se puede despreciar Sin embargo en las proximidades del punto criacutetico y para presiones o muy bajas o muy altas la variacioacuten de la conductividad teacutermica en funcioacuten de la presioacuten no se puede despreciar La conductividad teacutermica de los gases se incrementa con la raiacutez cuadrada de la temperatura absoluta Los gases presentan conductividades teacutermicas muy bajas tanto maacutes cuanto maacutes elevado es su peso molecular Por analogiacutea con el proceso de la transmisioacuten del calor y sobre la base de la teoriacutea molecular se propone la siguiente relacioacuten (Sutherland) entre la conductividad y la viscosidad dinaacutemica de un gas de la forma

en la que C es una constante con dimensiones de temperatura y ε un coeficiente numeacuterico que depende del nuacutemero n de aacutetomos contenidos en la moleacutecula de la forma

En la Tabla 3 se indican los valores de C y 0 η para diversos gases industriales

RESISTENCIA DE CONTACTO

Cuando superficies a distintas temperaturas se ponen en contacto aparece una resistencia teacutermica en la interface de los soacutelidos que se conoce como resistencia de contacto y que

se desarrolla cuando los dos materiales no ajustan exactamente por lo que entre ambos puede quedar atrapada una delgada capa de fluido Una vista ampliada del contacto entre las dos superficies mostrariacutea que los soacutelidos se tocan soacutelo en picos superficiales mientras que los huecos estariacutean ocupados por un fluido o el vaciacuteo La resistencia de la interface depende de

bull La rugosidad superficialbull La presioacuten que mantiene en contacto las dos superficiesbull Del fluido de la interfacebull De su temperatura

En la interface el mecanismo de la transmisioacuten del calor y su determinacioacuten es complejo la conduccioacuten del calor tiene lugar a traveacutes de los puntos de contacto del soacutelido en forma tridimensional por cuanto el calor se transmite por las aacutereas de contacto a traveacutes del fluido de la interface por conveccioacuten y entre las superficies por radiacioacuten Si el calor a traveacutes de las superficies soacutelidas en contacto es Q la diferencia de temperaturas a traveacutes del fluido que separa los dos soacutelidos es ΔTi y la resistencia de contacto R i se puede expresar en funcioacuten de una conductancia interfacial h i W m 2K se tiene

Cuando las dos superficies estaacuten en contacto teacutermico perfecto la diferencia de temperaturas a traveacutes de la interface es nula por lo que su resistencia teacutermica es cero Un contacto teacutermico imperfecto tiene lugar cuando existe una diferencia de temperaturas en la interface La resistencia por contacto depende de la presioacuten con que se mantiene el contacto y muestra un descenso notable cuando se alcanza el liacutemite elaacutestico de alguno de los materialesEn los soacutelidos mecaacutenicamente unidos no se suele considerar la resistencia de la interface a pesar de que siempre estaacute presente Sin embargo hay que conocer la existencia de la resistencia de la interface y la diferencia de temperaturas resultante a traveacutes de la misma En superficies rugosas y bajas presiones de unioacuten la caiacuteda de temperatura a traveacutes de la interface puede ser importante incluso dominante y hay que tenerla en cuenta La problemaacutetica de la resistencia de la interface es compleja y no existe ninguna teoriacutea o base de datos empiacutericos que la describa exactamente para situaciones de intereacutes industrial

CONDUCCIOacuteN DE CALOR EN ESTADO TRANSITORIO Y EN MULTIDIRECCIONAL

Para resolver problemas maacutes generales de transferencia de calor por conduccioacuten esto es cuando existe el estado transitorio o el flujo de calor no es unidireccional es necesario resolver la ecuacioacuten general del calor cuya forma maacutes general es

normalmente denominado capacidad teacutermica volumeacutetrica mide la capacidad de un material para almacenar energiacutea teacutermica El cociente entre la conductividad teacutermica y la capacidad teacutermica se lo denomina difusividad teacutermica α que constituye una importante propiedad que tiene unidades de (m 2 s) Mide la capacidad de un material para conducir energiacutea teacutermica en relacioacuten con su capacidad para almacenar energiacutea Materiales con α grande responderaacuten raacutepidamente a cambios en su medio teacutermico mientras que materiales con α pequentildeos tardan maacutes en alcanzar una nueva condicioacuten de equilibrio

se desarrolla cuando los dos materiales no ajustan exactamente por lo que entre ambos puede quedar atrapada una delgada capa de fluido Una vista ampliada del contacto entre las dos superficies mostrariacutea que los soacutelidos se tocan soacutelo en picos superficiales mientras que los huecos estariacutean ocupados por un fluido o el vaciacuteo La resistencia de la interface depende de

bull La rugosidad superficialbull La presioacuten que mantiene en contacto las dos superficiesbull Del fluido de la interfacebull De su temperatura

En la interface el mecanismo de la transmisioacuten del calor y su determinacioacuten es complejo la conduccioacuten del calor tiene lugar a traveacutes de los puntos de contacto del soacutelido en forma tridimensional por cuanto el calor se transmite por las aacutereas de contacto a traveacutes del fluido de la interface por conveccioacuten y entre las superficies por radiacioacuten Si el calor a traveacutes de las superficies soacutelidas en contacto es Q la diferencia de temperaturas a traveacutes del fluido que separa los dos soacutelidos es ΔTi y la resistencia de contacto R i se puede expresar en funcioacuten de una conductancia interfacial h i W m 2K se tiene

Cuando las dos superficies estaacuten en contacto teacutermico perfecto la diferencia de temperaturas a traveacutes de la interface es nula por lo que su resistencia teacutermica es cero Un contacto teacutermico imperfecto tiene lugar cuando existe una diferencia de temperaturas en la interface La resistencia por contacto depende de la presioacuten con que se mantiene el contacto y muestra un descenso notable cuando se alcanza el liacutemite elaacutestico de alguno de los materialesEn los soacutelidos mecaacutenicamente unidos no se suele considerar la resistencia de la interface a pesar de que siempre estaacute presente Sin embargo hay que conocer la existencia de la resistencia de la interface y la diferencia de temperaturas resultante a traveacutes de la misma En superficies rugosas y bajas presiones de unioacuten la caiacuteda de temperatura a traveacutes de la interface puede ser importante incluso dominante y hay que tenerla en cuenta La problemaacutetica de la resistencia de la interface es compleja y no existe ninguna teoriacutea o base de datos empiacutericos que la describa exactamente para situaciones de intereacutes industrial

CONDUCCIOacuteN DE CALOR EN ESTADO TRANSITORIO Y EN MULTIDIRECCIONAL

Para resolver problemas maacutes generales de transferencia de calor por conduccioacuten esto es cuando existe el estado transitorio o el flujo de calor no es unidireccional es necesario resolver la ecuacioacuten general del calor cuya forma maacutes general es

normalmente denominado capacidad teacutermica volumeacutetrica mide la capacidad de un material para almacenar energiacutea teacutermica El cociente entre la conductividad teacutermica y la capacidad teacutermica se lo denomina difusividad teacutermica α que constituye una importante propiedad que tiene unidades de (m 2 s) Mide la capacidad de un material para conducir energiacutea teacutermica en relacioacuten con su capacidad para almacenar energiacutea Materiales con α grande responderaacuten raacutepidamente a cambios en su medio teacutermico mientras que materiales con α pequentildeos tardan maacutes en alcanzar una nueva condicioacuten de equilibrio

Para resolver problemas maacutes generales de transferencia de calor por conduccioacuten esto es cuando existe el estado transitorio o el flujo de calor no es unidireccional es necesario resolver la ecuacioacuten general del calor cuya forma maacutes general es

normalmente denominado capacidad teacutermica volumeacutetrica mide la capacidad de un material para almacenar energiacutea teacutermica El cociente entre la conductividad teacutermica y la capacidad teacutermica se lo denomina difusividad teacutermica α que constituye una importante propiedad que tiene unidades de (m 2 s) Mide la capacidad de un material para conducir energiacutea teacutermica en relacioacuten con su capacidad para almacenar energiacutea Materiales con α grande responderaacuten raacutepidamente a cambios en su medio teacutermico mientras que materiales con α pequentildeos tardan maacutes en alcanzar una nueva condicioacuten de equilibrio