Todo para tu Carrera! Guía 1

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a) y b) Lo único que hace falta hacer es ubicar los puntos en el plano:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

c) Teniendo ( ), lo único que tenemos que hacer es multiplicar cada coordenada por un

número real. Vamos a tomar los siguientes valores: { }.

Los puntos quedarán:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

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Guía 1 Álgebra

Ejercicio 1:

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d) Vamos a hacer lo mismo que en ejercicio anterior y tomamos los mismos valores para

ahorrarnos trabajo.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Como moraleja de los puntos c) y d), lo que vemos es que, cuando multiplicamos un punto en el

plano por una constante que la hacemos variar, obtenemos una recta.

a) Encontrar un punto P de la forma…

P tiene que ser de la forma ( ). Reemplazando en la ecuación del enunciado, nos

queda: ( ) ( ) ( ). A partir de ahí, lo que vamos a hacer es sumar coordenada a

coordenada: ( ) ( ).

Como sabemos, para que dos vectores sean iguales, sus coordenadas deben ser iguales,

entonces se nos forma el siguiente sistema:

{

Finalmente, de ambas ecuaciones, nos queda que . Sustituyendo en ( ), nos

queda ( ).

b) ¿Existe un punto de la forma…

Ejercicio 2:


Vamos a hacer lo mismo que en el punto anterior, salvo que con ( )y

sustituyendo en otra escuación. Nos queda: ( ) ( ) ( ).

El sistema resultante es:

{

A diferencia del caso anterior, el sistema no es compatible, porque para la primera

ecuación y para la segunda ecuación . Por lo tanto, como no hay ningún valor posible

de , no existe tampoco un punto que satisfaga la ecuación planteada.

c) Encontrar todos los a y b en …

Seguimos con la misma mecánica, salvo que se nos va a formar un sistema de dos

ecuaciones (porque tenemos dos coordenadas) con dos incógnitas ( y ).

De la ecuación que tenemos ( ) ( ) ( ), obtenemos el sistema:

{

De la primera ecuación, obtenemos que y, de la segunda, .

y

Antes de comenzar, es importante recordar:

abscisas: ordenadas:

x y

a)

b)

Ejercicio 3: Representar en …


c) ;

a)

Nota:

La cuestión es, ¿cuántas rectas quedan definidas entre dos puntos en el plano? Y la

respuesta es una o infinitas. Si los puntos no coinciden, tenemos definida una recta. Si los puntos

coinciden, sería lo mismo que tener un solo punto, y no queda definida ninguna recta en

particular, por lo que las rectas son infinitas.

En nuestro caso, tenemos dos puntos que no coinciden: ( ) y ( ):

Ejercicio 4:


b)

Vamos simplemente a graficarlos y ver si se encuentran alineados:

En el caso de los puntos de la forma ( ), coinciden con la recta.

i) P a la recta

ii) P a la recta

iii) P a la recta

iv) P a la recta

c)

La situación es la misma que en el punto a) solo que con otro par de puntos:

( )( )


Para hacer este ejercicio, necesitamos una pequeña introducción:

Una recta se puede escribir en forma paramétrica, definiendo dos puntos, uno fijo ( )

y otro ( )que se lo hace variar con un parámetro:

( ) ( )

Referencias:

L: nombre de la recta

: escalar, número real ( ): vector dirección ( ): vector particular

Para obtener el valor del vector dirección, lo que se hace es restar dos puntos que

pertenecen a la recta.

Vamos a los ejercicios:

( ) y ( ):

( ) ( ) ( ) ( )

( )⏟

( )⏟

( ) y ( ):

( ) ( ) ( ) ( )

Ejercicio 5: Dar las ecuaciones…


( ) ( )

Ya tenemos la forma paramétrica, ahora vamos a ver la forma implícita.

Forma implícita:

La forma típica explícita es .

Referencias:

: pendiente

: ordenada al origen

Teniendo dos puntos, la pendiente la podemos calcular de la siguiente manera:

A esos se los llama variaciones, incrementos o incrementales. Generalmente, se los llama

variaciones.

La forma implícita es:

Se llama forma implícita, porque no está despejada ninguna variable y, por lo tanto, la relación

entre variables está explícita en la ecuación.

Vamos a los ejercicios:

( ) y ( ):

( )

Sustituimos algún punto en :

despejando,

( )

Finalmente, nos queda que .

Pero esta sería la forma explícita, la implícita nos queda:

( ) y ( ):


, dado que estamos dividiendo por cero, esto nos dice que la recta es vertical.

La forma explícita nos queda y la forma implícita:

Si tenés alguna duda sobre las ecuaciones paramétricas utilizá el QR del ejercicio para acceder al

foro y realizar tu consulta.

El par de puntos que nos dan en este caso es ( ) y ( ).

Vamos a comenzar por la forma paramétrica:

El vector dirección es: ( ) ( ) ( )

( )⏟

( )⏟

Para hallar la forma paramétrica, en primer lugar, necesitamos la pendiente, que la calculamos

como veníamos haciendo:

Nos queda la ecuación y lo que teníamos que hacer ahora era reemplazar por algún

punto y podíamos despejar .

Vamos a sustituir ( ):

Despejando,

La forma explícita nos queda: y la forma implícita .

a) Para que sea más fácil de resolver, vamos a escribir la ecuación en forma explícita:

Propongo los y para hacer las cosas lo más simple posible, y nos queda:

( ) y ( ).

Ejercicio 6: Dar las ecuaciones paramétrica…

eeimplícita…

Ejercicio 7:


Graficando la recta:

b) Primero hallamos el vector director: ( ) ( ) ( )

( ) ( )

Recordar que no hay una única forma de escribir la recta en forma paramétrica.

a) Para resolver esto, es interesante notar que se puede obtener la pendiente desde el vector

dirección. El cociente del vector dirección, nos da la pendiente . Para hallar la pendiente,

reemplazamos por un punto perteneciente a la recta en la ecuación:

.

Sustituimos ( ) porque pertenece a la recta:

La forma explícita nos queda:

Por lo tanto, la forma implícita es:

b) El par de puntos en este caso es ( ) y ( ):

Nos queda la ecuación:

Sustituyendo el punto ( ):

Ejercicio 8: Dar la ecuación…


c) En este ítem, tenemos el par de puntos ( ) y ( )

El vector dirección nos queda: ( ) ( ) ( )

( ) ( )

d) Comenzamos buscando dos puntos, para eso, la forma explícita (despejando ) es:

Tomamos los valores { } y nos quedan los puntos: (

)y (

).

El vector dirección, nos queda: (

) (

) (

)

Como el vector dirección está multiplicado por el valor , sería lo mismo si lo multiplico antes. Voy

a multiplicarlo por para que quede más lindo: (

) ( ).

( ) (

)

e) Comenzamos por hallar el valor de la pendiente, recordando que se puede obtener haciendo

en el vector dirección:

.

De esta forma, nos queda: y sustituyendo por un punto de la recta, obtenemos ,

como veníamos haciendo.

a) Escribir la ecuación implícita de las rectas…

Ejercicio 8 c)

( ) y ( )

Ejercicio 9:


Ejercicio b d)

b) Determinar la pendiente…

Ejercicio 8 c):

Ejercicio 8 d):

Para resolver este ejercicio, vamos a usar la forma explícita:

a) Por los datos que nos dan, sabemos que: .

Sustituyendo el punto que nos dan en la ecuación:

( )

b) Por los datos, la forma de la ecuación es: .

Sustituyendo el punto:

Ejercicio 10: Dar la ecuación…


Para comenzar, necesitamos la ecuación de la recta y el ejercicio es igual a lo que veníamos

haciendo, solo que escrito de una diferente manera.

Partimos de

Sustituimos por el punto del ejercicio:

Finalmente,

Para hallar un punto, elegimos por ejemplo la coordenada y nos queda

.

( )

Para graficar, conviene tomar a lo sumo dos puntos por recta y unirlos. Por otro lado, en este

ejercicio vale la pena observar que las pendientes son iguales y, por lo tanto, las rectas son

paralelas.

a) Si son paralelas, tienen que tener el mismo vector dirección.

( )⏟

( )⏟

b) Como ya mencionamos en el ejercicio anterior, dos rectas paralelas tienen la misma pendiente.

Ejercicio 11:

Hallar un punto…

Ejercicio 12: Representar gráficamente…

Ejercicio 13: Dar la ecuación paramétrica…


Comenzamos encontrando la forma explícita de la ecuación que tenemos:

Nos queda entonces:

Como veníamos haciendo, si la recta pasa por el punto, al sustituirlo en la ecuación, la igualdad se

mantiene:

( )

a) Del enunciado, se tienen los siguientes puntos: ( ) y ( ).

Ahora, para variar un poco, vamos a resolver el ejercicio de una forma distinta. Como los

dos puntos pertenecen a la recta, al reemplazarlos en , la igualdad se tiene que

mantener. Reemplazando los dos puntos, nos queda un sistema de dos ecuaciones con dos

incógnitas:

{

De la primera ecuación, tenemos: y, sustituyendo en la segunda ecuación:

Sustituyendo en la primera ecuación:

Finalmente,

Ejercicio 14: Las ganancias de cierta empresa crecen…


Nota:

Esto que hicimos, se llama interpolación lineal, lo que vendría a ser, para decirlo en forma

sencilla, unir puntos que son datos con rectas. Si los puntos están lo suficientemente cercanos,

hacer esto nos permite obtener los valores que están entre los puntos. Por ejemplo, yendo a la

recta que sacamos, podemos aproximar la ganancia que hubo en el cuarto año (que la

aproximación sea buena es otra cuestión) aunque solo disponemos de la ganancia en el primero y

en el quinto año como datos reales. De todas formas, no te preocupes mucho por este concepto,

porque no está en el temario.

b) El ejercicio es bastante fácil, simplemente, necesitamos reemplazar el valor.

Nota:

Como el valor que queremos encontrar, está fuera del rango de la recta que encontramos

(entre el primero y el quinto año), lo que vamos a hacer es una extrapolación. Es decir, vamos a

aproximar un valor fuera del rango de valores con el que trabajamos. Ocurre lo mismo que en el

punto anterior, esta aproximación puede ser buena o mala pero vamos a calcularla igual:


c) En este caso, hacemos lo mismo que en el caso anterior pero sustituyendo otro valor:

a) Lo primero es mirar los datos. En este caso, tenemos los datos igual que en el ejercicio anterior,

como un par de puntos. La diferencia de este problema con el anterior es que en este caso,

trabajamos con una función de costo y en el anterior con una función de ganancia.

Los puntos son: ( ) y ( )

Procedemos como siempre:

La pendiente es:

Sustituyo el primer punto,

b) Observando la ecuación, se tienen dos partes:

⏟

⏟

Nota:

La parte variable, va aumentando en función de la cantidad de cuadras que recorre el taxi.

Pero para calcular el valor total, se suma siempre . Es decir, esto se cobra siempre, no importa

cuánto recorra. Este costo fijo del taxi es lo que llamamos bajada de bandera. Acá, vale $2,10

porque este ejercicio es de la época de nuestros abuelos.

c) Lo único que tenemos que hacer es reemplazar en la ecuación y despejar:

Ejercicio 15: El costo de un viaje…


En este caso, tenemos el par de puntos ( ) y( )

Como veníamos haciendo, partimos de la forma implícita de la ecuación de una recta:

De los dos puntos, podemos obtener la pendiente:

Nos queda entonces,

Reemplazando uno de los puntos, obtenemos el valor de . Elegimos el primero:

La ecuación nos queda:

⏟

⏟

Como la variable es en minutos, es el precio por minuto.

cargo variable:

cargo fijo:

a) Para resolver este problema, vamos a pasar las rectas a la forma explícita y hallar una solución

al sistema que se forma con las dos ecuaciones como una intersección.

( ) ( )

Pasamos a la forma explícita:

Ejercicio 16: Factura mensual por el uso de un teléfono…

Ejercicio 17: Hallar la intersección de las rectas…


Pasamos a la forma explícita:

Sustituyo el punto ( ):

Finalmente,

Con las dos ecuaciones de las rectas, nos queda el sistema:

{

Vamos a resolver este sistema de ecuaciones:

Igualando,

⋂ (

)

b) Nuevamente, vamos a buscar armar el sistema de ecuaciones:

{

En este caso, parece conveniente sustituir la que tenemos en la segunda ecuación, en la

primera.

( )


Sustituyendo en la segunda ecuación:

( )

Finalmente, ⋂ ( )

c) Vamos a pasar las ecuaciones de paramétricas a explícitas:

Nos queda:

{

Vamos a resolver el sistema por igualación:

Sustituyendo en la segunda ecuación:

Finalmente, ⋂ (

)

Si tenés alguna duda sobre las ecuaciones paramétricas utilizá el QR del ejercicio para acceder al

foro y realizar tu consulta.

a)

{

Ejercicio 18: En cada caso graficar las rectas, analizar…


Resolvemos por sustitución:

De la primera ecuación, ⏟

Sustituyendo en la segunda,

Sustituyendo en *,

⋂ ( )

b)

{

Resolvemos por sustitución:

De la primera ecuación,


( )

El sistema de ecuaciones no tiene solución No hay intersección entre las rectas.

⋂

Para el caso de rectas paralelas, la intersección será nula (salvo que estén una arriba de la otra).


c)

{

Si observamos la

segunda ecuación,

Esto significa que las dos ecuaciones son iguales, pero escritas de otra manera. Son rectas

coincidentes y la intersección es el conjunto de todos los puntos de la recta.

⋂

Nota:

Finalmente, para las intersecciones entre dos rectas tenemos tres casos posibles:

(1) Rectas coincidentes: como recién vimos en el punto c, la intersección es toda la recta. Esto

ocurre cuando tenemos la misma recta escrita de diferente manera y con distinto nombre. Para

decirlo claramente, ocurre cuando tenemos una recta encima de la otra y se tocan en todos los

puntos.

(2) Intersección nula: en este caso, las rectas no se intersectan (no se tocan). Esto ocurre cuando

tenemos dos rectas paralelas, como vimos en el punto b y no se tocan.

(3) Intersección en un punto: ocurre en el caso que no es ni el primero ni el segundo. Es decir, las

rectas tienen distinta pendiente.

Por lo tanto los casos anteriores 1 y 2, son los casos extremos a todo o nada, en los que la

intersección puede ser de toda la recta o nula. El caso 3, vendría a ser el caso “común” en el que se

tocan en un punto nada más.


d)

{

Resolvemos por sustitución, de la

primera ecuación:

⏟

Sustituimos en la segunda

ecuación,

( )

Sustituyendo en *,

⋂ ( )

e)

{

Como venimos haciendo, resolvemos por sustitución:


De la primera ecuación,

⏟

Sustituimos en la segunda,

( )

Sustituyendo en *,

⋂ ( )

{

( )

Para encontrar la recta que nos piden, necesitamos hallar primero las intersecciones de las que

nos están hablando:

⋂ :

{

Resolviendo nuevamente por sustitución, de la primera ecuación:

⏟


( )

Ejercicio 19: Sean …


Sustituyendo en *,

(

)

⋂ (

)

⋂ :

La segunda ecuación escrita en forma explícita es

{ ⏟

Resolvemos nuevamente por sustitución:

Sustituyendo la segunda ecuación en la primera,

Sustituyendo en *,

⋂ (

)

Teniendo los dos puntos por los que pasa la recta, hallamos el vector dirección, como la resta de

los dos puntos:

(

) (

) ( )

Tomamos el primer punto para armar la ecuación:

( ) (

)

Ejercicio 20: Hallas la recta que pasa por…


Para comenzar, recordemos que las rectas paralelas tienen la misma pendiente. En nuestro caso:

( )

Las ecuaciones de las ganancias son:

{ ( )

( )

a) La empresa A, como dice el enunciado, realizó una inversión inicial de y la empresa B de

b) Debe vender cierta cantidad de pares de zapatos, por el que ganará cierta cantidad de

dinero que debe ser igual al monto de inversión inicial.

⏟

⏟

c)

Vemos la situación un poco mejor en un gráfico:

a la izquierda del punto:

a la derecha del punto:

Ejercicio 21: Dos empresas familiares…


De los datos, tenemos:

{ ( ) ⏞

⏞

( )

El punto de equilibrio surge igualar el costo total y el ingreso por ventas:

Como primer paso, vamos a armar las funciones de ganancia para ambas empresas:

{ ( )

( )

Lo que nos preguntamos es ¿en qué punto comienza a ser ( ) ( )?

Verificamos los resultados con un gráfico:

Ejercicio 22: Un fabricante de guantes…

Ejercicio 23: Las empanadas El repulgo…


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

¡A partir de este ejercicio, comenzamos a trabajar en tres

dimensiones!

Calcular las coordenadas significa hallar el vector: ( ) ( ) ( )

Los vértices de dato son:

( ) ( ) ( ) ( )

Vamos a graficar para ver un poco mejor:

Ejercicio 24: Representar en …

Ejercicio 25: Si ( ); ( )

Ejercicio 26: Un cubo tiene vértices…


Finalmente, los vértices que faltan son:

( ) ( ) ( ) ( )

a) Vamos a comenzar armándola ecuación:

( ) ( ) ( )

Sumando coordenada a coordenada,

( ) ( )

Para cada coordenada,

{

En todas las ecuaciones,

Atención: Es importante verificar las igualdades de vectores coordenada por coordenada,

porque puede ocurrir que no haya solución. Supongamos que en la tercera ecuación, nos daba

. ¿Qué pasa en este caso? Este caso, el sistema de ecuaciones es incompatible, no hay

solución. Y en ese caso, si hubiésemos mirado solo el resultado en la primera coordenada y

decíamos que ese era el resultado, nos hubiésemos equivocado.

b) El procedimiento es el mismo que en el punto anterior.

Ejercicio 27:


i)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

{

De la segunda ecuación,

Verificamos en la última ecuación,

ii)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

{

Como en una coordenada, tenemos un absurdo, no hay solución.

a) ⏟

( )

Atención: No olvidar de colocar lo que está marcado con *. Cuando se define una recta en

forma paramétrica, se debe colocar una ecuación, una igualdad. Esto puede bajar puntos en un

parcial, mejor tenerlo en cuenta.

b) ( ) ( )

Por ahora, es lo mismo que en solo que con una coordenada más.

Ejercicio 28: Escribir la ecuación paramétrica…


c) Como vimos antes, dos rectas eran paralelas si tenían la misma pendiente. Cuando trabajamos

con rectas en forma paramétrica, dos rectas son paralelas si tienen el mismo vector director (o un

múltiplo).

( ) ( )

d) ( )

e) Primero hallamos el vector dirección: ( ) ( ) ( )

( ) ( )

Por lo que nos dice el enunciado, la segunda recta es: ( ) ( )

a) La tercera coordenada es

Para que sea nula,

De la ecuación, sustituyendo,

( )

b) Tenemos que ver si hay un valor posible de para cada caso:

{

En cada coordenada, tenemos un valor distinto de .

Por lo tanto, ( )

{

Por lo tanto, ( )

El vector dirección será ( ) ( ) ( )

Ejercicio 29: Sean en las rectas…

Ejercicio 30: Hallar todos los valores de …


Este debe ser un múltiplo del vector dirección de la otra recta, para que sean paralelas:

( ) ( )

{

De las ecuaciones anteriores obtenemos que

Reemplazamos el valor de en la segunda ecuación para obtener

(

) (

)

(

)

a) ⋂

Vamos a escribir las rectas coordenada por coordenada y después vamos a igualarlas:

{

{

Igualamos coordenada por coordenada:

{

Busquemos el punto en cuestión:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

Finalmente, ⋂ ( )

Ejercicio 31: Dadas las rectas…


ii) ⋂

{

{

Igualando coordenadas:

{

De la última ecuación,

Sustituyendo en la primera ecuación,

⋂

iii) ⋂

{

{

Igualando coordenadas:

{

Despejando de la primera ecuación,


Despejamos de la segunda ecuación,

Verificamos en la última ecuación,

⋂

iv) ⋂

{

{

{


Sustituyendo en la segunda ecuación,

( )

Se trata de otro caso de rectas coincidentes. ⋂ y los puntos de solución son infinitos

(todos los que están incluidos en la recta).

b)


i) ⋂ Se cortan en un único punto.

ii) ⋂ Son paralelas, no se cortan.

iii) ⋂ Son paralelas, no se cortan.

iv) ⋂ Las rectas coinciden.

De la misma forma que veníamos trabajando, para que la recta sea paralela, la dirección

debe ser la misma (o un múltiplo) y, para que pase por el punto, lo sumamos.

Le vamos a poner de nombre , para llamarla de alguna manera que la diferencie de la

otra recta que se llama .

( ) ( )

Para encontrar un valor que esté incluido en la recta, solo necesitamos darle un valor a .

Vamos a darle el valor que parece ser lo más sencillo.

( ) ( ) ( )

( )

Esta es una de las soluciones, porque tenemos infinitos puntos para elegir.

a) Los puntos buscados son de la forma ( ) con . El plano queda definido por la

ecuación .

Tres puntos posibles son: {( ) ( ) ( )}.

b) Los puntos buscados son de la forma ( ) con . El plano queda definido por la

ecuación .

Tres puntos posibles son: {( ) ( ) ( )}.

Antes de comenzar el ejercicio, necesitamos abrir un pequeño paréntesis teórico:

La ecuación paramétrica de un plano es:

Ejercicio 32: Sea la recta…

Ejercicio 33: Dar las coordenadas de 3 puntos…

Ejercicio 34: Escribir la ecuación paramétrica…


∏ ⏟

( ) ( )⏟

( )⏟

⏟

Referencias:

( ) ( ) Par de vectores de dirección

( ) Punto perteneciente al plano

a) Vamos a comenzar por hallar los vectores de dirección del plano:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

Como punto, vamos a elegir el para que no figure en la ecuación.

∏ ( ) ( )

b) Vamos a resolverlo de la misma manera que el anterior:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )


( ) ( ) ( )

El plano es paralelo al anterior.

∏ ( ) ( ) ( )

c) Es el mismo que en el punto a.

d) Con la misma mecánica:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )


∏ ( ) ( )


e) Nuevamente,

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )


∏ ( ) ( ) ( )

En este ejercicio es necesario otro pequeño paréntesis teórico:

La ecuación implícita de un plano es:

Aunque el plano, más específicamente, se escribe:

∏ {( ) }

De esta manera, definimos al plano como el conjunto de puntos de que verifica la ecuación del

plano.

Ejercicio 35: Dar la ecuación implícita…


El vector ( ) es un vector perpendicular al plano y que define cómo está orientado. Como los

vectores dirección son dos vectores incluidos en el plano, este vector se puede obtener como un

producto vectorial de estos dos (es perpendicular a ambos).

b)

(a)

( ) ( ) |

| (( ) ( ) ( )) ( )

( ) ( ) ( )

(b)

El vector será igual que el del ejercicio anterior.

( ) ( ) ( )

(c)

Este era igual al del punto a.

(d)

( ) ( ) |

| (( ) ( ) ( )) ( )

( ) ( ) ( )

(e)

( ) ( ) |

|

(( ( )) ( ( )) ( ( ) ( ( )))) ( )


a)

{

⋂ ( )

b)

{

⋂ ( )

c)

{

⋂ ( )

d)

{

Despejando de la segunda ecuación,


( )

Reemplazamos ,

Por cada coordenada tenemos,

( ) ( ) ( )

Ejercicio 36: Hallar la intersección de los planos…


Vamos a cambiarle el nombre al parámetro por

⋂ ( ) ( )

e)

{

En este caso hay que notar que las normales de los planos son una múltiplo de la otra, por

lo tanto, son paralelos.

Hay que verificar que no sean coincidentes, eso lo podemos hacer reescribiendo la

segunda ecuación y viendo que es diferente a la primera:

⋂

f)

{

Este punto está hecho para completar la idea del anterior, en este caso, tenemos rectas

paralelas pero son coincidentes.

La segunda ecuación se puede reescribir y quedar igual a la primera:

⋂ { }

Partiendo de la forma paramétrica, podemos pasar a la forma implícita utilizando la

siguiente relación:

Ejercicio 37: Dar las ecuaciones implícitas…


a)

( ) ( )

( )

b)

( ) ( )

( )

Para que la recta esté incluida en el plano, vamos a tomar dos puntos que pertenecen a la

recta y, al momento de hallar el plano, asegurarnos que estén contenidos.

Tomamos los valores y

( )

( ) ( ) ( )

Pero necesitamos un tercer punto para poder definir un plano. Para eso, vamos a

modificar alguno de los puntos anteriores para asegurarnos que no pertenezca. Por ejemplo,

vamos a modificarle la tercera coordenada al primer punto:

( )

Comenzamos por obtener los vectores dirección:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

Hacemos el producto vectorial para hallar la normal del plano:

Ejercicio 38: Dar las ecuaciones implícitas…


|

| ( ) ( )

La ecuación implícita, nos queda:

El punto ( ) pertenece a la recta y, por lo tanto, también al plano (la recta está incluida en el

plano).

Recordamos que para que dos rectas sean paralelas, sus vectores dirección deben ser

iguales o múltiplos. Es decir, , siendo y los vectores dirección de las dos rectas.

Vamos a comenzar por hallar la forma paramétrica de la recta que definen como :

L:{

Observando la definición de la recta, vemos que los puntos de la misma se pueden escribir en la

forma ( ).

( ) ( ) ( )

Renombramos , ( ) ( )

Calculamos el vector dirección de la recta que pasa por el par de puntos:

( ) ( ) ( )

Este vector tendría que ser múltiplo del ( )

( ) ( )

Igualando coordenada a coordenada,

{

Reemplazando la última ecuación en la segunda,

Ejercicio 39: Encontrar el valor de …


a)

Expresamos la ecuación en forma paramétrica, de la siguiente manera:

{

En la última ecuación, teníamos de dato que , sustituyendo, nos queda que .

Sustituimos en la ecuación de la recta,

{

( )

La solución es el punto ( )

b)

Primero, vamos a hallar la ecuación de la recta,

{

De la segunda ecuación,

Sustituimos en la primera ecuación,

Los puntos de la recta son de la forma ( )

Redefinimos ,

( ⏟

)

Sustituyendo en la ecuación del plano,

Ejercicio 40: Hallar la intersección de la recta…


Reemplazando en la ecuación de la recta,

{

Finalmente, la solución es el punto ( )

c)

{

De la segunda ecuación tenemos,

Sustituyendo en la primera ecuación,

La recta nos queda de la siguiente manera:

( )

Renombramos

( )

{

Hallamos la forma implícita de la ecuación del plano dado:

( ) ( ) |

| ( )

Con el punto que tenemos del plano, reemplazamos en la forma implícita para obtener el valor D

que nos falta.


La forma implícita es:

Sustituimos los valores de la recta en la ecuación del plano para obtener el punto,

( )

{

( )

d)

Reescribimos la ecuación de la primera recta,

{

Sustituimos en la ecuación del plano,

( ) ( ) , se verifica .

La recta está contenida en el plano.

e)

Reescribimos la ecuación de la primera recta,

{

Sustituimos en la ecuación del plano,


( ) ( ) 0

, absurdo, no existe posible.

La recta es paralela al plano.

Esta guía fue hecha con la mejor intención, con la mayor profesionalidad posible y como

un aporte aporte útil para la comunidad. Si encontrás algún detalle, podés dejarnos tus

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