-Cadena-De-marko Abosorbent y Regular Conceptov

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INVESTIGACION DE OPERACIONES

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CADENA DE MARKOV

PRESENTADO (POR):

MARCOS BOLIVAR ALVAREZ

JUAN CARLOS MADURO BARRETO

ALVARO CARDENA DONADO

PRESENTADO (A):

PRUDENCIA MEDINA MONTERROSA

FUNDACIÓN UNIVERSITARIA TECNOLÓGICO COMFENALCO

FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Y CONTABLES

PROGRAMA DE ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS

VIII SEMESTRE

CARTAGENA DE INDIAS D. T. Y C.

27 DE NOVIEMBRE 2010


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TABLA DE CONTENIDO

1) INTRDUCCION.--------------------------------------------------------------------PAG 4

2) OBJETIVOS.------------------------------------------------------------------------PAG 5

3) CADENA DE MARKOV.---------------------------------------------------------PAG 6

CONCEPTO.------------------------------------------------------------------------

4) CLASIFICACION DE LAS CADENAS DE MARKOV.---------------------

CADENAS ABSORBENTES.-----------------------------------------------------

GENERALIZANDO.----------------------------------------------------------------PAG 7

Ejemplo (Paseando por la peatonal).---------------------------------------PAG 8

5) CADENA DE MARKOV IRREDUCIBLE.----------------------------------------PAG 9

6) CLASIFICACIÓN SEGÚN EL NÚMERO DE CLASES FINALES.-------PAG 12

Cadena Ergódica.-----------------------------------------------------------------

Cadenas (ergódicas) Regulares.---------------------------------------------

Ejemplo (El clima en la Tierra de Oz).--------------------------------------

Cadena recurrente.---------------------------------------------------------------PAG 14

Cadenas irreducibles.----------------------------------------------------------

Cadenas regulares.--------------------------------------------------------------PAG 15

CADENA SEMI- ERGODICA.--------------------------------------------------PAG 16

CADENAS NO ERGODICAS.-------------------------------------------------

CADENAS INFINITAS.----------------------------------------------------------

CADENAS PERIÓDICAS ------------------------------------------------------

7) BIBLIOGRAFÍA.---------------------------------------------------------------------PAG 17

8) CONCLUCION.----------------------------------------------------------------------PAG 18


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1) INTRODUCCIÓN

Las cadenas de Markov se incluyen dentro de los denominados procesos

estocásticos.

Dichos estudian el comportamiento de variables aleatorias a lo largo del tiempo

X(t,w).

Los procesos estocásticos se pueden clasificar atendiendo a dos aspectos: si el

espacio de estados posibles de la variable aleatoria contiene valores discretos o

continuos y de si los valores del tiempo son discretos o continuos.

Las cadenas de Markov es un proceso estocástico en el que los valores del tiempo

son discretos y los estados posibles de la variable aleatoria contiene valores

discretos, es decir, es una cadena estocástica de tiempo discreto.

Las cadenas de Markov, se clasifican, además, dentro de los procesos

estocásticos de Markov, que son aquellos en el que el estado futuro de un proceso

es independiente de los estados pasados y solamente depende del estado

presente. Por lo tanto las probabilidades de transición entre los estados para los

tiempos k-1 y k solamente depende de los estados que la variable adquiere dichos

tiempos.


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2) OBJETIVOS

GENERAL:

Aplicar la teoría fundamental de cadenas de markov para determinar el

comportamiento de la materia prima a futuro en cada proceso.

ESPECIFICOS:

Mostrar que el proceso es una cadena de Markov.

Construir la matriz de transición.

Mostrar que los estados son accesibles.

Mostrar que los estados se comunican.

Mostrar que los estados son recurrentes.

Mostrar que los estados son aperiódicos.

Determinar el polinomio característico y los valores propios

3) CADENA DE MARKOV


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CONCEPTO

Las cadenas de Markov es una herramienta para analizar el comportamiento y el

gobierno de determinado de procesos estocásticos, esto es, procesos que

evolucionan de forma no deterministica a lo largo del tiempo en torno a un

conjunto de estados.

Una cadena Markov, por tanto, representa un sistema que varía su estado a lo

largo del tiempo, siendo cada cambio una transición del sistema. Dichos cambios

no están predeterminados, aunque sí lo está la probabilidad del próximo estado

en función de los anteriores, probabilidad que es constante a lo largo del tiempo

(sistema homogéneo en el tiempo). Eventualmente, en una transición, el nuevo

estado puede ser el mismo que el anterior y es posible que exista la posibilidad de

influir en las probabilidades de transición actuando adecuadamente sobre el

sistema (decisión).

4) CLASIFICACION DE LAS CADENAS DE MARKOV

CADENAS ABSORBENTES

En una cadena absorbente tenemos una probabilidad positiva de llegar en algún

momento a un estado absorbente, ya que en otro caso se formaría un conjunto

ergódico (que no es el total) con más de un punto porque hay un número finito de

estados.

En toda cadena de Markov absorbente, la probabilidad de absorción (que

empezando en cualquier lugar se llegue a un estado absorbente) es 1.

Los estados que pueden sucederse a sí mismos y, además, es posible alcanzar,

por lo menos, alguno de los restantes desde ellos se llaman estados transitorios.

Un estado tal que si el proceso entra en él permanecerá indefinidamente en este

estado (ya que las probabilidades de pasar a cualquiera de los otros son cero), se

dice estado absorbente.INVESTIGACION DE OPERACIONES

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De una cadena de Markov que consta de estados transitorios y absorbentes se

dice que es una cadena absorbente de Markov.

Si una cadena de Markov contiene algún estado absorbente, la línea de la matriz

de transición correspondiente a las probabilidades de transición de dicho estado

constará de un 1 en la diagonal principal y ceros en los demás elementos. Será

por lo tanto una matriz no regular.

Para poder estudiar las cadenas de Markov absorbentes es preciso reordenar la

matriz de transición de forma que las filas correspondientes a los estados

absorbentes aparezcan en primer lugar. Así ordenada se dirá que la matriz de

transición está en la forma canónica.

Podemos dividir la matriz en forma canónica en cuatro submatrices. La primera es

la matriz unidad I, del orden correspondiente. La segunda, la matriz nula. La

tercera contiene las probabilidades de paso de estados transitorios a estados

absorbentes. La cuarta contiene las probabilidades de estados transitorios a

estados transitorios.

GENERALIZANDO:

Una cadena de Markov absorbente contiene p estados transitorios y q estados

absorbentes. La matriz canónica del proceso presentará el aspecto siguiente:

I O

Q M

I: matriz identidad de dimensión q

O: matriz nula de dimensión qxp

Q: matriz de dimensión pxq que contiene las probabilidades de paso de estados

transitorios a absorbentes.


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M: matriz pxp con las probabilidades de los estados transitorios a estados

transitorios.

Se llama matriz fundamental de la cadena a la matriz resultado de la operación:

F=(I-M)-1

1º) Escribe en la forma canónica las siguientes matrices, indicando el o los

estados absorbentes y los transitorios. Observa el diagrama correspondiente y

ayúdate de las escenas siguientes realizadas para matrices de orden 3

05253

010

31032

525251

010

43041

53520

010

31032

//

//

;

///

//

;

//

//

Ejemplo (Paseando por la peatonal). La peatonal de mi pueblo tiene 6 cuadras

de largo, que van de norte a sur. Estoy con ganas de deambular y pasar el tiempo,

y como tengo una moneda, se me ocurre tirarla y caminar una cuadra hacia el

norte si sale cara o una cuadra hacia el sur si sale sello. Y continúo este juego

hasta salir de la peatonal, ya sea hacia el norte o hacia el sur.

En este caso, podemos pensar que los estados son 0,1, . . . ,5,6, donde 0 es la

esquina sur donde empieza la peatonal, 6 la esquina norte, y las esquinas

intermedias se numeran entre 1 y 5.

La matriz de transición puede escribirse entonces como


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En este caso tenemos que pensar que las filas y columnas corresponden a los

estados 0, 1,. . . , 6. Sin embargo, tenemos la novedad de que al llegar al estado 0

(la esquina sur) o 6 (la esquina norte), el «juego» se termina, por lo que ponemos

un 1 en la entrada correspondiente indicando que ya nos quedamos para siempre

en esa posición.

5) CADENA DE MARKOV IRREDUCIBLE

Se dice que una cadena de Markov es irreducible si cada estado Ej. se puede

alcanzar desde cualquier otro estado Ei después de un numero finito de

transiciones; o sea, para i = j,

Pij (n) > o, para 1≤ n < ∞

En este caso todos los estados de la cadena se comunican.

Estados absorbentes y estados de conjunto cerrado

En una cadena de Markov un conjunto C de estados se denomina cerrado si el

sistema, una vez en uno de los estados de C, permanece en C indefinidamente.

Un ejemplo especial de conjunto cerrado es un estado particular Ej. que tenga una

probabilidad de transición Pij = 1. En este caso Ej se denomina estado

absorbente. Todos los estados de una cadena irreducible deben formar un

conjunto cerrado y ningún otro subconjunto puede ser cerrado. El conjunto cerrado


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C también debe satisfacer todas las condiciones de una cadena de Markov y por

ello, puede estudiarse en forma independiente.

Todos los estados en una cadena de Markov infinita irreducible pueden pertenecer

a una y solo a una, de las siguientes tres clases: estados transitorios, estados

recurrentes nulos o estados recurrentes no nulos. En cada caso, los estados se

comunican y tienen el mismo periodo. En el caso especial cuando la cadena tenga

un número finito de estados, la cadena no puede constar solo de estados

transitorios, ni tampoco puede contener algún estado nulo.

Ejemplo

En un juego participan dos jugadores, A y B. En cada turno, se lanza una moneda

al aire. Si sale cara, A le da 1 € a B. Si sale cruz, B le da 1 € a A. Al principio, A

tiene 3 € y B tiene 2 €. El juego continúa hasta que alguno de los dos se arruine.

Calcular:

La probabilidad de que A termine arruinándose.

La probabilidad de que B termine arruinándose.

El número medio de tiradas que tarda en acabar el juego Tendremos una CM con

un estado por cada posible estado de cuentas de A: S={1, 2, 3, 4, 5, 0}.

Descomponemos Q:

100000

010000

05,005,000

005,005,00

0005,005,0

5,00005,00

Q


Q '=(0 0,5 0 00,5 0 0,5 00 0,5 0 0,50 0 0,5 0

)R=(

0 0,50 00 00,5 0

)

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Realizamos los cálculos necesarios:

Probabilidad de que A termine arruinándose.

La ruina de A está representada por el estado 0, que es el 2º estado absorbente.

Como empezamos en el 3er estado transitorio (A empieza con 3 €), debemos

consultar la 3ª fila, 2ª columna de (I–Q’)–1R, que nos da una probabilidad de 0,4 de

que A empiece con 3 € y termine en la ruina.

Probabilidad de que B termine arruinándose

Como es el suceso contrario del apartado a), su probabilidad será 1–0,4=0,6.

También podríamos haber consultado la 3ª fila, 1ª columna de (I–Q’)–1R.

Número medio de tiradas que tarda en acabar el juego

Sumamos los números medios de etapas que se estará en cualquier estado

transitorio antes de la absorción, suponiendo que empezamos en el 3er estado

transitorio. Dichos números medios son los que forman la 3ª fila de la matriz (I–

Q’)–1. El promedio es: 0,8+1,6+2,4+1,2=6 tirada.


( I−Q ' )−1=(1 −0,5 0 0

−0,5 1 −0,5 00 −0,5 1 −0,50 0 −0,5 1

)−1

=(1,6 1,2 0,8 0,41,2 2,4 1,6 0,80,8 1,6 2,4 1,20,4 0,8 1,2 1,6

)( I−Q ' )−1R=(

0,2 0,80,4 0,60,6 0,40,8 0,2

)

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Nota: si observamos la 1ª columna de (I–Q’)–1R, vemos que los valores van

creciendo. Esto se debe a que, cuanto más dinero tenga al principio A, más

probabilidad tiene de ganar el juego.

6) CLASIFICACIÓN SEGÚN EL NÚMERO DE CLASES FINALES

Cadena Ergódica: cuando la cadena tiene una única clase final y no

tiene clases de paso.

Cadenas (ergódicas) Regulares: Son cadenas en las que el total

forma un conjunto ergódico y existe K∈Ν tal que Ρij(k )

> 0 para

cualquier par de estados i, j.

Una cadena de Markov se dice regular si existe alguna potencia positiva de la

matriz de transición cuyas entradas sean todas estrictamente mayores que cero.

Cuando el espacio de estados E es finito, si P denota la matriz de transición de la

cadena se tiene que:

Donde W es una matriz con todos sus renglones iguales a un

mismo vector de probabilidad w, que resulta ser el vector de probabilidad

invariante de la cadena. En el caso de cadenas regulares, éste vector invariante

es único.

Ejemplo (El clima en la Tierra de Oz). Según el cuento, en la Tierra de Oz nunca

hay dos días buenos en sucesión. Después de un día con buen tiempo, le sigue

(con igual probabilidad) un día con lluvia o nieve. Del mismo modo, si nieva (o

llueve), el día siguiente nevará (o lloverá) con probabilidad 1=2, pero si cambia el

tiempo sólo la mitad de las veces será un lindo día.

Para estudiar este problema primeramente encontramos las probabilidades de

transición, es decir las probabilidades de que teniendo cierto clima un día, al día


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siguiente se tenga otro clima. Así, si indicamos con b a un día bueno, con ` a uno

lluvioso y n si nieva, tendremos

pbb = 0 de un buen día a un buen día,

pb` = 1=2 de un buen día a un día lluvioso,

pbn = 1=2 de un buen día a un día con nieve,

p`` = 1=2 de un día lluvioso a un día lluvioso,

p`b = 1=4 de un día lluvioso a un buen día,

p`n = 1=4 de un día lluvioso a un día con nieve,

pnn = 1=4 de un día con nieve a un buen día,

pn` = 1=4 de un día con nieve a un día con lluvia,

pnb = 1=2 de un día con nieve a un buen día.

Es conveniente ordenar estos datos en una tabla o matriz,

Donde las filas indican el clima en el día, las columnas el clima en el día siguiente,

y las entradas son las probabilidades de cambio o transición. No es sorprendente

que la matriz se llame matriz de transición (o transiciones).

Observamos que en esta matriz no sólo los coeficientes son no-negativos, sino

que al sumarlos por filas obtenemos 1, indicando que alguna de las posibilidades,

en este caso b, ` o n, debe necesariamente suceder: una matriz con esta

propiedad

—no-negatividad y suma 1 por filas— también se llama de probabilidad o

estocástica.

En cambio, al sumar por columnas, a veces obtenemos menos de 1, a veces más,

y habrá casos donde dará 1.


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El ejemplo del clima en la Tierra de Oz es un ejemplo típico de cadena de Markov:

1. tenemos ciertos estados, en este caso b, ` y n,

2. en cada momento estamos en uno de estos estados,

3. en el próximo momento (los «momentos» considerados son discretos)

volveremos a estar en ese u otro estado,

4. pasamos de un estado a otro con cierta probabilidad,

5. que sólo puede depender del estado inmediatamente anterior,

6. y esta probabilidad no cambia con el transcurso del tiempo.

La cadena de Markov es uno de los modelos más sencillos para tratar de predecir

el comportamiento de un «sistema», en este caso el clima en Oz. Por ejemplo nos

podemos preguntar: en 100 días.

Cadena recurrente

Una cadena recurrente es un conjunto de estados de los que el sistema no puede

salir. Un estado transitorio conduce al sistema dentro de este conjunto de estados.

El sistema hace saltos dentro de este conjunto indefinidamente. La cadena

recurrente es también llamada subcadena de Markov irreducible o de clases

recurrentes.

Cadenas irreducibles

Una cadena de Markov se dice irreducible si se cumple cualquiera de las

siguientes condiciones (equivalentes entre sí):

1. Desde cualquier estado de E se puede acceder a cualquier otro.

2. Todos los estados se comunican entre sí.

3. C(x)=E para algún x∈E.

4. C(x)=E para todo x∈E.


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5. El único conjunto cerrado es el total.

La cadena de Ehrenfest o la caminata aleatoria sin barreras absorbentes son

ejemplos de cadenas de Markov irreducibles.

Cadenas regulares

Una cadena de Markov se dice regular (también primitiva o ergódica) si existe

alguna potencia positiva de la matriz de transición cuyas entradas sean todas

estrictamente mayores que cero.

Cuando el espacio de estados E es finito, si P denota la matriz de transición de la

cadena se tiene que:

donde W es una matriz con todos sus renglones iguales a un mismo vector de

probabilidad w, que resulta ser el vector de probabilidad invariante de la cadena.

En el caso de cadenas regulares, éste vector invariante es único.

Finalmente se presentan unos útiles factores de las cadenas de Markov:

Cada cadena de Markov debe tener al menos una cadena recurrente

Una cadena recurrente es un estado absorbente generalizado

Un proceso de Markov que tiene una cadena recurrente será completamente

ergódica desde dondequiera que el inicie finalizara en cadena recurrente

Si un proceso tiene dos o más cadenas recurrentes, entonces la propiedad

ergódica no se mantiene en el tiempo

Un estado transitorio es un estado que ocupa el sistema antes de convertirse en

una cadena recurrente.


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CADENA SEMI- ERGODICA

Las cadenas de Markov regulares con algunas de las columnas de la matriz de

probabilidades estacionaria igual cero.

CADENAS NO ERGODICAS

Cuando la cadena tiene más de una clase final y una o varias clases de paso.

CADENAS INFINITAS

Cuando la cadena no es finita y que el proceso continua de manera indefinida, se

entiende por visita a un estado j como la tapa o momento en el la cadena se

encuentra en el estado j, y se denota Nj el número de visitas que se hacen en el

estado j en el proceso.

CADENAS PERIÓDICAS

Si un estado j es periódico con periodo ᵹ y otro estado i comunica con él, entonces

el estado i también es periódico con el mismo periodo. De este modo, el periodo

es una característica común del conjunto irreducible y cerrado, se puede hablar

del periodo de una subcadena irreducible.


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7) BIBLIOGRAFÍA

INTRODUCCIÓN A LAS CADENAS DE MARKOV

Investigación de operaciones, 5ª edición, Editorial taha


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8) CONCLUSIÓN

Como conclusión de las cadenas de Markov nos permite hacer análisis sobre el

estudio de los comportamientos de ciertos sistemas en ciertos periodos que

pueden ser cortos o largos. Además se tiene una relación con las probabilidades

absolutas. Pero sin embargo lo más importante es el estudio del comportamiento

sistemas a largo plazo, cuando el número de transiciones tiene al infinito.

Los estados en las cadenas de Markov serán útiles para el estudio del

comportamiento de los sistemas a largo plazo.

Que todos los estados en una cadena de Markov infinita irreducible pueden

pertenecer a una, y solo una, de las siguientes tres clases: estados transitorios,

estados recurrentes nulos o estados recurrentes no nulos.

Al abordar este tema es para conocer más o menos las probabilidades de un

experimento, esto a su vez nos permitirá conocer a corto y plazo los estados en

que se encontrarían en periodos o tiempos futuros y tomar decisiones que

afectarán o favorecerán nuestros intereses, y tomar una decisión de manera

consciente y no se comentan muchos errores.


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