TRANSFERENCIA DE CALOR

TEMARIO:

CONDUCCIÓN UNIDIMENSIONAL PARED PLANA Y ANALOGÍA SISTEMA ELÉCTRICO: CIRCUITO TÉRMICO EQUIVALENTE

CONDUCCIÓN UNIDIMENSIONAL GEOMETRÍAS RADIALES

M.SC. EDISSON PAGUATIAN

APLICACIÓN DE LA ECUACIÓN DE FOURIER EN SISTEMAS UNIDIMENSIONALES SIMPLES.

DENTRO DE LA CATEGORÍA DE LOS SISTEMAS UNIDIMENSIONALES, SE PUEDEN ENCONTRAR VARIAS FORMAS FÍSICAS DISTINTAS: LOS SISTEMAS CILÍNDRICOS Y ESFÉRICOS SON UNIDIMENSIONALES CUANDO LA TEMPERATURA EN EL CUERPO ES SÓLO FUNCIÓN DE LA DISTANCIA RADIAL, E INDEPENDIENTE DEL ÁNGULO AZIMUTAL O DE LA DISTANCIA AXIAL.

PAREDES EN SERIE 

SI HAY MÁS DE UN MATERIAL PRESENTE, COMO EN LA PARED MULTICAPA MOSTRADA EN LA FIGURA, EL ANÁLISIS SERÍA EL SIGUIENTE: EN LOS TRES MATERIALES SE MUESTRAN LOS GRADIENTES DE TEMPERATURA, Y EL FLUJO DE CALOR SE PUEDE ESCRIBIR.

CC

BB

AA x

TTAk

xTT

AkxTT

Akq

342312

RESOLVIENDO ESTAS TRES ECUACIONES SIMULTÁNEAMENTE, EL FLUJO DE CALOR SE PUEDE PONER:

AkxAkxAkxTT

qCCBBAA

41

LA RAPIDEZ DE LA TRANSFERENCIA DE CALOR PUEDE CONSIDERARSE COMO UN FLUJO, Y LA COMBINACIÓN DE LA CONDUCTIVIDAD TÉRMICA, EL ESPESOR DEL MATERIAL Y EL ÁREA, COMO UNA RESISTENCIA A DICHO FLUJO. LA TEMPERATURA ES LA FUNCIÓN POTENCIAL, O MOTRIZ, DEL FLUJO DE CALOR, Y LA ECUACIÓN DE FOURIER SE PUEDE ESCRIBIR:

FLUJO DE CALOR = DIFERENCIA DE POTENCIAL TÉRMICO RESISTENCIA TÉRMICA

RELACIÓN BASTANTE PARECIDA A LA LEY DE OHM DE LA TEORÍA DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS. EN LA LA RESISTENCIA TÉRMICA ES /KA,

x

LA ANALOGÍA ELÉCTRICA SE PUEDE EMPLEAR PARA RESOLVER PROBLEMAS MÁS COMPLEJOS QUE INCLUYAN TANTO RESISTENCIAS TÉRMICAS EN SERIE COMO EN PARALELO. LA ECUACIÓN DEL FLUJO DE CALOR UNIDIMENSIONAL PARA ESTE TIPO DE PROBLEMA PUEDE ESCRIBIRSE:

termica

total

RTq

DONDE LAS R TÉRMICA, SON LAS RESISTENCIAS TÉRMICAS DE LOS DISTINTOS MATERIALES. LAS UNIDADES DE LA RESISTENCIA TÉRMICA SON °C/W Ó °F H/BTU.

AISLAMIENTO Y VALORES DE REN EL CAPÍTULO 1 SE HIZO NOTAR QUE LAS CONDUCTIVIDADES TÉRMICAS DE ALGUNOS DE LOS MATERIALES AISLANTES VIENEN DADAS EN EL APÉNDICE A. A LA HORA DE CLASIFICAR LAS CUALIDADES DEL AISLANTE, ES UNA PRÁCTICA COMÚN EN LA INDUSTRIA DE LA CONSTRUCCIÓN UTILIZAR UN TÉRMINO DENOMINADO CALOR R, DEFINIDO COMO:

AqTR

LAS UNIDADES DE R SON:

WmC /2

BtuhftF /2

SISTEMAS RADIALESCILINDROS

CONSIDÉRESE UN CILINDRO LARGO DE RADIO INTERIOR RI’, RADIO EXTERIOR RE Y LONGITUD L. SE PLANTEA LA PREGUNTA DE CUÁL SERÁ EL FLUJO DE CALOR. EN UN CILINDRO CUYA LONGITUD SEA MUY GRANDE COMPARADA CON SU DIÁMETROEL ÁREA PARA EL FLUJO DE CALOR EN UN SISTEMA CILÍNDRICO ES:

rLAr 2

DE MODO QUE LA LEY DE FOURIER SE ESCRIBE:

drdTkAq rr

ó

CON LAS CONDICIONES DE CONTORNO:

LA SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN:

EL CONCEPTO DE RESISTENCIA TÉRMICA PUEDE UTILIZARSE CON PAREDES CILÍNDRICAS MULTICAPA DE LA MISMA MANERA EN QUE SE HIZO CON PAREDES PLANAS. PARA EL SISTEMA DE TRES CAPAS

RESISTENCIA TÉRMICA DEL CILINDRO:

FLUJO DE CALOR UNIDIMENSIONAL A TRAVÉS DE SECCIONES CILÍNDRICAS MULTIPLES

ESFERASLOS SISTEMAS ESFÉRICOS PUEDEN TRATARSE TAMBIÉN COMO UNIDIMENSIONALES CUANDO LA TEMPERATURA SEA FUNCIÓN ÚNICAMENTE DEL RADIO. EL FLUJO DE CALOR ES ENTONCES:

EJEMPLO CONDUCCIÓN MULTICAPA:UNA PARED EXTERIOR DE UNA CASA SE PUEDE APROXIMAR POR UNA CAPA DE L0,16 CM DE LADRILLO CORRIENTE [K = 0,7 W/M . °C] SEGUIDA DE UNA CAPA DE 3,81 CM DE YESO [K = 0,48 W/M. °C]. ¿QUÉ ESPESOR DE AISLANTE DE LANA DE ROCA [K = 0,065 W/M . °C] DEBERÍA AÑADIRSE PARA REDUCIR EN UN 80 POR 100 LA PÉRDIDA DE CALOR (O LA GANANCIA) A TRAVÉS DE LA PARED? SOLUCIÓN. LA PÉRDIDA TOTAL DE CALOR VENDRÁ DADA POR:

PARA EL LADRILLO Y EL YESO SE TIENE, POR UNIDAD DE ÁREA:

ENTONCES:

DE MODO QUE LA RESISTENCIA TÉRMICA SIN AISLAMIENTO ES:

Y ESTO REPRESENTA LA SUMA DEL VALOR ANTERIOR Y DE LA RESISTENCIA DE LA LANA DE ROCA:

ASÍ QUE:

EJEMPLO DE CILÍNDRO MULTICAPAUN TUBO DE PAREDES GRUESAS DE ACERO INOXIDABLE CL8 % CR, 8 % NI, K = 19 W/M. “C] DE 2 CM DE DIÁMETRO INTERIOR (DI) Y 4 CM DE DIÁMETRO EXTERIOR (DE), SE CUBRE CON UNA CAPA DE 3 CM DE AISLANTE DE ASBESTO [K = 0,2 W/M . “CL. SI LA TEMPERATURA DE LA PARED INTERNA DEL CONDUCTO SE MANTIENE A 6OO”C, CALCÚLESE LA PÉRDIDA DE CALOR POR METRO DE LONGITUD. CALCÚLESE TAMBIÉN LA TEMPERATURA DE LA INTERFAZ TUBO-AISLANTE.

ESTE FLUJO DE CALOR SE PUEDE EMPLEAR PARA EL CÁLCULO DE LA TEMPERATURA DE LA INTERFAZ ENTRE LA PARED DEL TUBO Y EL AISLANTE. SE TIENE:

DONDE TA ES LA TEMPERATURA DE LA INTERFAZ, Y DE ELLA SE OBTIENE

LA RESISTENCIA TÉRMICA MAYOR CORRESPONDE CLARAMENTE AL AISLANTE, CON LO QUE LA MAYOR PARTE DE LA CAÍDA DE TEMPERATURA TIENE LUGAR A TRAVÉS DE ESTE MATERIAL.

EL CÁLCULO DE CALOR POR CONVECCIÓN PUEDE CALCULARSE CON:

TAMBIÉN SE PUEDE ESTABLECER UNA ANALOGÍA CON LA RESISTENCIA ELÉCTRICA PARA EL PROCESO DE CONVECCIÓN REESCRIBIENDO LA ECUACIÓN COMO

DONDE EL TÉRMINO 1/HA SE CONVIERTE AHORA EN LA RESISTENCIA A LA TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONVECCIÓN.

COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSFERENCIA DE CALORCONSIDÉRESE LA PARED PLANA DE LA FIGURA, EN CONTACTO CON UN FLUIDO CALIENTE A POR UNA CARA Y CON UN FLUIDO MÁS FRÍO B POR LA OTRA CARA. LA TRANSFERENCIA DE CALOR SE EXPRESA POR:

EL PROCESO DE TRANSFERENCIA DE CALOR SE PUEDE REPRESENTAR POR EL CIRCUITO DE RESISTENCIAS DE LA FIGURA, Y LA TRANSFERENCIA DE CALOR GLOBAL SE CALCULA COMO EL COCIENTE ENTRE LA DIFERENCIA TOTAL DE TEMPERATURAS Y LA SUMA DE LAS RESISTENCIAS TÉRMICAS.

OBSÉRVESE QUE EL VALOR DE 1/HA SE EMPLEA PARA REPRESENTAR LA RESISTENCIA A LA TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONVECCIÓN. LA TRANSFERENCIA DE CALOR GLOBAL QUE COMBINA LA CONDUCCIÓN Y LA CONVECCIÓN SE EXPRESA CON FRECUENCIA EN FUNCIÓN DE UN COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSFERENCIA DE CALOR U, DEFINIDO POR LA RELACIÓN. DONDE A ES ALGÚN ÁREA APROPIADA PARA EL FLUJO DE CALOR. EL COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSFERENCIA DE CALOR SERÍA:

El coeficiente global de transferencia de calor está también relacionado con el valor de R :

PARA UN CILINDRO HUECO CUYAS SUPERFICIES INTERIOR Y EXTERIOR SE HALLAN EXPUESTAS A UN AMBIENTE CONVECTIVO, LA ANALOGÍA DE LA RESISTENCIA ELÉCTRICA PODRÍA QUEDAR COMO SE MUESTRA EN LA FIGURA DONDE, DE NUEVO, TA Y TB Y SON LAS DOS TEMPERATURAS DEL FLUIDO. NÓTESE QUE EN ESTE CASO EL ÁREA PARA LA CONVECCIÓN NO ES LA MISMA PARA AMBOS FLUIDOS, Y DEPENDE DEL DIÁMETRO INTERIOR DEL TUBO Y DEL ESPESOR DE LA PARED. EL COEFICIENTE GLOBAL PARA LA TRANSFERENCIA DE CALOR EN ESTE CASO SE EXPRESARÍA CON:

DE ACUERDO CON EL CIRCUITO TÉRMICO MOSTRADO EN LA FIGURA LOS TÉRMINOS AI Y AE REPRESENTAN LAS ÁREAS DE LAS CARAS INTERNA Y EXTERNA DEL TUBO INTERIOR. EL COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSFERENCIA DE CALOR PUEDE BASARSE TANTO EN EL ÁREA INTERNA COMO EXTERNA DEL TUBO. POR TANTO:

EJEMPLO 2.3. TRANSFERENCIA DE CALOR A TRAVÉS DE UNA PARED COMPUESTA. LOS LISTONES DE MADERA «DOS POR CUATRO» TIENEN UNAS DIMENSIONES REALES DE 4,13 X 9,21 CM Y UNA CONDUCTIVIDAD TÉRMICA DE 0.1 W/M * °C. UNA PARED TÍPICA DE UNA CASA ESTÁ CONSTRUIDA COMO SE MUESTRA EN LA FIGURA EJEMPLO 2.3. CALCÚLESE EL COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSFERENCIA DE CALOR Y EL VALOR DE R DE LA PARED.

SOLUCIÓN. SE PUEDE SUPONER QUE LA SECCIÓN DE LA PARED TIENE DOS CAMINOS PARALELOS PARA EL FLUJO DE CALOR: (1) A TRAVÉS DE LOS LISTONES, Y (2) A TRAVÉS DEL AISLANTE. SE CALCULARÁ LA RESISTENCIA TÉRMICA PARA CADA UNO, Y LUEGO SE COMBINARÁN LOS VALORES PARA OBTENER EL COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSFERENCIA DE CALOR.

1. TRANSFERENCIA DE CALOR A TRAVÉS DE LISTONES (A = 0,0413 M² PORUNIDAD DE PROFUNDIDAD). ESTE FLUJO DE CALOR TIENE LUGAR A TRAVÉS DE SEIS RESISTENCIAS TÉRMICAS:

A) RESISTENCIA A LA TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONVECCIÓN EN EL EXTERIOR DEL LADRILLO:

B) RESISTENCIA A LA TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONDUCCIÓN EN EL LADRILLO:

C) RESISTENCIA A LA TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONDUCCIÓN A TRAVÉS DEL REVESTIMIENTO EXTERNO:

D) RESISTENCIA A LA TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONDUCCIÓN A TRAVÉS DEL LISTÓN DE MADERA

F) RESISTENCIA A LA TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONVECCIÓN EN EL INTERIOR

LA RESISTENCIA TÉRMICA TOTAL A TRAVÉS DE LA SECCIÓN DEL LISTÓN DE MADERA ES:

2. SECCIÓN DEL AISLANTE (A = 0,406 - 0,0413 M² POR UNIDAD DE PROFUNDIDAD). A TRAVÉS DE LA SECCIÓN DEL AISLANTE, CINCO DE LOS MATERIALES SON EL MISMO, PERO LAS RESISTENCIAS LLEVAN TÉRMINOS DE ÁREAS DIFERENTES, ESTO ES, 40,6 - 4,13 CM EN LUGAR DE 4,13 CM, DE MODO QUE CADA UNA DE LAS RESISTENCIAS ANTERIORES SE DEBE MULTIPLICAR POR UN FACTOR IGUAL A 4,13/(40,6 - 4,13) = 0,113. LA RESISTENCIA A TRAVÉS DEL AISLANTE ES

Y LA RESISTENCIA TOTAL A TRAVÉS DE LA SECCIÓN DEL AISLANTE ES

LA RESISTENCIA GLOBAL DE LA SECCIÓN SE OBTIENE COMBINANDO LAS RESISTENCIAS EN PARALELO DE LAS ECS. ANTERIORES PARA DAR

ESTE VALOR ESTÁ RELACIONADO CON EL COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSFERENCIA DE CALOR POR

DONDE A ES EL ÁREA TOTAL DE LA SECCIÓN = 0,406 M². ASÍ,

COMO SE HA VISTO, EL VALOR DE R ES ALGO DIFERENTE DE LA RESISTENCIA TÉRMICA Y VIENE DADO POR

ESTE EJEMPLO ILUSTRA LAS RELACIONES ENTRE LOS CONCEPTOS DE RESISTENCIA TÉRMICA, COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSFERENCIA DE CALOR, Y VALOR R. NÓTESE QUE EL VALOR R IMPLICA EL CONCEPTO DE UNIDAD DE ÁREA, MIENTRAS QUE LA RESISTENCIA TÉRMICA NO.

COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSFERENCIA DE CALOR DE UN TUBO. POR EL INTERIOR DE UN TUBO DE 2,5 CM DE DIÁMETRO INTERIOR CIRCULA AGUA A 50°C DE MODO QUE HI = 3.500 W/M². °C. EL TUBO TIENE UNA PARED DE 0,8 MM DE ESPESOR, CON UNA CONDUCTIVIDAD TÉRMICA DE 16 W/M. °C. EL EXTERIOR DEL TUBO PIERDE CALOR POR CONVECCIÓN NATURAL CON HE = 7,6 W/M² °C. CALCÚLESE EL COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSFERENCIA DE CALOR Y LA PÉRDIDA DE CALOR POR UNIDAD DE LONGITUD HACIA EL AIRE CIRCUNDANTE, QUE ESTÁ A 20°C.

SOLUCIÓN. EN ESTE PROBLEMA HAY TRES RESISTENCIAS EN SERIE, COMO SE ILUSTRA EN LA EC. (2.14). CON :

LA RESISTENCIA DEL EXTERIOR A LA TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONVECCIÓN ES CLARAMENTE LA MAYOR, Y ES ASÍ DE MANERA IRREFUTABLE. ESTO SIGNIFICA QUE ÉSTA ES LA RESISTENCIA QUE CONTROLA LA TRANSFERENCIA TOTAL DE CALOR, DADO QUE LAS OTRAS RESISTENCIAS (EN SERIE) SON, EN COMPARACIÓN, DESPRECIABLES. EL COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSFERENCIA DE CALOR SE BASARÁ EN EL ÁREA EXTERIOR DEL TUBO Y SE ESCRIBIRÁ

QUE ES UN VALOR MUY PRÓXIMO DE HE=7,6 PARA EL COEFICIENTE DE CONVECCIÓN EXTERIOR. LA TRANSFERENCIA DE CALOR SE OBTIENE DE LA EC. (A) CON:

ESTE EJEMPLO ILUSTRA EL HECHO IMPORTANTE DE QUE MUCHOS PROBLEMAS PRÁCTICOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR IMPLICAN MÚLTIPLES MODOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR ACTUANDO EN COMBINACIÓN; EN ESTE CASO, COMO UNA SERIE DE RESISTENCIAS TÉRMICAS. NO ES INUSUAL QUE UNO DE LOS MODOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR DOMINE EL PROBLEMA GLOBAL. EN ESTE EJEMPLO, LA TRANSFERENCIA DE CALOR TOTAL SE PODRÍA HABER CALCULADO DE FORMA MUY APROXIMADA CALCULANDO, ÚNICAMENTE, LA PÉRDIDA DE CALOR POR CONVECCIÓN NATURAL DESDE EL EXTERIOR DEL TUBO, MANTENIDO A UNA TEMPERATURA DE 50 °C. DEBIDO A QUE LAS RESISTENCIAS A LA TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONVECCIÓN INTERIOR Y DE LA PARED DEL TUBO SON TAN PEQUEÑAS, LAS CAÍDAS DE TEMPERATURA SON CONSECUENTEMENTE PEQUEÑAS, Y LA TEMPERATURA EXTERIOR DEL TUBO ESTARÁ MUY PRÓXIMA A LA DEL LÍQUIDO DEL INTERIOR, 50°C.

ESPESOR CRITICO DE AISLAMIENTOConsidérese una capa de aislante que podría instalarse alrededor de una tubería circular, como se muestra en la Figura. La temperatura interna del aislante está fijada en Ti, y la superficie externa está expuesta a un entorno convectivo a T∞. Según el circuito térmico, la transferencia de calor es

Ahora se analiza esta expresión para determinar el radio exterior de aislamiento re que hace máxima la transferencia de calor. La condición con para conseguir el máximo es:

Que conduce al resultado:

La Ecuación expresa el concepto de radio crítico de aislamiento. Si el radio exterior es menor que el valor dado por esta ecuación, entonces la transferencia de calor aumentará al añadir más aislante. Para radios externos mayores que el valor crítico, un aumento de espesor de aislante causará una disminución de la transferencia de calor. El concepto fundamental es que, para valores suficientemente pequeños de h, la pérdida de calor por convección puede aumentar realmente con la adición de aislante, debido al aumento del área superficial.

EJEMPLO 2.5. ESPESOR CRÍTICO DE AISLAMIENTO. Calcúlese el espesor crítico de aislamiento para el asbesto [k = 0,17 W/m °C] que rodea una tubería y se halla expuesto al aire de una habitación a 20 °C con h = 3,0 W/m² °C. Calcúlese la pérdida de calor desde una tubería a 200 °C, de 5,O cm de diámetro, cuando se cubre de aislante con el radiocrítico, y sin aislamiento.

Solución, se calcula re como:

El radio interior del aislamiento es 5,012 = 2,5 cm, de modo que la transferencia de calor se calcula:

Sin aislamiento, la convección desde la superficie exterior de la tubería es

Así, la adición de 3,17 cm (5,67 - 2,5) de aislante, realmente aumenta la transferencia de calor en un 25 por 100.Como alternativa, podría emplearse como material aislante la fibra de vidrio, con una conductividad térmica de 0,04 W/m °C. Entonces, el radio crítico sería

Ahora, el valor del radio crítico es menor que el radio exterior de la tubería (25 cm), por lo que la adición de cualquier cantidad de aislante de fibra de vidrio originaría una disminución de la transferencia de calor. En un problema práctico de aislamiento de tuberías, la pérdida total de calor estará también influenciada por la radiación, tanto como por la convección desde la superficie exterior del aislante.

SISTEMAS CON FUENTES DE CALOR

Gran cantidad de aplicaciones interesantes de los principios de la transferencia de calor están relacionadas con sistemas en los que puede generarse calor internamente. Los reactores nucleares son un ejemplo; los conductores eléctricos y los sistemas químicamente reactantes, otros. En este punto la discusión se ceñirá a sistemas unidimensionales, o, más específicamente, a sistemas donde la temperatura sólo es función de una coordenada espacial.

Pared plana con fuentes de calor

Considérese la pared plana con fuentes de calor distribuidas uniformemente, mostrada en la Figura 2.8. El espesor de la pared en la dirección x es 2L, y se supone que las dimensiones en las otras direcciones son suficientemente grandes como para que el flujo de calor pueda considerarse unidimensional. El calor generado por unidad de volumen es ԛ’ y se supone que la conductividad térmica no varía con la temperatura. Esta situación podría producirse en un caso práctico haciendo pasar una corriente a través de un material que sea conductor de la electricidad. Del Capítulo 1, la ecuación diferencial que gobierna el flujo de calor es:

ECUACION 2.19

Como condiciones de contorno, se especifican las temperaturas a cada lado de la pared, esto es

ECUACION 2.20

La solución general de la Ec. (2.19) es

ECUACION 2.21

Debido a que la temperatura debe ser la misma a cada lado de la pared, C1, tiene que ser cero. La temperatura en el plano medio se denota por T0, y de la Ec. (2.21)

La distribución de temperatura es, por tanto,

ECUACION 2.22A

ECUACION 2.22B

una distribución parabólica. Para la temperatura del plano medio, T0, se puede obtener una expresión por medio de un balance de energía. En condiciones estacionarias, el calor total generado debe ser igual al calor perdido por las caras. Así

donde A es el área de la sección transversal de la placa. El gradiente de

entonces

y ECUACION 2.23

Este mismo resultado se podría haber obtenido sustituyendo T = T0, para x = L en la Ec. (2.22a).La ecuación para la distribución de temperatura podría escribirse también de forma alternativa:

ECUACION 2.22C

Considérese un cilindro de radio R con fuentes de calor uniformemente distribuidas y conductividad térmica constante. Si el cilindro es lo suficientemente largo como para que pueda considerarse la temperatura función del radio únicamente, se puede obtener la ecuación diferencial apropiada despreciando los términos axial, azimutal y temporal en la Ec. (1.3b)

ECUACION 1.3B

ECUACION 2.24

CILNDROS CON FUENTES DE CALOR

Las condiciones de contorno son

y el calor generado es igual a la pérdida de calor en la superficie:

Puesto que la función de la temperatura a de ser continua en el centro del cilindro se podría especificar que:

Sin embargo, no será necesario utilizar esta condición, ya que se verificará automáticamente cuando se satisfacen las dos condiciones de contorno.Se reescribe la Ec. (2.24)

y se advierte que

La integración da entonces

De la segunda condición de contorno anterior

Así que

Se podría advertir también que C1, debe ser cero porque, en r = 0, la función logaritmo se hace infinito, de la primera condición de contorno

de modo que

La solución final para la distribución de temperaturas es entonces

ECUACION 2.25A

o, en forma adimensional,

ECUACION 2.25B

donde T0, es la temperatura en r = 0 y viene dada por

ECUACION 2.26

Se deja como ejercicio demostrar que el gradiente de temperaturas en r = 0 es cero.Para un cilindro hueco con fuentes de calor uniformemente distribuidas, las condiciones de contorno apropiadas serían

La solución general sigue siendo

La aplicación de las nuevas condiciones de contorno da

ECUACION 2.27

Con frecuencia el calor conducido a través de un cuerpo ha de evacuarse mediante algún proceso de convección. Por ejemplo el calor perdido por conducción a través de la pared de un horno de disiparse por convección hacia los alrededores.

En aplicaciones de cambiadores de calor se podría emplear un montaje de tubos con aletas para evacuar el calor desde un liquido caliente.

El calor es conducido a través del material y disipado finalmente por convección hacia los alrededores.

SISTEMAS CON CONDUCCION-CONVECCION

Obviamente desde un punto de vista practico es muy importante un análisis de sistemas con conducción y convección combinadas.

Considérese la aleta unidimensional expuesta a un fluido circulante que esta a una temperatura T∞ como se muestra en la figura 2.9 la temperatura de la base de la aleta es T∞ el problema se trata efectuando un balance de energía en un elemento de espesor dx de la aleta:

Energía que entra por la cara izquierda= energía que entra por la cara derecha + energía perdida por convección

Se recuerda que la ecuación que define el coeficiente de transferencia de calor por convección es:

ECUACION 2.29

Donde el área en esta ecuación es el área superficial para la convección. Sea A el área de la sección transversal de la aleta y P el perímetro. Las cantidades de energía son entonces:

Energía que entra por la cara izquierda

Energía que sale por la cara derecha

Energía perdida por convección

Aquí se advierte que el área superficial diferencial para la convección es el producto del perímetro de la aleta por la longitud diferencial dx. Cuando se cambian estas unidades el balance de energía da:

ECUACION 2.30 A

Sea θ=T-T∞ entonces la ecuación (2.30 a) queda:

ECUACION 2.30 B

Una condicion de contorno es:

Si se hace m² = hP/kA, la solución general de la Ec. (2.30b) puede escribirse

ECUACION 2.31

Las condiciones de contorno para el caso 1 son

Y SOLO QUEDA

ECUACION 2.32Para el caso 3 las condiciones de contorno son

Resolviendo en las constantes C1 y C2, se obtiene:

ECUACION 2.33 A

ECUACION 2.33 B

Las funciones hiperbólicas se definen como

La solución para el caso 2 es algebraicamente más compncaaa, y el resultado es

ECUACION 2.34

Todo el calor perdido por la aleta debe ser conducido hacia la base en x = 0. Utilizando las ecuaciones para la distribución de temperatura, se puede calcular la pérdida de calor a partir de:

Se podría emplear un método alternativo para integrar la pérdida de calor por convección:

En el desarrollo siguiente, se obtienen relaciones para la transferencia de calor desde una barra o aleta de área de sección transversal uniforme, que sobresale de una pared plana. En las aplicaciones prácticas, las aletas pueden tener secciones transversales de área variable y pueden estar unidas a superficies circulares. En ambos casos, en la deducción, el área debe considerarse como una variable y la solución de la ecuación diferencial básica y las técnicas matemáticas, se hacen más tediosas. Para esas situaciones más complejas se presentan sólo los resultados. Para los detalles de los métodos matemáticos empleados en la obtención de las soluciones, se remite al lector a las Referencias 1 y 8.

ALETAS

Para indicar la efectividad de una aleta en la transferencia de una cantidad de calor dada, se define un nuevo parámetro denominado rendimiento de aleta como

Se supuso que las aletas discutidas anteriormente eran lo suficientemente anchas como para que el flujo de calor pudiera considerarse unidimensional. La expresión para mL puede escribirse

donde z es la anchura de la aleta y t es el espesor. Ahora, si la aleta es suficientemente ancha, el término 22 será grande comparado con 2t, y

Multiplicando el numerador y el denominador por L¹∕² se tiene

Lt es el área del perfil de la aleta, que se define como

de modo que

En la Figura 2.10 se muestran ejemplos de otros tipos de aleta. La Figura 2.11 presenta una comparación de los rendimientos de una aleta triangular y una aleta rectangular recta. La Figura 2.12 muestra los rendimientos de aletas anulares con área de sección transversal rectangular.

Es interesante destacar que el rendimiento de aleta alcanza su máximo valor en el caso trivial en que L = 0, o cuando no hay aleta en absoluto. Por tanto, no se debería esperar poder maximizar el rendimiento de la aleta con respecto a la longitud de la aleta. Es posible, sin embargo, maximizar el rendimiento con respecto a la cantidad de material de aleta (masa, volumen, o coste), y tal proceso de maximización tiene un significado económico bastante obvio. No se ha discutido el tema de la transferencia de calor por radiación desde aletas. La transferencia de calor por radiación es una faceta importante en muchas aplicaciones, y el lector interesado debería consultar a Siegel y Howell [9] para obtener información sobre este tema.

En algunos casos, un método válido para evaluar el rendimiento de una aleta es comparar la transferencia de calor con aleta. con la que se obtendría sin aleta. El cociente de esas cantidades es

donde A, es el área total de la superficie de la aleta y A, es el área de la base.

y el cociente de calores quedaría

A esto se le llama a veces efectividad de la aleta.

Resistencia térmica de combinaciones aleta-pared

Considérese una aleta unida a una pared, como se ilustra, tanto en la Figura 2.11 como en la Figura 2.12. Se puede calcular una resistencia térmica de la pared utilizando R, = ∆x/kA para una pared plana, o Rp = In (re/ri)/2pi*kL para una pared cilíndrica. La resistencia a la transferencia de calor por convección en la superficie, en ausencia de aleta, sería 1/hA. La resistencia combinada de la aleta a la conducción y a la convección, Ra’, está relacionada con el calor perdido por la aleta a través de

o puede expresarse la resistencia de la aleta como

La transferencia de calor global a través de la combinación aleta-pared es entonces

donde Ti es la temperatura interior de la pared y Rpa, es la resistencia de la pared en la localización de la aleta. Esta transferencia de calor es solamente para la parte de pared con la aleta. Considérese ahora la sección de pared mostrada en la Figura 2.13, con un área Ab de la pared ocupada por la aleta y con un área Ai para la parte de la pared que está expuesta directamente a la convección con el ambiente. La transferencia de calor de la pared libre es

CONDICIONES DONDE LAS ALETAS NO AYUDAN

En este punto se debería advertir que la instalación de aletas en una superficie con transferencia de calor no aumentará el flujo de calor necesariamente. Si el valor del coeficiente de convección h es grande, como 10 es en líquidos en ebullición o en fluidos a gran velocidad, la aleta puede originar una reducción de la transferencia de calor, porque la resistencia a la transferencia de calor por conducción representa, entonces, un impedimento mayor al flujo de calor que la resistencia a la transferencia de calor por convección. Para ilustrar este punto, considérese una aleta de aguja de acero inoxidable que tiene k = 16 W/m. °C, L = 10 cm, d = 1 cm y que está expuesta a la convección en agua en ebullición con h = 5.000 W/m2. °C.

Así, esta varilla, relativamente grande, origina un aumento en la transferencia de calor de sólo un 13 por 100.

En el Problema 2.66, se discute otro método para evaluar el comportamiento de una aleta. Kern y Kraus [S] ofrecen una discusión completa sobre transferencia de calor en superficies adicionales. En la Figura 2.14 se muestran algunas fotografías de distintas configuraciones de aletas, empleadas en aplicaciones de refrigeración en electrónica.

Imagínate dos barras solidas puestas en contacto como se indica en la figura 2.15 con sus superficies laterales aisladas de modo que el calor fluye únicamente en dirección axial. Los materiales pueden tener distintas conductividades térmicas pero si las superficies laterales están aisladas el flujo de calor debe ser el mismo atreves de ambos materiales en régimen estacionario. La experiencia muestra que el perfil real de temperatura a traves de los dos materiales varia aproximadamente como se muestra en la figura 2.15b .

RESISTENCIA TERMICA DE CONTACTO

Se dice que la caída de temperatura en el plano 2, plano de contacto entre dos materiales es el resultado de una resistencia térmica de contacto. Efectuando un balance de energía en los dos materiales se obtienede contacto

Donde la magnitud 1/hA recibe el nombre de resistencia termica y hc coeficiente de contacto.

Este factor puede resultar extremadamente importante en muchas aplicaciones, debido a las muchas situaciones de transferencia de calor que implican la unión mecánica de dos materiales.

El mecanismo físico de la resistencia de contacto se puede entender mejor examinando con más detalle una unión, como se muestra en la Figura 2.16. Se ha exagerado la rugosidad real de la superficie para llevar a cabo la discusión. Ninguna superficie real es perfectamente lisa, y se cree que la rugosidad real de la superficie juega un papel fundamental al determinar la resistencia de contacto. Hay dos contribuciones principales a la transferencia de calor en la unión:

1. La conducción sólido-sólido en los puntos de contacto.2. La conducción a través de los gases atrapados en los espaciosvacíos creados por el contacto

Se cree que el segundo factor representa la mayor resistencia al flujo de calor, porque la conductividad térmica del gas es bastante pequeña comparada con la de los sólidos. Designando el área de contacto por Ac, y el área vacía por Av, se puede escribir para el flujo de calor a través de la unión

donde L, es el espesor del espacio vacío y k, es la conductividad térmica del fluido que llena el espacio vacío. El área total de la sección transversal de las barras es A. Resolviendo en hc, coeficiente de contacto, se obtiene

En la mayoría de los casos, el aire es el fluido que llena el espacio vacío y kf es pequeña comparada con ka y k,. Si el área de contacto es pequeña, la mayor parte de la resistencia térmica proviene del espacio vacío. El principal problema de esta teoría simple es que resulta extremadamente difícil determinar valores efectivos de Ac, Av y Lg, y para superficies en contacto. A partir del modelo físico anterior, se puede concluir de forma aproximada que:

1. La resistencia de contacto debería aumentar al disminuir la presióndel gas ambiente, cuando la presión desciende por debajo del valor para el que el recorrido libre medio de las moléculas es grande comparado con una dimensión característica del espacio vacío, ya que la conductancia térmica efectiva del gas atrapado disminuirá para esa condición.

2. La resistencia de contacto debería disminuir al aumentar la presión de la unión, ya que esto origina una deformación de los puntos sobresalientes de las superficies de contacto creando, de ese modo, un área de contacto mayor entre los sólidos.